mmodelli modelli matematematici di sistematici di sistemi...

1

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Modelli matematici di sistemi dinamiciModelli matematici di sistemi dinamici

• Modelli di sistemi dinamici lineari, tempo-invarianti

• Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienticostanti

• Similarita` nel modellare fenomeni fisici di natura diversa:

• sistemi meccanici

• circuiti elettrici

• sistemi termodinamici e fluidodinamici

2

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Modelli matematici di sistemi meccaniciModelli matematici di sistemi meccanici

• Sistemi meccanici in moto traslatorio:

• F=ma (Legge di Newton, equazione del moto)

• F,a: grandezze vettoriali

• componenti elementari: masse, molle,ammortizzatori

f1 f2

M

x

K

x1 x2

Bx1 x2

3

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Modelli matematici di sistemi meccaniciModelli matematici di sistemi meccanici

†

Df (t) = f1(t) - f2(t) = M d2x(t)dt 2

Equazioni che descrivono l’equilibrio delle forzeapplicate:

f1 f2x

x1 x2

x1 x2

†

f (t) = K(x1(t) - x2(t))

†

f (t) = B ddt

(x1(t) - x2(t))

4

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Cruise controlCruise control

†

v = ˙ x a = ˙ v = ˙ ̇ x

Esempio: controllo di velocita`

mubv

x

a

†

u - b ˙ x = m˙ ̇ x

†

˙ ̇ x + bm

˙ x = um

†

s2X(s) - sx(0) - ˙ x (0) +bm

sX(s) - x(0)( ) =U(s)

m

†

X(s) =1/m

s s + b /m( )U(s) +

s + b /m( )x(0) + v(0)s s + b /m( )

†

X(s)U(s)

=1/m

s s + b /m( )

5

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

˙ v + bm

v =um

†

sV (s) - v(0) +bm

V (s) =U(s)

m

†

V (s) =1/m

s + b /m( )U(s) +

v(0)s + b /m( )

†

V (s)U(s)

=1/m

s + b /m( )

†

X(s)U(s)

=1/m

s s + b /m( )

Legami tra u, x e va partire da condizioni iniziali nulle

U(s)=0

†

V (s) =v(0)

s + b /m( )fi v(t) = v(0)e

-bm

t

6

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


Modello di stato:

†

x =xv

È

Î Í

˘

˚ ˙ =

x1

x2

È

Î Í

˘

˚ ˙

†

˙ x 1 = ˙ x = v = x2

˙ x 2 = ˙ v = ˙ ̇ x = a = -bm

v +um

= -bm

x2 +um

†

˙ x =0 10 -b /m

È

Î Í

˘

˚ ˙ x +

01/mÈ

Î Í

˘

˚ ˙ u

†

u Æ x fi y = x = x1 fi y = 1 0[ ]x

†

u Æ v fi y = v = x2 fi y = 0 1[ ]xJ=0

7

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

H (s) = H (sI - F)-1G + J

†

(sI - F)-1G =s -10 s +

bm

È

Î Í Í

˘

˚ ˙ ˙

-1 01m

È

Î Í Í

˘

˚ ˙ ˙

=

=1

s s + b /m( )s +

bm

10 s

È

Î Í Í

˘

˚ ˙ ˙

01m

È

Î Í Í

˘

˚ ˙ ˙

=1

s s + b /m( )1/ms /m

È

Î Í

˘

˚ ˙

†

y = x : 1s s + b /m( )

1 0[ ]1/ms /m

È

Î Í

˘

˚ ˙ =

1/ms s + b /m( )

†

y = v : 1s s + b /m( )

0 1[ ]1/ms /m

È

Î Í

˘

˚ ˙ =

s /ms s + b /m( )

=1/m

s + b /m( )

8

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Quarter-car modelQuarter-car model

Esempio: sospensione

vcar

r

kw

ks b

y

x

x,y: scostamenti dal valoredi equilibrio (“elimino” laforza di gravita`)

m1 x m2 y†

ks(y - x)

†

b( ˙ y - ˙ x )

†

kw (x - r)

†

ks(y - x)

†

b( ˙ y - ˙ x )

m2

m1

9

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

b( ˙ y - ˙ x ) + ks(y - x) - kw (x - r) = m1˙ ̇ x -b( ˙ y - ˙ x ) - ks(y - x) = m2 ˙ ̇ y

†

˙ ̇ x + bm1

( ˙ x - ˙ y ) +ks

m1(x - y) +

kw

m1x =

kw

m1r

˙ ̇ y + bm2

( ˙ y - ˙ x ) +ks

m2(y - x) = 0

†

s2X(s) +bm1

s(X(s) -Y (s)) +ks

m1(X(s) -Y (s)) +

kw

m1X(s) =

kw

m1R(s)

s2Y (s) +b

m2s(Y (s) - X(s)) +

ks

m2(Y (s) - X(s)) = 0

c.i. nulle

10

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


Legame tra r ed y: ricavo l’espressione di X(s) in funzione diY(s) dalla 2a eq. e sostituisco nella 1a eq.

