miss teorija

MISS 2011

1. Osnovni pojmovi modeliranja i simulacije.Model i teorija.Modeliranje i simulaciju čine niz aktivnosti za pravljenje modela realnogsistema i njegovu simulaciju na računaru.Osnovni elementi koji figurisu u mis-u su realan sistem,model, racunar.Ciljmodeliranja je upotrebiti model umesto realnog sistema radi odredjenogsaznanja...pri tom se izbegavaju opasnosti eksperimenta nad realnimsistemom.Model ne treba da reprodukuje stvarnost u potpunosti vec treba daiskaze samo deo strukture ili ponasanja realnog sistema.Realan sistempredstavlja uređen i međuzavisan skup komponenti kojeformiraju celinu i deluju zajednički da bi ostvarili cilj ili funkciju.Predstavljaizvor podataka za uspesno formiranje modela.-Model predstavlja pogodan način predstavljanja ukupnog čovekovog iskustvai njegovog načina razmišljanja o sistemu koji istražuje.Model je ustvariapstrakcija realnosti ali uproscena,idealizovana i obicno ne obuhvata sveaspekte.Sadrzi samo izabrane elemente I karakteristike sistema znacajne zaistrazivanje,ukljucujuci I uvedene pretpostavke.Model treba što vernije dapreslikava stvarnost u skladu sa traženom složenosti i cenom razvoja. Teorijaje opšti iskaz principa izveden iz posmatranja sistema i podataka dobijenihposmatranjem.Predstavlja neophodan elemenat koji povezuje model Isistem.Model je samo predocena teorija.Model ne može postojati ako nemateorije – teorija mora biti prethodno formulisana.

2. Detaljnost modela. Neformalan i formalan opis modela.Složen/savršen model

– Za iste ulaze daju iste izlaze kao i realan sistem– Skup je i glomazan za eksperimentisanje

Veoma jednostavan model– Neodgovarajući (pogrešni) rezultati

Model treba što vernije da preslikava stvarnost u skladu satraženom složenosti i cenom razvojaModel koji uključuje sve promenljive i veze među njima je baznimodel

– Apsolutno je valjan– Ne može se praktično realizovati

Pojednostavljen bazni model je sažeti ili grubi model– Osnosi se na izabran eksperimantalni okvi

Neformalan opis daje osnovne pojmove o modelu.Formalan treba daobezbedi veću preciznost i potpunost opisa sistema.Opisuje sistem nanedvosmislen nacin.Neformalan model se lako formira.Uvodi objekte,opisnepromenljive I pravila interakcije objekata. Najcesce je nejasan,nekompletan, nekonzistentan.

3, Klasifikacije modela.-Modeli sa(autonomni I neautonomni) i bez memorije.-Modeli sa kontinualnim stanjima(promenljive uzimaju vrednosti iz kontinualnog

opsega),sa disktretnim stanjima(promenljive uzimaju disktretnevrednosti),modeli sa mesovitim stanjima.

-Vremenski kontinualni I disktretni modeli.-Invarijantni I varijantni modeli(struktura modela I pravila interakcije se

menjaju sa vremenom)-Deterministicki(izlazi modela uvek isti za iste ulaze I stanja) i stohasticni

modeli-Linearni(menjaju stanja I daju izlaze postujuci linearne transformacije) I

nelinearni modeli-Fizicki(materijalne reprenzentacije istrazivanog sistema) I

apstraktni(simbolicna I matematicko-logicka reprenzentacija sistema)modeli.

-Staticki(daju izlaze za sistem u ravnotezi) I dinamicki(daju promene izazvaneaktivnostima u sistemu) modeli.

4. Proces dobijanja modela

5. Verifikacija i valjanost modela.Provera da li se model ponaša onako kako je to zamislio autor Proveravaju seprogram(i) i podaci.Definiše se stepen podudaranja

– Apsolutno podudaranje je nemoguće- Razlike su posledica aproksimacija

Stepeni valjanosti modela+Replikativna valjanost (najniži stepen)

– Porede se izlazi modela i sistema

+Prediktivna valjanost– Model proizvodi dobre vrednosti na izlazima per nego što

se mogu izmeriti u realnom sistemu– Omogućava istraživanje situacija koje nisu posmatrane u

sistemu+Strukturna valjanost

– Model u potpunosti odslikava način na koji realan sistemfunkcioniše

– Omogućava istraživanje operacija sistema koje se ne mogu meriti

6, Analiticko i simulaciono rešenje. Simulacija u sirem smislu.Analitičko rešavanje• Koristi deduktivne postupke matematičke analize• Daje opšte rešenje u obliku formule• Važi za razne kombinacije ulaza i parametara• Koristiti ga uvek kada je to mogude!• Ograničenja:

– Sistem i njegovi odnosi nisu dovoljno poznati da se opišu matematički– Složeno se sprovodi, a često je i nemogućeSimulacija = određivanje ponašanja modela na osnovu vrednosti ulaza (ili skupaopisnih promenljivih)Računarska simulacija = eksperimenti na računaru– Uključuje i izgradnju apstraktnog modela –programiranjem• Računar se upotrebljava za– Formiranje modela (razvoj modela)- Numeričke proračune na osnovu modelaSimulacija u širem smislu obuhvata:

– Eksperimentisanje na realnom sistemu– Snimanje podataka na realnom sistemu– Formulisanje teorije– Izgradnju koncepcijskog modela– Programiranje– Planiranje eksperimenta na računaru– Ekperimentisanje programom na računaru i analiza dobijenih rezultata= simulacija u užem smislu

7. Translatorni mehanicki sistemi -promenljive,elementi I zakonitostiOsnovne promenljive:

x – rastojanje [m]v – brzina [m/s]a – ubrzanje [m /s2]f – sila [N]

Dodatne promenljive:w – energija [J]p – snaga [W]

Masa tela:

Sila trenja:

Elasticnost:

Zakonitosti...




Masa tela:

Sila trenja:

Elasticnost:

Zakonitosti...




Masa tela:

Sila trenja:

Elasticnost:

Zakonitosti...

8.Translatorni mehanicki sistemi-dobijanje modela sistemaKombinuju se zakonitosti elemenata I zakonitosti interakcije(međusobnih veza) elemenata.Za svako telo posmatramo sile koje na njega deluju...

Na osnovu dalamberovog zakona pisemo jednacine...

9.Rotacioni mehanicki sistemi-promenljive,elementi i zakonitosti.θ – ugao [rad]ω – ugaona brzina [rad/s]α – ugaono ubrzanje [rad/s2]τ – moment sile [ Nm]p – snaga rotirajućeg telaw – energija

J = momenti inercijetau = moment sile koji deluje na osu rotacijeJw - moment količine kreatanjad(J – inercijalni moment sileMoment sile u odnosu na paralelne ose.

Rotaciono trenje je algebarska veza momenta sile I relativne ugaonebrzine izmedju dva tela.









Rotaciona elasticnost je algebarska veza momenta sile I relativnog ugaonog pomeraja.

Zupcanici– Za levi zupčanik važi: f c⋅r1‐ τ1 = 0– Za desni zupčanik važi: f c⋅r2 + τ2 = 0

gde su: fc‐ sila koja se prenosi na drugi zupčanikτ‐ moment sile primenjen na zub







10. Rotacioni mehanicki sistemi – dobijanje modela sistemaPrvo usvojimo pozitivan smer za promenljive(tau,omega,alfa).Za svaku masu ili spojnu tacku crtamo dijagram koji pokazuje sve momente

sila,ukljucujuci inercijalni moment sile.Sve momente sila izuzev pobudnih,izrazavamo preko tau,omega,alfa.Primenjujemo D`Alambert-ov zakon na svaki dijagram

11. Termicki sistemi-promenljive,elementi I zakonitosti.su sistemi gde postoji skladištenje ili prenos toplote.Matematički modeli se izvodi na osnovu poznatih zakona termodinamike.

