mémoire d'actuariat- promotion 2014 analyse du capital ... · le contexte : l'équipe...

UNIVERSITÉ PARIS-DAUPHINEPlace du Maréchal de Lattre de Tassigny - 75016 Paris, FRANCE

ÉCOLE INTERNATIONALE DES SCIENCES ET DU TRAITEMENT DEL'INFORMATION

Avenue du Parc - 95000 Cergy-Pontoise, FRANCE

Mémoire d'Actuariat- Promotion 2014

Analyse du capital requis en Solvabilité II

pour un portefeuille Variable Annuities :

insu�sance de la formule standard et approche d'un

modèle interne

Responsable pédagogique:Mme. Bénédicte HAAS

Responsable d'entreprise: Candidat:Mme. Katja RETTIG Mme. Wassila BOUZIANE

ANNÉE ACADÉMIQUE 2013-2014

Axa Life-Invest, le September 20, 2015

Mémoire Actuariat-Promotion 2014

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Résumé

Sous la contrainte des évolutions démographiques et du désengagement progressif del'Etat, le système de retraite est aujourd'hui devenu une préoccupation majeure. Dansl'attente de mesures concrètes du gouvernement, bon nombre de personnes s'inquiètede voir le niveau des retraites divisé par deux à l'horizon 2040 [Conseil d'orientation desretraites (COR)]. Outre les classiques contrats d'assurance vie, les variable annuitiessemblent être une alternative attractive en matière d'épargne retraite. Ces produitshybrides ont été spécialement conçus outre Atlantique pour attirer les futurs retraitésen leur assurant un capital retraite et certaines garanties, tout en béné�ciant des mou-vements favorables des marchés �nanciers.

Ce produit, à la frontière entre la �nance et l'assurance, souvent décrit comme rentableet risqué, doit cependant répondre aux exigences de solvabilité fondées sur les directivesde Solvabilité II. Cette nouvelle règlementation requiert l'évaluation d'une exigence defonds propres ou SCR (Solvency Capital Requirement) tenant compte de tous les risquesencourus par l'assureur. Cette évaluation peut être réalisée par le biais de la formulestandard ou par un modèle interne propre à la compagnie. L'approche de la formulestandard étant jugée trop simpliste pour modéliser avec précision les risques inhérentsà ces garanties, le passage à un modèle interne semble inéluctable pour chaque assureur.

Ce mémoire a pour objectif de proposer un ensemble de solutions dans le but de constru-ire un modèle interne adapté au pro�l de risques d'un portefeuille de variable annuities.

Mots clés :

Solvabilité II, variable annuities, SCR, capital de solvabilité, formule standard, re-verse stress test, modèle interne, couverture dynamique, couverture statique résultatéconomique, sensibilité gamma, QQ-plot

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Abstract

Because of demographic evolutions retirement systems have become a major concernin many countries. While waiting for the government to take concrete measures, peopleworry about having their pension divided by two in 2040. Apart from classical lifeinsurance contracts, variable annuities seem to be a solid alternative for pension sav-ings scheme. These hybrid products have been specially designed across the Atlantic toattract future pensioners: they have a guaranteed capital for their retirement and theadvantages of the capital market's movements.

The product, on the borderline between �nance and insurance, often described as prof-itable and risky, must satisfy some requirements of solvency based on Solvency II direc-tives. That new rule requires the evaluation of a capital requirement (Solvency CapitalRequirement) considering all the risks taken by the insurer. That estimation can berealized by a standard formula or a company's intern model. As the standard formulais considered too simple to simulate with accuracy the VA's risks, each insurer will haveto elaborate an intern model.

This report will demonstrate solutions in order to build an internal model adapted tothe risk pro�le of a portfolio variable annuities.

Keywords :

Solvency II, variable annuities, SCR, solvency requirement capital, standard formula,reverse stress test, internal model, dynamic hedging, static hedging, PnL, gamma, QQ-plot

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Synthèse

En France, le constat est alarmant : sous l'e�et du vieillissement de la populationet du départ en retraite des baby-boomers, le dé�cit annuel des régimes de retraitesatteindrait 50 milliards d'euros d'ici 2020 et pourrait même dépasser les 100 milliardsen 2050 [Conseil d'orientation des retraites, (CRO)], d'où la nécessité de réformes pro-fondes.

Selon une étude de l'Insee, la France pourrait compter 200 000 centenaires en 2060,soit treize fois plus qu'aujourd'hui. Si les conditions d'espérance de vie sont meilleuresque prévues, ils pourraient être 380 000. Le système de retraite par répartition actuelétant en péril, le marché de l'assurance se doit de proposer des produits d'assuranceinnovants a�n de fournir aux assurés des prestations en adéquation avec leurs besoins.

L'assurance vie est aujourd'hui le placement préféré des français : elle a pour voca-tion de garantir le versement d'une certaine somme d'argent (capital ou rente) lorsquesurvient un évènement lié à l'assuré (décès ou survie).

Parmi les di�érents types de contrat d'assurance vie, il y a les contrats en unité decompte : l'assureur détient pour le compte de l'assuré un certain nombre de part d'actifs.Le rendement des contrats en unités de compte dépend directement de l'évolution desmarchés �nanciers. Si les gains ne sont pas garantis, les perspectives de valorisationsont supérieures à celle des contrats en euros.

Dans ce contexte, les variable annuities semblent être une alternative attractive enmatière de retraite. Ces produits en unité de compte o�rent une gestion de l'épargneen s'appuyant sur les performances du marché et permettent également aux assurés desélectionner des garanties plus ou moins fortes (donc plus ou moins coûteuses). C'estdans cette catégorie que se placent les GMxB, à savoir les Guaranteed Minimum XBene�t, dont le nom à lui seul su�t à montrer l'adaptabilité du produit face à desdemandes diverses et variées.

Du point de vue de l'assuré, un contrat de type variable annuities est très séduisantpuisqu'il permet de pro�ter de la performance des marchés �nanciers tout en s'assurantcontre les situations défavorables. En revanche du point de vue de l'assureur, ces con-trats d'assurance vie présentent un risque �nancier élevé. La garantie complémentaireconstitue ainsi un engagement de l'assureur vis-à-vis de l'assuré et doit à ce titre fairel'objet d'une provision.

Le projet Solvabilité II vise à harmoniser di�érentes méthodes de calcul des exigencesde solvabilité. Il requiert le calcul d'un capital requis destiné à assurer la solvabilité descompagnies à horizon un an avec une probabilité 99.5% : le solvency capital requirement(SCR). Pour déterminer le niveau de SCR, l'EIOPA a publié une formule standard qui

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vient agréger les SCR des di�érents modules de risques en un unique montant de fondspropres requis. Cette formule, qui a l'avantage d'être simple et robuste, fait cependantdes hypothèses implicites sur les risques (absence d'e�ets croisés, formule fermée).

Par ailleurs, en raison de son manque de souplesse et de sa structure rigide, la for-mule standard n'est pas recommandée pour certains types de produits : c'est le casdes produits variable annuites. En novembre 2010, l'EIOPA publie le consultationpaper n°83 en conseillant les assureurs de variable annuities d'estimer leur capital desolvabilité à l'aide d'un modèle interne.

Notre étude s'inscrit directement dans cette démarche d'analyse du risque porté parl'assureur. Nous nous sommes plus spéci�quement intéressés au calcul du capital desolvabilité et à la couverture dynamique d'un portefeuille de variable annuites.

Dans l'optique d'une bonne gestion des risques, la première partie du mémoire présentele contexte : l'équipe RiskManagement, la culture du risque, le référentiel COSO etl'ORSA sont les sujets traités dans cette section.

Au cours du deuxième chapitre, une étude détaillée sur les contrats variable annu-ities sera faite en expliquant tous les mécanismes de ces produits complexes. Noussupposerons que le lecteur est complètement étranger à leur fonctionnement. Nousprésenterons les di�érents types de variable annuities, les mécanismes de valorisation,les di�érentes phases du contrat ainsi que toutes les grandeurs nécessaires à la tar-i�cation et au provisionnement d'un tel produit. Nous établirons par la suite uneanalogie de ces contrats avec les produits dérivés, ce qui nous permettra par suite dejusti�er l'emploi d'une couverture �nancière. En�n, une simulation sur une garantieGMIB/GMDB sera détaillée.

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Scénario d'évolution de l'épargne d'un client possédant une garantie GMIB/GMDB

Montant de la Benefit Base DB Montant des Annuities Montant total des revenus

Montant de l'épargne Account Value AV- Garantie cliquet annuel Garantie roll up

Figure 1: Simulation d'une garantie GMIB/GMDB

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L'approche de la formule standard sera ensuite traitée dans la troisième partie. Nousparcourons la méthodologie générale de la formule standard. Le calcul des risques desmodules vie et marché seront ensuite expliqués. Des limites de la formule standard(agrégation à plusieurs niveaux) dans le cadre général seront ensuite démontrées. Nous�naliserons cette partie par le calcul du capital de solvabilité requis par le biais de laformule standard d'un portefeuille variable annuities. Une analyse de ce pro�l de risquemontrera la vision erronée que donne la règlementation face aux contrats d'assurancevie avec garantie.Dans la dernière partie, nous nous intéresserons à la couverture dynamique d'un

portefeuille de variable annuities. Nous commencerons par démontrer l'intérêt majeurde la mise en place d'une couverture �nancière, puis nous illustrerons l'e�cacité d'unecouverture dynamique face à la couverture statique préconisée par la formule standard.

Dans la suite de l'exposé, nous nous intéresserons au modèle interne utilisé par la com-pagnie. Nous exploiterons son mécanisme, nous montrerons ses faiblesses et nous nousinterrogerons sur l'élaboration de nouvelles méthodes visant à améliorer la précision dece modèle.

Considérer comme étant le terme sur lequel repose le résultat économique de la com-pagnie (le modèle interne couvre seulement le 1er ordre), nous avons choisi de centrernotre étude sur la couverture dynamique du 2ndordre. Limité par l'incapacité de notreGSE à nous fournir les termes adéquats, nous tenterons de trouver une estimation cor-recte du PnL propre à la sensibilité Gamma. Nous commencerons par établir un travailde recherche a�n de trouver une approximation appropriée. Nous décrirons ensuite lesdi�érentes étapes qui nous ont permis d'élaborer une bonne estimation du PnL tellesque les simulations avec un pas de temps hebdomadaire sur un horizon un an, la con-struction de la courbe du Gamma à l'aide de la distribution de Cauchy. L'ensemble deces simulations utilisent le langage Matlab.

Figure 2: Simulation d'un scénario avec un pas de temps hebdomadaire

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En�n, les résultats seront analysés à l'aide de la méthode du QQ-plot.

Figure 3: Analyse des résultats du PnL propre à la sensibilité Gamma

En conclusion, les travaux du mémoire peuvent être scindés en deux parties :

� La première partie est l'application de la formule standard dans le calcul du capitalde solvabilité d'un portefeuille de variable annuities. L'objectif est de mettre enavant les lacunes de la règlementation face aux produits innovants.

� La seconde partie est un travail de recherche visant à améliorer un modèle déjàexistant. Il s'agit d'améliorer le modèle interne actuel a�n qu'il puisse garantir àl'assureur un bon pro�l de risque.

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Executive Summary

In France, the situation is alarming : under the e�ect of population aging and theretirement of baby boomers, the annual de�cit of the pension plans would reach 50billion euros by 2020 and could even exceed 100 billion in 2040 [Conseil d'orientationdes retraites, (CRO)], hence the need for deep reforms.

According to a study by INSEE, France could count 200,000 centenarians in 2060, iethirteen times more than today . If life expectancy conditions are better than expected, they could be 380 000. The current PAYG system, theinsurance market must o�er in-novative insurance products to provide policyholders adequate bene�ts with their needs.

Life insurance is now the preferred placement of the French population: it aims toguarantee the payment of a certain sum of money (capital or annuity / pension) whenarises an event connected to the insurant (death or survival).

Among the various types of life insurance policy, there are contracts in unit of account: the insurer holds on behalf of the insured a number of part of assets. The e�ciencyon contracts in units of account depends directly on the evolution of �nancial markets.If the gains are not guaranteed, the perspectives of valuation are superior to contractsin euros.

In this context, variable annuities seem to be an attractive alternative regarding retire-ment. These products in unit of account o�er a management of the savings resting onthe performances of the market These products in unit of account o�er a managementof the savings based on the performances of the market and also allow the insured toselect more or less strong guarantees (thus more or less expensive). It is in this categorythat takes place the GMxB, worth knowing, Guaranteed Minimum X Bene�t, whosename alone is enough to show the adaptability of the product in the face of diverse andvaried requests.

From the point of view of the insured, a variable annuity contract type is very attrac-tive because it allows to take advantage of the performance of �nancial markets whileensuring against the unfavourable situations. On the other hand from the point of viewof the insurer, these life insurance policies present a high �nancial risk. The additionalguarantee constitutes a commitment of the insurer towards the insurant and has to bethe object of a reserve.

Solvency II aims to harmonize various methods of calculation of the requirements ofsolvency. It requires the calculation of a required capital intended to insure the solvencyof the companies horizon one year with a probability of 99.5 %: the major solvencyrequirement (SCR). To determine the level of SCR, the EIOPA published a standardformula, which comes to aggregate the SCR of the various modules of risks in a unique

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amount of required stockholders' equity. This formula, which has the advantage tobe simple and strong, makes however implicit assumptions on the risks (lack of crosse�ects, closed formula).

Besides, because of its lack of �exibility and its sti� structure, the standard formulais not recommended for certain types of products: it is the case of variable annuitiesproducts. In November 2010, the EIOPA publishes the consultation paper n°83 advisingthe insurers of variable annuities to estimate their solvency capital, by using an internalmodel .Our study joins directly this approach of the risk analysis taken by the insurer. We

are speci�cally interested in the calculation of the solvency capital and the dynamichedging of variable annuities portfolio. From the perspective of a good risk manage-ment, the �rst part of the thesis presents the background: the RiskManagement team,the culture of the risk, the reference table COSO and the ORSA are the subjects stud-ied in this section.

In the second chapter, a detailed study on the variable annuity contracts will be madeby explaining all the mechanisms of these complex products. We shall suppose that thereader has no knowledge about their functioning. We will present the di�erent typesof variable annuities, valuation mechanisms, the di�erent phases of the contract andall quantities required for the pricing and provisioning this kind of product. We willestablish afterward an analogy of these contracts with derivatives products, what willallow us to justify the use of a �nancial cover. Finally, a simulation on a guaranteeGMIB / GMDB will be detailed.

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Figure 4: Guaranteed GMIB/GMDB

The approach of the standard formula will be treated in the third part. We will under-line the general methodology of the standard formula. The calculation of the modules

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risks life and market will then be explained. Limits of the standard formula (aggrega-tion at several levels) in the general framework will be demonstrated.We will �nalizethis part with the calculation of solvency capital required through the standard formulaof a variable annuity portfolio. An analysis of this risk pro�le will show the erroneousvision which give the regulations in front of the life insurance policies with guarantee.

In the last part, we will focus on dynamic hedging of variable annuity portfolio. Wewill begin by demonstrating the major interest of the implementation of a �nancialcover, then we shall illustrate the e�ciency of a dynamic cover against the static coverrecommended by the standard formula. In the following research, we will focus on dy-namic hedging used by our entity .

We will exploit its mechanism and we will interrogate ourselves about the elaborationof new methods to improve the precision of this model. As the current model hedgesthe 1st order, we chose to center our study on the dynamic cover of the 2nd order.Limited by the incapacity of our GSE to provide us with adequate terms. We shall tryto �nd an estimation of the PnL appropriate to the sensibility Gamma.

We will begin by establishing work research to �nd an appropriate approximation. Wewill use heavy hypotheses. Then we will describe you the various stages that allowedus to develop a good estimation of the PnL, such as the weekly simulations time ona horizon one the year, the construction of the Gamma curve thanks to the Cauchydistribution.

Figure 5: Weekly real world scenarios

Finally, the results will be analysed using the QQ-plot method.

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Figure 6: QQ-plot approch

In conclusion, the works of the report can be divided into two parts:

� The �rst part is the application of the standard formula in calculating the solvencycapital of a variable annuity portfolio. The objective is to highlight the gaps ofthe regulations in front of innovative products.

� The second part is a research project aimed to improve an already existing model.It is a question of improving its internal model to guarantee the insurer a goodrisk pro�le.

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Remerciement

Je tiens tout d'abord à remercier chaque membre de l'équipe Risk Management :

- Katja RETTIG, actuaire et tutrice de mon mémoire, pour sa disponibilité, son aide,ses conseils rigoureux et pertinents, son investissement, son implication, son soutien

régulier, son sens critique ainsi pour tout ce qu'elle m'a appris.

- Loubna FARID, �nancial risk manager, pour sa disponibilité, son encadrement, sesencouragements et son aide en matière de �nance.

- Xavier PASTOR, Chief Risk O�cer du département Risk Management, pour sesremarques subtiles, pour avoir su me guider dans la rédaction de mon mémoire mais

aussi dans mes choix professionnels

-Andéa MOLENT, stagiaire, pour avoir partagé cette expérience à mes côtés, son aideen matière de logiciels, ses bonnes idées et sa bonne humeur.

Je n'oublie pas les membres de l'équipe Risk Management de Dublin : Mary SHEEDY,Kate KINGSTON, Hao WU, Paul CAMPBELL, David MAGNO ainsi que Stephen

LEE .

Ce fut un réel plaisir de travailler dans cette équipe. J'y ai énormément appris que cesoit sur le plan des connaissances actuarielles ou au niveau professionnel.

Je tiens également à remercier l'ensemble des membres de la société Axa Life-Investpour leur accueil, leur esprit convivial, pour leur sympathie et leur précieuse aide. Ils

m'ont soutenue et accompagnée tout au long de ces six mois.

J'adresse également mes remerciements à Madame Bénédicte HAAS, ma tutrice demémoire, pour sa disponibilité, ses conseils avisés et son soutien.

Mes remerciements s'adressent en�n à l'école d'ingénieurs EISTI pour m'avoir permisde suivre ce double cursus, et tout particulièrement au directeur général Nezim FINTZ.En�n, je remercie l'ensemble des professeurs du Master Actuariat de l'UniversitéParis-Dauphine pour m'avoir permise de suivre cette formation de qualité en un an.

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Contents

Introduction 17

1 L'équipe Risk Management 211.1 Le risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 L'approche Enterprise Risk Management (ERM) . . . . . . . . . . . . 221.3 Le Risk Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 L'ORSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Les produits variable annuities 292.1 Les produits variable annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Un contrat d'assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Un contrat en Unité de Compte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Dé�nition générale des produits variable annuities . . . . . . . . 30

2.2 Quelques notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Revalorisation de la bene�t base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Les di�érentes garanties des produits GMxB . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Analogie Variable annuity et option de vente . . . . . . . . . . . 352.4.2 GMAB : Guaranteed Minimum Accumulation Bene�t . . . . . . 352.4.3 GMDB : Guaranteed Minimum Death Bene�t . . . . . . . . . . 362.4.4 GMIB : Guaranteed Minimum Income Bene�t . . . . . . . . . . 362.4.5 GMWB : Guaranteed Minimum Withdrawal Bene�t . . . . . . . 37

2.5 Modélisation d'une garantie GMIB/GMDB . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1 Hypothèses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Le modèle règlementaire sous Solvabilité II 453.1 Les principes de la formule standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1 De Solvabilité I à Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 Le bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.3 Le Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.4 Le Risk Margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.5 La formule standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Le module risque vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Le risque de mortalité (mortality risk) . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Le risque de longévité (longevity risk ) . . . . . . . . . . . . . . 563.2.3 Le risque de dépenses (expense risk) . . . . . . . . . . . . . . . 57

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3.2.4 Le risque de rachats (lapse risk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.5 Le risque catastrophe (cat risk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Le module risque marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.1 Le risque de taux d'intérêt (interest rate) . . . . . . . . . . . . . 593.3.2 Le risque actions (equity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.3 Le risque immobilier (property) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.4 Le risque de signature (spread) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.5 Le risque de change (currency risk) . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.6 Le risque de concentration (Concentration Risk) . . . . . . . . . 643.3.7 Le risque de prime d'illiquidité (Illiquidity Risk) . . . . . . . . . 65

3.4 Problème d'agrégation à plusieurs niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Evaluation du capital requis de solvabilité par la formule standard . . . 68

3.5.1 Composition du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.2 Hypothèse de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.3 Modélisation de l'actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.4 Analyse du capital requis SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Modélisation d'une couverture dynamique 774.1 Préambule sur la méthodologie du modèle interne . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1 Les sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.2 Généralités sur le Pro�t and Loss (PnL) . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Principes d'une stratégie de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.1 Utilité d'une couverture �nancière . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.2 Di�érentes techniques de couvertures �nancières . . . . . . . . . 824.2.3 Illustration de la couverture dynamique et de la couverture statique 83

4.3 La couverture dynamique des variable annuities . . . . . . . . . . . . . 874.4 Couverture en gamma neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 L'exposition de la couverture du second ordre . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5.1 Hypothèses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5.2 Problématique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.3 Di�érentes approches du PnL Gamma . . . . . . . . . . . . . . 914.5.4 Simulation du PnL Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.5 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Conclusion 99

Annexes 105

Annexes 1 : Modélisation d'un contrat variable annuities par l'analogiedes produits dérivés 105

Annexes 2 : Données de la modélisation de la garantie GMIB/GMDB 107

Annexes 3 : Courbe de chocs utilisées dans l'approche de la formulestandard 108

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Annexes 4 : Etude de la dépendance des sous-modules de risques 109

Annexes 5 : Simulation de la courbe du Gamma 114

Annexes 6 : Simulation Matlab 115

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Introduction

L'entrée en vigueur de la norme Solvabilité II modi�e en profondeur le domained'assurance à l'échelle européenne. Les sociétés d'assurance, les mutuelles et les insti-tutions de prévoyance entrent dans une période déterminante pour la mise en placedes directives. Au vu des critiques et insu�sances soulevées à l'encontre de SolvabilitéI, le futur régime prudentiel s'est vu assigner des objectifs ambitieux : harmonisationet soutien du marché européen en garantissant la solvabilité des assureurs, c'est-à-direleur aptitude à faire face à leurs engagements envers les assurés. La norme SolvabilitéII prévoit alors un arsenal important de dispositifs de contrôle.

En première ligne de contrôle se trouve la marge de solvabilité avec l'instauration d'uncapital de solvabilité requis, plus communément appelé le SCR (Solvency Capital Re-quirement). Ce niveau de solvabilité correspond à un capital cible qu'une compagnied'assurance doit détenir a�n d'honorer l'intégralité de ses engagements auprès de cesassurés en cas de liquidation totale.

Deux approches sont envisageables pour le calcul de ce capital : l'application de laformule standard, reposant sur l'agrégation de besoin en capitaux élémentaires à partirde matrice de corrélation, ou le recours à un modèle interne, mieux adapté au pro�l derisque de la compagnie.

En e�et, l'article 119 de la directive Solvabilité II [EIOPA] énonce que

�Lorsqu'il n'est pas approprié de calculer le capital de solvabilité requis en applicationde la formule standard, [...],parce que le pro�l de risque de l'entreprise d'assurance oude réassurance concernée s'écarte signi�cativement des hypothèses qui sous-entendentle calcul selon la formule standard, les autorités de contrôle peuvent, [...], exiger àl'entreprise concernée qu'elle utilise un modèle interne pour calculer son capital de

solvabilité requis où les modules de risques sont plus pertinents.�

Un vaste débat s'installe alors. Formule standard ou modèle interne ?

Jugée trop simpliste et inapte à la capture du pro�l de risque, la formule standard seretrouve souvent insu�sante face à l'arrivée outre Atlantique de produits d'assurancevie innovants tels que les variable annuities. Ces produits, considérés comme étantl'avenir des produits d'épargne retraite, répondent à de réelles attentes des assurés(rentabilité, disponibilité de fonds, sécurité) et exposent les assureurs à de nouveauxrisques, rendant la formule standard ine�cace à leur pro�l de risque. Le développe-ment d'un modèle interne est alors inévitable pour les assurances vendant des produitsd'assurance vie avec garanties.

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Ce mémoire a pour ambition d'apporter un éclairage pragmatique et concret sur ceque sera l'approche d'un modèle interne avec Solvabilité II. Cette nouvelle directiveest une opportunité de créer la culture du risque dans les organismes d'assurance etnon une contrainte. Plutôt que d'appliquer mécaniquement les exigences de SolvabilitéII à l'intérieur des organismes, les dirigeants doivent utiliser les limites réglementairescomme un levier visant à mettre le management du risque au c÷ur de la performanceet de la création de valeur au même titre que le développement et la rentabilité.

Dans un premier temps, nous nous familiariserons avec la culture du risque et les dif-férentes structures liées à la gestion du risque et instaurées par la directive SolvabilitéII [EIOPA].

La deuxième partie sera consacrée au fonctionnement des produits variable annuities.Les di�érents mécanismes de réévaluation de la garantie, et les di�érentes phases de ceproduit seront illustrées par la simulation d'une garantie GMIB/GMDB.

Dans la troisième partie, nous décrirons la méthode règlementaire par le biais del'approche de la formule standard. Le vocabulaire, la méthodologie ainsi que les dif-férentes hypothèses de la formule standard seront exposés. Les risques du module vie etdu module marché seront décrits à travers les hypothèses de l'EIOPA. Nous �naliseronscette partie par le calcul du capital d'un portefeuille de garanties.

La quatrième partie portera sur le domaine très particulier de la couverture �nan-cière des garanties vie. Nous avons choisi de centrer notre analyse sur la couverturestatique préconisée par la formule standard et la couverture dynamique. Nous nousintéresserons par la suite au résultat économique ou PnL d'un portefeuille avec unecouverture dynamique. Nous exploiterons chaque terme de la formule du PnL pourtenter d'améliorer sa précision. Notre étude portera sur le terme du 2nd ordre du PnL,autrement dit sur la valeur du PnL due à la sensibilité Gamma.Nous utiliserons le langage Matlab.