†

X(s) =s2 +

bm2

s +ks

m2b

m2s +

ks

m2

Y (s)

†

Y (s)R(s)

=p1s + p0

s4 + q3s3 + q2s2 + q1s + q0

Esercizio: modello di stato con

†

x = [x, ˙ x , y, ˙ y ]T

11

A. B

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“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Testina HDDTestina HDD

• Sistemi meccanici in moto rotatorio monodimensionale:

• M=Ia

• Esempio: servoposizionamento testina HDD

I1

Mc+Md

†

b( ˙ q 1 - ˙ q 2)†

k(q1 -q2)

†

q1

†

˙ ̇ q 1

†

I1˙ ̇ q 1 + b( ˙ q 1 - ˙ q 2) + k(q1 -q2) = Mc + MD

I2˙ ̇ q 2 - b( ˙ q 1 - ˙ q 2) - k(q1 -q2) = 0

I2†

q2

†

˙ ̇ q 2

†

k(q1 -q2)

†

b( ˙ q 1 - ˙ q 2)

q2

q1

k,bMc+Md

I2

I1

12

A. B

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“F

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men

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Aut

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ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

PendoloPendolo

• Esempio: il pendolo

l

q

Tc

mg

†

I = ml2

†

Tc - l mgsinq( ) = I ˙ ̇ q = ml2˙ ̇ q

†

˙ ̇ q +gl

sinq =Tc

ml2

†

˙ ̇ q +glq =

Tc

ml2 q @ 0

†

s2Q(s) - sq(0) - ˙ q (0) +gl

Q(s) =Tc(s)ml2

†

Q(s) =1

ml2Tc(s)

s2 + g / l+

sq(0) + ˙ q (0)s2 + g / l

13

A. B

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“F

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Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Carro-ponteCarro-ponte

• Esempio: il carro-ponte

I,mp

q

mtu

x

PN

mtu

†

x

†

˙ ̇ x

†

b˙ x

†

mt ˙ ̇ x = -b˙ x + u - N

14

A. B

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“F

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ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Cinematica del pendolo:

q

r

ji

x

†

r = i(x + lsinq) - jlcosq

†

˙ r = i( ˙ x + l ˙ q cosq) + jl ˙ q sinq

= i˙ x + l (i ˙ q cosq + j ˙ q sinq)

†

˙ ̇ r = i˙ ̇ x + l i ˙ ̇ q cosq - ˙ q 2 sinq( )(+ j ˙ ̇ q sinq + ˙ q 2 cosq( ))

†

˙ ̇ r = i˙ ̇ x + l ˙ ̇ q icosq + jsinq( ) + l ˙ q 2 -isinq + jcosq( ) =

= i˙ ̇ x + l ˙ ̇ q icosq + jsinq( )

+l ˙ q 2 icos q +p2

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ + jsin q +

p2

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

†

l ˙ q 2

†

l ˙ ̇ q

†

˙ ̇ x

l

15

A. B

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“F

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men

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Aut

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” U

nive

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` di

Pad

ova


• Cinematica e dinamica del pendolo: ortogonale alpendolo

q

PN

†

l ˙ q 2

†

l ˙ ̇ q

†

˙ ̇ x

mpg

†

P sinq + N cosq - m pgsinq = m pl ˙ ̇ q + m p˙ ̇ x cosq

†

-Plsinq - Nlcosq = I ˙ ̇ q

†

I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglsinq = -m pl˙ ̇ x cosq

†

ml2 ˙ ̇ q + mglsinq = Tc

I:momentodi inerziaattorno albaricentro

pendolo“fisso”

†

†

l ¥

†

+

16

A. B

eghi

“F

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men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Per il moto del carrello:

q

N

†

l ˙ q 2

†

l ˙ ̇ q

†

˙ ̇ x

mpg

†

mt ˙ ̇ x = -b˙ x + u - N

†

N = m p ˙ ̇ x + l ˙ ̇ q cosq - l ˙ q 2 sinq( )

†

(m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x + m pl ˙ ̇ q cosq - m pl ˙ q 2 sinq = u

