model linear 2

8/18/2019 Model Linear 2

1/35

BAB 10

UNBALANCED FIXED-EFFECTS MODELS(MODEL TAK SEIMBANG DENGANPENGARUH TETAP)

Ikin Sodikin (156090500111001)


2/35

Notasi-R

Model Dua Arah Tanpa Interaksi

Model Dua Arah Dengan Interaksi

Model Higher-Order

Contoh Numerik dengan SAS

Method of Unweighted Means (MUM)

Outline


3/35


4/35

Suatu model dikatakan tetap jika percobaan yang

perlakuan atau level-level dari faktornya ditetapkan oleh

peneliti sebelum penelitian dilakukan. Level-level

faktornya mempunyai suatu ciri-ciri tertentu yang dapat

membedakan dengan level yang lain dan dapat

mewakili populasi yang dihipotesiskan atau dibayangkan

ada. Model acak hanya ingin menunjukkan variasi antar taraf

yang diteliti, bukan perbedaan antar level yang diteliti

seperti pada model tetap.


5/35

Contoh : Penelitian pengaruh pejantan sapi Bali terhadap

berat lahir anak dari induk yang dikawini. Digunakakan 4

ekor sapi pejantan (SP) masing-masing dikawinkan dengan

5 ekor sapi betina yang seragam. Maka sapi pejantan bisa

model tetap atau acak.

Model tetap : Peneliti menetapkan SP berdasarkan umur,

misal : Umur SP1 2 thn, SP2 2.5 thn, SP3 3 thn, dan SP4 3.5 thn,

atau berdasarkan bobot (250, 300, 350, dan 400 kg)

Model acak : Peneliti tidak menetapkan SP berdasarkan ciri-

ciri ttt. Peneliti mengambil secara acak 4 ekor SP dari suatu

populasi sapi jantan.


6/35

Model pengaruh tetap tak seimbang Model linear

yang hanya memiliki pengaruh tetap kecuali untuk

komponen error atau galat yang bersifat acak atau

random.


7/35

Model Linear Umum dalam bentuk matriks :

dimana :

X : matriks berukuran n × p

: vektor dari parameter tetap tidak diketahui

: vektor galat diasumsikan memiliki rata-rata nol danmatriks varians-kovarians

Memiliki :

- Jumlah Kuadrat Regresi (JKR) : (

)

−

dilambangkan dengan ()

- Jumlah Kuadrat Error/Galat (JKG) : [ − ]


8/35

Misalkan model linear :

Maka JKR : ( )−

Jika dipartisi sebagai : , di mana dan berukuran masing-masing n×p1 dan n×p2. Vektor

dipartisi

menjadi =( : ), maka model linearnya menjadi :

Memiliki JKR : , ( )− Sehingga diperoleh perbedaan antara JKR tersebut :

| , − ( )−


9/35

| merupakan peningkatan JKR yang dihasilkan dari

penambahan untuk model yang hanya berisi . Dalamhal ini, dikatakan disesuaikan untuk , atau telahditambahkan setelah :

, |

Secara umum, jika setiap kali dipartisi menjadi k subvector, , ..., maka : | ⋯ … … … … . |, , … . . , −


10/35

Contoh model dua arah tanpa interaksi :

() () () Maka JKR untuk model penuh : , , | |, Dimana :

: JKR untuk model yang hanya berisi | , , dengan , : JKR untuk modelyang berisi dan , dan

|, , , ,


11/35

Jika model , dengan asumsi ~(0, ), danmisalkan () dan (). Maka :a)

| berdistribusi noncentral chi-squared denganderajat bebas r – r

1 , dengan parameter noncentral yaitu

[ − ] b) , | , dan , saling bebas, di mana adalah

jumlah kuadrat galat/residual (JKG)

c) | ( ), di mana adalah parameternoncentral pada poin (a)

Teorema 10.1


12/35

Berdasarkan Teorema 10.1 diperoleh statistik F :

/ ( )/()

Sebagai penguji hipotesis nol :

:

−

0

Jika berpangkat kolom penuh, maka hipotesis direduksimenjadi :

: 0


13/35

Definisi 10.1 : JK Tipe I (JK Sekuensial) untuk sebuah pengaruh,

, dalam model adalah | , dimana mewakili semuapengaruh sebelum dalam model.

