mission bepicolombo
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Concours National Commun â Session 2019 â FiliĂšre PSI
EpreuvedePhysiqueI 1/7
⹠On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.
âą Si, au cours de lâĂ©preuve, un candidat repĂšre ce qui lui semble ĂȘtre une erreur dâĂ©noncĂ©, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives quâil est amenĂ© Ă prendre.
âą Toutes les rĂ©ponses devront ĂȘtre trĂšs soigneusement justifiĂ©es. âą Si un rĂ©sultat donnĂ© par l'Ă©noncĂ© est non dĂ©montrĂ©, il peut nĂ©anmoins ĂȘtre admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de lâĂ©preuve sont relativement indĂ©pendantes entre elles.
Mission BepiColombo De par sa position relativement basse par rapport Ă l'horizon, et bien que
visible, Mercure reste la plus mystérieuse des planÚtes telluriques. Son orbite particuliÚre et sa petite dimension rendent son observation difficile. Malgré deux grandes missions déjà réalisées par Mariner 10 (dans les années 1970) et Messenger (dans les années 2000), qui ont permis d'apporter de nombreuses observations sur sa surface, certaines caractéristiques de Mercure demeurent encore inconnues.
La mission BepiColombo (figure 1), appelĂ©e ainsi en hommage au mathĂ©maticien italien G. COLOMBO qui calcula la trajectoire de la sonde Mariner 10, est la cinquiĂšme pierre angulaire du programme Cosmic Vision de lâESA (European Space Agency) en coopĂ©ration avec le JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency). Elle permettra lâĂ©tude de la planĂšte Mercure et de son environnement grĂące Ă deux sondes, MMO (Mercury Magnetospheric Orbiter) et MPO (Mercury Polar Orbiter), mises en orbite autour de la planĂšte.
Figure 1 : Illustration d'artiste de la sonde BepiColombo, propulsé par deux moteurs ioniques
LancĂ©e le 19 octobre 2018 par le lanceur EuropĂ©en Ariane 5, la sonde arriverait autour de Mercure en 2025. La sonde MPO, sur une trajectoire circulaire, Ă©tudiera la surface et lâintĂ©rieur de la planĂšte ainsi que lâexosphĂšre. La sonde MMO, sur une trajectoire elliptique, sera dĂ©diĂ©e Ă lâĂ©tude de la magnĂ©tosphĂšre et de lâexosphĂšre.
Ce problĂšme propose dâĂ©tudier de maniĂšre simplifiĂ©e quelques aspects relatifs Ă la mission BepiColombo.
La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.
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EpreuvedePhysiqueI 2/7
Partie 1 Mouvement dans le champ gravitationnel dâune planĂšte
On assimile une planÚte à une distribution de masse sphérique homogÚne de
centre OP , de rayon RP et de masse MP rĂ©partie uniformĂ©ment en volume. On se place dans le rĂ©fĂ©rentiel (âP ) , dâorigine OP et en translation par rapport
au rĂ©fĂ©rentiel de Copernic. On suppose (âP ) galilĂ©en et on ne tiendra compte que de lâattraction de la planĂšte.
1. En justifiant soigneusement, montrer que le champ gravitationnel G!"(M ) créé
par cette distribution en tout point M de lâespace repĂ©rĂ© par ses coordonnĂ©es sphĂ©riques r,Ξ,Ï( ) est donnĂ© par :
G!"(M ) = âG M int (r)
r2e"r
oĂč G est la constante de gravitation universelle et M int (r) la masse qui se
trouve à l'intérieur de la sphÚre de centre OP et de rayon r . e!r est un vecteur
unitaire de la base e!r,e!Ξ ,e!Ï( ) associĂ©e Ă ces coordonnĂ©es sphĂ©riques.
2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G!"(M ) créé
par la planĂšte au point M de lâespace. On affecte le point M , situĂ© Ă la distance r ( r > RP ) du centre OP , dâune masse
m que lâon assimile Ă un point matĂ©riel. 3. Exprimer vectoriellement la force F
!" exercée par la planÚte sur le point
matériel M . 4. La seule force F
!" qui sâexerce sur M est une force dite centrale. Justifier
lâappellation. Quelle en est la consĂ©quence sur la trajectoire du point M ? PrĂ©ciser la surface dans laquelle se fait le mouvement.