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Chapter 1

L'équipe Risk Management

La Directive Solvabilité II prévoit une gestion saine et prudente de l'activité detoute compagnie d'assurance. Une structure organisationnelle, appelée système degouvernance, est alors mise en place. Elle dé�nit de manière transparente les re-sponsabilités de chacun. � Des règles de prise de décision, de reporting interne, de

communication, de coopération, de supervision � concernent l'ensemble du fonction-nement de l'organisme. Ce besoin de compétences aguerries et d'expertises multiplesse retrouve dans le 2ème pillier de Solvabilité 2 à traver les quatre fonctions-clés :la fonction gestion des risques, la fonction de conformité, la fonction d'audit interneet la fonction actuarielle. Elles garantissent une maîtrise pluridisciplinaire du secteurde l'assurance avec une complémentarité technique pertinente de la comptabilité, des�nances en passant par l'actuariat, le système d'information, et la conformité. Ainsi,les quatre fonctions clés doivent suivre certaines lignes directrices (voir le schéma ci-dessous) tout en respectant le principe d'interdépendance mutuelle.

•Article 48

•Calcul des provisions techniques

•Mise en oeuvre du système de gestion des risques

•Adéquation des accords de réassurance

•Article 47

•Evaluation de la pertinence du système de contrôle interne

• Rattachement "De facto" à l'organe d'administation

•Libre accès à toute information

•Article 46

•Identification et évaluation du risque légal

•Repect des dispositions règlementaires et administratives.

•Article 44

•Processus d'identification, de mesure, de maîtrise des risques

•Procédure de prise de décision

•Modèle interne Fonction Gestion

des risques Fonction de Conformité

Fonction Actuarielle

Fonction Audit Interne

Figure 1.1: Les 4 fonctions-clés du système de gouvernance

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La norme Solvabilité II crée des connexions entre les di�érents services, interpelle tousles acteurs de l'assurance et apporte un éclairage pragmatique et concret sur les dis-positifs de contrôle. Ces évolutions permettent d'améliorer l'agilité dans la prise dedécision au sein des compagnies.

Parmi ces di�érents acteurs, l'équipe Risk Management est au coeur du risque et apour objectif de di�user la culture du risque à l'ensemble des équipes. Nous proposonsdans cette première partie une description générale du risque, en insistant sur la miseen place de la démarche d'Enterprise Risk Management. Ceci nous permettra ensuitede procéder à la description du rôle de l'équipe Risk Management au sein d'une com-pagnie d'assurance. Nous tenons à préciser que cette partie est une description généraleet spéci�que à l'entité considérée.

1.1 Le risque

La notion de risque demeure le �l conducteur des compagnies d'assurances. Il estdonc nécessaire de la dé�nir correctement. Un sinistre déjà réalisé n'est plus associé à lanotion de risque, il doit être futur. Par exemple, nous ne pouvons par ailleurs prédireni la date du décès d'une personne ayant souscrit une assurance-décès, ni un cas demaladie. L'incertitude doit ainsi résider soit dans la survenance, soit dans l'évènement.Le risque doit être incertain. En�n, le risque et la volonté de l'assuré doivent tousdeux être indépendants. Le risque peut donc être dé�nit de la façon suivant :

Le Risque

Un évènement aléatoire susceptible d'entraîner un

dommage contre lequel l'assuré cherche à se prémunir

au moyen d'un contrat souscrit auprès d'un assureur.

Gérer un risque revient à se familiariser avec le fait qu'il possède une probabilitéd'occurrence et un impact potentiel. Il engendre deux types de conséquences : desimpacts �nanciers (une perte) et non �nanciers (une réputation). La mise en place dela norme Solvabilité II constitue une opportunité d'instaurer un système de gestion desrisques en modi�ant la structure de l'organisation des compagnies d'assurance et enfavorisant les connexions entre les parties prenantes : un dispositif continu permettantl'identi�cation, l'évaluation et l'interaction des risques est alors mis en place, il s'agitdu processus Enterprise Risk Management.

1.2 L'approche Enterprise Risk Management (ERM)

Le concept d'une approche globale de la gestion du risque apparaît dans les années1970 quand Gustave Hamilton met en avant le cercle de la gestion des risques. GustavHamilton décrit l'interaction de tous les éléments d'un processus de gestion des risques: évaluation, contrôle, �nancement, communication. Au cours des années 2000, face à

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la crise �nancière, les entreprises exposent un besoin croissant de mettre à niveau leurdispositif de contrôle interne. Le référentiel Committee of Sponsoring Organization ofthe Treadway commission (COSO), élaboré en 1992, devient alors une référence interna-tionale du contrôle interne. Parrainé par cinq organisations du secteur privé, le COSOse consacre à fournir une adaptation du dispositif du contrôle interne face aux enjeuxd'aujourd'hui et de demain. Son objectif consiste à mieux tenir compte de l'évolutionde l'environnement économique et règlementaire dans lequel évoluent les entreprises.Le référentiel COSO est aujourd'hui perçu comme une opportunité pour optimiser lecontrôle interne dans un environnement en mutation. Il est mis à jour en 2014 pourdonner naissance au COSO-2 ERM, une approche visant à maîtriser les opérations viala sécurisation des activités de contrôle. La création de ce référentiel devient dès lorsl'outil idéal de la norme Solvabilité II qui rend obligatoire la création d'un système derisques : en e�et l'Article 45 de la Directive Solvabilité II [EIOPA] souligne la nécessitéde maîtriser son appétit aux risques : �L'évaluation interne des risques et de la solvabil-ité fait partie intégrante de la stratégie commerciale et il en est tenu systématiquementcompte dans les décisions stratégiques de l'entreprise�. La démarche COSO-2 ERMpermet ainsi de dé�nir un dispositif formalisé (stratégie, processus d'identi�cation, demesure, de maîtrise...) tout en répondant aux exigences de Solvabilité II.

Enterprise Risk Management

Processus mis en oeuvre par le conseil d'administration

permettant l'identi�cation des risques critiques, la quanti�cation

de leurs impacts et la dé�nition de la stratégie a�n de maximiser

l'e�cience des processus et l'agilité globale de l'entreprise

Il existe une relation directe entre les objectifs que cherche à atteindre une compagnieet sa gestion des risques .Cette relation est illustrée par une matrice en trois dimensionsnommée le cube COSO.

Figure 1.2: Structure du référentiel COSO.2-ERM sur le contrôle interne

Les objectifs de la compagnie sont au nombre de quatre :

� Stratégique : objectifs de haut niveau, esprit compétitif face à la concurrence.

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� Opérationnel : e�cacité, utilisation de ses ressources.

� Reporting : �abilité de l'information.

� Conformité : conformité avec les lois et règlementations applicables.

La gestion des risques est illustrée par le biais de la deuxième dimension :

� Internal Environment (Environnement interne) : L'environnement interne donnele ton d'une entreprise, dé�nit la façon dont le risque est vu et traité. Lagestion des risques, l'appétit pour le risque, l'intégrité, les valeurs éthiques etl'environnement dans lequel ils opèrent y sont également décrits.

� Objective Setting (Dé�nition des objectifs) : Les objectifs doivent être dé�nisavant même que la gestion des risques puisse identi�er de potentiels événementssusceptibles d'in�uencer leur réalisation. L'Enterprise Risk Management s'assureque la direction a mis en place un processus �xant des objectifs et ceux choisiss'alignent avec la mission de l'entité et sont compatibles avec son appétit pour lerisque.

� Event Identi�cation (Identi�cation de l'événement) : Les événements internes etexternes qui in�uent la réalisation des objectifs de l'entité, doivent être identi�és.Il demeure important que la distinction entre les risques et les opportunités soitfaite. Ces dernières sont canalisées vers la stratégie ou l'établissement d'objectifsdes processus de gestion.

� Risk Assessment (Évaluation des risques) : Les risques sont analysés, compte tenude la probabilité et de l'impact. Ils sont évalués sur une base inhérente et unevaleur résiduelle.

� Risk Response (Réponse aux risques) : Les réponses aux risques sont sélectionnées,tout en évitant d'accepter, de réduire ou de partager le risque.

� Control Activities (Le contrôle des activités) : Les politiques et les procéduressont établies puis mises en ÷uvre a�n d'assurer que les réponses aux risquessoient e�ectivement réalisées.

En�n, la troisième dimension représente les unités de l'organisation.

L'Enterprise Risk Management est ainsi un processus auquel les membres, de tousniveaux de la compagnie participent. Cette stratégie est conçue pour identi�er lesévénements potentiels dont la survenance pourrait être défavorable à l'entreprise. Elleest destinée à aligner l'appétit pour le risque et la stratégie en améliorant le déploiementdu capital, en o�rant un cadre de gestion e�cace face à l'exploitation de nouvellesopportunités.

En conclusion, la gestion du risque concerne l'ensemble du personnel de l'entreprise.Une bonne gestion des risques passe par un cadre global clairement dé�ni et des outilsde contrôle et d'évaluation performants. Une bonne gestion des risques est créatrice de

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valeur à la fois en terme de résultat mais aussi au regard des contraintes règlementaires.Cet investissement personnel est également accentué par une des quatre fonctions clés dela Directives Solvabilité II : la fonction Risk Management, une structure indépendantedes autres équipes mais rattachée à la direction générale.

1.3 Le Risk Management

Le Risk Management est dé�nit comme étant la gestion de l'incertain. D'aprèsl'Article 44 de la Directive Solvabilité II [EIOPA], le Risk Management comprend lesstratégies, les processus et procédures d'information nécessaires pour déceler, mesurer,contrôler, gérer et déclarer, en permanence, les risques, aux niveaux individuel et agrégé,auxquels elles sont ou pourraient être exposées ainsi que les interdépendances entre cesrisques.

Risk Management

Structure organisationnelle et indépendante permettant

l'identi�cation, l'évaluation et la gestion permanente

des risques �nanciers, assurantiels, opérationnels...etc.

Comme le rappelle l'Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution (ACPR), la fonc-tion Risk Management est dotée de caractéristiques d'indépendance et de responsabilité: elle est libre et indépendante, elle dispose de ressources, d'autorité et d'expertise pourpourvoir communiquer avec tout membre du personnel à leur initiative et en�n d'unaccès non restreint à l'information. L'équipe Risk Management e�ectue di�érentes mis-sions telles que :

Missions du Risk Management

• Evaluation et approche du risque à l'échelle Groupe

• Pilotage de la gestion Actif/ Passif

• Approbation préalable du lancement de nouveaux produits

• Mesure du risque opérationnel

• Gestion des outils de projection, de simulation, de reporting, de mesure de risque

• Encadrement des travaux autour du Capital de Solvabilité (SCR)

• Mise en œuvre de processus de contrôle appropriés

• Optimiser les activités à risque

• Diffusion de la culture du risque

• Rédaction du document ORSA

• Mise en œuvre du modèle interne (test, validation)

Figure 1.3: Missions de l'équipe RiskManagement propres à l'entitée

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Le management du risque au c÷ur de Solvabilité II s'accompagne ainsi de nombreuxcontrôles sur l'exposition aux risques : l'équipe Risk Management étudie préalablementtoute décision avant sa mise en production.

Dans un contexte de complexi�cation de l'environnement, la mise en place de nouvellesfonctions de contrôle (comme la fonction risque) ou le développement du rôle de fonc-tions existantes (comme le comité d'audit); ont un impact sur l'agilité dans la prise dedécision au sein de ces organismes. Premièrement, les administrateurs, dont la respon-sabilité civile, voire pénale, peut être engagée en cas de non-respect des obligations,seront amenés à donner systématiquement leur avis sur les décisions critiques à pren-dre. Deuxièmement, la profusion et la complexité des normes quantitatives dictées parle nouvel environnement réglementaire nécessitent un nombre croissant d'� hyperspé-cialistes � qui assistent le dirigeant dans sa prise de décision.

Solvabilité II va donc induire une double tendance. D'une part, un renforcement ducontrôle des décisions par les organes non exécutifs. D'autre part, un accroissement im-portant du nombre de paramètres à intégrer dans une prise de décision, et la nécessitéde faire intervenir des hyperspécialistes en amont des prises de décision.

En d'autres termes, le dirigeant d'un organisme d'assurance devra associer plusétroitement son conseil d'administration ou son conseil de surveillance à ses prises dedécision, tout en s'appuyant plus fréquemment sur des hyper-spécialistes. Par ailleurs,il est préférable de structurer cette hiérarchie du risque à l'aide de documents clairs,comme le rapport annuel présenté au superviseur à intervalle régulier, permettant desuivre l'évolution de la structure, appelé ORSA (Own Risk Solvency Assement).

1.4 L'ORSA

L'article 45 de la directive Solvabilité II [EIOPA] dé�nit l'ORSA (Own Risk andSolvency Assessment ou Evaluation interne des risques et de la solvabilité) commeun processus essentiellement prospectif dans lequel il est demandé aux compagniesd'assurance de procéder à trois évaluations principales:

� L'évaluation du respect permanent des obligations règlementaires concernant lecapital requis de solvabilité (Solvency Capital Requirement), du minimum ducapital requis de solvabilité (Minimum Capital Requirement) et des exigencesconcernant le calcul des provisions techniques.

� L'évaluation de la mesure dans laquelle le pro�l de risque de la compagnie s'écartedes hypothèses qui sous entendent le calcul du SCR.

� L'évaluation de la vison des risques propres à la compagnie, y compris ceuxn'entrant pas dans le calcul du capital requis (SCR). Cette analyse est faite entenant compte de l'appétance au risque de l'organisme.

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Évaluation interne des risques et de la solvabilité (ORSA)

Gestion du capital (Quantitatif)

Besoin global de solvabilité/Plan statégiqueIdentification complète

Évaluation des risques

Surveillance/Documentation/Diffusion externe et interne

Allocation /Appétence au risque

Test de résistance/Pilotage/Plan d’urgence

Gestion des risques (Qualitatif)

Figure 1.4: L'ORSA

Le processus d'évaluation doit être mené de manière régulière, au moins annuellementet immédiatement après une évolution (ou prospective d'évolution) notable du pro�lde risque. Il donne lieu à la rédaction d'un rapport reprenant les conclusions de cesévaluations. Ce rapport est communiqué au contrôleur de la compagnie dans le cadredes exigences de remise d'information au contrôle.

Le processus ORSA dé�nit également les ambitions stratégiques en s'appuyant surles évolutions inattendues de l'environnement. La compagnie dé�nit dans le cadre del'ORSA, les actions à envisager, le mode de projection du bilan ainsi que les indicateursde risque. La projection du capital requis consiste à évaluer l'évolution future attenduedu pro�l de risque et du besoin global de solvabilité. L'ORSA doit ainsi faire partieintégrante de la stratégie commerciale de l'entreprise.

En�n, il demeure important de communiquer les résultats et les conclusions del'ORSA en interne, a�n que tous les employés puissent en tenir compte dans les décisionsconcernant le plan d'activité, la gestion du capital et la conception des produits.

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Chapter 2

Les produits variable annuities

Tout d'abord commercialisés aux États-Unis puis au Japon dans les années 90,les variable annuities apparaissent sur le marché européen en 2006. Produit à la fron-tière de la �nance et de l'assurance, ces dernières ont l'ambition de devenir le nouveaumodèle d'épargne en assurance vie en répondant à l'essentiel de tout client (rentabilité,sécurité et disponibilité des fonds). Les contrats variable annuities o�rent une gestionde l'épargne s'appuyant sur les performances du marché, tout en permettant de sélec-tionner des garanties plus ou moins fortes. Parmi ces garanties, l'assurance de retrouveren �n de contrat un capital au moins égal à l'investissement initial est fréquemmentsollicitée.

Dans cette deuxième partie, nous introduirons le vocabulaire de l'assurance vieindispensable à la dé�nition des produits variable annuities. Nous nous intéresseronsensuite au fonctionnement de ces produits d'assurance souvent assimilables à des optionsde vente. Ceci nous permettra ensuite de procéder à la modélisation d'un type deproduit à partir d'hypothèses �nancières précises.

2.1 Les produits variable annuities

2.1.1 Un contrat d'assurance vie

Un produit Variable Annuity est avant tout un contrat d'assurance vie établi en-tre un assuré et une compagnie d'assurance qui lui promet un certain nombre de �uxannuels (les cash-�ows).

D'après la dé�nition de la Cour de Cassation [1956] : �Un contrat d'assurance, paressence aléatoire, comporte, moyennant l'octroi d'une prime, la couverture d'un risqueet l'exécution d'une prestation en cas de réalisation du risque�.

Plusieurs acteurs interviennent dans une opération d'assurance ; l'assureur, s'engageà exécuter une prestation sous forme de capital ou de rente au pro�t d'une autre per-sonne, le béné�ciaire du contrat, en cas de la réalisation d'un évènement aléatoire, lerisque, en contrepartie du paiement d'une somme par le souscripteur, la prime.

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En assurance vie, il existe deux types de contrats : les contrats en euros et les contratsen unités de compte. Nous nous intéressons plus particulièrement aux contrats en unitéde compte.

2.1.2 Un contrat en Unité de Compte

Les variable annuities sont des contrats en unité de compte (UC) o�rant desgaranties planchers à l'assuré (en cas de décès ou en cas de vie) . Les contrats enunité de compte garantissent des parts d'actifs. L'épargne de l'assuré est investie surdes actifs, appelés supports (actions de SICAV ou FCP par exemple) et l'engagement del'assureur se limite aux versements de la contre-valeur de ces unités de placements. Lavalorisation de ces contrats dépend ainsi du comportement des marchés �nanciers. Laliste des supports admissibles en France est détaillée dans les articles L131-1 et R131-1du Code des Assurances.

Quel que soit le type de contrat (vie ou décès), le capital garanti est égal, pour chaquesupport, au nombre de parts détenues multiplié par la valeur de marché de l'unité decompte associée à ce contrat. Dans le cas où l'assuré a la possibilité de racheter soncontrat, ce dernier reçoit dès lors le montant de sa provision mathématique à laquellea été soustrait le coût de rachat.

2.1.3 Dé�nition générale des produits variable annuities

De manière générale, les produits variable annuities se présentent comme des con-trats d'assurance vie en unité de compte. Contrairement aux contrats en euros quipeuvent garantir contractuellement un rendement minimum, les contrats en unités decompte font supporter à l'assuré l'intégralité du risque lié aux �uctuations des marchés�nanciers. En contrepartie d'un risque accru, ces supports o�rent une espérance degain plus importante qu'un contrat classique de type obligataire.

A�n de rendre leurs contrats plus attractifs, les assureurs mettent à disposition des as-surés plusieurs garanties, dites �complémentaires�. Elles sont connues sous l'acronymeGMxB pour Guaranteed Minimum x Bene�t. Le x représente le type de la garantie (x= D pour Death, W pour Withdrawal, I pour Income, A pour Accumulation).

En combinant la rentabilité et la sécurité de l'épargne, les garanties Variable Annuitiesdemeurent des produits innovants. L'assuré peut ainsi combiner une forte espérance deperformance et une garantie de revenus minimum.

Avant de décrire les études réalisées, il est important de dé�nir les notions fondamen-tales de l'assurance des composantes d'un produit GMxB ainsi que leur fonctionnement.Comme souvent en �nance et en assurance, les termes utilisés proviennent de l'anglais.Il existe une traduction française qui est néanmoins rarement utilisée.

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2.2 Quelques notions fondamentales

Quel que soit le type de contrat choisi, le fonctionnement du sous-jacent resteidentique.

- L'Account Value (AV) ou l'épargne, est le montant de l'épargne d'un contrat àune date précise. Financièrement, l'account value représente le sous-jacent, elle est in-vestie dans des fonds de placement et évolue de manière �marked-to-market� selon lacotation des actifs sur les marchés �nanciers au cours du temps. L'assuré a la possibilitéde choisir son pro�l de risque (répartition action/obligation). L'account value est (sou-vent) la moyenne pondérée entre plusieurs fonds communs de placement. Tout au longde la vie du produit, des frais au titre de la garantie sont prélevés. Il est donc importantde distinguer l'AV −et l'AV +(voir la modélisation d'une garantie GMIB/GMDB 2.5).

- La Bene�t Base représente la valeur minimum de l'épargne garantie à l'assuré.Son calcul dépend des options supplémentaires choisies par l'assuré. A la signature ducontrat, cette valeur est souvent égale au montant de la prime nette du contrat (valeurde la prime de laquelle les frais d'entrée ont été retranchés). Précisons que la garantiepeut adopter di�érentes formes : capital, rente, ou encore retrait.

La vie d'un contrat variable annuity se déroule en deux ou trois phases :

1) La période d'attente/d'accumulation/de di�éré/d'épargne représente la périodedurant laquelle le client construit son actif. La durée est �xée à la signature du contrat.Il s'agit d'une garantie très avantageuse pour l'assuré, en e�et durant cette périoded'attente :

� L'assuré ne perçoit pas de capital.

� La bene�t base est au moins égale à la prime initiale augmentée d'un bonusd'attente s'il y a lieu.

� L'assuré a la possibilité de bloquer les bonnes performances du marché par le biaisd'une option cliquet ou rachet. Cette base ne peut pas être diminuée par le futurmême si les conditions de marché demeurent moins avantageuses.

2) La période de rachat permet à l'assuré de retirer l'intégralité ou une partie deson épargne a�n d'augmenter ses revenus. En cas de décès de l'assuré durant cettepériode, le ou les béné�ciaires du contrat percevront la valeur résiduelle de l'épargne.

3) Une éventuelle période de rentes viagères : en cas de longue longévité de l'assuréou de performance insu�sante du contrat, il peut arriver que la valeur du contrat soitnulle avant le décès de l'assuré. Dès lors la phase de rachat se transforme en phasede rente viagère. La rente perçue par l'assuré jusqu'à son décès est égale au derniermontant du rachat programmé.

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- Les frais de gestion dé�nissent l'ensemble des charges prélevées sur l'ensemble del'account value tout au long de la vie du contrat. En général, ces frais sont exprimésen pourcentage de l'account value ou bien de la bene�t base. Ils permettent à l'assuréde couvrir les coûts de la modélisation complexe qu'entraîne la gestion des variableannuities.

- Les Claims (AB, DB), traduits par �sinistres� en français, représentent l'enjeu durôle de l'assureur : les claims représentent les sommes que doit verser l'assureur lorsquele montant garanti est supérieur à l'account value (l'épargne) au moment du versement.Lorsque l'account value couvre les montants garantis, les claims deviennent donc nuls.

- Le Roll up également appelé le bonus d'attente, dé�nit le pourcentage annueld'augmentation de la bene�t base durant la période d'attente.

- Le taux de rachat ou taux de lapse modélise la probabilité qu'a un assuré deracheter son contrat avant son terme. L'assuré peut également racheter partiellementson contrat.

- les Real rider charges (RRC) ou les frais hedging, sont le pourcentage e�ectif prisde l'AV chaque année pour couvrir le coût de la garantie de l'assuré.

- L'Economic hedge cost (EHC) représente le coût annuel de la garantie. Il s'agitd'une approximation du pourcentage de l'AV utilisée pour couvrir la valeur actuelledes claims, en d'autres termes l' EHC représente le coût réel du contrat pour Axa LifeInvest.Il est égal à

EHC= PV (Claims)PV (Charges)

∗RRC

- PV (.) est l'actualisation des �ux futurs.

Les notions qui suivent, permettent de mesurer l'évolution du passif des produitsVAs. Il est primordial de se familiariser avec le vocabulaire propre au passif associé àla rentabilité des produits VAs pour mieux comprendre l'analyse des résultats dans lechapitre 4.

- Le Solvency capital requirement (SCR) représente le principal indicateur de solv-abilité. Il permet grâce à un certain niveau de fonds propres de couvrir tous les risquesidenti�ables de la société et de réduire la probabilité de ruine de l'entreprise selon unniveau de prudence et un horizon temporel �xés : V aR99.5%de la sinistralité à un an. Ils'agit d'une dé�nition simpli�ée, nous détaillerons le calcul du SCR dans la prochainepartie de ce mémoire.

- L'Available �nancial resources (AFR) représente le capital disponible de toutesociété d'assurance. Sous la directive solvabilité II, l'AFR doit être supérieur au cap-ital de solvabilité requis (SCR). De manière générale, la solvabilité d'une compagnied'assurance se traduit par un ratio de solvabilité :

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AFRSCR > 100%

- L'Option value (OV) ou valeur de la garantie, représente la di�érence entre ceque l'assureur verse à l'assuré à travers les claims en plus de son plan épargne, et ceque l'assureur reçoit du souscripteur à travers les charges. Elle est égale à l'espérancede la valeur actualisée de la di�érence entre des claims et les charges sous la probabilitérisque-neutre.

OVt= EQ[PV (Claimst)−

(PV (Chargest) ∗ EHCRRC

)]- EQ : probabilité risque neutre- PV (.) : actualisation des �ux futurs

Nous remarquerons que l'EHC est la solution de l'équation OV0 = 0, une fois �xé leRRC. Les produits sont tari�és en respectant la contrainte suivante :

PV (Claims)PV (Charges)

= EHCRRC

< 1→EHC < RRC

L'OV permet ainsi de quanti�er les pertes de l'assureur selon les di�érents mouvementsdu marché.

- La Liabilities option value représente la valeur du produit du point de vue del'assureur, il s'agit du passif du bilan de la société.

LOVt = OVt

- La Present value future pro�t est égale à la valeur actuelle des pro�ts (pertes) futurs

industriels, générés par le portefeuille de contrats en cours. Autrement dit, il s'agit de la

valeur actualisée des résultats futurs. En considérant un contrat de maturité n, Ftj le résultat

de l'année j et i le taux d'actualisation annuel. Nous obtenons :

PV FP=∑n

j

Ftj

(1+i)tj

2.3 Revalorisation de la bene�t base

A la signature du contrat, la bene�t base est égale au montant de la prime nettedu contrat (i.e. la valeur de la prime initiale versée par le souscripteur de laquelleles frais d'entrée sont retranchés). La bene�t base est alors égale à l'account value àl'instant t = 0, elles évoluent cependant de manière très distincte tout au long de la viedu contrat. L'account value est uniquement implémentée sur la valeur des actifs, elleest donc sans cesse réévaluée. La bene�t base est revalorisée au travers de mécanismes�nanciers.