Temperatura – θ [K]Količina toplote – q [J/s]≡[W]

Stanje ravnoteže– gde se odvijaju normalne operacije

Dva tipa pasivnih elemenata:– Termička kapacitivnost– Termička otpornost

Aktivan elemenat– Termički izvor

Termicka kapacitivnost

Postoji algebarska zavisnost između– temperature tela θ i– akumulirane toplote u njemu ∆q

Termička otpornost• Toplota se prenosi na 3 načina: provođenjem, strujanjem ili zračenjem.

















• Tipovi termičkog izvora– izvor koji dovodi toplotu (određenom brzinom)

• količina toplote koja se do dovede je pozitivna– izvor koji odvodi toplotu

• količina toplote koja se do odvede je negativna

12. Termicki sistemi – dobijanje modela sistema.Kao promenljive stanja se uzimaju temperature svakog tela koja imatoplotni kapacitetPrenošenje toplote u telo sa toplotnim kapacitetom zavisi od izvoratoplote i prenošenja toplote preko termičkih otpornosti.









Ovaj model se moze na kraju linearizovati izrazavanjem promenljivih temperature Iprovodjenja kao zbirove nominalnih I inkrementalnih vrednosti, I uvodjenjemsmena.Na kraju se eliminisu konstantni clanovi I dobijamo model izrazen samopreko inkrementalnih vrednosti.

13. Sistemi sa fluidima- promenljive,elementi i zakonitosti.Hidraulički sistemi uključuju protok i akumlaciju tečnosti, te su bitni:

-q – zapreminski protok [m3/s]-V – zapremina [m3]-h – visina (nivo) tečnosti [m]-p – pritisak [N/m2] ili [Pa]

– obično se posmatra apsolutni pritisak, a ponekad relativno u odnosuna atmosferski:

p*(t)= p(t)‐pa pa=1,013∙105 [N/m2]

KapacitetKod tečnosti smeštene u otvoren sud postoji algebarska ralacijaizmeđu zapremine tečnosti i pritiska u osnovi suda

Ako je A(h) konstantno...





p*(t)= p(t)‐pa pa=1,013∙105 [N/m2]







p*(t)= p(t)‐pa pa=1,013∙105 [N/m2]



Otpornostpad pritiska se objašnjava gubitkom energije i obično je posledicanelinearne zavisnosti

Hidraulička otpornost R je recipročna vrednost nagiba krive q=f(Δp) za daturadnu tačku.

Pumpa je izvor energije koja dobija snagu od elektro motora– Posmatrademo centrifugalnu pumpukonstantne ugaone brzine– Povedava pritisak na potisu ∆p2 uodnosu na pritisak na usisu ∆p1– Često se upotrebljava u hemijskim procesim







Karakteristika pumpe se odredjuje eksperimentalno I prilicno je nelinearna

14. Sistemi sa fluidima- dobijanje modela sistema.

Nakon formiranja predstavimo linearne clanove kao sume nominalnih I inkrementalnihvrednosti.Linearizujemo nelinearne clanove razvojem u Tejlorov red I skratimokonstantne clanove.Na kraju opet dobijamo izraz u kom figurisu samo inkrementalniclanovi.

15. Elektromehanicki sistemi-promenljive,elementi i zakonitosti.Primer:galvanometar









Ugaoni pomeraj je srazmeran struji koja protekne kroz namotajU osi kalema postoji torziona opruga.Pretpostavka: u vazdušnom procepu je uniforman mag. fluks gustine BIma N namotaja žice (š irine s, poluprečnika a)

16.Matematički model u prostoru stanja.Koncept i izbor promenjivih stanja.

Model sistema čine (Košijeva forma):• Sistem diferencijalnih jednačina 1. reda







• Sistem algebarskih jednačina

• Vektorski zapis

Izbor promenljivih stanja• minimalan skup linearno nezavisnih promenljivih• ne moraju imati fizičku interpretaciju• veličine uz koje stoji prvi izvod u diferencijalnim jednačinama• obično predstavljaju elemente koji su sposobni da prime i uskladišteenergiju

Koncept prostora stanja ima nekoliko prednosti u odnosu na klasičnipristup, posebno ako se posmatra sa aspekta korišdenja digitalnihračunara:– Određivanje rešenja sistema diferencijalnih jednačina prvog reda jebrže na digitalnom računaru, nego rešavanje odgovarajudediferencijalne jednačine višeg reda.– Uprošteno je matematičko opisivanje upotrebom vektorske notacije– Uključivanje početnih uslova sistema je jednostavno.– Model se može primeniti na vremenski promenljive, nelinearne,stohastičke i diskretne sisteme

17. Linearan matematicki model (u prostoru stanja). Osobine.

• Linearan sistem zadovoljava principe

– SuperpozicijePrincip superpozicije: Odziv linearnog sistema na pobudu datu zbirompojedinačnih pobuda može se dobiti kao suma odziva na pojedinačnepobude, koje na sistem deluju nezavisno jedna od druge.

– HomogenostiLinearan matematički model u prostoru stanja• Nastao linearizacijom – povezuje inkrementalne promenljive• Sistem linearnih običnih diferencijalnih jednačina 1. reda

• Sistem linearnih algebarskih jednačina

Vektorski format

Osobine linearnog modelaLinearan sistem zadovoljava principe:

• Superpozicija - ako je y=f(u), tada je f(u1+u2)=f(u1)+f(u2)Sistem opisan relacijom y(t)=u2(t) nije linearan jer ne zadovoljava principsuperpozicije. u1

2(t)=y1(t); u22(t)=y2(t). Po principu superpozicije bi moralo biti:

(u1(t)+u2(t))2=y1(t)+y2(t)=u12(t)+ u2

2(t), što nije tačno.

• Homogenost - ako je y=f(u), tada je f(ku)=kf(u)Sistem y(t)=mu(t)+b nije linearan jer ne zadovoljava principhomogenosti: m(ku(t))+b≠ky(t)

18. Izracunavanje promene stanja I odziva sistema.Fundamentalna matrica.

• Računa se preko Fundamentalne matrice sistema

• Kretanje promenljivih stanja x(t)

Fundamentalna matrica je matrica prelaza stanja sistema čija je dimenzija jednakaredu sistema, tj. n x n. Izraz za fundamentalnu matricu:

Fundamentalna matrica nosi sve informacije o slobodi kretanja sistema x’(t)=A*v(t).Iz rešenja jednačine x’(t)=Ф(t)*x(0) se vidi da rešenje homogene jednačine stanja utrenutku t predstavlja transformaciju stanja sistema.