Per q “piccoli”: sinq ≈q, cosq ≈1. Inoltresi assume che

†

˙ q 2 @ 0

†

I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m pl˙ ̇ x (m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x + m pl ˙ ̇ q = u

Ï Ì Ó

17

A. B

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“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Trascurando l’attrito (b=0):

†

I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m pl˙ ̇ x

(m p + mt )˙ ̇ x + m pl ˙ ̇ q = u fi ˙ ̇ x =u - m pl ˙ ̇ q

M, m p + mt = M

Ï

Ì Ô

Ó Ô

†

I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m plu - m pl ˙ ̇ q

M

†

I + m pl2 -m p

2 l2

M

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ̇ ̇ q + m pglq = -m pl u

M

†

Q(s)U(s)

=-m pl

M I + m pl2( ) - m p2 l2( )s2 + Mm pgl

18

A. B

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“F

onda

men

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Aut

omat

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” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Dal carro-ponte al pendolo inverso: equilibrio attorno allaposizione verticale (q=p). Definisco q’=q-p

• Linearizzando attorno a q=p, sinq ≈-q’, cosq ≈-1. Inoltre siassume che

†

I + m pl2( )˙ ̇ ¢ q - m pgl ¢ q = m pl˙ ̇ x (m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x - m pl ˙ ̇ ¢ q = u

Ï Ì Ó

†

˙ ¢ q 2 @ 0

†

¢ Q (s)U(s)

=m pl

M I + m pl2( ) - m p2 l2( )s2 - Mm pgl

• Per b=0:

19

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Modelli matematici di circuiti elettriciModelli matematici di circuiti elettrici

• Circuiti elettrici:

• elementi statici: resistenze, trasformatori ideali

• elementi dinamici: induttanze, capacita`

• ingressi forniti da generatori di tensione e/o dicorrente

†

v(t) = Ri(t)

v(t) = L di(t)dt

i(t) = C dv(t)dt

v(t) = vs

i(t) = is

+

i

+

i

+

i

20

A. B

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“F

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men

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Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Bridged-TBridged-T

Esempio: ponte a T

v1, v2, v3: riferite a Õ

†

v1 - v2

R1=

v2 - v3

R2+ C1

dv2

dtKCL À:

†

v2 - v3

R2+ C2

d(v1 - v3)dt

= 0KCL Ã:

†

vC1= v2 = x1

vC2= v1 - v3 = x2

v1 = vi = uv3 = u - x2 = vo = y

†

˙ x 1 =u - x1

C1R1-

x1 - u + x2

C1R2

˙ x 2 = -x1 - u + x2

C2R2

Ï

Ì Ô

Ó Ô

++

R1

+

R2

+ C2

C1

! Ã

Õ

À

+

vi

+vo

21

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Bridged-TBridged-T

Rappresentazione matriciale:

†

F =

1C1

1R1

+1R2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ -

1C1R2

-1

C21R2-

1C2R2

È

Î

Í Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ ˙

G =

1C1

1R1

+1R2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

1C2R2

È

Î

Í Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ ˙

H = 0 -1[ ] J =1

22

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Amplificatori operazionaliAmplificatori operazionali

vo=A(v+-v-)R1

Ro

+

io

v-

i-

i+

v+

+

Operazionale ideale: R1=•, Ro=0, A =•, e vo tale che

-

+ vo

vo-

vi

v+=0

†

i+ = i- = 0v+ - v- = 0

Ï Ì Ó

23

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Sommatore con op-amp idealeSommatore con op-amp ideale

†

v+ = 0 fi v- = 0

i1 =v1

R1, i2 =

v2

R2

R1

Rf

iout

v1

i1

i2

v2

vout-

R2

†

i1 + i2 + iout = 0v1

R1+

v2

R2+

vout

Rf= 0

†

vout = -Rf

R1v1 +

Rf

R2v2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

24

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Integratore con op-amp idealeIntegratore con op-amp ideale

†

iin + iout = 0vin

Rin+ C dvout

dt= 0

Rin

C

iout

vin

iin

vout-

†

dvout

dt= -

vin

CRin

†

vout(t) = -1

RinCvin (t)dt + vout(0)

0

tÚ

25

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Modelli di sistemi elettromeccaniciModelli di sistemi elettromeccanici

• Interazione tra correnti elettriche e campi magnetici:

• Legge dei motori: un conduttore di lunghezza l mpercorso da una corrente di i A e` collocatoortogonalmente alle linee di un campo magnetico diintensita` B T e` soggetto ad una forza (ortogonale alpiano formato da i e B) di intensita` F=Bli N.

