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TEST - SM101 & SM102

MMC & Elasticite lineaire - TEST PROMO 16

SUPAERO - 1A - 22 novembre 2013

Seul document autorise : une feuille manuscrite recto-verso

1 Cas d’un cylindre seul

On considere un cylindre a l’interieur duquel se trouve un fluide a la pression pi (pour interne), on notera pe

la pression externe. La figure 1 decrit la configuration simplifiee consideree ici. Dans un premier temps, on ne

a

b

z

O

z

pi pe

Figure 1 – Configuration etudiee dans le probleme.

se preoccupe pas de la facon avec laquelle la zone interieure est isolee de la zone externe (les deux zones sont

supposees etre a des pressions tres differentes). Plus loin, voir figure 2, on considerera deux fermetures possibles.

On se place en coordonnees cylindriques (r, θ, z). Le cylindre est situe dans l’espace defini par a ≤ r ≤ b avec z

- 1 -


variant sur une hauteur supposee tres grande devant b. On suppose que le cylindre se deforme mais en restant

dans les hypotheses de l’elasticite lineaire. Par ailleurs, on neglige les effets de la gravite et on note λ et µ les

coefficients de Lame correspondant au materiau constituant le cylindre.

1.1 Cas general

1.◦ On cherche le deplacement en partant de la forme generale

u = u(r, θ, z)er + v(r, θ, z)eθ + w(r, θ, z)ez (1)

(a) Montrer que l’on peut prendre u independant de θ et v ≡ 0.

(b) On cherche une solution avec u independant de z. Qu’est-ce qui peut le justifier ?

(c) Sous la forme reduite (issue des simplifications ci-dessus) montrer que la fonction w,r (derivee partielle

de w vis-a-vis de r) est nulle en r = a et r = b. On suppose alors que la fonction w ne depend pas de r.

2.◦ Avec la forme reduite ainsi obtenue, ecrire les equations d’equilibre que doivent satisfaire les fonctions u

et w. Montrer que les solutions de ces equations conduisent a :

w(z) = αz + β u(r) = γr +δ

r(2)

avec α, β, γ, δ quatre constantes d’integration. On prend β = 0, qu’est-ce que cette relation represente ?

3.◦ En fonction des trois constantes d’integration restantes et des coefficients de Lame, calculer le tenseur

des petites deformations et le tenseur des contraintes.

4.◦ Ecrire les deux conditions aux limites en chargement. On expliquera en detail la mise en place de ces

conditions aux limites. En deduire la constante δ en fonction des donnees du probleme.

1.2 Conditions aux limites verticales

Deux cas de conditions aux limites en z sont consideres, comme illustre sur la figure 2. Le premier cor-

respond a un encastrement vertical, schematise sur la partie gauche de la figure 2, le second a deux capuchons

soudes sur les parties haute et basse, represente sur la partie droite.

5.◦ Dans cette question, on s’interesse au premier cas (encastrement vertical). Montrer que l’on a α = 0.

Calculer γ. Que penser de la condition d’encastrement vertical ?

6.◦ On s’interesse maintenant au second cas (capuchon soude a chaque bout).

(a) En analysant les efforts s’exercant sur chaque capuchon, etablir une relation supplementaire reliant les

constantes d’integration α, γ et δ.

(b) Calculer les trois constantes d’integration. On trouvera :

α = γ =a2pi − b2peK(b2 − a2)

δ =(pi − pe)a2b2

2µ(b2 − a2)

avec K le module de rigidite a la dilatation du materiau.

- 2 -


a

b

z

O

pi pe

a

b

z

O

pi pe

Figure 2 – Deux cas de conditions aux limites. A gauche, encastrement vertical, a droite capuchons soudes.

(c) Calculer les trois contraintes principales.

(d) On suppose que le materiau est un acier pour lequel le critere de sollicitation maximale possible tout

en maintenant des deformations elastiques (et non plastiques) est le critere de Tresca. Selon ce dernier

la contrainte de cisaillement maximal dans le materiau doit etre inferieure a une valeur seuil τc donnee

(et dependante du materiau). A epaisseur donnee b, determiner la valeur maximale de la pression

interne possible (pour rester dans le domaine elastique). Inversement a pression interne fixee, determiner

l’epaisseur relative (b− a)/a minimale pour garantir la tenue mecanique elastique du cylindre. A titre

d’application numerique, on prend les valeurs :

pe = 1 bar pi = 100 bar τc = 108 Pa a = 10 cm

determiner alors l’epaisseur b− a minimale.

