mô hình ising trong mô phỏng vật lý

1

Mô hình Ising

2

Một số kiến thức về thống kê

3


Không gian pha

● Xét một hệ cổ điển N hạt

● Trạng thái của hệ được xác định bởi tọa độ r và xung lượng p của tất cả các hạt

● Không gian pha: 6N biến, Γ = (r,p) hoặc (q,p)

● Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo các phương trình cơ học cổ điển

qk=∂H∂ pk

, pk=−∂H∂qk

H=KV p

4

● Chuyển động của hệ theo thời gian mô tả bởi một quỹ đạo trong không gian pha Γ(t)

● Do tính tất định của các phương trình Newton, quỹ đạo này không bao giờ cắt chính nó!

● Poincare: nếu đợi đủ lâu thì hệ có thể quay trở về trạng thái ban đầu!

– Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ đối với hệ vĩ mô

5


● Đại lượng đo được A(Γ)

● Giá trị đo được bằng thực nghiệm là giá trị trung bình theo thời gian

● Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần thiết!

– ρ(Γ): mật độ xác suất trạng thái ở điều kiện vĩ mô nhất định: NVE, NVT, NPT...

Aobs=⟨A⟩time=⟨A t ⟩time=1

tobs∫0

t obs

A t dt

Aobs=⟨A⟩ens=∑

A

Tập hợp thống kê

6


● Tập hợp: bao gồm các bản sao của hệ ở nhiều trạng thái khác nhau

● ρ(Γ,t) mật độ xác suất

● Định lý Louville:

– số hệ trong tập hợp không thay đổi theo thời gian

– tập hợp chuyển động theo thời gian trong không gian pha như một chất lỏng có độ nén bằng 0!

d dt

=0

∂∂ t

=−∑i=1

N

ri ∇ ri pi

∇ pi

7


● Khi t vô cùng lớn, ta có tập hợp cân bằng:

– khi đó, ρ không phụ thuộc thời gian!

– và ta có

● Hệ ergodic: any point in phase space is accessible from any other point

● Hệ non-ergodic: some region of phase space is not accessible from outside

∂∂ t

=0

⟨A⟩time=⟨A⟩ens

8


● Trọng số & hàm phân hoạch:

– tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có các tập hợp khác nhau

– Mô phỏng Monte Carlo: cho phép tạo ra một tập hợp các trạng thái theo mật độ xác xuất ρ cho trước, khi đó

=Q−1w

Q=∑

w

⟨A⟩=Q−1∑

A w

⟨A⟩=1

K∑k=1

K

Ak

9


Tập hợp vi chính tắc

● N,V,E = constants

● Phương pháp động lực học phân tử (MD): tạo ra tập vi chính tắc (E=constant), đồng thời bảo toàn xung lượng tổng cộng

QNVE=∑

H −E

QNVE=1

N !

1

h3N∫ dr dpH r , p−E

S=k B lnQNVE entropy

10


Tập hợp chính tắc● N,V,T = constants

w (Γ)=e−H (Γ)/k BT

QNVT=∑Γe

−H (Γ)/k BT

F=−k BT lnQNVT

QNVT=1

N !

1

h3N∫ dpe

−K /k BT∫dr e−V pr /k BT

Năng lượng tự do Helmholtz

Z NVT=

QNVT=1

N ! h2/2mk BT 3N /2 Z NVE

∫dr e−V pr /k

BT

Tích phân cấu hình

11


Tập hợp đẳng nhiệt đẳng áp

● N,P,T=constants

w =e−H PV /k BT

QNPT=∑∑V

e−HPV /k BT=∑

V

e−P /k BT QNVT

G=−k BT lnQNPT

Z NPT=∫dV e−PV /kBT∫dr e−V p

r /kBT

Năng lượng tự do Gibbs

12


Tập hợp chính tắc lớn

● µ,V,T=constants

w =e−H − N /k BT

QVT=∑∑N

e−H− N /k BT=∑

N

e N /k BT QNVT

PV=k BT lnQVT phương trình trạng thái

13


Định luật đẳng phân

● Mỗi bậc tự do ứng với kích thích năng lượng kT

● Số bậc tự do =

Nc là số ràng buộc (constraint)