5. Montrer que la force F!"
dĂ©rive dâune Ă©nergie potentielle gravitationnelle Ep
dont on donnera l'expression en fonction de G , MP , m et r . On prendra l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point matériel est infiniment éloigné de la planÚte.
6. Ătablir lâexpression gĂ©nĂ©rale de lâĂ©nergie mĂ©canique Em du point M en
fonction de G , MP , m et r et de la vitesse v de M dans (âP ) . 7. En dĂ©duire la vitesse de libĂ©ration (ou vitesse dâ « Ă©vasion ») du point M Ă la
surface de la planÚte. On considÚre que le point matériel M est en orbite circulaire de centre OP , de
rayon r0 et quâil effectue un tour complet de la planĂšte en une durĂ©e T0 . 8. Montrer que le mouvement circulaire de M est nĂ©cessairement uniforme. 9. Ătablir lâexpression littĂ©rale de la vitesse v0 de M en fonction de MP , r0 et G .
Retrouver la troisiĂšme loi de Kepler. 10. Exprimer lâĂ©nergie cinĂ©tique Ec0 de M en fonction de G , MP , m et r0 .
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EpreuvedePhysiqueI 3/7
11. DĂ©duire une relation entre lâĂ©nergie potentielle de gravitation Ep0 et Ec0 , et une
autre entre lâĂ©nergie mĂ©canique Em0 de M et Ec0 . Commenter le signe de Em0 .
Partie 2
Mission BepiColombo
1. CaractĂ©ristiques dâune trajectoire elliptique On considĂšre que le point matĂ©riel M de masse m est en orbite elliptique dont
la planĂšte de centre OP est un foyer et quâil effectue un tour complet de la planĂšte en une durĂ©e T . LâĂ©quation de la trajectoire elliptique du point matĂ©riel soumis Ă la seule force de gravitation exercĂ©e par la planĂšte est donnĂ©e dans le cas gĂ©nĂ©ral par :
r(Ξ ) = p1+ ecos(Ξ )
Le centre OP est lâorigine des coordonnĂ©es polaires adoptĂ©es pour dĂ©crire le
mouvement de M ; p et e sont respectivement le paramĂštre et lâexcentricitĂ© de lâellipse. 1.1. RĂ©aliser un schĂ©ma de la trajectoire de M autour de la planĂšte et y faire
figurer r , Ξ , le centre OP , le pĂ©ricentre PP et lâapocentre AP . PrĂ©ciser, sur ce
schĂ©ma, le demi-grand axe de lâellipse notĂ© a , les vecteurs vitesses v!PP et
v!AP de M respectivement en PP et AP ainsi que les positions respectives rPP et rAP de M par rapport Ă OP .
1.2. Ătablir une relation entre les grandeurs vPP , vAP , rPP et rAP .
1.3. DĂ©terminer rPP et rAP en fonction de p et e .
1.4. En considĂ©rant lâexpression de lâĂ©nergie mĂ©canique de M en PP et AP montrer
que Eme = âGmMP
2a.
1.5. Déduire de ce qui précÚde les vitesses vPP et vAP du point matériel
respectivement au pĂ©ricentre et Ă lâapocentre de la trajectoire elliptique. 2. Voyage interplanĂ©taire de BepiColombo
On se propose de faire lâĂ©tude de lâenvoi du vaisseau BepiColombo sur Mercure. Afin de simplifier les calculs, on fait les hypothĂšses suivantes :
â On assimile le vaisseau Ă un point matĂ©riel de masse m ; â On considĂšre que Mercure et la Terre dĂ©crivent autour du Soleil des
trajectoires circulaires respectivement de rayon rM = 46.106km et de rayon
rT =152.106km .
â Pour Ă©tudier simplement une trajectoire entre deux planĂštes, on admet quâil existe autour de chaque planĂšte (ici la Terre puis Mercure) une zone dâinfluence gravitationnelle oĂč la seule attraction gravitationnelle Ă prendre en compte est celle de la planĂšte. Lorsque le vaisseau quitte la zone dâinfluence dâune planĂšte, on suppose quâil subit uniquement lâattraction gravitationnelle du Soleil.
