MM442 - Introducao aos SistemasDinamicos

Segundo semestre de 2020

Turmas D/E

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 2: Rotacoes do cırculo

Equacoes diferenciais vs campos vetoriais

Seja U ⊆ Rn e considere um campo vetorial suave f : U → Rn.

Em cada ponto x ∈ Rn associamos o vetor f (x).

Agora considere a equacao diferencial

x = f (x).

Se a ∈ U, uma solucao φ(t) desta equacao com condicao inicial

φ(0) = a e uma curva I ⊂ R → Rn com 0 ∈ I tal que

d

dtφ(t) = f (φ(t)).

Note que φ�(0) = f (φ(0)) = f (a), ou seja, o vetor tangente a

curva φ(t) em t = 0 e exatamente o vetor f (a).

Exemplo

Exemplo

Esboce o retrato de fase de

x = −y , y = x .

Exemplo

Exemplo

Esboce o retrato de fase do campo vetorial

r = r(1− r2), θ = 1

dado em coordenadas polares.

Sistemas lineares

Nem sempre e facil encontrar uma solucao φ(t), apesar do

Teorema de Existencia e Unicidade para EDOs.

Existe um caso onde conseguimos encontrar facilmente φ(t): no

caso em que f (x) e linear.

Sistemas lineares

A exponencial matricial eA e calculada fazendo

eA =∞�

n=0

1

n!An.

Esta serie converge para toda matriz A.

Sistemas lineares

A exponencial matricial pode ser derivada termo a termo. Assim,

se

q(t) = etA

entao

q�(t) = AetA.

Portanto, se

p(t) = etAb

entao

q�(t) = AetAb.

Isto prova o seguinte teorema:

Sistemas lineares

TeoremaA solucao do sistema de equacoes diferenciais

x = f (x) = Ax

com condicao inicial x(0) = b e dada por

x(t) = etAb.

Sistemas lineares

Na pratica, para obter a solucao do sistema x = Ax com condicao

inicial x(0) = b, um procedimento e o seguinte:

� Encontre a forma de Jordan J de A.

� Calcule exp(Jt).

� Seja M tal que MJM−1 = A.

� Obtenha exp tA fazendo

exp(tA) = exp(MtJM−1) = M exp(tJ)M−1

� A solucao procurada e dada por x(t) = M exp(tJ)M−1b.

No calculo de J, atencao para calcular blocos de Jordan reais.

Sistemas lineares

ExercıcioEsboce o retrato de fase de

x = y , y = x .

Sistemas lineares

ExercıcioEsboce o retrato de fase de

x = x − 3y , y = x + y , z = x + y + z

Conjuntos invariantes

Caso discreto: dizemos que um conjunto Λ ⊂ M e invariante pelo

difeomorfismo f se f m(x) ∈ Λ para todo x ∈ Λ e m ∈ Z, ou seja,

f m(Λ) ⊆ Λ para todo m ∈ Z.

Caso contınuo: dizemos que um conjunto Λ ⊂ M e invariante pelo

fluxo ϕ se ϕt(x) ∈ Λ para todo x ∈ Λ e t ∈ R, ou seja, ϕt(Λ) ⊆ Λ

para todo t ∈ R.

Conjuntos invariantes

Caso discreto: dizemos que um conjunto Λ ⊂ M e invariante pelo

difeomorfismo f se f m(x) ∈ Λ para todo x ∈ Λ e m ∈ Z, ou seja,

f m(Λ) ⊆ Λ para todo m ∈ Z.

Caso contınuo: dizemos que um conjunto Λ ⊂ M e invariante pelo

fluxo ϕ se ϕt(x) ∈ Λ para todo x ∈ Λ e t ∈ R, ou seja, ϕt(Λ) ⊆ Λ

para todo t ∈ R.

Os conjuntos podem ser positivamente ou negativamente

invariantes, se trocarmos na definicao m ∈ Z por m ≥ 0, m ≤ 0,

ou t ∈ R por t > 0 ou t < 0.

Pontos fixos e orbitas sao conjuntos invariantes minimais (nao

contem subconjuntos proprios invariantes).

Conjuntos invariantes

Um ponto x e chamado de nao-errante para o difeomorfismo f se,

dada uma vizinhanca W de x , existe m > 0 tal que

f m(W ) ∩W �= ∅.

(Como e a definicao analoga para fluxos?)

O conjunto dos pontos nao-errantes de f e denotado por Ω(f ).

Pontos fixos e orbitas periodicas estao contidos em Ω(f ). Para

obter um exemplo diferente, vamos estudar difeomorfismos do

cırculo.

Rotacoes no cırculo

Vamos considerar o cırculo como o intervalo [0, 1] munido da

relacao de equivalencia 0 ∼ 1.

Seja α ∈ R e considere a rotacao

Rα(θ) = θ + α mod 1.

Rotacoes no cırculo

Suponha que α = p/q, com p, q ∈ Z e (p, q) = 1.

Entao

� Rα(θ) = θ + p/q mod 1

� R2α(θ) = θ + 2p/q mod 1

� R3α(θ) = θ + 3p/q mod 1

� Rqα(θ) = θ + qp/q mod 1 = θ + p mod 1 = θ

Logo todo ponto no cırculo e periodico de perıodo q.

