Modeling Using Variation 

Direct Variation

• If a situation is described by an equation in the form

• y = kx• where k is a constant, we say that y varies 

directly as x. The number k is called the constant of variation. 

Solving Variation Problems

1. Write an equation that describes the given English statement.

2. Substitute the given pair of values into the equation in step 1 and find the value of k. 

3. Substitute the value of k into the equation in step 1.  

4. Use the equation from step 3 to answer the problem's question. 

Direct Variation with Powers

• y varies directly as the nth power of x if there exists some nonzero constant k such that 

• y = kx n.• We also say that y is directly proportional 

to the nth power of x.

 Text ExampleThe amount of garbage, G, varies directly as the population, P. Allegheny County, Pennsylvania, has a population of 1.3 million and creates 26 million pounds of garbage each week. Find the weekly garbage produced by New York City with a population of 7.3 million. 

SolutionStep 1      Write an equation.      We know that y varies directly as x is expressed as 

y = kx. By changing letters, we can write an equation that describes the following English statement: Garbage production, G, varies directly as the population, P.

G = kP

The amount of garbage, G, varies directly as the population, P. Allegheny County, Pennsylvania, has a population of 1.3 million and creates 26 million pounds of garbage each week. Find the weekly garbage produced by New York City with a population of 7.3 million. SolutionStep 2 Use the given values to find k.     Allegheny County has a population of 1.3 million and creates 26 million pounds of garbage weekly. Substitute 26 for G and 1.3 for P in the direct variation equation. Then solve for k.26 = 1.3k26/1.3 = k 20 = k

 Text Example cont.

The amount of garbage, G, varies directly as the population, P. Allegheny County, Pennsylvania, has a population of 1.3 million and creates 26 million pounds of garbage each week. Find the weekly garbage produced by New York City with a population of 7.3 million. SolutionStep 3 Substitute the value of k into the equation.

G = kP      Use the equation from step 1.G = 20P      Replace k, the constant of variation, with 20.

Text Example cont.

The amount of garbage, G, varies directly as the population, P. Allegheny County, Pennsylvania, has a population of 1.3 million and creates 26 million pounds of garbage each week. Find the weekly garbage produced by New York City with a population of 7.3 million. 

SolutionStep 4 Answer the problem's question.      New York City has a population of 7.3 million. To find its weekly garbage production, substitute 7.3 for P in G = 20P and solve for G.

G = 20P  Use the equation from step 3.G = 20(7.3)   Substitute 7.3 for P.G = 146

The weekly garbage produced by New York City weighs approximately 146 million pounds.

Text Example cont.

Inverse Variation

• If a situation is described by an equation in the form

• y = k/x

• where k is a constant, we say that y varies inversely as x. The number k is called the constant of variation. 

Example

• Describe in words the variation shown by the given equation: 

Solution:H varies directly as T and inversely as Q

Joint Variation

• Joint variation is a variation in which a variable varies directly as the product of two or more other variables. Thus, the equation y = kxz is read "y varies jointly as x and z."

ExampleAn object’s weight on the moon, M, varies directly as its 

weight on Earth, E.  A person who weighs 75 kilograms on Earth weighs 12 kilograms on the moon.  What is the moon weight of a person who weighs 80 kilograms on Earth?

SolutionM = kE12 = k*75k = .16M = .16EM = .16 * 80M = 12.8 kilograms

Modeling Using Variation