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Misael Garrido Méndez

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Dirección editorialGrupo Editorial Mx

Editor en jefeOlivia Vega Ponce de León

EditorDora Leticia González Parra

Revisión técnicaJosé Nicolás González Jiménez

Corrección de estiloGeorgina Margarita Arteaga FloresMaría Julia Isabel Magaña Hernández

Coordinación de diseñoKarem Anabelli Zavala Acevedo

Diseño editorialFlor Alejandra Carmona VeraVerónica Rodrígez Zárate

Diseño de portadaFlor Alejandra Carmona Vera

Dirección de producciónFrancisco J. Martínez García

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

Misael Garrido Méndez

1ª edición enero de 2019D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8613-35-9

Organización didáctica por unidades con proyectos formativos.

Durante el proceso de impresión hemos contactado los sitios de internet referi-dos, para notificarles que utilizaremos la información sin fines de lucro.

Derechos ReservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ningu-na forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, incluyendo foto-copiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca, Grupo Editorial Mx, es propiedad de TRACK, S. A. de C. V.Prohibida su reproducción total o parcial.Impreso en México / Printed in MexicoPro

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Este libro tiene como propósito que desarrolles aprendizajes al relacionar el conocimiento que adquirirás en este módulo con tus experiencias de la vida cotidiana.

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electrónico siguiendo 5 sencillos pasos:

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3

4

5

Integra conocimientos, habilidades y actitudes para evidenciar el logro de las competencias genéricas y disciplinares. Incluye instrumento de evaluación.

Actividad para despertar la curiosidad por los nuevos conocimientos.

Permite identificar los conocimientos previos para tomarlos como punto de partida en el proceso de aprendizaje.

Evidencian las relaciones entre las áreas del conocimiento a través de los ámbitos transversales del Perfil de egreso.

Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG) y competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la movilización o transferencia de saberes.

Lecturas con ejercicios de prelectura y poslectura para alcanzar el nivel medio de lectocomprensión.

Actividades para la evaluación de los aprendizajes esperados. Incluye instrumento de evaluación.

Reactivos similares a la prueba PLANEA.

Registro general de los avances en los resultados de aprendizaje de todo el módulo.

Reactivos para la evaluación de los conocimientos adquiridos.

Autoevaluación de las competencias genéricas y disciplinares desarrolladas a través de los resultados de aprendizaje.

Tabla de ponderación

Proyecto formativo

Explora tu mundo

Evaluación diagnóstica

Actividad transversal

Evaluación sumativa

Fomento a la lectura

Evaluación formativa

Prueba tipo PLANEA

Vinculación de competencias y resultados de aprendizaje

Sección de orientación vocacional para acompañar el diseño de un plan de carrera. A través de casos se muestran las profesiones que aprovechan los conocimientos abordados en los contenidos.

Or te

Actividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

(DHS) de acuerdo con el programa ConstrúyeT. Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

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Contenido

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Unidad 1 Interpretación de los origenes 8

Elementos, características y notación de los ángulos 10Ángulos 10Medición 11Clasificación 12Diferentes sistemas de mediciones de los ángulos y sus equivalencias 13Punto y línea 16Recta secante a una curva 18Ángulos entre paralelas y una secante 19Ángulos entre paralelas y una secante 20Perpendicularidad y paralelismo 21Identificación de las propiedades de los triángulos 22Clasificación 22Relación entre sus lados y ángulos 23Congruencia y semejanza 25Dibujo a escala 32Identificación de las propiedades de los polígonos regulares 34Lados y vértices 34Ángulos interiores y exteriores 35Diagonales 36Circunferencia inscrita, circunscrita y apotema 38Identificación de los elementos y propiedades básicas de los ángulos en la circunferencia 40Ángulos notables en una circunferencia 40Patrones y fórmulas 42Diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante 43

Sector 44Cálculo de las magnitudes de los triángulos 46Dada la altura 46Identificados los lados 48Patrones y fórmulas de las magnitudes de figuras geométricas 51Perímetro y área de cuadriláteros y de polígonos de más de cuatro lados 51Magnitudes del círculo 55Relación de los polígonos regulares con el círculo 55Aplicación de cálculos en las figuras geométricas irregulares 57Estimación de volúmenes 58Formas para medir volúmenes 58Comparación de volumen de distintos cuerpos sólidos 61Criterios de congruencia entre triángulos y polígonos 63Aplicación de los diferentes tipos de configuraciones figurales 64Manejo con polígonos 66Propiedades y estructura 67Relaciones trigonométricas 68Razones trigonométricas 68Funciones en el triángulo rectángulo 70Funciones en el plano cartesiano 72Resolución de triángulos rectángulos 76Teorema de Tales 81

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Unidad 2 Aplicación de las propiedades y funciones de los triángulos 94

Identificación de razones y funciones trigonométricas 98Definición de funciones trigonométricas 99Definición y fórmulas de las funciones trigonométricas 103Definición en la circunferencia unitaria 109Ángulo notable de 30° 110Ángulo notable de 45° 112Ángulo notable de 60° 115Resolución del triángulo rectángulo 117Mediante razones trigonométricas 117Mediante uso de logaritmos 120Solución de triángulos oblicuángulos 125Ley de senos 125Ley de cosenos 130Mediante uso de logaritmos 134Dibujo a escala 135Definición de las identidades trigonométricas fundamentales 138

Deducción y demostración a partir de las razones fundamentales 138Deducción y demostración a partir de las razones fundamentales. 140Deducción de las identidades de argumento compuesto 143Identidades trigonométricas de suma de ángulos 143Doble 145Identidades trigonométricas de mitad de ángulo 147Descripción de funciones angulares 149Funciones en el círculo trigonométrico 149Ubicación en el espacio: topografía y medición 153Aplicaciones en geolocalización 155Coordenadas polares 155

Bibliografía 168

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1. Demostrar las propiedades de ángulos y figuras geométricas a través de sus distintas aplicaciones en la vida cotidiana.

2. Calcular las dimensiones de figuras geométricas a través de fórmulas y teoremas establecidos.

3. Representar las estructuras de los fenómenos de la vida cotidiana con base en las propiedades geométricas.

El objetivo es otorgar a los jóvenes estu-diantes del Sistema CONALEP, un conjunto de herramientas que les ayuden a enfrentar las situaciones de una sociedad compleja y cambiante; por medio del incremento de las capacidades de pensamiento crítico, análisis, razonamiento lógico y argumentación. Este curso abona al fortalecimiento del aprendizaje de las Matemáticas y el pensamiento lógico, enfatizando las habilidades socioemocionales, para dar lugar a que los estudiantes desarro-llen habilidades por medio de la resolución de problemas, más allá de la aplicación de conceptos teóricos. Esto es de suma impor-tancia, dados los retos que se deben enfrentar actualmente en esta sociedad cambiante y en rápido proceso evolutivo digital.

Competencias genéricas (CG) a desarrollar

Competencias disciplinares básicas del área de Matemáticas (CDBM) a desarrollar

Resultados de aprendizaje

¿Por qué es importante?

Palabras clave• Ángulos, elementos básicos de geome-

tría, punto, línea, recta, paralela, per-pendicular, congruencia y semejanza, dibujo a escala, lados, vértices, diago-nales, circunferencia, apotema, líneas notables del círculo, triángulos, perí-metro, área, volumen, polígonos, teo-rema de Tales.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

2.1. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

4.2. Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.2. Identifica las actividades que le resultan de menor y

mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y aná-lisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o mate-máticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Unidad 1

Interpretación de los orígenes

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InterdisciplinariedadTransversalidad de los aprendizajes

Aprendizaje esperado



Comunicación en los ámbitos escolar y profesional

Relación entre compuestos orgánicos y el entorno





Emprendimiento e innovación


Significa las fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas con el uso de materiales concretos y digitales.


Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante distintos medios.

Colaboración y trabajo en equipo

Habilidades digitales

Lenguaje y comunicación

Comunicación en los ámbitos escolar y profesional.• Contrasta los argumentos de dos textos, a través de una reseña

crítica.• Emplea herramientas para el análisis de textos que le permitan

extraer información y procesarla y los emplea en un tema de su interés (notas, síntesis, resumen, paráfrasis, sinopsis).