Contoh : () () (), dimana I = 1, 2, ...a; j = 1, 2,..., b

JK Tipe I untuk pengaruh dan masing-masing adalah | dan |,

Contoh :

() () (), dimana i = 1, 2, ...a; j = 1, 2,

..., b

JK Tipe I untuk pengaruh dan masing-masing adalah | dan |,

Jumlah Kuadrat Tipe I


14/35

Definisi 10.2 : JK Tipe II untuk sebuah pengaruh, u, dalam

model disesuaikan untuk semua pengaruh lainnya dalam

model.

Contoh : () () (), dimana I = 1, 2, ...a; j = 1, 2,..., b

JK Tipe II untuk pengaruh dan masing-masing adalah |, dan |,

Jumlah Kuadrat Tipe II


15/35

Definisi 10.3 : JK Tipe III (JK Parsial) untuk pengaruh, u, pada

prinsipnya, diperoleh dengan menyesuaikan u untuk semua

pengauh lainnya dalam model.

Contoh : () () () () , dimana I = 1, 2,...a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nij

JK Tipe III untuk pengaruh , , dan interaksi masing-masing adalah |, , , |, , , dan |, ,

Jumlah Kuadrat Tipe III


16/35

Model Umum : () () (), dimana i = 1, 2,..., a; j = 1, 2,..., b; k = 0, 1, ..., nij,

, (), dan () adalah parameter yang tidak diketahui

() saling bebas dan berdistribusi

(0, )

asumsi : n..>a+b-1, di mana n.. adalah jumlah total

pengamatan

nij , bisa saja nol untuk beberapa (i, j) yang menunjukkan

kemungkinan bahwa beberapa sel kosong (atau hilang)

Analog dengan model matrik : , - X berukuran n..×(a+b+1) yaitu, X=[1n..:H1:H2], dimana ⊕= .,

[⊕= :⊕= : … . . ∶ ⊕= ], dan . = - vector terdiri dari , () , dan ()


17/35

Lemma 10.1 : Misalkan pola data dua arah adalah

sedemikian rupa sehingga () dan () estimable untuk semua i ≠ i’ dan j ≠ j’. Jika (i0, j0) adalah sel kosong,maka

a) Semua rataan sel, , dalam model bersifat estimableb) , () , dan () , untuk semua i ≠ i’ dan j ≠

j’, membentuk sebuah basis ruang dari semua fungsi

linear yang estimable dari parameter-parameter dalammodel

10.2.1 Fungsi-fungsi Linear yang estimable


18/35

Fungsi-fungsi linear yang estimable :

= ()

()= Least-Square Mean untuk

baris i (i = 1, 2, ..., a)

(LSM(α()))

=

()= () Least-Square Mean untuk

kolom j (j = 1, 2, ..., b) (LSM (β j ))

LSM ini juga disebut sebagai Rata-rata Marginal Populasi

10.2.1 Fungsi-fungsi Linear yang estimable


19/35

Jika adalah fungsi linear diduga dari dan A matriks yangberukuran s × p dan pangkat s (≤ a + b - 1), dan m adalah

vektor konstan yang diketahui, maka hipotesis yang dapat

diuji :

: Dengan statistik uji :

− −( )

di mana MSE = SSE / (n.. - a - b + 1)

H0 ditolak pada taraf kesalahan α jika F ≥ F α, s, n.. -a-b+1

10.2.2 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji


20/35

, | , dan |, saling bebas satu sama lain danbebas terhadap / ( . . 1 ). Selanjutnya, | /σ dan |, /σ berdistribusi chi-squared denganmasing-masing derajat bebas, a-1 dan b-1, dan

~χn..−−b+

Lemma 10.2


21/35

Parameter noncentrality dari |, /σ adalah samadengan nol jika dan hanya jika () () ⋯ . ()

Lemma 10.4

Parameter noncentrality dari | /σ adalah sama dengannol jika dan hanya jika nilai-nilai :

() 1. (), 1,2, … . . , ,

=

Adalah sama untuk semua i.

Lemma 10.3


22/35

Model :

() () ()

() () ()

Statistik Uji (Rasio F) (|) 1

, , 1

1

, , 1 Hipotesis yang diuji Untuk

:

∶ () 1. (), 1,2, … . . , ,

=

Untuk :

∶ ()

1

. () , 1,2, … . . , ,

=

Hipotesis dengan

rata-rata sel ∶ 1. , 1,2, … . . , ,

=

∶1

. , 1,2, … . . , ,

=

10.2.2.1 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji Tipe I


23/35

Model :

() () ()

Statistik Uji

(Rasio F) , , 1 , ,

, 1

Hipotesis

yang diuji

Untuk , ::() () ⋯ . ()

