М.Х. Хамитов f,k»mmi математика (окулык)

М.Х. Хамитов

F,K »M m i м а т е м а т и к а

( о к у л ы к )

Павлодар

Хамитов М.Х.

Екшин математика (окулык)

Павлодар, 2011

Э 0Ж 5К) (075.8)КБК 22.1 я73

X 18

С. Торайгыров атындагы Павлодар мемлеке'гпк университетЬнн Гылыми кенес1м«н басуга усынылды

Шк1рсарапшылар:

М.Е. Исин - Павлодар мемлекетт'|к унивсрситетш'щ математика кафедрасыньщ менгеруилсг,

А.М. Мубараков - Инновациялык Еуразия университетшщ профессоры, педагогика гылымдарынын докторы;

М.Н. Ильясов - Павлодар мемлекетпк педагоги калык институтынын математика кафедрасынын профессоры.

Курастырушы : М.Х. Хамитов

Ек1нш1 математика: окулык / М.Х. Хамитов — Павлодар: Кереку, 2011. — 2656.

ISBN 978-601-238182-5

Окулыкта техникалык оку орында екшпп семестрде окылатын математика пэижщ кредиттг‘1к техиологияга сэйкес багдарламага непзделген такырыптар карастырылган. Агымдагы межел'|К жэне емтихан тестер! Hi н улплер! жазылган.Окулык мектеп окушыларына, машина жасау факультетшщ студентерже, окытушыларга кунды курал.

X 18

0ОЖ51О(О75.8) КБК 22.1я73

© М.Х. Хамитов, 2011

академик С.Бейсем*" атындагы гылыси

Ken аргумент!! (айнымалы) функция.

©riceH жылы 6 ip аргументке (айнымалы) тэуелд! функцияны

V = /(л) егпк.

v = а*- дэрежел!К

у = (Г - керсетюштж

у 1 Inx - логарифмдш функциялар.

Мектептен белпл! Tiктертбурыштын ауданы узындыгымен енше

тэуелд!.

Электр тогыныц купи Ом Зацы бойынша I = —, и-т!збектеп кернеу,R

R-кедерпге тэуелдг

Сонымен, z - f(x .y) - функциясы ею аргументке тэуелд! функция, оны

ёК1 айнымалыга, кос аргументке тэуелд1 деп те айтады.

Сол сиякты, келем уш аргументп функцияны icyрайды, и = f(x ,y ,z).

Жалпы айтканда, у - /(*,,.т..-••,-*„) - n-аргументп функцияны

бейнелейдЬ

Ею аргументке тэуелд! функцияныц геометриялык кесюш - бет.

Мысалы: ; =2.г+3>-6 - жазыктык

г =х} + у 1 - параболоид

г =^«2 - х1 — у1 - сфера

Егер айнымалылар к пен y-ri XOY жазыктыгындагы М

нуктесшщ координатасы десек, онда z = f(M ) = / ( .v, v) сол нуктенщ

аппликатасы.

Сонда, z~ f(x ,y )~ f(M )~ М(х,у) нуктесшщ функциясы. Ал егер

M(x,y,z) нуктеан кещстагге десек, онда н = /(Af) = f(x .y .z) - уш

аргументке тэуелд) функция болады.

3

Функциянын hici i.

lim fix ) = /I немесе lim f{M ) = А, немесе lim /(A /)= А, ягни t-t,. р.ии.-л

lim fix .y ) = .4 = fix„,y„), мундагы (v-.v,,)' + (.v -v0): = p \ десек

lim/'(.v. v) = /(v„,.vu).

: = / ( . r, v) функциясын M„ нуктесшде у зЫ саз дейм‘|3, егер

f ( x ty ) —/(*.*’) | немесе f i x ,у) функциясы у з ш с а з болуы уинн

lim / ( .v + Дх, v + Дг) = f i x ,у) тецдага орындалуы кажет.

Дербес туы нды лар.

Айнымалы y-Ti туракты деп, х бойынша алынган туындыны

дербес туынды дейм1з.

f(x + A x,y)-f(x,y) _ dz dfjx,y)дх 4,"*° Ах дх дх

Дзл осылай,

— = lim /(.y,v + Ду)-/(.т,у) dz dfjx,y) ' Ду ду ду

Мысалы, г =т2 - 2ху + у3 + 7х - 8у -13

2.v -2.v + 7, v = С<х

= -2.V + Зу3 - 8..V = С<т

EiciHUji perri дербес туындылар.

Айнымалы х бойынша еюнип perri туынды —дх

8____ d f jx , у)дх дх-

4

. . . - я - д'-z Idvекн-ши p e rn айнымалы у бойынша туынды — г =д\

жя-

д- J i x . y )СП’ СП’ CV

I IИ д'д='

\ д х ) д -z А ' ' ;A 0 - ч~ , ,Аралае ту ы н д ы :------= —— - , немеседзеду ду д\д.\ dv

Егер бершген функцияныц айнымалы х жэне у бойынша туындылары

к ' d 2z d ' zбар болса, о н д а ------= ,дхду дудх

аралас туынды дифференциалдау ретшен тэуелаз.

Мысалы: г =sin(2.v- Ъу).

c*z dz— = cos(2 .v-3v)*2 — = cos(2.v - 3 v) * (-3)civ ' dy

—— = - sin( 2.v - 3v) *2* (-3)Л\дг

| ^ = -s in (2 .r -3 v )* (-3 )* 2 Chdx

Аралас туындылар езара тец.

Т о л ы к диф ф еренциал.

Т о л ы к eciM iue.

Оздерще белгин у - f i x ) болганда, y'=lim — , будан\г->» Дд"

Дэл осы лай г = f i x , у)

Дг = — * Дт + — * Av + ехДг + ь\Дг - толык диффренциал. civ ду

1-Мысал: М {5;3) нуктес шде z=arcsin — функциясыныц Дх = -0,5,Aj = 0,3х

бол ганда гы толык диффренциалын тап.

5

I I -.1II

il: = - * (-0,5) + - * 0,3 = 0.15. dz = 0,15.5*4 4

2-Мысал: Деформацияланган (кираган) цилиндрдщ радиусы R 2 ден

2,05 дм-ге весе, ал бшктЫ Н 10 нан 9,8 дм-ге кем'|се, онын капемшщ

eciMiueci неге тен? (есу-узару, кему-кыскару). ЛИ = ?

V = nRH- цилиндрдгн квлем!

0V дУД — *ДЯ + —--*ДН, ДЯ - 0,05 Д// = -0,2ЭЛ дН

R = 2, // = 10

— = n*2RH,Щ . дП

Сонда,

ДК = 2яЛ//*0,05 + яЛ2 *(-0,2) = я-*2*2*10*0,05-»*4*0,2 = 1.2».

Келемнщ eciMiueci ДК = 1,2я-

Курдс.п функциянын гуынлысы.

I. Егер г = f{x ,у) жэне д- = .г(/),у = у(/) аркылы бершсе онда z курдеЛ1

функция дел'жед!. Функциянын eciMuieci

6

i t = Щ i/.v + — ilr .CX &i'

Ал 6 i3 айнымалы t бойынша туындыны былай аныктайммз:

,к _ tb ,d x й= -$-ill KV ill 01' lit

Мысал: : = «?'“3v,.r = s in - ,у = cos2/.I

Й d~ , d- Онда — = e " ' ,— = e

dx d\1*(-2 у).

— = c o s-* f--V l— = -sin 2/ *2. ill I V. I / dt

Табылган туындыларды формулага койсак:

( и 1 'COS cos-___ 1 + e, !v*(-2)*(-2sm2/) = e'21 ---гЙ + 4sin 2/

r rk j

<fcill

. _ dz dz d z , </y2 . ;= f ( x ,y ) , y = y(x) туршде бергпсе, онда — - —

dx ox dy dx

Мысал: z =sin(3.t- 2y), у = ig2x

~ = C0S(3.Y - 21 |* 3, ft , cos(3 r 12|* (-2)«г э>-

.‘('I = _ J __* 2с/л cos' 2л'

Сонда — = 3 cos(3a - 2 у) - 2cos(3* - 2y) *----r —.dx ' cos" 2л

d z cfc dr d z d v3. z = f(x , y), x = ip{u,v),y = ?/(и,у). йнда — = — - + - -r~.

3u av d u qy d u

& _ & „ civ d z M d y

d v dv dv d v dv

7

Мысал:

, v = и 2t\ v = 2н + v.

I II IV

Жогарыдагы формулалар бойынша:

-- = fix.v) дх•■I. dz dv дхdv £ . 1

'Габылган дербес туындыларды орындарына койсак:

м,*— = 2* (V *(-2)-

Аныктамалгам функциянын туындысы.

щ .у ) = 0 функциясы GepinciH.

Онын толык дифференциалы ^ * d x + — *dy = 0

dfонда — + —*-7- = 0 . Сонда ~ = -Щг - керект! формула шыгады.

дх ду dx dx ofду

Егер f(x.y.z) = 0 болса, онда — = -dx

шыгады.

Мысал: дг -3.r»+5yJ - 7.т + 5у-13 = 0

-f- = 2.t-3v-7.

df Удх дуd f ' dy dfdz dz

8

СГ

l/г _ 2 v - 3 r - 7 itx -3.v + !()>• + 5*

= -3.v + lOv + 5 ,

Б етке ж аи ам а ж а зы к т ы к жэне н орм ал ь .

KeiiicTiKTe /(.\\у ,г ) = 0 бет1 бершген, сол беттеп

нукте болсын.

Онда бетке осы нукте аркылы ж урпзш ген нормальдщ т е н д е у ! былай

жазылады:

х ~*и _ У - У о

dx д\> dz

Ал жанама жазыктьщ тендеу!

Щ t d f v d f~ ( .v - .v j + ^ - 0 , - у 0) + J - p - zfl) = 0 ;гх dy dz

- \ o f d f d f \ r .II k ' f o ' d : i " беттщ ноРмаль векторы делшед1.

Мысал: z = x 2 + 2 y 2 бетш е Л/(1;1;3) Hyicreci аркылы жанама жазыктык

журпзвдз.

Г) = .г + 2 у г -

— = 2.V д / _ А У 2 4 у, — = -1.dx ' л - " dz

щ = 2, СУ = 4,<Уду II * А/

Соида, 2(.т - 1) + 4( у - ! ) - (

2т + 4 г - г + 3 = 0 - жанама жазыктык

д -1 г - 1 г - 3 -----* :-----------------нормаль

9

«'2.4.— I;} - жшыкгыккя перпендикуляр пек гор, ягни нормаль.

Скплирлык opic. 1>п1М1 бойынша млыншн и ы н лы .

Г радием г.

Егер ушолшемл1 ксшслкте и •- f(x ,y ,:) функциясы бершее

011Ы скалярлык epic (сандык opic) дсймш.

. / ' ( г.-) ■ С,./(.»,.!•, г) - Г,.... 6epince, онда оларды децгейлш бет лсйдк

KeuiaiKTe I тучу берикпи:

cos O’ cos/7 cos/

Сонлп 6ipjiiic вектор 1а{сма:со»р-,сояу\ багыты бойынша алынган

ч - f(x.y.z) функциясыньщ туындысы былай жазылады:

f/ii сV Of „ df — — —\d f d f d f 1"n “ cos«М- — сош + —- cosу = - децгейлш беткеill ax dy & (dr dt> dz J

нормаль вектор, /0 бершген I тузу1мсн багыттас 6 ipjiiK вектор.

" = / ( v..v.г) функциясыньщ градиент» дегешм13 вектор

. ди г dii - du - яти 11 = — i + — i + — A .St <?»• </z

Градиент - бершген скаляр м-дыц озгерушщ жылдамдыгын кврсетет!н вектор.

Мысал: л = .v- + у2 +г3 функциясыньщ М(1;!;|) нуктесшде

/„ [cos 45';cos60*;cos 60*} багыты бойынша туындысын, grad и - ды, онын

Бершген багыт бойынша туынды — = 2 * — + ->*L + t* L - f i йг// 2 2 2 " '

градиент т «1 и = 2/ + 2] + 2к градиенттщ узындыгы

jgiwAij = yfl' + 22 + 2 ’ = 2у[у,

E k i а р г у м е н т » Ф у н к ц н я н ы и э к с т п е м у м ы .

) Кджегп шарты:£ = 0 а' * •аг оершген жуиеден куд1кт[ нуктеж табамыз. — = 0 ду

Ж егкш кп шарты: куднсп нуктедеп мэндерд1

д2 / д'- f d - ft V = 1 щ =В' 1 ^ = С белплейм>з Де А С -В 2 дискриминант

дёлшед’1:

Сонда,

1) егер АС - В 2 > 0 болса экстремум бар.

А < О, max z* IM*

Л > 0 , min г’ НП11

2) егер А С -В 2 < 0, экстремум жок.

3) егер АС - В =0 болса, онда белпс1з жагдай, косымша зерттеу

керек.

Мысал: и = 2.r3 + .vy' +5х2 + у2.

Дербес туындыларын табамыз.

&— = 6.V + V + Юд- cvд:—- = 2.гг + 2 1> оу

[б.г- + v' + I O.v - О [2 v(.v + 1) = О

О. 6 r + г +|0л =0, 2.v(3.v + 5) = 0 , .v, = 0 , .г, = -

л +1 * 0, л- = -1, 6 + у3 -10 =■ 0, г1 = 4, у} = 4, « -2.Сопымен терт K y/i iK i i нуктс табылды 0(0;0),

W,| -^:0|,ЛЛ(-|;2).Л/,(-1:-2).

ТТ = ~ T-I2.V + I0. ~ = 2 v . ~ = 2.v + 2. гг r'.v охду ду

I) 0(0:0) нуктес1н апайык. А=Ю, В=0, С=2, АС - Я' *20>0 экстремум

бар /I > о min :шЬ(0)=0.

2) Л/ I.1 = 1 2 * ^ - + 10 = - 10,Д = 0,С = 2 * f - j l +2 = - j .

, ( 4 \ 40А С -В т =-10*1 - - 1 = — >о экстремум бар Л <0,

Й ^ И ш В аmax

. 125 125 125 27 9 " 27

--п«(ЛЛ)=^.

3) Л/,(-|;2)

А = -12 + 10 = -2, S = 4,С = О

ЛС-В3 = -1б < 0 экстремум жок.

4) Л/,(-1;-2)

.1 = -2.Л = -4,С = О

1C - В- = - 16 < 0 экстремум жок.

12

Аныкталган ннтегралга шолу.

г = /(д) функциясы [</;Л] кесшдюнде аныкталган болсын.

курайык, осы косындыныц max Д.г, —>0 uieri болса, оны аныкталган

инте1рал дейд1 де былай жазады:

(2) формула Ньютон-Лейбниц формуласы делшедг

Аныкталган интегралдык колданылуы.

I . Аныкталган интеграл аркылы ауданды табу,

а) Кисык сызыкты трапеция бершсш

v = /(r)

[•V = tp(t)б) Егер функция параметрл1к тендеумен бершсе jy=y/(0 , онда

( а < / < , / }

в) Егер полярлык координаттар жуйесшде кисык мынандай

тендеумен бершсе:

[с/;/»] Kecinflicin и = ,v0 <.v, < v, < ...< д-о = h нуктелер‘|мен | б е л ь к е болш.

(л, ,;.т.) кесш д1сшен С, нуктесш алып £ /(< - ,)A.v,,Av, = л, - л,., косынды

(I)

Ь

Сонда, j/(.v)</.v I F(x) + С болса \ f ( x \ l x = F(.v)|* = F(b) - F(u) (2)a

x = ax == b,a <b

ьОнда Sn = j / ( x ) d \ .

a

$n = j\/(t)<p'(t)dt формуласымен есептелшеда

13

/> | ,ЦО)м <>0<p,

Онда осы кисыкпен жэне в = а.О = р радиус-векторлармен шенелген

сектордын ауданы мына формуламен табылады.

S„ = ̂

2 . Кисык доганын узындыгы.

а) у = /(.т),я<.т<Л дога бер1лсе, онда онын узындыгы мына

формуламен есептеленед!/» <_____

I = |д/Г+(v')1 rfr.

б) Дога параметрмен бершсе ■{ , « < /< /? , онда

к ------------------1= JVH')]-' +[4/\t)\dt.

в) Дога полярлык координаталар аркылы бершсе, ягнир .

Р - р(<г>).а <</>< р, онда I = U p 2 + p '2d<p формуласымен есептелшедк

3. Айналу бетжщ ауданы.

Б1зге АВ догасы у = / (л ) тендеумен бершсш. АВ догасынен ОХ естнщ

аумагымен айналдыратын болсак айналу денеа шыгады. Осы дененщ

бетйпн ауданы мына формуламен есептеленедкЛ _

.V , = 2 л jy^/l + ( / ) • ' dx.

4. Айналу денесшщ келемй 1здеген келем мына формуламен

габылады:Ь

Ух = л j/'-(.x)d.x.

Iii.’ii осы корсет’игген сепз формулага сэйкес есеп шыгаралык:

14

1 )4 - v2 = 0, v | О сы зы ктармен шектелген ауданды есепте.

•S'= f(4-.r),Zv =

р) астрондамен

4.v - ;3 3 3

I х = a cos Iшектелген ауданды есепте.

siii I

х' = Зн cos ‘ f(-sin/)<// = -4*3(iJ Jsin4 /(1 — sin2 /)r// = -12a2 j(sin4 t -s in 11 /)<//1

Щёб.ЭЙЗюб-’ё oidioea

(sin" xtlx = - ---- fsin**3 adxr, n i

= - !2 а '| - » I * - - 1 * 2 * 1 * 3 1 -i?..-’ * 1 , 1 *4 2 2 6 4 2 2

Eciime болсын:a

fcos" xdx = - —- [cos"-1 xdx.Л *О " о

3) Кардиоидамен r = a(l-cos$>) шектелген ауданды есепте.

S =>— | а !(1 - 2cosд> + cos’ <p)il + — ̂ » + — sin 2ф> = ------ .“ ' О “

4) v = ach— кисыгынын догасыньщ узындыгын тап.

v. = 0, x, = h. у ' = sit -

Ь I b' = f./l + jt/j ’ — </.v = \ch—ibc- asli —

,, V a i a a= ush±.

a

15

. j* . tluc sli.x -----------, thx = ■— ,Ескспту. Cl* - гиперболалы к немссе Лобачевский

. t ' +<?"' ,, ШC'/lX -----------, m.v = — -2 j/l.Y

еометриясынын тригонометриялык функциялары дежнеди

cli х - slrx = I. г/,о = 1, i/,o = I,clfx + slrx ■= ch2.v. (cllx)'*shx, (ihx)' * due.s l i l x = I x h x c h x .

5) Циклоп даны ц

(cthx)' ------ —. (f/ur)' = .jA'.t r/rjr

.t = я(/ - sin t)y = a(l - cost) 6 ip аркасыныц догасынын узындыгын 0S/S2*

*dlI ~ }V(vi ) + (J'*)3 dt = J-y/я 3(1 -c o s /)2 + («sinf)2Й О

= j«Vl - 2cos/ + cos21 + sin2 tdt = |a ^ 2(l - 2cost)dt = ja j4sin2 -d t =" n o ' 2

= 2« fsin -d t = - 4я cos — J 5 9 - 8 ct.

6) Кардиоида »• = «(l-cosp) догасынын узындыгын есепте.

/• = я(1 - COS 9?) r' = «sim»

/= |л/« 2(1 - 2cosp + cos! <9 + sin2 q>)d<p = a J2sin—r// = -4 eco s- = 8« .

(дг = я(/-sin/) Я7) Циклоиданын ■{ 6 ip аркасынын Ox eci аркылы[у = я(1 - cos/) r

айналгандагы пайда болган беттщ ауданын тап..rj = «(1 —cos/),v' = asint

)" = и2(1 - 2 cos t + cos2 / +sin2 /) = 2<г H - cos/) = 4я2 sin2 1

16

вдеген ауданымыз:

Р\ - 2тг J.v^(v ' ) 3 + (у ')3dt = 2тг j j4 < rs in 3 ^*</(1 -cos/)<// = 4a~/г fs in -«> t 2 J 2

I I f )- s*n ~ d l == 8<r n - cos ’ ~)sin = 8</’/r

cos- 2 cos — + 2 * ------—

2 3

Ш ж Ш И Ш M a n3 3

% I64a3 л'

8) Циклоиданын j 6ip аркасыньщ Ox eci аркылы

айналгандагы пайда болган денен!ц кол ем ш есепте.2* > я

Kv = я Jу 2dx = я Jrt"(1 — cos/)2 £i( 1 - cost)dt =rib

11 + cos2/if * , , 4 I + COS JJ / . . , vl-3cos/ + 3*------------ (l-sin / COS/)

/ - 3 s i n / + — I / + — s i n 2 / - s i n / +sin /

3- лиу(2я + Зл") = 5/г2а 3

. ^ v = 5 ^ V .

9) Строфоида y2(2a-x) = x(x-a)1 туйшшепмен шектелген ауданды

ran.

V 2a - д,0 < t < л.

д* = 2я sin3 /<c/x = 2ci * 2 sin / cos / J/

/, = 0, sin2 / = —,

J 2 nsin / * ---- , / = —

2 4

4J(2« s in ' / - a))*

С.Торайгыров

ШШШ|j атындагы ПМУ-дщ

17

академик С.Бейсем^** (j атындагы гылыги

К 1 Т Д П У Д Н А Г 9

I (̂i ми I . . I*/ . , \ sin /11~ —r* 4«sin/cosw/ * (2(/sin / - </))* — * 4c/sin/cos tdi = \ _(/ - 2i/snr I » con

• «• A n ' J(2 sin4 / - s in 1 t ) \ h - 4 d 2 * J z p ** C°* — j ■I - cos 2 t i I - со* 2/

2~~

= 2 a '' | - — sin 2 l + — / +

s ? 2/ - + cos 2t p t = 2 <i!

Я

sin 4/ ̂* = 2 < r f - - + —

8 J I 2 8

■. „ 4 -л* ---

2я гни S n = 2 S

10) Декарт жапырагыныц yJ + у 3 - Залу = 0 туйшшепмен шектелген

ауданды тап.

Полярлык координата квшешк:? J .1*3

Р cos' ( р + р ' sin ( р = Ъ а р c o s ( p p s m q )

_ 3«cosy>sin<p cos3 i j t + sin3 ( p

S = - \ 9 a c o * ^ s i n 2 (p } _ 9 < r_ t t g 2/p d < p _

2 (sin3 ( p + cos’ ( p ) 2 2 cos3 ( p { t g 2<p + I)2

18

= V ' Jffs V 11y :ii(ig'v> 11) = - *) 1 3 ,( I i I I— —a I — + 11 =—a , 2 J 4

ал Iздеген ауданымыз S„ =2S., ягни 5„

I) Бернулли лемнискатасымен шектелген ауданды есепге.

у = и ' cos 2ip.

S = 4 * — f«2 cos2<pd<p = 2a3 *— sin22 J 2

12) у = (x2 + 2.v)e~' сызыгы жэне абцисса ©ciMeH шектелген

кисыксызыкты трапециянын ауданын тап.

.г3 + 2.v = 0, а-, = - 2,л\ = 0

х2 + 2х = it, (lit = (2.v + 2)tlx e~'dx = (Л, v = —в"

2х + 2 = и, ilu = 2xd\

S - f(.r: i 2x)e~'dx = . 2

и+ f(2.v + 2)e 'tlx

e~'dx -- dv, i' = -e~'

2e T = -2 - 2e2 - 2 + 2e2 = -4.

= ( , 2 + 2 * > - £ +

О= -(2 x + 2)е ' | “з + 2 fe'V.v = -2 - 2e:

Ш 4.

Шыгарылган есептерде карастырылган кисыктар 65 бетте.

Ею ecejii интеграл.Ь

вздерщ1зге белгЫ v = f{ x ) уцлн ( / (x)dx = = F(b) - F(a),a

a < x .Л в

Ал и = /(.v, v,*) функциясы уцнн уш edjfiiii интеграл

Щ /(а , V,: )d\dytk, ( v, у, -) е У.

19

1-Мысап. Мына сызыцтармен шектелген аудаиды есепте.

ху = 4,у = дг» дг=4. х1 =4, л = 2

= 8-2-4ln4 + 41n2 = 6-4(ln4-ln2) == 6 - 4 In 2.S « 3,28.

2-Мысал.

Мына беттермен шектелген келемд! есепте:

z = x2 + уг,х+ y = 4,x = 0,y=0,z = 0-V = | | f(x,y)ilxdy.

D

У

20

- j

- |й | J (.V + \ly = |<ш л у + —о ■ ii •* V 3

(4-.v)Jл"(4-л) + Lx =3 4 3*4 К К Я Е ‘ H

U III 3*4 3Г = 42*.

3

Ескерту. Есеп шыгарганда eKi еселi интегралда интегралдау ретш

езгерте бшу оте мацызды.

Мысал:I > 2 2 -л

jd \ j / ( x ,y )d y + jt/x J/ ( r, v)«/y .О О 1 0

Бершгён интеграл ею облысты камтиды:

- [О <.r< 1 fl<jc<2 />, :< О, :<IОS v< .V - [0 < j/< 2 -,y

D, + D, = D : 0 < v < l

[у £ х s 2 — у

\<Ь \ f ( x , y ) d x .

Ек1 есел1 интегралда айнымалыларды алмастыру.

} j /(v> y)dxdy интефалы бер!лсш. Полярлык координатага ш

I x m г cos (рy = rsintp , гу (<р) < г < г, (<р) деп алсак, онда а <:(р<,р

duly - rdqxlr тен, мундагы г декарт координатасынан полярлык

координатага кешу якобианы (коэффициент^ делшедг. Ол былай

табылады:

21

lav ЛуI л fV* r

w __ r-t(i/,v)Жалпы гурде { болса, онда / =1,1’ • ,V(lf.V)

fp * r.

dx dxfhidy cVdu

- Якоби аныктауышы.

I.v = .v(m, v,/)Ал. j v = v(m.v./) болса. / =

Дг дх дхди dv dtду ду дуди dv dt dz_ dz_ dzди dv dt

- Якоби аныктауышы.

Мына сызыктармен шектелген ауданды есепте:

>•" = 4 + .V, параболаI):х + Зу = Ojnijy

.Vs + 3.v - 4 = О-3± V9 + 16 -3±5

•‘V 2 2.г, = -4,.Vj =12 у, = I, .г, = -3 Л/, (12;-4). Л/, (-3;1)

I -V! ) 8ц = J</v jrix= |(-3j'-_vJ + At)dy = I -3* —— — + 4)

= -—-- + 4 + 3* — - — + 16 = 20—.2 3 2 3 6

EKimiii эд»с, Интегралдау ретш взгертсек:

D = D, + D2- 4 < 11 -3

д I .— .—

V4 + .v < v < +V4 + .Y

22

0. :I—3 S л < 12

j - /ГГг < y < -~

S " - j,/.r j ,/)■ + |,Zv I </,• = j2 - /v + 4i/.v i | - i + v 4 + л \z v =

, , (v + 4): 3

( V i !4- X- (.v + 4)-|r'О

-4 ь 2 J

4 144 9 128 2 5+-------=20-.3 6 6 3 3 6

Сфсралык коордннаттар. j x = r c o e f » s i n 0

Мысал: \ у = r s i n p s \ n O , (/• > 0,0 < p <2^,0< в<л).[ z = r COS в

dx dy cbdr dr dr

. _ dv 5»' dz~ dO дв did

dx dy dz• dp dp dtp

+ r J s i n ’ p w n 1 0 + r 2 s i n 3 { t r e e s ’ O s in O + r 2 c o s ’ j o s i n 3 в = r ' c o s ' 0 s i n 0 ( s i n : )= r 1 s i n ^ c o s 1 в + s i n ’ f f ) = r 1 s i n t f ;

Сонымен, декарт координаттарынан сфералык координаггарга кошу

мына формуламен орындалады:

t lx d y t k = г ' s i n O c lq x K k lr .

c o s (S’sin# s i n s i n d 0

: r ' c o s ' <pc o s ' 0 s i n 0 +

23

EkI ecejii iiiirei ралды коллниу.

I ) Деиенщ колем!.

1 = Я A ' -

2) Беттщ ауданы.

° = М + В м # + Ш х’У н <ш й /»

3) Жазык фигуранын массасы.

W = мундагы Д х,у ) жазык D облысынын/>

тыгыздыгы( пластинка десек).

4) Жазык фигуранын массаларыньщ центр! (ауырлык нуктес!).

\^xf{x,y)t!xdy

\\f(x,y)dxdy • 13

|Jyf(x,y)dxdy

\\f(x,y)dxdyП

5) Жазык фигуранын инерциялык момент!. D облысыныц тыгыздыгы

f i x .у) болса, онда ОУ eci бойынша инерциялык момент мына

формуламен есептелед!: / г - Я f(x,y)dxtly, ал / , = \\y*f{x,y)dxdy.О D

Бас нукте 0(0,0) бойынша инерциялык момент / 0 = + v2)dxdyь

формуласымен табылады.

Мысал.

24

jr + у" = Зет цилиндршщ т й в д еп х г + у 2 = 2ог параболоидын ы н

бетннн ауданын табыныз.

O A=aS__ _ дг + у2 z 2а ~ dz _ х Эг j? дг ~ а ду а

Полярлык координата! а кешем !з:

х = р cosipу - psmtp

1=р.

р~ со* q>+р sin <р = 3а'\ р 1 = 3 а2 ,р = a-JS;О < p < a f i ,О <<р< 2х \

А

2л <tV5 1 2 2 ■ 2л | < / '

a - \d<p \ М +—j -+^ p d p - — | ^oJ + p 2 pdp = — *2я’ | *■ p 2 pilpо о ’ a a a о d e о

= £ * Ж +РГ- a

a-J}

3a

Мысал. Декарт жапырыгымен шектелген ауданды табыныз.

Лараметрмен бершген тендеуге кешем!3. Ол уш1н у - а

белплейм13. Сонда х1 +.rV -3a.x*xi = 0 .

3atI +( За!1

У=ТТ7

| + lJ -3/* | - 2/ J,lx = 3 a * -^--- £-d t = За dt(l+г1) (l + f ^

(i+,>y

деп

25

S - - {( X(ly - Yi/.x

" " \ J r " * J * T ~ v - ~ T • 3« • - '• V *2 « l + ' (l У l+ / ( |+ / J ) 2 ! ( |+ , ') '

л (1-'1(1+, ')- ^ / ( | + Л )л „ Л 1 ± ^

l// =

3 , .V « —t l .7

Мысал. Кардиоиламен шектелген аудаиды есепте.

г »</(1 -со$<р)

S | ^ ^ j f / ^ l -2С08(^ + С08? = — j^ | - 2cOS07 + — *Z~ ^ t ^dtp =

= ^ - 2 s i n ^ + - ^ + i s in 2 ^ l| = — .2 V 2 4 I 2

. . [.Y = « G O S 3 /Мысал. «j ̂ - астроидамен шектелген ауданды есепте.

I v = a s in ' t

dx = a * 3cos2 /( -s in t)dt

dy = <i*3 sin21 cost dt

я

1 2 /Л* = — * 4 J(<? cos3 / * 3<? sin3 / costdt - a sin3 / * 3a cos2 /(-s in t) \it =

= 6a 1 J(cos4 / * sin2 / + sin■* / cos2 t)dt =6a 2 Jcos2 /sin2 /rf/ =— fsin 2tdt =0 b 2 0

_ 3rr rl - cos 4/ _ 3o2 ^ n _ 3m ei J < *

S =8

2 2 8

3mr

К исы к сы зы кты интеграл.

а иА/N догасымен жылжыган F ку ш ш щ жумысы А былай

есептеледк

26

F = P ( \ \ y ) i + Q ( x ,y ) j ,

(VIД* = Д\< + Ду /, деп алсак, онда I = y)i + Q(x,y) j\ly немесе(v немесе

.1= j r tls mn - догасын интегралдау контуры дейдк ЕгерI U)

интегралдау контуры туйык болса, онда ол былай жазылады:

jp d .x + Q ih

Егер контур L кещепкте бер!лсе, онда кисык сызыкты интеграл

мына турде жазылады:

<jpdx + Qdy + Rdz. u>

(L )- контурымен шектелген ay дан келес! формуламен есептеленедг

S„ = — jx d y - ydx.

5„ = ubn.Ескерту. Кейде кисык сызыкты интегралды доганын узындыгы

аркылы есептеуге тура келедк <^P(x,y)ds, ds- доганын

{x = acosi _

- бершген эллипстщ ауданын есептенп.у = a sin II

dv = ft cos idi, dx = -u sin td tfi < / < 2 л

дифференциалы. Мысапы:л = <p(t)

у <t < Рбершсе, онда

a

27

Грин формуласы.

j Pdx + Qily m Jjj ~Q - ^ \lxdy, мундагы (D) облысы (L) i/i ( I* ® * ’/

контурымен шектелген (шемелген).

Мысил. AARC ушбурыш берЫген .|(«,0). B(a‘,a),C(Oia) осы ушбурыштын

контурымен бер*1лген интегралды <J[v;</.v+(.v + .v)'V' | Грин формуласын1.Ш1

папдаланып есепте.

Р1\ч,у) - y \Q (x,y) = (.т + у)!,<?{? ,, , дР „= 2(.v + г). — = 2у йг ду

С 'г "г * Г *(2 v + 2.V - 2y)dxdv = jdx j2xdy = jdx(2xy) = j[2ax - 2г(я - д-)]еЛс =

= f2.v3</.v = 2 * — .1 3

2ay3

Тсксеру. Кисык сызыкты интефалды есептешк:

ABC контурын сагат тыпшн багытына карсы айналамыз, ягни

Сонда, ЛВ -да Л- = a,dx = 0,0 < V < я. |(я + y)2dy =з а 3

ВС -да v — a,dv — 0,0 < х 5 я. ja2dx = я2.г| = —я5;

28

С .1 -да у — и — л, «Л* = -</т,0 < .v < л.

(« - * )

‘j +.»')■ </»']=>—«* — —----« ’ + —---- £|Д = - (|*з з з з

Осыдан 6i3 Грин формуласы кисык сызыкты интегралды е й есел1

ннтефалмен байланыстыратынып керект.

Остроградский формуласы.

Jj^ co sa + C?cos/J+ Rcoty)da = \ \ j ^ + ^ + ^ мунда!

a .p .y бершген а -белмеи сырткы нормаль арасындагы бурыштар, ал

агы

У - осы бетпен шенелген колем, ал егерd a cos а = itvitzd a cos (3 =dxdz екешнd a cos у ~ dxdy

ескерсек, Острофадский формуласы былай жазылады:

jjPdyib + Qdxdz + Rdxdy = + ~ ~ + ~^jdtd)-dz

Мысал: EipiHuii октанттагы * + >>+•; = « жазыктыгыныд жогаргы бел

бойынша мына интегралды есепте:

JHxcosa +ycos/} + г cos y \la .Я

Остроградский формуласыидагы Р * x,Q = у, R = 2. Олардын дербес

дР dQ , i'R гуындылары — * I , - - ■ I,— = 1.дх ду <Ь

29

ОлаП болса,

|| )

[О < .v < а ( Г ):]()< \ S a - .x

«SrSii-.v - v

« «• » •-»-*■ a e-i о / 2 Л!-’03 J./л \<1у + \,1: = 3 Jr/.v ,v)</v = 3 Гг/vI «г - .гг - I» » n и и и V 2 J|u

nJ 2 2 3aT

2) Баскаша:

J||r/.v</vffe - пирамиданьщ келемй щ

J ' , 'lОл Г„ = — ; олай болса 1здеген интегралымыз

Остроградский формуласы бетпк интегралды уш есел! интегралмен

орнектейдк

Я 11гт» (»•)

Стокс формуласы.

j (Ptlx + Qdy + R,lz) = fjcos a cos P cosy— JL JLdx dy dz P Q R

da.