Relación entre compuestos orgánicos y el entorno• Reconoce la importancia de los modelos en la ciencia.

Emprendimiento e innovación. • Desarrolla habilidades comunicativas efectivas en diferentes

ámbitos.

Un ejemplo de transversalidad entre diferentes módulos de un mismo se-mestre, se presenta con Interpretación de fenómenos físicos de la materia, que se apoya de Análisis derivativo de funciones, donde se realiza la inter-pretación y representación de modelos numéricos de los fenómenos natu-rales, con ello se puede entender el comportamiento de la naturaleza y se consideran las predicciones y deducciones en los casos que así se pueda. Por otra parte, el idioma inglés, apoya la búsqueda de información, que forma parte del método científico y permite fomentar la comunicación.


Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.Interpreta las propiedades de las figuras geométricas.

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Proyecto formativo

“Creación de empresa de maceteros decorativos”

En esta sección pondrás a prueba todas las competencias y aprendizajes que has logrado en este bloque, a partir del desarrollo de la creatividad aplicada a un proyecto, el cual consta de seis fases que se desarrollan a partir de este momento y concluyen al final del semestre con la presentación del mismo. Verás que será divertido y generarás un producto inno-vador que aportará algo valioso a tu entorno. Toma en cuenta que en el salón de clases sólo se presentarán los avances logrados. Para que entiendas la propuesta de tu proyecto analiza el siguiente esquema:

Proyecto emprendedor: “ Creación de empresa de maceteros decorativos”Emprendiendo mis metas personales

¿Qué hacer? Crear una empresa de maceteros decorativos para cubrir cualquier necesidad del cliente.¿Con qué hacer? Con procesos de razonamiento, argumentación y argumentación de ideas.¿Cómo hacer? Empleando el lenguaje matemático, habilidades y destrezas, así como contar con una actitud y valores positivos.¿Estado de mi proyecto? Organizar los procesos de ejecución del proyecto através de un cronograma de actividades.¿Evalúo mi talento? Reconocer los logros obtenidos en el desarrollo de las competencias académicas y disciplinares en el aprendizaje de Matemáticas II¿Evalúo mi proyecto? Identificar el impacto del cumplimiento del objetivo del proyecto, que se observará con la puesta en práctica dentro de la comunidad escolar¿Cuál es el propósito? Contribuir al desarrollo de la creatividad, pensamiento lógico y crítico para la resolución de problemas reales con la aplicación de sus conocimientos.

I. De manera individual, utiliza la escala del mapa de 1 m: 1 000 km, para calcular el perímetro y el área del triángulo de las Bermudas. El único dato que se tiene, es que el lado que va de las Bermudas a Florida en el mapa es de 18.6 m.

II. Explica verbalmente cómo hiciste cada cálculo. Puedes dibujar sobre el mapa o rea-lizar cualquier actividad que te ayude a resolver este problema.

Bermudas

Puerto Rico

Florida

Explora tu mundo

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Representación simbólica y angular del entorno1

N

S

EO

50 100 200

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Contesta los siguientes problemas en tu cuaderno. Al final, compara tus respuestas con el grupo.

1. Tienes un terreno de forma hexagonal y quieres vender únicamente la tercera parte de él, ¿cómo determinarías dicha área? Explica con tus propias palabras, el procedimiento que seguirías.

2. Calcula el perímetro y área del rectángulo de medidas: ancho 13.5 × 1012 uni-dades y largo 9.5 × 1011 unidades.

3. Realiza la operación: ( ) ( )

( )× ×

×=2 10 3 10

4 10

3 4 5

3 5

4. Encuentra las dimensiones de un rectángulo, si el ancho es tres unidades menor que el largo, con un área total de 120 m2.

5. El área de un terreno rectangular es de 247 m2 y su perímetro es de 64 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?

6. Calcula el perímetro y área del triángulo rectángulo ABC:

x+1

x

5cm

A

C B

7. Te están vendiendo un terreno, donde la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. ¿Qué tipo de terreno es?

8. Supongamos que de una hectárea de terreno (ha = 10 000 m2) con dimensiones de 50 m de largo por 200 m de ancho, te quieren vender una sección de 45.28 m de largo por 36.67 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados te venden y cuántos quedan?

9. En una parcela rectangular quieres sembrar zanahorias y lechugas, pero deseas el doble de zanahorias que de lechugas. ¿Cuál es el área de zanahoria que debes sembrar si el terreno mide 4 m × 6 m?

10. Necesitas cercar el jardín de tu casa y éste tiene forma de un pentágono. Escribe una fórmula o expresión algebraica en la que expreses cómo calcularías los metros de malla que requieres para cercarlo.

Evaluación diagnóstica

Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanzaUnidad 1

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Los ángulos son una herramienta necesaria en diversas situaciones, que van desde cálculos de corte científico para saber la dirección que una nave debe tomar para cruzar la atmósfera terrestre, hasta la forma en la que deben colocarse las butacas y la pantalla en una sala de cine para que la visibilidad de los asistentes sea la adecuada, o el ángulo que debe tomar una bola de billar para lograr un tiro efectivo.

Ángulos

Un ángulo: es la unidad de medida que nos permite conocer la amplitud de la abertura que se forma entre dos rectas que se interceptan entre sí en un punto en común.

En la Figura 1.1 observamos dos segmentos de rectas, el BA (lado inicial) y BC (lado final), los cuales se intersectan en el punto B. De esta forma, se construye una figura en un plano que tiene dos lados y un punto en el que se unen, al que se le conoce como vér-tice (punto B). La abertura interior entre los dos segmentos de las rectas se le llama “ángulo”.

Reflexiona¿Por qué son importantes los ángulos en tu entorno?

Figura 1.2 Transportador de ángulos: este instrumento se emplea para medir y transportar ángulos. Es de material plástico transparente y su forma es circular o de semicírculo. Viene graduado en la escala sexagesimal.

Las propiedades más importantes de un ángulo son la medida y el sentido en el que se toma o se construye. En la siguiente sección profundizaremos en ello.

Elementos, características y notación de los ángulos

Lado inicialLado

final

B

Vértice

B

Vértice

0

Ángulo

B A

C

Figura 1.1 Los elementos de un ángulo.

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MediciónLa medida de un ángulo positivo o negativo, se puede realizar a través de un transportador de ángulos (ver Figura 1.2), el cual se coloca en el vértice y se prolongan los lados del ángulo hasta la escala sexagesimal, colocando el lado inicial en el valor de cero para después medir en el sentido contario de las manecillas del reloj (ángulo positivo) hasta el valor que coin-cida con el lado final en la escala sexagesimal, como se muestra en la Figura 1.3. La medida de un ángulo es la misma a lo largo de su apertura y se representa por el signo matemático “∠” o “m∠=” (medida del ángulo).

Ángulo negativo es aquel que se mide en sentido de las manecillas del reloj, por lo que todo ángulo positivo tiene un ángulo equivalente, negativo.

Un ángulo no mide distancias, sino amplitudes entre dos rectas.

B

A

C

D

E

Figura 1.3 Los ángulos positivos se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

-333°

Figura 1.4 Los ángulos negativos se miden a favor de las manecillas del reloj.

Actividad 1 • CG 4.1 • CDBM 6 •

Responde los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Consideras que el sentido de la flecha que aparece en la figura de un ángulo, influye

en la medición de ese ángulo o en su signo. Explica tu respuesta.2. Dibuja los siguientes ángulos en tu libreta, indicando mediante una flecha el sentido

y la amplitud de la rotación. Anota los lados inicial y final.a. 45°b. 120°

c. 210°d. 330°

e. -60°f. -120°

g. -300°h. -480°

3. Convierte los ángulos de sistema decimal a sexagesimal.a. 35.483277° b. 27.873823° c. 125.268456°

4. Convierte los siguientes ángulos de notación sexagesimal a notación decimal.a. 23°48’56’ b. 77°22’8’’ c. 210°45’45’’

5. ¿Cuánto vale el ángulo de rotación para cada uno de los siguientes giros?a. Desde el oeste hasta el noroeste en el sentido del reloj. b. Desde el oeste hasta el sur en el sentido contrario del reloj. c. Desde el suroeste hasta el noroeste en cualquier sentido.

6. ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj en cada uno de los siguientes casos?a. A las 3 en punto.b. A las 10 en punto.

c. A las 5:30 horas.d. A las 11:30 horas.

7. Traza los siguientes ángulos.a. 30° b. 45° c. 60°

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ClasificaciónLos criterios de clasificación de los ángulos son los siguientes:

Por sus medidas Por la suma de sus ladosAgudos: son

aquellos que miden más de cero grados y menos de 90°, es decir, si x es agudo,

entonces:0° < α < 90°

A

Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas

suman 90°, pueden ser adyacentes o no.

β + α = 90°

α β

Rectos: son aquellos cuya medida es igual

a 90°

Suplementarios:Son dos ángulos cuyas medidas

suman 180° pueden ser adyacentes o no.

α β

Obtusos: son aquellos cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°, es

decir, si α es obtuso, entonces:

90° < α < 180 °

Por la posición de sus ladosOpuestos por

el vértice: se les llama así cuando los

lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

α β

Llanos: son aquellos cuya medida es igual a 180°, es decir, si

α es llano entonces: ∠α = 180°.

Adyacentes: son aquéllos que tienen

el vértice y un lado en común. Sus otros lados son semirrectas

opuestas.

α

β

Entrantes o cóncavos: son

aquellos cuya medida es mayor que 180° y menor que 360°, es

decir, si α es entrante o cóncavo, entonces 180° < α < 360°.

B

C

A

Formados por paralelas cortadas por una secante:

son los ocho ángulos que se forman al cortar dos rectas

paralelas con una secante. Se

clasifican por parejas de acuerdo a su

posición, se verán más adelante en este

libro.

l2

l1 Secante

Perigonales: son aquellos cuya medida

es igual a 360°, es decir, si α es

perigonal, entonces α = 360°.

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Diferentes sistemas de mediciones de los ángulos y sus equivalenciasHay cuatro diferentes sistemas para medir ángulos: grados sexagesimales, sistema horario, grados centesimales y sistema absoluto o radial, que es el más utilizado en matemáticas.

Los símbolos que representan sus unidades son diferentes en cada uno y se relacionan entre sí con las siguientes equivalencias.

Abertura Sexagesimal Horas Centesimal Radianes1 vuelta o ángulo de giro 360° 24 h 400G 2π rad.½ vuelta o ángulo llano 180° 12 h 200G π rad.

Sistema sexagesimal de medición de ángulos

El sistema sexagesimal para medir ángulos es el más utilizado en la escuela, pues divide una circunferencia completa en 360° y cada “un trescientos sesentavos” es 1° sexagesimal. Su origen es caldeo, cuyo sistema de numeración es base 60; por ello está definido de esta manera. El transportador de los juegos de geometría (Figura 1.2), está graduado en grados sexagesimales y se utiliza como ya se describió anteriormente.

En este sistema, con base 60, los submúltiplos del ángulo son como sigue: • 1° = 60’ (un grado equivale a 60 minutos). • 1’ = 60’’ (un minuto equivale a 60 segundos). • 1° = 59’60” (un grado equivale a 59 minutos y 60 segundos). • Un grado: 1° = 1/360 de revolución. • Un minuto: 1’ = 1/60 de grado. • Un segundo: 1” = 1/60 de minuto.


Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza los procedimientos necesarios en tu cuaderno. 1. Traza con tu juego de geometría, un ejemplo de cada tipo de ángulo clasificado

según su medida. Intercambia tu cuaderno con un compañero y cada uno mida con su transportador los ángulos que trazó su compañero.

2. Un par de ángulos son complementarios. Uno de ellos mide 72°, ¿cuánto mide el otro? Trázalos en tu cuaderno.

3. Un par de ángulos son suplementarios. Si uno de ellos es un ángulo obtuso de 123°, calcula cuánto mide el otro ángulo y trázalos en tu cuaderno.

4. Traza dos rectas formando una “equis”. Mide cada ángulo con tu transportador y comprueba la relación entre cada par de ángulos puestos por el vértice.

5. El ∠B = 37° y es complementario del ∠A. Calcula cuánto mide el ∠A.6. Si ∠A es suplementario del ∠B y el ∠A = 88°, ¿cuánto mide ∠B?7. Si dos ángulos son complementarios, el ∠A = 6x y el ∠B = 9x, ¿Cuánto vale cada ángulo?8. Los ángulos A y B son suplementarios. ∠A = 3x, el ∠B = 2x. ¿Cuánto vale cada ánglo? 9. Inventa otro problema parecido a los cuatro anteriores y pide a un compañero que

lo resuelva, resuelve tú el suyo. 10. Traza con tu juego de geometría cada uno de los ángulos mencionados y calculados

en los problemas del 5 al 8.

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Estos submúltiplos tienen equivalencias en notación decimal. Los siguientes ejemplos mues-tran cómo hacer conversiones entre ambos sistemas de numeración.

Ejemplo 1Convertir el ángulo de 23°45’38” de notación sexagesimal, a notación decimal. Procedimiento paso a paso:

1. Convertir los segundos a minutos, para ello dividimos 38 entre 60: 38/60 = 0.63 minutos, 0.63 es la parte decimal de 38” en minutos.

2. Sumamos la parte decimal de los segundos a los minutos: 45’ + 0.63’ = 45.63’ 3. Convertimos los minutos en grados, para ello dividimos por 60, los minutos que

obtuvimos en notación decimal: 45.63/60 = 0.7605 grados.4. Sumamos la parte decima a los grados del ángulo que teníamos en entero:

23° + 0.7605° = 23.7605°5. Escribimos el resultado: 23°45’38” = 23.7605°

Para convertir de notación decimal a sexagesimal, hay que invertir este proceso.

Ejemplo 2Convertir 55.345° a medida angular en sistema sexagesimal.

1. Separamos la parte decimal: 55.345 = 55° + 0.345°2. Multiplicamos la parte decimal por 60: 0.345° × 60 = 20.7’ y obtenemos minutos, que

en este caso son 20 (la parte entera de este número).3. Separamos la parte decimal de los minutos y la multiplicamos por 60: 0.7 × 60 = 42”

y obtenemos segundos.4. Finalmente, escribimos la equivalencia: 55.345° = 55°20’4”

Sistema horarioEn este sistema de medición de ángulos, la unidad de medida es 1 hora. Como una vuelta com-

pleta es un día entero, equivale a 24 horas, por lo tanto, =1 h 124

vuelta. Los submúltiplos

son el minuto =1 160

hmin y el segundo =1 13600

hseg , siendo similar en esto al sistema

sexagesimal. Este sistema no es tan utilizado, pero hay que conocerlo como referencia.

Grados centesimales Durante la Revolución francesa, surgió una manera de medir ángulos que facilitara los cál-

culos matemáticos, dado que estamos habituados a utilizar el sistema decimal de unidades.

En este sistema, una vuelta se “redondeó” en lugar de 360° (como en el sistema caldeo de nu-

meración), a 400° por asignación y así surgió por definición el grado centesimal: =1 1400

grad

vuelta, con sus respectivos submúltiplos: minuto centesimal =1’ 1100

de grado y el segundo

centesimal: =1’’ 110000 de grado.

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El sistema absoluto o radial

Este es el sistema más utilizado en matemáticas, ya que es el más exacto por estar acotado en el número irracional pi (π) y así es más fácil de manipular algebraicamente. En este caso, la referencia o unidad es el arco formado por el radio de una circunferencia (de cualquier medida). Equivalencia y conversiones del radián con el sistema sexagesimal

La equivalencia entre los grados sexagesimales (muy utilizados en la escuela) y los radianes (el sistema absoluto y más utilizado en mate-máticas) es una proporción directa. Por lo tanto, se puede utilizar una proporción para realizar conversiones entre ambas unidades de medida.

r

radián

longitud=r

Figura 1.5. El ángulo, unidad o referencia del sistema absoluto de medición de ángulos, es el radián. Su símbolo de unidad es el “rad.”, y equivale al ángulo o abertura que se forma al trazar un arco sobre la circunferencia, de medida equivalente al radio del mismo círculo.