⟨ pk ∂H∂ pk ⟩=k BT ⟨qk ∂H∂qk ⟩=k BT

3N−N c

14


Nhiệt độ tức thì● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ

trung bình theo thời gian

● Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng thái vi mô của hệ

● Từ định luật đẳng phân ta có:

● Nhiệt độ tức thì:

⟨K ⟩=⟨∑i=1

N ∣pi∣2

2mi ⟩=3N

2k BT

T=2K

3NkB

=1

3NkB∑i=1

N ∣pi∣2

mi

15


● Trong trường hợp có Nc ràng buộc:

● Nhiệt độ trung bình:

T=2K

3N−N ck B=

1

3N−N ck B∑i=1

N ∣pi∣2

mi

T=⟨ T ⟩

16


Áp suất tức thì ● Từ trạng thái vi mô của hệ có thể tính được áp suất

tức thì

● Từ định luật đằng phân ta có:

suy ra:

● Lực tổng cộng bằng ngoại lực + nội lực:

⟨qk pk ⟩=−k BT pk= f ktot=−

∂∂qk

V p

1

3 ⟨∑i=1

N

ri⋅f itot ⟩=−N kBT

f itot=f i

extf iinternal

17


● Ngoại lực cân bằng với áp suất lên các bức tường:

● Hàm virial

● Áp suất tức thì:

1

3 ⟨∑i=1

N

ri⋅f iext ⟩=−PV

W≝1

3∑i=1

N

ri⋅f iinternal=−

1

3∑i=1

N

ri⋅∇riV p

PV=N kBT⟨W ⟩

P= k B TW

V= Pideal gas Pex

P= k BTW

V=⟨ Pideal gas⟩ Pexhoặc

18


● Tương tác cặp

W=1

3∑i

∑i j

ri⋅f ij=−1

3∑i

∑i j

ri⋅∇ rijv rij

V p=∑i j

v rij

W=−1

3∑i

∑i j

w rij

w r =rdv r dr

hàm virial cho tương tác cặp

19


Nhiệt dung riêng

● N,V,T=constants

● N,P,T=constants

E=⟨H ⟩

⟨ E 2⟩=⟨H 2⟩−⟨H ⟩2

Cv=⟨H 2⟩−⟨H ⟩2

k BT2

C p=⟨H 2⟩−⟨H ⟩2

k BT2

Mô hình Ising

• Mô hình Ising là gì? Vì sao nó quan trọng?

• Mô hình Ising là mô hình toán học được đặt theo tên của nhà Vật lý Ernst Ising (Người Đức).

• Mô hình Ising là mô hình dùng để mô tả hiện tượng chuyển pha sắt từ mà chỉ sử dụng các spin-up và down

Mô hình Ising• Ising đã giải bài toán 1D năm 1924 trong luận

văn Tiến sĩ của mình (thuần tuý Toán). Trường hợp mạng vuông 2D có thể giải chính xác được bằng giải tích (Onsager, 1944)

• Đến nay, bài toán về mô hình Ising được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực: vật lý, sinh học (liên quan đến từ) đến các vấn đề xã hội (mô hình đơn giản 2 lựa chọn)

• Mô hình Ising là mô hình chuẩn để thử xem một thuật toán trong khuôn khổ áp dụng của mô hình có hiệu quả không

Sắt từCác domain từ sắp xếp thẳng hàng theo một hướngThông thường, các domain khôngsắp xếp thẳng hàng theo một hướng

Tuy nhiên, các domain có thể được ép

Tại nhiệt độ thấp thì cấu hình ổn định là cấu hình với tất cả spinđều hướng lên hoặc hướng xuống (2 cấu hình)

Nhiệt độ Curie (nhiệt độ tại đó toàn bộ tính sắt từ biến mất). Với sắt là 1043 K

Điểm tới hạn: là điểm xảy ra sự chuyển pha (loại II)

Giản đồ pha

Nhiệt độ thấp Nhiệt độ cao

Mô hình

Universality Class – là một lớp của các hệ Vật lý có chung một tính chất động mà không phụ thuộc vào các tính chất động lực của hệ. Ví dụ: hệ hợp kim 2 chất, hệ 2 chất lỏng trộn lẫn, hay hệ siêu chảy của Helium trong 3 chiều đều thuộc vào một lớp