2 Cas d’un frettage

On etudie maintenant le cas d’un cylindre frette. Le frettage est un procede industriel, couramment em-

ploye, souvent avec des pieces cylindriques. Prenons ici l’exemple de deux cylindres, comme illustre sur la

figure 3. Un cylindre que l’on souhaite fretter est mis a l’interieur d’un cylindre, la frette, de sorte qu’au repos

le cylindre exterieur exerce une force de pression que l’on appelle precontrainte et que nous noterons p. En

pratique, une solution simple consiste a chauffer la frette de sorte a la dilater un peu, on peut alors rentrer

le cylindre interieur. Quand la frette se refroidit, elle exerce alors une compression sur le cylindre interne qui

est alors frette. L’objectif est d’ameliorer les performances mecaniques, par exemple dans le cas etudie dans le

probleme (effort de pression interne p0 important). Un exemple connu est celui d’un tonneau : le bois est entoure

d’anneaux metalliques qui sont des frettes, le bois est effectivement sous contrainte meme a vide en raison de

ces anneaux. En construction civile, le beton precontraint releve aussi de ce principe.

- 3 -


pepi

aRb

τe

τi

Figure 3 – Illustration de la technique du frettage.

On considere le cas de cylindres dans des materiaux de type metallique pour lequel la limite elastique

est fixee par le critere de Tresca, comme precedemment. Comme indique, sur la figure 3, on note τi et τe

respectivement les valeurs limites du cisaillement maximal pour le cylindre interieur frette et le cylindre exterieur

(la frette). Enfin, on considerera le cas de conditions aux limites fixees comme precedemment par le cas de deux

capuchons soudes en haut et en bas de ces cylindres.

7.◦ Ecrire les conditions a respecter (critere de Tresca) pour que chacun des deux materiaux reste dans le

domaine elastique. Representer les deux inegalites obtenues dans le diagramme (x, p) ou l’on definit x = R2.

8.◦ Pour des limites elastiques τi, τe fixees, pour une geometrie (a, b) donnee, pour une pression externe pe

fixee, determiner le couple (x, p) qui permet au systeme du cylindre frette de resister a la plus grande

pression pi possible. Quelle est la valeur de cette pression pi maximale autorisee ? On pourra d’abord raisonner

graphiquement (avec la question precedente). Donner des conditions pour que cette solution optimale soit

possible.

9.◦ On considere le cas ou la frette et le cylindre frette sont constitues du meme materiau. Montrer d’abord

que la solution optimale trouvee a la question precedente est possible. A epaisseur donnee, comparer la

pression de charge pi maximale entre cette solution frettee et la solution obtenue avec un seul cylindre.

- 4 -


3 Formulaire d’analyse tensorielle en coordonnees cylindriques

Fonction scalaire : tenseur d’ordre 0. On considere une fonction scalaire (r, θ, z) 7−→ f(r, θ, z).

– Gradient (le resultat est un tenseur d’ordre 1)

∇f = f,r er +1

rf,θ eθ + f,z ez

– Laplacien (le resultat est un tenseur d’ordre 0)

∆f =1

rf,r + f,rr +

1

r2f,θθ + f,zz

Fonction vectorielle : tenseur d’ordre 1. On considere une fonction vectorielle (r, θ, z) 7−→ u(r, θ, z).

