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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Modelagem no Domínio do Tempo

Carlos Alexandre Mello

2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Modelagem no Domínio da Frequência

A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona a entrada e a saída Desvantagem: O sistema deve ser linear e invariante no

tempo

Vantagem: Conseguem avaliar estabilidade rapidamente e informação quanto à resposta do transiente

Problema: Muitos sistemas não são LTI



Aproximação Estado-Espaço Método para modelagem, análise e projeto de uma

grande variedade de sistemas:

Sistemas não lineares, condições iniciais não-nulas, variantes no tempo (como mísseis que podem ter variações nos níveis de combustível a ser usado), sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas (como um carro que tem direção e velocidade como entrada e saída)

Problema: uso não é tão intuitivo



Passos para Modelagem no Domínio do Tempo 1. Definimos um subconjunto das variáveis do sistema

para serem as variáveis de estado

2. Para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas (equações de estado)

3. Resolvemos as equações diferenciais para t t0, se conhecemos as condições iniciais para todas as variáveis de estado para t0 e t t0

4. Combinamos as variáveis de estado com a entrada do sistema e encontramos todas as outras variáveis para t t0 (isso gera a equação de saída)

5. Representação estado-espaço: equações de estado + equações de saída



Exemplo: Rede RL Selecionamos a corrente i(t) para a qual escreveremos e

resolveremos equações diferenciais usando transf. de Laplace

1. Escrevemos a equação de laço:

2. Usando a transformada de Laplace agora considerando as condições iniciais temos:

3. Assumindo a entrada v(t) como um degrau unitário cuja transf. é V(s) = 1/s, encontramos I(s):



Exemplo: Rede RL 3. (cont.)

Onde:

Logo:



Exemplo: Rede RL (cont.) 3. (cont.): A função i(t) é um subconjunto de todas as possíveis

variáveis de rede que podemos encontrar de sua equação se soubermos sua condição inicial, i(0), e a entrada v(t)

Assim, i(t) é uma variável de estado e a equação diferencial inicial:

é uma equação de estado



Exemplo: Rede RL (cont.) 4. Podemos agora resolver para todas as variáveis da rede

algebricamente em termos de i(t) e da tensão v(t)

Por exemplo

A tensão através do resistor é: vR(t) = Ri(t)

A tensão através do indutor é: vL(t) = v(t) – vR(t) = v(t) – Ri(t)

A derivada da corrente (a carga) é: di/dt = (1/L)vL(t) = (1/L)[v(t) – Ri(t)]

Assim, conhecendo a variável de estado i(t) e a entrada v(t), podemos encontrar o valor, ou o estado, de qualquer variável da rede em qualquer tempo t t0

Com isso, as equações de vR(t), vL(t) e di/dt são equações de saída

5. A Representação Estado-Espaço corresponde à equação de estado e às equações de saída



Exemplo: Rede RL (cont.) A representação do sistema não é única. Por exemplo,

para a mesma rede RL, se fizermos i = vR/R, temos:

que pode ser resolvida sabendo que a condição inicial para vR(0) é vR(0) = Ri(0) e sabendo v(t)



Exemplo: Rede RLC 1. A equação de laço gera:

Considerando i(t) = dq/dt, onde q é a carga, temos:



Exemplo: Rede RLC (cont.) 2. Como o sistema é de 2ª ordem, duas equações

diferenciais de 1ª ordem simultâneas são necessárias para as duas variáveis de estado (i(t) e q(t))

3. De:

e sabendo que i = dq/dt i dt = q, temos:



Exemplo: Rede RLC (cont.) 3. (cont.) As equações:

são as Equações de Estado e podem ser resolvidas para as variáveis de estado i(t) e q(t), se soubermos as condições iniciais e a entrada v(t), usando a transf. de Laplace



Exemplo: Rede RLC (cont.) 4. Usando as duas variáveis de estado, podemos

resolver para todas as variáveis da rede. Por exemplo, a voltagem através do indutor (vL(t)) pode ser escrita em termos das variáveis de estado e da entrada como:

Equação de saída: vL(t) é uma combinação linear

das variáveis de estado, q(t) e i(t), e da entrada, v(t)