19. Linearizacija nelinearnih modela I formiranje linearnog modela u prostoru stanja

Koraci linearizacije1. Odrediti radnu tačku – pisanjem i rešavanjem odgovarajudih algebarskihjednačina2. Prepisati sve linearne članove kao sume– nominalne i– inkrementalne vrednosti3. Zameniti sve nelinearne članove sa prva 2 sabirka razvoja u Tejlorov red4. Skratiti konstantne članove u differencijalnim jednačinama(Upotrebiti algebarske jednačine koje određuju radnu tačku.)5. Definisati početne vrednosti inkrementalnih promenljivih

20. Odnos matematičkog modela u prostoru stanja I funkcije prenosa.• Model sistema u vremenskom domenu

• Nakon primene Laplasove transformacije

• Funkcija prenosa

21.Analogije elemenata I parametara.Translatorni mehanicki sistemi

M – masa;K – koeficijent elastičnosti opruge;F – koeficijent trenja;x(t) – pomeraj (položaj) telaf(t) – spoljna sila pod čijim se dejstvom vrš i kretanje

Mehanički sistem sa rotacionim kretanjemJ – momenat inercije valjka;K – koeficijent elastičnosti opruge;F – koeficijent trenja;θ(t) – ugaoni pomeraj (položaj) tela;f(t) – spoljni momenat pod čijim se dejstvom vrš i kretanje

22. Upotreba analognog računara. Elementi analognog računara.• Dinamički sistemi se opisuju diferencijalnim jednačinama• Praktični – inženjerski problemi se opisuju sistemom spregnutih dif.

jednačina– Sa više promenljivih ( npr. temperatura, p j p p pritisak, protok itd)

• Problem: složen matematički model – složeno i dugotrajno analitičkorešavanje – potreban računar!

• Analogni i/ili digitalni računari rešavaju dif. jednačine koje predstavljajumatematičke modele različitih sistema

– ubrzavaju se analiza modela/sistema i sinteza

Elementi:• Postoje komponente za najčešće upotrebljavane matematičke operacije:

– množenje konstantom POTENCIOMETAR– sabiranje / oduzimanje SABIRAČ– promena predznaka INVERTOR– integraciju INTEGRATOR

• Njihovom upotrebom mogu se reš iti brojni tehnički problemi (simuliratisistemi) opisani– linearnim diferencijalnim jednačinama ili

– funkcijama prenosa

Mnozenje konstantom>1:

Sabiranje:

Integracija:

Mnozenje konstantom <1:


Sabiranje:

Integracija:



Sabiranje:

Integracija:


23.Rešavanje običnih linearnih diferencijalnih jednačina upotrebom analognogračunara. Skaliranja.

Izrazi se najvisi izvod:

Pretpostaviti da je napon najvišeg izvoda poznat.-sukcesivnim integracijama doći do y(t) .-realizovati desnu stranu jednačine-povezati krajeve koji su na istom potencijalu (napon najvišeg izvoda)

Skaliranja:• Vremensko skaliranje uvođenje razmere za nezavisnu promenljivu (vreme)• Amplitudno skaliranje zavisne promenljive (y i izvoda od y)

Vremensko skaliranje• Razlozi:

– Da bi se računanje usporilo ili ubrzalo– brzinu promene napona uskladiti sa realnim komponentama EAR– Promene izlaznih napona prilagoditi prikazu (npr. na pisaču)

• Postupak:– Uvodi se nova nezavisna promenljiva (maš insko vreme)– k je vremenska konstanta koja se bira

• k > 1 usporenje, τ = kt• k < 1 ubrzanje rešenja u odnosu na realno ponašanje.

Amplitudno skaliranje• Razlog:

– svi naponi unutar EAR (nezavisno promenljive i njihovi izvodi) moraju dabudu u opsegu [‐Vref, +Vref], gde je Vref referentni naponEAR(tipično 10V).

– nastoji se da naponi budu što je moguće veći– izbegavati postojanje malih napona jer su oni podložni uticaju šuma i

greškama usled nesavršenosti operacionih pojačavača (drift, strujacurenja, nelinearna karakteristika u opsegu malih ulaznih napona).

• Uvode se skala faktori za sve nezavisne promenljive i sve njihove izvode– bez razlike da li se izvod navodi u diferencijalnoj jednačini ili ne!– Procenjena vrednost maksimuma



























• Iz praktičnih razloga, za skala faktore se usvajaju «okrugli brojevi» da bi seolakšalo određivanje vrednosti zavisno promenljivih na osnovu izmerenihvrednosti napona.– Zaokruživanje se radi na manje vrednosti, jer u suprotnom može doći

do zasićenja napona

24.Definicija I osobine Laplasove transformacije (LT) I inverzna LT.

• L{.} – Laplasova transformacija• L-1{.} – Inverzna Laplasova transformacija• s – kompleksna učestanost (komp. prom. Laplasove trans.)• F(s) – kompleksan lik funkcije f(t)• f(t) – original funkcije F(s)

Osobine Laplasove transformacije

Inverzna Laplasova transformacija

Za određivanje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog značaja polovifunkcije F(s), i tu se mogu uočiti četiri karakteristična slučaja:

– Svi polovi funkcije F(s) su realni i prosti– Funkcija F(s) ima višestruke realne korene– Postoje konjugovano-kompleksni polovi, a realni su, ako postoje, prosti– Funkcija F(s) ima višestruke konjugovano kompleksne polove

25. Standardni pobudni signali.

Hevisajdov signal

Dirakov impuls

Jedinični nagibni signal

26. Primena Laplasove transformacije u modelovanju I analizi sistema.Primer primene Laplasove transformacije:

• Mehanički sistem je opisan diferencijalnom jednačinom

• Primena Laplasove transformacije na dif. jedn. daje:

• a nakon sređivanja:

27. Funkcija prenosa sistema sa jednim ulazom i jednim izlazomFunkcija prenosa sistema se definiše kao odnos LT izlazne (y(t)) i ulazne (u(t)) veličine, uzpretpostavku da su svi početni uslovi nulti i da je y(t)=u(t)=0, t<0.

• Dif. jedn. koja opisuje linearan sistem sa jednim ulazom ijednim izlazom u opštemslučaju je

• Nakon primene Laplasove transformacije je

• Važi samo za linearne stacionarne sisteme– primena nije moguća kod nestacionarnih sistema• uzima u obzir samo zavisnost ulaz-izlaz i ne pruža informacijuo unutrašnjoj strukturi sistema• Važi samo za nulte početne uslove

28.Uticaj lokacije polova funkcije prenosa na njen odziv.

29. Strukturni blok dijagram sistema.Algebra funkcija prenosa.• grafički način predstavljanja matematičkog modela

• Isti odnos ulaz-izlaz pre i posle transformacije

30. Resavanje obicnih diferencijalnih jednacina upotrebom matlaba.• može se rešiti obiĉna diferencijalna jednaĉina višeg reda• treba napraviti sistem diferencijalnih jednaĉina 1. reda i zapisati ga uzasebnu M-funkciju (sistem jednaĉina može biti nelinearan)zaglavlje funkcije mora biti oblika: function xprim = ime( t, x )gde je t vreme, a x vektor promenljivih stanjapostoji problem sa prenošenjem parametara u ovakvu M-funkciju• poziv metode: [ t, x ] = ode23( @ime, [tp, tk], x0 )Ili [ t, x ] = ode45( @ime, [tp, tk], x0 )Ulazni parametri: ime - ime M-funkcije koja opisuje sistem jednaĉina,tp - poĉetni trenutak integracije, tk - krajnji trenutak, x0 - vektorpoĉetnih vrednosti promenljivih stanja.Izlazni parametri: t - vektor vremenskih trenutaka u kojima suizraĉunata rešenja, a x - matrica kretanja promenljivih stanja poreĊanihpo kolonama. Prva vrsta odgovara x0 i poĉetnom trenutku tp, dok je uposlednjoj vrsti krajnja vrednost prom. stanja (u tk).• ode metode imaju promenljivi (adaptivni) korak integracije, tako dadobijena rešenja nisu ekvidistantn

31. Skript datoteka I f-ja matlaba?Omogućavaju izvršavanje ranije pisanog koda; olakšavaju ispravljanje grešaka idorade, a time olakšavaju programiranje.