Notation :

- BB0:la valeur de l'épargne initiale, à la signature du contrat BB0 = AV0

- BBt : la valeur du portefeuille sous-jacent au contrat à l'instant t

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- r : le taux roll-up

Il existe trois mécanismes permettant au client d'augmenter la valeur de la garantie :

- La garantie roll up : le mécanisme roll up sécurise une performance minimaledes marchés (de l'ordre de 2%, ou 3%). L'assuré disposera ainsi d'un taux d'intérêtminimal tout au long de la durée de vie du contrat :

BBT =max(BB0 exp(rT ), BBT )

D'un point de vue �nancier, le �ux �nancier ou payo� de la garantie est alors :

Payoff = (BB0 exp(rT )−BBT )+

Nous retrouvons le payo� d'un put vanille de strike BB0 exp(rT ).

- La garantie rachet ou cliquet annuel : le mécanisme de rachet permet de sécuriserdes béné�ces acquis sur les marchés. Il permet à l'assuré de béné�cier des hausses desmarchés pendant la période d'attente à chaque date d'anniversaire (ou d'évaluation) ducontrat.

Soit une partition (t1, t2, ...tn) de [0, T ], nous obtenons :

BBti =max(BBti−1, AVti), 0≤i ≤ n, soit BBT = max(BBti)

Les pas de temps sont en général annuels.

D'un point de vue �nancier, le �ux �nal de la garantie peut s'écrire :

Payoff = (max(Bi∗∆t) ∗BT )+, 0 ≤ i ≤ T∆t

Le payo� est ici équivalent à celui d'une option lookback en temps discret.- La garantie combo (roll up +rachet) : le mécanisme combo combine la garantie

roll up et la garantie rachet.

BBT =max(BB0 exp(rT ),max(BBti)), 0≤i ≤ T

Ces trois garanties augmentent naturellement le risque pris par Axa Life Invest, il con-vient donc qu'un produit béné�ciant d'une meilleure garantie soit plus coûteux (soiten terme de prime pour le souscripteur soit en terme de charges prélevées sur la bene�tbase pendant la durée de vie du contrat).

En conclusion, les variable annuities se présentent comme un ensemble de garanties,assimilables à des options de vente. Les paramètres de ces produits évoluent en accordavec le marché �nancier, les taux d'intérêt garantis et éventuellement des e�ets cliquets.

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2.4 Les di�érentes garanties des produits GMxB

A�n de rendre leurs contrats plus attractifs, les assureurs ont ajouté des garanties,dites �complémentaires�. L'ensemble des garanties ci-dessous peut être complété d'unroll-up, d'un cliquet ou d'un combo roll-up/cliquet. Les valeurs des garanties sont alorsmodi�ées en utilisant les formules du paragraphe précédent.

2.4.1 Analogie Variable annuity et option de vente

Du point de vue de l'assureur, les garanties peuvent être vues comme des optionsde vente. La maturité et la nature (américaine ou européenne) dépendent du type dela garantie. Le sous-jacent de l'option dépend de l'account value et le strike dépend dela bene�t base. Cette analogie trouve principalement sa pertinence dans les méthodesde couverture du passif au sein d'Axa Life Invest : la couverture est faite à l'aide desgrecques du passif (voir Chapitre 4)

Option européenne ou américaine ?

A�n de mieux comprendre l'ensemble des dé�nitions qui suivent, rappelons qu'uneoption européenne ne peut être exercée qu'à maturité alors qu'une option américainepeut être exercée à tout moment pendant la durée de vie de l'option.

2.4.2 GMAB : Guaranteed Minimum Accumulation Bene�t

La garantie GMAB est une garantie sur l'épargne en cas de vie de l'assuré surune durée prédé�nie.

� En cas de vie du souscripteur au terme de la période prédé�nie par le contrat,l'assuré percevra le maximum entre son account value (les primes versées d'unepart) et l'Accumulation Bene�t Base (valeur de l'épargne atteinte) : l'assuré

récupère au moins la garantie AB .

� En cas de décès du souscripteur avant le terme du contrat, quelle qu'en soit lacause : le contrat se transforme en GMDB si la garantie le permet, dans le cascontraire aucun montant ne sera versé.

Du point de vue de l'assureur, nous pouvons dire que la garantie AB propose au clientune option de vente (put) dont le sous-jacent serait l'épargne et le strike l'accumulationbene�t base. Ainsi, le béné�ciaire du contrat reçoit, à maturité T, un �ux égal à :

max(AVT ;ABT ) soit AVT + (ABT − AVT )+

Il est important de noter la complexité de ce produit : en e�et, la valeur du strikeAB, évoluant au cours du temps, n'est pas nécessairement connue à l'avance. L'objectifprincipal de l'assureur est donc de couvrir la valeur (ABT − AVT )+ .

Conclusion : Dans le cas d'une garantie de typeGMAB, l'assuré ne peut béné�cierde la garantie qu'à l'échéance du contrat : elle peut donc être assimilée à une optioneuropéenne.

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2.4.3 GMDB : Guaranteed Minimum Death Bene�t

La garantie GMDB est une garantie sur l'épargne en cas de décès de l'assuré.

� En cas de décès de l'assuré avant l'échéance du contrat, le béné�ciaire reçoit lemaximum entre la Death Bene�t Base (valeur de l'épargne atteinte), éventuelle-ment capitalisée selon les mécanismes de revalorisation (roll-up, rachet...), et del'account value (somme des primes versées) à la date du décès.

� Pendant la période d'attente de ces options, si l'assuré décède, le béné�ciairereçoit le maximum entre la valeur de son épargne à la date �jour du décès� etla garantie Death bene�t base (augmentée par les mécanismes de roll-up et decliquets).

Exemple : Un produit AB-DB combine un contrat assurance-vie et un placementà capital garanti. Financièrement, cette garantie peut être assimilée à une optionaméricaine. La date d'exercice de cette garantie est un temps aléatoire dont la loi estdonnée par les tables de mortalité. A la date de décès de l'assuré, le béné�ciaire recevrala valeur de :

AVdeces + (DBdeces − AVdeces)+

Conclusion : Au décès de l'assuré, une garantie de type GMDB peut s'exercer àtout moment. Notons cependant qu'à la di�érence d'une option américaine classique,l'assuré ne décide pas d'exercer la garantie, la date de son décès ne peut être choisie.La tari�cation d'une telle garantie est ainsi di�érente d'une option américaine, elle estassimilée à une somme de puts européens.

2.4.4 GMIB : Guaranteed Minimum Income Bene�t

La garantie GMIB est une garantie sur l'épargne en cas de vie.

Après une date dé�nie à la souscription, l'assuré reçoit le maximum entre le montantgaranti et l'épargne, converti en rente viagère, jusqu'à son décès. Ce dernier acquiertainsi un niveau minimum de rentes viagères. Il est important de noter que le niveauminimum de la rente garantie est indépendant de la performance de son capital. Larente viagère est alors calculée à l'aide de paramètres tels que les tables de mortalité etle taux technique dé�ni lors de la souscription. Le montant minimum de rente est soit:

� Un montant �xé à la signature du contrat

� Un pourcentage des primes versées à la police d'assurance

� Une fonction du solde du compte à la conversion en rente

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2.4.5 GMWB : Guaranteed Minimum Withdrawal Bene�t

La garantie GMWB est une garantie sur l'épargne qui o�re au souscripteur lapossibilité de retirer un certain nombre de coupons d'une valeur �xée à l'avance à desdates données. Le montant des retraits est contractuellement limité.Quand l'assuré souscrit le produit, commence alors une période d'attente dont la duréeest connue, pendant laquelle l'assuré ne reçoit aucun versement. La garantie est aug-mentée grâce aux mécanismes de roll up et de cliquet annuel.Une fois la période d'attente �nie, celle des paiements commence ; le souscripteur peutdès lors retirer un certain nombre de coupons. Ces coupons sont un pourcentage de lagarantie GMWB qui a été atteint à la �n de la période d'attente. Ils sont prélevés deson Account value.

� Si l'épargne atteint la valeur 0, elle reste nulle et l'assureur continue de verser lereste des coupons en prélevant dans ses fonds propres.

� Si l'épargne n'atteint pas la valeur 0, le coût de cette garantie est nul pourl'assureur et l'assuré récupère la valeur de l'épargne restante à la �n du contrat.

Il est important de noter que la valeur de la garantie n'est pas réduite au fur et à mesureque les coupons sont versés. Les coupons ont donc une valeur constante. La durée dela période de paiement peut être soit �xée (terme certain), soit à vie.

L'assuré est amené à souscrire un produit variable annuities pour béné�cier des nom-breux avantages : le versement d'un revenu �xe à partir d'une certaine date et pourune période donnée, l'acquisition des plus-values latente des marchés �nanciers, et lagarantie de pouvoir racheter son contrat. S'exposant à de nouveaux risques, les compag-nies d'assurance décident d'oeuvrer dans la mise en place d'une couverture �nancière.

Conclusion : Dans le cas d'une garantie de type GMWB, l'assuré choisit, dansune certaines limites, les montants et les dates de retraits. Elle peut ainsi être assimiléeà une option américaine.

Ainsi, les contrats d'assurance vie avec garanties présentent des similitudes cer-taines avec ceux des options �nancières. Nous exploiterons ces similitudes sans toutefoisnégliger les particularités propres aux contrats d'assurances.

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2.5 Modélisation d'une garantie GMIB/GMDB

Cette partie du mémoire conclut la présentation des produits variable annuities.L'objectif principal est de modéliser une garantie GMIB/GMDB à l'aide des notionsprécédemment dé�nies. Contrairement à la pratique en assurance, les payo�s des vari-able annuities sont estimés par des techniques usuelles utilisées pour les produits �-nanciers dérivés.

2.5.1 Hypothèses de travail

La modélisation des variable annuities constitue un e�et condensé de complexité.En e�et, les versements qui doivent être e�ectués aux clients (claims) au-delà du niveaude l'épargne peuvent être exprimés comme une somme actualisée, pour chaque pas detemps t, d'option de vente (put) de strike, le montant de la garantie. Le tout pondérépar la probabilité de vie (mortalité) et la probabilité de ne pas sortir du contrat avantson terme (lapse). Les tables de mortalité sont établies selon les standards usuels enassurance et l'épargne investie est simulée via un modèle classique de type Black &Scholes, sous la probabilité risque neutre.

Il s'agit d'une modélisation simpli�ée d'un contrat avec garanties, les risque demortalité et le risque de rachat n'étant pas modélisés. Cette simpli�cation a pour butde mettre en pratique les notions acquises précédemment tout en soulignant l'analogiede ces contrats avec les produits dérivés. Dans la suite du mémoire, une modélisationplus complexe comprenant tous les risques assurantiels et �nanciers sera établie.

Environnement risque neutre

Dé�nition :Une probabilité risque neutre Q est une probabilité équivalente à la probabilité

historique P telle que le prix actualisé au taux sans risque d'un actif soit martingalesous Q. Grossièrement, cela signi�e que tout évènement pouvant se produire pour uneprobabilité peut se produire pour l'autre probabilité, seule la probabilité d'occurrencedes évènements change. Par ailleurs, nous rappelons qu'un actif actualisé St est unemartingale pour une �ltration F sous la loi de probabilité Q si :

EQ[St/Fs

]= Ss, t > s

L'existence de la probabilité Q entraîne l'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA).L'AOA est une hypothèse qui suppose que nous ne pouvons gagner d'argent sans risque.

Dans cette partie, l'évolution des fonds sera modélisée par le modèle de Black &Scholes sous l'hypothèse d'une probabilité neutre : la valorisation risque neutre con-siste à simuler des �ux futurs d'un titre de manière market consistent et à considérerla moyenne des �ux futurs actualisés au taux sans risque. Nous avons fait le choix demodéliser le risque action par le modèle Black & Scholes pour la simplicité des expres-sions et la robustesse des résultats.

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Dans notre modèle de Black & Scholes, le prix de l'actif risqué {St}t≥0, est régi parl'équation di�érentielle stochastique (EDS en abrégé) :

dSt = St(µdt+ σdWt), S0 ≥ 0

Où, µ est le drift,Wt représente le mouvement brownien, σ, la volatilité et S0, la valeurde l'actif au temps t = 0.

Hypothèse risque neutre :

Pour satisfaire l'hypothèse de l'environnement neutre, utilisons le théorème de Gir-sanov :

Soit la mesure de risque γ = µ−rσ, où r représente le taux d'intérêt de l'actif sans risque et

la densité ξt = exp(−γWt− γ2

2t) permettant le passage de probabilité P à Q. Le théorème

de Girsanov permet l'équivalence des deux mesures de probabilité équivalentes par lapropriété suivante :

Q ∼ P tel que dQdP

= ξt = exp(−γWt− γ2

2t) =⇒

Les actifs actualisés sont alors de Q-martingale (ce qui signi�e qu'il y a AOA)

Nous avons fait le choix de ne pas démontrer le caractère martingale des actifs actu-alisés, cependant le caractère martingale des actifs actualisés est indispensable pourassurer la validité du calcul de valorisation.

La formule de Cameron-Martin permet de dé�nir le mouvement brownien sous Q :Wt = Wt + γt.

Sous P , l'évolution du sous-jacent est modélisée par l'équation suivante :

St = S0e(µ− 1

2·σ2)t+σWt

La démonstration est en annexe 1.

Sous Q, l'évolution du sous-jacent est modélisée par l'équation suivante :

St = S0e(µ− 1

2·σ2)t+σ(Wt−γt)

St = S0e(µ− 1

2·σ2−γσ)t+σWt

Or, γ = µ−rσ

:

St = S0e(r− 1

2·σ2)t+σWt (1)

Ecrivons l'équation (1) à la maturité T :

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ST = S0e(r− 1

2·σ2)T+σWT (2)

Simpli�ons l'équation (2) pour pouvoir exprimer le sous-jacent ST en fonction du sous-jacent St, tel que t < T :

ST = S0e(r− 1

2·σ2)t+σWt ∗ e(r−σ

2

2)(T−t)+σ(WT−Wt)

ST = Ste(r−σ

2

2)(T−t)+σ(WT−Wt)

Ainsi, l'utilisation du lemme d'Ito puis du théorème de Girsanov, l'évolution du sous-jacent dans l'environnement risque neutre suit l'équation suivante :

ST = Ste(r−σ

2

2)τ+σWτ , où τ = T − t et t < T

Pour simuler le mouvement brownien qui est un processus à temps continu, il fautd'abord discrétiser le temps. Nous simulerons le mouvement brownien pour chaquepériode de temps ti. Par ailleurs, la propriété de tout mouvement brownien Wt suiv-ante, nous indique que :

Pour tout nεN , 0 = t1 < t2... < tn et tn − tn−1 constant :

La suite W1;W2 −W1; ...;Wtn −Wtn−1est une suite de variables aléatoiresindépendantes et identiquement distribuées.

Ainsi, pour simuler la trajectoire du mouvement brownien jusqu'à l'instant kt, il su�tde générer k variables aléatoires indépendantes {VJ , Jε {1, 2, ...., k}}de la loi normalecentrée, réduite.

Données

Capital investi 200 000 εAge de souscription 57 ans

Age de départ la retaite 67 ansPèriode d'attente 10 ans

Montant du revenu annuel 3% de la bene�t baseFrais initiaux 5%Frais de rente 5%

Taux d'intérêt sans risque r 1.5%/2.5%Volatilité à l'instant t σt 0.2

Table 2.1: Hypothèses de la simulation d'une garantie GMIB/GMDB

A�n de mieux comprendre le comportement des produits variable annuities, nous allonsdécrire les di�érentes étapes du contrat et l'illustrer à l'aide d'un exemple bien précis.

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Le contrat choisi est un produit variable annuities combinant une garantie GMIB etune garantie GMDB. Ce contrat béné�cie de deux autres options supplémentaires : unroll up (nous avons fait le choix de le prendre linéaire et non composé) et un rachetannuel.Il existe deux versions di�érentes de ce produit : une dite �terme certain� (TC) d'unedurée de 25 années et une autre qui s'étale sur toute la durée de vie du client (�wholelife� WL). Les garanties peuvent alors être di�érentes selon la version du produit.

A l'instant t = 0, l'assuré verse à l'assureur une prime initiale d'un montant de 200 000euros. Après déduction des frais initiaux, le capital investi est évalué à 190 000 euros.L'évolution du sous-jacent véri�e le système suivant :{

S0 = 190000euros

Stn = Stn−1exp((r − σ2

2)(tn − tn−1) + σW tn−tn−1)

A la date 0, le capital investi, l'AV, la bene�t base, le rachet et le roll up demeurenttous égaux.

Période d'accumulation ou d'attente :

Au cours de cette période, le souscripteur dépose une ou plusieurs primes sur lesunités de compte proposées dans son contrat. Le capital investi est réévalué selon dif-férents mécanismes (roll up, rachet). L'account value est la somme investie par l'assurédans chaque fonds considéré.

Intéressons-nous au calcul de l'account value AV −:

Temps Account Value

A l'instant tLe sous-jacent : AV +(t)

Le nombre d'actions : AV +(t)St

A l'instan t+1Avant déduction des frais : AV +(t)

St∗ St+1

Après déduction des frais : AV +(t)St∗ St+1 ∗ exp(−frais)

Ainsi, pendant la période d'attente, l'account value AV −(t) = AV +(t) pour un instantt donnée.La modélisation des frais exp(−frais) est di�érente de celle des frais initiaux (1 −frais).Cela est tout d'abord dû au fait que les frais initiaux ne sont retirés qu'une seulefois, par ailleurs la modélisation des frais à l'aide de l'exponentielle permet de faire dessimpli�cations avec le sous-jacent, lui-même composé d'une exponentielle.

En ce qui concerne les garanties, il su�t de reprendre leur dé�nition :

� La garantie rachet a lieu chaque année, à la date d'anniversaire du produit. Lavaleur initiale de la garantie est égale à la prime brute initiale. Puis, pendant lapériode d'attente, elle est mise à jour comme suit :

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- Version terme certain : IB_Ratchett: = max(IB_Ratchett−1, AVt)

-Version à vie : IB_Ratchett =

{max

(IB_Ratchett−1, AVt +

∑s<t Payouts

)if AVt > 0

IB_Ratchett−1 if AVt = 0.

� La garantie roll up est calculée annuellement, à la date d'anniversaire et ceuxuniquement durant la période d'attente. Le taux de roll est de 1.5% pour leproduit TC et de 2.5% pour le produit WL. La valeur initiale de la garantie estégale à la prime brute initiale. Puis, pendant la période d'attente, elle est mise àjour comme suit :

IB_Roll upt = PrimeInitiale · (1 + t · Taux_Roll up)

La garantie GMIB est calculée en prenant le maximum entre le rachet et le roll up :

IBt = max (IB_Ratchett, IB_Roll upt)

A chaque anniversaire, si le souscripteur est toujours en vie, il reçoit :

V ersementt = IBt × Taux IB

Où Taux IB est égale à :

Taux IB =3% pour le produit WL

Taux IB = 1(P eriodeContrat−P eriode d′attente) pour le produit TC

La garantie GMDB est calculée de la façon suivante :

DBt = max(AVt, IBt −

∑s<t V ersements

).

Période de rachats :

Seule la réévaluation est toujours possible durant cette période mais seulement parle rachet. L'assuré peut dès lors retirer une partie voire l'intégralité de son épargnea�n d'augmenter ses revenus : l'account value correspond à la valeur du panier d'actifssous-jacent. Pendant la période d'attente, les account value AV − et AV +étaient égales.Pendant celle des rachats, elles sont distinctes :

AV −(t)=AV +(t)St

*St+1*exp(-frais)

En cas de décès, le ou les béné�ciaires du contrat percevront la valeur résiduelle del'épargne.

Période de rentes viagères:

Les garanties prennent alors e�et. La phase de rachat se transforme en phase derente viagère. La rente perçue par l'assuré jusqu'à son décès est égale au dernier mon-tant du rachat programmé. En cas de grande longévité de l'assuré ou de performanceinsu�sante du contrat, l'AV peut être nulle avant le décès du souscripteur.

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Le graphique montre l'évolution d'une garantie GMIB/GMDB version vie entière WL:

-

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Mo

nta

nt

de

l'é

par

gne

Années




Figure 2.1: Garantie GMIB/GMDB

Conclusion :

Ainsi, en proposant des garanties nouvelles avec les variable annuities, les assureursrépondent à de réelles attentes des assurés. Les garanties o�ertes impliquent cependantune augmentation des risques pour les assureurs. Dans le cadre de la directive Solv-abilité II, nous nous sommes ensuite interrogés sur les changements qu'entraîne cettenouvelle directive et nous les avons confrontés à la complexité des produits GMxB.

Nous concentrerons notre étude sur calcul du capital de solvabilité requis. Plus précisé-ment, nous nous sommes attachés à répondre aux interrogations suivantes :

- Comment est calculé le capital de solvabilité requis dans une compagnie d'assurance? Quelles sont les di�érentes méthodes ?

- La formule standard, dite réglementaire, est-elle recommandée face à la com-plexité des variable annuities ? Quelles en sont les limites ?

- Existe-t-il des méthodes plus appropriées face à des tels produits ? Si oui,lesquelles ? Sous quelles conditions ?

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Chapter 3

Le modèle règlementaire sous

Solvabilité II

L'entrée en vigueur de la Directive Solvabilité II en Janvier 2016 entraîne deschangements conséquents au sein du système d'évaluation des compagnies d'assurance.La norme Solvabilité II a pour objectif de moderniser et d'harmoniser les règles desolvabilité applicables aux entreprises d'assurances a�n de renforcer la protection desassurés et d'inciter les entreprises à améliorer leur gestion des risques. Pour cela, lesassureurs sont désormais amenés à modi�er la gestion des fonds propres, leur stratégiede couverture, ainsi que leur exigence de capital requis.

Solvabilité II s'articule autour de trois piliers :- Pilier I : Exigences en capital

Exigences quantitatives à travers l'évaluation économique du bilan, la déterminationdu besoin en capital et des capitaux propres disponibles.

- Pilier II : Cadre de contrôleExigences qualitatives à travers la mise en place d'un système de gouvernance desrisques et de contrôle prudentiel.

- Pilier III : Reporting et Discipline de marchéTransparence de l'information transmise à l'assuré, aux investisseurs et aux autorités

de contrôle.

Dans cette étude, nous nous intéressons au pilier I. Nous avons choisi de centrercette partie du mémoire sur les limites de la règlementation a�n de démontrer l'e�cacitéd'un modèle interne face au pro�l de risque des variable annuities. Il s'agit de calculer lecapital de solvabilité requis par le biais de la formule standard d'un portefeuille variableannuities.La théorie de la formule standard sera tout d'abord explicitée, l'ensemble des risquesrespectifs au module vie puis au module marché seront exposés. Nous les dé�nirons etnous expliquerons leurs estimations à l'aide de formules fermées. Des limites de la for-mule standard dans le cadre général seront ensuite démontrées. En�n, nous concluronscette partie, en calculant le capital de solvabilité requis d'un portefeuille de variableannuities.

45


L'objet de cette partie du mémoire n'est pas de faire une critique de la formule standardmais de mettre en évidence les failles du cadre dé�ni par le régulateur face à des produitsd'assurance singuliers.

3.1 Les principes de la formule standard

3.1.1 De Solvabilité I à Solvabilité II

L'environnement rigide et simpliste de Solvabilité I accéléra l'entrée en vigueur deSolvabilité II. De nombreuses critiques qualitatives et quantitatives ont été adressées àce système dit indépendant du risque réellement encouru. Le tableau ci-dessous énumèreles principales faiblesses de la directive Solvabilité I :

Points faibles de la directive Solvabilité I

• Les exigences de marge de solvabilité sont évaluées par un simple pourcentage sur

les primes et les sinistres en assurance non-vie, un pourcentage sur les provisions en assurance vie. • Vision uniquement rétrospective, “ le passé évalue le futur sans ajustement “

• Le projet d'unifier un marché européen de l'assurance n'a pas pu être finalisé, seule

une fragmentation du marché d'assurance est aujourd'hui visible • L'approche du profil de risque est incomplète, tous les risques ne sont pas pris en

compte (Risque de contre partie, risque de défaut) • Les risques financiers particuliers ainsi que ceux propres à la compagnie ne sont

pas pris en compte • La marge de Solvabilité I est plus liée au niveau de l'activité qu'au niveau de risque.

• Seules les plus-values sont ajoutées aux fonds propres, les moins-values ne sont

pas retranchées • Aucun contrôle interne

• Approche comptable basée sur un coût historique

• Aucune pénalité envers les compagnies en sous-provisionnement

Figure 3.1: Limites de la norme Solvabilité I

Le régime de contrôle actuel n'est alors plus satisfaisant. En s'inspirant de modèlesdéjà conçus tels que le modèle américain Risked Based Capital, le modèle Suisse

Swiss Solvency Test ou encore le modèle britannique Individual Capital AdequacyStandard, l'Union Européenne et le Comité Européen des Régulateurs du secteur desAssurances et des Fonds de Pension, dit CEIOPS, décident de soumettre de nouvellerègles de solvabilité aux membres européens appelée Solvabilité II.

Solvabilité II est le nom du régime prudentiel qui va être appliqué par les compagniesd'assurance et de réassurance à travers toute l'Europe. Seule exception, les petits or-ganismes d'assurance dont le montant des primes n'excède pas à 5 000 000d'euros oudes provisions techniques inférieures à 25 000 000 d'euros. La directive européenne deSolvabilité II a été adoptée en Novembre 2009, après une phase d'implémentation com-plexe, elle sera conforme en Janvier 2016. Le principal objectif du régime prudentielest d'avoir un certain niveau de fonds propres à partir du pro�l de risque de l'entreprise

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qui puisse garantir une marge de solvabilité convenable.