Exemplo: Rede RLC (cont.) 5. A combinação das equações de estado e da equação

de saída formam a representação da rede que chamamos de Representação Estado-Espaço

Novamente, diferentes representações seriam possíveis dependendo da escolha das variáveis de estado (vR(t) e vC(t) seriam outra possibilidade):

Equações de estado

para vR(t) e vC(t) como

variáveis de estado



O número de variáveis de estado deve ser, no mínimo, igual à ordem do sistema

Se a equação diferencial que descreve o sistema for de ordem 2, então precisamos de, no mínimo, 2 variáveis de estado

Podemos escolher mais variáveis de estado do que o mínimo, mas essas variáveis devem ser linearmente independentes Por exemplo, se escolhemos vR(t) como variável, não

podemos escolher i(t), já que vR(t) = Ri(t) (são variáveis linearmente dependentes)



Definições:

Uma combinação linear de n variáveis xi, para i=1 até n, é dada pela soma S = k1x1 + k2x2 + .... + knxn, com cada ki sendo uma constante

Um conjunto de variáveis é dito linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como combinação linear das outras Ou seja, k1x1 + k2x2 + .... + knxn = 0, sse, ki = 0, para

todo i, com xi ≠ 0, para todo xi



As variáveis de estado devem ser linearmente independentes, ou seja, nenhuma variável pode ser expressa como combinação linear das outras variáveis

Do contrário, podemos não ter informação suficiente para resolver para todas as outras variáveis do sistema



No exemplo anterior, tínhamos:

As equações de estado podem ser escritas como: x' = Ax + Bu

onde:




Da mesma forma, a equação de saída:

pode ser escrita como: y = Cx + Du

onde:



A combinação de x’ e y também é chamada de Representação Estado-Espaço da rede

Sumarizando, a representação estado-espaço consiste de: (1) Equações diferenciais de primeira ordem

simultâneas para as quais as variáveis de estado podem ser resolvidas

(2) Equação de saída para a qual todas as outras variáveis do sistema podem ser encontradas

Observamos novamente que a representação estado-espaço não é única, dependendo da escolha das variáveis de estado


Modelagem no Domínio do Tempo Representação Estado-Espaço Geral

Definições:

Variável de Sistema: Qualquer variável que responde a uma entrada ou condições iniciais em um sistema

Variáveis de Estado: O conjunto de variáveis de sistema linearmente independentes tal que os valores das variáveis do conjunto no tempo t0 junto com funções conhecidas determinam completamente os valores de todas as variáveis do sistema para todo t >= t0



Definições:

Equações de Estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado

Equação de Saída: Equação que expressa as variáveis de saída como uma combinação linear das variáveis de estado e as entradas



Um sistema é representado no estado-espaço pelo conjunto de equações:

x' = Ax + Bu (Equação Estado)

y = Cx + Du (Equação Saída)

para t t0 e condições iniciais x(t0), onde: x = vetor estado; y = vetor saída

x’ = derivada do vetor estado em relação ao tempo

u = entrada;

A = Matriz Sistema; B = Matriz Entrada;

C = Matriz Saída; D = Matriz de Transmissão Direta (Feedforward)



Exemplo: Considere o circuito:

Vamos achar a representação estado-espaço, considerando como saída a corrente através do resistor (iR(t))

Nó 1



Exemplo: (cont.)

Passo 1: Identificar as correntes no circuito Feito na figura anterior

Passo 2: Escolhemos as variáveis de estado Como temos um indutor e um capacitor, o sistema

será de 2ª ordem, implicando que precisamos de 2 variáveis, pelo menos

Como a saída procurada está relacionada com o resistor, seus elementos estarão na equação de saída. Assim, vamos usar como variáveis de estado os elementos do indutor e capacitor. Nesse caso, poderíamos escolher iC, vC, iL, ou vL



Exemplo: (cont.)

Passo 2 (cont.): Lembrando que precisamos de equações diferenciais

de primeira ordem, nossa escolha é:

Assim, as variáveis de estado são vC e iL. Precisamos agora escrever iC e vL como combinação linear das variáveis de estado e da entrada (v(t))




Exemplo: (cont.)