Мундагы a ,p .у бурыштары (а) бетше

журпзшген нормальдщ (перпендикулярдьщ)

багыттаушы косинустары.

Стокс формуласынын екшин турк

jO Jdx + Q,lv+R(lz)= fj

30

Мундагы(Ay/г = d a cos a .

tLulz = d a cos P %

d u ty = dcr cosy.

Стокс формуласы кисык сызыкты интегралмен 6 e r r iK интегралдын

байлаиысын бередк

Ката |) л а р.

Сандардын мынандай акырсыз (шексгз) а,

т1збепнен куралган

fi, + </, + a , +... 4-ал... =W-I

ш еказ косындыны сан катары (сандык катар) деп, a ,,а, сандарын

катардын мушелер! деп атайды. Кез келген п ушш ам катардын жалпы

муш еа деп аталады.

\ sSy * щ + /ij

*УХ = <i, + л, +

5, +(/, + +... + ат

Булар катардын дербес косындылары делшедь

Егер lim Sa = S <оо болса, катар жинакты, жинакталатын катар дсп

атайды, ал егер lim S„ - m en ш еказ болса, немесе аныкталмаса онда в •%

кагар жинакталмайды, жинакты емес дейдг

Мысал.

v 1 1 1 I , 1 1 1 1 1 I I7 . " я — “ +■ + ... + --------- +... = I -----+ ------- + ------- +... + ------------+ ...^ и ( и + 1) 1*2 1 * 2 * 3 #!<*♦1) 2 2 3 3 4 я п + \

| Шlim .V„ = lim I ------- 1 = 1 катар жинакты."-*• •-**Д П + \ J

31

Геометрпялык прогрессиями карастырайык:

«/ + ш/ + ш/' + ... + т[ я 1 •*... * / jig*я * |

|</| < I, lim S я lim ( — — -2SL.1 = —— а д\^ 1-Г/ 1- r / J 1-</

Катар жинакты, ал |^ |г I бол ганда катар жинакталмайды.

Егер катар жииакталса, онын жалпы м уш еа аа 0. (катардын

жннактылыгынын кажетп шарты).

Мысал. Гармоникалык катар деп аталатын ка гарды карастырайык:

v ̂ , 1 1 I 1ц | ) 2 3 л — 1 #|

1" . = - п

lim ан = lim — = 0 , катардын жинактылыгыньщ кажетп шарты«-*s л ■

орындалады.

Ал катар жинаксыз, c e 6 e 6 i HOMepi 2* -не тен дербес косындысын

карастырсак:

„ , 1 , 1 1 , 1 № 1 i l l ( I 1 — I + — i— +... + —— = 1 + — Ь —I— 1 + 1 — H— +2 3 2 2 1 з 4 j [5 6

>| + i + I * 2 + I * 4 + ... + - lr *2*'1 = l + I + ... + I = i + I * * = * ± l <2 4 . 8 2 2 , 2 2 2

k + 2сонда > ------.2

Ьудан « - » oo да 52, -► oo, ягни катар жинакты емес. Катардын

жннактылыгынын кажетп шарты орындалганмен гармоникалык катар

жинаксыз. Катардын жинакты болуыньщ ж еткш ки шарты келес!

белп лерм ен аныкталады.

1. С алы сты ру белпс!.

32

Myuienepi он ]Г«„ (1)жзне £ b , (2) катарлары бермсш.я-I

". ^ I тенсгш п орындалсын.

Онда (1) катардьщ жинаксыздыгынан (2) катардын

жинакталмайтындыгы, немесе (2) катардьщ жинакгылыгынан (I)

катардын жинактылыгы шыгады.

Мысал.

V”» I г 1 I .Z» > ~ катар жинаксыз, сондыктан бер!лген катарда

жинаксыз.

б) гг катардьщ 6ipiHiui 6erreri У — !— катарымен~ » (я + 3) £J/i(« + I) F

салыстырамыз: —— — < - 1 олай болса бершген катар жинакты. и(я + 3) н(н + 1) г

2. Даламбер 6ejirici.

Егер мушелер! он катар £ \/„ р ш мына шек lim = q бар болса,,»■ а.

онда

1) q < 1 болганда катар жинакты,

2) ц> 1 болганда катар жинакты емес.

Мысал: а) У — , а . =я«*1 “

н + 1

.. (п + 1)2” I ,Imi —— |— = - < 1, катар жинакты. 2 и 2

.. (и + !)”*' lim ------------ = lim (я + 1)

и!:— = lim = е > I - катар жинакты емес.

(« + !)!«" я§»

33

3. Koiuii 6cjirici.

£«», катар уинн lim 'фГи = q бар болса, ондам-1

1) (/ I болганда катар жинакталмайды.

Мысал: a) V f —-— 1 катар рш щ Ц = (—-—1 .J кт " U« + 5j

Коши белпЫмен lim ч/а~ = lim ——- = — < |, катар жинакты.»-**>»2я + 5 2

g j 5/7 + 8 ̂ ( 5/1 + 8 ^3/# — юоу " V.3/I —100,

Коши белпЫмен lim 'ila^ = lim * - = - > 1 катар жинакты емес.»-»»оЗя-100 3

4. Кошншн интегпалды к белпс».

Егер мушелер! он кем1мел1 катар ушш ая = /(« ) тецщп орындалып

V ®yf(n)dn интегралы жинакты болса, катар жинакты, ал \f(n)dn

интегралы жинаксыз болса катар жинаксыз.

Мысал ретшде гармоникалык катарды карастырайык: , 1 1 1

2 3 я

| f(n)dn = /яя|* = оо .I

Т — катар жинаксыз.ЩШ

5. Дирихле белпск

S — •

Интегралдык белпш пайдалансак

34

пf— llll = hi" I—a

a > I, катар жинакты a < I, катар жинаксыз

Мысал:

a) ,Q = 2, катар жинактыn ' +1

б) У. -J—г—- ,« = 2, катар жинакты,

в) У '—? = = = = , а = 1, катар жинаксыз | *-1 л/п’ +2п

D Z».i (п + |)>/п ч-1 ’ 23 .,а = —, катар жинакты.

Ауыспалы танбалы катарлар.

Кёршдлес мушелершщ тацбалары карама-карсы болатын

катарлар ауыспалы танбалы катарлар деп аталады. Оны жалпы турде

бы лай жазуга болады:

«I -а , + а, -а , +-... + ( - 1)‘4,а. +... = ^ ( - ] ) " иа..•4

Лейбниц белпсь Егер ауыспалы тацбалы катардын мушелершщ

абсолют шамалары монотонды кем1мел! тыбек кураса:

п, > а, > «3... жэне lim ал = О болса, онда мундай катар жинакты.

Дэлелдеу: S,t. = (а, - а ,) + (а, - яч) +... + (я3. , - аи )

S,t > 0.

ал егер 5,, = «, -(« , - я , ) - ( « , , - а 2<1. , ) - о 2п-

Будан 6 i3 жогарыдан а, >0 санымен шенелгенш коремп.

Сондыктан limS,, = 5 . Ал S.„, =S,, + lim а,„, =0.

35

ОлпП болса .V,,,., шектелген.

= S .. = S.

Абсолю т ж эне шартты ж и н а к т ы л ы к -

Кез келген катар бершеш:

=»#,+ м , ( 1)«'I

Myiue/iepi кез келген сандар болатын катардын муш елерш щ абсолют

шамаларынан курапган

|М|| + |м,| + ... + ||/п| + ... (2 )

катар жинакты болса, онда ( 1) катар абсолю т жинакты катар дейдь

Ал егер (2) катар жинакты болмаса, онда (1) катар шартты

жинакталады делш едь

00 J

Мысалы: I) У ( - 1)"+1- 7 -а б с о л ю т ,,,=1 п

2) У . ( ~ l ) 'ltl — - ш артты .

Функциялык катарлар.

Мушелер! тэуелс1з айнымалыньщ функциялары болып келет'ш

катарлар функциялык катарлар делшедь

и, (д-) +н_, (*) + ...+и. (*) + ... = £ u j x ) ( 1)N-I

00

Егер х = х„ мэнш де сандык катар ^ н п(х„) жинакты болса, онда х0•■I

нуктес1н жинакталу нуктес! дейд1. Жинакталу нуктелерш щ жиыны

жинакталу облысы деп аталады.

36

Егер функциялык катар (I) кез келген е > О уШ1Н номер N = N(E)

табылып, барлык и > /V yiuin жэне х е М барлык мэндер1 уинн

j.S'(.v) - S„(:v)| < с Tenci3fliri орындалса, онда (1) М жиынында S{x)

функциясына б1ркалыпты жинакталады дейдг

Всйсрштрасс теоремасы. Барлык х s А/ -де функциялык (1) катар

уинн жинакты сан катары У'а, табылып |м„(л)| < аш шарты орындалса,щ

онда (1) катар М жиында б!ркалыпты (абсолют) жинакталады.

Егер ( I) катар жэне оныц туындыларынан куры л Fan катар

»,’(*) + и'г(х) +...+м* (дг) +... (2 )

6 ip калыпты жинакты болса, онда оларды му шелеп интегралдау жэне

дифференциалдауга болады:

Абель теоремасы. Егер (I) дэрежелш катар х = х„ * 0 нуктесжде

жинакталса, онда катар айнымалы х-тщ |д-| <|х0|шартьш

канагаттандыратын барлык мэндершде абсолют жинакталады, ал егер

ол д- = дг, * 0 нуктесшде жинакталмаса, онда ол катар айнымалы .г-T in

|\] >(.т,| шартын канагаттандыратын мэндершде жинакталмайды.

Мысалдар. 1) .г + ^ + ^= + ... + -^= + ... катарыньщ жинактылык

аралыгын тап.и

II — _ Х

•S'(.y) = и’(х) +... + и'щ(х)

Дэрежел1К катарлар.

+ а,х + а ,х2 + ...д„дс" +... = У а , х1 ( I )

37

Даламбер б е л п а бойынш а lim = lim -4= -г * — = Уa, + 1 г* ■

|.vj /з Jn

lim —= = О,

. I >I > > - 7 = > ...Л 7з

Лейбниц белпс1 бойынш а катар жинакты.

Сонымен бершген катар

1 1 S х < 1 аралыгында жинакты.

- Е - ■ ) -------- »-1 О 1

д е [ - 1;1).

2 ) Катардыц косындысын тап.

.V +---К ..+ ------к..5 4/1 — 3

Катардыц жинактылык радиусы Л = 1.

с t \ -у5 Jt4"“35,(.т) = лг + — + ...+5 4и -3

Х;1(.г) = 1 + .г-' + ... + .г4"'4

< 1, жинактылык

|<1 .

38

л < 1 оолганда табылган катар геометриялык прогрессияны береди

Ч = v4 < I шеказ KeMiMeni прогрессиянын косындысы А” (.г) =

■ w / r - r W - T j f A —2 JU-JT* i+ x 'J 2L - i . i d 1+.VJ 2 2 1-.Г + —arvtgx2 I

•V,(.v) = —arctgx + — In 1 + X

1-.Г

3) f[x) = e~' +2c u +... + neC"' +... болса,la.lJ/(V)</.V = ?

|||J/(.v)f/.y = jV\/.t + 2 j e u dx + 3 j e y'dx... + n je +... = -e~'

- -(e"c +c'2t +... + ne~“ +...).

e ’ +e ''+...+ne~‘' +... катар шекс13 кем1мел1 прогрессияны курады,

мундагы v е (0;оо).

Сондыктан S'(.x) = ■т т е'\ 1 - е' -1

л.»

J fU )dx = ~3-1 2-1 2 2

Функцияларды дэрежелде кагарга Ж1ктеу .

0ткен семестрде Маклорен формуласымен таныскамыз:

I! 2! /j!

Я„(т) калдыгып мел десек Маклорен катары былай жазылады:

л , )= А о )+ т л.+т л, +...+/ ^ , » +...I! 2! я!

39

Дал осы формуланы пайдаланып корсетк1шт1к, трнгономстриялык,

логармфмд'пс жэне дэрежел1к функциялардын Маклорен катарына

жчктелуш корытып шыгаруга болады:

, , х х ’ х с =1 + - + — + ... + — +...I! 2! I

x s x s х 1 f !l"Sin.Y = .Y----- + -----------+ ... + (-1) -----------+ ...

3! 5! 7! (2/1 + 1)!•V2 -V4 .v6 х !пcos х = I --- +-------+ ... + (-1 )"---- + ...2! 4! 6! (2н)!

Y* r J V 4 , v"ln(l +.v) = .y--— + :-------+ ... + (-1) |-- + ...

2 3 4 n

(l + .v)" = | + -.v + " {-ПГ l ) x~ + f e l l " ~ 2)T' + 1! 1*2 1*2*3

.v ’ X s X 1 I - • " +l arclgx = x -----+----------+... + (-1)3 5 7 2/1 + 1

. 1 + -Y * J 1 ЦIn----- = 2 ,Y + ---- + ----+ ...

l - .v I 3 5

Катарды пайдалану

11 с’""1 есепте.

. , x x2 e = 1 + — + — + ... + ...

1! 2!y = 0 ,3

,-H + 0 ,3 + M + W2Z = U 495.2 6

c " J = 1 ,3495 .

2) sin 1T есепте. 12’ -ты радианга коилрсек

/ г 3 ,14 л- = — = = 0 ,2 0 9 4

15 15

sin л- = .y - — = 0,2 - М . = ол 987....3! 6 ,

fSill.Y ,3) ах катарга жпсге.J .X

40

/ 3 5 7 . \ Л* X X

X ----------- + ---------------+ . . . 2 4 ft \3! 5! 7!d x = f 1 - — +— +...1

Л* 3! 5! 7! J. Л V

<tv = .V------------+ ------------3*3! 5*5!

7*7! + ... + С.

4) | — </v - катарга Ж1кте.

1 J,

, -t Л" X1 + + +...+ - +... I! 2! n!

r/v = | | — + 1 + — + — + ... L /jt = с + til .V + A- + — ---- + — — + .X 2! 3! J 2*2! 3*3!

5) Vl30 есепте.

/ . mi , 1 «(» — 1) j и(я - 1К«- 2) j (l + .v) = 1 + —.r + —- — -..T + —— —------ -Д +...1! 1*2 1*2*3

i

Vl30 = 5,066.

6) In 2 есепте.

Inif l + . r ' l1 ,1( X 3 x s )M M . r + — + — + . . .

1 3 5 J

------= 2; 1 + a = 2 - 2x\ За = I; x — —1 - x 3

In 2 = 21 i + — 1 = 0,693. ,3 81.

Фурье катары.

/ ( .т) функциясы 6 ip калыпты жинакталатын

тригонометриялык катарга ж1ктелс1Н, ягни

/(.г) = — + cos tot + bt sin Ал),2 i.i

41

Муплагы /(дг) [-я;я] пралыгымда аныкгалган периоды Т ~2я

функция.

I т,» « - | / ( t)r/.Y,

Л J •я

'« = — J/(.v)cos nxilx, - Фурье коэффи циенттер1.

1 V* = — xf ix) sin nxdxл -»

т + 1 > * cos tv +7/, sin fa) - Фурье катары делшедь- 4-1

Мысал. I) /(.v) = .x [~n\n] - арасында Фурье катарына Ж1кте.

Функция так, =0

2 » 2 = — f.vsin iBfrfr i (-1)**1 —! (и = 1,2,3,...)

IT J »It

.x = 2\ sin -v — sin 2.r + —sin3x - I 2 3

2) /(.r) = .\r функция жуп, = 0 ,

; Я " ■ V ' . COS/UTi = — + 42, И )"——.I a-l Я

Периоды 21 функцияныц Фурье катары

ШМ ^ v ’ f Щ R . кп |.M -w = — + 2 Л а к c o s — jr + * , s i n — j: , мундагы

% Щ V I I )

"« ~ , ак - - J/(.r)cos—I iLx, bk j l J/(x)sin^^<fe.-i 1 -i * I * I

формулаларымен есептелшедк

3) Периоды 2/ -re тец f(.x) = x функциясын (-2;2) интервалындагы

Фурье катарына ж1кте. Функция так, я, = а0 = 0

Сонымен, = — sin ^ S - (-2;2) ннтервалында Фурье катары.

Дифференциалдык тендеулср.Аныктама. Аргумент x-Ti, 1зделетш функция у-Ti жэне оным

туындыларын байланыстыратын тендеуд! жай дифференциалдык

тендеу дейм13. {зделётга у-функцияныц туындыларынын ен улкен рет!

сол тецдеудщ peTi деп атайды.

Мысапы: у ' t-2_yc- .r = 0 еюнин perri.

v“ + v = .t* yuiuuui p e T r i .

/•'(r,y,y',y\y",.-y"") = 0 (1) n-uii perri дифференциалдык тендеу.

Егер у = <р{\) функциясы (I) Тецдеуд! канагаттандырса, онда <р(х)

функциясын тецдеудщ iueiuiMi дейм!з.

Шеиймнщ сызбасын (графипн) интефалдык кисык деп атайды.

Мысалы: f ( x ) = у' тецдеудщ uieuiiMi

У - [/(*)'& + С екёшн интефал есептеулершен б1лем1з. Шеипм

интефалдаумен табылады.

у**0 болса, у’ = у = С , л я г н и eKiHUii perri тецдеуде eki С,,С,

гэуелс.Ь туракты бар екен. Олай болса (I) тёндеудщ жалпы uieuiiMi

у = ) туршде жазылады.

Жалпы шеипм айкындалмаган Ф(лг,С,,С2,...С.)= О турщДе табылуы

мyMK'in. Муны тецдеудщ жалпы интегралы деп атайды.

Б> pi it ui i perri дифференциалдык тецдеулер.

Коши ece6i.

Fix,у,у') = 0 (l)Teitaeyi бершеш. Будан у’ = f{ x ,y ) тапсак,

оныц жалпы uieuiiMi у = $»(*,С) - функциясы кисыктар шогын

43

кескпшейл!. Осы кмсыктарлыи imiiu'it (WpiiireH A/(rs; t .) Hyrreci

аркылы ore riu кисыкгы бел in алел к. i*a ■ <■(*,{*,) -ден (\,~ai ти са к

| - ф( дербес uieiuiMi шыт/ш.

Мысалы: у ' « - • тендеупин .Wl)» I шартын канагаттанлырвтыи

lueuiiM iH тап.

А’ у dx х r<ly rtl.x* у * X In v = - In .г + In С

= С дг

v (l)-l

.» = — - гипперболалар жиьшы.

у = - Л/(1;1) нуктесшен ететш гипербола.

Мундай есеп — Коши ece6 i делшедк

44

Айнымалылары белшетш тецдеулер.

M(.\)N(y)tlx + P(.x)Q(y)tl) = о Tettaeyi б е р ш с ш . Тендеущ ек!

жагын /V(_v)P(.t)-Ke белсек

Р(Х) N(y)

Бул ернекп интеграпдасак, онда жалпы шеш|м1 былай жазылады:

Мысал. Мына тецдеудх интефалдау керек:

x-Jp - 1</т + уу/х1 -1 dy = О

Сонда -Jy: - I + - I =С тендеудщ жалпы uiemiMi.

Мундай тендеулерд! айнымалылары белшетш, белектенетж,

ажыратылатын тендеу дейдЬ

45

I>ipiiiin i perri Gip'reici i диффсренциплдык гсцдеулер.

Аныктпмя. Егер f{tx,ty) = Г f ix , у) болса, f ix ) функциясы n-iui

дэреясел‘| fiipтек ri функция дейд!. я = О болган жагдайда f i x ,у )

функинясын нелшил дэрежел! 6 ip reK T i функция деп атайды.

Мысалы: f i x . у) = - у — - нелжип дэрежел1 б(ртект1 функция.

Аиыктама. Егер f i x , у) - нелшим дэрежел! 6 ipTeKTi функция болса,

онда

£ = /(v,.v) (1) /тецдеуш 6 ipTeicri деп атайды. Тецдеуд! шешу ушш жаца айнымалыны

енпзем1з.

v ,и = —, v = их, v = и х + и. х

Сонда ч'х + и = Д \,и)

dux — = f i \ ,u ) - u

dx

•f---—--- = Г— (2)Щ Ш - v Щ | щ

(2) интеграл (1) дифференциалдык тецдеудщ uieuiiMi.

Мысал. Бершген х2 + у2 - 2xjy' = 0 тендеушщ М(2\0) нуктесшен ететга

uieuiiMiH тап.

Бул Коши ece6 i делшед1.

2х\у' = дг + у2

2 г' = — + — - 6ipTeKTi тендеу.

46

.VII у = их, у = и X + иУ

2 (м'л+и) = - + и,2и'х и и

н

иliiilu - dx

- I + 11' .г1п||/1 - || In л + In С

СиX

г -I Сх -Гу: — х" = Сл у = Слг + дгО = 2С+ 4 С = -2

.» ■’ = л' - 2л- - Коши есебшщ uieiuiMi.

BipiHiui p e n i сы зы кты к тецдсулер.

у '+ Р(х)у = Q(x) дифференциалдык тецдеуш 6 iphuiii perri

сызыктык тендеу дейд1, ce6e6 i у пен, у' взара сызыкты тэуелдь

Мундай тецдеулер ею эдГспён шеишледй

BipiHUii у = u(x)v(x) алмастыру (Бернулли) эдни.

у' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Бертген тендеуге кой сак

u'v + ну' + Piiv = Q u'v + if[i-'+AV] = {?

v' + pv = 0 деп алсак

<lv „— + Pv = О, dx

-Pdx

47

In v g В jPilx

-flViv » r

Оила берип'ен гсцдеу мына турге келедй

u'e ] . = 0

11 j()e Hfc 1 С,

Ал жалпы шеипмй

г = | ^ ^ + с )е1 ™'.

Мысал.

3jr _.Г

У = Ш у' = и V | iiv #

I , 3nvII V + l i v --------- --- ,x

X

v '- * l = 0X

f/v _ 3v dx x

In v 1 3 In .t,

I / '* .r3 =.v,

III = —,.V"

dv _ _1_ rfv X ~ ’

48

X

Жалпы uieuiiMi » = CV - г ’.

Екшнп эд|с. Туракты шаманы вариациялау эд!с1. (Лагранж эд!с!).

у’ + P(x)y = Q(x) ( l )

у' + Р(х)у = 0 (2 ) - деп аламыз.

dy— = -P(x)dx У

lny = -|P (x)dx + lnC

у = С е

• Мундагы С туракты санды С(х)функциясы деп есептейм!з де . . . .

у = L е оершген (1) тендеудщ шеш1М1 деп жоримыз.

у' = С ' ( х ) е + C(x)e-fn,,d‘ * [-Р (х )]

у жэне у’ ( ! ) тендеуге койсак:

С'(л)е + С(л)е ^ и1Л *[- Я(*)]+ Р(х)С(х)е'I * '* = Q{x)

C ix)* '!* '* = Q(x)

С(х)= jQ(.v)e^(lW,<Z.v+Cll

Онда (1) тендеудщ жалпы шеилм! былай жазылады:

Мысал.

» 3*у ---— =• д-

r ' - i - oX

49

I/у _ Mr у X

In v = 3 In .v + In С .v = Cv3r' = CV+C’*3.v-

C'.x' +C*3.r -~*C xi = x лт

. c = 4 .f

C = -- + Cn.Y

= |Св ~ = c„.r3 - Jf2

= C. -V 3 -лг

Бернулли тендсуь

У' + P(x)y = Q(x)y° тендеуш Бернулли тендеуi дейдь

Тендеуд1 шешу у ш ш б е р ш г е н Т ен деуд! у"-ге белем!з:

У + Р(х)у'" = Q(x), мундагы у '" 1 г деп белгшейлш.

z' = (l-n)y 'V , сонда —_ z' + P(x)z = Q(x) тендеуi шыгады. Бул сызыкты

тен д е у . Оны б елгш 1 э д 1с т е р м е н шыгаруга болады.Мысалы:

| V г у + - = - ! • -

v-V + i*I = -i.Г у

у= -v "2 * у’

X

(1х X

50

<fc _ z dx v

In z = In v + In С z - C x - z ‘ * C x + C - C x - C + ('*=-!

r = ‘IT

С = In v + In C.

— = .v(In(.t * C ,))V

»• ---------------жауабы..vln(.vC.)

Т о л ы к днф ф еренц иалды тецдеу.

Ьершген M{x.y)dx + N(x,y)dy = 0 тецдеу u(x,y) функциясыньщ

толык дифференциалы болса, ягни d{u(x,y))=Q,

if(x, у) = С

и(х,у) функциясыньщ толык дифференциалы

dii = — ilx + — dy формуласымен табылады. Олай болса, дх ду

а| [*/(.*, .yjdr + ̂ o o jк = JM(.rty)iZ.v + q>{ у), (1) будан — -------—----------- -- N(x,y) - осы

тендеу деп ц* r)-Ti тауып (I) тендеуге койып жалпы шеиймш табамыз.

Кезкелген тецДеудщ толык дифференциалды тендеу болуы ушщ

дМ dN . . ■— = — ТСНЛ1ПНЩ орындалуы кажетп жэне ж еткш ктк rh' civ

Мысал.

(3.1 + bxy )dX + (6.v2у + 4у3 )dy = О

51

Л/ = Зл"’ +6.VV2 .V = b x \ v + 4 v'-’

ж L Ц , , зл/ щ-— = 12v\'. — = 12лт.---- — .Гг civ qy r*.v

Демек бер'тгсн тендеу тояык дифференциаяды.

h(.v.,v) = J(3.v: + 6.rv3)rfr + = ,vJ + 3.v’ i‘" +<p(y)

i/(.v. v) = ,v' + 3.r! v'’ + <p(y)

pH - э ,— = 6.VV + V » ( v )CT

Ал, — = N болгандыктанду

(уху' + = 6.yvJ + 4 у у

<р\.v) = 4 v '

y>(.i) = |4г'Уу + С = у* + С

Сонымен, 1здеп отырган шешгмшз

ч{.х,у) = Щ + Зл:3 Щ + у4 + С.

EKiinui pei-ri дифференциалдык тецдеулер.

Дифференциалдык тендеудЫ ретш кемггу.

Ек'шип perri дифференциалдык тецдеущ F{x,y,y\y*)=Q деп

жазуга болады. Жалпы жагдайда тецдеуд'щ шеиимш табу киын.

Дербес жагдайларды карастырайык.

1) г* = f ix ) тендеу! бершс'ш. Онда

.»•' = jf(-x)tlx + С,

11 {[f/Cvyx + C .^ r + Cj.

Мысал:

у" = sin.r+.v

Ж Ш• V - COS.Y т ---- + с ,

2

52

v = -sill v + -— + ( ’,.v + С ,.6

2) Пт,у', г") = 0 , 1здеп отырган функциямыз жок.

Онда г' В р\ »*' = р ' = — .dxdp dx

= o - 6i|iHmi perri тевдеу.

Мысал:

у’ + v'tgx = sin 2.v. ‘Ip

У =Р.У = -f- dxdp .— + p t g .x = sin 2x dxp - HVp ' = i i 'v + i i v '

и V + uv' + uvigx = sin 2x v' + vtgx = 0 dv _ sin .t V cos x

In »' = Incos.vV = cosJch ' c o s .v = 2siiiA C O s.v

и = 2 Jsin.YfZv = -2cosjc + C,

p = cos .v(C’, - 2 cos jc)

»>’ = COS A' * C, - 2 cos1 x(,• , « f l + cos2jv _ . 1y = , cos.v</.v-2J-----------dx + C, = C, s in x -jv — sin2.v + C

3) F {x,y ,/ , ) • ’) = О, аргумент x жок.

y' = p.• dp dp „ dv dp

У = = — = p — . dx dy dx dy

ф . А , | i - 0 -

Мысал:

53

t r ’ I (y')! • Q

1lly_ tip (Ip Ф </v /> у

In /> = - In 1’ + In — ,p = — v' = —-2 ' 2v ' 2v

</.v 2y 2y</y = C{tlx »■"’ = C|jf+Cj.

EKiuuii p e r r i сызыкты дифференциалдык тендеулер.

•у' | ру' + qy = /(.v) (1) тецдеуш еюнип perri 6ipTeicri емес

дифференциалдык тецдеу дейд!. Егер /(л )» 0 болса, онда

у* + ру' + с/v = 0 (2) тецдеуш 6 ipT e ic ri дифференциалдык тецдеу делшедй

р жэне </ туракгы сандар. Тецдеуд1 шешу ушш у = деп аламыз.

у ' = еь *к,у* =ete *А1.

Тендеуге койсак

eL' *к~ + рек'к + qe1' = 0,с*' 1 0

кыскартып

к- + pk + q - 0 (3) тендеуш аламыз. (3) тецдеу сипаттаушы тецдеу деп

аталынады, немесе Эйлер тендеу! дейдц у = eL’ алмастыруын Эйлер

пайдаланган.

Сипаттаушы тецдеудщ туб1рлерш табамыз:

! _ Щ Ш ?сЩ - 4 ( /

--------- 2 '

I) Егер дискриминант р2-4q> 0 болса, жэне эртурл1 накты сан.

I', = е*'',у3 = <?*•' дербес шеилмдер. р З = * С, ягни дербес

54

шеипмдер сызыкты байланыста емес. Олай болса, тецдеуд’щ дербес

шеипмдер! у, = «-**■',j 2 = ЩМ, ал жалпы uiemiMi у = +С,с1-'.

2) /»■’ -4</ = 0 , онда к , = к , = - ^ = к. туб1рлер озара тен. Онда

J U . . ____ С • — „t,= f ,у . = е х , дероес шеипмдер сызыкты байланыста болмауы

кажет. Ал жалпы meuiiMi

г = С,«Л* + С2е*-'х = ек,х (С, + С2х).

3) />• -4у <0, онда туб!рлер туйшдес комплекс сан болады:

к,.у« а ! /X,i = V-Т -Гаусс6ipniri.Дербес шеипмдер:

у, = cos Дг,V, = sin fix,

Жалпы uieiiiiMi:

у = е“ (С, cos рх,+С2 sin fix).

Аталган уш жагдайга мысалдар келдгарёшк:

1. у* + 3.)-' + 2у = 0

к' + 3* + 2 = 0-3±>/9^8 -3±2к ---------- =----—,

J------ 2-------- 2А, =-2,*, =-1, у,- = = е-1,’г = С,е""' + С.с~‘.

2. у* + 4у* + 4у = 0

А’ ’ + 4А + 4 = Ок, = -2 + л/4-4 = -2,

А = -2,у, =с = е '’'.к, v = г‘г’ (С, + С,дг).

55

3. у* + 4 г* + I3y * О

к: + 4А +13 = Ок, => -2 ± л/4 -13 =-2 + 3/.а » -2./? = 3.у, = с' ■* cos3.r.y, - е~ sin3.v,

Жалпы meiuiMi у = e'3,(C,cos3.t + Cjsin3.r).

Г.к-iniiii perri сызыкты б!ртект! емес дифференциалдык тецдеу.

у '+ ру'+ (/у = Дх) ( 1).

( I ) тендеуге сэйкес сызыкты б1ртект1 тецдеуд1 кирастырамыз.

у" + ру' + ЧУ = 0 (2 ).

Сипаттаушы тецдеуfli шешемЬ: к : + рк + q = О (3).

*1 = Р ±у 1 р ' ̂ ^ жэне к, тауып (2) тецдеудщ жалпы шешмш

жазамыз:у = С,у, + С2у г, мундагы С, жэне С, теракты сандарды х аргументшщ

функциясы деп жорып у = С, (дг, ) у, + С, (дг2)у2 (4) функциясын (1)

тендеуд'щ жалпы шеш!м1 деп уйгарамыз. Олай болса (4) функция жэне опыц 6 ipiHini, eKiHuii туындысы (1) тецдеуд1 канагатгандырады. у = С,'(.г,)у| + С, (г, )у[ +С',(х2)у 2 + С,(х,)у',

мундагы +С;(-«;)уг =0 (5) деп апсак, онда

у = с (.v, )>•;+с\ (.г, )у ;, ап

у" IQ(-V, )у,' + с ; (х, )у’ + с; (JC, )у'г + С, (х, )у” тен.

Енд‘| у.у'.у” мэндерш (1) тецдеуге коя мыз:

( I Ц )г,' + с|(V, )у" + с; (jfj )у‘ + С, (ДЧ )у ' + рС, (-v).v; + рС} (х)у', + qC,{x)y, ++ qC,(x)y, | f(x).

56

осы тевд|ктеп

|< к «•,’+««■; +ч,у, = 0}с \ ( а К V* + ру\ + ( J Y , ) = О,

болгандыктан )у,' + С,(л) г’, = fix ) (6 ) тецдш шыгады.

Белпсю 1 Й жэне С,(л) функциялары ушш

|r,’(r,)v, +c-;(.v)v, =0 1( г(- V |+ ('H.v).vj = f (x )

тендеулер жуйеы шыгады.

Крамер эдГш бойынша тендеулер жуйесшщ аныктауышы

ал бул аныктауышты дифференциалдык тецдеулерд! зерттеупплер Вронский аныктауышы деп атайды да былай белплейд):

J ’i »’j

Жалпы турде, егер тендеу я -perri сызыкты дифференциалдык тецдеу болса

д = Г, V;у', >■;

Ух Уу, туршде жаты лады.

У->т

57

ал табылган C,(.v) жэне С2(х) функцияларын

(4) формулага койсак бергпген (1) тендеудщ жалпы memiMi шыгады:

Сонымен, кезкелген 6ipTeKTi емес сызыкты екшип perri дифференциалдык тецдеудщ LiieiuiMi.

У == У+ У* косындысынан турады.

Мундагы С, (л:) жэне С2(х) функцияларын табу эдюш турактыларды

вариация л ау dAici, немесе Лагранж эд1с1 деп атайды.Мысал:

у" + 4 v - О к 2 +4 = 0 к , = ±21

у, =cos2.t,y3 = sin 2*, yj = -2 sin2.\, vs = 2 cos 2л*

(7) формулада у = С,0у, +С\°у2 (2)

тендеудщ жалпы uieuuiMi, ал

г" + 4уsin 2х

Вронский аныктауышы JV(x) = cos 2х sin2x — 2 sin 2дг 2 cos 2д*

(7) формуланы пайдалансак*.

58

I У С cos 2v + с " sin 2.r + sin | | i/.v - cos 2x f -*п2л dx =C" cos 2x + C" sin 2 v +■’2sin2.v J 2sin2.r+ - sin 2x * Injsin 2.v| - — * cos 2.v.4 1 2мундагы i = (', cos2x + C, sin 2.v (2) 6ipxeKTi тендеудщ жалпы uieuiiM i, ал *\j I | i. _ , xcbs2.v ... _.i =-sin2.v*ln|sin2.t|--- 1— ( I ) бттект! емес сызыкты4 2

дифференциалдык тецдеудщ дербес u ie u iiM i:

.v = .v + J-\

Бел rich коэффициенттер эд1С1.(Дербес шеиим табу амалы).

г* + ру' + qy = /(.«) тендеуi бертсш.

Bipiiimi жагдай.»•* + ру1 + с/у = Рп (д)е“ , (1)

Мундагы Р„(х) - п-дэреже;п кепмушелж.

а) а сипаттаушы тецдеудщ Ty6ipi емес.

k2 + pk + q = 0 к,,к, а-гатенемес.