Avant même d'aborder les détails de la vision déployée par la directive Solvabilité II, ilest intéressant de visualiser les changements des bilans économiques en vision SolvabilitéI et Solvabilité II :

Bilan économique selon Solvabilité II

ACTIF

Valeur de

marché

Surplus

Risk M

argin

Minimum de Capital

Requis

Capital de Solvabilité

Requis

Valeur du

PASSIF

"Market

consistent"

ACTIF

Valeur

Comptable

Excédent de

fonds propres

Capital de

Solvabilité

Requis

PASSIF

Bilan selon Solvabilité I

ACTIF

Valeur de

marché

Risk M

argin

Best E

stim

ate

Valeur du

PASSIF

"Market

consistent"

ACTIF

Valeur

Comptable

PASSIF

ACTIF

Valeur de

marché

Best E

stim

ate

Valeur du

PASSIF

"Market

consistent"

ACTIF

Valeur

Comptable

PASSIF

Provisions Techniques

L'évaluation conforme aux données du marché devraitrefléter la valeur

qu'une tiers partie devrait payer pour les

dettes

Fonds Propres

Capital disponible

Fonds Propres

Capital disponible

Figure 3.2: Comparaison des bilans économiques Solvabilité I /Solvabilité II

3.1.2 Le bilan prudentiel

Le nouveau système adopte une nouvelle approche économique du bilan �nancier,basée sur la valeur de marché. La notion de coût historique n'est plus utilisée. Le nou-veau bilan, dit bilan prudentiel adopte ainsi une vision économique et plus comptablede la situation �nancière.

Cette évaluation économique du bilan et du besoin en capital se base sur un scénariocentral (scenario based). Ce scénario repose sur une appréciation des risques à partirdes e�ets des scénarios extrêmes sur les comptes de l'organisme d'assurance.

La valeur de marché d'un actif est le montant résultant de la vente de cet actif selonles conditions de marchés. La valeur de marché du passif est plus complexe à modéliserpuisqu'il s'agit des engagements des assureurs envers les assurés. Le passif couvrableest la valeur actuelle des engagements selon le taux du marché. Le passif non couvrableest valorisé à l'aide du best estimate et de la marge de risque .

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3.1.3 Le Best Estimate

Le Best Estimate, traduit en français par la meilleure estimation, est dé�nit selonl'article 77 de la Directive Solvabilité II comme étant : la moyenne pondérée par leurprobabilité des �ux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l'argent(valeur actuelle attendue des �ux de trésorerie futurs), estimée sur la base de la courbedes taux sans risque pertinents.

BE0 =∑∑ CFi(t)∗pi(t)

(1+r)t

Où, CFi représentent les cash �ows et pi, la probabilité d'occurence.

En assurance vie, le calcul du best estimate se calcule à l'aide de la moyenne des valeursactuelles des �ux de prestations obtenues pour chacun des scénarios. Il valorise ainsitous les engagements �nanciers et conditionnels.

L'actualisation des prestations futures correspondent au best estimate liabilities. Ilimportant de noter qu'un choc vie impacte directement sur la provision BEL. En e�et,la provision est amenée à augmenter après un choc vie alors que le capital disponible,appelé le Available Financial Ressources (AFR), diminue.

3.1.4 Le Risk Margin

Le Risk Margin, traduit en français par la marge de risque, est dé�nit selon l'EIOPAcomme étant : un montant de réserve extrême, placé au-dessus du best estimate, cal-culé de manière à garantir que la valeur du montant total des provisions techniques(BE+RM) est équivalente au montant que les compagnies d'assurances demanderontpour reprendre le passif et honorer les engagements des assurés.

Le calcul de la marge de risque se base sur le coût d'immobilisation des fonds propresnécessaires pour atteindre jusqu'au terme le SCR relatif aux engagements à la chargede l'assureur. La formule de la marge de risque s'appuie sur une simpli�cation du coûtdu capital (�Cost of Capital approach�) :

CoC = 6% ·∑ SCR(t)

(1+rt)t

Où, SCR(t)représente le capital de solvabilité requis à la date t et rt, le taux sans risqueà la date t.

Méthodologie du calcul de la marge de risque :

1) Calcul du capital requis de solvabilité SCR par la formule standard ou à l'aided'un modèle interne, à la date t = 0.

2) Calcul des SCR futurs jusqu'à cessation complète du passif.3) Application du coût de capital sur les SCR futurs calculés avec des proxies (par

la prise en compte du pro�l de liquidation des provisions mathématiques).4) Actualisation des montants liés à la courbe de rendement sans risque.

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t = 0 t = 1 t = 2 t

SCR(0)

SCR(1)

SCR(2)

SCR(t)

Réduction avec la courbe sans risque

Epuissement jusqu'à cessation complète des risques non couvertsSCR futurs

Figure 3.3: Calcul de la marge de risque

Il est important de préciser qu'il ne s'agit que d'un exemple de méthode de calcul durisk margin.

Remarques :

- Le SCR calculé dans cette méthode est liés au SCR de souscription, le SCR de marché,le SRC opérationnel et au SCR de défaut.

3.1.5 La formule standard

En assurance vie, l'approche standard est une modélisation complexe de l'activitéd'assurance, applicable à tout type de garanties. Elle est basée sur un calcul prospectifen scénario central (le best estimate) et quanti�e la perte subie en cas d'évènementdéfavorable (choc) lié à une liste dé�nie de facteurs de risques. Pour tenir compte dela faible probabilité de réalisation simultanée de tous ces facteurs de risques, la formulestandard introduit des corrélations entre eux et permet ainsi à l'assureur de constaterles béné�ces de diversi�cation.

Avant même de décrire les di�érentes étapes du calcul de la formule standard, dé�nissonsles exigences de capital imposé par les autorités de contrôle aux compagnies d'assurancespour leur solvabilité :

� Le Minimum Capital Requirement ou en français le minimum de capital de solv-abilité requis, correspond au minimum absolu à détenir pour exercer une activitéd'assurance. L'autorité de contrôle prudentiel et de résolution (ACPR) est amenéeà intervenir lorsque la compagnie possède un niveau de fonds propres inférieur auMCR.

� Le Solvency Capital Requirement ou en français le capital requis de solvabilité,représente le niveau de capital que les assureurs doivent obligatoirement maintenira�n de continuer à honorer les engagements faits aux assurés. Il est calculé de tellesorte que la probabilité de ruine de la compagnie, à horizon un an, soit inférieureà 0.5%. En e�et, théoriquement il est calculé à partir d'une structure modulaire

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des risques mesurés selon une value at risk (VaR) à 99.5%, sur un horizon d'unan, à partir de l'agrégation de six modules de risques, eux-mêmes décomposés ensous-modules.

Solvabilité II exige que le SCR soit calculé au moins une fois par an et qu'il soit noti�éaux autorités de contrôle compétentes. Toutefois, le SCR doit être continûment surveillépar les sociétés d'assurance. Il doit être réévalué à chaque que fois que le pro�l derisque de la société s'écarte des dernière hypothèses sous jacente au calcul. La directivepropose deux méthodes de calcul du SCR : la formule standard ou l'élaboration d'unmodèle propre à la société. Nous avons choisi de centrer cette partie à l'étude de laméthodologie de la formule standard pour ensuite la confronter aux particularités desmécanismes des produits variable annuities.L'article 64 de la Directive Solvabilité II dé�nit le calcul du SCR à l'aide de la formulestandard :

SCR = BSCR - AdjFDB - AdjDT + SCROperational

Adj

SCR

BSCR SCR OpérationnelAdjustments

Figure 3.4: Calcul du SCRTotal

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La dé�nition du SCR entraîne l'apparition de nouveaux termes techniques :

� Le Basic Solvency Capital Requirement (BSCR) représente le montant de capitalrequis de base pour couvrir l'ensemble des risques (excepté le risque opérationnelet les e�ets d'atténuation). Le calcul du BSCR est basé sur une approche bottomup ou modulaire : les modules s'agrègent à chaque niveau en remontant. Chaqueagrégation repose sur des matrices de corrélations prédé�nies par la réglementa-tion. Cette étape permet de tenir compte de la diversi�cation entre modules derisques.

� Les Ajustements représentent les pertes futures. La capacité d'ajustement exprimele fait qu'en cas de choc, l'assureur peut modi�er la politique de distributiondes excédents et reporter sur l'assuré une partie du choc à travers une moindredistribution des excédents. Il existe deux formes d'ajustements :

- L'AdjDT ou Adjustement deferred taxes, est l'ajustement pour l'absorption despertes des impôts di�érés.

- L'AdjFDB ou Adjustment future discretionary bene�ts, est l'ajustement pour l'absorptiondes pertes des provisions techniques.

� Le risque Opérationnel est le risque de perte résultant de procédures internesinadaptées ou défaillantes, d'erreurs humaines, de défaillance des systèmes infor-matiques, d'évènements extérieurs.

Dans ce mémoire, nous avons fait le choix de ne pas traiter l'évaluation des ajustementset du risque opérationnel.

Avant même de parcourir la méthodologie de la formule standard, il semble judi-cieux d'avoir une vision d'ensemble : les di�érents risques sont regroupés selon leurnature par module de risque. La formule standard propose d'agréger les capitauxéconomiques à partir de matrices de coe�cients de corrélation linéaires, mettant enévidence la dépendance linéaire entre les di�érents capitaux. Deux étapes d'agrégationssont réalisées : l'agrégation intra-modulaire, e�ectuée entre les risques d'un mêmemodule de risque, puis l'agrégation inter-modulaire, e�ectuée entre chaque module derisque. La cartographie ci-dessus représente la cartographie des risques par l'approchede la formule standard :

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Longevity

Disability Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

CAT

Mortality

Mortality

Longevity

Disability Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

CATInterest

rate

Equity

Property

Spread

Currency

Concentration

Illiquidity

MARKET HEALTH DEFAULT LIFE NON-LIFE INTANG

BSCR

Adj Op

SCR

SLT HEALTH

NON-SLT HEALTH

Lapse

Premium Reserve

Lapse

Premium Reserve

CAT

= inclus dans l’ajustement

pour la capacité d’absorption

de la perte dans les provisions techniques sous l’approche

modulaire

Etape n°1 :

Agrégation intra-modulaire :

Agrégation entre risques

d’un même module

Etape n°2 :

Agrégation inter-modulaire :

Agrégation entre modules

de risques

Figure 3.5: L'architecture de la formule standard

La formule standard repose sur la réévaluation du bilan suite à un choc instantané pourun risque. Le calcul du capital requis SCR par la modélisation de la formule standardrepose sur l'implémentation de chocs instantanés sur chacun des risques pris en comptedans le cadre de Solvabilité II. Les capitaux économiques sont ensuite agrégés via lesmatrices de corrélations. Rappelons en détail les mécanismes des di�érentes étapes del'estimation du capital requis de base par la formule standard :

Etape 1

Détermination du capital requis pour chaque risque de l'arborescence

Intéressons-nous de plus près au concept du capital requis :

� Il s'agit tout d'abord d'un capital cible permettant d'absorber les chocs dus auxévènements extrêmes

� Le capital requis est dé�ni comme étant un capital économique dont une compag-nie d'assurance a besoin à l'instant t = 0 tel que l'entreprise ne soit pas en faillitedans 1 an avec la probabilité de 99.5%.

L'évaluation du capital requis pour un risque d'un sous module Rsous−module est calculéeen appliquant un choc instantané sur le facteur de risque. L'ACPR est en charge de

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soumettre l'amplitude des chocs à appliquer, le calibrage du choc retenu correspond àune V alueAtRisk de 0.5%, soit le scénario qui se produit une fois tous les deux centsans. Le SCR correspond à l'impact du choc sur la Net Asset Value (NAV) par rapportau scénario central du bilan prudentiel. Nous rappelons que la NAV correspond auxfonds propres du passif, l'écart en l'actif et les provisions techniques.

Bilan économique central

avant chocBilan économique après choc

BEL1

NAV0

Montant de

l'Actif après

choc instantané

sur le facteur

de risque R

traité

Montant de

l'Actif du bilan

prudentiel en

valeur de

marché

NAV1Choc sur le

facteur de

risque R

BEL0

Figure 3.6: Impact d'un choc sur les fonds économiques

SCRsous−module = 4NAV = NAV0−NAV1 = (Actif0−BEL0)− (Actif1−BEL1) (1)

Avec :- NAV0 : la NAV du scénario central avant un choc- NAV1 : la NAV du scénario central après un choc- Actif0 : le montant de l'actif du bilan prudentiel- BEL0 : le montant de la provision best estimate du bilan prudentiel- Actif1: le montant de l'actif après un choc instantané sur le facteur de risque R,

toutes choses égalent par ailleurs.- BEL1: le montant de la provision best estimate calculé après un choc instantané

sur le facteur de risque R, toutes choses égalent par ailleurs.

Si le choc détériore la situation économique de la compagnie, l'assureur aura besoin defaire appel au SCR. Ainsi, siNAV0 > NAV1, l'assureur utilisera le SCRsous−modulerespectifau risque. Le SCRTotal des produits variable annuities est composé uniquement duSCRV ieet SCRMarche, il est donc intéressant d'étudier les di�érents impacts de cesmodules sur le bilan économique.

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Vision SCRV ie

Les risques du module vie n'impactent que le montant du best estimate et n'in�uentpas le montant de l'actif du bilan prudentiel : Actif0 = Actif1. L'équation (1) devient

SCRsous−module = 4NAV = NAV0 −NAV1 = (Actif0 −BEL0)− (Actif1 −BEL1) =BEL1 −BEL0

Les risques du module vie auront un fort impact sur la Best Estimate Liabilities.

Vision SCRMarche

Les risques du module marché impactent le montant de l'actif et le montant dubest estimate : en e�et si la valeur de marché d'un actif change, les �ux futurs serontmodi�és pour respecter la contrainte market consistent et le montant du best estimateégalement. L'équation (1) n'est pas modi�ée.

Etape 2

Agrégation intra-modulaire, agrégation des capitaux pour chaque module

Les sous-capitaux de l'étape 1 sont ensuite agrégés par module a�n d'obtenir leSCRTotal de chaque module. L'agrégation des capitaux d'un même module de risquesouligne la diversi�cation existante au sein d'un même module. Ainsi, pour chaquemodule de risque Rmodule, le calcul de capital requis SCRmodule est estimé par agrégationintra-modulaire selon la formule suivante :

SCRmodule =√∑

(i,j)∈R2mρi,j · SCRi · SCRj

Le paramètre de corrélation ρi,j est fourni par l'EIOPA.

Etape 3

Agrégation inter-modulaire, agrégation des capitaux des di�érents modules

La dernière étape permet d'obtenir le BSCR en agrégeant les capitaux des modulesSCRmoduleobtenu à l'étape 2. L'agrégation entre les modules de risques est de nouveauprise en compte par une nouvelle matrice de corrélation.

BSCR =√∑

(i,j)∈R2nρi,j · SCRi · SCRj

Le risque opérationnel et la prise en compte des ajustements sont ensuite intégrés dansle SCR.

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Exemple :

Soit un produit d'assurance vie X avec les risques suivant :- Le risque de marché : le risque actions, le risque taux d'intérêt- Le risque vie : le risque de longévité, le risque de rachats.

Etape 1 : Calcul du SCR des sous module vie et marché

Cette étape est détaillée dans le paragraphe suivant.

Etape 2 : Calcul du SCR des module vie et marché

- SCRMarche=√SCR2

actions + SCR2taux + 2 ∗ SCR2

actions ∗ SCR2taux ∗ ρactions/taux

-SCRV ie=√SCR2

longevite + SCR2rachats + 2 ∗ SCR2

longevite ∗ SCR2rachats ∗ ρlongevite/rachats

Etape 3 : Calcul du BSCR

BSCR=√SCR2

marche + SCR2vie + 2 ∗ SCR2

marche ∗ SCR2vie ∗ ρmarche/vie

Dans le cadre de la gestion des produits variables annuities, seuls les

modules risque vie et risque marché seront traités dans la suite de ce

mémoire

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3.2 Le module risque vie

Ce module de risque vie regroupe l'ensemble des risques élémentaires provenant dela souscription d'un contrat d'assurance vie. Le module du risque vie se décompose ensept sous-modules de risques. Le risque �Revision�, et le risque �Disability Morbidity�ne seront pas traités dans la mesure où ils n'ont pas d'impact sur les produits variableannuities. Au cours de cette partie, nous dé�nirons chaque risque vie impactant sur lesgaranties vie et nous décrirons leur scénario selon la formule standard.

3.2.1 Le risque de mortalité (mortality risk)

Dé�nition :

Le risque de mortalité traduit le fait de voir plus d'assurés décéder que ce qu'il étaitprévu. Cela peut provenir :

- D'erreurs dans les estimations des tables de mortalité.- De modi�cations dans le niveau, les tendances d'évolutions et la volatilité des

taux de mortalité.

Ce risque s'applique à tous les engagements dont les prestations en cas de décès excè-dent les provisions techniques, et pour lesquels une hausse de la mortalité conduira àune augmentation des provisions techniques. Dans le cadre des variable annuities, lesgaranties de type GMDB sont impactées par un choc de mortalité.

Scénario :

Comme les assurés décèdent plus vite qu'anticipé dans la provision best estimate, lescénario e�ectue une augmentation de 15% du taux de mortalité à chaque âge. Ene�et, nous augmentons la probabilité de décès de chaque âge, ce qui aura pour e�et dediminuer l'espérance de vie.

Remarque :

- Pour simpli�er le calcul du SCRmortalite, nous supposons que le taux de mortalitémoyen des assurés n'augmentera pas signi�cativement sur les n prochaines années.- La distribution de la probabilité de la mortalité est asymétrique, la tendance actuelle

étant à l'amélioration de la mortalité.

3.2.2 Le risque de longévité (longevity risk )

Dé�nition :

Le risque de longévité capture le risque de voir les assurés vivre, en moyenne pluslongtemps que les prévisions de la table de mortalité du scénario central. Le risque delongévité est lié à deux types de risques :

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� Le risque de variation aléatoire : écart du taux de mortalité de chaque indi-vidu et de celui de l'assuré (certains meurent avant l'âge de leur espérance de vieet d'autres après)

� Le risque de tendance : accroissement de la longévité par l'amélioration dumode de vie, des découvertes médicales...

Le risque de longévité traduit potentiellement l'écart entre l'évolution réelle de la mor-talité et la table utilisée pour e�ectuer la tari�cation et le provisionnement. Une aug-mentation de la longévité provoque une augmentation de la valeur actualisée des presta-tions. Ce risque s'applique ainsi aux contrats pour lesquels une baisse de la mortalitéengendrerait une hausse des provisions techniques. Il impactera les garanties GMWBet GMIB.

Scénario :

Comme les assurés vivent plus longtempsqu'anticipé dans le BE, le scénario e�ectueune baisse de 20% du taux de mortalité à chaque âge. Nous baissons la probabilité dedécès pour chaque âge pour augmenter l'espérance de vie.

Remarque :

- Les améliorations de la mortalité annuelle suivent une distribution normale.- Pour simpli�er le calcul du SCRlongevite, nous supposons que l'âge moyen des

souscripteurs dans le portefeuille est de 60 ans.- Le taux de mortalité moyen des assurés concernés n'augmente pas plus de 10% par

an.

3.2.3 Le risque de dépenses (expense risk)

Dé�nition :

Ce risque correspond à une augmentation des frais de l'assureur dans le cadre deses contrats. Cela correspond à des coûts :

- de personnel- de commissions aux intermédiaires de vente- de l'infrastructure informatique- des bâtiments, bureaux occupés

Le risque de dépenses impactent toutes les garanties.Scénario :

- Augmentation permanente de 10% sur le montant des dépenses pris en compte dansle calcul des provisions techniques- Auquel 100bps (1bps = 0.01%) sont rajoutés pour tenir compte du taux de l'in�ation

des frais.

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3.2.4 Le risque de rachats (lapse risk)

Dé�nition :

Ce module couvre les options de rachats, de réduction, de résiliation et d'extensiondes garanties. Le risque de rachat correspond au risque que les assurés rachètent leurscontrats de façon di�érente de ce que le scénario central de l'assureur prévoit. Il s'agitd'un risque de perte ou d'augmentation des passifs dû à un écart entre le taux réeld'exercice des options contractuelles de l'assuré et celui estimé dans le scénario central.

Remarque : Si la valeur de la garantie est inférieure à la valeur actuelle des charge-ments de cette garantie, la garantie est dite hors de la monnaie. L'assuré tente alorsde racheter son contrat.

Pour éviter que la garantie soit hors de la monnaie, les assureurs développent desmécanismes sophistiqués :- Un réajustement de la garantie en cas de rachat,- L'application des chargements non pas sur la valeur des unités de compte mais sur

le montant de la garantie,- Un réajustement périodique de la garantie :

� Rachets : Capitalisation au taux de la garantie

� Roll-Up : Maximum des valeurs aux dates d'anniversaire

� Resets : Maximum entre la valeur initiale et la valeur actuelle

Des pénalités de rachats

Scénario :

- Augmentation permanente de 45% du taux de rachat pour chaque âge (le taux derachat ne peut dépasser la barre de 100%).- Diminution permanente de 45% du taux de rachat pour chaque âge (le taux de

rachat ne peut être en-dessous de la barre de 0%).- Rachat massif (augmentation à hauteur de 40%).

Le SCRrachatest égale au maximum de ces trois scénarios

Remarque :

- L'augmentation et la diminution du taux de rachats constituent un choc symétriquepour les scénarios d'augmentation et de diminution du risque de rachats.

3.2.5 Le risque catastrophe (cat risk)

Dé�nition :

Ce risque est présent dans les contrats pour lesquels une hausse de la mortalité engen-drerait une hausse des prestations (et donc des provisions techniques). Les épidémies,

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les pandémies entrent dans ce cadre. Tout comme le risque de mortalité , ce risqueimpacte la garantie GMDB.

Scénario :

L'augmentation de la mortalité due à la survenance d'un évènement (pandémie, nu-cléaire, attaque terroriste, tornade) provoque une augmentation de 0.15% du nombrede personnes décédées dans le scénario standard.

Remarque :

Nous supposons que le sous module n'est pas applicable aux engagements lorsque lahausse de la mortalité conduit à une réduction des provisions techniques.

3.3 Le module risque marché

Le risque de marché est dé�ni comme étant le risque de perte résultant du niveauou de la volatilité de la valeur de marché des instruments �nanciers qui composent unportefeuille. L'exposition au risque de marché est mesurée par l'impact des mouvementsde variables �nancières telles que : le cours des actions, les taux d'intérêt, les prix del'immobilier et les taux de change.

La formule standard identi�e sept sous modules de risque de marché. Nous dé�nironschaque risque de marché impactant les garanties vie et nous décrirons leur scénarioselon la formule standard.

3.3.1 Le risque de taux d'intérêt (interest rate)

Dé�nition :

Le capital de solvabilité requis SCRtaux est destiné à faire face au risque de hausseou de baisse des taux :

Définition Impact sur l'engagement de l'assureur d'une évolution des taux d'intérêts, à la hausse comme à la baisse

Instruments Tous les actifs et les passifs dont la valeur est sensible aux changements de taux d'intérêt

Choc bi-directionnel

Niveau des chocs relatifs défini par maturité

Chocs additifs à la hausse (+1%) et à la baisse (-1%) sur la volatilité implicite

• La valeur de marché du titre

•Nominal

•Maturité

•Type d'obligations (à taux fixe ou variable)

•Taux du coupon

Intensité du choc

Données requises

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Le risque de taux d'intérêt calcule la valeur des actifs nette des passifs dans l'hypothèsed'une modi�cation de la totalité de la courbe de taux à partir d'évolutions à la hausse età la baisse par maturité des �ux. Nous supposons que le niveau et la volatilité des tauxd'intérêt sont indépendants. Les actifs qui ne compensent pas de provisions techniquessont également pris en compte.

SCRtaux = max(SCRHaussetaux , SCRBaisse

taux )

Sous l'hypothèse d'un marché complet, la baisse des taux provoque une baisse desrendements moyens.

Remarque :

- Seul le risque de taux d'intérêt qui résulte de changements au niveau de la courbede base des taux d'intérêt sans risque est pris en compte.- La volatilité et les variations de la forme de la courbe des taux ne sont pas explicite-

ment couvertes par le sous module relatif aux taux d'intérêt.

3.3.2 Le risque actions (equity)

Dé�nition :

Un capital SCRactions est destiné à faire face au risque de baisse du marché action :.

Définition Risque de dépréciation des investissements due à la dynamique des marchés bousiers entraînant

des moins-values latentes

Instruments Tous types d'actions

"Global equity" (type 1 ) : -39% ± 10%(facteur d'ajustement ) : Marché européen

"Other equity" (type 2) : -49% ± 10%(facteur d'ajustement) Pays en voie de développement

Stratégie de partipation ou action à durée minimale : -22%

La valeur de marché du titre

Il demeure important de distinguer les différentes classes d'actions

• Action cotée ou non ?

• Action européenenne émise ou OCDE ?

• Action à durée minimale ou non?

Données requises

Intensité du choc

Le risque actions représente la variation de la valeur de marché diminuée de la fairvalue du passif (Net Asset Value), suite à un choc instantané sur la valeur des actions.Il dépend non seulement du niveau des actions mais aussi de la volatilité implicite.

Il existe deux types d'actions :- Les actions �Global�: actions listées dans un pays membre de l'Union Européenne

ou de l'OCDE. Hors OCDE, ces actions sont cotées.

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- Les actions �Other� : autres actions listées hors de l'OCDE, actions non listées,Hedge funds, matières premières. Ces actions sont non cotées ou proviennent des paysémergents.

Les chocs associés aux types d'actions sont calculés à partir de la Value-at-Risk (VaR)sur un horizon d'un an, au niveau de con�ance 99.5%. Le facteur d'ajustement modi�el'amplitude du choc du module action en fonction du niveau des marchés actions à ladate de calcul du SCR par rapport au niveau moyen sur 3 ans des marchés actions.

