model kronikey paney

HAPPY

NEW YEAR

2014

MUHAMMAD RIDWANE1Q010031

MUHAMMAD YAMINE1Q010009

FISIKA KUANTUM

1. Model kronig penney2. Atom berelektron banyak

BAB 17

THE BAND THEORY OF ELECTRONS IN CRYSTALS

Model kronig penney merupakan gambaran real tentang kisi kristal dalam potensi periodik. Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi potensial yang periodik, dengan menganggap energi potensial periodik itu merupakan deretan sumur energi potensial persegi seperti ditunjukkan dalam Gambar

Gambar. Energi potensial periodik satu dimensi

yang digunakan oleh Kronig dan Penney.

1. MODEL KRONIG PENNEY

Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar sebuah inti atom (atau diantara dua inti atom), dan energi potensialnya dianggap nol, sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas. Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk –b < x < 0, energi potensial elektron dianggap sama dengan V0.

Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger untuk kedua daerah (yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah –b < x < 0) sebagai berikut:

a. untuk 0 < x < a.

(untuk elektron bebas, V0 = 0)............(1)

b. untuk –b < x < 0.

……...(2)

Jika kita misalkan bahwa energi elektron lebih kecil dari pada V0, dan kita difinisikan dua besaran real α dan β sebagai berikut:

………(3)

MODEL KRONIG PENNEY

maka persamaan-persamaan (1) dan (2) dapat ditulis menjadi

………….(4)dan

………….(5)Karena energi potensial dari model Kronig-Penney itu adalah periodik, maka fungsi-fungsi gelombang tersebut haruslah berbentuk fungsi Bloch, yaitu:

…………...(6)

MODEL KRONIG PENNEY

dimana uk(x) sekarang adalah sebuah fungsi periodik dalam x dengan perioda a + b, yaitu

…………..(7)

turunan kedua terhadap x dari persamaan (6), sebagai berikut:

…………...(8)substitusikan persamaan (6) dan (7) ini ke dalam persamaan-persamaan (4) dan (5) di atas. Hasilnya adalah sebagai berikut:a. untuk 0 < x < a. b. untuk –b < x < 0

...(9) ...(10)

MODEL KRONIG PENNEY

solusi umum untuk persamaan-persamaan (9) dan (10) di atas adalah:

………(11) ……………...(12)dimana A, B, C, dan D adalah tetapan-tetapan yang biasa ditentukan oleh syarat batas berikut:

u1(0) = u2(0) ; u1(a) = u2(-b) ;

……/….(13) ...(14)Syarat batas yang ditunjukkan oleh persamaan (13) sesuai dengan syarat bahwa fungsi gelombang ψ dan turunan pertamanya (dψ/dx) dan juga u dengan du/dx haruslah kontinyus.

MODEL KRONIG PENNEY

empat persamaan linier homogen sebagai berikut: A + B = C + D ……..(15)

A i (α−β) − B i (α + β) = C (β−ik) – D (β + ik) ……..(16)

A e i(α−k)a + B e-i(α + k)a = C e-(β -ik)b + D e(β + ik)b …….(17)A i (α - k) ei(α - k)a – B i (α + k)e-i(α + k)a = C (β - ik) e-(β - ik)b

– D (β + ik) e(β + ik)b ……..(18)

Solusi yang tidak sama dengan nol untuk keempat persamaan linier tersebut ada jika dan hanya jika determinan dari koefisien-koefisien A, B, C, dan D adalah sama dengan nol, yaitu:

……..(19)

MODEL KRONIG PENNEY

Dalam keadaan seperti ini model Kronig-Penney ini dimodifikasi menjadi sebuah deret sumur potensial yang terpisahkan oleh sebuah potensial penghalang yang sangat-sangat tipis. Karena itu, hasil kali V0b (untuk V0 ---> ∞ dan b ---> 0) disebut kekuatan penghalang (barrier strength).

dari persamaan (8) jika Anda menjumlahkan α2 dan β2 kemudian membaginya dengan 2αβ maka Anda akan memperoleh hasil sebagai berikut:

………..(20)

Dengan menggunakan persamaan (20) ini dan kondisi dimana saat b ---> 0, sinh (βb) --> βb, dan cosh (βb) ---> 1, Persamaan (19) dapat ditulis menjadi