Онда у" = (а„х " + А,х"'' +... + А' У = Q Jx)ea'. (2)

С*’’) = aW e“'+ a,W e“'* a( у ” ) -£?»(л )е“ *a + Qn(i:)ет *a + Qll(x)ea' * а 2

' бершген тендеуге койсак, онда еш *0 болгандыктан

кыскартып, мына тецгцкт! аламыз.(?'(*)<?“' +(2а + p)Q'M(x) + ( a 2 + ар + ‘i)Q „(x) = P Jx ). (3 )

Мундагы Q,(x) - п дэрежел! кепмушел1к.

Q’Jx ) - (п-1) дэрежел! кепмушел1к.

£>'(.г) - (п-2 ) дэрежел] Кепмушел|к.

59

(3) тещйктеп х-тщ б'фдей дэрежесшщ коэффициеиттерш TenecTipin

.... 1„ yuiiii (п+1) тендеулер жуйес'ш аламыз. UJemiMi дербес

шешшД] береди

б) а саны сипаттаушы тендеудщ Ty6ipi болса, онда (3) тенщктщ сол

жагы а 1 +ар + q = 0 болгандыктан (п-1) дэрежел1 квпмушел’ж.

Сондыктан дербес шеипмш

у' = \Q„{x)em туршде 1здеейм1з.

в) а саны сипаттаушы тендеудщ ею есел!к Ty6ipi болса, онда

а ' + ар+q = 0 жэне 2а = ~р болгандыктан (3) тенодктщ сол жагы (п-2 )

дэрежел1 копмушелж болады. Сол себептен дербес шепшад

У ~ -г‘£?» (*)<?'" деп алуга тура келед5.

Мысал: 1) y* + 3y’ + 2>=f-x + ̂ \>l,‘J', а = О

А-; + 3£ + 2 = Ок _ -3±л/9^8 -3±1

‘г • 2 2 ’к, = -2,к, = -I,у = С ,с '2' + С ,е “*у" = Ат + В

2

60

I B = 2

Я = 1

v = — v + *>

Бермген тецдеудщ жалпы uieuiiM i: v = C.e~2' + С\е“* - i v + l2

2) \' - 4 г = хе2\ а = 2

* : -4 = 01 ,=± 2

v я + ( ,е

/ = (Л.г + B )e i% * д * (Ллг2 + flv)eiTI

()■*) = (2/Lt + e)e-J + 2(Ax* +/ V*( / ) = 2>te2jr + 2(/b* + Bx)eu +2(2 Ax + B )e lx + 4(/lr2 + Жт)еь .2/It»21 + 2(/f.v + A\>2t + 2(2Ax + B )e 2x + 4(Ax2 + Bx)e2' - 4(Ax2 + Bx)e2' = xeJ 2A + 4Ax + 4B = jt

4/1 = 1,2Л + 4Z? =0

Л = - 4

s s t82 I 4• X -- JT

14 8 J

>' = v + >" = С,е2г + C\e“2t + — U2* - жалпы uieuiiM i.I 4 8/3) v" - 2>*' + у « -xe*,a = 1

Ц - 2* + l * 0

A, =* 1 ± л/Г-Т = !1

kx e * j « l (ек| еселш тубгр)

v = (С, + С2х)ея - б !р тект 1 тевдеу дщ жалпы uieuiiM i.

61

у - (Ах + В)с' *.v: =(/Lv' + Вх2)е'

(у ) = (ЗЛлг + 2Вх)е' + (Ах' + Вхг )е'

(г ) = (б.-l.v + 2Вх)е' + (3Ах2 + 2Вх)е‘ + (ЗАх2 + 2Вх)е‘ + (Ахг + Вх2 )е'

у ’.(у’ ) жэне (у") тендеуге коямыз:

{ЬЛх+2В)ел + 2(ЗЛ.т: + 2Вх)ех +(Ах’ +Вх2)е ' -2 (3Ах2 +2Вх)е’ - 2(Ах’ + Вх2)с’ ++ (.-/*' +Яг )с' =-хс"ЬАх+2В = -хJ6.4 = -1 л;=_1)2в = 0 61 В = 0

у* ! — .y V - дербес шеппм.6Бершген тендеудщ жалпы uieuiiMi:

у — у + у ’ =(С| +С,х)ех — х3е'.6

EKimui жагдай.

И + ру’ + ЧУ = P (x)eaxcos/)x + Q (x)emsinpx (1).

а) Егер a + fii (1) тендеуге сэйкес 6 ipTeicri дифференциалдык;

тендеудщ сипаттаушы тендеушщ Ty6 ipi болмаса, онда дербес iueuHMfli мына турде 1здейм4з:v = )i(.v)e'"cos/?x + v(.t)e'"sin/7x,

мундагы u(x),v(x) копмушелердщ дэрежеа Р(х), Q(x)

кепмушелелершщ ец улкен дэрежееще тец.

б) Егер а + pi сипаттаушы тендеудщ ry6 ipi болса, онда дербес

шеилмд1 мына турде гздеймй-■ v = .v[»(.r)e'"cos/?x + v(.r)emsin/0x]

Мысал: 1) у" + 4у' +3у = -З.гsin.т, а = 0,р — 1 у" + 4 у' + 3 у = 0

62

к +4к +3 3 О к, =-2±/4~3=-2±1,

к, = -1 = -3. г = С\с~' + С, с ' '»• = (.-1д + S)sin х + (Од- + £ ) COS.Y

(»• ) = .4 sin л + (Лт + Я) cos .г + Dcosx — {Dx + £)sin v

( > ' ) = //cos .v + A co s .y — (Ллг + в ) sin .y — О c o s .y — Osin .t — { D x + £ ) cos л

» ».»■’ , ( v ) , (v*) тарды тендеу re койсак:

2 A cos л- — {Ax + Я) sin x - 2Csin.v-(fit + £)cosi ++ 4[.4 sin.v + {Ax + S)cos.y+ OcosA--(Ojr+ £)sinx]+ з[(Чх + fl)sin л- + (Or + £) cos.y]= = —3.Ysin.v-YSin.Ysin.v.Y COS.Y

COS x

- A - 4 D + 3 A *- ) - B - 2 D + 4 A - E + 3 B = 0 - 0 + 4/4 + 30 = 0 2A- E + 4 В + 40 + 3£ = 0

2A-4D = -3 4Л + 2 В - 2D - E = 0 4 A + 20 = 0 Л + 2В + 2D + E = 0

2/4-40 = -3 2A + 0 = 0

10/4 = -3

10

О =-2 /» =-2*1 - ^ :) = т ;0 = г ;

5A + 4B = О;

4

10 4 5 4 10 20 20

10J 5 5

4 V ю ; 8 8

■ з з ) . (з-- V f - Sin .v 4-1к ю 8 у V 5

§)20)ICO SY.

63

2) г' + у = —.vcos л-, а = 0,/? = I

к ' +1 = 0 к, = +/'.

I' = С, cos .V + С, sin х

Дербес шеинмд] курамыз:

у" = л[(Лл + В )cos.v + (Dx + С )sill .г]

у ’ = [(/i.v’ + Вх) cos.v + (D.v: + Ev) sin -y]

(у‘ ) = (2Ах+ B)cosx -(Ах} + Bx)sin х + (2Dx + Ex)sin х + (Dx* + Ex) cos*

(у ") = 2/4-rcos .v - (2 Ax + fi)sin.x-(2/4j:+ B )s inx-(Ax2 + Bx)cosx + 2Ds\nx + + (2Dx + Ex)cos.v + (2Dx + Елг)создг - (Dx2 + £r)sin x

(y j жэне у'ны бершген тецдеуге коямыз:

2 / I.y c o s .y - (2 Ax + В) sin x - (2 Ax + Z?).sin x - (Ax1 + Bx) c o s jc + 2£> sin x ++ (2D.v + Ex) cos x + (2Dx + Ex) cos x - (Dx2 + Ex) sin x + (Ax2 + йх). cos.v ++ (Dx1 + Ev)sin .Y = —jccosjr2 A cos.v — 2(2Ax + S)sin.v + 2Dsin x + 2(2Dx + E)cosx = —xcosx

1

x cos.vCOS.Y ■YSl'n .Ysin.v

4D = -1 2A + 2E = 0 -4/4=0 -2 B + 2D = 0

D = 4A = 0; E = 0;

1 1 , .. V =-- .YCOSJT----T'Sinx.4 4

Сонда бершген дифференциалдык тецдеудщ жалпы iiie iu iM i былай

жазылады:

г = С, cos.v + С , sin х — .v(cos.y - jrsinif • 4 v г

64

Тамаша кнсмктар.

Корее гкш1 пк кисык у —С Тангенсоида ШыНАЫрЛЫк КИСЫКУ \

y-igx

риг. /ис .. _ »

V = “ * iг + i £ ' я йС«к-

Циклоида Декарт жалырагы

Г 51 = a (t — sint) (у * а( 1 - cost)

( 0 .-е)'1

х-'+у̂ -ЗахуЮ

Тулым Ыктималдыктар кисыгы

6 L х • >

65

Бернулли лемнискатасы

r2=a2cos2<p

Астроида (у s acot1 f IУ s 05/!1*Г

Кардиоида

i -a( I -cosip)

Ыктималдыктар теориясы жэне математикалык статистика.

I Тэиирнбе жэне окига

0м1рде жэне гылымда белгш 6ip максат учин журшзшетш

бакылаулар, смнактар, операциялар, эксперименттер тагы да сол

сияктылар кездеседк Б1з бул атауларды б ip магынада, синоним

есебшде тусшем!зде оны тэж1рибе деген термин есебшде

кабылдаймыз.

Сонымен тэжирибе- абстракция лам ган угым, оньщ арнайы

касиеттер’1 ескер1лмейдк Бул жердеп айтылып отырган абстракциялау

мынау: белгш б ip шарттар тобын булжытпай отырып тэж1рибем’|

кайталауга болады. Тэж}рибсшн мысалдарын келтфешк:

1) тенге лактыру;

2) оныц кубипн (ойын суйегш) лактыру. Ойын суйеп

дегешм*13 эр жагына 1,2,3,4,5,6 сандары жазылган кэд1мп куб;

3) шахмат ойыны;4) карта ойыны;

5) нысанага ок ату;

66

6 ) жэннктен турл'|-тусп шарлар алу тагы сол сияктылар.

Тэжчрибе мумкш болатын нэтижелершен туратын жиынды

элементтер окигалар деп атайды. Элементар окигалардан туратын

курдел! окиганы кездейсок окига деп атайды.

Окигалар латын алфавит'щщ А ,В,С ... сиякты бас эрштер!мен

белпленед1.

Мысал дар:1) тэж1рибе тиынды 6 ip рет лактыру болсын. Бул тэж1рибенщ

нэтижеа ею элементар окигадан турады:

а) А-гербшщ Tycyi (елтанба жагынын Tycyi);

б) В-Цифрдщ Tycyi (сан жагынын Tycyi);

2) тэж1рибе ойын суйепн 6 ip рет лактыру болсын. Элементар

окигалар Л,,Л2̂ ;А л-ойын суйегшщ ycTiHri бетжде i= l,2,...6

цифрларынын (сандары) пайда болуы;

3) тэж’фибе ойын картасынан 6 ip карта суыру болса онда

элементар окиганьщ 6 ipi А-карга тузын алу, т.с.с.

Акикат окига деп тэж1рибе нэтижесшде эркашан пайда болатын

окиганы айтады.

Мумкш емес окига деп тэж1рибеде ешкашан пайда болмайтын

окиганы айтады.Б1р'|кпейпн немесе уйлеамаз окигалар дегешм'|3 6 ipeyiniH

пайда болуы баска окигалардын пайда болмауына эсер ететш

окигалар.Bip гана мумкшд1юп окигалар дегешм1з ец блмаганда 6 ipeyiHin

пайда болуы акикат болатын окигалар жиынын айтады.( окигалар

толык группа-топ курады)Тен мумкн1д‘|кт1 окигалар дereнiмiз пайда болу мумкицпктер1

бфдей окигалар жиынын айтады.

Ммспл A -герб пайда болу

В-цифр пайда болу

Осмндай уш KacneTi (б'фшпейт'ш, Giprana мумкшджт!, тен

мумю нджп) бар окигалар жиынын жа»'дайлар(шанстар) дсймп.

М ы сал

Ом ым суйепн лактырганда ал ты жагдай болады. А жул цифр

болу окигасы болса, оган колайлы уш жагдай 2,3,6 цифрларынын

пайда болулары. калган уш жагдай бул А окигасы на колайлы емес.

А ны ктам а. БелгЫ А окигасыныц ыктымалдыгы дегешм!3 осы

окигага колайлы жагдайлар санынык барлык жагдайлар санына

каты пасы

Я М )» -/У

(I)

бупдагы п-барлык жагдайлар саны;

m-А окигасына колайлы жагдайлар саны;

Р - дегешм‘)3 француз тш нде ыктималдыкты -

probability деп аударгандыктан осы сездщ 6 ipiH iui эршш алган.

Геометриялык ыктималдык лактырган нуктенщ 6ip облыс

болiпне тусу м ум кш д т сол облыс пен оныц б е л тн щ геометриялык

олшемдерше байланысты болсын. Онда нуктенщ Е облысыныц белш

болатын А облысына тусу ыктималдыгы деп

п Ж Щ <2 )п(Е)

катынысын айтады, AczE.

68

Ж алпы айтканда ,«/,,/ - кеешд!, sx*s - ay дан,l a v

г,,»' - колем.

Ж н 1л1кт1 ыктималдык (Статистикалык ыктималдык)

А ны ктам а: Егер п рет тэнирибе журпзгенде А окигасы к рет пайда

болатын болса, онда — санын А окигасыныц жикгйкт! ыктималдыгы#1

(ж ш л т ) немесе статистикалык ыктималдыгы деп атайды да былай k

белплейд! Щ А ) =п

Окиганыц ыктималдыгы тэж1рибеге дсйш аныкталса, жишктис.

ыктималдык тэж1рибеден сон аныкталады.

Окигаларга карапайым амалдар колдану.

Аныктама: А жэне В окигаларыныц косындысы деп ( 6 ip n e c T i r i ) А

окигасыныц немесе В окигасыныц пайда болуынан туратын окиганы

айтады да былай белплейд1

А+В=С немесе А\)В=С

А (, А А я окигаларыныц косындысы А, окигасыныц немесе

А ,окигасыныц, т.с.с. немесе А , окигасыныц пайда болуынан туратын

окиганы айтады да былай белплейд!.я

А, + А , +... + А . =*£ А, , немесе i-1

ЙА*

69

Мысал: A GipiHiin per мылтык аткандагы нысанага тигЬу, В-

екшцл рет мылтык атканда нысанага типзу 0=A+B 6ipiHuii немесе

екшнп рет аткандагы нысанага типзу болып табылады.

Аныктама: А жэне В окигаларыньщ кебейтшд1с1 (килысуы) деп

А жэне В окигаларыньщ ортак пайда болуынан туратын окиганы

айтады да былай белплейдк

АВ-С немесе АПВ=С

70

Б'фнеше ок иганыц кёбейтшдас! сол окигалардын барлыгыньщ

ортак пайда болуынан туратын окиганы айтады да былай белплейд!

А.,А,...А. = ПА,немесе ПА..“ " . . I * *

2 Ыкгималдыктарды косу теоремасы

Теорема: А мен В окигалары 6 ipiKiicii rin ( уйлеимсп) болса

А • В = 0 олардыц косындысынын ыктималдыгы косылгыштардын

ыктималдыктарынын косындысына тек Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Далелдеу: Барлык жагдайлар саны п, ал А мен В -ra колайлы

жагдайлар саны т Амен т а болсын. А мен В б1р!кпейтш окигалар

71

болгандыктан Л Ж косы нлы сы на /пА + /«„ жаглайлары колайлы

болады://1д * f /М ц / Я д М ц л .Р(/1 + Я) * — --- 2- в -А + —Л. ш р(А) + Р(Д)

П /I /I

Ескерту: Кез келген А жэне В окигалары ушш ыктималдыктарды косу теоремасы былай жазылады

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Саллар: Кос-костан б1р1*кпейтш б1рнеше окигалардын 6ipeyiHiK пайда болу (косындысыньщ) ыктималдыгы эр окигаиык ыктималдыктарыныц косындысына тен

Р( А, + А , +... + А .) = Р( А ,) + Р(А 2) +... + Р( А .).

Бул формула математикалык индукция эд1с!мен дэлелденед!.Мысал: Жэипкте 10 шар бар. 5 кызыл, 3 кек,2 ак.

Жэинктен 6ip шар алынып, оньщ кызыл немесе кек тусп болу ыктималдыгын табу керек:

Ш ешу!: А-кызыл

В-кекА+В- кызыл немесе кек шар пайда болуы.

Р( А + В ) = Р( А ) + Р (В ) = — + — = — = 0,810 10 10

BipiKnenTiH окигалардын толыктобы. Карама-карсы окигалар.

72

А ны ктам а. А,немесе А ,,т.с.с. немесе А п окигаларыныц пайда болуы

акикат окига болса онда , А ,, А ,,..., А я окигалары толык топ курады деп

атайды, ягни.

Р( А, + А : + А „) = 1

Ойын суйегш, гнып лактыру

А ны ктам а. BipiKnevrriH,толык топ куратын eiri окиганы карама-

карсы окига деп атайды.

Мысал: М ылтык атканда нысанага типзу А жэне тигпбеу

А окигалары, тиын лактырганда герб пайда болуы А жэне цифр пайда

болуы А окигалары карама-карсы окигалар.

Карама-карсы окигалардыц ыктималдыктарыныц косындысы

6ipre тец.

р (а + а )= р (а )+ р (а )=1

шЕгер P( А)=р,Р( A)=q деп белплесек онда p+q=Lq= 1 -р шыгады.

3 Ы кти м а л ды кга рд ы кебейту теоремасы

А ны ктам а. Bipeym iit пайда болу ыктималдыгы екншлсшщ

пайда болу немесе пайда болмауына байланыссыз болатын cki

окиганы тэуелсгз окигалар дерой.

Аныктама. А окигасыныц В окигасы пайда болганнан кеишп ыктималдыгын А окигасыныц В окигасы пайда болгандагы шартты

ыктималдыгы деп айтады да былай белплейд1 РВ(А).

73

Мысал. Жэипкте 4 кара жэне 6 ак шар болсын.Бул жэипктен ею

адам б’ф-бфден шар алады.

A-6ipiHiui адам жэипктен ак шар алу

В-екщрн адам жэипктен ак шар алу болса А окигасынык ыктималдыгы

р(д) = ~болса онда шартты ыктималдык 10

рд(в)-| ■ й Щ ШP(AB)= i

Теорема, Р(АВ) = р (а )ра (в ) = Р(в)Рв (а ) .

Ескерту:Егер А мен В тэуелаз болса, онда Р(А )= РВ(А ).

Мысал. Жэцикте 15 Шрдей буйым бар. Жэипктен exi сапалы

буйым алудын ы кти м алд ы гы ---ке тец.Ж эш жте канша сапалы

буйым бар ед1?

Uleuiyi: Белплеу енпзешк.А-жэииктен 6ipiHuii рет алганда сапалы буйым ал ынды,В-жэ1шктен екшип рет алганда сапалы буйым алынды. Буп eiet окига тэуелдк Сондыктан, егер k-санан, буйым дар саны десек, онда

Р(А ) = 1 , РЛ(В)= —15 14

Есептщ шарты бойынша

Р(АВ) = Р(А)-Рл (В) = =-1' ’ V ’ AW 1514 15Осыдан

Сонымен ,жэцйкте 8 сапалы буйым болды.

к1 - А--5,6 = 0, к =8.

4 Толы к ыктималдык формуласы

Ыктималдыктарды косу жэне кобейту теоремаларынын салдары

репнде толык ыктималдык формуласын карастыруга болады.

Теорема. B ,,B j....В,окигалары толык топ куратын, б1р1кпеГтн

жэне берш'гён А окигасына ьщгайлы окигалар жиыны болсын.

Бул окигаларды гипотезалар (жорулар) деп атайды да А окигасы

уцнн

Р(а ) = Р(В, Ш (А ) +... 1 Р(В„ )Р„. (А) = £ р (В, )РВ (А ) формуласы1*1

орындалып, бул тенгнкп толык ыктималдыктын формуласы деп

атайды.

Дэлелдеу. А окигасынын пайда болуы б1р1кпейтш В,А немесе

В :Анемесе т.с.с. немесе В,Аокигаларыныц пайда болуына сэйкес

келед1, ягни

А = В,А + В ,А + ... + В„А.

Шршпейтш окигаларга ыктималдыктарды косу теоремасын

колдансак

Р(А )= Р(В,А + В,А + ... + В„А ) = Р(В1А)+... + Р(В„А )

ГГевдГктщ он жагын ыктималдыктарды кобейту формуласы

аркылы жазсак

Р(а)= АР(В, )PBi (а ) +... + Р(В„ )Р„ (д)тенд11сп аламыз.

75

Мысал. Топта 21 студент бар. Олардын 5-i уздш, 10 жаксы, 6 нашар окиды. Емтиханда узд1к окитын студенттер тек узд1к бага алалы. Жаксы окитындар узд'пс не жаксы бага алады.ал нашар окнтындар жаксы,орташа немесе нашар багалар алуы ыктимал. Емтиханга шакырылган 6 ip студенттщ жаксы немесе узд! к бага алу ыктималдыгын тап. Жаксы немесе узд1к бага алу окигасын А-деп

белплейм1з.Жоруларлы былай белплешк

Н, -узд’пс студент, Р(н,)= —

Н, - жаксы студент, Р(н,)= —20

Hj - нашар студент р(н,)= —

Ал студенттердщ жаксы немесе узд!к бага алу ыктималдыгы

РИ1(А)=1,Р1Ь =1,PMi = |'‘

Толык ыктималдык жалпы формула бойынша былай табылады:

р(А)= р(н,)рН( (а )+ p(h2)pMi (а)+ р (н3)рП| (a)=A.i3 4 ̂

5 Байес формуласы

Байес формуласы ыктималдыктарды кебейту теоремасы мен

толык ыктималдык формуласынын сапдары болып табылады.

Теорема. Егер А окигасы толык топ куратын, б^рдкпейтщ

* В |,В ,,....В (1окигаларынын (жорулардьщ) 6ipeyiMeH 6ipre пайда

болатын болса, онда sp6 ip жорудын шаргты ыктималдыгы ymiH

76

щ аШ Л Ш (А)

тенднч орындалады.Дэлелдеу. Ыктималдыктарды кебейту формуласы бойынша

Р(а В. )= P(A)PA(B t )-буп тендпстен

Енд> осы тенд1ктщ он жагында турган болшектщ алымына ыктималдыктарды кебейту, ал бшпмше толык ыктималдыктын формуласын колдансак онда мына катынас шыгады

Р(А) Х р (в ,>».(а )

б1зге дэлелдеу Keperi осы ед‘|.

(1) формуланы Байес формуласы дейдк Байес Томас (1702-1761)- агылшын матемагнп, Лондондагы

король уйымынын мушес1.

Ескерту. Б1ршш1ден В,, В,,..., В, окигаларына коятын шарт олар

окигапардын толык тобын куруы кажет, ягни олар бгрдён 6 ip мумкш жэне езара б!р1кпейтш болуы керек.

77

p(n,).i = 1,2....n ыктималдыктары тэжириебеге деШн белгии деп

есептелшсд! де, априорлык ыктималдык деп аталыиады. ( Латыннын а

priori - алдымен, оуел1 деген созшен турады)

Рц (а )• апостериорлык ыктималдык деп атайды. (Латыннын а

posteriori- тэжшрибеден сон деген магынага)

М ысал. Коймада ею заводтын дайындаган белшектер1 бар.

B ip in u ii завод екшилден 4 есе кеп дайындаган. E ip iH t u i заводтын

жарамсыз болшектер дайындау ыктималдыгы р к = 0,05, ал e K im jji

заводтын ыктималдыгы р 2 = 0,01. Кездейсок алынган болшек жарамсыз

болып шыкты. Осы белшектщ 6 ip in u i i завод дайындаган белшек

екш дтнщ ыктималдыгын тап.

lile u iy i: B,-6ip iH iui, В 2 «еюнии завод дайындаган белшектер.

р(в,)=|,р(в,)=1

А-кездейсок алынган белшектщ жарамсыз болуы. Онда есептщ

шарты бойынша РВ| (а ) = 0,05, PBj (а )= 0,01,

I . Р (В ,)Р в (А)Рд(В,)=- ‘Онда P(B1) P 0,(A )+P(BJ ).P Bj(A )’

РА (в, )=----0,80,0S----- 0,9520,8 • 0,05 + 0,2 • 0,01

6 Тэнирибеш канталау. Бернулли формуласы

Егер б'фнеше тэж1рибе журпзщ, эр тэж1рибедеп А окигасынын

пайда болуы баска тэж1рибенщ нэтижесше байланыссыз болса, онда

ол тэж1рибелерд! “ А ” окигасына Караганда тэуелс^з тэжибелер деп

айтады.

78

Теорема. 0p6ip тэиирибие журпзш, эр тэжгрибедеп А

окигасыньщ пайда болу ыктималдыгы Р-га тец болсын п рет тэж^рибе

жургшлiнгенде А окигасы К рет пайда болу ыктималдыгы.

p . O O ^ p V 4 (D

формуласымен аныкгалады. q-\ - р . Бул формуланы биномдык

формула немесе Бернулли формуласы деп атайды.

Дэлслдеу. п рет тэжГрибе журпзгендеп А окигасыныц эр

тэж*|рибедеп пайда болу ыктимадыгы Р(А) = Р,ал пайда болмау

ыктималдыгы P(A)= l-P(A)=q болсын.

В к-А окигасыньщ п рет тэж1рибе журпзгендеп К рет пайда

болуы;

А,-А окигасыныц i-mi тэжхрибедеп пайда болуы;

Aj-A окигасыныц i-mi тэж1рибедеп пайда болмауы деп

белплесек, курдел1 окига Вк бершген А окигасыныц n-k рет пайда

болуы комби нацияларынан ту рады.

= А, А2 А3,...Ак А к+]....Ал + А, Аг Аз A4....A3jP_, Агк....Ад +.... + Ai Ai...An-к АД_ЛЧ|..../ 0p6ip косылган косылгышгыц ыктималдыгы б1рдей болады .■

Мыссты, 6ipiumi косылгыш уиин ыктималдыктарды кебейту теоремасы

бойынша

р(а, А 3А,...Аа- а * ..А. )= Р(А, )р (аз )Р(А, )..Р(Аа. )р(а )..р (а. )= р* V" А

jjfВкокигасында косылгаштар саны Ся =— ^ — г- болгандыктан,

К!(п - К/

ыктималдыктарды косу теоремасын ескерсек.

p(b J = p„(k )= c „ W *

/Г/ формуланы аламыз.

79

Баскаша дэлелдеу: Биномдык формула, немесе Ньютон биномы

бы лай жжтеледк

((/ + />)" + nam~lh + —— </"~3/>" +... + С*я" K/jA* + ...bn

(ч + p Y =ч " +wv"',p+ ...+ C(?,," V i: + ••• +рАМундагы РП(А:)= С* p kcj"~k - Бернулли формуласын береди

</ = 1 - Р •

М ы сал: Батарея 6ip ауданга 4 рет ок аткан, ap6ip октьщ тию

ыктималдыгы р = - тен болган. Квзделген ауданныц толык

закымдануы уш*н кем дегенде 2 ок тию керек. Ауданнын толык

закымдану ыктималдыгы кандай?

, 1 2 (<7 + р) =яА + р + бд2р 2 +*др +р ,g = l- p = l - j = -

А -4 рет атканда ауданды толык закымдану уакигалы болсын.

А, -ауданга 2 рет ок тию

А, - ауданга 3 рет ок тию

Ад- ауданга 4 рет ок тию

А = А, + А 3 + А 3р (а )= р (а ,)+ р (а ,)+ р (а ,)

Ыктималдыктарды косу теоремасын колдансак

7 Ец ыктимал сан жэне ен улкен ыктималдык

Ри(/и)жэне Ри( т - 1)ыктималдыктарыиыц катынасын алыл,

турлендгрулер журггзеек:

я(л - 1)...(л — W1 + 1) Р » ! С :р ~ д - ~ mi Р

Р. О" “ О С ~ 'р тЛч " т" я (я- 1 )..(п - т )~ q( т - 1)

( п - т + \)_ (п + 1)— #fi(l - д )_ ( (я + \)р - т mq mq mq

р», (п + \ )р - т

mq

( I)

0 (2)

(2 ) каты настан мынандай корытындьп а келемгз:

1) егер т ((п + \)р бо лса ,

Р » > Р > - 1 )

2 ) егер т )(п +1 )р бо лса ,

Р > Х Р .(« - 0

3) егер т = (п +1 )р болса

Р » * Р > - 1 )

М ы на (л + 1)/?-1<^<(я + 1)р (3 ) тецазд1ктер1 канагаггандмратын

oip гана //бутш саны бар. Сонымен мынандай теорема дэлелденедк

ТеорелкьЕгер m саны О-ден n-ге дейш оссе, онда

Рм (т ) ыктималдыгы алдымен моногонды еседь содан кешн

бол ганда озш щ ен улкен мэшн кабылдайды, ал одан сон

моногонды кемид1. (3 ) тец а упктермен аныкгалатын //санын ен

ьнсгимал сан деп атайды. Жогарыда дэлелденген теорема бойынша

81

Р„(//) ыктималдыгы барлык Р, (/»/) ыктималдыктарды к ‘пшнде ен у л кеш

болады.М ысал. Белгш 6ip технологиялык процесте барлык еьвдршген

ontMHiH 85 процент! жогаргы сортты. 150 буйым нал туратын

партнянын шпндеп жогаргы сортты буйымдардыц ец ыктимал санын

табу керек.

illeiltyl. Есептщ шарты бойынша н = 150, р = 0,85, q = 0.15. Ец

ыктимал санды (3) тенс 1здiктерден табамыз

151 ■ 0,85 - 1<//<151 • 0,85 будан

127,35<//<128,35.

Сондыктан да 150 буйымнан туратын партияныц 1ш1ндёп

жогары сортты буйымдардыц ец ыктимал саны-128,

Лаплас Пьер Симон (1749-1827) француз

математип,физип, астрономы Париж,Петербург академияларыныц

Myiueci. Наполеон кезшде ium icTep министр*! болган.

Муавр Абдрахман де (1667-1754) агылшын математип.

8 Ланластыц локальдык теоремасы

А окигасыныц п рет тэж!рибе журпзгенде к рет пайда болу

ыктималдыгын Р„(л)-ны есептеу ушш Лапластыц локальдык

теоремасы колданылады.Теорема. Егер А окигасыныц эрб’ф тэжцэибе журпзгендеп

ыктималдыгы р(0(р(1)туракты болса, онда п рет тэж^рибе

82

журпзгендеп А окигасынын тура к рет пайда болуынын

ыктималдыгы мына формуламен жу ыктан есептеледь

Рн(к)=* *р(.х\ мундагы

<p(\)=-jL= ? 2 ,

V25T

к - п р ал х = —===г.Ф р ч

^(Y) “функцияныц мэндерй арнайы кестеде келт[р1лген. (р{х)~

функциясы ж^п болгандыктан <р(х) = <р(- х).

Ал х)5 болган мэндершде $>(*)=0 деп есептеледг

О х

М ыса л

ТэуелЫз 600 сынактарда туракты р - 0,4 ыктималдыклен пайда

болатын окиганыц тура 228 per пайда болуыньщ ыктималдыгын табу

керек.

9 Муавр-Лапластыц интегралдык теоремасы

Теорема. Егер А окигасынын ap6ip тэж1рибе журпзгендеп

ыктималдыгы /?(0(р<1)т^ракгы жэне тэж1рибе саны п жеткшют улкен

болса, онда А окигасынын /с,-ден кем емес к2 -ден артык емес рет

пайда болуыньщ ыктималдыгы мына формула бойынша жуыктан

есептелшедк

/I = 600, р = 0,4, q = 0,6 228-600 0,4 12 _V600 0,4 0,6 12

р(-1)=0,242llJe iu y i

/>600 (228) = i - 0,242 10,0201.

Ри(к1,кг)вф(х2)-ф(х1\

Х 2 ~ I---- » Х \ ~~ I---- >yjnpq -у/npqk2 -пр __к\- пр

Мундагы ф(х) функциясы так функция, ягни ф{х)=—ф{г х)

84

(̂.г) функциясын Лаплас функциясы дейдК Онын мзндер!

арнайы кестеде келт1р1лген. Аргумент х тщ мэш бестен улкен

болганда, Ф(\) = 0,5алынады.

М ысал. А окигасыныц эрб!р тэж 1рибе журпзгендеп

ыктималдыгы р - 0,8. Осы окиганьщ 100 тэжгрибе журпзгенде 75 ден

кем емес ,90-нан артык емес рет пайда болу ыктималдыгын тап.

Муавр-Лапластын интегралдык теоремасын колданамыз.

р = 0,8,<у = 1 - р = I - 0.8 = 0.2п = 100,к, = 75.it, =90

LUeuiyi Р100(75,90)=90-100 + 0,8 10 ^ 75-80 5х2 = - = . = — = 2,5, х. ------- =---= -1,25V100 0,8 0,2 4 4 4

Р„«(75,90)=*(2,5)- ф(-1,25) = ̂ (2,5)+ ̂ (1,25)

Есептер ш ыгару:

1) гатаптыц 300 6 e T i бар.

Ашкан беттщ perriK нем1рш‘щ беске бел!ну ыктималдыгы

кандай?

Жалпы жагдай

п = 300;5к = 300, А: =60- колайлы жагдай.

1здеп отырган ыктималдык

Р(а )- ашкан беттщ perri к iieM ip i беске белшетш жагдайдьщ

ыктималдыгы

2) ею тацбалы сандардан алынган

85

Саннын цифрлары б!рдей болу ыктималдыгы кандай?

LLleuiyi. 10 нан 99 п=90-жалпы жагдай К=11,22,33,44,55,66,77,88,99 т=9I lk=99 к =9

9 IKepcmi ыктималдык Р(а )=— = — =0,1 к 90 10

3) дифференциал созжен 6ip spin алынган. Осы эрттщ дауысты,дауыссыз немесе ж opirii болу ыктималдыгын тап.

llleuiyi: А-дауысты эрштер к, =5,

В-дауыссыз эрнггер кг =7

С-жэр'|ш жок = 0

Барлык эршгер саны п=12

Р(А)=— ,12Сондыктан, Р(в)=— ,

р(с)=— =0.12

10 Комбинаторика

Аныктама. Бер!лген эртурл1 п элемен тен m элемент бойынша орналастыру деп, эркайсысы 6ip-6ipinen не курамы бойынша, не орнапасу peri бойынша ажыралатын комбинацияларды айтады.

Орналастырулардыц жалпы саны мына формуламен аныкталады.

А“ =n(n-lXn-2y.(n-m + l ) = j- ^ r . (1){п - т }

86

Аны ктам а. Бершген эртурл! п элементтен п элемент бойынша

а л маеты рула р деп, эркайсысы 6ip-6ipi нем тек орналасу peri

бойынша гана ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Алмастырулардыц жалпы саны

Ри = //(/г - lX« - 2)..(/? - п + 1) = и! (2 )

Сонндай-ак алмастыруларды орналастырулардыц жеке тур*

ретшде карастыруга болады,ягни

Ря = а ;= 7^ Ц - = ̂ = /|!(п - п) О!

Аны ктам а. Бершген эртурл1 п элементтен ш элемент бойынша

терулерден,эркайсысы 6ip-6ip iH eH тек курамы бойынша

ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Терулердщ жалпы саны мына формуламен есептеледк

с » _ = а ;" т \ (п - т ) ? т

А т(3)

та := с -р„

Комбинаторика формулаларын пайдаланганда мынадай ею

ережеш жш пайдаланамыз.