SA = 12(CI−AI

AI− 8%)

Où- Le terme AI est la moyenne quotidienne d'indice sur 36 mois- Le terme CI est le niveau actuel de l'indice (MSCI Europe en ε).

Le capital requis propre au risque actions est calculé pour les actions du type 1 et dutype 2, avec une corrélation de 0.75 :

SCRactions =√SCR2

type 1 + 2 · 0.75 · SCRtype 1 ∗ SCRtype 2 + SCR2type 2

Une grande volatilité des cours des actions entraîne un coût élevé pour l'assuré.

Remarque :

- Les actifs et les passifs exposés au risque actions ne sont exposés qu'à une baissedes prix actions et non à une hausse.- La valeur des investissements en actions ne peut tomber en-dessous de zéro.

3.3.3 Le risque immobilier (property)

Dé�nition :

Il est intéressant de noter que le projet QIS 5 distingue l'immobilier côté, traité dansle module action de l'immobilier non côté. Le capital SCRimmopermet de faire face auxvolatilités des prix de l'immobilier dans le marché boursier :

Définition Risque d'un krach dans le marché immobilier

-Propriétés, bâtiments

-Sociétés immobilières

-Immobilier d'exploitation

Intensité du choc 25%

Données requises • La valeur de marché du titre

Instruments

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Le principe est de calculer l'impact d'une chute de 25% des marchés immobiliers sur lavaleur nette des actifs en tenant compte des détentions réelles en matière d'immobilier etnotamment des éventuelles couvertures. Aucune di�érence n'est faite entre l'immobilierrésidentiel et l'immobilier commercial.

Remarque :

- Le pro�l de risque de toutes les expositions de l'entreprise au risque sur actifsimmobiliers situés dans les pays hors Europe ne di�ère pas signi�cativement de celuides marchés immobiliers européens.

3.3.4 Le risque de signature (spread)

Dé�nition :

Le risque de Signature SCRsignature correspond à l'évolution du prix (la prime derisque) que les investisseurs demandent pour accepter de supporter ce risque de défaut.Ce sous module vise à quanti�er le besoin en capital correspondand au risque d'uneévolution à la hausse ou à la baisse des spreads de crédit ou signature (écart entre le tauxactuariel d'un produit de taux et le taux sans risque de la devise du titre). Il demeureimportant de ne pas confondre le risque de défaut (perte associée à la réalisation dela probabilité de défaillance) et le risque de signature (perte associée à une variationdéfavorable de la probabilité de défaillance implicite, mesurée par le marché). Il estutile de remarquer que le risque d'évolution des marges (spreads) demeure un besoinen capital SCRsignatureen plus du capital pour faire face au risque de taux SCRtaux.

Définition Risque résultant de la valeur nette des actifs déclenchées par les variations de

spread de crédit

• Eléments exposés au risque de défaut de contrepartie (Tritisation, ABS, Dérivés

spéculatifs…)

• Prêts hypothécaires (risque de contrepartie)

• Les obligations gouvenementales EU, émises dans leur propre devise

• Exposition à la BERD, BIRD, certaines organisations internationnales sont libres de

prévoir un capital pour le risque de spread

Intensité du choc Dépend du taux et de la duration

• La valeur de marché du titre

• Les taux

• Les sensibilités (modifiant la duration)

Données requises

Instruments Obligations de société, Produits structurés, Obligations gouvernementales non EU,

les dérivés de crédits

Instruments exclus

Ce besoin en capital est proportionnel à la valeur de marché du titre, à la durationet à un coe�cient de pénalisation (fonction de la notation de l'émettteur). Pour lesassureurs autorisés à utiliser une prime d'illiquidité pour actualiser leur passif, il estnécessaire d'estimer l'impact des chocs de spread de crédits (à la hausse et à la baisse)sur le niveau de la prime et d'en déduire l'impact sur la fair value du passif. Le risquede signature s'e�ectue à trois niveaux:

� Le risque des produits dérivés de crédit (CDS, excepté les govies EU dans leurdevise)

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� Le risque des produits structurés de crédit (ABS, CDO, les prêts)

� Le risque des prêts hypothécaires

SCRsign = SCRobligationsign + SCR

produit de prêtsign + SCRdérivés de créditsign

Où :

- SCRisign = max(4NAV ‖choc de signature, 0)

- SCRproduit de prêtsign = max(4NAV ‖choc de signature, 0)

L'ampleur des chocs appliquée à la valeur de marché dépend de la classe de la notationet de la duration tel que :

Choc de signature =∑

iMVi · F (note, duration)

Où :- L'indice i est l'exposition au risque de crédit i.- Le terme MV est la valeur de marché de l'obligation en ε- Le terme F (note, duration) est la fonction tenant compte de la classe de notation

et de la duration dans le calcul de la charge de capital. (voir annexe)

Exemple :

Pour une obligation AA de duration 7 ans, le choc de signature est 5.5%∗(7−5)) = 6.6%.

Remarque :

- Le risque de dégradation et le risque de défaut ne sont pas explicitement couverts.- En supposant qu'une augmentation de la marge d'un montant correspond à une

augmentation bi centennale, nous supposons qu'il n'y a aucune diversi�cation entre lesdi�érents sous-modules.- La formule standard ne prévoit pas de charge en capital pour le risque de spread

dans le cas des obligations d'Etat.

3.3.5 Le risque de change (currency risk)

Dé�nition :

Le SCRchangevise à quanti�er le besoin en capital correspondant à la perte généréepar l'e�et de change sur la valeur des actifs.

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Définition Risque engendré par un changement de niveau des taux de change

Instruments Tous les actifs de devise différentes

Intensité du choc +/-25%

Données requises • La valeur de marché du titre

Le SCRchange est égale à la somme des besoins en capital individuels associés à chaquedevise.

Remarque :

- Les e�ets de change n'apparaissent uniquement dans ce sous-module.

3.3.6 Le risque de concentration (Concentration Risk)

Dé�nition :

Le SCRconcentrationmesure le besoin de capital pour contrer le manque de diversi�ca-tion ou bien une surexposition au risque de défaut d'un émetteur.

Définition Risque de défaut potentiellement aggravé par une sur-concentration sur

un émetteur

Instruments Revenu fixe, Action, Spread, Actif immobilier

• Les actifs déjà couverts dans le module Défaut

• Les actifs couvrant les passifs dont le risque de marché est supporté par

le souscripteur (les variables annuities)

• La valeur de marché

• Les taux

• Les actifs sont regroupés par groupe d'émetteurs

Instruments exclus

• Les filiales consolidées dans un même groupe, sous réserve d'être

supervisées par une autorité reconnue (filiale d'assurance, société de

gestion...)

Instruments exclus dans le capital requis SCR mais inclus au sein des actifs

Données requises

Certaines obligations gouvernementales , les banques centrales, les

banques de développement. Attention, contrairement aux exemples

précedents, la valeur de marché de ces actifs est pris en compte pour

calculer l'exposition globale (l'Actif)

La concentration est calculée au niveau de la société mère à laquelle l'émetteur estrattaché. L'exposition nette (somme des expositions individuelles) à cette société et laqualité du crédit sont dans un premier temps calculées. La qualité du crédit est égaleà la qualité moyenne de crédit des expositions individuelles pondérées par le montantdes expositions individuelles.

Le niveau de concentration excessive (excess exposure) à une entité est :

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XSi = max(0; EiActifs

− CTi)

Où- Le terme Ei est l'exposition à l'entité- Le terme CTi correspond à niveau de l'indice- Les Actifs représentent la valeur totale de marché des actifs concernés par ce sous

module.

SCRconcentration =√∑

i(Ei, XSi · gi)2

Remarque :

- Ce risque exclut la concentration géographique ou sectorielle des actifs détenus,seule l'accumulation d'expositions à la même contrepartie n'est retenue.

3.3.7 Le risque de prime d'illiquidité (Illiquidity Risk)

Dé�nition :

Le SCRilliquiditeintroduit une exigence de capital lié au risque de baisse du niveau deprime d'illiquidité qui viendrait augmenter la valeur de la provision best estimate.

SCRilliquidite = ∆NAV ‖ choc de 65%

A ce stade du mémoire, la connaissance de la formule standard est complète. Lecalcul du SCR paraît à la fois simple et rigoureux. Rappelons que l'objectif de laformule standard est de donner un résultat de capital règlementaire correct pour unmaximum d'intervenants du marché européen dans un maximum de situations possi-bles. Par conséquent ces chocs doivent être représentatifs de la réalité des risques portéspar les compagnies et les paramètres de la formule standard soigneusement calibrés.

Testons désormais sa �exibilité et son adaptation au pro�l de risque de toute entreprise.

3.4 Problème d'agrégation à plusieurs niveaux

Avant même de confronter la formule standard aux mécanismes singuliers d'unportefeuille variable annuities, nous vous proposons de mettre en avant la principalelimite des hypothèses de la struture de dépendance et d'agrégation des risques.

Soit une compagnie d'assurance exposée aux risques suivant : Risque A, Risque B,Risque C, Risque D. La compagnie doit prévoir un capital requis pour chacun de cessous-modules de risques (A,B,C,D) puis un capital pour les modules (A+B) et (C+D)a�n d'estimer au mieux le capital de solvabilité global SCRglobal:

SCRglobal =√∑

i

∑j ρi,jSCRiSCRj.

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A B C D

A+B C+D

Figure 3.7: Arboresence du pro�le de risque

Les paramètres de corrélation ρi,j :

A B C D

A 1

B 0.5 1

C 0.75 0.75 1

D 0.5 0.5 0.25 1

Première simulation :

Soit le capital requis respectif à chaque sous-module pour l'année 2013 :

Année 2013SCRA 1000εSCRB 200εSCRC 2000εSCRD 500ε

A l'aide de l'agrégation intra-modulaire, calculons le capital requis de chaque module :

SCRA+B

√SCRA2 · SCRB2 · 2 · ρA,B · SCRA · SCRB 1114ε

SCRC+D

√SCRC2 · SCRD2 · 2 · ρC,D · SCRC · SCRD 2179ε

SCRA+B+C+D

√∑i,jε{A,B,C,D} ρi,j · SCRi · SCRj 3192ε

Calculons désormais le coe�cient de corrélation entre A+B et C +D :

Corr2013(A+B,C +D) 0.865

D'après la formule standard, si nous e�ectuons ces mêmes calculs une année plus tard,le coe�cient de corrélation entre A + B et C + D ne devrait pas changer. La matricede corrélation ne change pas, seuls les capitaux requis pour les sous-modules changent,étant donné que ces derniers dépendent des données du marché et de l'évolution ducomportement des Hommes (Longévité, mortalité...etc.).

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Deuxième simulation :

Soit le capital requis respectif à chaque sous-module pour l'année 2014 suivant :

Année 2014SCRA 1100εSCRB 300εSCRC 1800εSCRD 800ε

Marse

A l'aide de l'agrégation intra-modulaire, calculons le capital requis de chaque module :

SCRA+B

√SCRA2 · SCRB2 · 2 · ρA,B · SCRA · SCRB 1277ε

SCRC+D

√SCRC2 · SCRD2 · 2 · ρC,D · SCRC · SCRD 2145ε

SCRA+B+C+D

√∑i,jε{A,B,C,D} ρi,j · SCRi · SCRj 3336ε

Calculons désormais le coe�cient de corrélation entre A+B et C +D :

Corr2014(A+B,C +D) 0.895

Conclusion :

Corr2013(A+B,C +D) 6= Corr2014(A+B,C +D)

L'agrégation à plusieurs niveaux de la formule standard re�ète une incohérence auniveau des résultats suite à une variation du portefeuille. En e�et, la nature des risquesainsi que la matrice de corrélation n'ont pas changé. Le facteur de risque dépendancen'est pas proprement évalué. L'agrégation intra et inter modulaire de la formule stan-dard apparaît comme une approximation forte. Le développement d'un modèleinterne permettrait de mieux re�éter la dépendance de queue.

Cette imperfection règlementaire peut entraîner de nouveaux doutes sur l'e�cacité de laformule standard, en particulier lorsque le portefeuille contient un produit d'assuranceinnovant comme les variable annuities combinant les �uctuations du marché et les com-plexités de l'assurance vie. Nous nous sommes intéressés à l'impact des e�ets combinésdes di�érents risques. Nous avons fait le choix de mettre cette analyse en annexe.

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3.5 Evaluation du capital requis de solvabilité par la

formule standard

En novembre 2010, l'EIOPA publie le consultation paper n°83 qui alarme les as-sureurs : les assureurs, responsable de portefeuille de variable annuites doivent sepréparer à estimer le capital de solvabilité requis à l'aide d'un modèle interne carl'utilisation de la formule standard ne sera plus autorisée pour ces produits d'assurancesvie.

A�n d'illustrer la conclusion de ce rapport, nous allons calculer le capital de solvabilitéd'un portefeuille de variable annuites par l'approche de la formule standard. Nous anal-yserons les résultats �naux et nous démontrerons l'insu�sance de la formule standardface aux variable annuities.

3.5.1 Composition du portefeuille

Nature du passif

Soit un portefeuille X, constitué des produits d'assurance vie avec garanties suivant:

� Un produit associant une garantie de retraits réguliers minimum sur une période�xée GMWB avec une garantie plancher en cas de décès GMDB : GMWDB

� Un produit combinant une garantie de capital minimum au terme en cas de vieGMAB avec une garantie plancher en cas de décès GMDB : GMADB

Le portefeuille met à la disposition de l'assuré une garantie en cas de vie (GMWB ouGMAB) combinée avec une garantie en cas de décès (GMDB).

Nature des sous-jacents

Le portefeuille X est composé d'actions, d'obligations, de fonds à volatilité capée. Letableau ci-dessous résume la répartition de du portefeuille

Portefeuille X Composition en %

Equity 36.02%

Foreign and domestic bonds 32.75%

Cash 3.09%

Capped Volatility Funds 28.15%

Total 100%

Figure 3.8: Composition du portefeuille X

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Remarque :

Les produits fonds à volatilité capée (Capped Volatility Funds) permettent de con-trôler la volatilité future du fonds à partir des observations de la volatilité actuelle dufonds. Les fonds à volatilité plafonnée sont composés d'un sous-compte risqué avec uneforte volatilité (action, panier d'actions) et d'un autre sous-compte non risqué avec unevolatilité négligeable (obligation ou cash). Le niveau de la volatilité future est basé surla volatilité du sous-compte risqué. Nous écrirons un produit fonds à volatilité de lamanière suivante CV F[Action/Obligation]dans la suite du mémoire. Ces fonds possèdentdes avantages et des inconvénients :

� Les gains et les pertes sont limités

� La maitrise du niveau de la volatilité facilite la couverture

� L'évaluation de ces produits demeure complexe

Nature des actifs

Les actifs suivant permettent de couvrir le risque de change et les sensibilités �nan-cières (Delta,Rho) :

� Swap de taux d'intérêt : Opération �nancière dans laquelle deux contrepartiescontractent chacune simultanément un prêt et un emprunt dans une même devise,pour un même montant, pendant une même durée mais sur des références de tauxdi�érentes.

� Contrat à terme sur indice actions et sur obligations : Contrat standardisénégocié sur un marché organisé permettant de s'assurer ou de s'engager sur unprix pour une quantité déterminée d'un produit donné (le sous-jacent) à une datefuture.

� Dérivé de crédit sur transfert de rendement ou Total Return Swap : Opéra-tion par laquelle deux acteurs économiques échangent les revenus et le risqued'évolution de la valeur de deux actifs di�érents pendant une période de tempsdonnée. Une des branches du swap est généralement constituée d'un prêt à courtterme, pour l'autre tout type de titre �nancier est imaginable (indice boursier,une action en particulier, une obligation...)

3.5.2 Hypothèse de travail

La modélisation du passif est estimée grâce à des outils internes à la compagnie :

- Le générateur de scénarios économiques du groupe (GSE) en univers risque neutre.Il permet, via la projection stochastique des variables �nancières, de générer la distri-bution en probabilité du rendement �nancier d'une compagnie d'assurances un horizond'un an. Pour ce faire, il produit un ensemble de scénarios économiques correspondantà chaque facteur de risque considéré.

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- Le générateur développé par la compagnie même permettant de calculer les grecques. Ilest capable de capturer de façon réaliste les risques économiques et assurantiels auxquelsl'assureur est exposé.La �gure 3.9 récapitule l'ensemble des chocs que nous avons implémenter :

Formule standard

X Chocs

Risque Marché

Taux d'intérêtVoir le tableau des choc de taux d'intérêt en fonction de

la maturité

Action -44%

Change -25%

Risque Vie

Mortalité +15%

Longévité -20%

+50%

-50%

40%

Catastrophe +0.15%

Dépense+10% de dépense +

100bps d'inflation

Rachat

Figure 3.9: Choc de la formule standard

Il est important de souligner que les chocs ci-dessus sont utilisés pour l'actif et le passif.Une deuxième remarque que nous pouvons faire est qu'il y a très peu de choc relatif aumodule de marché. Bien que les produits variable annuites soient des produits forte-ment exposés au risque �nancier, la formule standard ne prend pas en compte les risques�nanciers propres aux garanties vie ; tels que les risques liés à la volatilité réalisée (voirChapitre 4 : Modélisation de la couverture dynamique) En e�et, les variables annuitiesne sont exposés ni au risque immobilier, ni au risque de concentration, ni au risquede l'illiquité, ni au risque de spread tel qu'il est décrit dans l'approche de la formulestandard.

La majorité des risques de marché d'un portefeuille variable annuities provient de lacouverture dynamique. En faisant appel à une couverture statique, la formule ferméede l'approche standard manque de souplesse et donne un pro�l de risque propre aumarché erroné pour les garanties VA.

3.5.3 Modélisation de l'actif

Dans l'approche Solvabilité II, l'actif du bilan est valorisé en valeur de marché,c'est-à-dire à la valeur à laquelle il serait possible de les vendre dans l'immédiat. Lamodélisation de l'actif concerne ainsi uniquement le module marché. L'idée principaleest d'appliquer les mêmes chocs de marché à l'actif et au passif aux di�érents instru-ments �nanciers. Qu'il s'agisse d'actions ou d'obligations, nous appliquerons la formulesuivante pour paramétrer le GSE à l'indice i correspondant à l'action ou à l'obligation:

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Choci = 1−Durationi ∗%Obligationi ∗ ChocObligationi + %Action

i ∗ ChocActioni

Le tableau 3.10 montre le risque actions. Seules les actions sont impactées par ce choc:

Action (Type 1) Duration%

Obligation%

ActionChoc

-44%

Action 1 0 1 -44%

Action 2 0 1 -44%

Action 3 0 1 -44%

Action 4 0 1 -44%

Action 5 0 1 -44%

Figure 3.10: Chocs appliqués au risque actions

Comme nous l'avons vu précedemment, le capital propre au risque de taux d'intérêt estégal à SCRtaux = max(SCRHausse

taux , SCRBaissetaux ).

Les tableaux 3.11 et 3.12 représentent respectivement les chocs à la hausse et les chocsà baisse, pour les obligations et les fonds à volatilité capée.

Taux d'intérêt à la hausse

Duration%

Obligation%

ActionChoc

Obligaion 1 7.27 1 0 -7.2

Obligation 2 3 1 0 -3.0



Monnaie 0 0 0

CVF 1 7.43 0.6 0.4 -4.6

CVF 2 7.35 0.5 0.5 -3.8

CVF 3 7.35 0.4 0.6 -3.1

CVF 4 7.35 0.7 0.3 -5.3

Figure 3.11: Chocs appliqués au risque de hausse des taux intérêts

Taux d'intérêt à la baisse

Duration%

Obligation%

ActionChoc

Obligaion 1 7.27 1 0 4.0

Obligation 2 3 1 0 1.7

Obligation 3 10 1 0 5.4

Obligation 4 22 1 0 12

Monnaie 0 0 0

CVF 1 7.43 0.6 0.4 2.5

CVF 2 7.35 0.5 0.5 2.1

CVF 3 7.35 0.4 0.6 1.7

CVF 4 7.35 0.7 0.3 2.9

Figure 3.12: Chocs appliqués au risque de baisse des taux d'intérêts

Par ailleurs, nous rappelons que changement de la courbe de taux impacte deux facteurs:

� La valeur des obligations en valeur market-to-market : une hausse destaux provoque une diminution de la valeur des obligations et donc une augmen-tation des claims.

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� Le taux d'actualisation : une hausse des taux provoque une baisse du coût des�ux futurs.

Ainsi, nous avons également changer la courbe de taux dans notre modèle GSE. Lescourbes de taux utilisées utilisées sont en Annexe.

3.5.4 Analyse du capital requis SCR

Les risques du module marché et du module vie ont tous été choqués à l'aide desinstructions précédentes. L'exigence de capital mesuré pour chaque risque (actif etpassif) correspond à l'impact du choc de la NAV par rapport au scénario central :

SCRsous−module = 4NAV = NAV0 −NAV1 = (Actif0 −BEL0)− (Actif1 −BEL1)

Le tableau 3.13 récapitule l'ensemble des capitaux obtenus :

in X €M

Risque Marché

Actif Passif Total

Taux d'intérêt à la hausse 22 633 509 19 428 465- 3 205 045

Taux d'intérêt à la baisse 29 317 944- 19 002 976 10 314 968-

Actions (Type 1) 21 301 165 54 178 508- 32 877 343-

Change 4 147 055 4 935 278- 788 223-

Risque Vie

Mortalité 12 173 - 12 173 -

Longévité - 12 833 864 - 12 833 864

- 107 139 - 107 139

13 216 049 - 13 216 049 -

- 187 424 - 187 424

Catastrophe - 1 069 - 1 069

Dépenses - 2 048 436 - 2 048 436

Rachat

Formule Standard

Figure 3.13: Capital de solvabilité pour les modules marché et vie

Analyse du capital du risque marché

Le module marché est composé du risque actions, du risque taux d'intérêt et du risquede change :

- Le capital propre au risque taux est dû à un changement à la baisse du niveau de lacourbe de base des taux d'intérêt. Une baisse des taux va augmenter la provision de laBEL et va diminuer les fonds propres.

- Le risque action représente plus de 86% du capital du module marché. La chute de lavaleur de marché des actions entraîne une réduction de la valeur du fonds à la matu-rité. L'écart entre la valeur du fonds et la garantie devient ainsi plus grand, les claimsdeviennent plus élevés.

- Le risque de change est un risque négligeable.

La baisse des actions et la baisse des taux sont redoutés par les assureurs des garantiesvie, il est nécessaire de les capturer correctement.

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Le pro�l de risque tel qu'il est décrit est erroné. Il aurait fallu prendre compte desrisques suivants : les risques dus à la couverture dynamique (risque de convexité duau rebalancement de la couverture dynamique, risque de la volatilité implicite dû à lasensibilité vega, basis risk dû à la di�érence de fonds propres et des instruments decouverture).

Par ailleurs, il est nécessaire de souligner que le modèle interne de la compagnie couvreuniquement le 1er ordre, les variations liées aux chocs ne sont donc pas entièrementcompensées par l'actif. C'est pourquoi la somme de l'actif et du passif n'est pas nulle.

La �gure 3.15 montrent la proportion des capitaux relatifs à chaque sous-module derisques. Le capital propre à la hausse des taux est positif : en e�et, la hausse des tauxentraîne une augmentation du taux d'actualisation, les claims coûtent alors moins cher.La hausse des taux est positive pour le bilan de l'assureur.

3 205 045

-10 314 968

-32 877 343

-788 223

-35 000 000

-30 000 000

-25 000 000

-20 000 000

-15 000 000

-10 000 000

-5 000 000

-

5 000 000

10 000 000

1

Taux d'intérêt à la hausse Taux d'intérêt à la baisse

Actions (Type 1) Change

Figure 3.14: Capitaux du module marché

Analyse du capital du risque vie

Premièrement, nous remarquons que deux risques se démarquent : le risque de longévitéet le risque de rachat à la baisse. Ces derniers sont du même ordre de grandeurs.

Le produit GMWB est responsable du fort risque de longévité et du risque de rachat :

- L'un des avantages de la garantie GMWB est la conversion d'un capital en renteviagère. Plus l'assuré vit longtemps, plus la compagnie d'assurance doit lui verser unerente et cela même si le montant net investi est nul. Il y a donc un réel risque de ruineavant le décès de l'assuré.- La garantie GMWB est particulièrement sensible au comportement de rachat del'assuré. En e�et, si le montant de la garantie est inférieur à la valeur actuelle deschargements de cette garantie, le chargement est alors trop grand pour la garantie of-ferte. On dit que la garantie est �hors de la monnaie�. L'assuré est alors tenté de

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racheter son contrat. Par ailleurs, plus la valeur de la garantie est élévée �dans la mon-naie�, plus l'assureur doit faire face à des coûts élevés en absence de rachats.

Le capital du risque dans l'approche standard renvoie un bon pro�l de risque. Noustenons à préciser que l'évaluation du risque de rachats suit un mécanisme di�érent dansnotre modèle interne. Nous avons fait le choix de ne pas le traiter dans notre étude.

La �gure 3.16 montre la proportion de capital de chaque sous-module du risque vie

-12 173

-12 833 864

-1 069

-2 048 436

-107 139

-13 216 049

-187 424

-14 000 000

-12 000 000

-10 000 000

-8 000 000

-6 000 000

-4 000 000

-2 000 000

-

1

Mortalité Longévité Catastrophe

Dépenses Rachat à la hausse Rachat à la baisse

Rachat massif

Figure 3.15: Capitaux du module vie

Analyse du capital requis total

Les capitaux précédents sont ensuite agrégés par module à l'aide des matrices imposéespar la réglementation. La dernière étape consiste à agréger les capitaux des modulespour obtenir le BSCR.

Le tableau ci-dessous rassemble les capitaux relatifs au risque total du module marché,vie et le capital global du portefeuille.