• Legge dei generatori: in un conduttore di lunghezza lm che si muove a velocita` v m/s ortogonalmente allelinee di un campo magnetico di intensita` B T sistabilisce una tensione di intensita` e(t)=Blv V.

26

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AltoparlanteAltoparlante

Cono+interazione aria: massa M, attrito viscoso b

†

M˙ ̇ x = -b˙ x + Bli

†

x1 = x ˙ x 1 = x2

x2 = ˙ x ˙ x 2 = -bM

x2 +BlM

i

†

F = Bli

27

A. B

eghi

“F

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men

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Aut

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ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AltoparlanteAltoparlante

• Circuito di ingresso:

†

va

†

ecoil

†

R

†

i

†

L

†

x†

ecoil = Bl˙ x

†

L didt

+ Ri + Bl˙ x = va

†

x3 = i ˙ x 3 = -RL

x3 -BlL

x2 + va

†

˙ x 1 = x2

˙ x 2 = -bM

x2 +BlM

i

˙ x 3 = -RL

x3 -BlL

x2 + va

†

F =

0 1 00 -b / M Bl / M0 -Bl /L -R / M

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

G =

00

1/L

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

28

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

Motore in continuaMotore in continua

Magnete delloStatore

Statore

Avvolgimentidel Rotore

†

qm

Albero

CuscinettiSpazzola

Spazzola

Angolo

†

ia

†

T = Ktia

e = Ke˙ q m

†

e = Ke˙ q m

†

va†

Ra

†

La

†

ia

†

T

†

qm

†

b ˙ q m†

Jm˙ ̇ q m = T - b ˙ q m = Ktia - b ˙ q m

†

Ladia

dt+ Raia = va - e = va - Ke

˙ q m

29

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

˙ ̇ q m =Kt

Jmia -

bJm

˙ q m

†

dia

dt= -

Ra

Laia +

1La

va -Ke

La

˙ q m

†

x1 = qm

x2 = ˙ q mx3 = ia

u = va

†

˙ x 1 = x2

˙ x 2 = -b

Jmx2 +

Kt

Jmx3

˙ x 3 = -Ke

Lax2 -

Ra

Lax3 +

1La

u

Ï

Ì

Ô Ô Ô

Ó

Ô Ô Ô

†

F =

0 1 00 -b /Jm Kt /Jm

0 -Ke /La -Ra /La

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

G =

00

1/La

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

Simile al modello dell’altoparlante: circuito elettrico cheguida un carico meccanico

30

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


Funzione di trasferimento tra tensione di armatura eposizione angolare dell’albero (da c.i. nulle):

†

Jms2Qm (s) + bsQm (s) = KtIa(s)

†

sLaIa(s) + RaIa(s) = Va(s) - KesQm (s)

†

Ia(s) =Va(s) - sKeQm (s)

Ra + sLa

†

s Jms + b( )Qm (s) = KtVa(s) - sKeQm (s)

Ra + sLa

†

Qm (s)Va(s)

=Kt

s Jms + b( ) Ra + sLa( ) + KeKt[ ]

†

La trascurabile : Qm (s)Va(s)

=Kt /Ra

Jms2 + b + KeKt /Ra( )s

31

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

• Analogia:

• la metodologia di derivazione dei modelli non e`basata sulla natura fisica delle grandezze in gioco masui legami formali tra le funzioni che descrivono legrandezze in gioco

• Analogia: due sistemi descriventi fenomeni di naturafisica diversa possono essere descriti da equazioniuguali

• Esempio: analogia tra sistemi elettrici e sistemimeccanici

32

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

• punti in movimento ¤ nodi della rete

• masse ¤ capacita` verso massa

• molle ¤ induttanze

• ammortizzatori ¤ resistenze

• velocita` ¤ tensioni

• forze ¤ correnti

33

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

f

M1

x1

x2

M2

B1

K2

K1

†

M1d2x1(t)

dt 2 = f (t) - K1x1(t) - B1ddt

(x1(t) - x2(t))

†

M2d2x2(t)

dt 2 = B1ddt

(x1(t) - x2(t)) - K2x2(t) - B2dx2(t)

dt

34

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

• Cerco il legame tra f(t) e x2(t):

†

Dx1(t) =1B1

x2(t) + M2D2x2(t) + K2x2(t) + B2Dx2(t)( )†

ddt

¤ D dx(t)dt

¤ Dx(t)

†

D2x1(t) =1B1

Dx2(t) + M2D3x2(t) + K2Dx2(t) + B2D2x2(t)( )

†

D3x1(t) =1B1

D2x2(t) + M2D4 x2(t) + K2D2x2(t) + B2D3x2(t)( )