M - skript-datoteke su ASCII datoteke sa blokom naredbi– ime datoteke se završava sa “.m”– pozivaju se imenom datoteke (bez “.m”)- nemaju parametre- vrednosti promenljivih preuzimaju i ostavljaju u radnom okruženju

M - funkcije su skript-datoteke određenog formata zaglavlja:function [ ip1, ip2, ... ipn ] = ime ( up1, up2, ... upm )blok naredbi (negde u bloku izlazni parametri primaju vrednosti)

– imaju ulazne: up1,up2,...upm i izlazne parametre: ip1,ip2,...ipn– kod poziva funkcije se ne moraju navoditi svi parametri; brojupotrebljenih ulaznih parametara je nargin, a izlaznih nargout– sve promenljive koje definišu su lokalne-uobičajeno je da ime funkcije bude jednako imenu datoteke “.m”

32. Kontrola toka programa u matlabu.uslovni skok if‐else i switch• programske petlje

– prebrojiva petlja for– neprebrojiva petlja sa ispitivanjem uslova na početku while

– nasilni izlazak iz petlje break• nasilni povratak iz funkcije return• nasilni povratak iz funkcije po otkrivanju greške i njen ispis error• ne postoji bezuslovni skok

FOR je prebrojiva petlja, tj. unapred se zna broj prolaza kroz blok naredbi• oblik:

for promenljiva = izrazblok naredbi

end• rezultat izraĉunavanja izraz-a je matrica, a promenljiva prima vrednostiod prve do poslednje kolone rezultat• petlja se nasilno napušta sa break• mogu se upotrebljavati ugnježdene petlje

While petlja se izvršava sve dok je neki uslov ispunjen,u principu se neznabroj prolazaka kroz petlju do prestanka važenja uslova.• uslov se proverava na početku petlje• oblik:

while uslovblok naredbi

end

Uslovno grananje if,elsif• opšti oblik:

if uslov 1blok naredbi 1

elseif uslov 2blok naredbi 2

elseif uslov 3...

elseblok naredbi n

end

Switch komanda izvršava blok komandi u zavisnosti od vrednosti promenljiveuslova.• case označava i razdvaja blokove komandi• samo prvo poklapanje sa case se ivršavaswitch izrazcase 0

blok 1...• swich se završava end-om

Podrzan je rad sa izuzecima.Lasterror je funkcija koja vraća opis greške.

33.Rad sa matricama u Matlab-u.dvodimenzioni niz == matrica

– prvi indeks je redni broj vrste– drugi indeks je redni broj kolone

• trodimenzioni niz– treći indeks je redni broj strane

Broj elemenata u podnizovima se mora slagati.Kreiramo ih pomocu f-ja kao sto su ones,zeros,randn,...a mozemo ih zadati Idirektno,navodjenjem svih elemenata matrice.Matrica se moze transponovati(') a moze se I redimenzionisati(reshape).• uklanjanje jediniĉnih dimenzija C = squeeze(B)

• elementarne matriĉne funkcije– determinanta matrice det(x)– inverzija inv(x)– pseudo-inverzija ne kvadratne matrice pinv(x)– formiranje karakteristiĉnog polinoma poly(x)– trag matrice trace(x)

• operacije poredjenja se primenjuju nad dve matrice jednakih dimenzija• rezultat operacije je matrica nula (“laž”) i jedinica (“istina”)• postoji šest relacionih operatora

– manje <– manje ili jednako <=– veće >– veće ili jednako >=– jednako ==– nejednako ~

34. Rad sa polinomima u Matlab-u.• polinomi se predstavljaju vektor vrstom ĉiji su elementi koeficijentipolinoma po opadajućem stepenu

npr., polinomu Q(s) = 2s3 + 4.1s2 - 12odgovara vektor Q = [ 2 4.1 0 -12 ]

• funkcije za rad sa polinomima:– conv množenje polinoma– deconv delenje polinoma– poly karakteristiĉni polinom– polyder diferenciranje polinoma– polyfit daje polinom koji aproksimira zadate podatke– polyval izraĉunavanje vrednosti polinoma– polyvalm sraĉunavanje vrednosti matriĉnog polinoma– residue razvoj na parcijalne sabirke (reziduale)– roots daje nule polinoma

35.Tipovi podataka I visedimenzionalni nizovi u matlabu.Strukture podataka Icelije.

Ima 15 ugradjenih tipova podataka.

• svaki tip je višedimenzioni niz– dvo-dimenzioni nizovi su matrice– sparse su retki nizovi

• dvodimenzioni niz == matrica– prvi indeks je redni broj vrste– drugi indeks je redni broj kolone

• trodimenzioni niz– treći indeks je redni broj strane

Broj elemenata u podnizovima se mora slagati.Kreiramo ih pomocu f-ja kao sto su ones,zeros,randn,...a mozemo ih zadati Idirektno,navodjenjem svih elemenata matrice.• umnožavanjem repmat osnovne matrice• upotrebom cat funkcije B = cat(dim,A1,A2,...)

– spaja listu nizova duž dimenzije dim– jediniĉne dimenzije se automatski umeću

• broj elemenata po dimenzijama size• ukupan broj dimenzija ndims• spisak promenljivih sa dimenzijama i formatima whosRaĉunanje nad višedimenzionim nizovima:

• funkcije koje rade nad vektorima, npr. sum, mean, ...– obiĉno rade po prvoj nejjediniĉnoj dimenziji niza

• funkcije koje rade elemenat po elemenat, npr. sin, ...• funkcije koje rade sa matricama

– ne prihvataju višedimenzione nizove kao argument

Nizovi ćelija i struktura su posebne klase MATLAB nizova• Ćelija

– sadrži ćelije (binarne podatke) koji su sami po sebi nizovi– omogućava smeštanje

• razliĉitih tipova podataka u niz i• podataka razliĉitih dimenzija

Niz ćelija• je niz ĉiji su elementi ćelije, tj. to je kontejner MATLAB-ovih nizova• npr., jedna ćelija može sadržati matricu, druga string, treća vektor kompleksnihbrojeva, itd• sliĉno brojevima, višedimenzini nizovi ćelija su generalizacija matrice ćelija• niz ćelija se formira popunjavanjem ćelija po ćelija• dva ravnopravna naĉina

– indeksiranje ćelije– indeksiranje sadržaja– {} је konstruktor niza ćelija (poput [] za matrice)– {} se takoĊe upotrebljavaju za spajanje ćelija– prealokacija mem. prostora za ćelije X=cell(3,9)

• indeksiranje sadržaja daje pristup podacima• indeksiranje ćelija se upotrebljava za dodelu niza ćelija drugoj promenljivoj• pojedine ćelije se mogu brisati

• Struktura– takodje udružuje podatake (razliĉitih tipova)– za razliku od ćelija struktura sadrže polja kojima se može pristupati

preko imena• sastoji se od imenovanih polja• svako polje može sadržati proizvoljan tip podataka• formiranje