Косу ережесь Егер эртурл1 А жэне В элементтерд1 сэйкес п

жэне m рет жолмен тацдап алатын бол сак,он да осы ejci элементтщ

6ipeyin (А-ны,болмаса В-ны) m+n рет жолмен тацдап алу* а болады.

87

Кобенту срсжсс!. Егер 6ip группада m элемент,ал ек1щш

I руниадо и племент болса.оида эрб1р групп алан 6ip элементтен алып

курылгап косактардык саны //?• /; кобейпндншен анмкталады.

Расмнла 6ipimui группаныц 6ip элемент! ejciniui фуппаныц

эрб'ф элемент1мен косакталынады жэне кер1с!нше,сондыктан

косактардык жалпы саны т • п кебейтшдгсше тен болады.

Есепт1н жалпы Typi.

Ж эш ж те N шар бар, онын M-KeK,(N-M) к ы з ы л . Алынган п

шардын гп-ы кек болу ыктималдыгы кандай? Ол мына формуламен

есептелшедк

М ы сал. Жэийкте 15 шар бар, онын 5 кек, 10 кызыл; К^алай болса

солай ал ты шар алынды. Осы шарлардын 2-i кек болу ыктималдыгын

тап.

| Р b 15J5 .- » :.1L .» J ? =5qos.Ш еш уь Ж алпы жагдай 15 15 1-2-3-4-5-6

Колайлы жагдай С52 • С,40 = • у =2100

Ею кек шар any ыктималдыгы Р ----- = 0,4196г 5005

Ескерту. Жогарыда карастырган элементтер1м13 6ip-6ipiHeH

ерекше деп апыпты,ягни эр элемент 6ip реттен тэж1рибем!зге катысты.

Егер тэж'фибеге катыскан элементтердщ Keft6ipi б1рнеше рет

камталанса онда алмастырулар, орналастырулар,терулер бас каша

формулалармен есептеледи

Мысалы,егер п элементтщ п-б1ртурл1, Пэ-екшии турл1,

*r.c.c...n*,-k гурл1 кайталаиеа онда кайталамалы алмастырулар мына

формуламен есептелшедк

Р.(я,,я , я , ) = ——^ ----,я, !/*,!.../i4!

мандаты я, -I- п: +... + я, = я.

Егер п элементген к-дан жасалган орналастырулар саны А*,ал

кайталамалы орналастырулар саны ушш А* белплеулерш ецпзсек,

онда

А , = я(я -1 ) ..(п - к ч-1)= r - L .[ n - k f

ал А , = пк формулаларымсн есептелшед!.

кайталамалы терулер.

п элементген k-дан жасалган кайталамалы терулер деп

эркайсысы k-элементтен туратын топтарды айтады жэне де sp6ip

элемент осы п топ гардыц 6ipeyiHe тикгп. Барлык кайталамалы терулер

санын Г* аркылы белплесек, онда

Г1 _ / i - Г ’ ' jn + k - l )

форму л асы мен есептеледь

HeMic метематип Михаиль Штифель:” Ноль шын аки кат (он)

сандар мен Tepic сандардын шекарасьГ-деген.

Мысалдар: Кррапта 15 кызыл,9 кек,6 жасыл шар бар. Калай

болса солай 6 шар алынды. Осы шарлардын I жасыл,2 кек,3 кызыл

болуыньщ ыктималдыгы кандай? Теру заны бойынша:

89

k\ *£"|» ~ кьпы:! к , = С - кпс

к , = t ’J - жасы.ч

Колайлы жагдай:

in = к ,к2к, =C'ffC\jC’ll

Ulcuiyi: n m C p - жалпы жагдай

p /A \ . "I Q Q C '» Ь-2-,-3- I > _2 _ 24* ~ С Ч - 29: 2̂ ^ ^ ^ 145

Г^3--4>«<6

11 Паскаль ушбурышы

(a+b)l==a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=aJ+3a2b++3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6azb2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+bs

(a+b)f-af’+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

(a+b)7=a7+7a6b+21 a5b2+35aV+35a3b4+21 aV+7ab6+b7 Бул ек!мушел1ктерд! дэрежелеу амалыньщ нэтижесшде шыккан

коэффициенттер Паскаль ушбурышын курайды:

Б.Паскаль (1623-1662)-француз.

90

0 1

I 1 1

2 1 1 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1 -6 1 6 15 20 15 6 1 ^

К7 1 7 21 35 35 21 7\

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Ч

f t9 1 9 36 84 126 126 84 36 9

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ч\

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Паскаль ущбурышы бойынша

(а+b)1 '=а‘'+1 la'°b+55aV+165aV+330a V+462aV+330aVi-+ 165aV+55aV+l lab'°+b",сонымен(a + ft)“ = C"u" + C}„a“r' + b +... + C"a" “ +... + C ’b" формуласы

шыгады. М уны Ньютон биномы немесе Ньютон формуласы деп

атайды.Паскаль у!нбурыш ы neri-iiиде мына тенд’нстер орынды:

91

С °= С"Vj п v hc j= cr '

a=b=l тендю орындалса,оида 2* =Cq +C, +... + С",ягии бином

коэффициенттершщ косы н д ы сы 2" cicinin п дэрежесше тец.

Мына рекурентпк формула кентеген есептерд! шыгаруга

пайдалы:

c ; +с;*'

12 Кездейсок шамалар жэне олардын сипаттамалары

Аныкгама. Тэжир1бенщ нэтижесшде эртурл! мэн кабылдай

алатын шаманы кездейсок шама деп атайды.Кездейсок шамалар х,у,аркылы белпленед! де оныц мэндерш

xi,x2,...,x„; у „у2...уп аркылы белплейдк Кездейсок шамалардын кабылдайтын мэндерже карап,оларды ек| топка беледк

Дискрета жэне узд^кЫз кездейсок шамалар (дискретг1-уз»кт1)

х кездейсок шамасыньщ кабылдайтын мэндер! акырлы бупн

сандар немесе Т1збек туршде жазылса, онда ондай кездейсок шаманы дискрета деп атайды(уз1кп шама).

Егер х кездейсок шамасы metcri немесе шеказ интервалдын барлык мэндерш кабылдайтын болса, оны узд1каз кездейсок шама деп атайды.

Мысалдар1) ойын суйег'ш лакгырганда TyceTin упайлар саны дискретп

кездейсок шама. Оны х аркылы белплесек кабылдайтын мэндср! 1,2,3,4,5,6 болады;

92

2) ею ойын суйег! лактмрылсын. Тускен унайлар санын ескережк. Улест1р1м зацын табайык*

Шеипмк: Кездейсок шама х 2 ден 12 ге дейш, ал омыц барлык жагдайы 6x6 = 36мэнщ кабылдайды

1 23 45 6 7.

123456Ь1ктималдыктарды еееитейж:

р ,= р{х = 2)=^~Jo

р , =р(х = 3)= — = —36 18

Р у = (х = 4)=— = —36 12

р4=р{х = 5 )=Д = - 36 9

P i= p {x = 6) = ̂ - Jo

P i = р{х = ! ) - — = —36 6

p 1=p{x = S)=^- Jo

pt = p(x = 9)= — = - 36 9

/>9 = р(лг = 10) = — = —36 12

An = p(x = 11) = — = —r\o / 36 lg

A i =M^ = I2 )= J- .Jo

Сонымен улест1р1м зацы мына кестемен орнектелсрш

93

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

р 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1

136 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36

. ^ 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 , Кестедеп > р. = — + — + — + - + — + - + — 4-- + — = 1.^ ' 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36

Улесгпр*1М кестесшщ екшиш жолда турган сандар Tepic емес,ягни

Р . >0 жэне ол сандардын косындысы 6ipre тен.и

i>i

X кездейсок шамасыныц Х|Х2,...хп мумкш мэндершщ эйтеу’ф

6ipiH кабылдайтындыгынан Х|,х2,.. .xn 6ipiKneHTiH толык топ курады.

АныктамаЕгер X кездейсок шамал ы 0,1,2...,п мэндерш кабылдау

ыктималдыгы_ ( \ Щк „к —П-кР Р(х = Ч = С пр q

тещипмен аныкталса (мундагы k=0,l,2,...n, ал С* -п элементтен к-

дан жасалган теру саны болса) онда x-Ti бином (Бернулли) зацы

бойынша улескен деп атайды.

X 0 1 2 . . . | . . . N

Р я" пря" 1 " М )2!

* * */~*к „1 П-кСпР Я . . . р"

Вздерщпге таныс Бернулли формуласы.

94

Аны ктама. Егер х кездейсок шамасы 0,1,2,...,п мэндерш кабылдаса п мейлжше улкен болганда, р гым аз болганда р„(х=к)

Ыктнмалдыгын жуыктап есептеуге мына формуланы колданадыДк

р„ (х = к)= —- ( , лгундаеыА = пр.

Бул улестФ 'мД' Пуассон зацы дейдк Пуассон формуласы Бернулли формуласынан шыгатындыгын дэлелдетк:

q = l- p = l --п

Р Я Я Я I ч!k\{n-k).t _ "(я - 1)-(и - к + 1) , j я(я — — А: + ОГ У. ЛУ

к\ Р к! п

,_яу Г,п(п - 1)..(л - к +1) Д* ̂ п ) Ак ( lY , ( к- В

Ж Жл

п

пМундагы п —><*> умтылганда

ч-рИ Н Н '- ^ )- '

i i i i lСонымен

к\

Ьиномдык Бернулли эанынык я-»®» умтылгандагы шеп Пуассон улест1ршш бередк

Мысал. Заводтан шыгатын ожинки орга есептен ал ганда 0,02 процент жарамсыз буйым. 2000 буйымды алып тексергенде жарамсыз

буйымдардыц саны 3-ке ген болу ыктималдыгы кандай?

95

llle u iy i. Ж ургЫ летш барлык тэморибе саны n=2000. 0p6ip

тэж 1рибеде буйымнын жарамсыз болу ыктималдыгы

Р = 0.0002Ш / т ш , Я = 2000 • 0,0002 = 0,4. к = 3. Пуассон формуласын

колдансак

И ^ И | IВ I И • (2,7)'51 0.019757 3! 6

13 Днскретт! кездейсок шамалардын математнкалык ум*н

жопе онын касиеттер1

Егер х кездейсок шамалы Х|,Х2,...,Х „ мэндерш pi,p2,...pn

ыктималдыктарымен кабылдаса, онда дискретп кездейсок шаманын

математнкалык у м т деп

М (л )= £ ,,Лщ

косындысын айтады да М (х) аркылы белпнеледк Егер

i= I,2 ,...,n ,... болса онда дискрета кездейсок шаманын математнкалык

ум т

И * )= Х * .а -»я1М ыеал. Пуассон заны бойынша улест1р'|лген кездейсок

шаманын математнкалык у м т н табу. Аныктама бойынша

p(.r = v)=p = — Г^.ЯМ , к = 0,1,2... v ' “ ff!

«а со 11 Л-Х со* II аом (4 | у iP , =Ш Ш Ш Л г* М Ш Ш Ш М Ш ш ч ш Ш Ш Ш %— X V 1' • t. = Я, мупдисы

j 2 «о ти-II 1 =1 + я + — + ...=У/-^-

Сонымен, Пуассон бойынша улеспршген кездейсок шаманын

математнкалык у м т осы улест1ршдеп Я параметрше тек-

96

Кездейсок шаманын математикалык ум тн щ жуык мэш онын

мэндершщ арифметикалык ортасына тек болады,ягни

п

Математика yMirri механика тЫнде улест1р!мнщ орталы(центр

распределения) Дейда, ягни ауырлык нуктеа.

Расында Х|,Х7,.>.,Х„ нуктелёршщ массалары pi,p2,-.pn болса, онда беринген жуйёНщ ауырлык нуктеа

Щ Ш ,X = —--- , ̂ р. =1, соидыктаи

Х а - 1-1

X. = м(.т)

Сез сонында айтарымыз.Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математик; физик жэне

механик.

Математикалык умптщ касиетгерг:

1. Туракты шаманын математикалык у м т сол шаманьщ езже

тек.М(С)=С, Oconst.

Кездейсок шама тек кана С мэнж кабмлдайды да онын

ыкгималдыгы 6 ipre тек болады.2. Туракты кобейтк'шт математикалык ум1т танбасынын алдына

шыгаруга болады2

М(СХ)=€М(х), C=const.

Аныктама бойынша М(С'*)=Х(('.г, =>•1 *.1

97

3. Ек\ кездейсок шамалардьщ косындысынын (айырымыныц)

математикалык у м т сол шамалардьщ математикалык ум*ттеР*н*1̂

косындысына (айырымына) тек, ягни

M(.v ± v)= М(д*)± М (у )

Дэлелдеу: Узд*1КС13 кездейсок шамалар ушш дэлелденедь

1. E k i кездейсок шамалар тэуелсЬ болса олардьщ

кебейтжд!сшщ математикалык yMiTi кебейткiштердiн математикалык

ум1ттер*1нщ кебейтшд1С1Нде тен:

М(ху)=М(х/М/у)

Ушшшитерт’жий касиеттер1 п кездейсок шамалар уинн жалпылауга

болады.

3°. М(Х|+Хз+... xn)=M(x j )+М(х2)+.. .+М(хп)

4". м (х , X ,...Х „)= м (Х ,)м (Х 2)•...• м (х || мундагы Х ЬХ 2,...,Х П-

тэуелаз кездейсок шамалар.

14 Дискретт1 кездейсок шамалардьщ дисперсиясы жэне

онын касиеттер!

Кездейсок шаманын мзндер! онын математикалык ум тнен

ауыткитындыгы белгин. Mine,осы ауыткуды багалау ушш дисперсия

угымы енпзкледь

X кездейсок шамасынын дисперсиясын Д (Х ) танбасымен

белплейдь

Аныктама. X кездейсок шамасынын дисперсиясы деп сол

кездейсок шаманын математикалык ум тн ен ауыткыуынын

квадратынын математикалык у м т н айтады.

л(х)=м[х-м(х)]\ (1)

98

Математикалык ум!ттщ касиеттерш пайдаланып (1 ) формуланы

турленд1решк:

Л(х)=м[х-м(х)]-’ =м[х2 -2ХМ(Х)+М-(Х)]== м(хг)- 2М (Х ) м(х)+ м-(х)= м(х-)- м-(х)осыдан дисперсияны есептеуге колайлы формула шыгады

Л(х )= м (х-)-м-(х ) (2)

(3 ) формула былай окылады

Дисперсия дегешм13 кездейсок шаманын квадратыньщ

математикалык у м т мен сол кездейсок шаманын математикалык

у м тн щ квадратыньщ айырымы.

М ы сал. Пуассон зацы бойынша улеспрьпген кездейсок

шаманын дисперсиясын тап.

м(х) = я

((к -1)+1)Дк«О LT 2 к -■

й ш ш ( К - ! )

S (К - 2 ) + S (К - 1)J = ' Ш Ш М

Л(х)= м (х ')- М :(х)=Дг +Д-Д1 = Д;Д(Х)= Д.

Сонымеи Пуассон зады бойынша улеслчршген кездейсок

шаманын дисперсиясы да Л -га тек.

Дисперсия дегеж м Ь кездейсок шаманьщ математикалык ум тн е

Караганда* ы таралымы (шашырауы), бытырауы.

99

Механикалык угымда дисперсия кездейсок шаманын

инерциялык момешч (массанын таралымынын) егер математнкалык

yMirri массанын центр! деп алсак.

Дисперсия кездейсок шаманы ц квадратымен елшемдес.

Таралымныц кездейсок шамамен елшемдес болу ушш жаца угым

кездейсок шаманын орташа квадрат ауыткуы енпзшёди Ол

<>'(х)= V//(X), сигма X деп окылады.

Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп

атайды.

Tepic емес кездейсок шамалардын кездейсокгыгынын дэрежесш

аныктау ушш вариация коэффициент'1 аныкталады

in

ол орташа квадрат ауыткудын математнкалык ум1тке катынасы.

Енд1 дисперсияньщ касиеттерш карастырайык

* 1) Туракты шаманын дисперсиясы нелге тен

Д(С)=0

Расында, егер C=const болса онда (2) формула бойынша

Д(С)=М(С2)-М2(С)=С2-С2=02) Туракты кебейтюшт! дисперсия танбасыныц алдына

квадраттап шы ка руга болалы.

Шынында (2) формула бойынша

Л(сх)=м(сх)3 -м 2(сх)=с2м(х2)-с гмг(х)==с1[м(х1)-м 3(х)]=с2д(х),л(сх)=с2д(х)

3) Егер х пен у кездейсок шамалары тэуелиз болса онда

Д(\+у)=Д(х)+Д(у)

100

Дэлелдеу: (2) формулага математикалык ^ i p -щ касиеттерш

колданып кездейсок шамалардьщ тэуелаз,шпн ескерсек.

J (x + y)= m[(.v + .v)']-M :(jc + > )= м(.г’ + 2.гу + у 2)- [м(.г)+ M (i )]; 1 = М(дГ)+ 2м(д)м(г)+ м (г*)~ М'(.у)- 2М(д-)М(у)- М~(у)= Д(х)+ Д {у)С 'оиьщеиД{х + >’) = Д (д)+Я(у)

4) Д (v - у )- Д (v) + Д(у)

Дсяеадеу :

Д[х+{-1)] = Д(х) +Д(- у) = Д{х)+ (-1)2 Д(у) = Д(х) + Д{у)

EKi тэуедсш кездейсок шаманын айырымыньщ дисперсиясы сол

шамалардьщ дисперсиясыньщ косындысына гец.

Улкен сандар зацдары

Кездейсок факторлардьщ 6 ipirin эсер етушщ нэтижесшде

кездейсок емес кубылыстардьщ пайда болатындыгы эртурл1 сапаларда

кездесед]. Мупдай заадылыктар, атап айтканда кджеттшктщ

кездейсоктык аркылы келу1 ыктималдыктар теориясына тэн.

Тэж1рибеш шекс1з кеп журпзгенде окиганын пайда болу ж иш п

оньщ ыктималдыгынан тым аз айырмашылыкта болатындыгын бурын

да атап еткенбгз.

MiHe, бул улкен сандар заныныц 6ip KepiHici. Улкен сандар заны

деп кездейсок шамалардьщ арифметикалык ортасына тужырымдалатын георемаларды айтамыз

1867 жылы П.Л. Чебышевтьщ дэлелдеген теоремасы улкен

сандар зандарыньщ шпндеп ек жалпы Typi болды жэне онын жасап

кегкен Эд1а мупдай зацдарды api карай дамытуга жол ашты.

101

П.Л. Чсбыш сн Teuciiiiiri.

Кез келген X кездейсок шамасынын онын математикалык

у м т ней айырымынын абсолют шамалы он я)Осаиынаи Kiiui болу

ыктималдыгы I - — тан Kimi емес; ягниК"

pfl.r - Л'/(л-)|)(с) > 1 -

П.Л. Чебыш ев теоремасы. Егер тэуелс1з Х|,Х2,.-->*п кездейсок

шамаларынын туракты 6ip С санымен шектелген дисперсиялары бар

болса,онда кез келген £)Осаны ушш

х, + х2 + ..JT, М(х,)+ М (х2)+...+ М(дс„)l im p

Чебышев теоремасын дэлелдеу:

I * .Кездейсок шама у = —

Бул шаманын математикалык у м тя

Ь ,mv = М(у)= М /-1

Ал дисперсиясыяIX

л , = л м = л /= |

И ,.1 я

Берм ген у кездейсок щамасын Чебышев тецздздтн колдансак

онда

102

p|jv - m y[(£:)> I -€ '

Сонда бндщ карастырып огырган у шамасына тецаздж былай

жазылады:

(1) тенд'псге умтылганда ыктималдык бгрден артык

болмайтынын ескерсек, Чебышев теоремасыньщ уйгарысы шыгады.

Егер кездейсок шамалардыц дисперсиялары бар болса, онда

тэжгрибе саны ете улкен болса кездейсок шамалардын орта мэш

математикалык умггп беред1

Яков Бернулли тсоремасы.

Егер р эрб'ф тэж1рибе журпзгендсп А оки» асыныц иайда болу

ыктималдыгы жэне К кездейсок шама А окигасыньщ п рет тэж1рибс

журпзгендеп пайда болу саны болса, оида кез келгсн е)0саны ушш

I * . др fciп

(I)£■>0 шамасы кандай болмасын п саны шеказднске умтылганда

Яш *•I — -г oipre умтылалы. пе

103

Соиымси, Чебышев тсоремасындагы шарттар орындалганда

кездейсок шамаларлын арифметикалык ортаса мен олардын

математикалык умггтернпн арифметикалык ортасынын арасындагы

аПырмашылык кездейсок шамалар саны мсйлшше коп болганда “тым аз" болады екеи.

Ал Бернулли теоремасы тээюрибе журпзу шарты туракты болганда жиЫктщ орныкты болу ын керсетед!.

С.Д. Пуассон теоремасы. Егер 6ip-6ipiHe тэуелЫз п рет

гэж1рибе жургЫлсе, онда А окигасынын пайда болуынын жиш л, онын пайда болу ыктималдыгынын орта мэн'же умтылалы.

1907 жылы Чебышевтын теоремасын тэуелд! тэж!рибелер ушш А.А.Марков дэлелдель

А.А.Марков теоремасы Егер х|,х2,...хп кездейсок взара тэуелд! шамалар Cepijice жэне п-+ со

Д IX ,— -->0,>0, онда

1 хг-*Долелдсу: у=—1 х , шамасын карастырайык ондая ПТ

” » п L*-i. Яков Бернуллидщ бул теоремасы 1713 жылы жарияланды.

Y шамасына Чебышев тенсГзд!ПН колдансак онда

Теоремаиын шарты бойынша л-»а> умтылганда* Д)' -»0, сондыктан

104

Л!' —» О. сондыктан

р|у — м У'| > е}-»0. егер я -»<»

немесе, kepi окига уипн - МУ| >£•}-» 1. п

двлелдейтш1М13де осы.

Себеб»: Р^К- МУ|>е}+ р|к - М(к](<е}=1

А.Я.Хинчин теоремасы. ( 1929 жылы)

Егер езара тэуелаз ете кеп мелшерде таж^рибе жургЫлсе, онда

тэвдрибемен алынган кездейсок шаманын орта м ат онын

математикалык уш тш беред! (математикалык у м т бар болса).

Бул теореманы фнзикалык шамаларды елшеу тэжзрибеамен

дэлелдеуге, кез жетмзуге болады.

Улкен сандар зацдылыктарынын о\мрдеп мацызы ете куигп.

Есептеу математикасындагы Монте-Карло эд!сшщ непз! осы улкен

сандар зандылыгын пайдаланган.

Казакстан математикасында ыктималдыктар теориясымен К.П.

Персидский айналыскан. Онын кептеген полыми макалары П.Л.

Чебышев жэне А.А.Марков теоремалары туралы; К.П. Персидскийге

1934 жылы улкен сандар зандылыгын жене шеютк теоремалар женшдеп жацалыктары ушш профессор атагы бершди Жалпы ыктималдыктар теориясынан ол он терт гылыми макала жариялады.

Ыктималдыктар теориясымен академик К.П. Персидский мен

катар кезшде б|здерге устаздык еткен Бегалы Седуакас улы

Жанбырбаевта айналысып, кеп жылдык едбепнщ ж ем т ретшде

“ Ыктималдыктар теориясы жэне математикалык статистика

элементтерГ’ деген оку куралын жазды.

Ол 1988 жылы Алмагыдагы "Мектеп ’’-баспасынан 2550 дана

болып басылын шыкты.

105

15 Квадратгык ауытку

Лныктама. X кездейсок шамасынын дисперсиясынын квадрат

туб!рш осы кездейсок шаманын квадратгык ауыткуы деп атайды.

Квадраттык ауыткуды былай белгшейдк

3 (х )= ^ Ш

Ескерту: Бернулли заны бойынша улескен кездейсок шаманын

математикалыкМ(.т)=лр,

ал дисперсиясы Д(х)=прч,

Сон да орташа квадраттык ауыткуы

S(x) = Jnpq-,

Аныктама: Егер X кездейсок шамасы 0,1,2,...п мэндерш кабылдаса, бул мэндерд1 кабылдау ыктималдыктарды Р(.т = п) = q"р у мундагы p)0,p + q = l

болса, онда кездейсок шаманы геометриялык улест1р1м занына багынады дейд!.

Аныктама: Егер X кездейсок шамасы 0,1,...,п мэндерш кабылдаса жэне бул мэндерд! кабылдау ыктималдыктары

С 'С К~ГР(.т = г) = " tw~* , мундагы

0< r< min(»i,A:) болса, онда X кездейсок шамасын гепергеометриялык

улеспр1м занына багынады дейд1. Аныктама бойынша, ynecTipiM

KecTeci берЫген кездейсок шаманы толык аныкталган деп атайды.

106

Ч т , к , р ) = С ^ 1 2( 1 - р Г ' р 1

Ыктималдыгы осы формуламен аныкталган кездейсок шама

Паскаль улесткр!м1мен бершген дейдь Геометриялык улесТ1Р*м

Паскаль улестр1м’ш!ц жске жагдай ы, ягни /С=1 болганда

геометриялык улеспр1мд] аламыз.

16 Теориялык моменттер

Кездейсок шаманын K-perri бает ап кы момент! дегешм’и мына

формуламен аныкталады:

v K = м (х г )1^-ню

Bipiniui perri (алгашкы) бастанкы момент ух = М(Х)

математикалык yMirri аныктайды:

Кездейсок шаманын k perri орталык момент! дегешмгз келеа

формуламен аныкталады:

р К =М [Х-М (Х)]г,//-мю

Hipiniui perri орталык момент нолге тен

/у, = М[Х - М(Х)]= М (Х)- м[м(х)1= М (Х)- М(Х)=0

Ал екщий perri орталык момент

//2 = М[Х - М (Х)]2 = Д (Х) диснерсияны бередь

107

//, = м[х - М(х)]! = Д(Х) дисперсия нм бередь

Енд1 ортаяык моменттерд1 бастапкы моментгер аркылы ериектежк:

//,■= Д {\ ) = м (х : )- М 2(X ) = V, - v; ;

fJ, =v2иУ = м[х-м(х)]' = м[х:* -ЗХ2М(Х)+ЗХМ2(Х)-М’(Х)]== м(х,)-зм(х2)м(х)+зм(х)м2(х)-м:'(х)== V, - 31/,V, + 2vf,//, = и, - 3v,Иг + 2v,’//4 =М[Х-М(Х)]4 =М[Х4-4Х,М(Х)+6Х2М2(Х)-4ХМ,(Х)+М4(Х)]== м{х4)-4м(х,)м(х)+бм(х2)м2(х)-4м(х)м5(х)+ М4(Х) == v4 - 4к, + 6и2 v, - 3i/j*,V , = v 4- 4i/, i/j + 6jf | | - 3|Ц .

Аныктама: YluiHijji perri орталык моментпн стандарттыц кубына катыиасын асимментриянын коэффициент! дейд!. Оны Sk деп белплейд1 (SKEW -агылшынша кисык, кигаш, орысша-косой)

Стандарт-орташа квадрат ауытку.

<0

0 хfi(x)-OH асимметрия, 5(>0

fi(x)-Tepic асимметрия, 5, <0

108

Аны ктам а. TepTiHLui perri орталык моменттщ стандарттын

тертшкш дережесше катынасынан \шт\ шегерсек кездейсок шаманын

(таралымынын) Y^ecTipiiiiMiHiH эксцесс! шыгады.

Кальшты улеспр1мшн эксцесс! нелге тен. Егер эксцесс он болса,

онда оган сэйкес кисыктын тебес! cyftip, ал эксцесс Tepic болса оган

сэйкес Y^ecripiMHiH кисыгыньщ тебес! жал пак (тайпактау) болады.

17 Улест1р1м фукциясы

Аны ктам а: X кездейсок шамасынын улест*Р*м функциясы F(x)

деп Х<л'тецс13Д1П орындалу ыктималдыгын айтады.

F(x)=P(X<x)

Дискретп X кездейсок шамасы ушш

109

/•'(.v)= P(X(.v)= £ P (.Ч..Х

Мунда™ X|,X:......xn- кездейсок X шамасынын кабылдайтын

MOHflepi, p i,p ;,...,pn -сол мэндерд1 кабылдау ыктималдыктары,ал

косынды Х,(Х TeHci3flirine сэйкес барлык Р,. сандары бойынша

алынады. Улест1р1м функциясы дискретп жэне узД*кс*э кездейсок

шамапарга да катысты болады.

Айталык X дискретп кездейсок шама улеспр1м Kecxeci аркылы

бершген болсын

X 0 1 3 3,5

р 0,1 0,4 0,2 0,3

Х-т1н улест1р1м функциясын табыцыз.

llleiuyi: Ол ушш аныктаманы пайдаланамыз.

Кестеден байкаганымыздай х{0 болса, онда х-тщ кабылдайтын

мумкш мэндер1 жок.

Ал 0 < .г<1 болганда х-тщ кабылдайтын 6ip M9Hi бар, ол нвл, енд|

1 <д(3болса, х-тщ кабылдайтын ею мэш бар, ол 0; 1;

Енд1 3 < .г(3,5 болса, онда х-тщ уш мэш бар, ол 0,1,3; акырында

д-)3,5 болса, онда х озгнщ барлык мумкш мэндерш кабылдайды ол-

0,1,3,3,5;

Енд! аныктаманы тусшд1решк. Жогарыда айтканымыздай

,г(0болса,онда ecenriR шарты, бойынша 0-саныньщ солжагында

бершген кездейсок шаманьщ eui6ip мумкш мэн! жок, ягни кездейсок

110

шаманын езш щ мумкш мэндершщ 6ipeyiH кабылдауын окига екешн

ескерсек, онда онын 0-санынын сол жагынан мен кабылдауы мумкш

емес окига, олай болса

F { x ) = Р(.г(0)=0Енд1 v<l болса, онда 1-саныныц сол жагьшда

есептщ шарты бойынша кездейсок шаманын 6ip мэш бар, ол 0,1-саны.

Олай болса

F ( x ) = P ( x < l ) = 0 , l

Сол сиякты х(3 болганда, 3-санынын сол жагында кездейсок

шаманын ею мэш бар. Ол осы мендердщ 6ipeyin кабылдауы мумкш,

ягни ею окиганын 6ipeyi лайда болады дегешм1з. Сондай-ак бул exi

окига уйлес1мс!3, сондыктан уйлеЫмс^з окигалардын косындысыныц

ыктималыгы туралы теореманы пайдаланып

F(x) = Р(х<3) = Р(х = О) + Р(х = 1)=ОЛ + 0,41 0.5

Осы жолмен х<3,5 болганда жене х)3,5болгандагы Ё(х) тщ

мэндерш есептеуге болады.

Сонымен корытындысында

0, егер х(0 OiL.erepO < х(10,5, егер I < х ( 3

0.7, егер 3 < х<3,51,егерх 2 3,5

Енд! F(x) функциясыиын сулбесш тур

111

1-сулбе

Табылган ynecripiM функциясын интегралдык улес-ripiM

функциясы дейд!, ол дискретп жэне узднкйз кездейсок шамаларга

катысты болады.

Енд1 интегралдык ynecripiM функциясыньщ касиеттерш

керсетешк:

1) улест!р1 М функциясы F(x) функциясы оц, шектелген функция

0< F(X)<1, ce6e6i ол ыктималдыкты керсётёд!

Онын графип (сулбеа) у=0, у=! тузулершщ арасында

орнапаскан;

2) ynecTipiM функциясы кем1мейтш функция, ягни

Х,(Х,болганда f (X ,)s ^(Х^болады.

112

Шынында да Х(/?окигасын Х(« жоне а < Х ( р окигасынын.

косындысы деп карастырута болады, сондыктан ыктималдыктарды

косу теоремасы бойынша

Р(Х</?) = Р(Х(ог)+ Р(аг< Х(/?)болып, осыдан

? (а < Х (0 )= Р { Х ( /3 ) -Р { Х (а )

Р{a<X{p)=F(j3)-F[a)

тецпйпн аламыз. Ал бул тенд1кт1 (Х^Хп) аралырына колдансак.

P (X ,< X < X ,)= F (X : ) - F ( X , )

бул тещиктщ сол жагы он сан Р(Х, < Х(Х,)>0, демек

F(X 2) - F(X,) > 0. ягниF(X l ) < F ( X 1)

I Егер X кездейсок шамасынын кабылдайтын мэндер1 тек (а,Ь)

аралыгында болса Х<о мондершде F(x)=0 жэне Х)Ь мендержде F(x)=l

болады.

Жалпы жагдайда /?(-»)=: о, F(+oo) ^ \ болады деп есептелшедь

Дискретп кездейсок шаманын улеспрдм функциясыньщ сулбес!

сатылы баспалдакты ( I-сулбе) болса, уздгке^з кездейсок шаманын

улеспрш функциясынын сулбесшщ жалпы Typi 2-сулбеде

керсетшген.

2 Улеспр1М функциясы сол жагынан узд!кс!з функция.

113

F(x)

2-сулбе

2-сулбе узд!кЫз кездейсок ш ам аны н интегралды к ynecripiM

ф ункциясы ны н кисы гы н беГшелейд1

18 YnecTipiM ты гы зд ы гы

Егер Х-уздшс1з кездейсок ш амасынын улестГрш функциясы F(x)

болса, онда

P(.v<X<.r + Ах) = F(x + Дг) - F(x)

т е н д т н аламыз.

Аныктама. X кездейсок ш амасыныц ynecripiM тыгыздакы fi(x)

деп ynecripiM F(x) функциясы ны н туындысын айтады.

114

P(.v(X(.r + Дг) _ . F(x + Ax) _ F,t \ Щ1 i-------r------- - l i m — Ш— = F W “ /W.nm-----m---- -nm ЛгЛХ-Ц) Ш ДХ—*0 Дл

ягни улестФ'м тыгыздыгы улестф!м функциясынын

туындысына тен

/(*)=>'(*)

YjiecripiM тыгыздыгынын мынандай касиеттер1 бар:

1) улестФ'м тыгыздыгы Tepic емес функция, ce6e6i ол

кем1мейт!Н F(x) функциясынын туындысына тец f ( x ) = F ' { х)>0\

2) ynecripiM функциясы ynecripiM тыгыздыгы аркылы былай

ернектелёд1

F (* )= J /(x )rfx

шындыгында \(x)dx = JF(x) болгандыктан

J f{x)dx = |^F(x) = = F (x)-F(- “ ) = F(x), мундагы

F ( - o o ) = 0 .

YflecTipiM функциясы F(x) ynecripiM тыгыздыгы функциясы f(x)r

Tin сулб.еанде штрихталган аудан аркылы ернектеледь

IIS

F(x)

YjiecripiM тьныздыгын кездейсок шаманьщ дифференциалдык

функциясы деп те атайды

Ce6e6i, /(x)=F '(x):

1. Кездейсок шаманын ynecripiM тырыздыры f(x) болса ондаЬ

Р(я^Х <Ь)= |/(дг)Л

Шынында,Ь а

Р(aSX(ft)=F(fc)-F(fl)= J/(jc)dLtr- \f(x )d x =

-о т Ь h

= f/(.r)t/.t+ J f{x)dx= ^/(х)с1х,баскаша,il -• II

h\f{x )dx = F{b)- F{a).

2. YneciipiM гмгыздыгы унпн

116

]/(лг)</л = I.

ягни OX ecitneH жэне улеспр|м тыгыздыгы y=t(x) кисыгымен

шектелген фигуранын ауданы 6ipre тен болады.