…………(21)

MODEL KRONIG PENNEY

Jika kita definisikan pbesaran P sebagai berikut :

maka …………(22)

substitusikan persamaan (22) ini ke dalam persamaan (21) di atas ! Hasilnya adalah

sebagai berikut:

………….(23)

Persamaan (23) ini merupakan syarat agar solu Seperti diketahui bahwa nilai cos (ka) terletak diantara –1 dan +1. Sehingga ruas kiri dari persamaan (23) itu harus memiliki nilai αa sedemikian rupa sehingga nilai-nilai ruas kiri persamaan (23) terletak dalam rentang –1 dan +1. Nilai-nilai αa yang menghasilkan nilai (P/αa) sin (αa) + cos(αa) berada dalam rentang antara –1 dan +1 ditunjukkan dalam Gambar 2.si untuk persamaan gelombang itu ada.

MODEL KRONIG PENNEY

Grafik (P/αa) sin (αa) + cos (αa) sebagai fungsi αa untuk

P = 3π/2.

MODEL KRONIG PENNEY

dengan mengacu pada Gambar 2 di atas kita dapat menarik 3 kesimpulan berikut: 1. Spektrum energi elektron terdiri atas pita-pita energi yang diizinkan

dan pita-pita energi yang terlarang.

2. Lebar pita energi yang diizinkan sebanding dengan nilai αa, artinya makin besar nilai αa makin besar pula lebar pita energi.

3. Lebar suatu pita energi yang diizinkan berbanding terbalik dengan nilai P, yaitu dengan energi ikat elektron. Makin besar P makin kecil lebar pita energi yang diizinkan.

Jika P ---> ∞, pita-pita energi yang diizinkan dipersempit sedemikian rupa sehingga menjadi berbentuk garis-garis dan membentuk sebuah spektrum garis. Dalam kasus seperti itu, persamaan (21) akan memiliki solusi hanya jika sin (αa) = 0 (sebab jika sin (αa) tidak sama dengan nol, persamaan (21) menjadi tak hingga, karena P ---> ∞). Jadi agar persamaan (21) memiliki solusi maka

sin (αa) = 0 αa = + nπ, ……….(22)

n = bilangan bulat

MODEL KRONIG PENNEY

dengan menggunakan persamaan (3) dan (22) energi dapat ditulis sebagai berikut:

E = α2ћ2/2m = π2ћ2n2/2ma2

.............(23)

Persamaan (23) ini menyatakan tingkat energi sebuah partikel dalam sebuah energi potensial yang tetap. Sebaliknya, jika P ---> 0, persamaan (28) menjadi:

cos (αa) = cos (ka), Atau

α = k...............(24)

Sehingga dengan menggunakan persamaan (3) dan (24) di atas, energi partikel menjadi:

..............(25)

Persamaan (25) ini menyatakan energi dari elektron bebas. Hal ini memang sesuai dengan

harapan kita bahwa jika P--->0, memang elektron menjadi bebas.

MODEL KRONIG PENNEY

Pada bab sebelumya telah dibahas tentang atom dengan satu elektron. Dalam hamiltonian kita kenal

ATOM BEELEKTRON BANYAK

energi potensial yang dimiliki elektron berasal dari inti saja. Untuk atom dengan banyak elektron, Hamiltonian itu harus dilengkapi dengan potensial antar elektron. Maka solusi persamaan Schrodinger mengandung integral-integral posisi dan volume yang pusatnya tidak pada inti atom sebagai mana dalam kasus atom hidrogen.

1. Hamiltonian dan fungsi gelombang sistem banyak elektron.

Untuk atom dengan sejumlah elektron, selain potensial yang berasal dari inti-inti, suatu elektron mengalami juga potensial dari elektron-elektron lainnya. Misalnya Hamiltonian untuk elektron ke μ adalah.

Dimana Ĥc (μ) adalah Hamiltonian elektron tunggal untuk elektron ke μ :


Diman operator diferensial hanya beroperasi pada elektron ke- μHamiltonian total bagi seluruh elektron adalah:

Faktor 1/ 2 diperlukan untuk mencegah perhitungan

dua kali pada setiap pasangan μv.