– dodelom vrednosti– upotrebom struct funkcija

str_array = struct('field1','val1','field2','val2', ...)Polje strukture• ĉitanje vrednosti polja

f = getfield( array, {array_index}, 'field', {field_index} )• postavljanje vrednosti polja

f = setfield( array, {array_index}, 'field', {field_index}, value )• dodavanje polja

patient(2).ssn = '000–00–0000';• brisanje polja

struc2 = rmfield( array, 'field name‘

36. Graficka predstava rezultata simulacije u matlabu.• MATLAB poseduje mnoštvo tehnika za predstavljanje ivizuelizacijupodataka• Grupe funkcija

– 2-D grafika– 3-D grafika– funkcije opšte namene– upravljanje bojama– rukovanje objektima

2-D grafikaElementarni X-Y dijagrami

• crtaju dijagrame na osnovu pojedinačnih tačaka (povezanih)• tačke se zadaju u obliku vektora ili matrica• ose se automatski skaliraju• postoji više skala za ose, te se razlikuju f‐je za crtanje:

– plot ‐crtanje dijagrama sa linearnom podelom na obe ose– loglog ‐ logaritamska podela po obe ose– semilogx ‐apscisa logaritamska, ordinata linearna– semilogy ‐apscisa linearna, ordinata logaritamska

• dekoracija– title ‐naslov dijagrama– xlabel, ylabel ‐slovne oznake apscise i ordinate– grid - prikaz mrežice– legend - prikaz legend

• stil linije ili tip markera i boja se zadaju kao string S u komandi oblikaplot(x,y,S)• boje: yellow, magenta, cyan, red, green, blue, white, black• tip markera: “.”, “o”, “x”, “+”, “*”• stil linije: “-” puna, “:” tačkasta, “-.” crtatačka, “--” crtica

Posebni X-Y dijagrami• bar - stubičasti dijagram

x = [1 4 9 13 2 7];bar(x), title('Bar dijagram')

• hist - histogramhist(x,3), title('Histogram u 3 grupe')

• comet - animirani prikaz (poput kretanja komete)x=0:0.01:3*pi;comet(sin(2.1*x),sin(x+1))

• polar - prikaz u polarnim koordinatamapolar(sin(2.1*x),sin(x+1)), title('Polarne koordinate')

• stairs - “stepenice”, pogodne za odzive diskretnih sistemax=1:10; stairs(x,sin(y))

• fplot - crta analitički poznatu funkciju (automatski korak)fplot('abs(exp(-j*x*(0:9))*ones(10,1))',[0 2*pi],'-o')

3-D grafika• postoji mnoštvo komandi i svaka od njih ima više modifikacija• komande plot3, fill3 i comet3 predstvljaju proš irenje 2‐D komandidodavanjem treće coordinate

t = 0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t,'r'); title('Spirala')xlabel('sin(t)'), ylabel('cos(t)'), zlabel('t'), grid

• crtanje površi:– mesh -“žičani model”–surf -“solid model”

Konturni dijagrami• contour - crta konturni dijagram u X-Y ravni

contour(x,z,y,20)• contour3 - crta konturni dijagram u prostoru• contourc - računa konturni dijagram• clabel - dodaje labele nivoa na dijagram

c=contour(X,Y,Z,10); clabel(c)• quiver - dekoracija oznakama gradijenta

37.Namena CST-a.Control‐System Toolbox je kolekcija algoritama za modeliranje, analizu iprojektovanje sistema automatskog upravljanja• realizovan je kroz biblioteku M-datoteka• Upotrebljava linearne vremenski nepromenljive modele (predstavljene LTIobjektima)

– jedna promenljiva opisuje model sistema• Sadrži bogat skup alata za analizu MIMO sistema

– LTI Viewer - grafički korisnički interfejs– Alati za dizajn regulatora LQG

• Podržava kontinualna kašnjenja ulaza• primenljivo je na predstavljanje linearnih modela sistema:

– u prostoru stanja ili– preko funkcije prenosa

• Podjednako se primenjuje na:– kontinualne i– vremenski diskretne model

• modeliranje sistema• analizu sistema• modeliranje sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom

spregom• smanjenje (redukciju) reda sistema i transformacije modela• projektovanje sistema

38.Načini predstavljanja modela sistema u CST. LTI objekti. Konverzije modela.- Modeli linearnih vremenski nepromenljivih sistema

– funkcija prenosa tf– opis preko nula/polova/pojačanja zpk– model u prostoru stanja ss

• descriptor model u prostoru stanja dss– diskretna funk. prenosa (polinomi po z-1) filt– Frequency Response Data (FRD) model uključujeeksperimentalne podatke frekventnog odziva

• Diskretni sistemi imaju dodatni parametar - vreme odabiranja Ts• Model se opisuje jednim objektom (promenljivom), npr. SysModeli u prostoru stanja• Posmatra se linearan, vremenski nepromenljiv (invarijantan) sistem saviše ulaza i više izlaza (MIMO)• Kontinualan model se opisuje skupom diferencijalnih jednačina 1. reda iskupom algebarskih jednačina• Vremenski diskretan model se opisuje skupom diferencnih i skupomalgebarskih jednačinaFunkcija prenosa - preko polinoma• opisuje linearan, vremenski nepromenljiv sistem sa jednim izlazom ijednim ulazom (SISO)• Ovakva predstava je podjednako primenljiva na vremenski kontinualne ivremenski diskretne modeleFunkcija prenosa - nule, polovi i pojačanje• f-ja prenosa se može prestaviti u faktorizovanom obliku• Ovakva predstava je podjednako primenljiva na vremenski kontinualne ivremenski diskretne modele• Podsedanje: suma parcijalnih sabiraka se dobija Matlab funkcijomresidue

-LTI objekti sadrze predstave linearnih,vremenski nepromenljivihmodela. Model unutar objekta moze biti predstavljen kao prenosna f-ja,preko nula,polova I pojacanja I u prostoru stanja(ss,tf,zpk).-Postoje I f-je za konverzije izmedju razlicitih predstava modela.Ustarom toolboxu to su bile f-je npr. ss2tf,tf2zpk,...U novom ulogukonvertora imaju konstruktori razlicitih modela(ss,tf,zpk).

39.Analiza simulacionog modela upotrebom CST.Simulacione modele analiziramo dovodjenjem razlicitih pobudnih signala na ulaz

step(sys) ‐jedinični odzivimpulse(sys) ‐impulsni odzivinitial(sys,x0) ‐odziv na početno stanjelsim(sys,u,t,x0) ‐ odziv na pobudu u

Mozemo analizirati model I u kompleksnom domenu:bode(sys) ‐Bode ‐ov dijagramnyquist(sys)‐Nyquist‐ov dijagramnichols(sys) ‐Nichols ‐ov dijagramsigma(sys) ‐dijagram singularnih vrednostifreqresp(sys,w) ‐kompleksan frekventni odziv

Sve komande rade I sa kontinualnim I diskretnim modelima.