Ejemplo 1 Convertir 120° a radianes.Solución:

π π° ×°= =120

18023

rad. 2.0944 rad.

Ejemplo 2Convertir 125°30’ a radianes.Solución: Primero se debe convertir 30’ a su equivalente en notación decimal, dividiendo los minutos entre 60. Luego, para transformar los grados a radianes, se multiplica la medida en radianes por

π°180 , como hicimos antes.

π π° ×°= ° ×

°=125 30’

180125.5

1802.1904 rad.

Ejemplo 3 Convertir 2.45 rad., a su equivalencia en grados sexagesimales en notación decimal.Solución:

2.45 rad. 180rad.

140.37π

× ° = °

Ejemplo 4 Convertir π

rad2

3, a su equivalente en grados sexagesimales.

Solución:π

π× ° = °2

3rad. 180

rad.120

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rial M

x

Punto y líneaPara poder hablar de los conceptos de ángulos y triángulos, es importante comprender los elementos que los forman, por eso empezaremos hablando de puntos, rectas y planos.


Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza todos tus procedimientos en tu cuaderno. 1. Convierte en radianes los siguientes ángulos en grados sexagesimales:

a. 124° b. 65° c. 85° d. 186° e. 450°

2. Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos en radianes. Expresa tus respuestas en notación decimal y con submúltiplos de minutos y segundos en los casos que aplique. a. 3.56 rad. b. 7.28 rad. a.

π27 c.

π35 d.

π412

3. Calcula el ángulo complementario de cada uno de los siguientes ángulos.a. 47° b. 35°12’ c. 68°17’15” d. 0°45’

4. Calcula el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes.a. 75°10’ b. 104°26’ c. 135°33’12” d. 95°52”

5. Resuelve las siguientes cuestiones.a. Encuentra dos ángulos que sean complementarios, cuando el mayor es 40° más

grande que el menor.b. Encuentra dos ángulos que sean suplementarios, cuando el mayor es el triple que

el menor.c. Encuentra dos ángulos que sean continuos y formen un ángulo de 120°. El mayor

debe tener 20° menos que el triple del menor.d. Dos ángulos son suplementarios y el mayor tiene 58° más que el menor.

Punto: este concepto es difícil de de-finir, aunque fácil de intuir; no tiene longitud, anchura ni espesor, pero lo podemos representar como la marca de la punta de una aguja en la tela o la huella de un lápiz en una hoja de papel. Baldor (2010). Figura 1.6 El punto es la unidad geométrica más

simple y pequeña. No tiene longitud, anchura ni espesor, por lo tanto, no representa ninguna dimensión geométrica.

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Línea recta: posee longitud, pero ca-rece de anchura y espesor. Está for-mada por una sucesión infinita de puntos. Cuando los puntos están ali-neados o son colineales, la línea recibe el nombre de recta. Baldor (2010). Puedes observar cómo en el entorno se puede percibir la línea recta en di-ferentes objetos.

Segmento de recta: el segmento de recta, es el conjunto de puntos que pertenecen a una línea recta, ubicado entre otros dos lla-mados extremos del segmento (puntos A y B). Se designa por las letras mayúsculas que representan a estos puntos y van acom-pañadas de una raya encima (AB), o bien por una letra minúscula. Por ejemplo, el siguiente segmento se puede nombrar como: “a” o bien como segmento “AB ”.

Figura 1.7 La línea recta posee longitud, pero carece de anchura y espesor. Es la primera dimensión geométrica y se puede percibir en diferentes objetos, como en las dimensiones de largo, ancho y profundidad en la caja de un tráiler, por ejemplo.

Las rectas se pueden clasificar de acuerdo a su posición en: horizontales, verticales y oblicuas o con inclinación, como se muestra en la Figura 1.8.

A B

Vertical

HorizontalOblicua

o con inclinación

Figura 1.8 Las rectas se pueden clasificar de acuerdo a su posición.


Contesta las preguntas y resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta. 1. ¿Cuáles son los conceptos básicos de la Geometría? 2. ¿Para qué sirven? 3. ¿Por qué el hombre los definió y se ha ocupado de estudiarlos? 4. ¿Qué situaciones nos permiten resolver?5. Describe en una imagen a escala de tu escuela cada uno de los conceptos básicos de

la Geometría.6. Describe en una maqueta a escala de tu hogar, cada uno de los conceptos básicos de

la Geometría.

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Recta secante a una curvaUna secante es una recta que corta a otra línea en dos puntos. En este caso, nos interesa analizar las líneas respecto a una circunferencia.

• Recta secante: La recta � ��JK es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

(Figura 1.9). • Circunferencias secantes: Son circunferencias que se cortan en dos puntos. El seg-mento rectilíneo que une los puntos de intersección entre las circunferencias (I I1 2 ) es una cuerda para ambas circunferencias, por lo tanto, es perpendicular a la recta que pasa por los centros de ambas circunferencias.

Tangente

Secante

Diámetro

CuerdaRadio

Arco

Figura 1.9 Líneas notables de la circunferencia. La recta secante es el segmento (JK).

C1C2 < r1 + r2

C1

r1

I2

90°

I1

C2r2

Figura 1.10. Circunferencias secantes.


I. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno de notas. Justifica tus respuestas, ya sea numéricamente, o mediante una explicación con tus propias palabras.

1. Traza rectas secantes por los puntos de color rojo.

A

C

D

B

2. Une dos puntos de la siguiente curva, para formar rectas secantes.

-1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. Traza una circunferencia con un radio de 7 cm de longitud. En ella, traza una secante y etiquétala correctamente con la notación de un segmento de recta.

4. En una circunferencia de 8 cm de diámetro, traza tres rectas secantes.

II. Investiga e identifica la representación de rectas secantes en situaciones ordinarias. Presenta tu investigación a tus compañeros, mediante fotos tomadas con algún dispositivo.

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Ángulos entre paralelas y una secanteSi cortas dos rectas paralelas por una transversal no perpendicular, como se muestra en la Figura 1.11, se forman ocho ángulos de los que cuatro son iguales entre sí y otros cuatro son iguales entre sí; es decir hay cuatro ángulos agudos iguales entre sí y cuatro ángulos obtusos iguales entre sí, que se clasifican según sus posiciones.

Observa la Figura 1.11. En ella verás ocho ángulos y confirmarás los siguientes teoremas.

Igualdad Porque son Igualdad Porque son∠a = ∠d opuestos por el vértice ∠a = ∠h alternos externos∠b = ∠c opuestos por el vértice ∠b = ∠g alternos externos∠e = ∠h opuestos por el vértice ∠c = ∠f alternos internos∠g = ∠f opuestos por el vértice ∠d = ∠e alternos internos∠a = ∠e correspondientes ∠c = ∠g correspondientes∠b = ∠f correspondientes ∠d = ∠h correspondientes

∠a ∠b∠d∠c

∠f∠h

∠e∠g

Figura 1.11 Se forman ocho pares de ángulos al cortar dos rectas paralelas con una secante no perpendicular, con propiedades de correspondencia entre ellos.


Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza los procedimientos necesarios en tu libreta. 1. Relaciona ambas columnas, de tal manera que cada pareja de ángulos tenga el nombre

que le corresponda. Para determinar tus conclusiones, observa detenidamente la figura.

( ) k y m a. Opuestos por el vértice

( ) d y e b. Adyacentes

( ) a y c c. Correspondientes

( ) p y m d. Alternos externos

( ) f y g e. Colaterales internos

( ) b y o f. Colaterales externos

2. Con base en la siguiente figura de ángulos entre rectas paralelas, escribe en tu cuaderno la razón que justifique cada afirmación.a. 1 = 4 por ser b. 3 + 5 = 180° por ser c. 2 + 8 = 180° por ser d. 2 = 7 por ser e. 3 = 6 por ser f. 4 = 8 por ser

1 23 4

5

A

C D

E

F

B

67 8

a b

e f

i jn o

c d

g h

k mp q

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Ángulos entre paralelas y una secante


Resuelve los siguientes problemas. Realiza los procedimientos necesarios en tu libreta. 1. Uno de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante tiene

43°, ¿cuánto miden los demás?