Мысал. Кездейсок X шамасынын улест1р1м тыгыздыгы

. . (us in t.O < х(я

бершген

1. белгдеГз а коэффициенгпк табу керек

2. ynectipiM тыгыздыгынын супбесщ сызу керек

3. кездейсок X шамасынын 0;—4

арапыгына тусу

ыктималдыгын аныктау керек.«а в

Шешу: 1) |/(дг)«£с = 1 тендеушен jusin u/i = i.

Осы дан - a(cos я - cos 0)=1 12а = 1, а = —о

2. у = —sin jc функциясыиын сулбесш саламыз

117

о Д4

аралыгына тусу ыктималдыгын табамыз.

»0 “ 2 {2 J 2 2 \ /

У зд’1кс1з кездейсок ш ам алардьщ м атем атикалы к у м т мен

дисперсиясы .

Е гер (-оо,оо)аралыгынан м эн кабы лдайты н X уЗД1КС13 кездейсок

ш ам аны н ynecTipiM ты гы зды гы f(x) болса, онда бул кездейсок

ш аманы н м атем атикалы к у м т деп

М(х)= jxf(x)dx

аб со л ю тп ж инакты менгшкс^з интеграпы н айтады.

Ал X кездейсок ш амасы [а,б] интервал м эндерш гана

кабы лдайты н болса м атем атикалы к умгг

ьМ(х)= jxf(x)dx

а

и н тегр ал ы м ен ай ы к ты л ад ы .

УзджЫз X кездейсок ш амасы ны н дисперсиясы аны ктам а

бойынш а

Д ( х ) = м[.т — М(.т)]2

ф ормуласымен аны кталаты н болганды ктан, х е ( - оо;+о°) мзндер1 уш ш

118

Л (.г)= J[ .r-M (.v ))’ /( .vU v

Менш1кс1з интегралы аркылы есептеледг Орташа квадратгыц

ауыткуы

S{x) = у[Щх) ф ормуласы мен табылады.

Ал X кездейсок шамалы (а,Ь) интервал мэндерш кабылдаса

дисперсия

интегралымен есептеледь

Кеп жагдайда дисперсия мына формула аркылы аныкталады:

19 Юркалыпты улест!р1м заны

А н ы к та м а . Егер X уЗДДОЯЗ кездейсок шамасы [а,ь] интервал мандерш

кабылдап жене онын улеепргм тыгыздыгы

О. егер,х{а

0,'егер,х>Ь

т е н д т аркылы аныкталса, онда X кездейсок шамасы бйркалыпты

ynecripiM згщымен бершген деп атайды.

/(х )= ------ ,егер,a £ х(ЬЬ - и

119

f(x)

1-сулбе

YjiecTipiM тыгыздыгы жене ОХ еспмен шектелген фигураньщ

ауданы 6ipre тен болатыны белпль

dx 1j b - a b — a 'a

Енд! ynecripiM функциясын аныктайык:

dx _ x b - a b - a

x _ x - a a b - a

120

х{а болганда F(x)=0, ал v)/> бол ганда F(x)=l.

Сонымен ynecripiM функциясы келес! тендж пен аныкталады:

О, егер, х (с/ х - а| ------ , егер. а < х(ЬЬ - а\,егерхх > Ь

Сонымен, [а.ь\ аралыгында б>ркалыпты орналаскан кездейсок

шаманын математикалык у м т осы аралыктын дел оргасына тец.

F(x)

F(x)=l

1 —

1О а b х

2-сулбе

М атематикалык уштп табайык:

M(r)= JX dx _ I X1 ь b — a b - а 2 “

121

Дисперсияны аныктайык:

Щ j V 1 хЬ - а 3

(а + Ь )2 b ' - a ' а 1 +Ь2а + Ь* _4 ( b - a f 4

/>' + ah + « 2 и' + 2oh + b’ (/; - (/)—з 4 12

л и - ^ а д . ^ .

Егер (а,/?)с(я;Ь) орындапса, онда бфкалыпты уле<гпр1М зацына

багынатын X кездейсок шамасынын (яг* р ) интервалдагы мэндер/и

кабылдау ыктималдыгы

Н а (х (.Р)= f i ~ ~ = т ~ ~• b - а о — а

тенд1пмен аныктал ып, х - а , х = /?тузулер1мен шектелген

тертбурыштын ауданын бередь

( l -сулбедеп штрихтапган аудан)

20 Керсетк1шт1к улест1р1м зацы

Аныктама. Егер X кездейсок шамасынын улестр!м тыгыздыгы

/ ( х) = ^ * * ' егеР* - 10, егерх < 0

тендш аркылы аныкталса, онда X кездейсок шамасы керсетюнгпк

улеспр1м занымен бершген деп атайды.

YnecripiM функциясын табатын бол сак

F(x)= = =

сонымещ

\ - е *,егерх >0.

122

M(.v)= J.v(/)<iv= JjrX t'a dx= бвл!кте[1 интегралдаймыз

Ёыд1 математикалык у м т н есеп тетк :

U=x, du=dx

dV =е~лхе1х,У = — - ! е 'л 1 = ЛЛ

— е ■ хл ;+4- \е

“ М - д

Дисперсияиы есептеу уиии М (х') мэнш табамыз

_ и = x 'd u = 2j(dx

dV = e~a dx,V ~ - —еЛ

[ - - е-а -хг•* >

о +2- — \хе~**(1х1 л 0 j

2_л-

Дисперсияныц мэнш Д(х)=М(х )-М'(х)

сссптесек

Д(* 2 1 I Л1 Л1 ~ Л2 ’

Будан корсеткiцгпк улеспр1М заны уилн

3(х)= ^д(х) =—,

соидыктан

М(х) =£(*) = j

2 1 Гаусс улеспр1М зацы

Аныктама. Егер ыктималдык тыгыздыгы (-

келеЫ функция аркылы аныкталса

формуласымен

>; «>) арал ыгын да

123

f №S-Jlrr

узд(КС1Х X кездейсок шамасы Гаусс немесе калыпты y n e c rip iM

заны бойынша у л е с п р ш г е н деп аталады.

б ,а - к а л ы п т ы y n ec rip iM з а н ы н ы н п а р а м ,е т р л е р й Гаусс за н ы X

кездейсок ш а м а с ы к е п ф а к т о р л а р г а т э у е л д ! б о л г а н ж агдайда

колданылады.

Гаусс заны бойынша улескен кездейсок шаманын

математикалык у м т н табайык

х - а6 4 2

dx = S 4 ld tМ(.х)= | x f(x )d x = - £ j = jx e 2f‘ dx =

м±нда

Je' dt = 4 k , «— Пуассон ннтегралы

ал, \te~r d t = — e”'11*” = o| = -= • ■ 4 Л = а.сондыктанМ (x ) = a J 2 ) ! V/r

Гаусс заны бойынша улеспршген кездейсок шаманын

математикалык у м т осы улеспр1мнщ аныктамасына катысты а

параметрше тен болады.

Енд1 Гаусс заны бойы нш а у л е с п 'р щ г ^ н кездейсок ш аманын

дисперсиясын аныкгайык.

124

J(x)= jl-T - М(л )]' f(x)dx = j(.v - </)■ lLx'

x - a <.— j=r = i. деп оелплесекs4 iidx = S-Jldi.x — a — S-j2t

IS J r e 'r dtоолисгеи интегралдаимьп u = t.dy = dt

dV = t e dt.V = — e"12

-- te 4 ^,+ je 'U t1 —

4 = - j i = s s•Jxf j g

Сонымен,

Д(х) = <У2.

Жогарыдагы аныктамадагы f(x) функциясыиын а параметр!

математикалык умптц параметр! дисперсияны, S -орташа

квадраттык ауыткуды корсетед!.

Ыктималдык тыгыздыгыныц суябес! I аусс кисыгы деп

аталынады. Гаусс кисыгыиыц келеЫ касиеттерж атап етешк.

1. Гаусс кисыгы х=а ту чу i не Караганда симметриялы

орнапаскан.2. х=а нуктесшде функциянын экстремумы, ягни

/ ™ » = -S-Jlir

3. у=0, ягни х oci кисыкгын горизонталь (жатык) асимптотасы.

4. S = const болганда, ал М(х) = а мэншщ взгеру! Гаусс

кисыгыиыц сулбесшщ X есше Караганда параллель жылжуын

керсетедй5. M(.v)= а = const болганда 3 мэншщ езгеру! Гаусс кисыгыиыц

туршщ взгеруше эсер етед1, ягни функцияныц максимум мвнше

ойыстык,Двцест1к интервалына 03repic ецпзедь

125

f(x)

22 “ Уш сигма” ережес!

Егер ыктимал тыгыздыгы f(x) функциясы аркылы бершсе,

а(х(Р тенс1з д т н щ ыктималдыгы

1Р(а{Х{(3)= J/(.г У* формуласымен аныкталады.

Ал Гаусс YJiecTipiM заны бойынша бершген X узД1КС13 кездейсок

шамасы уш*н

126

X — и __ft

Р[а{Х(Р) = —j = Щ -1 </.v 1 <£v | ал

J

I * *•мундагы Ф(х) = = = ft 2 </; - Лаплас функциясы.

V2t J

Аныктама VbjofiRgM X шамасынын модасы M0(x) дегешм!3

yjiecTipiM тыгыздыгыныц максимумы.

УздцсЙз кездейсок X шамасынын медианасы мына тенд!кпен

аныкталады:

Р[х<МДх)]= Р[лг>М..(дг)}.

ягни егер х кездейсок шамасынын улестФ*м тыгыздыгы f^x) болса,

онда

YfletrripiM кисыгымен шектелген аудан тен ею белжке белшед!.

х

X,

Егер

онда кездейсок шама х-тщ

|х - i\(a аралыгында жату ыктималдыгы

Осы тенД1Ктен мына твмендпчдей ыктималдыктар шыгады.

1. ф-«|)(<У = 2Ф(1) = 0,6826

127

2. Pfv - £/|(2<У)= 2Ф(2) = 0.9544

3. pQ.r - «|<3j)= 2Ф(3)0.9973

Ереже. Егер х- кездейсок шамгфы Гаусс занымен улеспршген

болса, онда кездейсок шаманын математикалык умггтен ауытккуыныи

абсолют шамасы уш еселенген орта квадрат аумткудан К1ш1 болады.

KepiciHiue тужырымда орынды:

Кездейсок шаманыц математикалык у м т н е н ауыткуынын

абсолют шамасы уш еселенген орта квадрат ауыткудан Kiuii болганда

ыктималдык 6ipre жакын мэн кабылдаса ол кездейсок шама Гаусс

зацымен улеспршген болады. Бул тужырымды “уш сигма” ережеа

деп атайды.

“Уш сигма” ережесшщ ем!рде колданылуы ете кеп,

практикалык мацызы зор.

ЕК1НШ1ТАРАУ

МАТЕМАТИКАЛЫК СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕР1

ТАНДАМАЛАР УЛЕСТ1РУ1НЩ ЭМПИРИКАЛЬЩ ФУНКЦИЯСЫ

Ыктималдыктар теориясы аркылы есептелшген кездесок

шамалардьщ сипатгамаларын (кездейсок шаманыц орта мэш

математикалык у м т , дисперсиясы, MOMemrepi мода,медиана,т,с,с,

тэийрибе аркылы да жуыктап есептеуге болады. Кездейсок

шамалардьщ арасындагы ертурл! байланысты ягни корреляцияны

аныктаудыц эд1сш математикалык статистика дейдк

Тэж1рибе журпзуий экспериментатор 6ip шаманы елшей

отырып Х|,Х2,...ХП мэндерш алган болсын дешк. Ол шаманы бакылау,

елшеу шарттары езгермей калып, 6ip тэж^рибеде екшнпсше кешу 6ip-

6i pi не теуелсЬ болсын. Олшеу нэтижесмще шексп кеп факторлар

эсер ететж болгандыктан бакыланган нэтижелер эртурл! кездейсок

128

мондер кабылдайды. 0лшенетш барлык N буйымнын мэнДер

жнынтыгын бас /генеральная/ жинак (жиынтык) деГцц, ал олардын

цшндеп п мэндер жиыны («</У)тандама курады Xi,X2, . . .x n

тандамасындагы п саны тандама колем! деп аталады.

Егер кестенщ 6ipiним жолында тэж^рибеищ peri /номера ал

eKinuii жолында кездейслк X шамасынын олшенген мэш кэрсетшсе ол

кестеш статистикалык катар деп атайды.

Егер кестенщ 6iptHUii жолында X кездесок шамасынын

тандамасы есу тэрпб1мен орналасса.ал екшш! жолы сол мандердщ

неше рет кайталануы немесе оныц ж иш пн керсететш болса, онда

ондай кестен1 вариациялык катар деп атайды. Олшенетш X шамасын

вариация деп атайды (2.1-кесте).К

п, жишктершщ косындысы тэж!рибе санына тец, ягни У л, = л

X

вариация

х , Х2 х к

п, П| п2 Пк

(2.1-кесте)

Бул кесте тацдаманьщ келеш п болатын жиинктщ ynecripiM

корсетедь

Салыстармалы Жишк деп жишетщ тандама келешне

катынасын айтады. Салысгырмалы жнннктщ y n ec rip iM i 3.2-кесте

W, = 4 L;аркылы жазылады. Ондагы " „

^ п

129

X вариация X, X, Хк

W|caлыcтыpмaлы

жиинк

П|/П П’/П пк/п

(2.2-кесте)

Барлык тэларибе саны п (тандама келем1) ,ал п, кездейсок

шама х-тщ х-тен Kiuii болатын мэндер саны болсын.

Аныктама. Улеспр1мнщ эмпериалык функциясы ^ (-т)мь,на

тенд1кпен аныктапады:

/=■;(*)=— wп

Ягни, Y^ecTipiMHiH эмперикалык функциясы Х(х окигасыныц

салыстырмалы ж и ш п н керсетеди

X кездейсок шамасыныц улестФ 'м Е (х) функциясын ол

шаманыц теориялык ynetrripiM функциясы дейдк

Улест1р1мнщ теориялык F(x) фунуциясы Х<х окигасыныц

ыктималдыгын керсетсе, улеспр1мнщ эмперикалык F„ (х) функциясы

Х<х окигасыныц салыстырмалы жишггщ керсетедь

Улеспр!мнщ эмперикалык функциясы F„ -T in келес! Kacnerrepi

болады:

1 F ’(x) функциясы 0 мен I аралыгындагы мэндёрда

кабылдайды,себеб1 0 < m < п .

2° f (‘(.r)-KeMiMeHTiH функция, ce6e6i X арткан сайын пх м а т

кем1мейд1,

3 Егер X) кездейсок X шамасыныц ец Kiuii Мён! болса, онда

х(х,ушш f„’(.v)=0, ал хк ец улкен меш болса, онда х)хкмандерн yuiiH

/r„'W =l-

130

Мысал. Тандаманын улестФ|М| бойынша эмперикалык

функцияны табу керек.

LLleuiyi. Тацдаманын колем!

/1 = ̂ / 1, =12 + 18 + 30 = 60./!/ формула

бойынша

0. егер х £ 4

• = 0,2, егер 4<х < 6;

х вариация * 6 10

П|=>1СИ1Л1К 12 18 30

60 12+18

60l.erep х)10

= 0.5, егер 6(х И 10

1

0,5

0,2

О 4 6 10

1-су рет

131

Бул мысалдагы эмперикалык функцияиын графйп 1-суретте

керсетЫген.

Ж йм иш н жене салыстырмалы жшйктщ полигоны деп (Х|,П|),(Х2

,п: )...... ),(хк ,пк) жене (X |,w j)ptkwk) нуктелерш косканда шыгатын

сынык сызыкты айтады.

Б^рнеше топпен олардын жиЫ ктершщ ара катынасын куратын

статистикалык жинактын графйп гистограмма деп атайды.

Гистограмманы салу ушш абцисса есше бершген топтарга

сейкес интервалдарды орналастырып, ордината eciHe эр интервал

iuiiHfleri елшенетш шама мендершщ салыстырмалы жшлЫ нщ

интервал узындыгына катынасын салады. Сонда гистограмманын

ауданы 6ipre тен болады.

Мысал . Ара кашыктыкты есептейтш куралмен 100 рет

есептегенде ж1бершетш кателердщ статистикалык жинагы келеа

кесте аркылы бершген

Топтар -20;-15

-15;-10

-Ю;-5

-5;0

0;5

5;10

10;15

15;20

Кагелер саны

(ЖиЫк) Пк

2 8 17 24 26 13 6 4

" М 9

1

II '

9 II 5

Салыстырмалы

жишж W|,

0,02 0,08 0,17 0,24 0,2

6

0,1

3

0,0

6

0,0

4

м * II

132

Wk

Бул статистикалык жинакка сэйкес келетж гистограмма 2-

с у р еп е керсетшген. O X eciu e топтар орналасмп, ал ордината есш е

салыстырмалы жишктердхн гоп у !мнлыгына катынастары солынган.

Топтар узындыгы lv=5.

Егер гистограмма нуктелер|и у ш к с Ь кисыкпсн коссак, онда

шыгатын график X кездейсок шамасынын ыктималдык

тыгыздыгмиын жуыкталган графи пн беред|.

133

2.СТЛТИСТИКАЛЫК УЛЕСТ1Р1МН1Ц САНДЫК СИ ПАТТА МАЛ АРЫ

блш енетж шамага сейкес статисгикалык катар бершсш.

Статистикалык /эмперикалык немесе танламалык/ орта деп

пУ х ,

X = = J2I— = м(х) /1/п п

тен д т м ен , статистикалык дисперсия деп

2 > ;D '(X ) = —------------- -------------- ( k f /2/

п п

тещцпмен аныкталатын шамаларды айтады.

Егер елшенетш X шамасынын мэндер! кайталанатын болып

келсе, ягни 3-кесте бершсе, онда /1 / жене 121 формулалар сейкес мына

турде жазылады.

Жшйх = —-------- = м(х) /4/

п

X Х| Х2 . . . Хк

п П1 Пг . . . nk

(3-кесте)

к

D*(x)=—--------- У | /5/п

Статистикалык жинак /топ/ аркылы статистикалык орта мен

дисперсияны топтардын арифметикалык ортасы бойынша есептейдь

Кезгелген peTTi статистикалык бастапкы жене орталык

моменттер келеад формулалармен аныкталады:

134

mK = M ’(x-K )= —-----, /6/n

[ 1 E f c - i Fp* ]= —— -------- m

k=l болганда бастапкы момент деп отырганымыз-

статистикалык органын ез1. к=2 болганда 111 формуладан

статистикалык дисперсияны аламыз:

- ЯD*(x) = —----------- ,

п

О дан статистикалык квадраттык ауытку

<?(*) = J - Z ( xi - * ¥ = J D ‘ (x) /8/V п j=i

Кейде, статистикалык вндеу мэселелершде вариация

коэффициент! деп аталатын V сипагтамасы еипзшед! де ол келеЫ

формуламен есептелед!.

S 'V = - f l O O %

х

Егер X аркылы елшенетш шаманьщ барлык мэндершщ

статистикалык ортасын, ал х аркылы тацдаманыц статистикалык

ортасын белплесек, онда

Д = Х - х

айырымын репрезентативтшк катеа деп атайды.

З.СТАТИСТИКАЛЫК ОРТЛИЫЦ ОР11Ы КТЫ Лыкы

Бершген X кездейсок шамасына байланысты ЖургЫлген

тэяарибе нэтижес) х|,х?,...,хп тацдамасын 6epcin. Онын

математикалык YM<T' М(х) ушш бага есебшде статистикалык орта .v-ri

135

кабылдайды, ал диспресиясы D(x) ушш бага есебшде статистикалык

дисперсия D'(X) алынады.

багасын М(0*)= 0 Te»wiri орындалганда ыгыстырылмаган 6aFa дейдк

Сонымен бага ыгыстырылмаган болу ушш баганын математикалык

yMiTi багаланатын шаманын езше тен болуы керек.

Математикалык ум^тгщ касиеттерш пайдаланып турленд1рулер

жург1зсек

ягни м(х)=/лх,демек статистикалык /эмперикалык/ х ортасы

математикалык т х у м т упин ыгыстырылмаган бага болады.

Енд| статистикалык /эмперикалык/ 8 \ дисперсиясын тексерешк.

Алдымен б^ркатар турлещйрулер журпзейж,

Дисперсиясынын касиет1 бойынша ол координаталар бас

нуктесш калай алганга байланыссыз. Bi3 осындай нукте есебшде mx-Ti

аламыз.

<Ух-тщ математикалык у м т н карастырайык-

0 параметршщ xi,xi,...xn тандамасы бойынша алынган 0

v

тенд1ктерш ескерсек мынау келш шытды:

м(г2)=— s-п

Сонымен, бул тещцк бойынша статистикапык Щ дисперсия S '

уипн ыгыстырылмаган 6aFa бола алмайды: n-ге сэйкес — ыгысу барп

болады.

Е вд мынадай бага куралык:

х] =— 61 /1/* п — 1

ОсыЗ1 баеасыньк математикалык Тмтн табайык:

м( 6* j = = М(<У; )= 52

Сондыктан да S 2 дисперсия ушш статистикалык багасы

ыгыстырылмаган бага болады. Mine, солай болгандыктан кейбф

окулыктарда статистикалык дисперсия ушш /1/ тенд!кпен аныкталган

шаманы кабылдайды. Егер е кез келген он сан болганда

limP(|0 0|<е)=1

шарты орындалатын болса, онда 0 парамегршщ статистикалык

0 багасы орныкты деп аталады.

Бул параграфтап>1 статистикалык багалауларды нуктел1к

багалар деп атайды.

4.ИНТЕРВАЛДЫК BAFAJIAy0 параметрш багалау ушш ыгыспайтыи 0 багасы аныкталсын.

Алдын ала р ыктималдыгы бершсш дешк. Осындай шарттар

о рынд ал ганда

Р(|0-0|<е)= Р /1/

Немесе

137

P(0*-e<0<0’+e)=P ш

Тещцпн канагаттандыратындай c>0 санын табайык. Бул

тещцктер б елп аз 0 параметршщ мэн! < ̂= {в‘ - е . в ‘ +е) интервалында

жату ыктималдыгы р-га тек екенщ керсетеде.

ср интервалы 0* кездейсок нуктеан р-га тен ыктималдыкпен

жабады.( .= ( в ' - е , в ' +е) интервалын сешмдшк интервалы деп, р

ыктималдыгын сешмдйнк ыктималдыгы деп атайды.

Мысал. Х|,Х2,...хп тандамасы бер1лген. Калыпты зан бойынша

yjiecTipiMfli X кездейсок шамасынын математикалык умгп а уш!н

сешмдинк (р=(х — £,х + е) интервалын табу керек. Сешмдинк

ыктималдыгы р.

Бершген сешмдинк р ыктималдыгымен р(х - е(а{х + f)= /Зтецдш

орындалатындай етш, е>0 санын табайык.

Калыпты зац бойынша улеспр1мд1 X кездейсок шамасы ушш

pix-e|<f)=0(t),

мундагы

тендтмен аныкталатын Лаплас функциясы

тецдеунен кесте бойынша е мэнш табамыз,

мундагы

138

Сонымен сешмдмпк ннтервалды

х - е(а(х + £.

Мысалы. Сешмдшк ыктималдыгы р -0,95 болатын, калыпты зан

бойынша улеспр1мд1 X кездейсок шамасынын белп аз математикалык

у м т а ушш сешмдшк интервалын табу керек. Бершген шамалар

5 = 1, х = 24,6,/I = 10 болсын.

<D(t)=0,95 тецдеушен косымшаньщ 1-кестесшен t=I,40,

tS . . 1,40 I 1,40£ = —= тенд1пнсн е = —==- = —==•.■Jn vlO V10

Осыдан сешмдшк интервалы

Сонымен белпаз а-ньщ мвндер1 0,95 ыктималдыгымен осы

интервалдыгы мэндерд1 кабылдайды.

5.ЦАЛЫПТЫ ЗАЦМЕН УЛЕСТ1Р1ЛГЕН КЕЗДЕЙСОК ШАМАНЬЩ

ПАРАМЕТРЛЕР1 YU11H СЕН1МД1Л1К ИНТЕРВАЛЫН ДЭЛ ТАБУ ЭД1С1.

СТЬЮДЕНТ УЛЕСТ1Р1М1.

Эткен параграфта кездейсок шаманын математикалык у м т

ушш сешмдшк интервалын жуыктап табу вд1сш карастырдык.

С-ешмдшк интервалын дел табу ушш алдын ала X кездейсок

шамасынын улеспрш занын аныктап алу кажет.

Егер X кездейсок шамасы калыпты занымен улест1р)лсе

немесе

(24,2; 25,0)

т=4п m - m

т '

мундагы

139

Ш I k - » ' )i---- . D = —--------/1 it - 1

. D = PJ

T шамасы Стьюдент ynecripiM занымен берЫген деп аталады.

Стьюдент улеспр1мнщ тыгыздыгы

/3/ формуладан Стьюдент улеспр1м! т, D манд ерше

байланыссыз, ол тек теэмрибе саны n-ге гана байланысгы екеш

кержед1 жэне ол t-ra Караганда жуп функция болады.

Стьюдент yuecripiMi аркылы математикалык у м т yuiiH

сешмдшж интервалын калай табатынын керсетешк.

Калыпты зацмен бершген X кездейсок шамасын аныктау уинн

п рет тауелс1з тэларибе журпзшген болсын. Бул шаманын

математикалык у м т т х жэне дисперсиясы Dx белпс!з болсын.

Тэж1рибе нэтижесшде бул параметрлер ymiH багалаулар 121

тенд1ктер1мен аныкталсын.

X кездейсок шамасынын математикалык у м т уцин сетм д ш к

ыктималдыгы р болатындай crin ^ с е ш м д ^ к интервалын аныктау

керек.

/пмэнше Караганда симметриялы интервалдыц жартысын

е^деп белплесек

/3/

мундагы Г{х)= fU x 'e v dU - гамма-функция.о

/4/

140

Тендйшн сол жаплидагы т кездейсок шамасынан Т кездейсок

•Гпшамасына кешу уш'н тенсгадактщ ею жагын он ~j= шамасына

кебейтсек

жЧ- = р

немесе /1/ тенд1кп па й дал а м сак

■ ж

аркылы белплесек жене S„.|(t) функциясын жуптылыгын

ескерсек

?\T\{tp )= ) 5.., (l)di = 2 JS,., (/Vf = Рт 'д 0

Ф - .( ‘У' = Д /5/О

Сежмдипк ыктималдыгы Р мен п-1 мэндер! аркылы

/косымшанын 2-KecTeci/ tp мэнш аныктаймыз

тендшнен сешмдшк интервалы #д-нын жартысын табамыз.

Сонымен сешмдшк интервалы

141

т - е ц(т^(т - е р

Мысал И7Х , S X параметрлер! белгкпз, калыпты занмен

улест1р 1лген X кездейсок шамасы ушш тэуелсв тэж|рибе

журпзшген. Тэж’фибелер н эти же л ер i статистикалык катар аркылы

бершген

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi 2,5 2 -2,3 1,9 -2,1 2,4 2,3 -2,5 1,5 -1,7

СенМддак ыктималдыгы 3=0,95 мэнше сэикес келетш

математикалык yMiTi ушш т багасын жэне оныц сеншдшж

интервалын аныктау керек.

IUeuiyi.

5>. X х-10

= 0,4

D = — 9

Z*.210 ив < 4,933

Крсымшаньщ 2-кестес1 бойынша п-1=9 р=0,95 мэндер1

бойынша

tp=2,26

осы дан

fo = 2,26 4,93310

а 1,58

Сешмдшк интервалы

142

( ц х р т - г ^ .и + г ^ Ц - Ц 8:1,98)

6.КОРРЕЛЯЦ ИЯЛЫ К ТЭУЕЛД1К

влш енетш X жэне Y шамалар мэндершщ байланысын

керсететш кестеш корреляция кестес» деп айтады. TiK жэне жатык

жолдар килысуындагы сандар apGip пардыц ж иш ш н керсетедк

Мысалы, /25,13/ пары 3 рет, /25,18/, пары 2 рет /25,23/ пары 0 рет

кездеседк Х-тщ 6ip туракты мэш ушш Y-тщ орта мэшн - Y деп

белплеп, оны Y-тщ дербес орта мэш деп атайды. Мысалы,

у х =25 = 1 1 2 1 1 ^ = 15

Yx =35 = - - —■ — ■■” =25. Yx =45 = — 1 —13' - 3 =22,6 10 14

Бул жагдайда X пен Yx дербес орта мэндер1 арасындагы

байланые келеа кестеЫмен аныкталады. Егер осылайша аныкталган

( х. Y х ) нуктелерд1 кесшдмер аркылы косатын болсак одан шыгатын

сынык сызыкты Y-тщ X бойынша эмперикалык регрессия сызыгы


X 25 35 45

Y 15 25 22,6

У

143

Сынык сызыктьщ тебелергащ орналасуына байланысты, (*, Y* )

нуктелершен ауыткуы ен Kiiui болатындай erin сызык журпзуге

болады. Осындай erin журпзшген сызыкты теориялык регрессия

сызыгы деп атайды.

Егер (л\ух) нуктелер! тузу сызыктьщ манайында орналасса оны

Y-тщ X бойынша регрессия тузу! деп атайды. Бул жагдайда сынык

сызыкты параметрлер1 белпс1з тйу сызыкпем алмастырып онын,

параметрлерш аналитикалык турде аныктау керек.

у = ах + Ь

тендеу! сызыкты корреляцияны аныктайды.

Егер (xsy .)нуктелер! формасы белгый 6ip кисык манайында

орналасса онда ><х = /(х)тецдеу1 Y пен X арасындагы кисык сызыкты

корреляциялык тэуелс1здйсп аныктайды.

Осылайша sp6ip туракты Y-тщ мэн1 ушш ху- дербес орта мэнш

аныктауга болады (ху,у) нуктелер! аркылы Х-тщ Y бойынша

эмперикалык регрессия сызыгын журпзуге болады. х , = <р(у) тецдеу1

X пен Y арасындагы корреляциялык тэуелд1кт1 аныктайды.

у х = /(х)иуне х У=(р(у) корреляциялык тецдеулерщ кейде

регрессия тендеулер! деп атайды. EipiHuii y-in х бойынша,екпшп

жагдайда жагдайда Х-тщ Y бойынша регрессия тендеулер! деп

атайды.

144

7.СЫЗЫЦТЫК КОРРЕЛЯЦИЯ РЕГРЕССИЯ ТУЗУЛЕРШ Щ ТЕЦДЕУ1

Тэнарибе нэтижесшде аныкталган X жэне Y мэндерц ягни

|нуктелер1 белпл! 6ip тузу манайында орналассын у=ах+Ь

сызыктыкт эуелдш тндеп а мен b параметрлершщ мэндерш

(xi.y, )(х2. V, )экспериментальдык бершгендер! бойынша

аныктау керек болсын.

у=ах+Ь функциясыиын параметрлерш

А, = у, - (ах, + Л)айырымдарыныц квадраттарыныц косындысы ец к’шй

болатындай erin тацдап апуымыз керек,ягни

■•I i>i

ернепн минимумга айналдыруымыз керек. Осылайша табылган

параметрлердщ мэндерш ец Kimi квадраттар эдкй аркылы аныкталады


S'», S'* дербес туындыларын тауып, оларын нелге тенеспрсек

^ = - 2 ± ( у ,- а х .- Ь ) х ^ 0 .да 7ГГ

§■ —г£{у,-ох.-ь) .i-оOD ,« |

шыккан система тендеулерш тенеспрсек

+ ь £ х ,= £ х ,у ,,.1 ,.| ̂ .=■ /2/

« I * . +ь * = Y ty,

Осы системанын шешушдеп а мен b параметрлер1 уипн /1/

ернектш минимумы болады, ce6e6i бул параметрлер /1/ ернекте

eKiHiui дэрежел! жэне ле /1/ косындысы Tepic мэн кабмлдамайды.

145

I l l система тендсулершщ ею жагын тежфибе саны n-ге бот а,

орта арифметикалык мэндер1 аркылы ернсктеп жазсак

Iax: +Ьх = х\\ .уи.х + Ь = у

муИД&ГЫ

_ ь , . ь ,Х = - -----, У = - ----- .II /I

- 1й _х 1 =—---- ,ху = —

/I п

/3/ системадан а мен b мэндерш тапсак

х у - х - у - а = — ̂ Ь = у - а х . х~ - х ~

Табылган b-ныц мэнш регрессия тузушщ у=ах+Ь тецдеуше

апарып койсак

у = ах + Ь = ах+ у — ах.

немесе

у - у = а(х — х). /4/

х у - х у ...а = / V ----- г /5/

/ х 2 —X — X

коэффициент! /4/ регрессия тузушщ коэффициента деп аталады.

Осылайша Х-тщ Y бойынша регрессия тузулершщ тецдеу!

х - х = р уА у - у ) 161

мундагы регрессия тузушщ коэффициент!.

х у - х - у/>х, П1

у - - у

146

/41 жэне /6/ тендеулер1мен аныкталтн регрессия тузулер1 (х,у)

нуктеа аркылы ететшщ байкаймыз.

9.КОРРЕЛЯЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТ!

Егер еткен параграфтагы /5/ жане /7/ формулаларымен

аныктапган регрессия коэффициенттер! он мандер кабылдаса, ягни

Л / >0.Ри)®болса, ондай корреляциялык байланысты он корреляция/ч Л*


р =tga)Q болганда /4/ тузу ОХ ес1мен сушр бурыш жасайды,ГУ

ад р . = tgfrQболган жагдайда 16/ тузу OY еамен cyftip бурыш

жасайды.Тузулер арасындагы бурыш негурлым кпш болса, согурлым

X пен Y арасындагы корреляциялык байланыс тыгыз болып

саналады.

147

Егер бул тузулер беттессе, онда X пен Y арасында тузу сызыкты

функциялык байланые бар деп есептеледй

Сызыкгык корреляциялык байланыетын гыгыздыкы влшем»

ретлнДе корреляция коэффициент! колданылады.

= ± J i g a i g /3 / I /

/I / шаманын танбасы регрессия коэффициенттер! тацбаларымен

сайкес келед1.

Корреляция коэффициентжщ /1/ аныктамасынан онын келес!

касиеттер1 шыгады.

1° Корреляция коэффициентшщ кабылдайтын мэндер!

[-1,+1], ягни — 1S г ̂ 1

2° Егер r=yl, онда тандаманынын нуктелер1 6ip тузу успнде

жатады /регрессия тузулер1 беттессе, онда р=90-а, tgatgp=l/.

3° Егер корреляция коэффициентшщ у 1-ге жакын болса, онда X

пен Y арасында куши сызыктын тэуелдийк бар деп есептёледь

4 Егер г мэш нелге жакын болса, онда айнымылар арасындагы

корреляциялык тэуелдшк нашар деп есептелед1 /г<0,4 болганда X пен

Y арасында ешкандай сызыктык корреляция болмайды/.

5° Корреляция коэффициент! елшемс13 /безразмерная/ шама

онын мэш X жэне Y шамаларыныц елшемше жане

координаторлардьщ бас нуктесшщ орналасуына байналыссыз болады:

/I / формуланы келеа турде турленд1решк

148

S p j J I ! IXV - X •у .vv - л* V лт — л*х’ -х у - у

р й — х~. лi 1. Z w

- — . г • V

/2/

Корреляция коэфф ициент! н келес! формуламен есептеуге

болады

r=

Y-tih X бойынша регрессия коэффициент!

Pv,х у — X.-V .W—X • V Ху —х - у Ш

% , _ - 3 £х г* А <?х'/3/

Х-тщ Y бойынша регрессия коэффициент!