– Gradient (le resultat est un tenseur d’ordre 2)

∇u =

ur,r1

rur,θ −

1

ruθ ur,z

uθ,r1

ruθ,θ +

1

rur uθ,z

uz,r1

ruz,θ uz,z

– Divergence (le resultat est un tenseur d’ordre 0)

∇ . u = ur,r +1

rur +

1

ruθ,θ + uz,z

– Laplacien (le resultat est un tenseur d’ordre 1)

∆u =

(ur,rr +

1

rur,r −

1

r2ur +

1

r2ur,θθ + ur,zz −

2

r2uθ,θ

)er

+

(2

r2ur,θ + uθ,rr +

1

ruθ,r −

1

r2uθ +

1

r2uθ,θθ + uθ,zz

)eθ

+

(uz,rr +

1

ruz,r +

1

r2uz,θθ + uz,zz

)ez

– Rotationnel (le resultat est un tenseur d’ordre 1)

∇∧ u =

(1

ruz,θ − uθ,z

)er + (ur,z − uz,r) eθ +

(uθ,r −

1

rur,θ +

1

ruθ

)ez

Fonction tensorielle d’ordre 2. Divergence d’une fonction tensorielle d’ordre 2 : (r, θ, z) 7−→ T (r, θ, z) :

∇ . T =

Trr,r +1

rTrθ,θ + Trz,z +

1

r(Trr − Tθθ)

Tθr,r +1

rTθθ,θ + Tθz,z +

1

r(Trθ + Tθr)

Tzr,r +1

rTzθ,θ + Tzz,z +

1

rTzr

- 5 -


- 6 -


MMC & Elasticite lineaire - Corrige de l’examen de MMC PROMO 16

SUPAERO - 1A - 22 novembre 2013

1 Cylindre seul

1.1 Cas general

1.◦ La forme initiale du deplacement est la forme generale en coordonnees cylindriques.

(a) Le probleme est a symetrie cylindrique : aussi bien la geometrie de la piece etudiee que le chargement

(pression interne et pression externe). Il est donc legitime de supposer le deplacement independant

de l’angle azimutal θ. Par ailleurs, on peut aussi imposer qu’il n’y a pas de mouvement de rotation

d’ensemble ce qui permet d’annuler la composante orthoradiale du deplacement v.

(b) Au moins loin des extremites haute et basse du cylindre, comme on suppose les dimensions verticales

du cylindre tres grandes devant le rayon externe b, il est naturel de chercher un deplacement radial

independant de la position verticale.

(c) Avec les hypotheses ci-dessus, le deplacement est recherche sous la forme :

u(r, z) = u(r)er + w(r, z)ez (3)

La question invite a analyser les conditions de chargement en r = a et r = b. En un point quelconque de

l’une de ces deux surfaces, le vecteur normal unitaire n dirige vers l’exterieur du domaine cylindre etudie

est egal ±er, avec +er en r = b et −er en r = a. Par ailleurs, le chargement exerce est uniquement un

effort en pression donc de type compression pour le cylindre : l’effort de cisaillement est nul. En r = a

et r = b, on doit donc ecrire : (σ . ± er

). eθ =

(σ . ± er

). ez = 0

Dans la base (er, eθ, ez), ces egalites s’ecrivent : σrr σrθ σrz

σrθ σθθ σθz

σrz σθz σzz

.

±1

0

0

.

0

1

0

=

σrr σrθ σrz

σrθ σθθ σθz

σrz σθz σzz

.

±1

0

0

.

0

0

1

= 0

ce qui se reduit a :

σrθ = σrz = 0

a ecrire en r = a et r = b. Il reste a calculer ces deux composantes en fonction du deplacement. Pour

le milieu elastique homogene lineaire et isotrope considere, la loi de comportement est donnee par :

σ = 2µ ε+ λ tr (ε) I (4)

- 7 -


avec ε le tenseur des petites deformations, d’ou l’on tire :

σrz = 2µεrz σrθ = 2µεrθ

Avec la forme du deplacement donnee par (3), on obtient :

εrz =1

2w,r εrθ = 0

Ainsi, la condition de non cisaillement en chargement en r = a et r = b se traduit bien par w,r = 0

en r = a et r = b. On aboutit ainsi a :

u = u(r)er + w(z)ez (5)

pour le deplacement.