2. Tomando en cuenta las figuras, escribe el valor de los ángulos solicitados.a. = b. = c. = d. = e. = f. = g. =

x. =

3. Calcula los valores de (x) y (y):a.

A

Bx x

y

y60°

60° 40°

b.

A

Bx x

y

y60°

60° 40°

4. Escribe el valor de todos los ángulos en cada recta. a.

p q1

2

34

57

8

r

t uwv

s=125° 32'

6=37

° 18'

42''

4x+5°

7x+3

5°

b.

p q1

2

34

57

8

r

t uwv

s=125° 32'

6=37

° 18'

42''

4x+5°

7x+3

5°

c.

p q1

2

34

57

8

r

t uwv

s=125° 32'

6=37

° 18'

42''

4x+5°

7x+3

5°

a

A

P100° 3x+50°

4x+30°S

I

Q G

C

D

H

F

R

B

b

f g

e

c d

FG||HIPQ||RS

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Perpendicularidad y paralelismoRectas paralelas

Se les nombra así a las líneas rectas que se encuentran trazadas en un plano con la misma dirección, y que no se cruzan en ninguno de sus puntos, además de que conservan su distancia de separación a lo largo de su trayectoria. Lo anterior lo podemos observar en las vías del tren y su re-presentación geométrica.

Existen rectas no paralelas, por lo tanto, no siguen la misma dirección y se cruzan en un punto. A este punto le llamamos intersección de dos rectas o vértice.

Rectas perpendiculares

La perpendicularidad de dos rectas, de un plano y una recta o de dos planos geométricos se identifican fácilmente porque al cortarse forman un ángulo de 90° y, pueden ser perpendi-culares entre sí. Un plano tiene longitud y anchura, pero no espesor. Por lo general, se representa por una letra minús-cula y puedes visualizarlo como una pared, la superficie de una mesa o el mismo piso. Baldor, (2010). Esto se muestra en la pared de ladrillo que representa un plano y el piso de madera es otro esquema de plano.

d

d

Figura 1.12 Este segmento de vías del tren es un ejemplo de líneas paralelas, no se cruzan entre sí en ninguno de sus puntos, además de conservar su distancia de separación a lo largo de su trayectoria.

Largo Largo

Ancho Ancho

Figura 1.13 La pared y el piso son ejemplos de planos geométricos.


Resuelve los siguientes problemas, desarrollando los procedimientos necesarios en tu libreta. 1. Dibuja, utilizando las escuadras, dos rectas que sean perpendiculares.

2. Investiga e identifica en tu entorno, la representación de rectas perpendiculares y presenta a tus compañeros mediante fotos tomadas con algún dispositivo.

3. Investiga e identifica en una circunferencia la representación de rectas perpendicu-lares y presenta a tus compañeros mediante fotos tomadas con algún dispositivo.

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Un triángulo por definición es una figura cerrada que tiene tres lados y tres ángulos. Algunos lo definen como polígono que tiene tres ángulos (partiendo de su raíz etimoló-gica). Generalmente empleamos el símbolo ∆ para referirnos a un triángulo y ∆’s para referirnos a triángulos.

Identificación de las propiedades de los triángulos


Identificación de las propiedades de los triángulos

Analiza las siguientes cuestiones, desarrollando en tu libreta los procedimientos completos que evidencien el uso de las propiedades de los ángulos internos y externos de los trián-gulos, exprésalos analítica y gráficamente.

1. En media página de tu libreta dibuja un triángulo escaleno, determina la medida de sus ángulos internos y externos.

2. En media página de tu libreta dibuja un triángulo equilátero, determina la medida de sus ángulos internos y externos.

3. En media página de tu libreta dibuja un triángulo obtusángulo, determina la medida de sus ángulos internos y externos.

4. En media página de tu libreta dibuja un triángulo isósceles con una base de 6 cm y lados iguales a 8 cm, determina la medida de sus ángulos internos y externos.

5. Realiza una maqueta donde puedas utilizar un modelo matemático para demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Clasificación Clasificación de los triángulos por sus lados

Escaleno Isósceles EquiláterosAquellos que

no tienen lados congruentes (iguales),

es decir, sus tres lados son de diferente

medida.

Aquellos que tienen al menos dos lados congruentes. En él identificamos al lado

desigual como base y, al ángulo opuesto a dicho lado, como ángulo vértice. Los ángulos de la base son congruentes, mientras que el

ángulo vértice es el desigual.

Aquellos que tienen sus tres lados y ángulos congruentes.

A

a

bc

BC

bb

a

h

60°

30° lh

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Relación entre sus lados y ángulosLos triángulos también pueden clasificarse según sus ángulos y esto se relaciona con sus lados, como se muestra en la siguiente tabla.

Triángulos agudos o acutángulos Triángulos rectángulos Triángulos obtusos

u obtusángulos

Aquellos que tienen sus tres ángulos agudos.

Aquellos que tienen un ángulo recto.

Aquellos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90° pero

menor que 180°).

55°

50°

75°

ab

c

α

90° β

Propiedades de los ángulos en triángulos

1 2 3Los ángulos internos

de un triángulo suman 180°

Los ángulos externos de un triángulo suman 360°

Cada ángulo externo de cualquier triángulo es igual a la suma de los

ángulos internos no adyacentes a él.

xa

b

∠x=a+b

xa

b

∠x=a+b

xa

b

∠x=a+b

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Cómo se hace un papalote

Los papalotes son artefactos que vuelan por la fuerza del viento. Los hay de muchas formas, incluso alrededor del mundo hay infinidades de concursos para ver cuál es el papalote más bonito y el que mejor vuela, sobre todo en China, donde son muy populares como juego de niños y no tan niños. Vamos a aprender a hacer un papalote en forma de triángulo, utili-zando y aplicando los conceptos vistos en este bloque, échalo después a volar en lugares despejados o la playa donde haya ráfagas de viento.

Materiales:• Hilo blanco.• Papel de china.• Tijeras.

• Pegamento.• 3 o más varillas de carrizo u otra

madera que sea ligera.

Procedimiento: 1. Con las varillas de carrizo (o de otra madera ligera, para que no se caiga por el peso), haremos la estructura del papa-lote en forma de una cruz, para darle al papalote la forma de un rombo constituido por 4 triángulos (escalenos, isósceles, equiláteros y/o triángulos rectángulos) y, las ataremos muy

firmemente con varios nudos en la intersección.2. En las partes laterales de la caña de carrizo en forma de triángulos, y a una distancia

igual a cada lado partiendo desde el centro, ataremos dos tiras de hilo. 3. Ahora con mucho cuidado debemos atar estos dos trozos de hilo a una distancia del

centro como si quisiéramos hacer un triángulo equilátero. Desde ese nudo, atamos el resto del hilo blanco, que debe tener una longitud mínima de 5 metros de largo, que es el hilo que cogerás para echar a volar el papalote.

4. Recortaremos el papel de china de forma que hagamos triángulos que cubran las varillas de extremo a extremo y lo pegaremos a éstas adhiriéndolo con pegamento que previamente habremos distribuido a lo largo de cada varilla por la parte en la que lo vamos a pegar.

5. Con lo que nos sobra del papel de china, recortamos una tira que hará la cola del papalote y la pegaremos al extremo inferior del triángulo formado por las varillas.

6. Ahora debes aprender a hacer volar un papalote. Los papalotes se echan a volar con ayuda, mientras otra persona agarra el papalote en posición vertical alejada del suelo, tú que tienes el hilo, echas a correr y la otra persona debe soltar el papalote antes de sentir el tirón del hilo. Cuanto más largo sea el hilo una vez echado a volar, más alto volará.

Reflexión. Contesta las siguientes preguntas. • ¿Cuántos triángulos conforman tu papalote? • ¿Qué tipo de triángulos son? • ¿Cuáles son las medidas de los ángulos que tiene tu papalote?