Passo 3: Aplicando as leis de circuitos, temos, pela lei de Kirchoff de voltagem e corrente: No nó 1, temos:

Na malha externa:



Exemplo: (cont.)

Passo 4: Vamos agora substituir as equações de estado nos resultados anteriores:



Exemplo: (cont.)

Passo 5: Encontrar a equação de saída, considerando a saída, como pedido, iR(t)

Assim:

Com isso:

Representação Estado-Espaço



Exercício: Encontre a representação estado-espaço para o circuito

abaixo. A saída é v0(t).



Exercício (cont.): 1º Passo: Legendar correntes, malhas, etc

Nó 1

Malha 1 Malha 2

ic1

ic2

iL

iR

Nó 2



Exercício (cont.): 2º Passo: Estabelecer relações derivativas:

vC1, vC2 e iL são as variáveis de estado




Exercício (cont.): 3º Passo: Precisamos escrever iC1, iC2 e vL como

combinação linear das variáveis de estado e da entrada

Usando as leis de Kirchhoff:

Nó 1:

Malha 1:

Nó 2:



Exercício (cont.): 4º Passo: Substituindo nas equações de estado:

Com equação de saída:



Exercício (cont.): 5º Passo: Na forma de matriz:


Modelagem no Domínio do Tempo Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço

Uma das vantagens de representação estado-espaço é que podemos usá-la para simulação em computador de sistemas físicos

Assim, para simular um sistema a partir de uma função de transferência, precisamos primeiro convertê-la para representação estado-espaço

Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior



Considere a seguinte equação diferencial:

Uma forma simples de proceder é escolher a saída y(t) e suas (n – 1) derivadas como variáveis de estado Escolha das Variáveis de Fase



Seja xi as variáveis de estado, temos então:



Ou na forma de matriz:

Forma de variáveis de

fase das equações de

estado Observe a forma da matriz do sistema

quase como uma matriz identidade

antes da última linha e essa última

linha com o negativo dos coeficientes

da equação diferencial escritos na

ordem reversa



Finalmente, desde que a solução da equação diferencial é y(t), ou x1, a equação de saída é:



Resumindo, para converter uma função de transferência para representação estado-espaço na forma de variáveis fase, primeiro convertemos a função de transferência para a forma de equação diferencial por multiplicação cruzada e tomando o inverso da transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas

Então, representamos as equações diferenciais no estado-espaço na forma de varáveis fase

Caso 1: Apenas uma constante no numerador da função de transferência....



Exemplo 1: Encontre a representação estado-espaço na forma de

variável fase para a função de transferência abaixo:

Passo 1: Encontrar a equação diferencial:

Função de transferência



Exemplo 1 (cont.): Passo 1 (cont.):

Fazendo a multiplicação cruzada dos dois lados:

A equação diferencial correspondente é encontrada tomando a transformada inversa de Laplace, assumindo nulas as condições iniciais:



Exemplo 1 (cont.): Passo 2: Selecionar as variáveis de estado.

Escolhendo as variáveis como as derivadas sucessivas, temos:

x1 = c

x2 = c’

x3 = c’’

Diferenciando ambos os lados:

x1’ = c’ = x2

x2’ = c’’ = x3

x3’ = c’’’ = -24x1 – 26x2 – 9x3 + 24r

y = c = x1



Exemplo 1 (cont.): Passo 2 (cont.): Na forma de matriz:



Caso 2: Um polinômio no numerador da função de transferência

Numerador e denominador podem ser separados e

colocados em cascata....



Numerador e denominador podem ser separados e colocados em cascata....

Numerador Denominador

Estando em cascata, os dois são multiplicados

gerando a função de transferência original

Variáveis internas:

X2(s), X3(s)



O primeiro bloco é tratado como no exemplo

anterior, gerando a representação variável

fase com saída x1 (outras variáveis de estado

são internas a ele apenas – X2(s) e X3(s)).