_ x y - x y _ x y - x y _ t f Y ху - х ■ у _" А <JX A

у" - у;Корреляция коэффициент! г белгип болганда регрессия

гузулершш тендеулер!н куру жецшденш келеа турде жазылады

У -У = r A ( x - i ) /5/<>х

х-х = г ~ ( у - у ) /б/

10.КИСЫК СЫЗЫЦТЫ КОРРЕЛЯЦИЯ

Тэяарибешц нетижесшде алынган нуктелер

(х|.у,);(г2.у,)1...,(х»,у.)белпл! б!р у=Дх) кисыгынын мацайында

орналассын. Бул аналитикалык функциясымен бершген X пен Y-Ti«

тэуелдт х, мен у, -дщ барлык нуктелершде 6|рдёй бола бермейд!,

149

нсмесе 6ipHeiue нуктелер уинн у, - г(\, ) = Л(айырымы нелден езгеше

болад ы. Ягни теж1рибеде у, мэш мен анолитикалык Г(х;)-ДЩ айырымы

нелге тец болмайды. Бул жагдайда y=f(x) кисыгынын параметрлершщ

А; айрымдардын квадраттарынын косындысы ец Kimi болатындай trrin

таидап алу керек, ягни

Ы /«I

ернегш минимумга айналдыру керек. Мундай минимум

табылады ce6e6i / I / ернек бойынша y=f(x) тэуелдш лне сызыктык

турденетш параметрлер екшин дэрежел! жэне де /1/ ернек Tepic

мандер кабылдамайды. Осы эдкпен табылган параметрлердщ

мэндер! ец Kiuii квадраттар ад!с! аркылы аныкталган деп атайды.

I. Геж1рибеден алынган > У i} (*г ,.у 2 )•••» (*» * -v J нуктелер

бойынша у=ах"+Ьс+с квадрат уш мушелшдеп а, b жэне с

параметрлершщ мандер1 ец Kimi квадраттар aflici аркылы калай

табылрандыгын керсетешк.

/I/ тендж бойынша Z = £ • (у, - axf - bx, - c f Шщ

Бул функциянын а,Ь жэне с параметрлер1 бойынша дербес

туындыларын тауып нелге тецесгпрсек Keneci системаны аламыз:

150

— = S V (v , -ur,: -h r -f)v" = 0,da Щ ' ' ' '

? = -2]£lvf - axj - <-k = °.9b j

: ~ 2 Z ( v - 1 a v .’ - h x i - c ) = 0

dzdc

Будан аздап турленд1рулер журпзгеннен кешн параметрлер1

табу уинн мынадай уш белпазда уш сызыктык тендеулер

системасын аламыз:

a ± x: + b £ x ? +c ± x? = ± x r yi.4=1 Щ 1=1 1=>

al l xi +,,Х л +cZ x.- = i X v /3/1*1 1=1 / = 1 J*»

+fcX*< +« " * Ё л -| p »-i м

I. Енд! гиперболалык турдеп корреляциялык байланысты

карастырайык. у = а + — туртдеп байланыстьщ а жене Ь х

параметрлерш керсетшген ен к!ш1 квадраттар ед1с(мен аныктайык.

/1/ формула га сэйкес

/3/

Бул функциянын а жене b параметрлер! бойынша дербес

туындыларын тауып нелге тенеспрсек келеа системаны аламыз

1 1 1 Я 1

151

2. у=а*Ьх туршдеп керсетшнтк функциянын а жене b

параметрлepiнщ ец Kiuii квадраттар едклмен аныктау уинн бул

тендоктщ eKi жагын логарифмдешк

lgy=lga+xlgb 15/

12/ -ернекке сэйкес

z = X = (ig n -> g « -^ Jg b )Ji=l

функциясынан lga жэне lgb параметрлер! аркылы дербес

туындыларын алып нелге тецеспрсек

~ ~ = - 2 £ ( l g у, - lg a - х, \gb)xf = О d lg e ^

T r - r = - 2 £ 0 g y ( - l g a - х , l g b)x, = 0 olg* ы

Бул ернекп турленд1рсек lga мен lgb-ныц мэндер1 уинн келеа

тендеулер жуйесш аламыз:

«lga + lgi>£*, = '£i \gylЫ / - I

+ Ig b ^ * / = X * , lg y, /6/#■1 / - 1 / - I

/6/ Жуйенщ шеш1М1Н, ягни а жэне Ь параметрлершщ мэндерш

тауып KepceTKiuiTiK y=abx функциясын аныктаймыз.

152

Ы кти м алды ктар тсориясы нан кы скяш а м ш лум ат

Ыктималдыктар теориясы пайда болганга детнп кезеннщ

бастамалары ежели гасырларга кетедк Бул узак дэу1рде, кёйш келе

ыктималдыктар теориясына жаткызылатын, вте карапайым есептер

карастырылып шыгарылады, б!рак та ол ушш арнайы эд1стер

габылмады. Ал есептердщ вздер! де кызба-кумар деп аталатын

ойындардыц (мысапы , карта , суйек жэне тенге лактыру, тап»1

баска ойындардын) тешрепнде гана болды. Бул кезен Д.Кардано

(1501-1576), Н. Тарталья (1499-1557) жэне баскалардын

жумыстарымен аякталды деп ёсёртелш жур. Олардын шыгарган

есептержде сол кездеп жана угым — шанс (француз сезшен

алынган) катынасын енпзуге талпынган, муныц в31 де там - тум

кездесш отырган (Майстров J1.E. «Развитие понятие вероятностей».

М., Наука, 1980).Философия гылымынын даму тарихында кездейсоктык,

кажеттшк жэне мумкГндшж эркашан да непзп мэселелердщ

катарында болды. Мундай проблемаларды карастыру ыктималдык

угымынын калыптасуына да ыкпалын типздк Ерте заманныц

езжде-ак статистикалык материалдарды жинап, оган турл» талдау

журпзген. Mike, солар гылымда жана угымдар, онын шднде

ыктималдык угымынын шыгуына эсер еткен. Алайда, ерте

замандагы гылым ыктималдык угымын бел in ала алмаган

(Карпенко Б.И. «Развитие идей и категорий математической

статистики». М., Наука, 1979).Ыктималдыктар теориясыныц шыгуы XVII гасырдын

ортасындагы Б.Паскальд'щ (1623-1662), П.Ферманын (1601-1665)

жэне Х.Гюйгенстж (1629-1695) енбектер1мен байпаныстырылады.

153

Ыктималдыктар теориясынын идеялары кау ы псыздандыру,

демография жэие бакылау кателер'ш багалау талаптарын шешуге

арналган есептерге колданылады.

Я.Бернуллидщ (1654-1705) журпзген зерттеулер!

ыктималдыктар теориясынын дамуындагы белд! кезен болды. Ол

ознпц енбектер'шде шеютк теоремалар катары на жататын алгашкы

улкен сандар занын дэлелдедь Осы дэу'фде келел1 жумыстардын

пайда болганын айта кету керек: Муавр (1667-1754) кездейсок

кубылыстарды карастырганда жи1 кездесетш калыпты зандардын

карапайым турлерш ашты; Лаплас (1749-1827) ыктималдыктар

теориясын 6ip жуйеге келт1рт баяндады, ыктималдыктын каз1рп

кезде классикалык деп аталатын аныктамасын бердй щегспк

теоремаларды api карай кечейто; Гаусс (1777-1855) калыпты

заннын непздемес!н жасады, «ец кшп квадраттар эд1с1н»

экспериментальдык бер1лгендерд1 оцдеуге колданды; Пуассон

(1781-1840) улкен сандар зацдарын зерттей отырып, кездейсок

шамалар багынатын улест1р1мн1н жеке 6ip турш атау теориясына

Колданды; т.б.

Ыктималдыктар теориясы дамып жет1луше Петербургтын

математикалык мектеб1 зор роль аткарды. Дуние жузщщ

математика гылымыныц дамуына зсерл! ыкпалын типзген бул

мектептен кептеген атакты окымыстылар шыктьь В.Я.Буняковский

(1804-1889) орыс тш!нде алгашкы окулык жазды, ал онын шэк1рт1,

орыстыц улы галымы П.Л.Чебышев (1821-1894) ыктималдыктар

теориясына жаца багыт берд1, онын зерттеу арнасын кецейтт!,

жацадан соны эдктер тапты.

П.Л.Чебышевтыц окушылары - А.А.Марков (1856-1922) 6ip-

6ipine тэуелд1 кездейсок шамаларды да карастырды, сейтт,

154

ыктималдык идеяларынын баска да гылым салаларына колданылу

\*умкшд1пн кенейтп, А.М.Ляпунов (1857-1918) эдей|

характеристикалык функция эдкш тауып, орталык шектж

теореманы ете жалпы шарттар орындалганда дэлелдеп шыкты,

бупардын бэр! осы кезге дейш езшщ кундылыгын жойган жок.

Казакстанда ыктималдыктар теориясы бойынша гылыми-педагог

мамандар даярлау icme Казак жэне 0збек республикалык

академиктер! О.А.Жэут1ков жэне С.Х.Сираждинов т!келей

араласты. 50-mi жылдарда математикалык статистикадан

К-ББектаевтщ, марковтык т1збектерге катысты

Б.С.Жацбырбаевтщ гылыми макалалары жарык кере бастады.

Шет ёлдёрдщ математиктер1 Н.Винер, В.Феллер, Д.Дуб,

Р.Фишер, Д.Нейман жэне Г.Крамер ыктималдыктар теориясыныц

дамуына эжептэу1р улес косты.

0лшем теориясы мен накты айнымалылар функцияларынын

теориясы иепз1нде курылган ыктималдыктар теориясыныц жалпы

аксиоматикасын академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903

жылы тугаи) 1929 жылы жасап, езшщ атакты «Основные

понятия теорий вероятностей» (1933 ж.) монографиясында

жариялады, сейтш, бул теорияныц туб1р'|мен езперуше жол

ашылды, онын жана тарауларынын пайда болуына орныкты

логикалык фундамент каланды. Кездейсок процестердш теориясы

табигат кубылыстарын, экономикалык жэне техникалык

процестерш зерттеуге кецшсн колданылуга мумкшд1к алды.

Мше, сондыктанда да, ыктималдык теориясындагы классикалык

есептердгн 6api кайтадан жацартылды, соны тусж1ктемелер

кабылдады.

155

F ылыми-техникалык революция дэу1ршдеп гылымныц

интеграция жэне дифференциация кубылыстары ыктималдыктар

теориясына да эсерш типзд!. Информация теориясы, жаппай

кызмет корсету теориясы, ойындар теориясы жэне бер’нстЫк

теориясы сиякты гылым салаларынын белшш шыгуына, олардын

дамуына эсерш типзген ыктималдыктар теориясы мен оныц 6ip

тарауы математикалык статистика.

Жишктщ мэшнщ турактылыгын тэж^рибе аркылы

зертгеуинлер коп болган. Оны тенге лактыру аркылы журпзшген

сынактан жаксы коруге болады. XVIII гасырдан 6epri осындай

сынактардыц нэтнжесш кестемен келт’фел^к. Мундагы п тэж’фибе

саны, ал — - тецгенщ елтацба жагыныц кершу жнш п: п

п тУп

Бюффон 4040 0,507

Де Морган 4092 0,5005

Джевонс 20480 0,5068

Романовский 80640 0,4923

Пирсон К. 24000 0,5005

Феллер 10000 0,4979

Хамитов.М. 5000 0,509

Тэж1рибе жасау ушш КЭД1МП елу тецгел1к акшаны

(кум'1с) он колына алып бас бармактыц устше койда шертт

ж1берде, елтацба ма элде сан жагы ма есептей бер. Мен бес мын

рет лактырганда 2545 рет елтацба жагы тусть Кызык кой!

156

1У1ерз1МД1К бякылау тесттер!

|||11. Аныктапган интегралды есепте:

A) 7

B) 3

C) -3

D) 2

E) 4

К

it cos tdt2. Аныктапган интегралды есепте:0

цА) 2

- * - 12B)

ЛC) 1

" -1D) 2

Е) -1

[(зб-.г’У.г3 . Аныкталган интеф алды есепте:1

A) 44

B) 14

C) 45

157

D) 36

bjУ (fr-’ - r k v

4. Аныкталган интегралды есепте: 0

2blA) 15

2 £B ) 1 5

b l

C) 15

lb 1D) 15

2b*E) 15

Jfsin—<Й5. Аныкталган интегралды есепте: 0

A )4*

B) n

C)

D) 2я

пE) 2

Ijxe2tdx

6. Аныкталган интегралды есепте:0

(g2+ l)

А) 4

1S8

У 11В) 2

С) 4

Е)

е~т

7. Аныкгалган интегралды есепте:

A)

B) я

£О 4

D) 2я

Я

E) 2

8. Аныкгалган интегралды есепте:

A) 0,5

B) 2

C) - I

D) -4

E) 1

9. Аныктапган интегралды есепте:

Jl?sin2 <pd<pО

fin xdx

f v V-l - -V" dx

159

A) Л- + 2

B) 2 л --1

C ) Я - 2

D) я

E) К

f>/8 - 2x!dx10. Аныкталган интегралды есепте: -J

i j l nA)

B) п

л_C) 4

D) 2/Г

ШймII. Аныкталган интегралды есепте: 'i x '

Jx

_3_A) 20

B) 20

20

C ) 3

D) 3

18E) 1

I dx12. Аныкталган интегралды есепте: ->А + 2'v+2

160

A) 2Vbr

B) я

Я

C) 4

D) 2*

КE) 2

13. Кисык сызыкты АВЬа трапециясы уёйнен У ~ ^ х>

функциясымен, он жэне сол жактарынан х = а' х ~ кисыктарымен , твменнен ОХ обилен шектелсе, онда онын ауданы мына формуламен есептеледа:

кS = lf(x)dx

A)Р

S = Jg>,(t)^{r)diB) “

$ в |(Л(*)~/»(*))*C)

I fs = ~ j p !dp

D)

S = 2 \ p }d pE)

14. Кисык сызыкты трапецияны курайтын функциялар

.с = у = (а - J ^ р) параметрлж турде бершсе, онда онынауданы мына формуламен есептелед!:

S - jf{x)dxА)

161

рs =

B) "

s = {(/!(•' ) - /;(-v))fiv-C)

1 Дг5 = - J p'-dp

D)

S = 2 \p }dpE)

15. Кисык сызыкты АДА;®’ фигураныц ауданы устшен -у1 = -Л М ,

астынан -v2 в Л W жэне жандарынан л = я> JC=^ кисыктарымен шектелсе, онда онын ауданы мына формуламен есептеледк

Ь

S = jf(x)dxA) «

Р

s -B) «

ь

s = }(/,(*)-/,(*)>**C)

5 = 2 f p 3d p

Е) в

16- у_дс ~ . х - .у + 2 = 0кисыктарымен шектелген фигуранын ауданын есепте.

A) 59

B ) 2

162

C) 2

D) 9

7

E ) 3

)7 у = К', у = 8 жэне ОУ остер!мен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

A) 1

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

18 X1 - 4дс + V = 0 кисыгь,мен жэне ОХ оам ен шектелген фигуранын

ауданын есепте.

32

A) 3

B) 32

C) 18

D) 28

3

,д у1 - .г +1 = 0, х - 5 = 0 кисыктарымен ш ектел ген ф и гу р ан ы н ауд аны н

есепте.

32

A ) 3

B) 32

163

B) "

J(/| (v )-/j (x))dxC)

S ~ \ \ p ' dPD) ■

/1S = 2 \p sJp

E)

15. К^исыксызьщты АДЛА фигуранын ауданы уст'шен Л = / i М ,

астынан Уг = /г W жэне жандарынан х ~ а' х ~ ь кисыктарымен шектелсе, онда онын ауданы мына формуламен есептеледк

ЬS= \f(.x)dx

A) "

/»s =

B) “

s =о

1"s = - j p 2dp

D) "

S = 2 j p d pE) “

16. У x ~ , x .v + 2 - 0 кисыктарымен шектелген фигуранын ауданын есепте.

A) 5

9

B) 2

V

162

C) 2

D) 9

7E) 3

,7 у = .V3. >- = 8 жэне ОУ остер1 мен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

A) 1

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

,8 -V2- 4 х + v = 0 1сисыгымен Жэне ОХ ос!мен шектелген фигуранын


32A) 3

B) 32

C) 18

D) 28

3

,9 у1 - .г+ 1 = 0. х - 5 =0 кисыктарымен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

32A) 3

B) 32

163

s -B) »

5 = J(yi(-v)-/,(.v)>/-vC)

I #rs = - j p d p

D) “

AS = 2 j p ydp

E) a

15. Кисыксызыкты фигуранын ауданы устшен У\~ f\ W ,

астынан Уг~ f i W жэне жандарынан х = а' Х~Ь кисыктарымен шектелсе, онда онын ауданы мына формуламен есептеледк

ьS = \ f ( x ) d x

A)

s =B) "

5 = Jt/i (*)-/•(*))<&C)

S = \ \ p ldpD) »

/»S = 2 j p 1dp

E) “

16- у ~ х = 0 , Х~У+ 2= 0кисыктарымен шектелген фигуранынауданын есепте.

A) 5

9

B) 2

It

162

C) 2

D) 9

7E) 3

17 у = лг\ у = 8 жэне о у остер!мен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

A) I

B) 12

О 13

D) 14

E) 15

18. *2“ 4jc+v = 0 кисыгымен жэне OX ociмен шектелген фигуранын


32A) 3

B) 32

О 18

D) 28

3

19 у2 -И = 0, * - 5 * 0 кисыктарымен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

32A) 3

B) 32

163

fts =

В) !'

o

s - \ \ p 'jpD) “

гS = 2 jp 'dp

E) "

15. Кисык сызыкты фигураньщ ауданы устшен y> =

астынан -vj = Л (*) жэне жандарынан x ~ a' x ~b кисыктарымен шектелсе, онда оныц ауданы мына формуламен есептеледк

ьS = \f(x)dx

A) •

0s =

B) “

5 = J(/,(xJ-/2(x))<faC)

s = \ j p ldPD)

АS = 2 ]p 3dp

E)

>6- у ~ х ~ , * “ -v + 2 = 0 кисыктарымен шектелген фигураньщ ауданын есепте.

A) 5

9

B) 2

■s = J(/i C-v) - /;(.v)>/.v

162

C) 2

D) 9

7

E) 3

,7 1 1 лг\ У = 8 жэне ОУ остер!мен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

A) 1

B) 12

G) 13

D) 14

E) 15

Ц X1 -4х+ у = 0кисыгымен жэне OX ociMeH шектелген фигуранын


32

A) 3

B) 32

C) 18

D) 28

_3_E) 32

19 у’ - л-+1 = 0. х - 5 = 0 КИсыктарымен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

32

A) 3

B) 32

163

s =B) «

■у = / ( / . ( а ) - у ; ( л )>а

C)

s ~ \ \ p ' dpD) “ «

DS = 2JрЫр

E)

15. Кисыц сызыкты AbiA>̂ 2 фигуранын ауданы устшен Л в / W ,

астынан Уг=А W жэне жандарынан х = а' х ~ь кисыктарымен шектелсе, онда онын ауданы мына формуламен есептеледк

ьS = \f{x)dx

A)

s = JW 'M 'V 'B) “

S = \ ( f M - M x ) ) d xC)

1 ргs = - j p 2dp

D) "

РS = 2 ]р 1<1р

E) "

16. ^ > -v + 2 О кисыктарымен шектелген фигуранын ауданын есепте.

A) 5

9

B) 2

II

162

m 9

7Е) 3

„ , = у = 8 жэне ОУ остер1мен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

A) 1

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15„ , ‘ - 4 , . . . 0 1Шсы,ы„=н*=не OX OCIMCH шектелген фигуранын1 О.


32A) 3

B) 32

C) 18

D) 28

Ъ_

E) 32|? ,< -.т+ | . 0 . х - 5 = 0 етсь,ктарь«ен шектелген фигуранын ауданын

есепте.

32A) 3

B) 32

С) 2

163

C) 18

D) 28

_3_

E) 32

20. У кисыгымен жэне ОХ ос!мен шектелген фигураньщ ауданын есепте.

A) 12

B) 32

C) 18

32

D) 1

_3_

E) 32

21. У = % х-х - 1 2 кисыгымен жэне ОХ ос1мен шектелген фигураньщ ауданын есепте.

A) 21

B) 32

C) 19

32

D) 3

J _

E) 32

22. У -2л*-л* + ® кисыгымен жэне ОХ оздмен шектелген фигураньщ ауданын есепте.

A) 21

B) 36

164

C) 19

32

D) I

3

E) 32

23. v = v' + 2 v ~ 3 кисыгымен жэне ОУ оам ен шектелген фигуранын


A) 21

B) 32

О 19

32D) 3

_3_E) 32

24 х = у - у2 + 6 кисыгымен жэне ОУ осгмен шектелген фигуранын


A) 21

B) 32

125C) 6

32

D) 3

цE) 32

25 х1 - у1 =9, > = -4, у = 4 кисыктарымен шектелген фигуранын


А) 40 + 181пЗ

165

B) 40

C) 12

О) 40— 181пЗ

Е) 40-1пЗ

26. = v = « (l-c°s /)f (О< /< 2 л ) кисыкхарымен шектелген

фигуранын ауданын есепте.

A)

B)

C) п

D)

E) З я

27. ^ = -^Мв мундагы a < x < b кисыгынын догасыньщузындыгы к,ай формуламен есептелед1?

/ = +A) в

l = \№ dPB) а

I = ы \ + y'*dxС) 11

/ = j ^ y + y 2dxD)

/ = ~ JVi + / 2̂Е)

28. д" эллипсi OX осш айналганда пайда болатын дененщ

166

келемш тап.

ЛлпЬA) “Т ~

4 лЬ'

B) 3

■\nab~

C) 3

аЬ1D) 3

4лп/>'E) 5

29. 2>-' = jc , дг = 4 кисыктарымен шектелген кисык сызыкты трапеция OX oci бойымен айналганда пайда болатын денешц келемш тап.

A) 2"*

B) Зяя'

C) я

D) За

E) 32я

30. у' +х*= ■** кисыгымен шектелген кисык сызыкты трапеция OX oci бойымен айналганда пайда болатын дененщ келемш тап.

A) 2в*

4 кB) 15

C) *

D) За

E) 32л

167

3 1 . Р = AW ; а *><Р̂ Р % кисыгымен шектелген жазыкфигуранын ауданы мына формуламен есептеледь

S = 5fp2((p)d<pA) »

s = 4 | р *(фМфB)

иs = Jp (ф)с!ф

C) »

s = \ \ p 'W Y

s = JVy + y,JdxE)

i l f r32. MeHmiKci3 интегралды — жинактылыкка зертте.

A) жинакталады

B) жинаксыз

C) жинактылык туралы ештеце айта алмаймыз

D) бершген интеграл ме-шшксЁз емес

E) жинакталады тек 1“ аралыгында

. . М + г233. Менш1кс13 интегралды — жинактылыкка зертте.

A) жинаксыз

B) жинакталады

C) жинактылык туралы ештеце айта алмаймыз

D) бершген интеграл мен-шшяз емес

168

Е) ж и н ак тал ад ы т е к I f;ool ар а л ы гы н д а

34. МенШпйпз и н тегр ал д ы ж и н а к т ы л ы к к а зер тте .

А) ж и н ак тал ад ы тек аралыгында

В) ж и н ак тал ад ы

О ж и н а к ты л ы к ту р ал ы е ш т е н е а й т а а л м а й м ы з

D) б ер ш ген и н тегр ал м е н и л к а з ем ес

E) ж и н ак сы з

35. Кай формула Ньютон-Лейбниц формуласы болып табылады?

Ь

f f (x )d x = F ( x ) / : = 2 ( F ( b ) - F ( a ) )

J f (x )d x = F (x )/,b = F (b )+ F (a )В) •

J f (x )d x = F (x )/* = F ( b ) - F (a )C) •

J f (x )d x = F ( x ) / : = F ( a ) - F ( b )D) •

E) *J f (x )d x = F ( x ) / : = I ( F ( b ) - F ( a ) )a *

36. У / М , a i x < b кисыгынын догасы Ox oci бойынша айналганда пайда болатын дененщ б е т щ щ ауданын есепте.

А)

2л jy-J\+(y'YdxВ)

169

о »

2л jyVH/ГdxD) •

fyVM/7dxE) •

37. x ~ ФЩ, У~ ; a s , s ^ параметрлпстурдебершгенкисыктыц догасынын узындыгы кай формуламен есептелед!?

A) »

*=)МУ+(ХУ<ЬB) »

1я\JiriY+WYdiо f

D)

t= j)M Y -W y &E)

38. 2 ~ х + У функциясынын дербес туындыларын тап

A)Z‘=u;=\ rВ , < = w t = 0

с,

D)Z- ° * < =0

170

39. г ~ х У функциясыиын дербес туындыларын тап

г' = 1. Щ = 1А) * * в,<>и -=°с, < = °-z'. =1

г' = 2х, i ' = х Р) »z ' = 2ху, х ' = х 2

40. z = x у + х у функциясыиын дербес туындыларын тап

г' = I, z ' = 1A) ?г\; = l ,z '’ =0B) ’г' =0, 1 ', =1О | 1г' = 2х, г\ * х

D) I *

Б) <= 2х у. < =

dz4] z = e4 In(x + у), х = 2t »У — 1 2t > хабу керек dt

A) 1B) 0

г' = 0, г\ = 1О * |z- = 2х, г\ = х D) т

171

dz42. c = v" ~ 2-уЛ +Зл'-У" “ *• Табу керек &r.

А, 2Х + 3У'

в) Х" 3У3

C) 2 * - 3 1

D) 2x

E) 2 Х -У 1

dz43 z • у —5x* + 2y^ + 3. Xggy керек Эх .

A) 12jt y1 + 20xJ

B) 12*У+2х3

q \2x1y 1 - 20 *

D) 12xV~20x3

E) 12у г -20x3

dz‘44. z®§й 'У +^x + 2 y - 3- x agy керек d x ш

A) 1 8 ^ -4 x V

B) 18дг+4*У

q 4хг-18хУ

D) l*x2- 4 j

E) * > 2 x y .z ;* x J

172

dz

; = x ~ - 2y3 + 3.r • v" — 1 • Ja6y керек ^ .

А) 6л?,+6Г

в) л> "^2

q Ь х у - Ь у г

о) 6ху2- ьу'~

© «И ?Эг

46 z = 4jc3 y 2 - 5jc4 + 2y 3 +3. Табу Керек ^ .

A)

B) | 1 Я

C) 6/+*V

D) ^ +8^

E) 6^ +ax*<fc

47 z ^ r 5 - x 4 у 2 + 6*3 + 2 y - 3 . j a6y керек

I I I I

B) 2 -2 * V

О *-**

D> 2 ~ 2 x y

в ? ; ; - 4 v '-v

173

48. Аныкталган интегралды есепте ■

A) 1+('п2

B) Л»2

C) 1-Л 2

D) 2^п2

E) l-2fn2

49. Аныкталган интегралды есепте

0JAJ +1

A) 1

1 + 2-B) 2

C) О

^-1D) 2

2 |Е) £иЗ 3

J(3* +дг)г&50. Аныкгалган интегралды есепте 0

2 1А) ̂ пЗ 3

2 |В) fn3 3

174

C) 'иЗ

3 1.

D) 3

3 1_

E) ^"3 3"А

[ xCosxdx51. Аныкгалган интегралды есепте 0

Л

A) 2

1+—B) 2

£ -1C) 2

D) 1

E) О"АyxSinxdx

52. Аныктапган интегралды есепте 0

A) 1

1+ —B) 2

£ - 1 О 2

D) 2

E) О

175

jxe'dx53. Аныкталган интегралды есепте0

A) 1

1 + *B) 2

—-1C) 2

D) 2

E) О

д 2г54 z = * ^ 2 у +3х-уЩ~ ̂ Хабу керек <*хг .

A) О

B) 1

C) х

D) у

E) 2

д 2г55 г = 4х у - 5х4 1 2 у 3 1 3. Табу Э* 2 .

A) О

B) 1

q 24jty- -НбОдс2

D) 24ху2 — 60дг2

E) /-бОдг2

176

56. Z = 5-** y 2+bc3 + 2y-3. табу керек Эдг2 .

a) 36*-iz*V

в, Э6дг+12*У

C)D) 36х-хУ

E) ,2xVи

57 Табу керек | § .

A) Збх-12хУ

B) 3 6 x + l2 *V

О 6у

D) * * - * У

E) l2*V

д *158. 1 в4** Ц Ц t 2j'3 + 3‘ Табу керек V .

A) Зб.г-12хУ

B) 12̂ +8х’

О 6>'D) 3 6 х - х У

E) ,2x'V

Э2;

177

59. ~ “ ̂ ~ л‘4' У1 + 6л' + Ъу - 3. Табу керек ^ .

A) Щ

B) ~2х*

C) X*

D) ~ 2х>

E) 2x2

ш60. г = х1-2 > 1+Зх / - 1 . Табу керек ЭгЭн

A) 2дс4

B) -2х4

C) *ч

D) ~ 2 х >

E) 6* 1161. z = 4jc ^ _ 5 * + 2 ^ + 3‘ Табу керек .

A) 24x1 У

B) -2*4

C) *4

D) -2 х 3

E)

Эй62. z = 5 - . r 4 - ^ 2 +6дг3 + 2 j / - 3 . Табу керек

178

А> 2 А Х 'У

В) -2дг4

О Ц

D )-^V

E) ЬУ

dz®;!)63. z = tn(x2 + >2)- Табу керек

A) О

B) 1

C) 4

D) 5

E) 2

Эг(1;0)

64.

■ 3 ^

I » у х — у . J g g y кере к Эх

IA) 2

3B) 2C) I

D) О

E) 3, Эг(0;2)

65; .Табу керек ^х

179

B) 2

C) 1

D) О

E) 3

у ~66.A) 12

B) 2

C) 3

D) 7

E) 9

67. г ~

\_

A) 2

3B) 2

C) 1

D) 12

I 3

В Эг(1;2)х . Табу керек

Эг(3;-1)

* + ^ . Табу керек ^

180

A) О

B) 1

7C) 4

D) 2

100

E) 3

|(-/2л +\fx)dx 69. Аныкгалган интефалды есепте 0

100

A) 3

7B) 4

ГC) 2

D) О

E) 1

J.v + 270. Аныкталган интефалды есепте 0

A) О

B) 1

а 4

68. Аныкталган интеф алды есепте 1

181

D) 4, 9

I + /71 —

1 + /П —E) 2

Кэгт -̂Ь71. Аныкталган интегралды есепте «Wl-д J

2п(п2 + 6>/2 - 3A) 3/?п2

2тс^п2 + 6л/2B) 3(п2

2тс + 6л/2-3C) 3?п2

2гс1п2 + б У 2-3D) 31п3

E) 3£п2

72. Аныкталган интегралды есепте 0

1- *

A) 4

1 + *B) 4

Я

C) 4

1+£D) 2

182

| - £Е) 2

) T d \ dx73. Аныкталган интегралды есепте '■Л + + 4

A) О

3B) 5

|О 6

D) 1

ы *E) 4

74 Аныкталган интегралды есепте > *

in 9-A) 4

ИB) 8

1+*C) 2

I - *D) 2

яE) 2

t —1775. ».i я z катардын ушшцп мушесш тап.

А) 7

183

B) 12

J_C) 24

_1_D) 28

E) 4

Z ——76. и=1 2п -1 катардын оныншы мушесш тап.

A) 9

2

B) 19

18C) 19

D) 19

12E) 19

Y 1п(л + 1)Зл j77. "=1 катардын екшпн мушесш тап.

1пЗ

A) ~

B) 1

C) вдЗ

D) 1п5

E) 7

184

78. (£ ) косынды б.елпсш колданып, катарды ж аз:

14- — +■ — + - + —- +2! 3! я!

Щ

О 2 ̂ п!

V--1-- ;D) g i v e

щ Ш79. Катарды косынды (2D белпс! аркылы жаз:

1 1 1 + + •■•+ '1-2 2-3 л(л+1)

ЩА) п

£ 4“ ПГ

О ^ n=i п!

X—-— ;D) Ып+У)

Z 4Е) л-i п!

185

80. Кагарды косы иды (X) белпЫ аркылы жаз:

I I 1ч* — ■ +»»«+ ■ ■ ■■■1*4 2-5 /К/1 + 3)

I — — ; А) (П + 3)

У -----!-----;Qj п»1 п (п — 3)

У ---- 1---- ;Сч п-i п(п + 3)

У ----!----;D) % ! Ф + 3)

g) n-i П!

У - L^ L.a-1 v .8 1. *=> * , а-ныц кандаи мзншде катар жинакты?

A) а - 2 ;

B) а - 2 ;

C)

D) ^ 3,

E) а > 2 >

У —!_82. *=• л а-ныц кандаи мэншде катар жинакты?

А) “ * 2 ‘

в) а - 2 ;

С) а<3;

186

D) « >3;

E) a > 2 ;

Y - i -< i. -«-i „ . 083. ‘■|K a -ныц кандай мэнш де катар жинаксыз/

A)

B) а * 2'

C) а ^ 3>

D) а > 3 ’

E) « > *

х —— -84. я=| п п̂ + ' дэрежелЬс катардын уш<нш1 мушесшщ коэффицйентш тап.

A) 12

\_B) 12

\_C) 2

D) 2

\_E) 12

1п(/1 "4* 1) /1 + 1

85. + дэрежел1к катардын екшип мушесшщ коэффициёнтщ тап.

А) 3

187

1пЗB) 3

C) 7

1пЗ

D) 5

In 5E) 3

у ,|(я+|)86- **' 2 дэрежел1к катардын тертшнл мушесшщ коэффициенты тап.

A) 12

1B) 12

J:

C) 2

D) 10

E) -12

1 ^ 1 1| —— Н--------1-... Ч-------------1-. . .

„7 1-2 2 -3 п(п + 1)8/- катардыц косындысын тап.

A) 1

B) 2

C) 0,75

D) 12

E) -0,78

188

I I 1— + -----+... + --------------------+...88. ̂ 3 3-5 (2n — I)(2/i + 1) катардын косындысын тап.

A) 1

1

B) 2

C) 0,75

D) 12

E) -0,78

1 1 1 -----4- " 4*... + ^ •••g9 1 • 4 4 -7 (3п - 2)(3п + 1) катардын косындысын тап.

A) 1

1B) 2

О 3

D) 12

E) -0,78

• 1 1 ---- + ------+ ... + -----------+ ...9 0 1 • 4 2-5 п(п + 3) цатардын косындысын тап.

A) 1

\_

B) 2

I

О 3

D) 12

189

_ L + _ L + , 1 ,91. ffjf 3*9 (2л - l)(2/i + 5) катардын косындысын тап.

A) 8

B) 0,5

23О 90

D) 0,2

E) 2

, 1 1 11+- + - +—+... I92. 3 5 7 катарыньщ жалпы мушесшщ формуласын жаз.

1

A) U„= 2/1 -1 ;

1

B) U„= ^ Ъп ~ 2 ;

п

C) U„= (л + 1)3;

1D) U„= V3n+2.

п

E) u„= <n 11|;, 1 1 1 1 + —j= + —j= + —j=f,-*.;:

93. л/7 л/10 катарыньщ жалпы мушесшщ формуласын жаз.

Е) 18.

190

A) U„= V 3 n -2 j

1

B) U„= V 3n- 2 ;

n

О U„= <" +1)' ;

1D) U„= V3n + 2 ;

E) П _ (n + 1)2.*-#n *

1 2 3— + — + - J + - •

94. 2 3 4 катарынын жалпы мушесщщ формуласын ж аз.

A) U„= (п_1)5 ;

п - 3

B) Un= (п + 1)1 ;

C) и„= (л + , ) 3 ;

1 пD) U„= 2(п + 1)’ .