Unión de la cruz

Varilla transversal

Varilla longitudinal

Cuerda tensa

Revistemiento o vela

Cola

Brida

Cuerda

Figura 1.14 Partes de un papalote.

Figura 1.15. Cómo hacer la estructura o esqueleto del papalote y cómo pegar el papel.

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Congruencia y semejanzaDe manera intuitiva, decimos que dos triángulos son congruentes si, por medio de movimientos de traslación, rotación y reflexiones, po-demos hacerlos coincidir.

Dos figuras son congruentes si al colocar una sobre la otra, todos sus puntos coinciden, es decir, si ambas tienen la misma forma y tamaño. El símbolo de congruencia es “≅” y es resultado de la unión de dos signos: “∼” que indica igualdad en forma y “=” que indica igualdad en el tamaño.

Postulados de congruencia de triángulos

Los postulados de congruencia de triángulos son las medidas calcu-ladas que permiten establecer si un par de triángulos son congruentes entre sí. A continuación, se muestran los criterios para determinar la congruencia de triángulos.

Figura 1.16. Al rotar las figuras y traslaparlas, se nota fácilmente que ambas tienen la misma forma y tamaño, por lo tanto, son congruentes.

Figura Justificación

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, ambos triángulos son congruentes entre sí.

Postulado 1: LLL (lado-lado-lado)

Si:AB = DFBC = DEAC = EF

Entonces:ΔABC ≅ ΔFDE

B

A D E

FC


Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a los elementos similares de otro triangulo, ambos triángulos son congruentes entre sí.

Postulado 2: LAL (lado-ángulo-lado)

Si:AB = DF

∠BAC = ∠DFE AC = EF

Entonces:∆ABC ≅ ∆FDEB

A

α

β

D E

FC

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Si uno de los lados de un triángulo y los ángulos adyacentes a él, son respectivamente iguales a uno de los lados de otro triángulo, y a los ángulos adyacentes a él, ambos triángulos son congruentes entre sí.

Postulado 3: ALA (ángulo-lado-ángulo)

Si:AB = DE

∠BAC = ∠FDE ∠ABC = ∠FED

Entonces:∆ABC ≅ ∆FDE

D E

FB

A

C

Aunque estos criterios se utilizan para afirmar que dos triángulos son congruentes entre sí, para comprobarlo se utilizan las propiedades de los triángulos. Para resolver este tipo de pro-blemas, es importante identificar las afirmaciones iniciales que se conocen. Estas afirmaciones iniciales constituyen lo que llamamos hipótesis. Denominamos tesis a la afirmación conclu-siva a la que pretendemos llegar, es decir, lo que queremos afirmar y logramos demostrar.

Ejemplo 1Dadas las afirmaciones siguientes, deter-mina los valores de x y z.

• Los triángulos: ∆ABC ≅ ∆DEF • AB = 3x + 1, DE = 5. • ∠C = 62°, ∠F = 4z – 18°

Solución:

xxxx

x

3 1 53 1 1 5 13 433

43

43

+ =+ − = −=

=

=

zzzz

z

4 18 624 18 18 62 184 8044

804

20

− ° = °− ° + ° = ° + °= °

= °

= °

Afirmaciones Razones

Si: AB = DE • Propiedad aditiva de la igualdad. • Reducción de términos semejantes. • Propiedad recíproca de la igualdad. • Valor de x

Si los ángulos ∠C y ∠F son iguales o congruentes. • Propiedad aditiva de la igualdad. • Reducción de términos semejantes. • Propiedad recíproca de la igualdad. • Valor de z.

x = 4/3 z = 20°

Resolviendo la primera afirmación para x, y la segunda afirmación para z.

C=62°

AB=3x+1A B

F=4Z−18

DE=5

~=

D E

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Ejemplo 2 En la siguiente figura, BD es la diagonal del rectángulo ADCB. Demuestra que los ∆ADB y ∆CBD son congruentes.Solución: Hipótesis: ADCB es un rectángulo; BD es su diagonalTesis: ∆ADB =. ∆CBD

Afirmaciones Razones

Por la hipótesis, podemos afirmar la existencia de parejas de lados congruentes y el hecho de que los ángulos internos son iguales, es decir, que todos miden 90°

Propiedad reflexiva, es importante afirmar que BD, es al mismo tiempo un lado de cada triángulo.

Los lados de los rectángulos son congruentes dos a dos.

Los lados de los rectángulos son congruentes dos a dos.

Por el criterio LLL, de las afirmaciones 2, 3 y 4.

La diagonal de cualquier rectángulo, lo divide en dos triángulos que son congruentes entre sí.

ADCB es un rectángulo

BD ≅ BD

AB ≅ DC

BC ≅ AD

∆ADB ≅ ∆CBD

Conclusión

1

2

4

3

5

6

Actividad 11 • CDBM 1 •

I. Lee detenidamente las indicaciones de los incisos que se muestran enseguida y elabora en tu libreta lo que se te pide en cada caso.

1. Utiliza la imaginación espacial para construir un triángulo en el que uno de sus lados mida 3 cm y otro mida 2 cm.a. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes levantar con los elementos que se te pro-

porcionan en esta construcción? Justifica tu respuesta.b. ¿Puede el tercer lado del triángulo tener cualquier medida? Argumenta tu respuesta.

2. Dibuja dos triángulos cuyo perímetro sea de 12 cm ¿Son necesariamente iguales? Sí No ¿Por qué?

3. Dibuja dos triángulos que tengan ángulos de 30°, 60° y 90° ¿Son necesariamente iguales? Sí No ¿Por qué?

4. Toma un pedazo de papel en forma cuadrada y dóblalo diagonalmente por la mitad. Posteriormente, dobla por la mitad el triángulo obtenido de la misma manera, dos veces más. Desdóblalo y responde las siguientes preguntas:a. ¿Cuántos triángulos iguales entre sí puedes contar? b. ¿Qué elementos observas en ellos que te dicen que son iguales?

C

A

B

D

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II. Realiza en tu libreta las razones o justificaciones necesarias para resolver lo que se solicita, a fin de que te familiarices con los razonamientos deductivos y, en particular, con el tipo de situaciones teóricas.

1. Observa la figura, si los triángulos ABC y DEF son congruentes, y AB = x + 2y, DE = 5, BC = x + y, EF = 3, determina los valores de x, y.

BA D

E

FC

BC=x+y

AB=x+2y

DE=5

EF=3

III. Lee el siguiente caso y determina si se puede establecer una congruencia entre los triángulos que describen la ruta que tomó cada persona.

Dos personas parten del mismo punto y caminan en dirección norte, durante cierto intervalo de tiempo, a la misma velocidad. Después, ambas giran: una toma rumbo al este y la otra hacia el oeste, caminando nuevamente, ahora en dichas direcciones respectivamente, a velocidades iguales en tiempos iguales. Al término del segundo movimiento, las dos vuelven a girar y se encaminan al punto de partida, al que llegan al mismo tiempo.

IV. Contesta individualmente el cuestionamiento sobre este párrafo. Una vez que escribas la respuesta en tu libreta, coméntalo en grupo.

2. Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.3. Sí No ¿Por qué? 4. Observa que el ∆I ≅ ∆II. Encuentra los valores de x, y.

I

II2x3y

24°60°

5. Observa que, el ∆I ≅ ∆II. Encuentra los valores de x, y.

4y

3y+6

x−6

xI II

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6. Traza un cuadrado e indica sus vértices con las letras ABCD. Los puntos P y Q están ubicados sobre los lados AB y CD respectivamente, de tal forma que AP = DQ. Si R es el punto medio del lado AD muestra que ∆APR ≅ ∆DQR.

7. El triángulo ∆ABC es equilátero, además se sabe que E es el punto medio de AC, D es el punto medio de BC, F es el punto medio de AB; AF ≅ DB ≅ CE. Demuestra que los triángulos ∆AFD, ∆ECF y ∆BDE son congruentes. La corres-pondencia indica: ∆AFD ≅ ∆BDE ≅ ∆CEF.

CA

B

E

F D

8. Traza el triángulo ABC con ángulo recto en B los puntos E y F están en AC de tal manera que AE = AB y CF = CB ¿Cuánto mide el ∠EBF?