X Formule Standard

Risque Marché 39.0 €m

Risque Vie 13.5 €m

SCR total 44.4 €m

Figure 3.16: Capital total par module

Le capital requis pour couvrir les risques du module marché dans une situation défa-vorable est nettement supérieur au capital requis pour faire face aux risques du modulevie. Nous rappelons toutefois que la formule standard ne permet de mesurer seulementtrois risques du module marché, nous pouvons dès lors nous interroger sur la valeur dece capital avec l'ensemble des risques marchés.

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Conclusion

Les limites de la formule standard sont particulièrement visibles dans le modulemarché. En e�et, le pro�l de risque du module de marché est erroné par le manque derisques mesurés. La couverture dynamique indispensable à la bonne gestion des variableannuites n'est pas prise en compte. Dans le but de prendre conscience de l'importancede la mesure des risques liés à la couverture �nancière, nous proposons d'exploiter dansla partie suivante le mécanisme de la couverture dynamique.

/123


/123

Chapter 4

Modélisation d'une couverture

dynamique

À compter du 1er Janvier 2016, le cadre prudentiel et comptable de Solvabil-ité II obligera non seulement les assureurs à couvrir leurs engagements à horizon unan avec une probabilité de 99.5% ; mais les incitera également à optimiser leur fondspropres en identi�ant les principaux risques auxquels ils sont exposés. Or, pour lescompagnies d'assurance proposant des variable annuities, le risque de variation adversedes marchés �nanciers est l'un des plus matériels. Dans ce contexte, les stratégies decouvertures de portefeuilles peuvent permettre de réduire le risque de marché d'unecompagnie d'assurance et donc le capital de solvabilité requis total (SCR). La couver-ture �nancière est alors vue comme la réponse au besoin de fonds propres immobiliséssous Solvabilité II.

La présente étude sur le risque de marché porte sur le domaine très particulier de lacouverture dynamique dans un portefeuille de variable annuities. Dans un premiertemps, nous montrerons l'intérêt que présente la mise en place d'une couverture �-nancière. Nous mettrons en avant l'e�cacité d'une couverture dynamique face à lacouverture statique préconisée par la formule standard. Dans la suite de l'exposé, nousnous intéresserons à la couverture dynamique utilisée par l'entité considérée. Nousanalyserons sa modélisation et nous nous interrogerons sur l'élaboration de nouvellesméthodes d'approche. Nous avons choisi de centrer notre étude sur la couverture dy-namique du 2nd ordre, nous simulerons di�érentes formules de la sensibilité Gammaa�n de trouver l'estimation la plus �dèle.

4.1 Préambule sur la méthodologie du modèle interne

Dans un portefeuille de variable annuities, le risque de marché constitue l'élémentle plus complexe à mesurer et le plus signi�catif. Nous rappelons que le capital desolvabilité du module marché doit couvrir les risques suivant : le risque actions, lerisque de taux d'intérêt, le risque spread, le risque d'in�ation, le risque de volatilitéimplicite, le risque de volatilité réalisée et le risque dû à la corrélation imparfaite entre

77


le prix de l'actif à couvrir et le prix de l'actif servant de couverture. Nous rappelons queseuls les risques actions et taux d'intérêt sont pris en compte dans la formule standard.L'évaluation de ces risques doit s'assurer de la pertinence de ses hypothèses.

Le recours à un modèle interne permet à l'entreprise d'élaborer ses propres choix surla mesure de ses risques parmi de nombreuses méthodologies. Les risques de marchépeuvent être estimés à l'aide de :

� La méthode des formules fermées

� La méthode Simulation dans les Simulations (SdS) : cette méthode consisteà réaliser des simulations en univers monde réel sur la première période, puis dansune seconde étape, à e�ectuer pour chaque simulation primaire, des simulationsmarket consistent. Cette approche requiert ainsi, d'une part la génération d'unetable de scénarios économiques monde-réel, d'autre part la génération d'une tablede scénarios économiques risque neutre.

� La méthode des portefeuilles répliquants (Replicating Portfolios) : cetteapproche consiste à construire un portefeuille d'actifs �nanciers �ctifs sur lemarché qui a la même valeur que le portefeuille passif, ainsi que les mêmes sensi-bilités aux chocs �nanciers. Les actifs peuvent être valorisés à l'aide de formulesfermées.

� La méthode fondée sur le calibrage d'une forme paramétrique: cetteméthode consiste à calibrer une forme paramétrique permettant de représenterla distribution des fonds propres économiques à un horizon 1 an, en fonction desdi�érents facteurs de risques.

� La méthode des approximations : cette approche utilise les sensibilités (ougrecques) et le développement de Taylor a�n de mesurer les pertes potentielles.

Face à un contrat de variable annuities, certaines approches ne peuvent être envisagées: les spéci�cités des garanties éliminent le recours aux formules fermées, opérationnelle-ment la méthode SdS est délicate voire impossible (coût considérable en temps decalcul). La complexité des produits et l'utilisation du programme de couverture dy-namique rendent la méthode des portefeuilles répliquants inappropriée.

Parmi les méthodes restantes, nous montrerons dans les parties qui suivent, l'utilisationde la méthode paramétrique et de la méthode des approximations dans la modélisationd'une même couverture dynamique. Le choix de la méthode dépendra essentiellementde la norme (norme IFRS/norme Solvabilité II).

4.1.1 Les sensibilités

Les di�érents indicateurs de sensibilité (ou grecques) peuvent être résumés à l'aidedes dé�nitions suivante :

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Hypothèses :

- LOV est la valeur de la garantie du client- St est le niveau du sous-jacent ou de l'account value, au temps t- rt est le niveau du taux d'intérêt au temps t- σt est le niveau de la volatilité implicite au temps t

Delta ∆:

Le sensibilité Delta représente la variation du portefeuille en fonction de la variationdes fonds sous-jacents.

∆ = ∂LOV∂St

Gamma Γ

- La sensibilité Gamma représente la convexité du portefeuille en fonction du coursdes sous-jacents.

Γ = ∂2LOV∂S2

t

Vega ν

- La sensibilité Vega représente la variation du portefeuille en fonction de la variationde la volatilité implicite (respective aux actions et aux taux d'intérêt).

ν = ∂LOV∂σt

Rho ρ

- La sensibilité rho représente la variation du portefeuille en fonction de la variationdu taux d'intérêt.

ρ = ∂LOV∂rt

Rho convexité dρ

- La sensibilité rho convexité représente la convexité du portefeuille en fonction devariation du taux d'intérêt.

dρ = ∂2LOV∂r2t

Theta θ

- La sensibilité Theta représente la variation du portefeuille au �l du temps .

θ = ∂LOV∂t

Dans notre étude, nous nous intéresserons plus particulièrement aux sensibilités Deltaet Gamma. A�n d'éviter tout ambiguité, l'ensemble des grecques seront notées G. etla notation S sera utilisée pour la valeur du sous-jacent.

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4.1.2 Généralités sur le Pro�t and Loss (PnL)

Le Pro�t and Loss (PnL) ou résultat, re�ète de manière synthétique la situationéconomique de la société. Le payo� d'un portefeuille de variable annuities sur unhorizon un an est donné par la formule suivante :

PnLTotal =(PassifSIIChoque − PassifSIINonChoque)− (CouvertureSIIChoque − CouvertureSIINonChoque) (1)

Nous pouvons simpli�er l'équation (1) de la façon suivante :

PnLTotal = 4(Passif)SII −4(Couverture)SII (2)

Le programme de couverture de l'entité considérée vise à réduire les �uctuations de lagarantie en normes IFRS (International Financial Reporting Standards). Il est donccohérent d'introduire le terme en norme IFRS. Une di�érence entre la valeur de lagarantie variable annuites entre la norme Solvabilité II et la norme IFRS est alorsobservée. Cette di�érence est due aux �uctuations des marchés, aux variations démo-graphiques et aux conventions associées à chacune de ces normes.

La valeur de la garantie en norme IFRS est donc rajoutée puis soustraite dans l'équation(2) :

PnLTotal = ∆(Passif)SII −∆(Passif)IFRS + ∆(Passif)IFRS

−∆(Couverture)IFRS + ∆(Couverture)IFRS −∆(Couverture)SII

PnLTotal =[∆(Passif)SII −∆(Passif)IFRS

]+[

∆(Passif)IFRS −∆(Couverture)IFRS]

+[4(Couverture)IFRS −∆(Couverture)SII

]PnLTotal = PnLSII−IFRS + PnLCouverture

Le PnL total peut être décomposé à l'aide des sensibilités par un développement deTaylor. Le PnL total est alors la somme des PnL propre à chaque sensibilité. Dès lors,le PnL associé à une sensibilité G (Delta ∆, Gamma Γ, Rho ρ, Rho Convexité dρ) estcalculé à l'aide des formules précedentes :

G = GSIIPassif −GSII

Couverture

= (GSIIPassif −GIFRS

Passif ) + (GIFRSPassif −GIFRS

Couverture) + (GIFRSCouverture −GSII

Couverture)(3)

Le calcul de l'impact global des sensibilités dépend de :

� L'impact lié à l'écart entre les sensibilités du passif dans la norme Solvabilité IIet du passif dans la norme IFRS :

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(GSIIPassif −GIFRS

Passif )

Cet impact est estimé à l'aide de la méthode de la forme paramétrique. Ce terme n'estpas spéci�que aux produits variable anuities, il est commun à tout produit d'assuranceet indépendant du programme de couverture. Nous avons fait le choix de ne pas traiterce terme dans la suite du mémoire.

� L'impact lié à la couverture dans la norme IFRS :

(GIFRSPassif −GIFRS

Couverture)

� L'impact lié à l'écart entre les sensibilités des couvertures en norme Solvabilité IIet en norme IFRS :

(GIFRSCouverture −GSII

Couverture)

Ce terme peut être systématiquement considéré comme nul : en e�et, la valorisationdes actifs en norme IFR est faite au prix du marché, cette dernière est donc en ligneavec le cadre de Solvabilité II. Par la suite, nous considérons que les sensibilités desactifs de couverture sont égales en norme IFRS et en norme Solvabilité 2 :

GIFRSCouverture = GSII

Couverture → (GIFRSCouverture −GSII

Couverture) = 0

En conclusion, l'étude présente porte sur le programme de couverture, nous avons faitle choix de centrer cette analyse sur le terme (GIFRS

Passif −GIFRSCouverture). Dans la suite du

mémoire, la formule de base pour estimer le PnL associé à chaque grecque s'écrira dela façon suivante :G = (GIFRS

Passif −GIFRSCouverture) (3)

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4.2 Principes d'une stratégie de couverture

4.2.1 Utilité d'une couverture �nancière

Les risques �nanciers sur les contrats variable annuities demeurent les risques lesplus dangereux. L'assureur s'expose au risque de taux d'intérêt, au risque de variationsdes fonds sous-jacent, au risque de convexité, au risque de volatilité long terme, aurisque de régression des fonds, au risque de modèle, au risque des choix des fonds. Unecouverture �nancière permettrait à l'assureur de limiter ce niveau de risque �nancier etégalement de ne pas s'exposer à des risques �nanciers purs.

4.2.2 Di�érentes techniques de couvertures �nancières

Le tableau ci-dessous présente l'ensemble des di�érents mécanismes de couvertureen exposant leurs principes et leurs limites :

Principes Inconvénients

Réassurer son portefeuille Risque de contrepartie

Faire couvrir son portefeuille par une banque Restriction des capacités d'acceptation

Constitution d'un portefeuille statique avec comme contrainte : la variance du coût doit

être minimale

Coût excessif de l'achat de couverture à l'émission du contrat (problème de liquidité)

Minimisation de la variance de l'erreur de couverture à la maturité

Hypothèse que le flux du passif est parfaitement connu ( impossible pour le

risque de mortalité, la cadence des rachats par exemple)

Construction de portefeuille d'option de courte maturité

Efficace pour les options de court terme

Reconstruction à chaque échéance des option

Le nombre d'option de marché est fini

Constitution d'un portefeuille d'actifs répliquant en sens inverse les sensibilités du

passif

Réajustement périodique du portefeuille de couverture

Etude des grecques

Ajustement régulier du portefeuille de couverture

Couverture des mouvements de son passif à long terme

Conclusion :

Réassurance

Couverture Statique

Couverture Semi-Statique

Couverture Dynamique

Couverture dynamique

Coût et efficacité dépendent de la fréquence de réajustement du portefeuille (coût de transaction) et la mise à jour du passif

Figure 4.1: Couvertures �nancières

Les risques �nanciers acceptés par les réassureurs ne sont pas mutualisables, ce quiles expose à un risque systémique qu'ils devront couvrir en mettant en place des cou-vertures �nancières. La réassurance décale donc le problème de la couverture �nancièrede l'assureur vers le réassureur. Intéressons-nous aux couvertures �nancières dans lecadre des variable annuites :

/123


- La couverture statique ne peut être applicable aux produits variable annuites : lespositions prises initialement ne sont pas réajustées au cours de la vie du contrat. Cettetechnique présuppose de connaître parfaitement les �ux passifs, ce qui peut s'avérercritiquable. Ainsi, en raison de la volatilité des marchés �nanciers, il est techniquementimpossible de couvrir intégralement la garantie par une position répliquante �gée unefois pour toute.

- La couverture semi-statique ne peut être envisageable que pour des portefeuillesd'options de courtes maturités. Ce n'est pas le cas des variable annuites.

- La couverture dynamique permet à l'assureur de répliquer les mouvements dupassif à long terme. Cette couverture permet de mieux couvrir les risques systémiqueset de rachats, tout en présentant un coût qui s'étale sur toute la durée du contrat.

Les variable annuities supposent donc la mise en place d'une stratégie de couverturedynamique permettant la maîtrise de la volatilité des marchés �nanciers. La stratégiede couverture dynamique paraît ainsi la plus appropriée, il serait intéressant d'illustrerl'e�cacité de ces couvertures et par la suite de les comparer.

4.2.3 Illustration de la couverture dynamique et de la couver-ture statique

Cette partie vise à illustrer l'e�cacité de la couverture dynamique face à une cou-verture statique. Une couverture �nancière (statique ou dynamique) repose sur la con-struction d'un portefeuille d'actifs de couverture pour contre balancer les variations dela valeur du passif. Nous avons fait le choix du principe de neutralisation des grecquespour contre balancer la valeur du passif : l'objectif est de contrôler le portefeuille de lacompagnie d'assurance autour d'une valeur connue à l'avance, il est donc primordial derester �neutre�.

Nous avons choisi de centrer nos schémas sur la couverture de la sensibilité Delta. Lavaleur du delta évolue de manière continue, le portefeuille de réplication doit alors êtreréajusté en continu.

Il est utile de rappeler quelques notions :

- La formule standard est une évaluation des fonds propres, elle a été calibrée pourcorrespondre au mieux au pro�l de risque des assureurs. Le principal inconvénient decette approche réglementaire est qu'elle n'est e�cace que pour des produits d'assuranceclassiques, pour lesquels le risque de marché est bien plus faible. Cette dernière sous-entend qu'il est possible de se couvrir par une unique position répliquante, comme leprésuppose la couverture statique. Il est donc logique dans notre étude portant surl'insu�sance de la formule standard et l'approche d'un modèle interne, de comparer lacouverture statique et la couverture dynamique.

- Le Delta d'un portefeuille correspond à la sensibilité de la valeur du portefeuille à une

/123


variation d'une variable de marché (le sous-jacent). Il s'agit de la dérivée première duprix du portefeuille par rapport au sous-jacent.

Nous tenons à préciser que les schémas sont très simpli�és. L'objectif de cette partieest d'illustrer le mécanisme de la couverture dynamique puis de la couverture statique,et ensuite d'établir l'analogie avec le vocabulaire de la norme Solvabilité II.Simulons une couverture Delta neutre et faisons l'hypothèse que le sous-jacent est lesupport sur lequel est investi l'épargne de l'assuré. L'utilisation d'une couverture dy-namique permet le réajustement suivant :

Valeur du portefeuille de couverture à t=1

Changementde la valeur du

sous-jacent

Perte de couverture

entre deuxinstants

d'ajustement

Valeurdu portefeuille


Figure 4.2: Couverture dynamique sur le delta

Ce schéma montre le prix du portefeuille LOV en fonction du sous-jacent St. Nousfaisons l'hypothèse que la LOV ne varie pas en fonction du temps. A chaque variationdu sous-jacent, nous procédons à un rééquilibrage du portefeuille de couverture enrépliquant le Delta.Rajoutons désormais un autre sous-jacent S3 suivi d'un réajustement:

/123



Changement de lavaleur du sous-jacent

Valeur du portefeuille



Figure 4.3: Couverture dynamique sur le delta / Erreur de couverture

Nous observons trois réajustements consécutifs et deux pertes de couvertures. La dif-férence entre la valeur du portefeuille de couverture avant réajustement des positionset la valeur du portefeuille après réajustement, est appelée erreur de couverture.

En assurance, l'erreur de couverture est assimilable au capital de solvabilité associé àun risque donné. Dans notre cas, il s'agit du risque actions. En norme Solvabilité II, ilest impératif d'avoir un capital de solvabilité SCRActions au moins égal à cette erreurde couverture.

Une stratégie dynamique nécessite donc le réajustement périodique du portefeuille decouverture. Plus les réajustements sont fréquents, plus les erreurs de couverture sontfaibles et les coûts de transactions élevés.

Prenons le même portefeuille (la même courbe de la LOV) et appliquons la couverturestatique :

/123


Valeur du portefeuille de couverture

Changement de lavaleur du sous-jacent


Figure 4.4: Couverture statique sur le delta

Le mécanisme de la stratégie statique est très di�érent de celui de la stratégie dy-namique. La couverture statique implique d'acheter la couverture lors de l'émission ducontrat. Le schéma ci-dessus montre d'un part, un changement de la position du sous-jacent aux instants t = 2 et t = 3. D'autre part, la position du portefeuille répliquantreste à sa position initiale, l'erreur de couverture totale correspond à celle observée àl'instant t = 3.

Comparons les erreurs de couverture des deux stratégies :

Couverture Statique Couverture Dynamique

Car

/123


La couverture statique ne rééquilibre pas le portefeuille d'instruments de couvertureau �l du temps. Elle ne permet d'o�rir qu'une compensation initiale au risque demarché. Autrement dit, elle minimise le risque à l'instant t = 0 et non pas à toutinstant t > 0. En ne s'appuyant sur aucun rééquilibrage futur de la couverture, ilest alors di�cile de modéliser non seulement le passif des fonds propres mais aussiles instruments de couvertures existants. Ainsi, la formule standard en préconisantl'utilisation de la couverture statique pour les variable annuities, établit un pro�l derisque erroné.

4.3 La couverture dynamique des variable annuities

L'objectif principal de la couverture dynamique adoptée est de la réduction del'exposition aux risques marché associés à portefeuille variable annuities et ainsi la pro-tection du résultat, évalué en norme IFRS. Cette couverture �nancière repose sur laconstruction d'un portefeuille d'actifs de couverture pour contre balancer les variationsde la valeur du passif. Pour les produits variable annuities, le passif est constitué d'unepart de la valeur des produits d'épargne en unité de compte et d'autre part de la valeurdes garanties. La valeur du passif sera par la suite appelé Liability Option Value, soitLOV.

Comme nous l'avons vu en début de mémoire, la LOV peut être assimilée à un produitdérivé et varie selon di�érents paramètres de marché (voir 1.1). Sans stratégie de cou-verture, plus la LOV est élevée, plus les fonds propres que doit détenir l'assureur sontélevés et plus ses ressources sont faibles.

Intéressons-nous à l'expression de la variation de la LOV, à l'aide de l'approximationde Taylor. La valeur de la LOV dépend :

� Du niveau du sous-jacent au temps t, St

� Du niveau du taux d'intérêt au temps t, rt

� De la volatilité implicite au temps t, σt

� Du temps, t

A l'instant t, le PnL de la LOV sans couverture, suit l'approximation de Taylor suivante :

PnLLOVSansCouverture(t, t0) =

LOV (St, rt, σt, t)− LOV (St0 , rt0 , σt0 , t0) ≈

∂LOV∂St

(St − St0) + 12∂2LOV∂S2

t(St − St0)2 + ∂LOV

∂rt(rt − rt0) + 1

2∂2LOV∂r2t

(rt − rt0)2

/123


+∂2LOV∂St∂rt

(St − St0)(rt − rt0) + ∂LOV∂σt

(σt − σt0) + ∂LOV∂t

(t− t0)

= ∆(∆S) + 12Γ(∆S)2 + ρ(∆r) + 1

2dρ(∆r)2 + 1

2∂2LOV∂St∂rt

(St−St0)(rt− rt0) + ν(∆σ) + θ(∆t)(i)

Où,

- ∆ représente la sensibilité Delta

- Γ représente la sensibilité Gamma

- ρ représente la sensibilité Rho

- dρ représente la sensibilité Rho Convexité

- ν représente la sensibilité Vega, la variation du portefeuille en fonction de la variationde la volatilité implicite

- θ représente la sensibilité Theta, la variation du portefeuille en fonction du temps

- ∆S = (St−St0),∆r = (rt− rt0),∆σ = (σt− σt0),∆t = (t− t0) représentent respec-tivement la variation du sous-jacent, du taux d'intérêt, de la volatilité implicite et dutemps.

Les sensibilités du passif sont mesurées dans un univers risque neutre, sous des hy-pothèses actuarielles spéci�ques aux contrats variable annuites et à l'aide de scénariosgénérés par le GSE.

4.4 Couverture en gamma neutre

Dans les paragraphes précédents, nous avons illustré la couverture en Delta neutre; dans cette partie nous exploiterons la couverture Gamma neutre. Cette couvertureconsiste à construire un portefeuille de couverture en prenant en compte la convexitédu prix de la LOV. Le Gamma correspond au taux de variation du Delta. Il indiquesi le prix du portefeuille a tendance à évoluer plus ou moins vite que le prix du sous-jacent. Avec le domaine de la physique, nous pouvons comparer le Delta à la vitesse etle Gamma à l'accélération.

La couverture en Delta s'avère performante pour de petites variations mais insu�santepour des variations plus grandes. A�n d'éviter de réajuster le delta trop souvent etdonc de payer des frais de transactions, il faut trouver un moyen d'obtenir un Deltale plus stable possible. Avoir un Delta stable signi�e d'avoir peu ou pas de modi�ca-tion de sa valeur initiale ou encore un taux de variation delta nul ; donc un Gamma nul.

Si nous faisons le parallèle avec le vocabulaire �nancier, un taux de variation delta nulcorrespond à une couverture Gamma neutre :

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Pente : valeur du portefeuille

de couverture(delta-neutre)

Changement de la valeur du

sous-jacent

Perte de couverture

entre deuxinstants

d'ajustement


Convexité : valeur du

portefeuille de couverture

(gamma-neutre)

Figure 4.5: Couverture en Gamma neutre

4.5 L'exposition de la couverture du second ordre

4.5.1 Hypothèses de travail

Soit le PnL total associé au 1er et 2nd ordre à l'issue d'une année :

PnLTotal =∑52

t=1 PnL(t) =∑52

t=1(∆t−1(St − St−1) + 12Γt−1(St − St−1)2 (1)

Le PnL associé aux sensibilités ∆et Γ est calculé à l'aide de la formule suivante :

G = (GIFRSPassif −GIFRS

Couverture)

Ainsi,

PnLTotalT =

∑52t=1(∆IFRS

Passif (t− 1)−∆IFRSCouverture(t− 1))(St − St−1)+

12

∑52t=1

[ΓIFRSPassif (t− 1)− ΓIFRSCouverture(t− 1)

](St − St−1)2 (2)

Nous considérons que notre couverture en delta neutre est parfaite, ainsi :

/123


∆IFRSPassif (t− 1) = ∆IFRS

Couverture(t− 1)

L'équation (2) devient :

PnLTotalT = 12

∑52t=1

[ΓIFRSPassif (t− 1)− ΓIFRSCouverture(t− 1)

](St − St−1)2

Par ailleurs, le modèle actuel n'implémente pas de couverture sur le Gamma :

ΓIFRSCouverture(t− 1) = 0

Ainsi, l'expression du PnL total dépend uniquement de la valeur du passif de la sensi-bilité Gamma :

PnLTotalT = 12

∑N=52t=1 ΓIFRSPassif(t− 1) ∗ (St − St−1)2

(3)

Il est donc nécessaire de bien maîtriser ce terme.

4.5.2 Problématique :

La maîtrise de la projection de notre PnL à un horizon un an, dépend de notrecapacité à évaluer l'expression suivante :

12

∑N=52t=1 ΓIFRSPassif (t− 1) ∗ (St − St−1)2(3)

Le modèle actuel de génération de scénarios économiques ne nous permet pas au-jourd'hui de connaître ni la valeur du Gamma ni celle du sous-jacent avec un pasde temps hebdomadaire. Il nous est donc impossible de connaître la valeur du PnLGamma telle qu'elle est décrite dans l'équation (3). En e�et, les seules informations ànotre disposition sont :- La valeur intiale du Gamma Γ0

- La valeur initiale du rendement de l'AV S0, la valeur �nale du rendement de l'AVSN- La valeur �nale de la volatilé réalisé σ2

Dans un avenir proche, nous aimerions implémenter le calcul de l'équation(3) dans lemodèle, mais en attendant il demeure urgent de trouver une bonne approximation duGamma passif.

Dans cette étude, nous nous intéressons à l'élaboration d'une formule du PnL propre àla sensibilité Gamma. Il s'agit de trouver une estimation qui se rapprocherait le pluspossible de l'équation (3). Nous avons centré notre étude sur trois formules du Gamma.Nous décrirons tout d'abord ces trois approches à l'aide d'hypothèses précises. Nousprésenterons ensuite les di�érentes étapes qui nous ont permis d'élaborer des simula-tions avec un pas de temps hebdomadaire à horizon un an. Nous testerons la validitédes trois formules à l'aide de simulations sur un portefeuille fortement exposé au risqueGamma. En�n, nous analyserons les résultats à l'aide du test du QQ-plot en comparant

/123


chacun d'elles aux résultats de l'équation (3).

Nous tenons à préciser qu'il s'agit d'un travail de recherche visant à améliorer l'applicationdu modèle existant. Nous avons conscience des fortes hypothèses employées dansl'approximation du PnL Gamma.