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EpreuvedePhysiqueI 4/7
Pour aller de la Terre Ă Mercure, la solution la plus Ă©conomique (en termes de carburant) est donnĂ©e par lâorbite de HOHMANN. Cette ellipse de transfert, dont le Soleil est un foyer, est tangente en son aphĂ©lie A Ă lâorbite de la Terre et en son pĂ©rihĂ©lie P Ă lâorbite de Mercure. On la considĂšre coplanaire aux trajectoires circulaires de la Terre et de Mercure autour du Soleil. Cette solution implique deux impulsions instantanĂ©es ou presque (grĂące Ă des moteurs qui fournissent une grande poussĂ©e trĂšs rapidement) qui se traduisent en des variations de vitesse ÎvA et ÎvP pour dâabord quitter lâorbite terrestre et ensuite injecter le vaisseau dans lâorbite mercurienne.
Pour lâĂ©tude de lâellipse de transfert, on considĂšre le vaisseau sur une orbite dâattente circulaire basse au voisinage de la Terre. On se place dans le rĂ©fĂ©rentiel hĂ©liocentrique (âH ) supposĂ© galilĂ©en et on ne tient compte que de lâattraction gravitationnelle du Soleil. 2.1. DĂ©finir le rĂ©fĂ©rentiel hĂ©liocentrique. Ă quelle(s) condition(s) peut-on le
considérer galiléen ? 2.2. Réaliser un schéma de la trajectoire du vaisseau autour du Soleil et y faire
figurer les trajectoires de la Terre et de Mercure autour du Soleil. 2.3. Exprimer la vitesse v(r) du vaisseau spatial placé sur une orbite de demi-
grand axe a autour du Soleil en fonction de sa distance r au centre du Soleil. 2.4. Expliquer en quelques mots pourquoi il est plus Ă©conomique de choisir une
orbite de HOHMANN plutĂŽt quâune orbite de transfert sĂ©cante Ă lâorbite de Mercure.
2.5. à quelles distances du Soleil, notées dH ,P et dH ,A , se trouvent respectivement le
pĂ©rihĂ©lie et lâaphĂ©lie de lâorbite de transfert de HOHMANN entre la Terre et Mercure ? Calculer le demi-grand axe aH , ainsi que lâexcentricitĂ© eH de lâellipse de HOHMANN.
2.6. Deux impulsions sont nĂ©cessaires pour effectuer le transfert dâorbites. Une premiĂšre impulsion au point A engendre une variation de vitesse ÎvA = vH ,A â vT . Ceci permet au vaisseau de passer de sa trajectoire circulaire
initiale Ă lâellipse de HOHMANN. Une seconde impulsion, associĂ©e Ă une variation de vitesse ÎvP = vM â vH ,P au point P permet au vaisseau de passer de
lâorbite de HOHMANN vers lâorbite de Mercure. vT , vM , vH ,A et vH ,P sont les
vitesse respectivement sur lâorbite de la Terre, lâorbite de Mercure, Ă lâaphĂ©lie et au pĂ©rihĂ©lie de lâorbite de HOHMANN. Montrer que les expressions de ÎvA et de ÎvP sont donnĂ©es par :
ÎvA =GMS
rT
rPMaâ1
â
âââ
â
â ââ et ÎvP =
GMS
rM1â
rAMa
â
âââ
â
â ââ
2.7. Exprimer et calculer la durĂ©e thĂ©orique (en jours) du transfert ÎtAâP de la Terre Ă Mercure (entre A et P ). On pourra utiliser la troisiĂšme loi de Kepler.
2.8. La croisiĂšre BepiColombo est longue (6 ans) car elle s'effectuera Ă l'aide de l'assistance gravitationnelle autour de la Terre, de VĂ©nus et de Mercure. Expliquer en quelques mots ce quâest lâassistance gravitationnelle et dire quel est son intĂ©rĂȘt.