п

E) Un= (n + 3)J ;

1 I 1----- ¥ + ------г + — "Т + "'95 1 + 1' 1 + 2 1 + 3 катарынын жалпы мушесщщ

формуласын жаз.

191

nA) U„= t® - U* ;

n -3B) U„= tn + l)J ;

I

О Un= 1 + '»2 ;

1 nD) Un= 2 ( n + l )J .

nE) Un= (n + 3 )J ;

1 1 1 ~2—" | з — + Гг— i 7

96. 3 —1 5 “ - I 7 —1 катарыныи жалпы мушесшщформуласын жаз.

п

A) Un= (п_1)3 ;

п —3B) Un= + !>5 ;

1

C) U„= (2П + О2 - 1 ;

1

D) U„= >/Зп + 2 ;

пE) un= (n + I ? ;

_ _ п + 1о

97. п кагардьщ косындысын тап.

192

A) 8

B) 0.5

C) 1

D) 0,2

E) 2

s„ =98. 2 катардьщ косындысын тап.

A) 1

B) 0,5

C) 2

D) 7

E) 6

99. S . =argtgn катардьщ косындысын тап.

А)

Л3

лB) 3

C) п

D) 2л

лE) 2

s , = f c i £100. п катардьщ косындысын тап.

А) 0,5

193

B) I

C) 2

D) О

В) 5

I 1 ^ 1 1I — —» + ■■■■■ - ■ +ю|. >0 100 1000 катардын косындысын тал.

A) 10

10

B) II

C) И

Д

D) 17

10

E) 13

102. 2 4 8 катардын косындысын тап.

A) 0

B) 0,5

C) 2

D) 7

E) 6

lir n ^ 1- = q103. Даламбер 6ejirici бойынша а * кай шарт о р ы н дал ганда катар жинакталады?

А) Ж1

194

B) Ч — I

C) С̂ 1

D) 1! г 1

E) Ч = *

lim—— = q104. Даламбер белгкм бойынша а» кай шарт орындалганда катар жинаксыз?

A) Ч<1

B) 4^1

C)

D)

E) Я = 1

„ . . lima/aT = q105. Коши белnci бойынша кай шарт орындалганда катаржинаксыз?

A) Ч<1

B) Ч — I

C) 4)1

D) 4^1

Е, 4 = 1

. . lima/a =q106. Коши белпс1 бойынша п— кай шарт орындалганда катаржинакты?

А) Ч<1

195

в) q s i

C) Ч>1

D) Я —I

E) 4 = 1

"eln.xdxX * •,07- ' менш 1ксп интегралды есепте жэне жинактылыкка

зертте.

A) жинаксыз

B) е

C) -е

D) 1

E) О

V dxл/ 1 _ г"

108. 0 х менuiiicci3 интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

A) -1

2лB) Ш

C) жинаксыз

D) 1

196

Е)

ЬгЧ109. ' х ' л + менипкс1з интегралды есепте жэне жинакгылыкка зертте.

A) 1-1п2

B) жинаксыз

C) 1

D) -1

E) 1п2

I xdxIЮ. в м енш 1КС13 интефалды есепте жэне жинакгылыкказертте.

I

A) I

B) 1п2

О жинаксыз

D) 1

E) О

АхяГ^ёхHI о менилкЫз интегралды есепте жэне жинакгылыкка зертте.

71

197

A) -1

B) I

C) О

D) 0,5

Е) жинаксыз

~[arctgxdx

П2. 1 ~ менш1кс1з интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

А) жинаксыз

я 1 , ̂— н— In 2В) 4 2

С) 0,5

О) 4 2

- Ы 2Е) 2

т щi l + x 3113. 0 менш!кс!з интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

А)

2 к

17з

198

В) ж инаксыз

C) 1

D) -1

It

E) 4

f , * -114. ° х 4jc+ 3 менш1кс!з интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

A) 1

B) -0,25

О 0,25

D) жинаксыз

E) 0

:r xdx115. ' ^ х ~ 1 менцлкЫз интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

A) 8/3

B) жинаксыз

C) 0,25

D) 1

199

l.xln .xd.x* *6 . 0 менш 1КС1з интегралды есепте жэне жинактылыкказертте.

A) -0,25

B) 0,25

C) 1

D) 0

E) жинаксыз

I| dx

х I ~117. 0 п х менцикспз интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

A) -1

B) 1

C) жинаксыз

D) О

E) 0,25

f118 . I х п * менипкспз интегралды есепте жэне жинактылыкка зертте.

А) жинаксыз

Е) О

I

200

a i f

D) О

E) 0,25

J —1 19. i x - J ln x менш 1КС13 интегралды есепте жэне жинакгылыкка зертте.

A) 0

B) жинаксыз

C) 1

D) 2

E) 0,25

•и*]e~*dx

120. 0 метш квдз интегралды есепте.

A) О

B) 1

C) жинаксыз

D) -I

E) е

■fee j

J r 2+ r . .I2 | / л тл менШ1КСП интефалды есепте.

В) I

201

Л) I n 2

B) О

C) жинаксыз

D) -1

E) 1

(/ + In x)dx■foe

*22- 1 менппкЫз интегралды есепте.

A) 1

B) О

C) жинаксыз

D) -1

E) е

£а[sin 2 xdx

ж

123. I- аныкталган интегралды есепте.

щ ш

I

В) 4

О V i - V 2

D) >/•? + V 2

40+жяЕ)

202

ж

Jcosf 2.т-~|«£т

Р # )A) 4

i ( V 3 + V 2 )B) 4

I(V3+i)C) 4

D) О

E) I

,Л dx

124. 6 аныктапган интегралды есепте.

г ах

125. 1 аныктапган интегралды есепте.

Л

A) <5

лB) 2

лО 4

яD) /2

E) 1

126. Менинказ интеграл дегешлш ....

A) уз1л’1сЫз функциялар;

B) узш сп функциялар;

203

С) шектеусп шектер! бар жэне шектелмеген функциялардыц

интегралы;

D) аныкталган жэне аныкталмеган интсгралдар;

E) функциялан алынган yujinuii туынды;

J/(v)dU127. м мешшшпз интегралы жинакталады, стер

+ооj f ( x ) d x

А) « интеграпынын uieri б1рден улкен болса;

В) « интегралыныи ш еп 61рден Kiuii болса;

+00\ f ( x ) dx

С) а интегралыныи ш еп 6ipre тец болса:

•н»\ f ( x )dx

D) о интегралыныи uieicreyni ш еп бар болса;

j f { x )dxE) • интегралдыц ш еп шекс1зд1к болса;

ьj f ( x ) d x

128. менш 1 кс!з интегралды есептеу ережесш корсет.

\ f {x) i lxА) “

ьlim [ f (x)dx

В)

204

hlim f/(.r)<Zt

О

0lim f/ Cx)<£v _ 11-tb 1D)

оlim fdr

e) -+ !

f f (x)dx129. — м е н и н к а з йнтеграяды есеп теу ережесш керсет.

с Ьlim j f ( х )dx + lim \ f ( x )dx

_ a — b—* +ooA) a с

r *lim \ f ( x ) d x - lim \ f (x)dx

B) **"■

- b lim \f{x)dx+ lim f/(.r)<£c

lim (f(x)dxD)

blim f/(jc)i£t

E)

1 ~ 7130. о I + j менш!КС13 интегралы жинакты ма?

лА) 2 . ге жинакты

205

B) 4 -ке жинакты

п_

C) 3 -ке жинакты

D) жинаксыз

E) 1

I Щ | (я > 0 )131 о , менш 1кс1з интегралды есепте жэне жинактылыгын

дэлелде.

I

A) а

B) а

C ) -а

D) О

E) жинаксыз

132. Аныкталган интегралдьщ шектерш ауыстырса...

A) танбасы карама-карсыга езгередг,

B) танбасы сакталады;

C) мэш ею есе кемщй;

D) мэш etci есе еседг,

E) мэш он есеге кемидц

7 t

206

. I Ф 1Cp = s i r i — 0 < ф < —

133. 3 ' 2 кисыгымен шектелген доганын узындыгынесепте.

A) 2

B) 0,14

C) I

D) 15,12

E) 0,27

jlxydxdy,134. Кос интегралды есепте: о D :3 S iS 5 , 0 S » S 1

A) 5;

B) 6;

C) 7;

D) 3;

E) 4;

\\xy1dxdy^135. Кос интегралды есепте: ° D :2 < x< 4 , OSySI

A) 1;

B) 5;

C) 8;

D) 2;

E) 9;

j jx 2ydxdy, < й о < 2136. Кос интегралды есепте: ° D : 3 S х S , £ у <

А ) 121;

207

B) 117;

C) 126;

D) 119;

E) 127;

ffC.v - yjJ.xdy,JJ' ' Л - 1 < r < 4 I < VI < 4

137. Кос интегралды есепте: » • 7

A) б;B) 3;

C) 5;

D) 7;

E) 9;

f f - d x d y ,138. Кос интегралды есепте: о х D:\<.x<e, 4 <y<6

A) б;

B) 11;

C) 3;

D) 8 ;

E) 10;

139. Кос интегралды есепте: о , + > 0 :0 <х<1, 0 <у<1

лA) 4 р

£B) 5;

208

кО 12;

D) 8 ;

я_| Ю;

JJ.yj'dwfv;140. Кос интегралды есепте: °

4A) 3;

3B) 4;

9C) «;

4D) 9 ;

| 2;

141. Есепте

4—О 7;

5D) 6 ;

||(л+у2)Ла/у. D: 2< .х< 3 ,

i< vS2.

1 < v < 2.

209

2 5Е) ^ ;

142. Есепте: °1Т(л; + \ \Ы у ,# r 0 :1<л<2, OSySl.

А) 6 ■

2|В) 6 ;

с) 2;

,31-D)

2 -Е) 4 ;

ЯЗ y'dxdy1 + jr2 ’ D ■ 0 £ л £ 1. О < v £ 1143. исепте: ® ё г г 1

п_А) 2

в) *■;

яС) 4 ;

71D) 3 ;

3 лН)

Г[(3уг+ 2дг)(Ыу,I JnJV 0 : 0 < л < 1 ,.44. Есепте: | D:0<x<\ , 1<у<2х

А) 0;

в) -1;

210

31D) 30;

E) -3;

а 2;

145. Кос интегралды есепте:

16A) 3 ;

15B) 2 ;

14C) 3 ;

11D) 5 ;

13E) 7 ;

)< ь \^146. Есепте: Г * 4

A) 30;

B) I I ;

Q 13;

D) 15;

E) 12;

Jdy je'dr.147. Есепте: 1 •

А) 3;

fd.r Jdy.

211

B) 2;

C) 4;

D) 5;

E) -1;I 2J|(.v: + г ) dxdy

148. Есепте: 01

A) 4/3;

B) 4;

C) 2/3;

D) 8/3;

E) 1/3;а 2уj fxydxdy .

149. Есепте: 0г~а

11 а4A) 24 ;

10а*

B) и ;

11а4

C) 13 ;

а^_

D) 3 ;

Е) а *;

150. Есепте: '

А) 5/4;

сЛJtlx | xy dxdy;

212

B) 15/4;

C) Vi;

D) %;

E) 13/4;

VV dxdy

151. Есепте; 3 1 х̂ + у^

25A) In 24;

25B) 24 ;

C) In 12;

2D) In 2 ;

24E) In 2 5 ;

152. D аймагы мына кисы кгармен ш ектелген: х=0, у=0, х=1, у=2. Кос

JJjc 3y d x d y

интегралды есепте; 0

A) 2;

I

B) 2;

C) 4;

\_

D) 4 ;

I

E) 8 ;

213

153. D аймагы мына кисыктармсн шектелген: х=(), у—0, х—2. у—2. Кос интегралды есепте:

JJ.v’ydxdyо .

А) 8/3;

в) 16/3;

C) 3/4;

D) 1/4;

E) 1/8;I Ijdx |/(дс. у)(1у

154. Интегралдау ретш езгерт: 0 •

\ d y \ f ( x , y ) d xA) 0 >

I -Пjdy \ f ( x ,y ) d x

B) о °

\d y \ f ( x ,y )d xО * 0 ;

Гг Ijd y j f ( x ,y )d x

D) ® 0 ;

\ d y \ f ( x , y ) d xо £E)

I с1jilx Jf(x,y)dy

155. Интегралдау ретш езгерт: 0 0

[dy \f{x ,y)dx а) о ° ;

214

Ш fi ■Jdy jf{x ,y)dx

о ° • ;

jd x jf(x ,y )dyD) 0 * ;

jd y jf(x ,y )dxH) 0 *’ ;

• 1jdxjf(x.y)dy

156. Интегралдау рётш езгерт: -• *

i -Г>jdy Jf(x,y)dx

A ) » •

jdy j/(x ,y)dxв) rl ** ;

jdy (f(x,y)dxC) • -*•

I -{fjdy f f ( x , y)dx

D) » -*

jd y jf(x ,y )dxE) 0 ■ ;

i лjdx jf(x.y)dy

157. Интегралдау ретш езгерт: • •

jdy j f( x , y)dxA) 0 Щ

Jdy j f ( x .y )d xв ) * * ;

215

\dy [fix , y)dxC) 1 * ;

I VjifH U K

D> *' ;

\dy [f(x , y)dxE) 0 *>

JJ/(-».y)dxdy158. Интефалдын ш епн аныкта: ° . м а н д а т D: y=0, y= I-

0 1-Д*

IP J /(-*, y) dx;A) 0

1 l-.l*jdx J/(.*,y)dx;

B) о о

i i-*1jdx | /U ,y )dy ;

C) -■ 01 1-JT1Jdy J/(jc,y)dx;

D) 0I 1-Л*Jdx I f(x ,y)A y\

E) 0 0

— = 1159. Коши есебш шеш: dx t .v(0) •;

A) y = x + C;

B) у = x;

| dy[f(x ,y)dxв) 0 * ;

216

C) у = х + 1 ;

D) х = у + С;

E) х = у + 1;

(/'у ^ |бу — О160. ди ф еренц и алды к тен деудщ сипаттам алы к тендеу1

мына турде болады:

А ) к1 +16 = 0

щ к г + 16Л + 16 = 0

С) * 2 = °

О) к* + 16Л = 0

g ̂ Jfc + 16-О

jgj v"+3y'-4v = О дн ф еренц и алды к тен деудщ сипаттам алы к тендеу!

мы на турде болады:

I А) к2 + 3к = 0

в) fc2- 4=°

C) к 1 -t-ЗА:- 4 = 0

D) к 2 +3 = 0

E) к 1- 4 к = 0

dry = Q . .162. d x 1 dx дн ф еренц и алды к тен деуш щ ж алпы шеш1М1Н тап

I А) У~ е ' + е

В) У = С / ,Д+с,<*

Q y*3C 1r'J* - С;*'

D) >’ = С<С^"3' •«*

217

163. Б елгЫ А окигасынын ыктималдыгы д еге ш и ш .......

A) осы оки га Fa колайлы жагдайлар санынын барлы к жагдайлар

санына катынасы

B) барлы к ж агдайлар саныныц осы окигага колайлы жагдайлар

санына катынасы

C) А окигасынын В окигасы пайда болганнан кеш нп пайда болуы

D) тэж 1рнбе нэтиж есш де А окигасынын эртурл! мэндер кабылдай алуы

E) орташ а квадрат ауыткудын математикалык ум*™6 катынасы

164. Ойын кубын 6ip рет лактыргандагы 5 упайдын тусу ыктималдыгы

неге тек?

A) 1

B) О

C) 6

D) б

E) 5

165. Кешен санныц жалпы Typi кандай?

A) z = x + ‘y

в) *=V-т

C) z = x - ‘y

D) * = *' + ?

E) г = л«-у

166. негетен?

E) y s C le , ~ X se ' u

218

A) О

B) 1

О -1

I

D) 2

E) ^

167. = 2 + 3/̂ ^2 =3 — 4/ кешен сандары бершген. 4.>

е с е п т е .

A) 3-2#

B) 3 + 2/

О 5 - '

D) 5-4/

E) 5-2.

168. I = 2 3* z2 = 3 - 4« кешен сандары бершген. 4

кебейт1НД!С1Н е с е п т е .

A) 3 - 2 /

B) 3 + 2/

О 18 + /

D) -<5-4'

E) 5 - 2 /

169. *■ 2 + 3/ кешен саны бер1лген. Z* есепте.

А) 3 - 2 /

в, 3 + 2/

S3 КОСЫНДЫСЫН

I ■ г2

219

D) 5 - 4 /

E) - 5 + 1 2 /

z = 3 - 4 / . 1170. кешен саны бершген. z~ есепте.

A) - 7 - 2 4 /

B) 3 + 2/

C) 18 + /

D) 5 - 4 /

E) - 5 - 1 2 /

171. Кешен санныц тригонометриялык Typi кандай?

дх z = r(cos<p —isirup)

Вч z = r^cosf? * i sirup)

C) z = re,<p

Dx z = r(cos^ + /sin^)

E4 z = (rcos^+/sin^)

172. Кешен санньщ керсетюштж Typi кандай?

дч z = r(cos^~/sin^)

z = r(cos<p* i sirup)

- rJ<P

О I о + 1

C) = re

D) z - r e 9

z = {rcos<p + isirup)

220

41 .112 | 25 ' 25

B) 3 + 2i

C) 18 I

D) 5 - 4 /

E) -5-121

у ( - « ГЛ174. Жинактылыкка зертте: 4=1

A) жинакты

B) шартты жинакты

C) абсолют жинакты

D) жинаксыз

E) жинакты, 6ipaK абсолютп емес

I Ы _175. Жинактылыкка зертте: **>3fc(3A' 1)

A) жинакты


О абсолют жинакты

D) жинаксыз

E) жинакты. 6ipaK абсолю та емес

у И Г_ “ t I

176. Жинактылыкка зертте: **• * т *

-I

173 й = 1 3 — 20 i z i = 3 + 4/ кешен сан дары берш ген. -Hi есепте.

221

A) жинакты



D) жинаксыз

E) жинакты, б'фак абсол ю т емес

j . И Г

177. Жинакгылыкка зертте: *-2(̂ 'п*)

A) жинакты



D) жинаксыз

E) жинакты, 6ipaK абсолютп емес

178. Тацбалары ауыспалы катарды жинакгылыкка зертте.

A) жинакты



D) жинаксыз

E) ж инакты, 6ipaK абсолю тп емес

179. Танбалары ауыспалы катарды жинакгылыкка зертте:

A) жинакты



Ё (

D) жинаксыз

E) жинакты, o ip a K абсолюта емес


щ шA) жинакты



D) жинаксыз

E) жинакты, б’фак абсолюта емес

181 Егер, катарыныц жалпы мушесшщ шеп нелге тек болмаса, онда катар:

A) абсолют жинакты

B) жинаксыз

C) жинакты

D) жинакты да, жинаксыз да бол ад ы

E) шартты жинакталады

у и г4- l J z


A) шартты жинакты

B) жинакты


D) жинаксыз

E) жинакты,б'фак абсолюта емес

223

у . ЗИ # 1

183. i-i 5/i — 3 катарын жимактылыкка зертте.

A) жалпы мушесшщ ш еп 1-лен Kiiui болгандыктан жинакталады

B) жинактылыктын кажеттипк шарты орындалмайтындыктан жинакталмайды

С> жалпы мушесшщ ш еп 1 -леи K i i u i болгандыктан жинакталмайды

D) жалпы мушесшщ ш еп нелге тен болмагандыктан жинакталады

E) жалпы мушесшщ ш еп 1-ге тен болгандыктан жинакталмайды

184. 3,7 + 2 катарын жинактылыкка зертте.

A) жалпы мушесшщ ш еп 1-ден Kiiui болгандыктан жинакталады

B) жинактылыктын кажеттЫ к шарты орындалмайтындыктан жинакталмайды

C ) жалпы мушесшщ ш еп 1-ден K i i u i болгандыктан жинакталмайды

D) жалпы мушесшщ ш еп нелге тен болмагандыктан жинакталады


у (-1)"185. «=| п катары ...

A ) жалпы мушесшщ ш еп 1-ден K i i u i болгандыктан жинакталады

B) жинактылыктын кажеттЫ к шарты орындалмайтындыктан жинакталмайды

C) шартты жинакталады

D) абсолют жинакталады


|«е186. "=° п катарын жинактылыкка зертте.

224

Л) жинакталады

B) абсолют жиынтыгы

C) шартты жинакталады

D) п-жуп болганда жинакталады, так болганда жинаксыз

E) ештене айталмаймыз

1 1 1 I- + - + - +

187 2 4 8 2* катарынын косындысын тап

A) 1

B) ~

C) -1

D) 2

E) О

188. 1 + х + . . .+ х" + ... функционалды к катардьщ жинацталу аймагын тап.

A) 3 < X < 2 ;

B) — 2 < д: < —1;

C) ~1<ДС<1;

D) 1<Х<2;

E) 2 < х < 4

Ж X*X + — J + . . . + - у + . . .

189. 2 п- функционалдык катардьщ жинакталу аймагын тап

А ) ~ 2 < Х < - 1 ;

в) ~ i < ; x < i ;

225

c> 1JS.VSS3;

D) З ^ .Г < 5 ;

E) x > 5 m

2 я.V .tX + —= + ... + —= + ...

190. v 2 V/i функционалдык катардык жинакталу

аймагын тап

A) - 1 ^ дс < 1;

B) 1 ^ * < 3 ;

C) 3 < Х < 5 ;

D) 5 < * £ 7 ;

Е) 1 < х< 9

191 10jc+100jc + ...+10"jt" + ... функционалды катардын жинакталу

аймагын тап

A) “ 3 < х < - 2 ;

B) - 1 0 < * < - 1 ;

C) — 10 < JC < 10 ;

1 / , 1 -----( х ( ---D) Ю 10

E) 2 < х < А .

X / | \п+1 Xх ----- + ... + (-1 ) — + ...192. 2 п функционалды катардын жинакталуаймагын тап

А) - 3 < х < —2;

В) - 2 < х < - \ '

226

C) “ 1<ЛГ!!й1*

D) I < X < 2 ;

E) 2 < х < 4

х* ШЛ* + ------- h ■ — - - - + . . .

193. 20 « 1 0 функционалды катардьщ жинакталу аймагын тап

A) - 3 < х < -2 ;

B) —1 0 < х < —1;

C) -1 0 £ х < 1 0 ;

1 / / 1 ----- (х ( —D) Ю 10

E) 2 < х < 4

194. Маклорен катары нын, жалпы rypi кандай?

А) *=о(* + 5)! .

/ ( Х ) = в) *=о(* + 4 )!

О *=о(* + 3)! .

Д х) =D) *=0 а + о!

Е) *=0

227

lim $ Г к = /195. *=° катары бер1лген, жинакталады. егер:

А) 1 < / < 2 ;

В, 2 < / < 3 I

C) 3 < / < 4 ; ■

D) I < 1;

E) / > 4

№196. *=0 катары бершген,

A) 1 < / < 2 ;

B) 2 < / < 3 ;

C) 3 < / < 4 ;

Н | йlim —-— = /

U I жинакталады, егер:

D)

Е)

/ < 1

/ >4

197. Даламбер белпс! бойынша жинакталу радиусынын формуласын аныкта.

А)R = lim

jt-»«ч +i

В)

С)

R = lim к —><*

а,.CIl

D)

*+1 У

R = lim —.....■ M i9

R = lim|flt -а*+||

228

Е)ЯшНМ

1к-)вв

198. Коши 6ejirici бойынша жинакталу радиусынын формуласын аныкта.

А)

I

В)

С)

R = lim *-►«

а

Ч +l *

R = lim —

/? = I im |a t • a * +||D) *->“

Я = lim d o JE) 1

£ —lra*99. *=•* Дирихле катары жинакгалады, егер:

A) - 5 < а < - 4 ;

B) - 4 < а < - 3 ;

О - 3 < а < - 2 ;

D) - 2 < а < 1;

E) а > 1

L ~ —200. «=оЗ"(п + 1)

A) - 3 < J f < 3 ;

B) 35дг<9 •

катарынын жинакталу интервалын керсет

229

C) 9<S.V<I5;

D) 1 5 ^ Л < 2 1 ;

E) 2 1 <i .v < 27

~ 3" • v"У - - - r ■/i=i J ( 3 n - 2 ) - 2 " _201. vv ' катарынын жинактапу интервалын корсет

V2— ss < x < ------A) 3 ;

S M----- < x< —B) 3 3 ;

V2 ,— < jc < 1

C) 3 ;

D) l < - « < 2 ;

E ) 2 < jc < -н »

“ (;c + l)"+1

202. ,,=°(n + 0 • 4 цатарынын жинактапу интервалын корсет.

Д) — 5 < дг < 3;

B) 3<дс<5 ;

C) 5 ^ лг < 11 j

D) 1 1 < -V < 13 ;

E ) 13<Л<+«>

оо /IX — —

203. н=1 + ' катарынын жинактапу интервалын керсет.

А) - о° < JT < - 2 ;

I

230

В) - 2 < л - < 0 ;

C, -1<.г<1;

D , 1 < Л < 2 ;

Е) 2<-v<3

204. —• кагарынын косындысын тап жэне жинакталу интервалын корсет

—— ,-1 < х< 1A) »-*

1 -х-----,дг # 1B) *

—— ,-1< х< 1 О , + *

J L . ^ ,D)

E) |f f f

i 4205. •**2* дарежелис ютарынын жинакталу радиусы неге тец?

1А, 2

хB) 2

2C) I

D) 2

E) I

231

206. дорежел1к ка гарынын жинакталу радиусы неге т ен '

A) 0

B) “

C) П

D) X

E) I

£10" л"207. дэрежеж'к катарыныи жинакталу радиусы неге тен?

\_A) 3

IB) »о

C) 2

ID) 5

E) 10

£ 4208. • * ! дэрежелж катарыныи жинакталу радиусы неге тен?

A) 1

B) О

C) 00

D) 3

E) 3

232

2iw. *'u дэрежел1к катарынын жинакталу радиусы неге тен?

A) -1

B) 1

C) О

D) 00

E) П

A) жинакты

B) жинакгалады,б1рак абсолю тп емес


D) жинаксыз

E) шартты жинакты

211. Катарды жинакгылыкка зертте: ' '

A) жинакты

B) жинакты, б>рак абсолю тп емес


D) жинаксыз

E) шартты жинакты

212. Айнымалысы бел ш ген дифференциалдык теццеуд! аныкга.

210. Кдгарды жинакгылыкка зертте: * 2л — Ii ~ + - + ( - i r v3 2л-

А)

233

В)

С)

X {.x)Y{y)dx + X , (.v)K, [ y)dy = 0 .

/ = /а х + b \ + с

I у

D) / + р{х)у = fl(-T).ve ;

Е | | v , v)J.v + Q(.х. y)dy = d U (.r. y ) .

>13. Бернулли тендеушщ жалпы Typi кандай?

X̂ d x + ? ^ d y = 0А) Х Л х ) r (y )

В)X {x)Y{y)dx + X , (jf)J', (y)dy = 0 .

y = fC)

D)

E)

ax + by + c. 0 | J t + Ь \Х + C| у

y + p { x ) y = q{x)ya .t

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = d U (x ,y ) .

У + p{x)y | q{x)ya214.колдану керек?

у = их .

тендеуш шешу ушш кандаи алмастыруды

А)

В)

С)

D)

ах + by = z .

и = v,1-е

x = u + h-, y = v + к .

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, б'фден интефалдалады.

X(.v) , К ( у ) . _— | - t ^ - r d y | О

5 Х ,(х) Y (y ) тендеу!н шешу уинн кандаи алмастыруды

t234

кол дану керек'

у = их .А)

В)

С)

ах + by = z .

и = V

D) г = к + /г, v = v + it

Е) ешкандаи алмастыру колданылмаиды, бф ден интегралдалады.

ах + by + с/ = /

216. а |А' + Ь\Х + С|

Л =колдану керек,егер

тендеуж шешу ушш кандаи алмастыруды

а Ь

о, Ьх

А)

В)

С)

D)

у = их .

ах + by = z

и = у I-а

х = и + А; у = v + к .

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, бцэден интегралдалады.

217.

ах + by + с

Д =колдану керек,егер

у = их .

тевдеуш шешу ушш кандай алмастыруды

а bа, Ь,

= 0

А)

В) ах + by = z

С) м = у

235

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, б1рден интегралдалады.

218. У + РW y = W 6ipiHixii perri сьпыкты дифференциалды тендеуд1 шешу ушш кандай алмастыру колданылады?

A) -v = " v ;

B) ах* ьУ=£ ;

x = н + Л; v = v + к .

0ч х = и + Л; y = v + k .

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, б!рден интегралдалады.

2|9 аУ +Ьу + су = 0 хендеу1 калай аталады?

A) екшнп perri коэффициент! туракты бгртект! дифференциалдык тендеу;

B) Бернулли теццеу!;

C) екшнп perri коэффициент! туракты емес б1ртект1дифференциалдык тендеу;

D) 6ipiHiui peTri дифференциалдык тендеу;

E) айнымалылары белшген дифференциалдык тендеу;

220. аУ + .+су = /(•*). Тендеу1 калай аталады?

A) еюнип peiri коэффициент! туракты дифференциалдык тендеу;

B) Бернулли тендеу!-,

C) екшнп perri коэффициент! туракты емес 6ipTeicri дифференциалдык тендеу;

D) 6ipiituii perri дифференциалдык тендеу ;

236

Ё) айнымалылары белшген дифференциалдык текдеу;

221. БёрщгёН дифференциалдык тендеуге сэйкес к^рылганс и паттам алы к тендеудш туб|рлер! кешен сандар болса, онда оныц жалпы шеш1М1 мына турде 1здел1нед1.

С Л, .1 л,е ' +С2е * .A) - 1 - .

B) у = (С1.г+ С 2> Я,г.

с> у = еа' (С, cos f ix + С2 sin f i x ) .

D) У = (C| cos f ix - С 2 sin f i x ) .

JLjt .E) y = e s + e ;

222. Бершген дифференциалдык тендеуге сэйкес курылган сипаттамалык тендеудщ Ty6ipnepi накты api 6ip-6ipiHe тек

(Д| = ^2) сан дар болса, онда онын жалпы ineiuiMi мына турде 1зделшеди

A) у = С , ^ + С2̂ ;

B) > = (С|Дс + С2> Я'х .

р у = «“ (Q cosf i x + С2 sin /St).

D) у = «?ш (C, cos fix - С 2 sin Дг).

E)

223 У + РУ + ЧУ ~ v i x ) тецдеу! калай аталады?

A) екшил perri коэффициент! туракты б’|ртект« емес дифференциалдык тендеу;

B) Бернулли тендеук

237

C) екшин perri коэффициент! туракты емес б1ртект1 лифференниалдык тендеу;

D) 6ipinmi perri дифференциалдык тендеу;

E) айнымалылары белшген дифференциалдык тендеу;

224. М^Х ~ У ~ •* - 3, у = 1 TenaeyiHiH дербес шеинмш тап.

A) V2 = 4у + С ;

B) jc2=4-V + 3 ;

q х г = 4у + 5.

х 2 — 4 vD) - ;

E) * = 4у2 + 5 .

225. \ ~ У ~ х — 3, у - 1 тевдеушщ жалпы iueiuiMiHтап.

А)

В)

X2 = 4 у + С .

jc2 = у + С .

™ jc 2 = 4у + 5 .

D) * 2 = ^ У ;

E) х = ^У

226. \ у |? + ^ У 7®’ ■* -1» у —10 хецдеушщ дербес шеипмштап.

Д) у = Зх + С .

В) ->‘ = 'V + C | ;

238

О у = 7л + 3.

D) 3’ = Зл.

Е) у = 3.V + 7 . 1

227. xds Ф (.у - S ) d y = 0;

А) у = 5jc + С 2 .9

В) у = jt + Cj.•

С) у = 7х + 3.9

D) *2 + ( у -5 )2 = С 2.9

Е) у - 5 = 3*.9

228. ^ + = 0

А) у = 5х + С 2 .9

В) * Ч ( у - 5 ) 2 = 5 .9

С) х 2 + ( у - 5 )2 = С 2 .9

D) Л-2 + (у -5 )2 =25.•

Е) у - 5 = 3jc . f

229. ^ 3 у тевдеушщ

А)

О+II>4

В) у = ln|jc| + С

с> У = 1 ПН ;

тевдеушщ жалпы шеилмш тап.

тевдеушщ дербес шехшмш тап.

М0(ОЛ) „yicrcci аркылы ететж шешймш тап.

239

D) V

E j V

230.

тап.

A) -V

B) У

C) y

D) У

E) У

231.

тап.

A) 3

B) 3

C) y

D) '

E) J

232.h,k

, .v

л/l + x~ тендеушщ нуктеЫ аркылы ететш шеиимш

= л1\ + х2 +C.

= l + .v2 .

= (,nN + Jc2f ;

= yjl + x2 .

э йУ — COSJr тендеушщ ' ' нуктеЫ аркылы ететш шеппмш

i = sin I + С !

1 — COSJC + 1 .

= sinjc + l .

>> = cos.t + C.

> = s in* .

, x + 2 y + \У = -т

lx + у i Тендеу!ндеу5н шешу барысында

параметрлершщ мэш неге тен?

= «-' + 1.

240

л, Ш И 1:

в» Ш Й Я 1';

С) Л = -1Д- =~i.

D)

А = 0Д = -1.С/ *

JC->У =:

233. + 5 теидеуш айнымалысы белшетш тендеуге келт'фуушш кандай алмастыру колданылады?

А) y — uv

С) и = У1~ ° ;

m х-.— и + ft', y - v + к .У/ »

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, бхрден интегралдалады.

дг+у+З234. Зх+Зу+1 тевдеуш айнымалысы белшетш тендеуге келт1ру ушш кандай алмастыру колданылады?

A) У ~ и%! ;

B) Х + У = г ;

С и = у ,_а ;

D х = и + A; y = v + k .

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, б^рден интегралдалады.

235. У ~ у ~ е тендеушщ шепймш iап.

241

Л) v»CV

В) .V -C + .W .

С) У = С у+CV,

И У = 0 ' + . « \

Е) •v = *’ + c ;

236. v v = tf тендеуш ж tueiuiMi кандай турде пделшед1?

B) * + * * * ;

C) и = У в ;

D х = и + h\ у = v + к .

Е) ешкандай алмастыру колданылмайды, б1рден интеф алдалады .

237. ху - 2 у = х 3 + х тецдеушщ uieiiiiMi кандай турде 1зделшед1?

D)

E) ешкандай алмастыру колданылмайды, б'фден интегралдалады.

238. v = г ~ тендеуш щ жалпы uieuiiMi кандай?

л3 л 2 _ у = ----------- + С,х

A) 3 2 ■ .

B) у = С,еА + С2* \

242

C) y = Vl + JC2" + C.

3 2 -V -V _ , >,у —--------------1 Ci л' + C i

Я 7D)

3 2-V Л „ ,v = ----- (- — + C i.t + C^■ J 7> 1E) J

239 v*+3y*+4y = Оте^деу |не сэйкес сипаттамалык тендеу кандай?

А) Я2 + З Я - 4 = 0 ;

gl Я" + 4Я = 0 j

С) Я2 -З Я + 4 = 0 ;

Q) Я2 + Я + 4 = О ;

Е) Я2 + ЗЯ + 4 = О ;

240. у"+3у-4у=0 тецдеу|цщ жалпы шеш1мш тап.

A) у = С,^ + С2̂ .

B) у ЯС1в-* + С2е ^ ;

C) У~С\е* - С 2е~*х ■

D) У = С 1е* + С 2е ^ л + С Ъ.