2.◦ Il est commode d’utiliser la formulation en deplacement. L’equation de Clapeyron s’ecrit :

µ∆u+ (λ+ µ) grad (∇ . u) = 0

Comme les fonctions u et w ne dependent que d’une variable, il est commode de noter la derivation par un ′,

sachant que ce symbole represente la derivation par rapport a r dans le cas de la fonction u et la derivation

par rapport a z pour w. Avec cette convention, on a :

∇ . u = u′ +1

ru+ w′

comme on l’obtient sans difficulte par les formules classiques. De meme on obtient :

∆u =

u′′ + u′/r−u/r2

0

w′′

= grad (∇ . u)

Ainsi l’equation vectorielle de Clapeyron se traduit par :

u′′ +u′

r− u

r2= 0 w′′ = 0

La premiere, souvent rencontree en exercices, s’integre sans difficulte en recherchant des solutions en rn. On

trouve deux solutions independantes n = 1 et n = −1, on a donc bien toutes les solutions car l’ensemble des

solutions d’une equation differentielle lineaire du deuxieme ordre est un espace vectoriel de dimension 2, et les

solutions s’obtiennent par combinaison lineaire de ces deux solutions elementaires. L’integration de la seconde

equation est immediate. On trouve donc bien la forme (2) donnee dans l’enonce. On peut supposer β = 0

pour ne pas avoir (ou ne pas tenir compte) d’un deplacement d’ensemble vertical.

3.◦ Ce n’est que du calcul (assez simple dans le cas present). On a d’abord :

∇u =

u′ 0 0

0 u/r 0

0 0 w′

=

γ − δ/r2 0 0

0 γ + δ/r2 0

0 0 α

- 8 -


ce qui conduit a :

ε =

γ − δ/r2 0 0

0 γ + δ/r2 0

0 0 α

et tr (ε) = α+ 2γ

Avec la loi de comportement (4), on en deduit :

σ =

2µ(γ − δ/r2) + λ(α+ 2γ) 0 0

0 2µ(γ + δ/r2) + λ(α+ 2γ) 0

0 0 2µα+ λ(α+ 2γ)

(6)

ce qui donne explicitement le tenseur des contraintes.

4.◦ Commencons par la condition en r = a. Le fluide interne exerce un effort sur le cylindre en raison de

sa pression pi. L’effort exerce par le fluide a la pression pi est un effort egal piN ou N designe le vecteur

normal dirige vers l’exterieur du domaine fluide. On prend les notations usuelles : n designe le vecteur normal

unitaire dirige vers l’exterieur du milieu continu etudie (ici le cylindre). En r = a, on a n = −er et N = +er.

La condition de chargement en r = a s’ecrit : σ . n = piN devient −σ . er = pier, soit :

−(2µ(γ − δ/a2) + λ(α+ 2γ)

)= pi

D’un autre cote, en r = b, la relation equivalente σ . n = peN s’ecrit

2µ(γ − δ/b2) + λ(α+ 2γ) = −pe

vu que l’on a cette fois n = +er et N = −er. en utilisant l’expression du tenseur σ obtenue a la question

precedente. Ce sont bien deux equations pour trois constantes d’integration (α, γ et δ). On remarque qu’en

additionnant membre a membre ces deux equations, on peut calculer δ :

δ =(pi − pe)a2b2

2µ(b2 − a2)(7)

en fonction des donnees du probleme. On peut alors reporter cette expression dans l’une des deux conditions

aux limites. Utilisons par exemple (c’est evidemment equivalent) l’equation obtenue en r = b :

2µγ + λα+ 2γλ = −pe + 2µδ

b2

Avec l’expression (7) obtenue, on trouve apres simplifications :

2(λ+ µ)γ + λα =a2pi − b2peb2 − a2

(8)

Il reste bien sur une inconnue de trop (ou une condition aux limites manquantes).

- 9 -


1.2 Conditions aux limites verticales

5.◦ La condition d’encastrement vertical fait que la composante verticale du deplacement, notee w dans le

probleme, est nulle aux deux extremites du cylindre. Vu la forme affine obtenue de cette fonction, w(z) = αz,

si la fonction est nulle en deux points, elle est identiquement nulle. La condition d’encastrement vertical

consideree dans le premier cas entraıne α = 0. La relation (8), prise avec α = 0, donne immediatement la

valeur de γ :

γ =a2pi − b2pe

2(λ+ µ)(b2 − a2)

La forme obtenue pour le deplacement est telle qu’il existe un deplacement radial et que celui-ci est

independant de z. En particulier, ce deplacement existe aux deux extremites du cylindre. L’enonce suggere

l’existence d’un “encastrement vertical” pour interdire tout deplacement vertical, mais aussi pour laisser

possible un deplacement radial. Il est clair qu’en pratique realiser un tel encastrement ne paraıt pas simple !