Postulados de semejanza de triángulos

La semejanza entre dos elementos se da precisamente cuando lo que varía entre ellos es su dimensión, es decir: la forma básica no cambia, solamente se altera el tamaño.

El símbolo matemático que representa a la semejanza es: (). Cuando hablamos de semejanza, nos referimos a dimensiones proporcionales. Para distinguir los postulados de congruencia y semejanza, y evitar confundirlos entre sí, utilizaremos letras minúsculas para designar los criterios de semejanza (habrás notado que ya usamos mayúsculas en los de congruencia).


Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, éstos son semejantes.

Postulado 1: LLL (lado-lado-lado)

Si:

= =ABDE

BCEF

ACDF

Entonces:∆ABC ∆FDE

A

B

C

D

E

F

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Aunque estos criterios se utilizan para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí, para comprobarlo se utilizan las propiedades de los triángulos congruentes. Para resolver estos diferentes tipos de problemas que requieren determinar la longitud de los lados de los triángulos involucrados, es importante identificar las afirmaciones iniciales que se conocen.


Si dos triángulos tienen un par de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre esos lados es congruente en ambos casos, los triángulos son semejantes.

Postulado 2: LAL (lado-ángulo-lado)

Si:

=ABDE

ACDF

∠CAB ≅ ∠FDE


A

Polígono 1

Polígono 2

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F


Si dos triángulos tienen dos parejas de ángulos congruentes entre ellos, significa que son semejantes.

Postulado 3: AA (ángulo-ángulo)

Si:AB DE

∠BAC ≅ ∠FDE∠ABC ≅ ∠FED


Ejemplo 1En la figura, AB || CD y los segmentos AD y BC se cortan en E. Determinar si ∆ABE y ∆CDE son semejantes.

AfirmacionesFigura Razones

1. Por ser alternos internos entre paralelas.

2. Por ser alternos internos entre paralelas.

3. Por ser opuestos por el vértice.Conclusión

∠EBA ≅ ∠ECD∠BAE ≅ ∠EDC∠AEB ≅ ∠CED

∴∠ABE = ∠CDE

A B

E

C D

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Ejemplo 2En la siguiente imagen, se observa la parte baja de un acantilado y el objetivo es medir la distancia que hay de pared a pared del mismo, en la parte más alta de cada lado. Supongamos también que no es posible medir la distancia requerida de la manera tradicional: ¿cómo resolver la situación?

Solución: Ubicamos un punto accesible, digamos P, a la altura que consideremos. Visualizamos desde un punto M el punto de medición A de una de las paredes (donde apoyarías tu cinta métrica) y de la misma manera, desde otro punto N, el correspondiente punto B en la otra pared. De tal forma que: AB || MN.

Así tenemos: ∠PAB ≅ ∠PMN y ∠PBA ≅ ∠PNM, luego por el criterio uno los triángulos APB y MNP son semejantes.

De esta forma, para tener la distancia AB, bastaría con medir las distancias MN y cual-quiera de los lados BN o AM, para tener dos de los lados de cada uno de los triángulos y establecer la proporción adecuada.

Veamos la situación en un diagrama y supongamos algunas de las mediciones realizadas. MN = 15 m, NB = 76 m, NP = 9 m.

Así: MNNP

ABBP

= , luego AB15

9 76= , por lo tanto AB 15 76

9126.66 m= × =

AB

MN

P


Realiza las siguientes actividades en tu libreta y compártelas con tus compañeros, de tal forma que muestres los elementos trabajados en la presente sección e integres los apren-dizajes referidos.

1. Demuestra el siguiente enunciado: “Si una recta une los puntos medios de dos lados de un triángulo, entonces es paralela al tercer lado e igual a la mitad de su longitud”.

2. Demuestra si los triángulos de la imagen siguiente son semejantes, y escribe el cri-terio que aprovechaste para establecer la semejanza.

4

615

10100° 100°

3. Un triángulo tiene como medidas de sus lados: 8 m, 6 m y 12 m y otro triángulo tiene medidas: 6 m, 4 m y 3 m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?

4. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 27 m, 32 m y 40 m y un dibujo a es-cala de lados 135 m, 160 m y 200 m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?

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Dibujo a escalaSi cada centímetro de dibujo que hagamos representa tres metros de la realidad, ¿de qué ta-maño dibujarías un tronco de un árbol, que en la realidad mide 28 metros?

Una escala es la relación matemática entre las dimensiones reales de un objeto y las dimensiones de su representación o modelo; ya sea en un plano, mapa, dibujo o ma-queta en tres dimensiones.

Las escalas se relacionan con la realidad de manera proporcional. Por ello, podemos utilizar la notación de la proporción para realizar los cálculos o conversiones de unidades.

EjemploUn arquitecto está realizando la maqueta de un edificio con escala 1:200 cm (significa: 1 cm en el modelo equivale a 200 cm en la realidad). Si el edificio real mide 25 m de alto, ¿cuánto debe medir en el modelo?

Solución: Primero debemos establecer la proporción, comparando la escala en forma de una razón con el dato desconocido o incógnita.

Recuerda que matemáticamente, en una razón siempre se comparan dos magnitudes en un cociente escrito a manera de una fracción. Tener esto en mente es muy importante, para no confundirnos al acomodar las cantidades y que las unidades siempre coincidan.

Para este problema escribimos:

x1 cm200 cm

cm2500 cm

=

En los numeradores de ambas razones equivalentes, tenemos los cm en el modelo a escala y en cada denominador, los cm de la medida del objeto real. Las magnitudes comparadas deben coincidir en horizontal y siempre debemos comparar dos conceptos o magnitudes dife-rentes en cada razón o fracción.

Las cantidades que están en diagonal, se multiplican entre sí y este producto se divide entre el número restante de la proporción; así obtenemos el valor de la incógnita:

1 2500200

12.5 cm× =

La medida que se busca, es entonces 12.5 cm para la altura del edificio en la maqueta.

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I. Resuelve los siguientes problemas, lleva a cabo en tu libreta los procedimientos y ope-raciones que se requieran.

1. Dibuja tu salón de clases (no incluyas el mobiliario), empleando una escala de 1:50 cm o también, 1 cm 0.5 m.a. Comparte tu trabajo en el grupo y obtengan conclusiones acerca del concepto de

semejanza, relacionado con el uso de escalas para realizar dibujos.b. Escribe una de las conclusiones a las que llegaron en grupo.

2. Si un hombre de 1.75 m de altura proyecta una sombra de 3.50 m, ¿qué sombra aproximada proyectará un poste de 8.25 m? Dibuja al hombre y al poste en tu cua-derno, a una escala adecuada y comprueba gráficamente tu cálculo matemático.

3. Si un árbol de 20 m proyecta una sombra de 45 m, ¿qué sombra proyectará un árbol de 30 m? Comprueba gráficamente tu respuesta, con un dibujo a escala.

4. Un edificio de 95 m de altura proyecta una sombra de 650 m, un hombre quiere aprovechar esta situación para calcular su estatura, si su sombra es de 11.60 m, ¿cuánto mide el hombre?

5. Una antena proyecta una sombra de 50.4 m, y un poste de altura 2.54 m proyecta una sombra de 4.21 m. ¿Cuánto mide la antena?

6. Una torre proyecta una sombra de 79.42 m, y un poste de altura 3.05 m proyecta una sombra de 5.62 m. ¿Cuánto mide la torre?

7. Una antena mide 1.20 m, otra semejante a ella mide 5 veces la antena original. ¿Cuánto mide la antena más grande?

8. Realiza una investigación acerca de otras notaciones diferentes para establecer es-calas. Toma notas en tu cuaderno de al menos tres diferentes notaciones y compár-telas con un compañero.

9. Regresa al problema del triángulo de las Bermudas en la página 8 y revisa tu pro-cedimiento: ¿utilizaste proporción para calcular las dimensiones del triángulo de las Bermudas, o recurriste a métodos diferentes? Si no habías resuelto o te das cuenta de que lo hiciste incorrectamente, resuélvelo ahora aplicando proporciones.