Rotacoes no cırculo

Se α /∈ Q entao

Rmα (θ) = θ +mα mod 1

e isto e sempre diferente de θ (se fosse, α seria racional; prove!).

Na verdade, algo mais forte e verdade.

Rotacoes no cırculo

Teorema

Se α /∈ Q e θ ∈ S1 entao o conjunto

{Rmα (θ), m ∈ Z}

e denso em S1.

Rotacoes no cırculo

Teorema

Se α /∈ Q e θ ∈ S1 entao o conjunto

{Rmα (θ), m ∈ Z}

e denso em S1.

Prova: Dado ε > 0, existem numeros 0 ≤ k < l ≤ 1 + 1/ε tais que

d(Rkα(x),R

lα(x)) < ε. Seja m = l − k . Entao

d(x ,Rmα (x)) = d(Rk

α(x),Rlα(x)) < ε.

Isto mostra que Rmα e uma rotacao por um angulo menor que ε.

Para cada y ∈ S1, existe n ∈ N tal que d(y ,Rnmα (x)) < ε.

Portanto o conjunto dos pontos da forma R jα(x) e denso em S1.

Homeomorfismos no cırculo

Seja f : S1 → S1 um homeomorfismo e seja f : R → R tal que

π(f (x)) = f (π(x)),

onde

π(x) = x mod 1 = θ.

A funcao f e chamada de levantamento de f : S1 → S1 para R.

Homeomorfismos no cırculo

Exemplo: O levantamento de Rα(x) e f (x) = x + α.

Importante: O levantamento e unico a menos de somar uma

constante inteira.

Homeomorfismos no cırculo

Lema

Se f preserva orientacao, entao f e crescente e f (x+1) = f (x)+1

para todo x ∈ R.

Prova: Como π(x) = π(x + 1), segue que f (π(x)) = f (π(x + 1)).

Portanto

π(f (x)) = π(f (x + 1))

e daı segue que

f (x + 1) = f (x) + k(x)

onde k(x) e um inteiro que depende de x .

Pela continuidade de f , k(x) tem que ser contınua, logo k(x) = k ,

constante. Vamos mostrar que k = 1.

Homeomorfismos no cırculo

Suponha k ≥ 2. Entao f (x)− f (x + 1) ≥ 2.

Sejam x0, x1 com f (x0) = 1 e f (x1) = 2. Estes pontos precisam

estar a distancia de no maximo 1. Logo, π vai leva-los em pontos

distintos de S1.

Porem, como f (x1)− f (x0) = 1, eles sao o mesmo ponto no

cırculo. Temos um absurdo. Logo k ≥ 1.

Homeomorfismos no cırculo

Se k < 0, nao teremos orientacao sendo preservada (ou f nao seria

contınua.

Se k = 0, f (0) = f (1) e daı f nao seria homeomorfismo.

Logo k = 1 e o teorema esta provado.

Homeomorfismos no cırculo

Se k < 0, nao teremos orientacao sendo preservada (ou f nao seria

contınua.

Se k = 0, f (0) = f (1) e daı f nao seria homeomorfismo.

Logo k = 1 e o teorema esta provado.

Lema

Seja f : S1 → S1 um homeomorfismo que preserva orientacao e

f um levantamento com f (0) ∈ [0, 1). Entao π(x∗) e um ponto

fixo de f se, e so se, f (x∗) = x∗ ou f (x∗) = x∗ + 1.

Prova: a implicacao reversa e trivial. A outra fica como exercıcio

(nao e difıcil, a prova e bem parecida com a anterior).

Encontrando pontos periodicos

Seja f : R → R um levantamento de f : S1 → S1. Entao

π(f 2(x)) = π(f (f (x))) = f (π(f (x))) = f 2(π(x)).

Isto mostra que f 2 e um levantamento de f 2.

Se escolhermos um levantamento de modo que f 2(0) ∈ [0, 1) (isto

sempre pode ser feito), aplicando a proposicao anterior poderemos

utilizar f 2 para procurar pontos 2-periodicos.

O mesmo vale para pontos q-periodicos.

Encontrando pontos periodicos

Exemplo

Seja

f (x) = x + 1/3 mod 1.

Entao um levantamento e f (x) = x + 1/3 e daı

f 2(x) = f (f (x)) = f (x + 1/3) = x + 2/3

f 3(x) = x + 1.

Nao existem pontos x∗ com f 3(x∗) = x∗, mas todo ponto satisfaz

f 3(x∗) = x∗ + 1, logo todo ponto e 3-periodico.

Conjuntos nao-errantes nao-triviais

Agora estamos prontos para o exemplo de conjunto nao-errante

nao-trivial. Ate agora so sabemos que orbitas sao exemplos de

conjuntos nao-errantes.

Exemplo

Seja Rα : S1 → S1 uma rotacao com α irracional. Entao todo

ponto de S1 e nao-errante, ou seja, Ω(Rα) = S1.

Prova: A orbita de x e densa. �

Note que no caso de rotacoes racionais, tambem temos

Ω(Rα) = S1: porem, este resultado ja e esperado, pois todo ponto

e periodico. O exemplo acima e realmente surpreendente.

Proxima aula: Conjugacoes, Teorema de Poincare-Bendixson.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.