-LTIview-er služi za analizi odziva u vremenskom i kompleksnom domenuInteraktivan interfejs ka korisniku omogućava:

– prebacivanje između raznih tipova dijagrama– crta odzive nekoliko LTI modela– zumira oblasti dijagrama– računa karakteristike odziva: vreme smirenja, ...– prikazuje razne I/O kanale- menja stilove prikaza dijagrama

40. Postupno formiranje složenih linearnih simulacionih modela u CST –u.• Postoje dve tehnike formiranja složenih modela:

– postepeno objedinjavanje dva bloka• append - objedinjuje dinamiku dva modela• augstate - promenljive stanja su izlazi• cloop - jedinična povratna sprega• feedback - povratna sprega• parallel - paralelna veza dva modela• series - serijska veza dva modela• ssdelete - brisanje koordinata stanja• ssselect - formiranje podmodela (smanjenog modela)

– objedinjavanje na osnovu matrice veza• blkbuild – odjedinjavanje dinamike svih blokova• connect – formiranje završnog model

• Kod povezivanja dva modela često se upotrebljava samo deo ulaza i/ili izlaza• Ulazi se označavaju vektorom rednih brojeva (indeksa) ulaza (ovde označeni saulazi, ulazi1, ulazi2, ...)• Izlazi se označavaju vektorom rednih brojeva (indeksa) izlaza (ovde označenisa izlazi, izlazi1, izlazi2, ...)• Indeksi počinju brojem 1

41.Formiranje složenog linearnog simulacionog modela upotrebom matrice veza uCST–u.

42.Namena simulinka i nacini upotrebe simulacionog modela.Upotrebljava se za simulaciju dinamike sistema (u grafičkom okruženju).Mogu se analizirati linearni, nelinearni, vremenski kontinualni ili diskretnimultivarijabilni sistemi sa koncentrisanim parametrima.Radi kao proš irenje MATLAB-a.

-Dodaje osobine karakteristične dinamičkim sistemima.-Zadržava MATLAB-ovu funkcionalnost.

Uvodi novu klasu prozora -blok dijagram prozor.-Model se formira u takvom prozoru upotrebom miša.

Simulacija se ostvaruje upotrebom SIMULINK funkcija za numeričkorešavanje običnih diferencijalnih jednačina prvog reda.• upotrebljava se u dve faze

– formiranje simulacionog modela– analiza modela - simulacije













43.Formiranje simulacionog modela u Simulink-u.S-funkcija.• upotrebljavaju se blokovi – tipična upotreba• formiranje modela podseda na crtanje blok-dijagrama• postoje biblioteke blokova– standardna SIMULINK biblioteka

– korisnikova biblioteka• blokovi se kopiraju iz biblioteke i povezuju vizuelno• blokovi poseduju parametre koji se postavljaju na željene vrednosti• parametri blokova se mogu menjati i u toku simulacije

Osnovne grupe blokova• ulazi - Sources• izlazi - Sinks• diskretni sistemi - Discrete• linearni sistemi - Linear• nelinearni sistemi - Nonlinear• veze između blokova - Connections• dodatni blokovi - Extras

Model se upotrebljava tako sto se na ulaz npr dovede sinusni signal a na izlaz sepostavi osciloskop...nakon pokretanja simulacije mozemo pratiti kako se menja izlazsistema.

S-Funkcija• Proširuje mogudnosti Simulinka• Programski opis Simulink bloka

– MATLAB– C, C++, Ada, Fortran

• Kompajliran u MEX datoteku• Prilagođava se kontinulanim, vremenski diskretnim i hibridnim modelima• Poziva se na određen način

– Postoje pravila kodiranja– Programski interfejs je zadat

Upotreba S-funkcije u modelu• Napisati S-funkciju• Uvesti S-function blok u model• Podesiti parametar(e) bloka

– Naziv funkcije– parametre

Koristi se:• Opšti blok• Blok koji omogudava pristup uređaju• Upotreba postojedeg C koda• Opis modela preko skupa jednačina• Grafička animacija

• S-funkcija implementira callback metode koje se pozivaju u koracimasimulacije• Osnovne metode

– Inicijalizacija– Određivanje narednog simulacionog trenutka– Određivanje izlaza– Ažuriranje diskretnih stanja– Integracija

• Postoji 30-ak callback metoda koje se mogu pozivati u MEX implementacijiS-funkcijeImplementacija S-funkcije - M datoteka• MATLAB funkcija

[sys, x0, str, ts] = f(t, x, u, flag, p1, p2, ...)• Parametar flag određuje korak simulacije

– flag = 0 – inicijalizacija– flag = 1 – računanje izvoda– flag = 2 – računanje diskretnih stanja– flag = 3 – računanje izlaza– flag = 4 – određivanje narednog simulacionog trenutka (absolutnovreme) ako postoji promenljivo vreme odabiranja diskretnog modela– flag = 5 – kraj simulacije

Inicijalizacija S-funkcije• Odgovor na flag=0 u [sys,x0,str,ts]=f(t,x,u,flag,p1,p2,...)• sys – dimenzije modela

– SYS(1) = broj kontinualnih stanja.– SYS(2) = broj diskretnih stanja.– SYS(3) = broj izlaza.– SYS(4) = broj ulaza.

• Ako je SYS(1:4) == -1 onda se broj signala dinamički određuje– SYS(5) = 0 % rezervisano– SYS(6) = direktno preslikavanje ulaza na izlaz (1=da, 0=ne).– SYS(7) = broj vremena odabiranja (broj redova u ts).

• x0 - početno stanje• str = [] (rezervisano)• ts = matrica vremena odabiranja (2 kolone: period, ofset)

– ts = [0 0 % kontinualno vremeperiod ofset % diskretno vreme odabiranja

-2 0 % promenljivo – flag=4 se koristi

44.Analiza modela upotrebom Simulink-a, zadavanje početnog stanja i ulaza.1. potpuno interaktivan rad

– komande se zadaju iz menija– rezultati se posmatraju u grafičkim prozorima Simulink‐a

2. pokretanje simulacije iz MATLAB‐a– model se može formirati interaktivno– pokretanje simulacije i preuzimanje rezultata se radi u MATLAB‐u

Postupak je fleksibilniji od predhodnog jer se dobijeni rezultati mogudodatno obraditi upotrebom MATLAB‐a3. upotreba S‐funkcija

– model dela sistema se opiše programski – S‐funkcijom– postoji blok S‐Function

Ne postoji jasna granica između upotrebe ova tri načina, tj. načini semeđusobno preklapaju.Način analize modela obično zavisi od faze razvojamodela.Simulacija uključuje numeričku integraciju skupa diferencijalnih jednačinapostoji nekoliko algoritama za integraciju:linsim ‐ simulacija sistema od linearnih komponenatark23 ‐ Runge‐Kutta 3. redark45 ‐ Runge‐Kutta 5. redagear ‐ Gear‐ov prediktor‐korektor metodadams ‐ Adams‐ov prediktor‐korektor metodeuler ‐ Euler‐ov metod– u (v7) tip algoritma se postavlja kao parametar sim metod

Pocetna stanja:Primenjuju se u trenutku tstartNalaze se u samim blokovimaMogu se postaviti (promeniti) iz komandne linije

[t,x,y] = linsim( ‘model’, tfinal, x0 )[t,x,y] = sim(‘model',tfinal,simset('initialstate',x0))

Početna stanja postojećeg modela se mogu očitati pomoću[sizes,x0] = model

sizes su podaci u modelu: broj ulaza, izlaza, …

45.Pokretanje simulacije u Simulink-u.Parametri simulacije.Pokretanje simulacije• iz menija• iz komandne linije - MATLAB-a• pokretanje simulacije iz MATLAB-a u odnosu na pokretanje simulacije izmenija ima veću fleksibilnost, mogu se:

• zadati početna stanja• formirati “spoljašnji” ulazi preko dodatne promenljive ut• simulirati M-datoteke ili MEX-datoteke• pokretati simulacije iz MATLAB skript datoteke, gde se parametrimogu programski menjati

Pokretanje simulacije iz menijaParametri algoritma se posebno postavljaju u dijalogu (v4):

– izbor algoritma integracije– vremena početka i kraja simulacije: tstart i tfinal– tolerancija, min. i maks. korak integracije: tol, minstep, maxstep– imena promenljivih sa rezultatima simulacije: txy (vreme, prom.stanja, izlazi sistema kao [t,x,y])

Mogudnost izbora integracionog algoritma fiksnog i promenljivog koraka

Pokretanje simulacije iz komandne linije (v4)Parametri algoritma se zadaju kao argumenti

[t,x,y] = linsim( ‘model’, [tstart,tfinal], x0, [tol,minstep,maxstep],UT, p1, p2, … );

ili kraće, gde pojedini parametri imaju podrazumevane vrednosti[t,x,y] = linsim( ‘model’, tfinal );

Pokretanje simulacije iz komandne linije (v7)[t,x,y] = sim(‘model’,<TIMESPAN>,<OPTIONS>,UT, p1, p2, …)

• <TIMESPAN> se zadaje na jedan od načina:– TFinal,– [TStart TFinal], ili– [TStart OutputTimes TFinal].