Untuk , : :() () ⋯ . ()

Hipotesis

rata-rata sel ∶ 1

=

1,2, … . ,

ditolak pada level jika , ≥ ,−,..−−+ ∶ 1

= 1,2, … … ,

ditolak pada level jika , ≥ ,−,..−−+

10.2.2.2 Hipotesis-hipotesis Yang Dapat Diuji Tipe II


24/35

Model Lengkap : () () ()() (),dimana i = 1, 2,..., a; j = 1, 2,..., b; k = 0, 1, ..., nij,

, () , () , dan ()() adalah parameter yang tidakdiketahui

() saling bebas dan berdistribusi (0, ) asumsi : n..>ab, di mana n.. adalah jumlah total

pengamatan

Analog dengan model matrik :

,

- X berukuran n..×(a+b+ab+1) yaitu, [ . . : : : ] , dimana ⊕= . , [⊕= :⊕= : … . . ∶ ⊕= ] , ⊕= ⊕= dan . =

- vector terdiri dari , () , (), dan (αβ)(ij)


25/35


26/35

Teorema 10.2 : Jika () ~ N (0, ), maka :a)

~−

b)

~− c) . === , bebas terhadap dan

d)

~..−

dan adalah parameter noncentral faktor A dan B

Pengujian Hipotesis


27/35


28/35

Statistik Uji (rasio F) : , , ,,− − , dimana , , , , , , , JK Tipe III u/pengaruh interaksi

, , ber distribusi F noncentral dengan derajat bebas(a - 1)(b - 1) dan n.. – ab. Dengan parameter noncentral

0, jhj .. − 0

10.3.1.1. Pengujian Pengaruh Interaksi


29/35

Dari model umum : , jika L Vektor konstanta, maka′(’)− ’ estimable jumlah elemen-elemen L yang muncul pada ′(’)− ’ =

pangkat dari X = a+ b - 1

Sebagai contoh, pertimbangkan model (10.10) : ()

() () hubungkan dengan kumpulan data pada Contoh10.1. Dalam hal ini, ( , , , 3 , , , 3 ), (, , … … … … , 7) Atas dasar tabel 10.6, diperoleh fs. Linear :

′(’)− ’ 3 3 3 3 3 3 5 ( 3 )6

Opsi E dalam PROC GLM di SAS


30/35

Model yang disarankan : () ()

()() ()

Dengan menggunakan SAS diperoleh hasil ANOVA

Tipe III faktor A, B dan AB :

MSError = 0.1904 dengan db = 7

Hipotesis yang diuji :

- H0: LSM(α ) sama untuk semua i = 1, 2, ..., a - H0: LSM( ) sama untuk semua j = 1, 2, ..., b- H0: tidak ada interaksi antara A dan B (10.62 )

Tabel 10.11 ketiganya signifikan, termasuk interaksi

Uji Pengaruh Polinomial

- Pengaruh B pada A tetap :pengaruh linear dankuadrat dari B signifikan untuk level A 0,3

- Pengaruh A pada B Tetap : semua pengaruh

linear dari A yang signifikan untuk setiap level B


31/35

MUM mendefinisikan jumlah kuadrat yang analog terhadap yang

diperoleh dari situasi data seimbang dengan satu observasi per

kombinasi perlakuan, yaitu, rataan sampel dari sel yang

bersangkutan

Unweighted JK u/ faktor A dan B, serta AB :

ℎ . ..

=

ℎ . ..

=

ℎ . . .. ==

dimana ℎ adalah rata-rata harmonik = ℎ

=

=


32/35

Lemma 10.7

Perkiraan terbaik dari dalam dengan matriks

diagonal dari bentuk diperoleh ketika

Lemma 10.8

a) () ℎ . .. = ( 1 ) b) () ℎ . .. = ( 1 )

c) () ℎ . . .. == (1)(1)

di mana . 1

=, .

1

=, ..

1

=

=


33/35

Perkiraan Distribusi

,

, dan

a)

.~ − , dimana . .. =

b)

.~ − , dimana . ..

=

c)

.~ (−)(−) 3 , dimana3 . . ..

==


34/35

Pengujian Hipotesis :

a) Statistik Uji (Rasio F) : (−), untuk menguji hipotesis : . . ⋯ . ..

mendekati distribusi F dengan db (a – 1) dan (n.. – ab)

(−), untuk menguji hipotesis : . . ⋯ . .. mendekati distribusi F dengan db (b – 1) dan (n.. – ab)

(−)(−),


35/35

model linear 2

Documents