†

0 = -B1D(x1(t) - x2(t)) + M2D2x2(t) + K2x2(t) + B2Dx2(t)

35

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

†

f (t) = M1D2x1(t) + K1x1(t) + B1D(x1(t) - x2(t))

†

Df (t) = M1D3x1(t) + K1Dx1(t) + B1D

2(x1(t) - x2(t))

†

Df (t) =M1M2

B1D4 x2(t) +

M1B2

B1D3x2(t) +

+M1(B1 + K2)

B1+

K1M2

B1+ M2 - B1

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ D2x2(t)

+K1B2

B1+ B2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ Dx2(t) +

K1(B1 + K2)B1

+ (B1 + K2)Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ x2(t)

36

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

AnalogiaAnalogia

f(t)¤i(t)

M1

M2

dx1(t)dt

¤ v1(t) dx2 (t)dt

¤ v2 (t)1B1

1B2

1K1

1K2

37

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova

LinearizzazioneLinearizzazione

• In generale i modelli dei sistemi da controllare sono nonlineari

• La maggior parte delle tecniche di controllo si basasull’ipotesi di linearita` del processo

• Linearizzazione: derivazione di un sistema lineare cheapprossima il sistema non lineare nell’intorno di un puntodi equilibrio (analisi alle variazioni o ai piccoli segnali)

• Teoria di Lyapunov: la (asintotica) stabilita` del sistemalinearizzato garantisce la stabilita` del sistema non linearein un intorno del punto di equilibrio

• Si progetta una legge di controllo stabilizzante per ilsistema linearizzato e la si applica al sistema non lineareche rimane stabile nell’intorno del punto di equilibrio

38

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

q(y(1),K , y(n ),u(1),K , u(m )) = 0

†

˙ x 1(t) = f1 x1(t),K,xn (t),u(t)( )M

˙ x n (t) = fn x1(t),K,xn (t),u(t)( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

†

y(t) = h x1(t),K, xn (t),u(t)( )

• Modello non lineare (tempo-invariante):

†

˙ x = f(x,u)y = h(x,u)

Ï Ì Ó

• In forma di stato:

• Punto di equilibrio x0 (con u=u0):

†

˙ x 0 = f(x0,u0) = 0y0 = h(x0,u0)

Ï Ì Ó

39

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


†

x(t) = x0 + dx(t) u(t) = u0 + du(t)• Perturbando l’equilibrio:

†

f(x, u) @ f(x0,u0) +∂f∂x

È Î Í

˘ ˚ ˙ x=x 0

u= u0

dx +∂f∂u

È Î Í

˘ ˚ ˙ x=x 0

u= u0

du

= Fdx + Gdu

†

˙ x (t) = ˙ x 0 + d˙ x (t) = d˙ x (t)= f(x,u) = Fdx(t) + Gdu(t)

†

d˙ x (t) = Fdx(t) + Gdu(t)

• Il modello e` valido per dx e du “piccoli”

40

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Esempio:

†

˙ ̇ y - ˙ y sin y + arctan y = (1+ ˙ y )u

†

x1 = yx2 = ˙ y

†

˙ x 1 = x2 = f1(x,u)˙ x 2 = ˙ ̇ y = ˙ y sin y - arctan y + (1+ ˙ y )u

= x2 sin x1 - arctan x1 - (1+ x2)u = f2(x,u)• Equilibrio in x1=x2=u0=0

†

F =

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

È

Î

Í Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ ˙ x1 =0

x2 =0u=0

=0 1

x2 -1

1+ x12 sin x1 - u

È

Î

Í Í

˘

˚

˙ ˙

x1 =0x2 =0u =0

=0 1-1 0

È

Î Í

˘

˚ ˙

†

G =

∂f1

∂u∂f2

∂u

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ x1 =0

x2 =0u=0

=0

-1- x2

È

Î Í

˘

˚ ˙ x1 =0

x2 =0u=0

=0-1

È

Î Í

˘

˚ ˙

41

A. B

eghi

“F

onda

men

ti di

Aut

omat

ica

” U

nive

rsita

` di

Pad

ova


• Linearizzazione tramite retroazione: si “cancella” lanonlinearita` tramite il controllo

• Esempio: il pendolo

†

ml2 ˙ ̇ q + mlgsinq = Tc

†

Tc = u + mlgsinq

†

ml2 ˙ ̇ q = u

• E` un controllo in retroazione (devo conoscere q)• Il controllo e` una funzione nonlineare delle variabili che

descrivono il processo

mmodelli modelli matematematici di sistematici di sistemi...

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