6.◦

(a) Comme suggere dans l’enonce, faisons le bilan des efforts qui s’exercent sur chaque capuchon. La si-

tuation est identique, prenons par exemple celui du haut. La figure 4 donne un agrandissement de la

geometrie autour du capuchon superieur. La surface du capuchon est en particulier divisee en quatre

pi

pe

a

ez

Σ1

Σ2

Σ3

b

Σ4

pe

Figure 4 – Agrandissement au voisinage du capuchon superieur.

surfaces suivant le type d’effort qui s’y exerce.

Sur Σ1, on connaıt la resultante des efforts qui s’exercent sur le cylindre :

∫Σ1

σ . n dS

ou σ designe le tenseur des contraintes correspondant au cylindre, comme calcule dans (6), n designe le

vecteur normal a Σ1 dirige vers l’exterieur du cylindre, on a donc n = ez, enfin dS designe l’element de

surface. On note F 1 la resultante des efforts exerces sur le capuchon par la surface Σ1, c’est evidemment

l’oppose des efforts que le capuchon exerce sur le cylindre (oppose des efforts dont la resultante est

- 10 -


donnee ci-dessus). Avec (6), on peut ecrire :

σ . ez =

2µ(γ − δ/r2) + λ(α+ 2γ) 0 0

0 2µ(γ + δ/r2) + λ(α+ 2γ) 0

0 0 2µα+ λ(α+ 2γ)

.

0

0

1

=

0

0

2µα+ λ(α+ 2γ)

On obtient donc :

F 1 = −∫ r=b

r=a

∫ θ=2π

θ=0

σ . nr drdθ = −2π

∫ b

a

[2µα+ λ(α+ 2γ)] ez r dr = −π [2µα+ λ(α+ 2γ)] (b2−a2)ez

Passons maintenant a la resultante des efforts exerces sur le capuchon par le biais de la surface Σ2.

Il s’agit la des efforts exerces par le fluide exterieur qui est a la pression pe. Comme on l’a deja vu,

la densite surfacique des efforts de pression exerces par le fluide exterieur vaut peN avec N le vecteur

normal a la surface concernee et dirige vers l’exterieur du fluide, soit N = −ez dans le cas considere.

On a donc :

F 2 =

∫Σ2

pe(−ez) dS = −πb2peez

Les efforts qui s’exercent sur le capuchon par l’intermediaire de la surface Σ3 correspondent encore une

fois a des efforts de pression en raison du fluide exterieur. Comme precedemment, la densite surfacique

des efforts vaut peN avec N dirigee vers l’exterieur du fluide, on a donc N = −er et la resultante F 3

de ces efforts est donnee par :

F 3 =

∫Σ3

pe(−er) dS = −pe∫ z=Zs+e

z=Zs

∫ θ=2π

θ=0

er dz b dθ

avec Zs la position verticale du bas du capuchon superieur et e l’epaisseur de ce capuchon. Or il est

clair que l’on a∫ 2π

0er dθ = 0 par symetrie. On en deduit F 3 = 0.

Il reste a evaluer les efforts sur la surface Σ4. Ils sont induits par la pression interieure pi. On a cette

fois N = +ez et avec le meme raisonnement que ci-dessus, on peut ecrire :

F 4 =

∫Σ4

pi(+ez) r drdθ = πa2piez

La condition d’equilibre pour le capuchon exterieure impose que la resultante des efforts s’exercant sur

ce capuchon soit nulle. On ecrit donc :

0 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = −π [2µα+ λ(α+ 2γ)] (b2 − a2)ez − πb2peez + πa2piez

d’ou l’on deduit :

(λ+ 2µ)α+ 2λγ =a2pi − b2peb2 − a2

(9)

ce qui constitue bien une relation supplementaire entre les constantes d’integration mises en evidence

precedemment. Les memes phenomenes physiques s’appliquent sur le capuchon inferieur, ils conduisent

donc a la meme relation.