L'ensemble des simulations sera fait à l'aide du langage Matlab.

4.5.3 Di�érentes approches du PnL Gamma

L'estimation du PnL propre à la sensibilité Gamma peut être exprimée à l'aide destrois formules suivante :

� La méthode � Full Revaluation� :

L'approche Full Revaluation est la dé�nition de la partie du PnL due au Gamma (ils'agit de l'équation (3) du 4.5.2). Cette estimation nécessite d'avoir la valeur de lasensibilité Gamma et la valeur de l'épargne avec un pas de temps hebdomadaire. Cettedé�nition requiert la simulation d'un grand nombre de scénarios annuel de l'AV.

12

∑Nt=1 Γt−1(St − St−1)2 (i)

� La méthode �Constant� :

La formule Constant est la formule que nous pouvons dès aujourd'hui implémenteravec les informations du modèle actuel. En e�et, nous disposons de la valeur initiale duGamma Γ0 et de la valeur �nale de la volatilité réalisée σ. Cette estimation repose surl'hypothèse de grecques constantes. Il s'agit bien évidemment d'une approximation trèsforte, que cette étude a pour but d'améliorer. L'estimation du PnL Gamma Constantest dé�nie par :

12Γ0σ

2(ii)

� La méthode �Average Greek� :

La méthode Average Greek est la nouvelle formule envisagée. Nous souhaiterons voirsi cette méthode permet d'améliorer signi�cativement l'estimation du Gamma obtenueavec la méthode Constant. Contrairement à la méthode Constant, cette approche prenden compte la variation des sensibilités. L'implémentation de méthode nécessite deconnaître la valeur initiale et �nale du Gamma ainsi que la volatilité réalisée. :

12∗ Γ0+ΓN

2∗ σ2(iii)

/123


Ainsi, si nous parvenons à prouver que la méthode est une bonne approximation de laméthode Full Reval, l'implémentation de cette formule ne modi�era pas notre GSE.

La première formule est la dé�nition même de l'estimation du PnL Gamma, il n'ya pas lieu de la démontrer. En revanche, les deux dernières formules n'ont pas étéjusti�ées. Elles sont obtenues à l'aide de fortes hypothèses. Nous proposons donc dedémontrer la formule de la méthode Constant et de la méthode Average Greek, à partirde la formule de la méthode Full Revaluation.

Démonstration

Soit la formule théorique annuelle de l'estimation du PnL pour le second ordre avec unpas de temps hebdomadaire :

PnLGamma = 12

∑N=52t=1 Γ%

t−1(St − St−1)2 (4)

Où, Γ%t−1 est le Gamma calculé à l'aide du modèle de Black&Scholes. Nous dé�nissons

le rendement comme étant l'écart de variation relatif du prix. Si un actif a un prixS(t− 1) à la date t− 1 et S(t) à la date t > t− 1,le rendement rt s'écrit :

rt = St−St−1

St−1

PnLGamma = 12

∑N=52t=1 Γt−1r

2t avec Γt−1 = Γ%

t−1 ∗ S2t−1 (5)

En émettant l'hypothèse des sensibilités constantes (Γi = Γ), nous obtenons :

12

∑N=52t=1 Γt−1r

2t = 1

2∗ Γ ∗

∑N=52t=1 r2

t

Or, la volatilié σsemaine =√∑N=52

i=1 r2t ∗ 1

Net σannualisee =

√52 ∗ σ2

semaine

12∗ Γ ∗

∑N=52t=1 r2

t = 12∗ Γ ∗ σ2

semaine ∗ 52 = 12∗ Γ ∗ σ2

annualisee

Nous retrouvons ainsi l'expression de la méthode Constant (ii).

A�n de démontrer la formule de la méthode Average Greek , nous retirons l'hypothèsede la constance des sensibilités et nous reprenons la démonstration à partir de l'équation(5) :

PnLGamma = 12∗∑N=52

t=1 Γt−1r2

Hypothèse 1 : Γt = Γ0 + ΓN−1−Γ0

(N−1)t

PnLGammaT = 12

∑N=52t=1 Γt−1r

2t = 1

2

∑N=52t=1

[Γ0 + ΓN−1−Γ0

(N−1)(t− 1)

]r2t

/123


= 12Γ0

∑N=52t=1 r2

t + 12

ΓN−1−Γ0

(N−1)

∑N=52t=1 (t− 1) ∗ r2

t (6)

L'équation (6) est la somme de deux termes :

� Le 1er terme 12Γ0

∑N=52t=1 r2

t est l'estimation du PnL Gamma par la méthode Con-stant

� Le 2nd terme 12

ΓN−1−Γ0

(N−1)

∑N=52t=1 (t− 1) ∗ r2

t re�ète le changement linéaire et hebdo-madaire du Gamma de sa valeur initiale jusqu'à sa valeur en �n d'année (unesemaine avant).

Hypothèse 2 : Les rendements annuels sont distribués indépendammentavec une volatilitéσ

En utilisant l'équation (6) et quelques notions de probabilité, nous pouvons en déduirel'espérance du PnL Gamma :

E [PnLGammaT ] = 12Γ0

∑N=52t=1 E [r2

t ] + 12

ΓN−1−Γ0

(N−1)

∑N=52t=1 (t− 1) ∗ E [r2

t ]

Or d'après la dé�nition de la volatilité,

= 12Γ0

∑N=52t=1

[σ2

N

]+ 1

2

ΓN−1−Γ0

(N−1)

∑N=52t=1 (t− 1) ∗

[σ2

N

]Or,

∑(t− 1) = N(N−1)

2,

= 12Γ0σ

2 + 12

ΓN−1−Γ0

(N−1)∗ N(N−1)

2∗[σ2

N

]= 1

2Γ0σ

2 ∗ 12

ΓN−1−Γ0

2σ2

E [PnLGammaT ] = 12

ΓN−1+Γ0

2σ2 (7)

Nous venons ainsi de démontrer la formule de la méthode Average Greek. .

Remarque :

- L'équation (7)(

12

ΓN−1+Γ0

2σ2)ne correspond pas tout à fait à la formule Average

Greek(

12∗ Γ0+ΓN

2∗ σ2

), c'est pourquoi nous faisons l'hypothèse que ΓN−1 = ΓN .

Nous rappelons que le GSE ne fournit la valeur du Gamma qu'à l'instant t = 0, cepen-dant nous pouvons connaître la valeur �nale du Gamma par le biais d'une distributionde loi à queue épaisse.

- L'hypothèse 1 et l'hypothèse 2 ne seront pas démontrées, nous avons consciencequ'il s'agit d'approximations lourdes. Seuls les résultats �naux valideront ou non ceshypothèses.

Ainsi, les trois approches de l'estimation du PnL Gamma ont été démontrées souscertaines hypothèses. Nous pouvons dès lors commencer nos simulations.

/123


4.5.4 Simulation du PnL Gamma

A ce stade de l'étude nous pouvons uniquement calculer le PnL de la sensibilitéGamma par l'approche de la formule Constant. En e�et, cette approche ne requiertque la connaissance de la valeur initiale du Gamma (Γ0) et la valeur �nale de la volatil-ité réalisée �nale (σ). Ces données sont fournies par notre modèle. La méthode AverageGreek nécessite de connaître la valeur �nale du Gamma ΓN , pour cela nous estimeronsle Gamma à l'aide d'une loi à queue épaisse. Les méthodes Constant et Average Greekpeuvent être estimées facilement.

Néanmoins, nous rappelons que l'objectif de cette étude est de trouver la meilleureapproximation de la formule Full Reval. Il est donc indispensable de simuler cetteapproche a�n d'établir une comparaison des résultats des trois méthodes. Pour la sim-ulation de la formule Full Reval, nous avons besoin de :

- La valeur du rendement de l'AV à chaque pas de temps hebdomadaire (St − St−1)- La volatilité réalisée à chaque pas de temps hebdomadaire

∑(St − St−1)2

- La valeur du Gamma associée à chaque volatilitée, Γt−1

Les simulations reposent sur n =11 000 scénarios.

1er étape : Distribution du Gamma

L'objectif de cette première étape est de tracer la courbe du Gamma en fonctiondu prix du sous-jacent (AV). Pour cela, il convient de choisir la bonne distribution àqueue épaisse : notre choix s'est porté sur la loi de Cauchy. Or nous rappelons quedans le modèle de Black&Scoles, le Gamma suit une distribution normale. Rappelonsla fonction de densité de ces deux lois :- La loi Normale :

ΓPassif (St) ≈ 1σ√

2Πexp(−1

2∗[

(St−µ)σ

]2

)

Où,- St représente le prix de l'action à la date d'évaluation- σ est la volatilité réalisée- µ le maximum (la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite St = µet

admet un maximun en St = µ)- La loi de Cauchy :

ΓPassif (St) =

Fy

πσ+

[1+[(St−µ)FX

σ

]2] pour St < µ

Fyπσ

pour St > µ

Où,- St est le sous-jacent ou l'AV- σ la volatilité

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- µ le maximum (la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite St = µetadmet un maximun en St = µ)

- Fx et Fy représentent les échelles de facteurs.

Sur la �gure 4.6 ci-dessous, nous observons trois courbes :

- Le nuage de points bleus représente le comportement réel de la sensibilité Gamma.Chaque point a été calculé à l'aide de trois sensibilités comme le montre la formulesuivante :

Γ(j) = LOV (j+5%AV )+LOV (j−5%AV )−2LOV (j)

[ 12∗(Choc(+5%)−Choc(−5%)

100+Choc(j)∗100]

2 (i)

La plage des chocs sur l'account value est compris dans l'intervalle [−70%; 70%] avecun pas de temps de 5%.

Exemple :

Calculons le Gamma à l'instant t = 0 qui correspond à un choc sur l'account valuede 0%. Pour cela, il est nécessaire d'avoir la sensibilité de la LOV à trois instantschoc = −5%, t = 0, et choc = 5%. En appliquant la formule (i), nous avons :

Γ0 = LOV (5%)+LOV (−5%)+LOV (0%)

[ 12∗[5−(−5)100+0 ]*100]

2

Calculons le Gamma à l'instant choc = 15% :

Γ15 = LOV (20%)+LOV (10%)+2∗LOV (15%)

[ 12∗[20−10100+15 ]*100]

2

- La courbe verte représente la distribution de Cauchy

- La courbe rouge la distribution Normale

De manière globale, la distribution Normale et la distribution de Cauchy se superposentaux nuages de points du Gamma. Nous notons cependant que la distribution de Cauchysemble mieux correspondre. Notre choix se porterait donc plus vers la distribution deCauchy.

/123


-180 000 000

-160 000 000

-140 000 000

-120 000 000

-100 000 000

-80 000 000

-60 000 000

-40 000 000

-20 000 000

0

20 000 000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Estimation du Gamma

Valeur numérique Distribution de Cauchy Distribution Normale

Choc sur l'AV

Val

eur

du

Gam

ma

Figure 4.6: Régression du Gamma : Distribution Normale/Distribution de Cauchy

La distribution de Cauchy possède également de propriétés avantageuses pour la suitede notre simulation :

� C'est une formule fermée qui dépend de quatre paramètres (σ, µ, Fx, Fy), faciles àestimer

� Les queues épaisses de la distribution de Cauchy se superposent à celles de lacourbe du Gamma

Face à ces arguments, nous avons choisi d'implementer la courbe de la sensibilitéGamma à l'aide de fonction de Cauchy.

2er étape : Simulation des rendements cumulatifs à l'aide de scénarios réels

Soit n, le nombre scénarios. Pour chacun de ces n scénarios, la valeur des rendementsde l'AV aux instants t = 0 et t = 1 sont connues, or nous sommes incapables de connaîtrela nature du chemin permettant de passer de la valeur S0 au rendement S1an. En partantde la valeur initiale du rendement de l'AV, nous simulons les m di�érentes possibilitésde chemins permettant d'arriver à la valeur �nale à t = 1an. Pour chaque chemin, il ya 52 valeurs de St : le pas de temps par semaine est respecté. Le modèle de taux utiliséest le modèle de Vasicek.

La �gure 4.7 montre le simulation d'un scénario du rendement de l'AV en fonction dutemps.

/123


Figure 4.7: Simulation d'un scénario

Cette simulation nous permet donc de connaître la valeur du rendement de l'AV àchaque pas de temps hebdomadaire : (St − St−1). La volatilité réalisée est désormaisfacile à calculer : il su�t de sommer le carré de la di�érence de rendements (St−St−1)

2àchaque par temps.

En associant, la fonction de la distribution de Cauchy à chaque valeur du sous-jacentSt de chaque scénario, nous obtenons les graphiques suivant pour un scénario donné:

Figure 4.8: Scénario/Distribution du Gamma

Traçons maintenant, la distribution du Gamma pour chacun des n chemins d'un scé-nario avec un pas de temps par semaine, à horizon un an :

/123


Figure 4.9: Ensemble des Gammas pour un scénario sur un horizon d'un an

4.5.5 Analyse des résultats

Cette étude a pour objectif de trouver une bonne approximation de l'estimation duPnL Gamma à partir de la méthode Full Reval. Il convient de comparer séparémentles PnL Gamma obtenus par les méthodes Constant et Average Greek au PnL Gammade la méthode Full Reval. La méthode approximant au mieux l'estimation Full Revalsera implémentée dans notre modèle de couverture dynamique.

Méthodologie du QQ-plot

Nous avons choisi d'analyser les di�érents PnL obtenus à l'aide de la méthode QQ-plot. Les graphiques QQ-plot ci-dessous opposent les quantiles du PnL de la méthodeConstant (puis la méthode Average Greek) aux quantiles du PnL Full Reval.Le diagramme quantile-quantile permet une appréciation graphique de l'ajustementd'une distribution observée (Constant, Average Greek) à un modèle théorique (FullReval).Sur les graphiques 4.10, l'axe des ordonnées porte les quantiles x∗i de la distributionobservée (sur le graphique de gauche la méthode Constant et sur le graphique de droitela méthode Average), tandis que l'axe des abscisses porte les quantiles xi de la loithéorique (la méthode Full Reval).Le nuage de point (x∗i , xi) s'aligne sur la bissectrice (en rouge) lorsque la distributionthéorique proposée est une bonne représentation des observations.

Analyse des résultats

Premièrement, les graphiques montrent que les méthodes Constant et Average sontbien des approximations face à la méthode Full Reval : nous n'observons pas d'alignementparfait des points le long de la bissectrice mais des déviations par rapport à cette droite.La méthode Average Greek est graphiquement plus adéquate à la formule Full Revalque la méthode Constant, utilisé aujourd'hui dans notre modèle. Les points bleus du

/123


graphique de gauche (méthode Full Reval./Average Greek) coincident relativement avecla bissectrice. Nous avons une meilleure précision sur le schéma de droite. Ainsi, parmiles deux option envisagées, la méthode Average Greek est la meilleure approximationde la méthode Full Reval.

Figure 4.10: Test du QQ-plot

Conclusion

Au vu des résultats, la meilleure approximation de la valeur passive du PnL Gammaest la méthode Average Greek. Nous avons réussi à démontrer que la méthode Aver-age Greek apporte une précision signi�cativement meilleure. Ainsi, en attendant quel'implémentation de la méthode Full Reval soit possible, la méthode Average Greekremplacera la méthode Constant.

Les résultats obtenus manquent certes de précisions mais demeurent des approximationsacceptables. Les lourdes hypothèses utilisées pour valider les approximations Constantet Average Greek peuvent être validées. Nous rappelons en e�et que cette étude étaitune recherche visant à améliorer le modèle actuel. Par ailleurs, nous espérons implé-menter la méthode Full Reval avant l'entrée en vigueur de la norme Solvabilité II.

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Conclusion

Le projet Solvabilité II est dans sa dernière phase de discussion et de consulta-tion avant son entrée o�cielle en Janvier 2016. Son objectif premier est l'élaborationd'une réglementation harmonisée à l'échelle européenne a�n de garantir une meilleuremaîtrise des risques supportés par les compagnies d'assurances. Cette maîtrise passe no-tamment par une quanti�cation plus �ne des risques. Or le champ de la réglementationexclut les produits variable annuites et laisse la possibilité aux compagnies d'assuranced'implémenter des modèles internes pour mesurer ces risques.

La présente étude porte ainsi sur le domaine particulier des garanties vie en unité decompte. L'objectif de ce mémoire a été de confronter le mécanisme complexe de cesproduits à la règlementation a�n de montrer l'insu�sance de la formule standard etl'approche d'un modèle interne.

Au cours de cette étude, les mécanismes propres aux variable annuites ont été décrits,analysés et simulés. L'analogie de ces contrats avec les produits �nanciers nous a permispar la suite de justi�er l'utilisation de la couverture dynamique.

Nous avons ensuite exposé les éléments principaux de la réforme Solvabilité II, en seconcentrant sur le bilan actif-passif et le calcul du SCR. A cette occasion, nous avonsmis en avant les limites générales de cette formule et notamment les restrictions qu'elleplace implicitement sur la forme de dépendance entre les risques.

Le calcul du capital de solvabilité d'un portefeuille de variable annuities par l'approchede la formule standard a révélé un pro�l de risque erroné et insu�sant. En particuliersur le module marché où la formule fermée de l'approche standard nous contraint à nepas prendre en compte tous les risques, notamment ceux liés à la couverture �nancière.

La dernière partie a mis en lumière les di�cultés de la couverture �nancière. Ici, en-core nous avons essayé de faire le parallèle entre l'approche de la formule standard etle modèle interne, en comparant le mécanisme de la couverture statique et celui de lacouverture dynamique. Une fois l'utilisation de la couverture dynamique justi�ée, notreprincipal objectif a été d'améliorer sa modélisation dans le modèle interne actuel.

En e�et, nous nous sommes intéressés à la formule du résultat économique de la compag-nie (PnL). Nous nous sommes dans un premier temps, heurtés à des faiblesses de notregénérateur économique rendant la formule du PnL très approximative. Notre modèleinterne par manque d'informations (scénario par un pas de temps hebdomadaire) nepermet de calculer qu'une approximation (Méthode Constant) de la formule théorique(Méthode Full Reval). Cette étude visait à améliorer un modèle existant.

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Nous avons choisi de nous centrer sur le terme du PnL le plus impactant. A partir delà, nous avons essayé de trouver une meilleure estimation de la formule théorique. Dansl'optique de comparer la formule théorique aux di�érentes approximations, nous avonsdû la modéliser à l'aide de nos propres ressources. Nous avons donc créé un algorithmea�n d'obtenir les informations nécessaires au calcul théorique du PnL Gamma. Celui-cinous a permis de comparer la formule théorique aux approximations démontrées. Lesrésultats �naux ont ensuite été comparés à l'aide de la méthode des QQ-plot.

A l'heure actuelle, les travaux réalisés ont permis d'améliorer l'approche du PnL relatifà la sensibilité du Gamma du modèle interne, en implémentant une approximation plusprécise (Méthode Average Greek). Dans l'idéal, nous aimerions implémenter la formuleFull Reval dans notre modèle interne avant Janvier 2016. Par la suite, nous souhaitonségalement trouver une solution aux e�ets croisées présents entre les sous-modules desdi�érents modules de risques.

En conclusion, l'entrée en vigueur de la réforme Solvabilité et le marché innovantsdes produits de retraite entraînent un changement de paradigme pour l'univers assur-anciel. Pour réussir à en tirer le meilleur parti, il convient d'avoir une vision globalede la gestion du risque plutôt qu'une approche de simple mise aux normes de la règle-mentation. Les acteurs du marché qui seront capables de mettre en place une nouvelleculture de gestion du risque à travers Solvabilité II seront les futurs gagnants

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Index

Appétence aux risques : Niveau de risque agrégé (mesuré par des indicateurs derisque) qu'une entreprise accepte de prendre en vue de la poursuite de son activité et deson développement, en respect des contraintes liées à son activité et à ses engagements.

Autorité de contrôle prudentiel et de résolution (ACPR) : Autorité adminis-trative indépendante, crée en Janvier 2010, veillant à la préservation de la stabilité dusystème �nancier et à la protection des clients, assurés, adhérents et béné�ciaires despersonnes soumises à son contrôle. ACPR représente également la France au sein desinstitutions internationales.

Casualty and Actuarial Society (CAS): Le processus par lequel, les organisationsdans toutes les industries évaluent, contrôlent, exploitent, �nancent et suivent les risquesde toute nature dans le but d'augmenter la valeur à court terme et à long terme del'organisation.

Committee of Sponsoring Organizations de la Treadway Commission (COSO): Un processus impliquant le conseil d'administration de l'entité, le management et toutle personnel, appliqué dans la dé�nition de stratégie et à travers l'entreprise, conçu pouridenti�er les événements potentiels qui peuvent a�ecter l'entité. Fournit un cadre pourgérer le risque selon l'appétit de l'organisation et o�re l'assurance raisonnable quant àl'accomplissement de ses objectifs.

European Insurance and Occupationnal Pensions Authority (EIOPA) : Au-torité européenne des assurances et des pensions professionnelles, autorité indépendantede l'Union Européenne garantissant une e�cacité et une cohérence en matière de rè-glementation et de surveillance prudentielles dans le domaine des assurances et despensions professionnelles. L'un de ses principaux objectifs est de maintenir la stabilité�nancière dans l'Union Européenne.

Fair Value: La valorisation au sens d'une tari�cation en l'absence d'opportunitéd'arbitrage

Institute of Internal Auditors : Une approche rigoureuse et coordonnée pour éval-uer et répondre à tous risques qui a�ectent l'accomplissement des objectifs stratégiqueset �nanciers d'une organisation

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IFRS (International Financial Reporting Standards) : Normes comptables in-ternationales relatives aux contrats d'assurances et de la règlementation Solvabilité II

LTGA (Long Term Guarantee Assessment) : Etude, lancée par l'EIOPA enJanvier 2013, visant à mesurer l'impact des di�érentes mesures spéci�ques au traitementdes branches longues des assureurs dans le cadre du pilier de Solvabilité II.Market consistent : Tous les �ux futurs actualisés à l'aide de la courbe de taux sansrisque doit correspondre à la valeur de marché de l'actif du bilan prudentiel.

Market-to-Market : Evaluation d'une position sur la base de sa valeur observée surle marché au moment de l'évaluation.

Net Asset Value (NAV) : Di�érence entre la valeur de marché de l'actif et la fairvalue du passif (Best Estimate).

Own Risk Solvency Assement (ORSA) : Processus d'évaluation interne des risqueset de la solvabilité qui fait partie intégrante des décisions stratégiques de l'entreprise(Article 45 de la Directive Solvabilité II). L'objective poursuivi est de sécuriser les pro-cessus de décision en y intégrant les impacts futurs sur le niveau de fonds propres, ainsique les capacités de couverture des engagements et du ratio de Solvabilité. Les élémentsà produire par la compagnie sont la politique ORSA, les résultats des processus ORSA,le rapport interne et le rapport au régulateur.

Pro�l de risques : Réalité des risques supportés par l'organisme et de leur interdépen-dance. De manière plus pragmatique, il est possible de considérer que cela correspondà l'ensemble des risques auxquels la compagnie est exposée et, si possible, leur quan-ti�cation, en tenant compte des mesures d'atténuation mise en place.Provisions techniques : Destinées à permettent le règlement intégral des engage-ments pris envers les assurés ou les béné�ciaires des contrats, elles représentent uneévaluation des engagements de la compagnie : di�érence entre la valeur actualiséeprobable de l'assureur et la valeur actualisée probable de l'assuré.QIS 5 (Quantitative Impact Studies) : Cinquième étude (QIS 5) introduisant desmodi�cations comme la prise en compte d'un prime de liquidité ou encore le renforce-ment du calibrage de certains chocs.

Task Force : Groupe de travail rattaché à l'EIOPA

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Annexes.

Annexes 1 : Modélisation d'un contrat variable annuities par l'analogie desproduits dérivés

Données :

� St est le sous-jacent ou l'account value au temps t

� Wt représente le mouvement brownien

� µ est le drift

� σ représente la volatilité au temps t

Dé�nition et propriétés du mouvement Brownien :

� Un processus stochastique (Wt)t>0 est appelé mouvement brownien si ses trajec-toires sont continues, W0 = 0 et

- pour tout nεN , 0 = t1 < t2... < tn, la suite W1;W2 −W1; ...;Wtn −Wtn−1

est une suite de variables aléatoires indépendantes

- pour tout 0 < s < t, la loi de Wt −Ws est la loi normale N(0, t− s).