Misalkan φ(1) adalah spin-orbital elektron ke-j yang diduduki oleh elektron ke-1. Suatu spin orbital adalah produk dari orbital atom dan fungsi spin elektron yang menempati orbital atom itu, misalnya:


spin orbital ini adalah fungsi eigen dari Hamiltonian elektron tunggal ke-1, Ĥc , dengan energi eigen Ej:

Fungsi-fungsi elektron tunggal dapat dikombinasikan bersama-sama untuk membangun fungsi gelombang bagi sistem banyak elektron. Misalkan Ψ adalah fungsi gelombang tersebut, sehingga dalam persamann (2) berlaku persamaan Schrodinger:

Karena elektron-elektron bebas satu sama lain, menurut Hartree fungsi gelombang untuk sistem N-elektron dapat diungkap sebagai perkalian dari fungsi-fungsi elektron tunggal:


Dalam persamaan (4.a), setiap fungsi elektron-elektron tunggal φj mengakomodasikan elektron ke- μ=j Sebenarnya, satu elektron dan elektron lainnya tak dapat dibedakan, sehingga fungsi spin-orbital φj bisa juga mengakomodasikan elektron ke- μ≠j maka fungsinya:

John C.

SlaterFungsi gelombang untuk sistem

dua-elektron:


Fungsi gelombang dalam pers. (5a) kita buat dalam bentuk determinan:

Fungsi gelombang untuk sistem dengan N-elektron adalah:


konfigurasi elektron untuk keadaaan dasar atom helium adalah (1s)2. Dan hal ini berkaitan dengan fungsi gelombang determinan untuk konfigurasi ini yang diberikan oleh

……..(2.67)Dalam hal ini, koordinat elektron dinyatakan secara sederhana dengan nomor 1 atau 2 sebagai ganti penulisan q1 or q2 .Ψ1 dan Ψ adalah fungsi orbital dari elektron termasuk di dalamnya spin dan dibentuk dari sebuah kombinasi fungsi orbital dari koordinat spasial φ1s dan fungsi spin α atau β .

Ψ1 = φ1s ψ ……(2.68)

Ψ2 = φ1s ψ ……(2.69)

1. Keadaan dasar atom helium


Dengan menggunakan persamaan-persamaan ini dan memperluas determinan di atas, kita akan mendapatkan rumus berikut.

………(2.70) dalam rumus ini adalah simetrik terhadap permutasi elektron-elektron, sementara yang berada di dalam tanda { } bergantung pada spin dan bersifat antisimetrik terhadap permutasi dari elektron. Selanjutnya hal ini akan mengakibatkan bahwa secara keseluruhan rumus ini adalah simetrik(+1) × antisimetrik(-1) = antisimetrik(-1).


Dengan sistem dua elektron. Kita akan mendapatkan fungsi simetrik dan antisimetrik sebagai berikut.

Gambar Konfigurasi elektron untuk (1s)1(2s)1

Fungsi simetrik untuk bagian spasial diberikan oleh

…….(2.71)

Dan fungsi antisimetriknya untuk bagian spasialnya diberikan oleh

……..(2.72)

2. KEADAAN TEREKSITASI DARI SEBUAH ATOM HELIUM


Terdapat tiga fungsi simetrik untuk bagian spin sebagai berikut

………(2.73)

………(2.74)

………(2.75)

Dan fungsi spin antisimetrik diberikan oleh

……….(2.76)

Untuk fungsi spasial yang simetrik, terdapat hanya satu fungsi spin yang antisimetrik dan dengan demikian kita akan memperoleh

.....(2.77)

Keadaan tereksitasinya

yang dinyatakan dengan

persamaan ini disebut sebagai

keadaan singlet.


Untuk fungsi spasial yang antisimetrik, terdapat tiga fungsi spin yang simetrik yang akan

menghasilkan tiga buah kombinasi dari fungsi antisimetrik sebagai berikut.

……….(2.78)

……….(2.79)

………..(2.80)

Keadaan tereksitasi yang dinyatakan dengan fungsi-fungsi ini disebut sebagai keadaan triplet


Thank

you

model kronikey paney

Documents