Mô hình Ising chỉ sử dụng các vector UP và DOWN nhưng lại mô tả được rất nhiều pha khác nhau của vật chất

- Hợp kim 2 chất - Trộn 2 chất lỏng - Chất lỏng và khí trộn lẫn

- Siêu chảy của Helium- Hiện tượng siêu dẫn trong kim loại

Mô hình IsingGiải tích

Ising – 1924

Onsager – 1944

Giải số, ví dụ pp Monte Carlo

Nhiệt độ cao

2-D

3-D

Nhiệt độ thấp

1-D

26

Mô hình Ising

E=−J∑⟨ ij ⟩

si s jH∑i=1

N

si

các cặp lân cận gần nhất

J - năng lượng tương tác trao đổiJ > 0 - sắt từ (ferromagnet)J < 0 - phản sắt từ (anti-ferromagnet)

s=±1

M=∑i=1

N

si

Độ cảm từ (susceptibility)

m=1

N∑i=1

N

si

C H=⟨E2⟩−⟨E ⟩2

k BT2

χT=⟨M 2⟩−⟨M ⟩2

k BT

Hệ spin trên mạng Ernst Ising (1924)

Độ từ hóa (magnetization)

Đôi khi sử dụng B thay vì H

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

The partition function is given by

Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)

One Dimensional Ising Model and Transfer MatricesLet us consider the one-dimensional Ising model where N spins are on a chain. We

will impose periodic boundary conditions so the spins are on a ring. Each spin onlyinteracts with its neighbors on either side and with the external magnetic field B. Thenwe can write

EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)

The periodic boundary condition means that

SN+1 = S1 (5)

The partition function is

Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)

Kramers and Wannier (Phys. Rev. 60, 252 (1941)) showed that the partition functioncan be expressed in terms of matrices:

Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)

This is a product of 2 " 2 matrices. To see this, let the matrix P be defined such thatits matrix elements are given by

#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)

where S and S " may independently take on the values ±1. Here is a list of all the matrixelements:

#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)

Thus an explicit representation for P is

P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2

• Giả sử có chuỗi 1 chiều gồm N spin với điều kiện biên tuần hoàn. Mỗi spin tương tác với lân cận gần nhất và chịu tác động của trường ngoài B. Ta có thể viết năng lượng tương tác như sau:

• Với điều kiện biên tuần hoàn



Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2

• Hàm phân hoạch (partition function)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2

• Hàm phân hoạch có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

• Đây là tích của các ma trận 2x2



Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2

• Thực vậy, ta định nghĩa ma trận P như sau:

• Với S và S’ độc lập nhận các giá trị +/- 1. Ta có các phần tử ma trận như sau:

Giải tích mô hình Ising 1 chiều • Biểu thức cho ma trận P sẽ được viết là


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

e!!EI{Si} (3)



EI{Si} = !JN!

i=1

SiSi+1 ! BN!

i=1

Si (4)


SN+1 = S1 (5)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

(JSiSi+1 + BSi)

#

(6)


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

exp

"

!N!

i=1

$JSiSi+1 +

1

2B (Si + Si+1)

%#

(7)


#S|P |S "$ = exp&!

'JSS " +

1

2B(S + S ")

()(8)


#+1|P | + 1$ = exp [!(J + B)]

#!1|P |! 1$ = exp [!(J ! B)]

#+1|P |! 1$ = #+1|P |! 1$ = exp[!!J ] (9)


P =

*e!(J+B) e!!J

e!!J e!(J!B)

+

(10)

2

Giải tích mô hình Ising 1 chiều With these definitions, we can write the partition function in the form

Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)

where !+ and !! are the two eigenvalues of P with !+ # !!. The fact that Z is thetrace of the Nth power of a matrix is a consequence of the periodic boundary conditionEq. (5). The eigenvalue equation is

det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)

Solving this quadratic equation for ! gives

!± = e!J#cosh("B) ±

$cosh2("B) $ 2e!2!J sinh(2"J)