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3. Communication avec la sonde L'atmosphÚre terrestre est un mélange gazeux composé principalement de
diazote et de dioxygĂšne. Son comportement vis-Ă -vis des ondes Ă©lectromagnĂ©tiques peut ĂȘtre assimilĂ© Ă celui du vide. Dans lâionosphĂšre situĂ©e entre 100km et 800km dâaltitude, les gaz neutres sont partiellement ionisĂ©s par le rayonnement solaire si intense, crĂ©ant ainsi un plasma ionosphĂ©rique. LâionosphĂšre est un milieu qui compte par unitĂ© de volume Ne = N Ă©lectrons libres et Ni = N ions.
On se propose dâĂ©tudier la communication par ondes Ă©lectromagnĂ©tiques de pulsation Ï entre un Ă©metteur terrestre et la sonde.
Une source Ă©met, dans le vide, une onde Ă©lectromagnĂ©tique dont le champ Ă©lectrique associĂ© sâĂ©crit, dans un repĂšre cartĂ©sien orthonormĂ© direct :
E!"= E0 cos(Ït â kz)e
!x oĂč E0 ,Ï et k sont des constantes positives.
Pour des ondes planes transversales, la relation de dispersion liant la pulsation Ï de lâonde au module du vecteur dâonde k
! sâĂ©crit :
k2c2 =Ï 2 âÏ p2
avec Ï p = A N est une pulsation caractĂ©ristique des oscillations propres du
plasma, A étant une constante. 3.1. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde progressive, ainsi
que la nature de sa polarisation. 3.2. Quelle est lâunitĂ© de A ? 3.3. Donner, en le justifiant, le domaine de frĂ©quences que lâon doit utiliser pour
les communications par ondes transverses entre la sonde et lâĂ©metteur terrestre. Que se passe-t-il si lâon Ă©met une onde dont la frĂ©quence nâappartient pas Ă ce domaine ?
3.4. Exprimer la vitesse de phase vÏ de lâonde qui traverse le plasma. En dĂ©duire
lâindice de rĂ©fraction np de ce milieu. VĂ©rifier que le plasma est un milieu
dispersif. 3.5. Exprimer la vitesse de groupe vg de lâonde qui traverse le plasma. Expliquer
comment l'ionosphĂšre ralentit la propagation de lâonde de communication. 3.6. On suppose qu'une surface plane sĂ©pare l'air
d'indice na =1 du plasma d'indice np
précédemment déterminé (figure 2). La source émettrice, située au niveau de la mer, émet une onde électromagnétique assimilée à une onde plane, monochromatique de
frĂ©quence f >Ï p
2Ï, qui arrive sous incidence
oblique dâangle i en un point H0 de lâinterface atmosphĂšre-ionosphĂšre.
Figure 2
Montrer quâĂ frĂ©quence donnĂ©e, la communication terre-sonde nâest possible que si i < il . Exprimer lâangle limite il en fonction des donnĂ©es. Que se passe-t-il si cette derniĂšre condition nâest pas vĂ©rifiĂ©e ? ReprĂ©senter les deux situations i < il et i > il sur un schĂ©ma.
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4. Sonde MPO 4.1. Trajectoire
La sonde MPO (figure 3), assimilée à un point matériel de masse mMPO = 400kg et soumise uniquement à l'attraction de Mercure, décrit une trajectoire circulaire de rayon rMPO = 3, 4.10
3km . Son mouvement est Ă©tudiĂ© dans le rĂ©fĂ©rentiel « mercurocentrique » que lâon suppose galilĂ©en. On suppose que la planĂšte Mercure est Ă rĂ©partition sphĂ©rique homogĂšne de masse MM , de centre OM .
Figure 3 : Sonde MPO, vu dâartiste
4.1.1. En faisant lâanalogie avec le rĂ©fĂ©rentiel gĂ©ocentrique, dĂ©finir le rĂ©fĂ©rentiel « mercurocentrique ».
4.1.2. Calculer la période de révolution TMPO (en heure) de la sonde MPO autour de Mercure.
4.1.3. La sonde MPO est mise sur une orbite polaire, c'est-Ă -dire sur une orbite dont le plan contient l'axe polaire de Mercure. Quel est l'intĂ©rĂȘt de cette situation pour cette sonde ?