Hypothèses :

� Le taux sans risque est constant au cours du temps et connu

� Le marché est complet, absence d'opportunité d'arbitrage, pas de coût de trans-action, vente à découvert illimitée

� La mortalité est indépendante du marché �nancier

� La volatilité σ du sous-jacent est constante dans le temps

� Sous la probabilité historique P , la dynamique du sous-jacent est donnée parl'équation di�érentielle stochastique (EDS) suivante :

105


dSt = St(µdt+ σdWt)

Partons de l'équation de Black-Scholes : dSt = St(µdt+ σdWt) (1)

Cette équation n'étant pas linéaire, nous ne pouvons pas directement trouver la primi-tive. Ré-écrivons alors l'équation de manière à favoriser l'utilisation du Lemme d'Itô :

dStSt

= µdt+ σdWt

dStSt

= dln(St) = µdt+ σdWt, or d'après le lemme d'Ito, nous obtenons l'équation (2)

dln(St) = 1St· dSt − 1

2·(St)2 · d < S, S >t (2)

Remplaçons maintenant dSt par l'équation (1) :

dln(St) = 1St· St(µdt+ σdWt)− 1

2�(St)2· d < S · (µdt+ σdWt), S · (µdt+ σdWt) >t

En développant l'équation précédente et en simpli�ant par St, nous obtenons :

dln(St) = µdt+ σdWt − 12·(St)2 · (St)

2 · σ2 · d < W,W >t

Or la variation quadratique du mouvement brownien d < W,W >t est égale à t.

dln(St) = µdt+σdWt− 12σ2 ·d < W,W >t= µdt+σdWt− 1

2·σ2 ·dt = (µ− 1

2·σ2)dt+σdWt

Il est désormais possible de trouver la dérivée de l'expression obtenue :

dln(St) = (µ− 12σ2 )dt+ σdWt

ln( StS0

) = (µ− 12· σ2)(t− 0) + σ(Wt −W0) = (µ− 1

2· σ2)t+ σWt

Ce qui donne, après le réarrangement suivant :

St = S0e(µ− 1

2·σ2)t+σWt

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Annexes 2 : Données numériques de la modélisation de la garantie GMIB/GMDB

Instant AgeMontant de

l'épargne

Account Value

AV-

Account Value

AV+

Garantie cliquet

annuel

Garantie

roll up

Montant de la

Benefit Base

Montant

total des

revenus

Montant des

AnnuitiesDB

Frais de

gestionGain total

1 57 190,000 190,000 190,000 190,000 190,000 190,000 - - 190,000 10,000 190,000

2 58 159,044 151,288 151,288 190,000 192,850 192,850 - - 192,850 7,757 192,850

3 59 164,807 149,123 149,123 190,000 195,743 195,743 - - 195,743 7,646 195,743

4 60 132,363 113,926 113,926 190,000 198,679 198,679 - - 198,679 5,841 198,679

5 61 143,614 117,581 117,581 190,000 201,659 201,659 - - 201,659 6,029 201,659

6 62 105,571 82,218 82,218 190,000 204,684 204,684 - - 204,684 4,215 204,684

7 63 107,162 79,388 79,388 190,000 207,754 207,754 - - 207,754 4,070 207,754

8 64 103,385 72,854 72,854 190,000 210,871 210,871 - - 210,871 3,735 210,871

9 65 114,800 76,953 76,953 190,000 214,034 214,034 - - 214,034 3,945 214,034

10 66 146,477 93,398 93,398 190,000 217,244 217,244 - - 217,244 4,789 217,244

11 67 198,417 120,346 120,346 190,000 220,503 220,503 6,615 6,615 213,888 6,170 220,503

12 68 162,968 94,024 87,409 190,000 220,503 220,503 13,230 6,615 207,273 4,821 220,503

13 69 159,051 81,148 74,533 190,000 220,503 220,503 19,845 6,615 200,658 4,161 220,503

14 70 128,110 57,106 50,490 190,000 220,503 220,503 26,460 6,615 194,042 2,928 220,503

15 71 90,783 34,034 27,419 190,000 220,503 220,503 33,075 6,615 187,427 1,745 220,503

16 72 116,781 33,551 26,936 190,000 220,503 220,503 39,690 6,615 180,812 1,720 220,503

17 73 98,038 21,510 14,895 190,000 220,503 220,503 46,306 6,615 174,197 1,103 220,503

18 74 73,475 10,619 4,004 190,000 220,503 220,503 52,921 6,615 167,582 544 220,503

19 75 101,297 5,250 - 190,000 220,503 220,503 59,536 6,615 160,967 269 220,503

20 76 116,109 - - 190,000 220,503 220,503 66,151 6,615 154,352 - 220,503

21 77 117,937 - - 190,000 220,503 220,503 72,766 6,615 147,737 - 220,503

22 78 129,594 - - 190,000 220,503 220,503 79,381 6,615 141,122 - 220,503

23 79 115,400 - - 190,000 220,503 220,503 85,996 6,615 134,507 - 220,503

24 80 142,836 - - 190,000 220,503 220,503 92,611 6,615 127,892 - 220,503

25 81 126,926 - - 190,000 220,503 220,503 99,226 6,615 121,277 - 220,503

26 82 96,512 - - 190,000 220,503 220,503 105,841 6,615 114,661 - 220,503

27 83 62,613 - - 190,000 220,503 220,503 112,456 6,615 108,046 - 220,503

28 84 63,225 - - 190,000 220,503 220,503 119,071 6,615 101,431 - 220,503

29 85 76,839 - - 190,000 220,503 220,503 125,687 6,615 94,816 - 220,503

30 86 80,112 - - 190,000 220,503 220,503 132,302 6,615 88,201 - 220,503

31 87 83,397 - - 190,000 220,503 220,503 138,917 6,615 81,586 - 220,503

Figure 4.11: Contrat d'une garantie vie GMIB/GMDB

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Annexes 3 : Courbe de chocs utilisées dans l'approche de la formule standardCourbes de chocs utilisées

baseline shock up shock down

0,25 0,53% 1% -1%

0,5 0,35% 1% -1%

0,75 0,48% 1% -1%

1 0,61% 1,00% -0,46%

2 0,93% 1,00% -0,60%

3 1,34% 0,99% -0,75%

4 1,73% 1,02% -0,86%

5 2,05% 1,12% -0,94%

6 2,29% 1,18% -0,96%

7 2,49% 1,21% -0,97%

8 2,66% 1,23% -0,95%

9 2,80% 1,21% -0,92%

10 2,91% 1,21% -0,90%

11 3,00% 1,17% -0,90%

12 3,08% 1,14% -0,89%

13 3,15% 1,11% -0,88%

14 3,20% 1,10% -0,89%

15 3,24% 1,09% -0,88%

16 3,27% 1,05% -0,91%

17 3,29% 1,03% -0,91%

18 3,31% 1,01% -0,92%

19 3,33% 1,00% -0,95%

20 3,34% 1,00% -0,95%

21 3,35% 1,00% -0,95%

22 3,35% 1,00% -0,95%

23 3,36% 1,00% -0,95%

24 3,36% 1,00% -0,95%

25 3,36% 1,00% -0,94%

26 3,36% 1,00% -0,94%

27 3,36% 1,00% -0,94%

28 3,36% 1,00% -0,93%

29 3,36% 1,00% -0,93%

30 3,36% 1,00% -0,93%

31 3,35% 1,00% -0,92%

32 3,35% 1,00% -0,92%

33 3,35% 1,00% -0,92%

34 3,35% 1,00% -0,91%

35 3,34% 1,00% -0,91%

36 3,34% 1,00% -0,91%

37 3,34% 1,01% -0,91%

38 3,33% 1,01% -0,90%

39 3,33% 1,01% -0,90%

40 3,32% 1,01% -0,90%

41 3,32% 1,01% -0,89%

42 3,31% 1,01% -0,89%

43 3,31% 1,01% -0,89%

44 3,30% 1,01% -0,88%

45 3,30% 1,01% -0,88%

X

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Annexes 4 : Etude de la dépendance des sous-modules de risques

La formule standard mesure le module risques de marchés et de vie en supposantque les sous-modules propres au risque de marché sont indépendants des sous-modulesdes risques vie. En e�et, il n'existe pas de coe�cient de corrélation entre le risqueactions et le risque de longévité par exemple.

Dès lors, nous nous sommes attachés à répondre aux interrogations suivantes :- Cela re�ète-t-il réellement la réalité ?- Que se passe-t-il si un risque du module marché et un risque du module vie se

produisaient en même temps, aura-t-on prévu- assez de provisions pour nous couvrir ?

Au cours de cette annexe, nous simulerons des risques de marchés et de vie, de manièreindépendante puis de façon combinée. L'objectif est de mettre en évidence le manque deprécaution de la formule standard. Les résultats précédents ont montré que l'expositionaction et le changement de la courbe de taux constituent des paramètres clés du mod-ule risque marché. Par ailleurs, l'un des risques majeur pour un assureur gérant desproduits variable annuities est le versement d'une rente à vie. Ainsi, nous avons choiside centre notre étude sur le risque actions et le risque taux d'intérêt pour le modulemarché et le risque de longévité pour le module vie.

Calibration des chocs

La calibration des chocs des sous-modules de risque actions et taux correspondent auxdonnées suivante :

Choc

Equity -44

Choc à la hausse Choc à la baisse

Bond Futures 6,6 -8,9

Choc Equity Choc Bond à la hausseChoc Bond à la

baisse

CVF [40/60] -17,6 4,14 -5,58

CVF [50/50] -22 3,45 -4,65

CVF [60/40] -26,4 2,76 -3,72

- Le changement de la courbe de taux impacte deux facteurs :

� La valeur des obligations en valeur market-to-market : une hausse destaux provoque une diminution de la valeur des obligations et donc une augmen-tation des claims.

� Le taux d'actualisation : une hausse des taux provoque une baisse du coût des�ux futurs.

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- Les actifs n'ont pas d'e�ets combinés, ils demeurent constants. Des chocs identiquesau passif impacteront les actifs à l'aide de la méthode des grecques.- Une table de longévité pour les hommes et pour les femmes a été créée avec un

niveau de con�ance 99.5% sur un horizon un an.Le détail des calculs des chocs du module marché est dans l'annexe suivante.

Résultats

a) Baisse des taux et choc de longévité 99.5%

Assets Liabilities

Choc Longévité - (7 887 337)

Choc Taux à Baisse 18 079 571 (11 952 431)

Choc Taux à la Baisse + Longévité 18 079 571 (23 619 430)

Pour cette première simulation, nous appliquons un choc de longévité et un chocde taux à la baisse.

� La nouvelle table de longévité augmente l'espérance de vie. Plus l'espérance de viede l'assuré est grande plus le nombre de revenus versés par l'assureur est grand.Le coût subi par l'assureur pourrait être plus élevé que le montant des revenusversé par l'assuré. Le montant total des rentes versés par l'assureur pourrait ainsiêtre supérieur aux sommes investies par l'assuré. Le choc de longévité augmententles claims, la perte est égale à −7 887 337 ¿.

� La baisse des taux augmente la provision de la BEL, ce qui diminue les fondspropres. La perte est de −11 952 431¿.

� Un choc combiné (longévité + baisse des taux) engendre un scénario plus grave quel'addition des deux chocs mesurés séparément, avec une perte est de −23 619 430¿. Le risque de longévité et le risque de baisse des taux sont donc tous deux liés.L'actif reste constant car le risque de longévité n'est pas couvert.

b) Hausse des taux et choc de longévité 99.5%

Assets Liabilities


Choc Taux à la Hausse (16 634 508) 6 239 455

Choc Taux à la Hausse + Longévité (16 634 508) 1 184 462

E�ectuons les mêmes chocs sur les mêmes sous-modules de risques mais changeons lechoc de taux à la baisse par un choc à la hausse.

� La hausse des taux est positive pour le bilan de l'assureur. Comme nous l'avonsexposé précédemment, une hausse des taux se traduit pas une augmentation dutaux d'actualisation ainsi bien que la longévité augmentent les claims, ces claimscoûtent moins cher.

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� Le choc de longévité entraîne une perte de −7 887 337¿, le choc de hausse destaux provoque un gain 6 239 455¿.

� Les deux chocs combinés se compenser mutuellement. Nous remarquons d'aprèsla simulation que cela se traduit pas un gain de 1 184 462¿. Ce résultat positifmontre une fois de plus que les deux risques ont une dépendance, une dépen-dance qui n'est pas visible dans l'approche modulaire de la formule standard.La di�érence entre la somme des chocs simulés séparément et le choc combinésous-entend des e�ets d'interaction.

c) Baisse des actions, choc de longévité à 99.5%

Assets Liabilities

Choc Action 15 899 342 (31 423 330)


Chocs Action + Longévité 15 899 342 (40 490 495)

Gardons le risque de longévité et remplaçons le risque de taux par le risque action. Aucours de cette simulation, nous appliquons un choc action à la baisse −44%.

� La chute de la valeur de marché des actions entraîne une réduction de la valeur dufonds à la maturité. L'écart entre la valeur du fonds et la garantie devient ainsiplus grande, c'est pourquoi les claims deviennent plus élevés. Cela se traduit parune perte de −31 423 330¿.

� La combinaison des deux risques devrait entrainer une perte immense pour lacompagnie, la couverture des actifs du choc action est insu�sante. Cette pertes'élève à −40 490 495ε. Cette grand perte s'explique par le fait que la survenancedu risque longévité + action se produit que rarement. Ces deux risques sontencore dépendants étant donné que nous nous attendions à une perte combinéeégale à la somme des risques simulés séparément.

d) Baisse des actions, choc de longévité à 99.5% et baisse des taux

Assets Liabilities

Choc Action 15 899 342 (31 423 330)



Choc Action + Taux à la Baisse +

Longévité 33 978 913 (58 151 807)

Combinons le risque action, longévité et baisse des taux.

� Ces trois risques mesurés séparément aggravent la situation économique de lacompagnie d'assurance. Seuls le risque action et le risque baisse des taux sontcouverts. Les risques action, longévité et baisse des taux engendrent séparémentles pertes respectives −31 423 330¿, −7 887 337¿,−11 952 431¿.

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� Les trois risques combinés engendrent une perte conséquente de −58 151 807.¿Cette perte est beaucoup plus grande à celle que nous aurions estimés, ces troisrisques entraînent une augmentation des pertes du à l'e�et combiné.

e) Baisse des actions, choc de longévité à 99.5% et hausse des taux

Assets Liabilities

Choc Action 15 899 342 (31 423 330)



Choc Action + Taux à la Hausse +

Longévité (735 166) (27 913 619)

Réitérons la simulation en inversant la tendance des taux : la baisse des taux en-gendre un gain. De ce fait, si nous combinons les trois risques, le choc à la baisse desactions et le choc de longévité augmente fortement les claims tandis que le choc de tauxà la hausse fait baisser la provision de la BEL et ainsi augmente la disponibilité desfonds propres.

Après ces nombreuses simulations, nous avons pu voir que les risques présents ausein de modules di�érents possèdent des dépendances qui ne sont pas re�étés dansl'approche modulaire de la formule standard. A�n de mieux se rendre compte de lamauvaise modélisation de l'approche réglementaire, prenons deux risques présents dansun même module de risque.

f) Baisse des actions et des taux

Assets Liabilities

Choc Action 15 899 342 (31 423 330)


Choc Action + Taux à la Baisse 33 978 913 (45 425 880)

� La baisse de taux augmente la provision de la BEL ce qui diminue les fondspropres.

�

Un choc combiné (baisse des actions + baisse des taux) engendre un scénarioplus grave que l'addition des deux chocs mesurés séparément. Ainsi, dans lecadre de la formule standard, si les deux chocs se produisaient en même temps,le capital disponible pour couvrir cette perte est :SCRAction + SCRBaisse des taux = −15 523 988 + 6 127 141 = −9 396 848¿.Or, la perte réelle est égale à 11 446 966¿, l'entreprise doit prendre2 050 119¿des provisions techniques.

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g) Baisse des actions et hausse des taux

Reprenons le choc à la baisse des actions mais changeons désormais le choc des tauxà la hausse. La hausse des taux diminue la BEL, les fonds propres augmentent. Lacombinaison des deux chocs montre une dépendance entre ces chocs, cette dépendancene correspond à aucune manière au coe�cient de corrélation des matrices de corrélation.

Assets Liabilities

Choc Action 15 899 342 (31 423 330)


Choc Action + Taux à la Hausse (735 166) (21 672 773)

De nombreuses combinaisons ont été testées au cours de cette partie, toutes ontrévélées l'existence d'e�ets combinées non ou mal représentée dans la modélisation dela formule standard. Cette étude pourrait être compléter par l'étude des e�ets combinésde tous les risques, en e�et seul le risque de taux, d'action et de longévité ont été testésdans cette partie. Par ailleurs, il serait judicieux de comparer les coe�cients imposéspar la réglementation et ceux trouver lors de la combinaison des e�ets. Cette idée doitêtre précise et rigoureuse : en e�et, il faut faire attention à ce que le risque combinésatisfait l'hypothèse qu'il n'arrive 1 fois tous les 200.En e�et, ce test n'a pas été e�ectué car dans notre situation, le risque combiné estinférieur à la probabilité 1

200.

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Annexes 5 : Simulation de la courbe du Gamma

Soit les paramètres respectifs à chaque distribution :

ParamètresDistribution

de Cauchy

Distribution

Normale

μ 6.75 7.84

σ 31% 34%

Fx -153 401 759 -119 989 493

Fy 1.74 1.88

Figure 4.12: Paramètres de la régression Gamma

Soit les données numériques utilisées :

Shock LOV Delta GammaDistribution de

Cauchy

Distribution

Normale

-70 317 175 968 665-

-65 289 861 125 355- 1 875 080 380 5 174 211- 3 924 838- 1-

-60 263 602 243 535- 2 061 195 834 6 322 354- 4 517 636- 12-

-55 238 331 229 501- 2 235 673 118 6 969 266- 5 253 872- 124-

-50 213 920 618 687- 2 401 459 506 7 920 315- 6 183 112- 1 045-

-45 190 302 039 389- 2 559 178 929 8 550 255- 7 377 901- 7 358-

-40 167 390 092 703- 2 710 772 498 9 278 665- 8 947 512- 43 439-

-35 145 122 497 761- 2 856 229 139 10 025 133- 11 061 961- 214 998-

-30 123 448 105 952- 2 994 937 069 11 053 780- 13 995 637- 892 050-

-25 102 337 682 493- 3 124 144 429 12 725 727- 18 209 707- 3 102 773-

-20 81 792 846 897- 3 240 304 580 14 998 117- 24 513 008- 9 047 236-

-15 61 833 875 237- 3 332 769 525 20 486 923- 34 378 981- 22 114 994-

-10 42 583 793 656- 3 364 541 542 36 170 331- 50 519 371- 45 317 167-

-5 24 450 080 322- 3 240 802 757 77 749 055- 77 428 101- 77 847 326-

0 8 470 080 429- 2 867 301 319 131 479 464- 118 343 176- 112 106 211-

5 4 222 932 863 2 293 437 784 156 279 903- 156 280 073- 135 338 289-

10 13 372 184 179 1 701 544 554 136 967 924- 147 895 982- 136 967 243-

15 19 691 519 720 1 225 531 224 104 841 337- 104 841 334- 116 203 117-

20 24 028 977 431 884 244 794 75 237 627- 67 893 687- 82 646 386-

25 27 060 226 336 659 260 332 49 275 947- 44 775 644- 49 275 947-

30 29 303 060 086 523 577 341 30 970 906- 30 909 795- 24 629 247-

35 31 087 744 341 446 588 362 19 049 249- 22 328 999- 10 319 824-

40 32 611 122 024 405 593 351 11 733 344- 16 769 690- 3 624 921-

45 33 984 839 703 385 419 789 7 515 836- 13 005 263- 1 067 406-

50 35 269 189 534 377 103 541 4 920 845- 10 355 561- 263 491-

55 36 498 863 309 376 393 754 2 979 172- 8 427 797- 54 526-

60 37 697 536 336 380 591 896 1 909 423- 6 985 316- 9 459-

65 38 877 562 658 387 696 767 1 129 867- 5 879 797- 1 376-

70 40 047 213 712

Figure 4.13: Données utilisées pour la régression du Gamma

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Annexes 6 : Simulation Matlab

Main

clear globalclear variablesclcclose all%% Initialisation%rng('shu�e','twister');formats(1).type = 'list';formats(1).style = 'popupmenu';formats(1).items = {'ITM', 'ATM','OTM'};formats(1).size = 100;Answer = {};while isempty(Answer)Answer = inputsdlg('What test do you want to perform?','Portofolio_X',formats);switch Answer{1}case 1load Portofolio_X_Data_ITMcase [2]load Portofolio_X_Data case 3load Portofolio_X_Data_OTMendendCalib_results = [];Gamma_PnL = [];Gamma_PnL_ratchet = [];M = 2000;N = [0,2000,4000,6000,8000,10000];K = size(N,2); counter = 1;while counter <= Kif counter == KM = 1000;endn = N(counter);Gamma_PnL_temp = zeros(M,5);Gamma_PnL_temp_ratchet = zeros(M,5);Calib_results_temp = zeros(M,8);if n == 0Index =Calibrate_Vasicek(Portofolio_X.RealisedVol(1)/100,Portofolio_X.AV(1),1000);[dummy,dummy_ratchet] =

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Calculate_Gamma_PnL(Index,0,0,0,Gamma);base_pnl = dummy(1);base_pnl_ratchet = dummy_ratchet(1);clear dummy Indexendpoolobj = parpool;pctRunOnAlljavaaddpath('H:\Users\Administrator\Documents\MATLAB\ParforProgMon');ppm = ParforProgMon('Simulation Monitor', M );ticparfor i= 1:M[Index,Calib_results_temp(i,:)] = Calibrate_Vasicek(Portofolio_X.RealisedVol(1+i+n)/100,Portofolio_X.AV(1+i+n),1000);Realised_Var =Portofolio_X.RealisedVol(1+i+n)^2-Portofolio_X.RealisedVol(1)^2; [Gamma_PnL_temp(i,:),Gamma_PnL_temp_ratchet(i,:)] =Calculate_Gamma_PnL(Index,Realised_Var,base_pnl,base_pnl_ratchet,Gamma); ppm.increment();endtocdelete(poolobj)Calib_results = [Calib_results;Calib_results_temp];Gamma_PnL = [Gamma_PnL;Gamma_PnL_temp];Gamma_PnL_ratchet = [Gamma_PnL_ratchet;Gamma_PnL_temp_ratchet];if n == 0cd('H:\Users\Administrator\Documents\MATLAB\Input Data')switch Answercase 1save('Portofolio_X_Data_ITM.mat','Portofolio_X','Gamma','base_pnl','base_pnl_ratchet');case 2save('Portofolio_X_Data.mat','Portofolio_X','Gamma','base_pnl','base_pnl_ratchet');case 3save('Japan_Data_OTM.mat',Portofolio_X','Gamma','base_pnl','base_pnl_ratchet');endendcounter = counter + 1;clearvars -except counter MPortofolio_XGamma K base_pnl base_pnl_ratchetN �lename Calib_results Gamma_PnL Gamma_PnL_ratchetend if ~isempty(�lename)cd('H:\Users\Administrator\Documents\MATLAB\Vasicek and SCR\Final Results')

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save (�lename{1},'Calib_results','Gamma_PnL','Gamma_PnL_ratchet')endclearvars -except Calib_results Gamma_PnL Gamma_PnL_ratchet

Modèle de taux de Vasicek

Function [Index,calib_results] =Calibrate_Vasicek(target_vol,target_index,N)%% Automatisation de l'outil.%ticx0 = [0.5,0.5,0.5,0.5];%% Commençons par une option par défautoptions = optimset;%% Modi�cation des optionsoptions = optimset(options,'Display', 'o�');options = optimset(options,'TolFun', 1e-2);options = optimset(options,'TolX', 1e-2);options = optimset(options,'FunValCheck', 'on');[x_vola,fval_vola] =fminsearch(@(x)�nd_vola(x,target_vol,[1,1,1],N),[x0(1),x0(2)],options);[x_i0,fval_i0] =fminsearch(@(x)�nd_index0(x,[x_vola,target_index],N),[x0(3),x0(4)],options);x = [x_vola,x_i0];[vola,Index_0,Index,Returns] =Pricing_Vasicek(x(1),x(2),x(3),x(4),7000,target_index);calib_results = [x,vola,Index_0,fval_vola,fval_i0];% %% Sélection du pro�l de la volatilité½Realised_vola = std(Returns)*sqrt(52);Check =Realised_vola < target_vol + 0.005 & Realised_vola > target_vol - 0.005;Index = Index(:,Check);�gure()subplot(2,1,1)plot(Index)subplot(2,1,2)hist�t(std(di�(log(Index)))*sqrt(52))toc

Pricing du modèle Vasicek

function [vola,Index_0,Index,Returns,r] =Pricing_Vasicek(a,sigma_hmw,b,StartState,N,K)Modello = hwv(a,b,sigma_hmw,'StartState',StartState);[r,t] = Modello.simulate(52,'NTRIALS',N,'DeltaTime',1/52);tau = 1 - t;

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tau(end) = 0;r = squeeze(r);A = (1-exp(-a*tau))/a;D = (b-0.5*(sigma_hmw/a)^2)*(A-tau)-(sigma_hmw*A).^2/(4*a);if K>=1Index = K * exp(-repmat(A,1,N).*r+repmat(D,1,N));elseIndex = K * exp(repmat(A,1,N).*r+repmat(D,1,N)-2*b*repmat(A-tau,1,N));endIndex_0 = unique(Index(1));Returns = di�(log(Index));vola = mean(std(Returns)*sqrt(52));

Régression de la sensibilité Gamma

function [Gamma,Gamma_ratchet] = Gamma_regression(params,Index)mu = params.mu;sigma = params.sigma;Factor = params.Factor;adj_limit = params.adj_limit;min = params.min;Equity_perc = params.Equity_perc;Ratchet_y = params.ratchet_y;Ratchet_x = params.ratchet_x;Gamma =Equity_perc * Factor./(pi*sigma*(1+(((Index-1)*100-mu)/abs(min)*adj_limit).^2/sigma^2));Gamma =Factor./(pi*sigma*(1+(((Index-1)*100-mu)/abs(min)*adj_limit).^2/sigma^2));Gamma(1,:) = Equity_perc*params.t0;Gamma_ratchet = Gamma; Gamma_ratchet(Index >= Ratchet_x) = Equity_perc* Ratchet_y;Gamma_ratchet(Index >= Ratchet_x) = Ratchet_y;

Calcul du PnL Gamma

function Convexity_PnL =Calculate_Gamma_PnL_rates(Index,realised_var,base_PnL,Convexity_param)R0 = Convexity_param.R0;Convexity_PnL = zeros(1,5);Net_RhoConv = Net_RhoConv_regression(Convexity_param,100*(Index-R0*100));Weekly_PnL_Mat = 0.5*Net_RhoConv(1:end-1,:).*(R0*10000*di�(Index)).^2;Convexity_PnL(1) = mean(sum(Weekly_PnL_Mat))-base_PnL;Convexity_PnL(2) = 0.5*Convexity_param.t0*realised_var;Convexity_PnL(3) =0.5*mean([Convexity_param.net_rc(6,1),unique(Net_RhoConv(end,:))])*realised_var;

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Convexity_PnL(4) = median(sum(Weekly_PnL_Mat))-base_PnL;Convexity_PnL(5) = std(sum(Weekly_PnL_Mat));

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