• <OPTIONS> se postavlja upotrebom simset• UT = [T, U1, ... Un]

Parametri algoritma se posebno postavljaju u dijalogu:– izbor algoritma integracije– vremena početka i kraja simulacije: tstart i tfinal– tolerancija, min. i maks. korak integracije: tol, minstep, maxstep– imena promenljivih sa rezultatima simulacije: txy (vreme, prom.stanja, izlazi sistema kao [t,x,y])

46.Linearizacija modela upotrebom Simulinka.• funkcija linmod formira linearan vremenski kontinualan model na osnovuSimulink 'model'-a

rez = linmod(’model’,x,u)gde su:

– ulazi i izlazi modela označeni “ulaznim” i “izlaznim” blokovima (izbiblioteke veza među blokovima)– x i u nominalne vrednosti promenljivih stanja i ulaza - radna tačka okokoje se vrši linearizacija (mogu se izostaviti ako je radna tačka u 0)– rez je dobijeni linearan model u nekoliko oblika:[A,B,C,D] = linmod(’model‘,x,u)[P, Q+ = linmod(’model‘,x,u)struktura = linmod(’model‘,x,u)

• kod vremenski diskretnih ili hibridnih modela upotrebljava se funkcijadlinmod, sa dodatnim parametrom - vremenom odabiranja Ts

rez = dlinmod(’model’,Ts,x,u)

47.Odredjivanje stacionarnih stanja upotrebom Simulinka .Funkcija trim određuje stac. stanja(tacke) modela u prostoru stanja koje

zadovoljavaju odgovarajuci ulazi,izlaz I stanja.• Za zadate vrednosti ulaza (i promenljivih stanja) mogu se odrediti vrednostiizlaza u ustaljenom stanju, i obrnuto• Za zadate vrednosti izlaza mogu se odrediti vrednosti ulaza, ili kombinacija ...

PrimerOdrediti vrednosti ulaza i promenljivih stanja koje na izlazu modela daju y=[1;1]» x = [0 0 0]'; u = 0; % početno pogađanje promenljivih stanja i ulaza» y = [1;1]; % željene vrednosti izlaza» ix = []; iu = []; % dozvoljene su promene vrednosti prom. stanja i ulaza» iy = [1;2]; % izlazi modela koji su fiksirani: 1. i 2.» [x, u, y, dx] = trim('model2bloka', x, u, y, ix, iu, iy)

48. Zadehov opis problema indentifikacije.Identifikacija je određivanje na osnovu ulaznih i izlaznih signala procesa,modela iz određene klase modela, koji je ekvivalentan procesu na kome suizvršena određena merenja.Potrebno je znati definisati:

– klasu modela– kriterijum ekvivalencije (kriterijum za ocenu valjanosti modela)– klasu ulaznih signala

Definicija je opšta i obuhvata i problem određivanja strukture modela.Ukoliko se je model poznat sa tačnošću do nepoznatih parametara, tada segovori o parametarskoj identifikacija

49.Primena identifikacije i načini sprovođenja. Postupak identifikacije .1. Napravi se eksperiment i prikupe ulazno/izlazni podaci procesa koji se

identifikuje2. Ispitaju dobijeni podaci: eliminišu se grube greške i trendovi;

treba izabrati upotrebljiv deo podataka i po potrebi ga filtrirati3. Izabere se i definiše struktura modela - kao skup kandidat modela za opis

sistema4. Izračuna se najbolji model među kandidatima u okviru izabrane strukture

modela i to na osnovu ulazno/izlaznih podataka i usvojenog kriterijumaoptimanosti.

5. Ispitaju se osobine usvojenog modela6. Ukoliko model ne zadovoljava treba se vratiti:

na korak 4 i promeniti algoritam identifikacijena korak 3 i promeniti strukturu modelana korak 1 ili 2 i obezbediti nove ulazno/izlazne podatke

Primena:Formiranje matematičkog modela sistema

– statičkog– dinamičkog

Ona je sastavni deo savremenih tehnika automatskog upravljanja– adaptivno upravljanje

– inteligentno upravljanje

Nacini sprovodjenja:Ako je posmatrani objekat stacionaran sa koncentrisanim parametarima možese vršiti Off-line identifikacija, tj. formiranje modela se vrš i van normalnograda objekta.On-line identifikacija parametara podrazumeva da se procena prametaramodela vrš i u toku normalnog rada objekta.Kada se procesiranje merenihpodataka sa ciljem identifikacije vrš i posle svake periode odabiranja, reč je oidentifikaciji u relanom vremenu.

50.Parametarska identifikacija i metoda najmanjih kvadrata(LS algoritam).Ukoliko je model poznat sa tačnošću do nepoznatih parametara, tada segovori o parametarskoj identifikaciji.Na osnovu ulaza i izlaza pojačavača odrediti nepoznato pojačanje q.



























Kroz izmerene tačke se može provući više pravih. Najbolje je da pravaprođe “što je moguće bliže svim podacima”.Pogodan kriterijum optimalnosti J je:

Ako procenu parametara oznacimo sa q^...

Ako definisemo vektore merenja ulaza I izlaza(S I Y):

51.Osobine procene parametara.Postupak parametarske identifikacije dovodi to tačnih parametara ako je

– procena nepomerena–procena efikasna











Nepomerena:

Efikasna:

U ovom izrazu kada se sredi figurise:

...a to je kada se izracuna jedinicna matrica pomnozena vektorom disperzija.I na kraju imamo:

Nepomerena:

Efikasna:



Nepomerena:

Efikasna:



52.Osobina identifiabilnosti.Funkcije osjetljivosti:

Ako su f-je osetljivosti medjusobno zavisne onda je sistem neidentifiabilan.Ovaj uslov vazi I kada model nije linearan po q,pa se zato identifiabinostposmatra preko f-ja osetljivosti.

53.Iterativne metode parametarske identifikacije – gradijentni algoritam.Osnovni cilj kod ove metode da nam u svakom koraku J bude manje nego uprethodnom(J(k+1) < J(k)).Imamo izmeren izlaz iz realnog sistema(y) I iz modela(ym) kao I pocetnuprocenu parametara(q0).Funkcija osetljivosti:

del(ym)fos(i) = ----------

del(qi)

Proracun del(q):

del(J) del(ym)------- = suma[ e*----------]del(qi) del(qi)

J(k+1) - J(k)--------------- = e* fos(qi)

del(q)

del(q) = h*e*fos(qi)

Postupak se zasniva na iteracijama u kojima se svaki put popravljaju parametrisistema sa del(q).U svakom prolazu se racuna novo del(q) kao I greska e,ymod Ifos(izvodi po parametrima).Pri ulasku u obradu(u iteraciji) proveravamo da li jezadovaljen uslov da je J manje od odredjene vrednosti. J se racuna kao1/2*(e^2).