E) У = С,вл +С 2;

241 4y*-4y'+v = 0 тевдеуш’щ жалпы шеипмш тап.

A) У-С,е' + С2̂ ;

B) У = С ,е-'+ С2̂ \

243

XD) г * ( с , ^ с , у " 5 .

E) у = C\tx + Cie"41 + Cj|

242. -v ~®-v +25v=0 Тендеу!н1нжалпы шеиймштап.

A) у = е4т (Cj cos Злг) + С 2 sin З х .

B) у = е Ах (С, cos jf + С 2 sin jr).

y = e4jt( C |C o s3 jc )-C 2 s in 3 x .

0 y = e x (C { cos Зле - C 2 sin 3jc) .

E- у = e 4jt(C, cos3jc + C2 sin Зле).

243. У* + У _ 2у = 6дс + 14.r + 6 теНд еу|Н 1ц д ер б ес uieuiiMi кандай гур д е

!здел ш ед 1?

A) У\ + Вх + с )

B) У| = Ах2 + Вх + С

о У\ ~ x ( A c o s x - В sin 2л )

У| = jt(A cos2 jc+ f ls in 2 x )

Е) у, = Ах2 + Вх

244. У + 2-v = I2jr + 4jt~ 4 тендеужщ дербес uieuiiMi кандай турде 1зделшед1?

.. Vi = Ах' + Вх + С А) Щ

п yas(C,.r + Ci V 2 .

244

У| = л (A cos2л + в sin 2л)

у, = л(лл~ + В.х + с )С)

D У| = л(A cos л■ - В sin 2л]

Е У| = Ах~ + В.х

245. v + 4 .v -1 2 c o s2 .t тендеушщ дербес uieiuiMi кандай турде !здёшнёда?

А) у, = л{ A cos х — В sin 2л)

В) y t = A * 2 + Bx

C) у, = А х 2 + Вх + С

D) У \= х(А х2 + Вх + С)

У| = л'( A cos 2х + В sin 2л)Е)

246. у ~х жалпы шешшщ тап.

х 4 С,л2 _y = — + -j z~ + c 2x + c А) 24 2

B)

C)

у - - е ~ ж +С\Х + С2х + С3

у = -s in x + Cix 2 + С2 х + С j

D) У - е * + С|Дг2 + С2л

4 f 2л С.дс у = —- + —— + СЕ) 2 2

247. * “ в жалпы шеилмж тап.

у = -sin ir+ C.jt + C2jt + C,A )

245

В) ‘ + С ,л -+ С л + С,

л'4 С,л" - у = — + —1— + С,D)

.V С, л" _ - v = — + —I— + C,.v + С 24 2Е)

248. А окигасыиа колайлы жагдайлар санынын ( т ) сынаудын тен муммндйк ri барлык жагдайлар санына (и) катынасын А окигасынын

... деп атайды.

A) ыктималдыгы

B) ЖИШП

C) улеспр!м тыгыздыгы

D) орташа квадрагтык ауыткуы

E) статистикалык ортасы

249. Ж эилкте 10 шар бар, олардын 4-i ак, 6-ы кызыл. Жэийктен кез- келген 6ip шар алынды, онын ак шар болып шыгуыньщ ыктималдыгы кандай?

A) 4/10

B) 10/4

C) 10/6

D) 6/10

E) 4/6

250. Окиганын ыктималдыгы уинн кай тецс13Д1к дурыс?

o A lА) «

246 %

- I< — <0В) "

o s —siC) "

- IS —SiD) n

-1<—<1E) "

247

Ем гнхан recnep i.

Тест № I

1 /(л) = —— - функциянын интеграпын табындар л" - <г

-In х - и В) ' In х - и С) 1 In х - а D) In | .г - л22 х + а 2.v х +а 2а х + о

с \ • vh) —arctg —и а

2 Бвл.ктеп интегралдау формуласы:A) fu'dv = uv — jv'dit В) jti'dv = uv + jv'ilu С) ju'dv = uv — jv'du

D) judv = uv—jvdu E) judv = uv + Jvdu

i f ДГ" +33 I— — dx аныкталган интегралды есептевдер. o-v+1

A) 1 - - В) 1 + - С) 1 - - D) 1 + - E) 1 - -2 2 4 4 6

4 у = / (л ) сызыгымен, О х о с 1мен ж эне х = а , х = Ь, а< х< Ь тузулер 1мен шектелген жазык фигуранын ауданы келес 1 формула аркылы табылады:

Ь | /> b ь

A ) S = j/(x )d x В) S = - f / 2(x)dx С) S = jxf(x)dx D) S = x f f 2(x)dxа а а а

Ь

Е) S = К J f(x )dxа

5 у = х 1, у = 0 , х = 3 сызыктарымен шектелген фигураныц ауданын табындарА) 5 В) 6 С) 7 D) 8 Е) 9

6 z = х~ — 2y J + Злг у 2 — 1. табындарахду

А) 6 В )6 х -1 2 _ у С) 6 д г - 6 >< D) 6 —12у 2 Е) 6 у7 z = х г + у 1 + 4 .v -6 y - l функцияны экстремумга зерттендерА) г№ 1 г(-2;3) В) | г(-2;3) С) г11й1 | г(2;-3) D) ?1j j г(2 ;-3 )

Е) ж ок8 Есептендер Jff(jt + y)dV. V = {0 < х <, 1;0 £ у й 2;0 <, г S 3}

vА) 9 В) 8 С) 7 D) 6 Е) 59 х2 + у2 = 2х сызыктьщ тендеу» н пол ярлык координаталар турш де келт1р 1ндер

248

А) р — cos2ф В )р = 2соьф С) /? = sin20 D) р=2итфЕ) р = sin ф

10 Мына £ а п катар, lim —— шек аркылы аныкталса, ол ммнщп=1 п-х» а п

белпаА) Лейбниц В) Коши С)Даламбер D) Рабе Е) Гауссi . i r 1 . 1 1 111 Катардын косындысын тап: ---- + ----- + -------(-... + ----------+...

1-2 2 3 3-4 n(n +1)А) 0 В) 2 С) 1 D) 3 Е) 412 P(x)dx + Q(y)dy = 0 тендеу калай аталады.A) дифференциалдык тендеуB) айнымалылары белшген дифференциалдык тендеуC) жалпы тендеуD) айнымалылары белшетш дифференциалдык тендеуE) айнымалылары белшбейтш тендеу13 Bipreicri дифференциалдык тендеуд1 шеилндер: sdy-ydx = Ц г + угdx

A) y = Jx(C+x) ; В) £ П 7 « С , Q Сх1 1 Щ ® I у2 D)farrig—

Сх = е 1 ;

Е) уе 'Ь ~ С .14 Бернулли тёндёущ шеилндер: у' + у =

А ) у = ~ — ------ В) у - —,------!------- C )v =-л5+с*г ' E i p i ' VcTTTTiИИв

v 2 жfev ( С + юссид 1 i \2D) у = |------------ + tgx\ E) у - (Се 2 + x - 2)

x15 Толык дифференциалды тецдеуд! шеилндер:(.г* + З.гу2 )dx + (у3 + 3 x 2y)dy = 0А \ 1 г»ч X* 3jT V* V4 ~ ч 1А) у = - - ----------- В) — +— - — + ̂ — = С С) у =

I f в 4 2 4 ’ V c V + .r + l3

D) (v 2 IC+Incos.t 1 СЧ ~ , - , . 2 -------------+ tgx I Е) у = (Се - + Л- - 2)

16 Сызыкты дифференциалдык тендеуш шеилндер: у

249

I £ — + .V + С*A) v = —— - + Сл"; В) у = 1+Се 1 ; С) у = - Ц ------

I - а и Щ +1)'D) V = (л + С)е%; Е) у = СУ - л -1.17 Дифференциалдык тецдеудщ жалпы шеинмш тап. у 1 — Ну = О А) С, + С 2е8х В) С, - С 2е 8х С ) С , + е 8х D) С 2е “х Е)

С|Х + С 2х + е х18 Дифференциалдык тендеуд! шеш. у = х + sin х

А) у = е 2х(С, + С , х ) В) у = С ,е”3х + С ,е 3х С) у = С, + С 2е_3х

х3D )y = ------sinx + C|X + C-» E)y = x - S i n x + C|x + C2

619 Кездейсок шаманын мумюн мандер1н1ц сэйкес ыктималдыктарына KeoeHTinfliciHiu косындылары ...А) улеспру орташасы В) математикалык yMirC) дисперсияD)oprauia квадрат ауытку Е) эксцесс.20 Bip колода куратын 36 карта мукият араластырылган, ягни эрб!р картаньщ ориапасу мумк1нд1г1 тен ыктималды. Колодадан алынган 6ip картаньщ туз болу ыктималдыгын табу керек.

А )4 ; В)— ; С ) - ; D) Е ) -18 36 6 9 9

Тест № 2

1 /(* )= —;---- - функцияньщ интегралын табындарА*‘ +fl*

A) I ln jc—a B) M g ij C ) ‘ lri x — a D) 1 In x — a2 x + a a a 2 a X + Cl 2x x + a

Е) 1п|л-’ + а 2|

2 |.v■ arctgxdx интегралында jiidv = и -v - jvdu TypiHfleri бвлисгепинтегралдау формуласы колдаиылады. Керсет1ндер кандай функцияны и аркылы алу кажет жэне кандай врнекп dv аркылы алу керек.А) | = | dv = arctgxilx. В) и = arclgx dv — dx. С)и = xarcigx dv = dx .D) м = xdx dv = arctgx. E) и = arctgx dv = xdx.

250

i V.v+ 43 J— -tlx аныктапган интегралды есептендер

A) — В) l + ^л— С) 1 + Oi9 D) l + fn— E)3 2 4

1 + fn34 v = /(.v) кисы к сызыктын догасы Ox ociH айналады. a<x<b. Айналу бетшщ ауданы:

А) | | |/(х > /х В) 2я-)у7* + (у*)гЛ С) 2я} J l + ( / f d x

Ь I____D) 2л-J^l+у </.t Е) l-Jt + l / f d x

а а5 у = х2, у = О, jc = —3 сызыктарымен шектелген фигуранын ауданын табындарА) 9 В) 8 С) 7 D) 5 Е) 6

6 2 = 4х ' у 1 -5х4 + 2у' + 3. табындарofcrdyA) 24xJy В) 12у + 8х’ С) 12у + 24х2у + 8х3 D) 8х3

Е) \1у7 г = х2 + у2 + 4х+бу-1 функцияны экстремумга зерттендерA) zM, = z(-2;3) В) z„*, = г(-2;3) С) г„„ = г(-2;-3) D) гга1 = г(2;-3)

Е) жок8 Есептендер JJJ(2x + y)dV. V - {О < х 5 1;0 <1 у < 2;0 S г £ 3}

V

А) 9 В) 8 С) 7 D) 6 Е) 129 х2 + у2 = 2у сызыктын тендеуж полярлык координаталар тур|нде кёлтхрщдерА) р — cos2ф В) р = 2са&ф С) р = sin20 D) р = 2sinф

Е) р = sin ф

10 Мына £ а п катар, lim ^/а^ шек аркылы аныктапса, ол KiMriuiп=1 п- >°°

белпсьА) Лейбниц В) Коши С)Даламбер D) Рабе Е) Гаусс

, 4 9 16 2511 Катардын жалпы мушесж тап: I + — + — + — + —— +.... а п ~ •

2 6 24 12и

A) " L _ В) — С) - D) — Е) —2п +1 п! п! п + 1 п + 1

12 M ,(x)N ,(y)dx + M 2(x )N 2(y)dy = 0 тендеу капай аталады.

251

А) дифференциалдык тендеу В) айнымалылары бвлшген лиф. тендеуC) жалпы тендеу D) айнымалылары бвлшепн дифференциалдык тендеуЕ) айнымалылары белшбейтш тендеу13 BipreKTi дифференциалдык тендеуд1 шецццдер: (*' + у )dx = Ixydy

______ I z. p iA)v = 4 ^ c T 7 )\ B) V-r + y: С )схг = у+1кг + у2

D) C.v = e ' ; E) y J ' = С .14 Бернулли тендеуш шеишцдер: у'+ у = x j y

А )у = - 1— 5----- В) у = - Г - --------- С )у = -i v + c * 23

_ . f С* + 111 COS Л* | г \ / л . *» , „ <)\2D) у = 1------------ + /Ы E) y = (CV - +дг-2)

15 Толык дифференциалды тендеуш шеипндер:(2.v - y)dx + (2у -f jc) dy = О

4 -» 2 2 .4

Я В я Щ ? !

d> в^^З Я 1 IS i</у ау х + 1

16 Сызыкты дифференциалдык тендеуд» шешщдер: — - — - з

— +а+СA) v = — — - + Сс°; В) у = 1 + Се 1 ; С) у= | , -j -

1 —а а I* +ЧD) у= (ах+ С )е'\ Е) у = Сех- а х - 1 .17 Дифференциалдык тецдеудщ жалпы шеинмш тап. у"+4у'+3у=0, А) с,ех+с2е‘3х В) с ,е х+с2е 3х С) с,ех+с2е3х D) е4х+с Е) е3х+е4х.18 Дифференциалдык тендеуда шеш. у 1 = cos 2хА) у = е2х( С , + С 2х) В) у = С ,е-3х + С ,е 3х С)

у = С , + С 2е“3хх2 1

D) у = С,ех + С2 ------ Е) у = С,х + С2 cos2x

19 Лотереядапл 1000 билеттщ 500-i утысты.Сатылып алынган ею билеттщ екеуше де утыс шыгатыныныц ыктималдыгы кандай ?

252

а Щ B ) i ^ ; § Щ D ) i ^ ; Е)1998 1998 1998 1998 1998

20 Тауелд! окигалардын ыктималдыгын кебейту теоремасы:А) Р(А В) = Р(А) Р(В) В) Р(А В) = Р(А)+Р(В) С)Р(А В) = Р(А) Р(В/А)D) Р(А В) = Р(А) Р(А/В) Е) Р(А-В) = Р(В) Р(В/А)

1 /(*) | - j —- дг — 4

А \ 1 ХA) —arctg —2 2

Тест № 3

функциянын интегралын табындар

В) arctg— С) —In 2 4 t + 2

D) -In 2

д—,2x +2

E)

—In

2 Ix - 2x+2

2 x - \ -dx аныкталмаган интегралды тапканда ец алдымен.vgi)3(x + 2)

керсетшген здктердщ кандайын колданады?

А) Универсалды алмастыру tg— = t. В) Батктеп интегралдау.

C) интеграл астындагы функцияны карапайым белшектерге ж1ктеу.D) интеграл астындагы функциянын квадрат ушмушеЫндеп толык квадратты бел in алу. Е) (.v-l)J - t апмастыруы.

r2 + jtJ3 f----- rrdx аныкталган интефалды есептендер

А) 1-- В)1 + - С) 2 4 D) 2 Е) 1 + -

2 -

4 у = /(.г) а < х < Ь сызыктын догасынын узындыгы келес! формуламен аныкталады:

А) «1 ) y j \+ {y ' fd x В) f = )y]l + V4/.T С) 1 1 j x f i + b i f d x D)а и и

b ______t. = jVl +(y'Y dx

Е) f= \xf{x)dx

253

5 v = .v\ y = 0, x = 2 сызыктарымен шектелген фигуранын ауданын табындарА) 5 В) 8 С) 4 D) 3 Е) 6, , . d2Z ~6 с = е sin v. ——- таоындар

cLvdyA) c'siny + s'cosv В) е ' sin у — еЛ cosv C)t?'cosy D)- е 1 cos уЕ) - е ' sin у — е' cos у7 : = л’ + у- — 4 .v—6у — 1 функцияны экстремумга зерттендерA ) c„Bi = = (-2 ;3 ) В) = с ( -2 ;3 ) С ) гШп = с ( - 2 ; - 3 ) D ) с„„ | г(2 ;3 )

Е) жок-8 Есептендер jTJ(3.fr— 2=)«#V. V = {О < ,v < l;0 < у < 2;0 < ; < з}

V

А) -6 В) -8 С) -7 D) -9 Е) -59 х~ + у~ = х сызьщтыц тендеуiH полярлык коордннаталар туршде келт1р1ндерА) р = cosф В) р = 2cos0 С) р — у̂лТ.ф D) р = 2 sinф

Е) р = sin ф10 Мына lim а п шек аркылы жене a n+( < а п тецщк аркылы кандай

п—»«■>белп аныкталады.А) Лейбниц В) Коши С) Даламбер D) Рабе Е) Гаусс

11 Катардын жалпы мушесш тап: 1 + — + ------ +---------- +.... «. = ?1 2 1 2 3 1 2 - 3 - 4 "

А) — В) — С) — !— D) — Е) —п и! м(л + 1) 2 " 3"

12 у1 + Р(х)у = Q(x) тендеу калай аталады.А) 1 ре rri сызыктык дифференциалдык тендеу В) айнымалылары бел iH ген дифференциалдык тендеу С) жалпытендеуD) айнымалылары белшетш дифференциалдык тендеуE) айнымалылары белшбейтш тендеу13 BipreKTi дифференциалдык тецдеуд! шецццдер: (-Jxy - x)dy + yilx = 0

_____ _ у ___________А) у = у]х(С + х) ; В) ijx2 + у2 = Се *1; С) O r = у + yjx1 + у2

nrr/j —D) Сх = е ; Е) уе ' ■ = С.14 Бернулли тендеуж шешщдер: у = л’у' - ху

254

A) у = - — ------- В) § Щ ------1------- С) у = - . 1

- »'5 + С.Г Iv + I + Се'' -JCe' + .Г +1

Г , ч / С + Incos.v 1 _ ч „ ~г _ ,D) у = ------------- + tg.т Е) у = (Се - + х - 2)'

15 Толык дифференциалды тендеул1 шеилндер:(2ху - у )dx + (.«■’ — 2 ду)</у = О

А) г - . п + v2 = С В ) — + i ^ H + 2 - = c С) v =4 2 4 ' Vce1’ + .Г +

f С + Incos.v I _ ч —D) у = I ------------- + igx E) xyix - y> = С

16Сызыкты дифференциалдык тендеущ шеилндер: ^ + у'—’ = —

A )v = —— -+Сг"; В) v*f+CV *; С)I - а а (х~ + 1)”

D) у = (.т + 0 ' ; Е) у = Ссг-л -1 .17 Дифференциалдык тецдеудщ жалпы щещшш тап. у”-5у'+6у=0, А) С|е' +с2е6* В) с|е24 с 2е311 С) cte г,+с2е 3)1 D) (с(+с2х)е'5х

Е ) 0 .18 Дифференциалдык тендеуд1 uieui. у" = ех

А) у = er + C.JC + С2 В) у = С.е-3' + С,<" С)у = С,+С 2е-Яг

D) у = <7,*'+С2 - — Е) у = С,х+С2 - -c o s lr

19 Урнада 3 ак, 4 кара жане 5 кызыл шар бар. Урнадан кара шар суырып алу ыктималдыгы кандай?А)1; В ) | ; С )] ; D ) |; Б>|

20 Уйлес1мс>з окигалардын ыктималдыгын кебейту теоремасы:А) Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ) В) Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(А/В)С) Р(А+В) = Р(А) ■ Р(В/А) D) Р(А+В) = Р(А)+Р(В)E) Р(А В) = Р(А)+Р(В)

dx Щ + 1 х1 + 1

+ .г + С

Тест № 4

I f(x) = ■ = функииянын интегралын табындар'Jx1 -5

255

E) 3 arc&in—5

2 [-??—--<iv интегралынан белгш кестедел интегралды шыгарып алу J .v

уиин кандай алмастыруды колдану керек?M l n >0x - i . В) bix = t . С) - = t. D) — = /. Е) КНпчх = 1.

' X XI .

3 Г , —---- dx аныкталган интегралды есептендерJ x " +4.V+4

A ) - i В ) ^ C ) i D ) i Е ) - 4

4 р - р{(р) а<,(р<>р сызыкпен шектелген жазык фигуранын ауданы:

р Р Р .--------------- -A) S = fp[<p)d(p В) S = jp~ [<p)d<p С) S - 2 л jyjp2 + (p'Wif d<p

a a e• p , /»

D) 5 = - J/)2 E) S = - ]p(tp)d<pa a

5 у = 4—.v2, у = 0, сызыктарымен шектелген фигуранын ауданын табындарА) 32/3 В) 11/3 С) 7/3 D) 5/3 Е) 6

6 г = х3 In у. —ё~ табындарахду

А) Зх21пу+— В) Здс2 In у + — у ' С ) ---- D) — In у Е)У У У 4

, 2, *э3.v In у -----У

7 z = х г + у 2 - 4 х + 6 у - \ функцияны экстремумга зертгендерА) гмх | с(-2;3) В) ^ = :(-2;3) С) Щ = г(2;-3) D) § г(2;-3)

Е) жок.8 Есептендер J|J(c + 2.v)</V. V = {о £ л: < 1;0 < у < 2;0 < г S 3}

VА) 15 В) 18 С) 17 D) 21 Е )59 .v2 + у2 = у сызыктын тендеуш полярлык координатапар туршде келт1р|цдерА) р = соьф В) р = 2gos0 С) /j = sin 20 D) р - 2sin0

Е) р = sin ф

A) 3nresin-j=r В) 3lii|.* + V .r-3 | С) 3u n ig - j . D) 31п |л -/? -s |

256

10 (х-а) дережес^мен яоктелетш катар кщнщ катары деп аталады:А) Тейлор В) Маклорен С) Фурье D) ауыспалытанбалы

Е) сандыкоо „ П

11 Катардын жинакталу радиусын тап:п=1 3

А) I В) 2 С )3 D )4 Е) 512 у1 + Р{х)у = Q(\)y” тендеу калай аталады.A) 1 ретп сызыктык дифференциалдык тендеуB) айнымалылары белшген дифференциалдык тендеуC) Бернулли тендеу!D) айнымалылары ажыратылатын дифференциалдык тендеуE) айнымалылары белшбейтш тендеу

13 BipreKTi дифференциалдыктецдеуд» шеийндер: v - л — = л+ v—dx ' dx

А) у - -jx(C + дг); В) ■Jx' + v2 = Се 1; С) Сл2 = v + ■Jx' + v"

■J! т • =D)Cx = « Е) ye i f =С.

14 Бернулли тендеуш шешщдер: х — + 2у = х5у2

Л ) , " Т Г 7 Т В ) , = Т Т ------- с ь = 7 в --------J x + —+ 0 2* -JCe-'+x2 * 1

ПЛ Г C + lncos.t У —I ----- х----- + ,&VJ E) y = (Ce 2+Л-2)2

15 Дифференциалдык тендеуд1 интегралдандар: („*+i)dx + {у - i)dy = О

= c С ) и + „ Ч ().-,)==С>rC+ln«““ -m r incos.t v

) y ~ — :— + ' H E ) x y i x - y ) = C

16 Сызыкты дифференциалдык тендеуд! шецнндер: й . » , +1dx

зхА) у - —£ —л.г." о \ ■— — + л + С

1 - а а В) v = I + Се ’ ; С) у = X ...

С|в +с2е' ' ,е с2е D>C|e +с:е Е)

257

18 Дифференциалдык тендеуд! шеш. у" = —

А) у = C.v В) у = С| - .V С) л*у = С D) у = х1 /»|л| + С|Д + С, Е)

у = С у‘19 Урнада 6 ак, 4 кара шар бар. Урнадан алынкан ем шардын екеуще ак болуыныц ыктималдыгы кандай?

ЙН Я 11 SI Я20 Уйлес1мс1з окигалардьщ ыктималдыктарын косу теоремасы:А) Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ) В) Р(А+В) = Р(А)+Р(В) -Р(А/В)С) Р(А+В) = Р(А) • Р(А/В) D) Р(А+В) = Р(А)+Р(В)С) Р(А В) = Р(А)+Р(В)

Тест № 5

1 Г(2х— . )dx табындарVl-x2

А) 2 — Зл/t — дс2 В) х 2 - ‘iarctgx С) х 2 - Ъагсс!gx D) х 2 — 3arccosxЕ) х2 + 3 arccos jc

2 f - r —— ец алдымен осы аныкталмаган интегралды табу уш1нX" + X + 1

келеа aflic колданылады:А) Бел1ктеп интегралдау. В) Универсалды алмастыру tg ^ = t .

C) интеграл астындагы функцияны квадрат ушмушесшдеп толык квадратты бел i и алу.D) интеграл астындагы функцияны карапайым белшектерге ийктеу..E) х2 + х +1 = / туршдеп алмастыру.

'Л3 J xCosxdx аныкталган интегралды есептецдер

оА) —- I В) 1 + — С) 1 -— D) —-1 Е) —+ 1

2 2 2 4 44 у = /(д), а <х <Ь сызыкпен шектелген кисыксызык трапецияныц Ох ociH айналуынан пайда болган денен1ц келем! кандай формуламен есептелед1?

258

А) V =ff|/(.vVtv В) V = * J / ’(.vVt С) V = — J/(.v)rf* D) V = |/'(.r)t/.v

E) V = —|/-(л-Ул: n •

5 у = x : - 9. v = О сызыктарымен шектелген фигуранын ауданын табындарА) 9 В) 36 С) 27 D) 5 Е)6

6 JLi. табындар sin v 3trdv

A) В) ~sin-v С) М D) Е) sm t -̂ vcosy cosy cos л cos л sin'у

7 z =x ’+y -’ -Зх+2у экстремумге зерттендерA)Min(-1; 1 )=-3 В)Мах(1;0)=1 С)Жок D)Min(l;l)=l

E)Max(0;0)=l8 Есептендер JJJ(jc-3:)</V. V = {0<jc< 1:0< у < 2;0< г S3}

V

A) 9 B) -18 C) -27 D) 26 E)-249 x1 + у1 =-x сызыктын тендеуш полярлык координаталар туршде KenTipiRaepА) р = -cos^ В) р - 2 cos ф С) р = -sin 2ф D) р = 2&\пф

Е) р = —sin10 х дэрежеамен жпсгелетш катар юмнщ катары деп аталады.:А) Фурье В) Маклорен С) сандык D) ауыспалытанбалы Е) Тейлор

11 Жинакталу радиусын тап: Y -—:——..=1 (2 я - 1 )2 "

А) 4 В) I С) 3 D) 2 Е) 512 Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=0 турдеп тендеу толык дифференциалдык тендеу деп аталады егер темендеп тецшк орындалса:А)дР(лоо = де(Ы ). В) _эриу) = ас(_т1у). C)P(tx,ty)=tnP(x,y),

ду Ах дх дуQ(tx, ty)= t"Q(x, у);D) дР(х,у) = dQ py) жэне p(tx (у)= tnp(x у) Q(tx ty)= t"Q(x у).

ду ахE) дурыс жауабы жок.13 Bipreicri дифференциалдык тецдеуд! шеилндер: (лг + ху + y2}dx = x2dy

г -orris~ _ vА) V = у[х(С + Х); В) yj к' + у -Сг т; С)Сх~ — у +1*2 + у2

259

ипчн*- *drD) C.Y = e • ; E) . w V =C .

. ■ у 2v 1 Jy14 Бернулли тецдеуш шешишер: v + — * — — г х cos' .v

3

\ ) у = - — !----- В) .v = ------- О у II .vs + Сх1 к ш ш ш * vC«r +.V- + I

j v+i +ct'2*

D) y = f C + ll--°— +/«л)Л E) у = ( с Л +л -2 )2

15 Дифференциалдык тецдеуд! интегралдандар: (у - 1)*/»+(* + 2)Jy = О

А) дг - ху + у2 = С В) + ~ = J С)4 2 4(а + 1)2+(у-1)2=С2D) (.t + 2)(у - 1) = С Е) ху(х - у) = С16 Сызыкты дифференциалдык тендеуд1 шеийвдер: у + х г у = х1

А —+х+СА) у = ~ — —+Ст°; В)у = 1 + с / > ; С) у= ] , + т

1 - а а и + UD) у = (х + С)ех; Е) у = Сех — х - 1 .17 Дифференциалдык тендеудщ жалпы шенпмш тап. у"+у'-2у=0,А) се*2х В) Cie^+Cie2* С)с|вх+с2е3х D) Cie^+Cje'2*

Е) ciex+c2e ’х18 Дифференциалдык тецдеудщ жалпы шеппмш тап. у'= (2x-l)ctg у.A) ln|cosy( = x + .t2+С В) ln|siny| = x-.x2 +С С) ln|cosy| = jr-x2+СD) ln|sinv| = jc+jc2 + С Е) ln|cosyj = х + х1 +119 Шункырда 9 ак, 1 кара шар бар. Шункырдан апынган уш шардын yuieyi де ак болуыныц ыктималдыгын табыныз.А)0,5; В)0,15; С)0,7; ' D)0,1; Е)0,220 Тэуелйз окигалардын ыктималдыктарын квбейту теоремасы:А) Р(А-В) I Р(А) Р(В) В) Р(А В) = Р(А)+Р(В) С) Р(А-В) Р(А) +Р(В/А)D) Р(А В) = Р(А) Р(А/В) Е) Р(А-В) = Р(А) Р(В/А)

260

Эдебиеттер.

1. Дуйсек А.К., Капымбеков С.К: Жогары математика. Алматы. 2004 ж.. 440 бет.

2. Хамитов М.Х. BipiHun математика. Павлодар, 2011 ж., 174 бет.3. Хамитов М.Х. Высшая математика. Экибастуз, 1999 г., 100 бет.4. Хамитов М.Х. Периодические решения дифференциальных

уравнений. Алматы. Еылым. 1997 ж., 102 бет.5. Жанбырбаев Б.С., Жацбырбаева Y.B. Ыктималдыктар теориясы

мен математикалык статистика. Алматы, 2006 ж.. 280 бет.6. Хамитов М.Х. Ыктималдыктар теориясы мен математикалык

статистика элементтерь Павлодар, 2006 ж., 262 бет, (екшцй басылым).

7. Муканов F.M., Хамитов М.Х. жэне тагы баскалар. Жогары математикага арналган есептер жинагы. Павлодар. 2006 ж. №2 (298 бет) жэне №4 (310 бет) бшпмдерЬ

8. Ильясов М.Н., Баяхметова Ф.К. Жогары математикадан жеке уй тапсырмапары. I, II бшпм. Павлодар, 2004 ж. 106 бет.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва. 1986 г., 414 бет (ектйп бел!м).

261

Автор тупалы.

Хамитов Мейрам Хамитович 1938 жылы 6ipinuii мамырда Лебяжье ауданынын №23 совхозында дуниеге келген. 1956 жылы Кызыл эскер орта мектебж, 1961 жылы С.М. Киров атындагы университеттщ физика- математика факультетГн бтрген. 1961 жылы Караганды политехникалык институтынын математика кафедрасыньщ мугагнмд1к кызметш бастап 17 жыл Караганды да, 10 жыл Еюбастуздыц инженерлгк-техникалык институтында, калганы

Павлодар индустриалды институтында, барлыгы институт устазы, болганына 50 жыл.

1973 жылы Казак F ылым Академиясынын математика институтында кандидаттык диссертация коргаган; 1976 жылдан доцент. 1994 жылдан профессор. 2007 жылдан Элеуметпк Гылымдар Академиясынын академий. 2008 жылдан Павлодар облысыныц Лебяжье ауданынын К¥Рметг* азаматы. 2004 жылдан С. Торайгыров атындагы Павлодар Мемлекетпк у н иверститетш'щ математика кафедрасыньщ профессоры. Жуз макала жариялаган, оныц 6ipeyi монофафия, жетеу! оку куралдары.

262

Мазмцны.

1. Кеп аргументп (айнымалы) функция 32. Функциянын шеп. Дербес туындылар 43. Толык дифференциал. Толык e c iM iu e . 54. Курдел! функциянын туындысы 6

5. Аныктамалган функциянын туындысы 86. Бетке жанама жаэыктык жэне нормаль 97. Скалярлык epic. Багыт бойынша апынган туынды 1

Градиент О8. Ею аргументп функциянын экстремумы 119. Аныктапган интеграл га шолу, колданылуы 1310. Ею есел! интеграл 1911. Ею есел» интефапда айнымалыларды алмастыру 2112. Сфералык координатгар 2313. Ею есел1 интефалды колдану 2414. Кисык сызыкты интеграл 2615. Г рин формуласы 2816. Острофадский формуласы 2917. Стокс формуласы 3018. Катарлар 3119. Сапыстыру белпс! 3220. Даламбер белгкм 3321. Кошидщ радикалдык белпсь Кошидш интефалдык 34

белпс!. Дирихле белпа22. Ауыспалы танбалы катарлар 3523. Абсолют жэне шартты жинактылык. Функциялык 36

катарлар24. Вейерштрасс теоремасы._Дэрежел1к катарлар. Абель

теоремасы25. Функцияларды дэрежел1к катарга ж^ктеу26. Фурье катары27. Дифференциалдык тендеулер. BipiHmi peTTi 43

дифференциалдык тендеулер. Коши ece6i28. Айнымалылары белшетш тендеулер29. SipiHUii ретп б!ртект1 дифференциалдык тендеулер30. i>ipiHuii ретт! сызыктык тендеулер31. Бернулли тендеу-!32. Толык дифференциалды тендеу 51

52

5456

59

6566

6669717375767881828486909296

101104106107109114119122

123126128134135137139

Екшцн perri дифференциалдык тендеулер. Дифференциалдык тендеудщ ретж кемггу Екшип perri сызыкты дифференциалдык тендеулер Екшип perri сызыкты 6ipTeKTi емес дифференциалдык тендеуБелпаз коэффициенггер aaici. (Дербес шеилм табу амалы)Тамаша кисыктарЫктималдыктар теориясы жэне математикалыкстатистикаТэж1рибе жэне окигаЖиипкп ыктималдыкЫктималдыктарды косу теоремасыЫктнмалдыктарды кебейту теоремасыТолык ыктималдык формуласыБайес формуласыТэж1рибеш кайталау. Бернулли формуласы Ен ыктимал сан жэне ец улкен ыктиалдык Лапластыц локальдык теоремасы Муавр-Лапластыц интегралдык теоремасы Комбинаторика Паскаль ушбурышыКездейсок шамалар жэне олардыц сипаттамалары Дискретп кездейсок шамалардыц дисперсиясы жэне оныц касиеттер1

Улкен сандар зандары, Чебышев тецЫзд1п, теоремасы Бернулли, Пуассон, Марков, Хинчин теоремалары Квадратты ауыткуТеориялык моменттер YnecTipiM фукциясы YnecTipiM тыгыздыгы Ыркалыпты улест1р1м заны Керсетк1шт1к улест1р1м зацы

Гаусс ynecTipiM зацы“Yiu сигма” ережес1Математикалык статистика элементтер!Статистикалык улест!piмнiн сандык сипаттамалары Статистикалык ортанын орныктылыгы Интервалдык багалауСтьюдент ynecTipiM i

6 8 . Корреляциялык тэуелд'ис69. Кисык сызыкты корреляция70. Мерз1мд‘|К бакылау тес-repi7 1. Емтихан Tecrepi72. Эдебиеттер73. Автор туралы74. Мазмуны

Хамитов М.М.

EK1H111I МАТЕМАТИКА

Окулык

Техникалык редактор Д .Н. Айтжанова Жауапты хатшы А.А. Мусаханова

Басуга 15.07.2011 ж.0pin T y p i Times.

niiuiM 29,7 x 42 1Л. Офсетпк кагаз. Шартты баспа табагы 2,18 Таралымы 500 дана

Тапсырыс № 1750

«Кереку» Баспасы С.Торайгыров атындагы

Павлодар мемлекетпк университет! 140008, Павлодар к-, Ломов к., 64

М.Х. Хамитов f,k»mmi математика (окулык)

Documents