%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)

Now back to the general case with B %= 0. Notice that !!/!+ & 1 where equality is inthe case of J = B = 0. In the thermodynamic limit (N ' (), only the larger eigenvalue!+ is relevant. To see this, we use (!!/!+) < 1 and write the Helmholtz free energy perspin:

$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)

So the Helmholtz free energy per spin is

F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+

= $J $ kBT ln#cosh("B) +


%(17)

3

• Biểu thức của hàm phân hoạch sẽ là:

With these definitions, we can write the partition function in the form

Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

và


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

là hai trị riêng của P với



Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

• Phương trình trị riêng

• Thực vậy, hàm Z với vết bậc N của ma trận là hệ quả của điều kiện biên tuần hoàn



Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

• Giải phương trình trị riêng ta có

• Khi B = 0 ta có


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

• Khi J = B = 0 thì dấu bằng của bđt sau xảy ra:

Giải tích mô hình Ising 1 chiều • Trong giới hạn động lực học, chỉ có trị riêng

lớn hơn liên quan. Ta có thể viết lại năng lượng tự do như sau:


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3



Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3


Z =+1!

s1=!1

+1!

s2=!1

...+1!

sN=!1

!S1|P |S2"!S2|P |S3"...!SN |P |S1"

=+1!

s1=!1

!S1|PN |S1"

= TrPN

= !N+ + !N

! (11)


det

"""""e!(J+B) $ ! e!!J

e!!J e!(J!B) $ !

""""" = !2 $ 2!e!J cosh("B) + 2 sinh(2"J) = 0 (12)


!± = e!J#cosh("B) ±


%(13)

When B = 0,

!+ = 2 cosh("J) (14)

!! = 2 sinh("J) (15)


$ F

NkBT= lim

N"#

1

Nln Z

= limN"#

1

Nln

&'

(!N+

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

/0

1

= ln !+ + limN"#

1

Nln

)

*1 +

+!!

!+

,N-

.

= ln !+ (16)


F

N= $kBT

Nln Z = $kBT ln !+



%(17)

3

Giải tích mô hình Ising 1 chiều The magnetization per spin is

m =M

N

=1

!N

" ln Z

"B

= ! 1

N

"F

"B

=sinh(!B)

!cosh2(!B) ! 2e!2!J sinh(2!J)]

(18)

At zero field (B = 0), the magnetization is zero for all temperatures. This means thatthere is no spontaneous magnetization and the one-dimensional Ising model never exhibitsferromagnetism. The reason is that at any temperature the average configuration isdetermined by two opposite and competing tendencies: The tendency towards a completealignment of spins to minimize the energy, and the tendency towards randomization tomaximize the entropy. The over-all tendency is to minimize the free energy F = E!TS.For the one-dimensional model the tendency for alignment always loses out, becausethere are not enough nearest neigbors. However, in higher dimensions, there are enoughnearest neighbors and a ferromagnetic transition can occur.

The method of transfer matrices can be generalized to two and higher dimensions,though the matrices become much larger. For example, in two dimensions on an m " msquare lattice, the matrices are 2m " 2m. In 1944, Onsager solved the two dimensionalIsing model exactly for the zero field case, and found a finite temperature ferromagneticphase transition. This is famous and is known as the Onsager solution of the 2D Isingmodel. No one has found an exact solution for the three dimensional Ising model.

Applications of the Ising ModelThe Ising model can be mapped into a number of other models. Two of the better

known applications are the lattice gas and the binary alloy.Lattice Gas

The term lattice gas was first coined by Yang and Lee in 1952, though the interpreta-tion of the model as a gas was known earlier. A lattice gas is defined as follows. Considera lattice of V sites (V = volume) and a collection of N particles, where N < V . Theparticles are placed on the vertices of the lattice such that not more than one particlecan occupy a given site, and only particles on nearest-neighbor lattice sites interact. Theinteraciton potential between two lattice sites i and j is given by V (|#ri ! #rj|) with

V (r) =

"#$

#%

# (r = 0)!$o (r = a)0 otherwise

(19)

where a is the lattice spacing. The occupation ni of a lattice site i is given by

ni =

&1 if site i is occupied0 if site i is unoccupied

(20)