- 11 -


(b) On se retrouve avec le systeme (8)+(9) de deux equations a deux inconnues (α et γ) a resoudre. Celui-ci

ne pose pas de difficulte, on trouve :

α = γ =a2pi − b2peK(b2 − a2)

avec K = 3λ+ 2µ le module de rigidite a la dilatation du materiau.

(c) On part de l’expression du tenseur des contraintes obtenues (6) precedemment. Dans la base de tra-

vail (er, eθ, ez) ce tenseur est diagonal, les valeurs principales s’obtiennent donc directement en prenant

chaque terme diagonal. On a d’abord :

2µγ + λ(α+ 2γ) = 2µα+ λ(α+ 2γ) =a2pi − b2peb2 − a2

par un simple calcul. On en deduit les trois valeurs principales du tenseur des contraintes :

σrr =a2pi − b2peb2 − a2

− (pi − pe)a2b2

(b2 − a2)r2σθθ =

a2pi − b2peb2 − a2

+(pi − pe)a2b2

(b2 − a2)r2σzz =

a2pi − b2peb2 − a2

les directions principales etant donnees par les vecteurs de la base (er, eθ, ez).

(d) Commencons par determiner la contrainte de cisaillement maximal. Pour une particule fixee, il est clair

que l’on a : σrr < σzz < σθθ. On sait alors d’apres le cours et les exercices faits que la contrainte de

cisaillement maximal est obtenue pour : (σθθ − σrr)/2. Le critere de Tresca impose alors :

max(pi − pe)a2b2

(b2 − a2)r2≤ τc

ou le maximum est pris sur l’ensemble des particules du materiau. Compte tenu de l’expression ci-

dessus, le maximum est obtenu lorsque r prend sa valeur minimale, soit r = a. Le cisaillement maximal

est obtenu sur la paroi interne du cylindre (ce dont on pouvait se douter : le resultat est conforme a

l’intuition), on doit donc imposer :

pi ≤ pe + τc

(1− a2

b2

)(10)

ce qui est effectivement une limite superieure a la pression interne que l’on peut imposer. Inversement,

il est possible de reecrire l’inegalite ci-dessus en :

b ≥ a 1√1− pi−pe

τc

(11)

qui donne une limite inferieure au rayon externe b et donc a l’epaisseur b − a qu’il faut avoir pour le

cylindre de sorte a “tenir la pression”. Numeriquement, en utilisant les unites SI :

pe = 105 Pa pi = 107 Pa τc = 108 Pa a = 0.1 m

on obtient approximativement b ≥ 1.05a, donc si a = 10 cm, on doit avoir b− a ' 5 mm.

- 12 -


2 Frettage

7.◦ Il s’agit de reprendre l’inegalite (10) obtenue precedemment et de la particulariser pour chacun des deux

cylindres. Pour le cylindre interieur, la condition s’ecrit :

pi − p ≤ τi(

1− a2

x

)en notant x = R2 comme indique dans l’enonce. Pour la frette, la condition s’ecrit :

p− pe ≤ τe(

1− x

b2

)On peut mettre ces deux inegalites sous la forme :

p ≥ pi − τi(

1− a2

x

)p ≤ pe + τe

(1− x

b2

)Dans un diagramme (x, p), la premiere inegalite se traduit par le fait que le domaine admissible est au-dessus

de l’hyperbole donnee par le membre de droite de cette premiere inegalite. La seconde inegalite signifie que

le domaine admissible est en-dessous de la droite donnee par le membre de droite. Ces deux conditions sont

illustrees sur la figure 5. Pour l’hyperbole et pour la droite, le cote grise correspond a la zone non admissible

x

p

pi − τi

p = pe + τe(1− x/b2)

p = pi − τi(1− a2/x)

Figure 5 – Zone admissible delimitee par les deux limites de comportement elastique.

pour rester dans le domaine elastique. Le probleme pose revient donc a s’interesser au positionnement d’une

droite par rapport a une hyperbole (ou l’inverse).

8.◦ On fixe donc τi, τe, a, b et pe. Sur la figure 5, il est clair que si l’on augmente pi, on decale vers le haut

l’hyperbole. Des lors, il est clair que trois situations sont possibles. D’abord pour de faibles valeurs de pi,

l’hyperbole est suffisamment basse pour laisser une zone admissible (cas donne sur la figure 5), inversement

- 13 -


pour de fortes valeurs de pi, l’hyperbole est tellement decalee qu’elle se situe au-dessus de la droite et il n’y

a pas de zone admissible. Entre les deux il y a la situation limite ou l’hyperbole et la droite ne se coupent

qu’en un point, c’est la situation qui correspond a la valeur admissible de pi la plus elevee.