O segundo bloco tem função de transf:

Y(s)=C(s)=(b2s2 + b1s + b0)X1(s)

cuja transf. inversa de Laplace gera:

y(t) = b2x1’’ + b1x1’ + b0x1

y(t) = b0x1 + b1x2 + b2x3

A separação tem

que ser assim!!!



Exemplo 2: Encontre a representação estado-espaço para a função de transferência abaixo:



Exemplo 2 (cont.): Passo 1: Como mostrado na figura anterior, o passo 1 é

separar o sistema em dois blocos em cascata. O primeiro bloco contém o denominador e o segundo bloco, o numerador

Passo 2: Encontrar as equações para o bloco contendo o denominador. Neste exemplo, apenas para simplificar, é o mesmo denominador do exemplo anterior, mas com 1 e não 24 no numerador. Assim, a representação será a mesma a menos do termo multiplicando a saída r



Exemplo 2 (cont.): Passo 2 (cont.):

Passo 3: Introduz o segundo bloco que contém o numerador. Pelo segundo bloco:

Pela transf. inversa

de Laplace



Exemplo 2 (cont.): Passo 3 (cont.): Mas:

x1 = x1

x1’ = x2

x1’’ = x3

Assim: y = c(t) = b2x3 + b1x2 + b0x1 = x3 + x2 + 2x1

Com isso, o segundo bloco simplesmente coleta derivadas que foram calculadas no primeiro bloco



Exercício: Encontre as equações de estado e a equação de saída para a representação em variável fase da função de transferência:

R(s) C(s)



Exercício (cont.): Passo 1: Separar a função:

Passo 2: Equações do bloco do denominador:

R(s) C(s) X1(s)



Exercício (cont.): Passo 2 (cont.):

x1 = x1

x2 = x1’

Diferenciando os dois lados:

x1’ = x1’ = x2

x2’ = x1’’ = -7x1’ – 9x1 + r = -7x2 – 9x1 + r



Exercício (cont.): Passo 3: Introdução do segundo bloco que contém o

numerador. Pelo segundo bloco:

C(s) = (2s + 1)X1(s)

Pela Transformada Inversa de Laplace:

c = 2x1’ + x1

y = c = 2x1’ + x1 = 2x2 + x1



Exercício (cont.): Solução Final: Equações de Estado e Equação de Saída



Exercício (cont.): No MatLab:


Modelagem no Domínio do Tempo Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência

Dadas as equações de estado e a equação de saída:

x’ = Ax + Bu

y = Cx + Du

calcule a transformada de Laplace considerando nulas as condições iniciais:

sX(s) = AX(s) + BU(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

Resolvendo para X(s), temos: (sI – A)X(s) = BU(s) X(s) = (sI – A)-1BU(s)

onde I é a matriz identidade



Assim, como: Y(s) = CX(s) + DU(s)

e X(s) = (sI – A)-1BU(s)

então: Y(s) = CX(s) + DU(s) = Y(s) = C(sI – A)-1BU(s) + DU(s)

= [C(sI – A)-1B + D]U(s)

Matriz função de transferência, pois

relaciona a entrada U(s) com a saída Y(s).



Se U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s), escalares, então temos a função de transferência



Exemplo 1: Dado o sistema definido na forma abaixo, ache a função de transferência, T(s) = Y(s)/U(s), onde U(s) é a entrada e Y(s) é a saída do sistema



Exemplo 1 (cont.): É preciso encontrar (sI – A)-1:



Exemplo 1 (cont.): T(s) = C(sI – A)-1B + D, onde:

T(s)=



Exemplo 1 (cont.): No MatLab (numerador):



Exemplo 1 (cont.): No MatLab (solução completa):



Relembrando:



Exercício 1: Converta a equação de estado e a de saída para uma função de transferência:

A = B =

C = D = 0



Exercício 1 (cont.): É preciso encontrar (sI – A)-1:

T(s) = C(sI – A)-1B + D:



Exercício 1 (cont.): No MatLab


Exercícios Sugeridos (Nise)

Cap. 3, Problemas:

1, 2, 3, 9, 11, 14

No MatLab:

10, 12, 15


A Seguir....

Resposta no Tempo

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