4

• Từ độ:

37

● Mô hình Ising trong 1D không có chuyển pha (Tc=0)

● Trong 2D và 3D, xảy ra chuyển pha loại 2 tại nhiệt độ Tc

– T < Tc: xảy hiện tượng cảm ứng từ tự phát, hệ nằm ở pha sắt từ (ferromagnetic phase)

– T > Tc: pha thuận từ (paramagnetic phase)

H=0

CH →∞χT →∞

T →T c

Tham khảo: Yeomans JM, Statistical Mechanics of Phase Transition, Oxford University Press, 1992.

38

Nhiệt dung riêng Độ nén đẳng nhiệt(isothermal compressibility)

Q (T ,V )=∑Γe

−βE (Γ)

F=−k BT lnQ

κT=−1

V ( ∂V∂ P )T

U=−∂ lnQ

∂βP=−(∂ F∂V )

T

CV=(∂U∂T )V

Vật lý thống kê cho hệ khí lỏng

S=−(∂ F∂T )V

CV , P=T ( ∂ S∂T )V ,P

Áp suấtEntropyNội năng

dU=T dS−P dVĐịnh luật 1

39

Nhiệt dung riêng Độ cảm từ đẳng nhiệt(isothermal susceptibility)

Q T , H =∑

e− E

F=−k BT lnQ

χT=(∂M∂H )T

U=−∂ lnQ

∂βM=−( ∂ F

∂H )T

CH=∂U∂T H

Vật lý thống kê cho hệ từ

S=−(∂ F∂T )H

CM , H=T ( ∂ S∂T )M ,H

Độ từ hóaEntropyNội năng

dU=T dS+M dHĐịnh luật 1

40

Chuyển pha

● Khi xuất hiện kì dị trong các đại lượng nhiệt động

● Liên quan tới các điểm 0 của hàm phân hoạch ở giới hạn nhiệt động

● Thường liên quan tới thay đổi đối xứng của hệ (symmetry breaking)

● Phân loại chuyển pha:

– Chuyển pha loại 1: đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do bị gián đoạn.

– Chuyển pha loại 2: đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do liên tục, đạo hàm bậc cao hơn bị gián đoạn hoặc tiến tới vô cùng.

41

Lý thuyết chuyển pha Landau

F=F0+a

2m

2+a4m

4

a2>0 a

2=0

a2<0 a

2<0

a2=NJz

2(1−β J z)

42

● Hàm tương quan spin-spin

– Tại nhiệt độ Tc, độ dài tương quan bằng vô cùng:

r i ,r j=⟨si−⟨ si ⟩s j−⟨ s j ⟩⟩

Γ( r i− r j)=⟨ si s j ⟩−⟨ s ⟩2

Γ(r)∼r−τe−r / ξ

Độ dài tương quan (correlation length)

Γ(r)∼1

rd−2+η

r=∣r i− r j∣

43

Tại T=Tc tồn tại các cụm spin ở mọi kích cỡ!!Độ dài tương quan bằng vô cùng.

44

● Xảy ra gần nhiệt độ tới hạn Tc

● Mang tính phổ quát (universality):

– các chất khác nhau có tính chất như nhau tại Tc, ví dụ hệ khí lỏng và hệ sắt từ mô tả bởi mô hình Ising

– không phụ thuộc vào đặc tính vi mô của hệ

– phụ thuộc mạnh vào số chiều

● Các chỉ số tới hạn (critical exponents):

Các hiện tượng tới hạn

t=(T−T c)/T c

CH∼∣t∣−α

M∼(−t )β

χT∼∣t∣−γ

ξ∼∣t∣−ν

Γ(r)∼1

rd−2+η

nhiệt độ rút gọn

48

Mô hình Ising 2 chiều

● Onsager (1944) cho lời giải giải tích chính xác:

● Nhiệt độ tới hạn:

● Các chỉ số tới hạn:

T c≈2.269

γ=7 /4α=0

β=1 /8 η=1 /4

ν=1

Chúc các em hoàn thành bài tập nhóm tốt!

mô hình ising trong mô phỏng vật lý

Documents