4.1.4. Pourquoi Ă chaque rĂ©volution de la sonde, la zone de la surface de Mercure observĂ©e nâest pas la mĂȘme ?
4.2. TĂ©lescope de Schmidt-Cassegrain, prise dâimage On Ă©tudie la prise de photographies numĂ©riques sur un capteur Ă©lectronique
photosensible par le tĂ©lescope SCHMIDT-CASSEGRAIN depuis la sonde. On se place dans le cadre de lâoptique gĂ©omĂ©trique et de lâapproximation de GAUSS. Lâespace entre Mercure et la sonde sera considĂ©rĂ© comme du vide pour le tracĂ© des rayons lumineux. 4.2.1. Expliquer ce quâest lâapproximation de lâoptique gĂ©omĂ©trique. 4.2.2. Quelles sont les conditions qui permettent de rĂ©aliser lâapproximation de
GAUSS ? Citer les consĂ©quences de cette approximation sur le stigmatisme et lâaplanĂ©tisme.
4.2.3. Le tĂ©lescope SCHMIDT-CASSEGRAIN est un dispositif optique de type catadioptrique, composĂ© de deux miroirs lâun sphĂ©rique, lâautre hyperbolique et d'une lentille, appelĂ©e lame de Schmidt, de correction des aberrations engendrĂ©es par le miroir primaire. On modĂ©lise le tĂ©lescope Schmidt-Cassegrain embarquĂ© dans la sonde par une lentille sphĂ©rique mince convergente ( )L de distance focale image f ' = 50mm . La sonde Ă une orbite circulaire dâaltitude moyenne hMPO = 950km . LâatmosphĂšre de Mercure, quasi inexistante, sera nĂ©gligĂ©e pour la suite du problĂšme.
Parmi les nombreux instruments qui Ă©quiperont la sonde spatiale, on trouve un imageur spectrale dans lâinfrarouge thermique fonctionnant en mode « push broom » (Figure 4).
Figure 4 : Principe de lâimagerie par sonde « Push-broom »
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Les images rĂ©alisĂ©es par la sonde sont recueillies sur un capteur constituĂ© dâune seule ligne de Np =120
pixels carrés, de taille Ύ = 35”m (Figure 5).
Figure 5 4.2.3.1. De conception proche du télescope de type Cassegrain qui comporte un
miroir primaire parabolique, le télescope Schmidt-Cassegrain présente toutefois quelques particularités notables. En citer deux.
4.2.3.2. OĂč doit-on placer le capteur ? 4.2.3.3. Dessiner le schĂ©ma des rayons lumineux donnant lâimage de la ligne
imagée à la surface de Mercure par le télescope. 4.2.3.4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les dimensions l et
L = AB de la ligne imagée rectangulaire à la surface de Mercure par la ligne de pixel.
4.2.3.5. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension du plus petit objet sur Mercure détectable.
4.2.4. La surface de mercure est considĂ©rĂ©e comme un corps Ă©mettant un rayonnement centrĂ©e sur la longueur dâonde de dĂ©tection λ0 =10”m .
4.2.4.1. Sachant que le mouvement de la sonde BepiColombo sur son orbite entraĂźne un dĂ©placement de la ligne de vue Ă une vitesse v = 2,6km.sâ1 , calculer le temps Ï durant lequel est vue une zone donnĂ©e de la surface par un pixel.
4.2.4.2. On estime que la puissance Ίpx reçu par un pixel au centre du
détecteur observant la surface de Mercure dans la bande spectrale du détecteur est Ίpx = 510pW . Calculer le nombre Nphoton de photons reçus par un
pixel provenant dâune zone donnĂ©e de la surface de Mercure. DonnĂ©es :
â Masse de la planĂšte Mercure : MM = 3,30.1023kg .
â Rayon de la planĂšte Mercure : RM = 2, 44.103km .
â Masse de la planĂšte Terre : MT = 6,0.1024kg .
â Rayon de la planĂšte Terre : RT = 6, 4.103km .
â Masse du Soleil : MS =1,9.1030kg .
â Constante de gravitation universelle : G = 6, 7.10â11SI . â Constante de Planck : h = 6,63.10â34 J .s . â Vitesse de la lumiĂšre dans le vide : 8 13.10 .c m s â=