54.Iterativne metode parametarske identifikacije – Gaus-Newton algoritam.Zasniva se na pretpostavci da ce ym(k+1) biti jednako izlazu realnog sistema.

ym(k+1) – ym(k)--------------------- = fos(qi)

del(qi)

ym(k + 1) – ym(k) = del(qi)*fos(qi)

y(k+1) – ym(k) = del(qi)*fos(qi)

e = del(qi)*fos(qi)

del(qi) = (S*S')\S'*e

...Sto znaci da za proracun del(qi) koristimo LS metodu.Dalje je prica ista kao I kod Gradijentnog postupka.

55. Identifikacija parametara jednog jednostavnog vremenski diskretnog modelaARX model.

Posmatra se dinamički, stabilan, linearan proces, čije se ponašanje u okolinistacionarnog stanja može opisati diferencnom jednačinom.

Uvodjenjem vektora...

Uvedu se matrica S i vektor Y

Po analogiji sa prethodnim LS primerom,primenom metode najmanjih kvadrata sedobija procena parametra q

Slično ranijem primeru i ova ocena je nepomerena i efikasna podpretpostavkom da je ν(k) beli šum.

56. Identifikacija parametara vremenski diskretnog modela (ARMAX model,C(z)≠1). (TS algoritam)

Ukoliko je merenje zagadjeno obojenim shumom tj C(z) ≠ 0 tada imamoARMAX model.

α = 3*(n+r)β = 3*(m+r)

Prvi korak...procena šuma

Metodom najmanjih kvadrata se može proceniti qn

Sada mozemo proceniti šum.





α = 3*(n+r)β = 3*(m+r)








α = 3*(n+r)β = 3*(m+r)




Posmatra se jednakost:

u kojoj su y(k),u(k) poznati...v(k) procenjen.

nepoznati parametri se mogu odrediti ponovnom primenom metode najmanjihkvadrata

57. Identifikacija promenljivih parametara. Rekurzivni metod najmanjihkvadrataTekuca procena parametara se dobija na osnovu prethodne procene q(k – 1)

Matrica P se racuna rekurzivno

Pocetne vrednosti:

Povecavanjem broja merenja elementi P(k) opadaju

ρ je faktor potiskivanja I iz opsega je od 0 do 1.






Pocetne vrednosti:








Pocetne vrednosti:



58. Model veštačkog neurona i aktivacione funkcije.• je osnovni procesni element NM• Sadrži:

– ulaze - xi

– sinapse (težinski, ponderišudi faktori ulaza) wi

mogu biti pobudne >0 ili pak inhibitorne <0– stanje aktivacije - z– izlaznu funkciju - f– jedan izlaz - o– prag – T

Izlazna funkcija neurona• linearna (a)• pragovska funkcija (b)• semi-linearna (c)• sigmoidalna (d)(hiperbolični tangens)

59. Modeli veštačkih nauronskih mreža .Neuroni se obično postavljaju u slojeveSa propagacijom signala unapred ‐ feed‐forward

– jednoslojne– višeslojne

Sa povratnim spregama feedback ‐ rekurentne mreže– jednoslojne i višeslojne– sa diskretnim i kontinualnim signalima

Kombinovane

Jednoslojna feed-forward:

Viseslojna feed-forward:• vrlo često upotrebljavana arhitektura• signali propagiraju samo u napred• neuroni su oranizovani u slojevima

Osobine višeslojne feed-forward mreže• Teorema:

Višeslojna mreža sa jednim skrivenim slojem može sa proizvoljnomtačnošdu e>0 da uniformno aproksimira bilo koju realnu kontinualnufunkciju na konačnoj realnoj osi

• Teorema:Višeslojni mreža sa dva skrivena slojem može sa proizvoljnom tačnošdue>0 da uniformno aproksimira bilo koju realnu kontinualnu funkciju višeargumenata

Jednoslojna diskretna rekurentna mreža

60.Obučavanje veštačkih nauronskih mreža.• supervizorsko (sa učiteljem)

– postoji obučavajući skupparova (ulaz, željeni-izlaz)

• nesupervizorsko (bez učitelja)

• inkrementalno• batch obuka, podešavanje težina u

“jednom koraku’’

Delta pravilo - Back-propagation BP• je najčešde upotrebljavan algoritam obuke feed-forward NM• obučava na osnovu skupa ulazno/izlaznih parova - obučavajući skup:

x-vektor ulaznih podatakad-vektor izlaznih podataka

• obuka traje dok se odzivi mreže oi “ne poklope” sa odzivima di , i = 1, 2, ...P.• Pri ovome postoji greška E, koje predstavlja kriterijum optimalnosti:

Korekcija vrednosti tezina se postize korekcijom na osnovu minimizacijekriterijuma optimalnosti E gradijentnim postupkom.Generalizovano Delta pravilo• ako se posmatra NM sa jednim skrivenim slojem, i težine koje pripadajuizlaznom sloju su W, a skrivenom V, tada se postupkom minimizacijefunkcije E dobija

gde je: δok greška vezana za izlazni sloj, vj vrsta iz matrice V, a y - vektorizlaza neurona skrivenog sloja

Postupak:1. inicijalizuju se težine W i V na slučajne male vrednosti2. postavi se ulaz x i izračunaju se izlazi neurona u skrivenom sloju y i izlazi

neurona izlaznog sloja o3. izračuna se greška Ep (u batch obici se računa E=sum(Ep))4. odrede se “delte” δok i δyj(“delta” propagira u nazad ‐ back‐propagation)5. koriguju se težine u izlaznom sloju wj6. koriguju se težine u skrivenom sloju vj7. uzme se naredni ulaz i nastavi od koraka 2. ne u batch8. nakon upotrebljenih svih el. obučavajućeg skupa izračuna se ukupna greška

E i uporedi sa zadanim Emax9. ako je E < Emax mreža je obučena, inače se nastavlja od koraka 2, gde se na

ulaz mreže ponovo dovodi prvi elemenat obučavajućeg skupa.

Osobine:-sporo konvergira-sporo radi za veliki broj težina (>>1000)-ograničen je samo na feed‐forward mreže-dobar je za generalizaciju, ali loš za učenje specifičnih slučajeva-obučavanje višeslojne feed‐forward NM je NP kompletan problem, gdebroj računanja raste sa veličinom problema brže od bilo kog konačnogstepena neke odgovarajuće mere

61.Uloga veštačkih nauronskih mreža u modeliranju i simulaciji.• Sposobnost NM da proizvoljno mapira ulaze na izlaze joj omogućava da

simulira ponašanje drugog sistema• Obučavanje NM ulazno‐izlaznim podacima iz objekta predstavlja postupak

identifikacije sistema• Mogu se vrš iti

– direktna identifikacija objekta (a)– inverzna identifikacija objekta (b) ‐ (nije uvek moguća)

57.Veštačka nauronska mreža kao model dinamičkog sistema.

Identifikacija objekta feed-forward mrezom:a – stacionarno ponasanjeb – dinamicko ponasanje

miss teorija

Documents