Sur le plan algebrique, le probleme revient a chercher l’intersection entre l’hyperbole et la droite obtenues

precedemment. En se placant sur ces deux courbes limites, le systeme a resoudre s’ecrit :

p = pi − τi(

1− a2

x

)p = pe + τe

(1− x

b2

) (12)

et l’intersection s’obtient en cherchant a resoudre :

pi − τi(

1− a2

x

)= pe + τe

(1− x

b2

)que l’on peut mettre sous la forme d’un trinome du second degre en x :

τeb2x2 + (pi − pe − τi − τe)x+ τia

2 = 0 (13)

Suivant le signe de son discriminant ∆, on retrouve les deux cas geometriques extremes evoques ci-dessus.

Pour ∆ > 0, il y a deux racines reelles, la situation correspond a l’existence d’une zone admissible comme

illustre sur la figure 5. Pour ∆ < 0, il n’y a pas de solution reelle, geometriquement, il n’y a pas de zone

admissible. Reste le cas intermediaire ∆ = 0 avec une seule racine (double), c’est le cas que nous cherchons.

La condition s’ecrit donc ∆ = 0, soit :

(pi − pe − τi − τe)2 − 4τeb2τia

2 = 0

Pour prendre la racine carree du premier terme, il faut connaıtre son signe. Pour cela, on remarque qu’en

retranchant les deux equations du systeme (12), on obtient :

0 = pi − pe − τi − τe + τia2

x+ τe

x

b2

d’ou l’on deduit pi − pe − τi − τe < 0. La condition ∆ = 0 s’ecrit donc :

−pi + pe + τi + τe = 2√τiτe

a

b

soit finalement

pi − pe = τi + τe − 2√τiτe

a

b(14)

Cette relation donne la pression interne pi maximale que le systeme frette peut supporter. Calculons main-

tenant le rayon optimal R =√x associe a cette solution optimale. On cherche donc la racine double du

trinome (13) obtenu precedemment. On obtient :

x = R2 =−b2

2τe(pi − pe − τi − τe) = ab

√τiτe

- 14 -


On en deduit le rayon optimal :

R =√ab

(τiτe

)1/4

(15)

La condition d’existence de cette solution consiste a ecrire a < R < b ce qui impose :

a <√ab

(τiτe

)1/4

< b

ce qui impose des contraintes geometriques en fonction des limites du materiau pour leur domaine elastique

donne par le critere de Tresca. On peut finalement calculer aussi la valeur de la pression pour la precontrainte

optimale p. Il suffit de prendre l’une des equations du systeme (12) initial. On trouve :

p = pi − τi +a

b

√τiτe (16)

9.◦ Les deux materiaux etant identiques, on a τi = τe. Notons τ cette valeur. Le rayon R, formule (15),

devient : R =√ab, moyenne geometrique de a et b ce qui donc toujours possible (a ≤ R ≤ b). Avec la

solution frettee, la pression interne maximale est donnee par : (14) soit :

pi = pe + 2τ − 2τa

b= pe + 2τ

(1− a

b

)dans le cas de memes materiaux. Dans le cas d’un seul cylindre, la condition a ete obtenue precedemment,

voir relation (10) :

pi = pe + τ

(1− a2

b2

)en notant de la meme facon τ le seuil pour la condition de Tresca. Pour comparer les deux valeurs, on

raisonne par equivalence :

2τ(

1− a

b

)≥ τ

(1− a2

b2

)⇐⇒

(1− a

b

)2

≥ 0

La solution frettee est donc toujours plus avantageuse que la solution mono-cylindre (dans le cas de materiaux

identiques). Toutefois, il ne faut pas oublier que l’on a pris la valeur optimale dans le cas frette, on peut

penser que la solution frettee est d’autant plus favorable par rapport a la configuration avec un seul cylindre

que l’on a b� a. Il faut donc des situations avec un cylindre epais.

- 15 -

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