II. Inventa un problema relacionado con realizar un dibujo a escala. Intercambia tu libreta con un compañero y resuelva cada quien el problema del otro, luego comparen sus procedimientos y respuestas.

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En esta sesión abordaremos las propiedades de los polígonos, para identificarlas en las situaciones diarias de nuestro entorno.

Lo primero que te preguntarás es por qué vamos a hablar de polí-gonos y qué tienen que ver con nuestra vida. Pues bien, para que veas la importancia de los polígonos, observa a tu alrededor. Si estás en tu salón de clase, seguro verás paredes, techo, piso, pizarrón, bancas, sillas, puerta... en fin, verás muchas cosas; pero lo importante es que observes que todas ellas tienen lados rectos, que son figuras como rectángulos, cuadrados, triángulos, entre otras.

Como podrás haber observado, un polígono es una figura plana, cerrada, formada por lados rectos. Por la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares o irregulares.

Observando los polígonos, puedes darte cuenta que tanto sus lados como sus ángulos son iguales. Esta es la característica más importante de los polígonos regulares.

Al trazar un polígono, comienzas desde un lado inicial continuando el trazo de cada lado unido por un vértice hasta terminar uniendo el lado final con el inicial.

Lados y vérticesAhora, ¿cuáles son los elementos importantes que diferencian a unos polígonos de otros? Observa la figura 1.18:

En ella se muestran los elementos principales de un polígono, los cuales enlistamos a continuación.

• Lados: Son los segmentos rectilíneos que unen dos vértices del polígono. Del número de lados depende el nombre: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexá-gono (6 lados), etc.

• Ángulo central: Este ángulo se forma por las rectas que unen el centro con dos vértices consecutivos.

• Ángulo interno: Es el ángulo interior que se forma con dos lados consecutivos.

• Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos.

• Vértice: Punto de intersección de dos lados. • Centro: Punto equidistante de los vértices del polígono. • Ángulo externo: Ángulo suplementario del ángulo interno. Se forma con un lado y la prolongación del lado que comparte el mismo vértice.

• Apotema: Segmento rectilíneo perpendicular trazado desde el centro hasta el punto medio de cualquier lado.

Identificación de las propiedades de los polígonos regulares

TriánguloEquilátero Cuadrado

Pentágono Hexágono

Heptágono Octágono

Eneágono Decágono

Figura 1.17 Ejemplos de los polígonos regulares más comunes.

Vértice

Punto medio

Diagonal

Ángulo interior

Ángulo exterior

Ángulo central

Lado

Apotema

Centro

EA

BD

C

β1

β5

α5

α4

ϑ

α3

α1

α2

β4

β3

β2

Figura 1.18 Elementos principales de un polígono.

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Ángulos interiores y exterioresNuméricamente, los lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.

En las siguientes figuras se muestra esta propiedad.

D D

C C

B B

A A

4 lados

4 vértices4 ángulos interiores

4 ángulos exteriores

D

A

B

C

4 ángulos centrales

Figura 1.19. Propiedades de los ángulos interiores y exteriores.

Entonces, como en la figura anterior, si realizas una figura de seis lados, tendrás: • 6 vértices • 6 lados • 6 ángulos interiores • 6 ángulos exteriores • 6 ángulos centrales


Realiza las siguientes actividades.1. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos

y vértices obtienes en un dodecágono?

2. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos y vértices obtienes en un heptágono?

3. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos, y vértices obtienes en un cuadrado?

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DiagonalesEn las siguientes figuras se observa que, a partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar un número definido de diagonales en función del número de lados.

D

CE

BA

D

C

E

F

BA

D C

BA

n = 4nd = 1

n = 5nd = 2

n = 6nd = 3

Figura 1.20 A partir del vértice de un polígono, se pueden trazar un número definido de diagonales en función del número de lados.

Podemos darnos cuenta que la diferencia entre el número de lados del polígono y la can-tidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices es 3, por lo que se puede afirmar que:

“El número de diagonales (nD) que se pueden trazar en el polígono de n lados desde cualquiera de sus vértices, está dado por la expresión: nD = n – 3”

A

1

2

34

5

Figura 1.21 Demostración gráfica de la validez de la fórmula para calcular la cantidad de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un solo vértice. Para el octágono, se pueden trazar 8 – 3 = 5 diagonales.

Ejemplo 1 ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vér-tice en un octágono?

Solución:De acuerdo con la segunda propiedad: nD = 8 – 3 = 5.La figura 1.21 muestra la veracidad de esto.

Por otro lado, si trazamos todas las diagonales posibles desde todos sus vértices, aunque se crucen entre sí, encontraremos que:

El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono es:

n n n 32D

( )= −

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Ejemplo 2Calcula la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices de un pentá-gono y un hexágono. Compruébalo gráficamente. Para el pentágono, las diagonales son:nD = 2 + 2 +1 = 5

Para el hexágono:nD = 3 + 3 + 2 + 1 = 9

Del tema de sucesiones, estudiado en Pensamiento matemático I, tenemos que:

n n n1 2 3 12

( )+ + +…+ = +

Aplicando los resultados obtenidos, se tiene que: • Para el pentágono:

• Número de diagonales en cada vértice: n1 = 5 − 3 = 2

• Número de diagonales totales: ( )( )= + + = + = + =n 2 2 1 2 2 32

2 3 5D

• Para el hexágono: • Número de diagonales en cada vértice: n1 = 6 − 3 = 3

• Número de diagonales totales: ( )= + + + = + = + =n 3 3 2 1 33 2

42

3 6 9D

Generalizando… • Para un polígono de n lados.

• Número de diagonales en cada vértice: n1 = n − 3 • Número de diagonales totales:

n n n n n n n n3 3 2 3 2 1 3 3 22D

( )[ ] [ ] [ ] ( )( )= − + − + − + +…+ + + = − + − −

( )( ) ( ) ( ) ( )( )= − + − − = − + − = −n n n n n n n n2 3 3 2

23 2 2

23

2D

A

B

C D

E

AB

C

D E

F

Pentágono Hexágono

Figura 1.22 Comprobación gráfica del número total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono y en un hexágono, desde todos sus vértices.

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Circunferencia inscrita, circunscrita y apotema


En tu cuaderno realiza el procedimiento para contestar las siguientes preguntas. Después construye las figuras correspondientes.

1. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 10 lados? 2. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 8 lados? 3. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 12 lados? 4. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 20 lados?

Punto medio de AC

Circuncentro

Mediatriz de AB

Mediatriz de BC

Med

iatr

iz d

e AC

Punto medio de BC

Punto medio de AB

A

B

C

Figura 1.23 Mediatrices y circuncentro de un triángulo.

B

A C

bisectriz de C

incentro

22

33

11

r

rr

d1

d2

P

bisectriz de A

bisectriz de B

Figura 1.24 Bisectrices e incentro de un triángulo.

I

a r

1/2

Figura 1.25. Apotema (ap) de un pentágono.

Una mediatriz es la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo que pasa por su punto medio. La intersección de las mediatrices de un triángulo es el punto denominado circuncentro, que es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo; es decir, el circuncentro es el centro de la circunfe-rencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Una bisectriz es la recta que divide un ángulo interior del triángulo en dos ángulos congruentes; es decir de la misma medida. Una propiedad importante de las bisectrices es que la distancia de cualquiera de sus puntos a los lados del ángulo que bisecta, son congruentes. La intersección de las bisectrices de un triángulo es el punto denominado incentro, que es el centro de la circunferencia que queda inscrita al triángulo; es decir, el incentro es el centro de la circunferencia que está dentro del triángulo de modo que toca los tres lados del triángulo.

Apotema: Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.

Esta fórmula permite calcular la apotema de cualquier polígono regular:

a r r llado2 2p

22

22

= − = −

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En equipos conformados de acuerdo con el profesor, resuelve los siguientes ejercicios. Escribe en tu libreta los procedimientos completos que sean evidencia del análisis de solución.

1. El área de un triángulo es de 88 cm2 y su altura es de 25 cm, ¿cuál es la longitud de la base?

2. ¿Cuánto mide la apotema de un octágono que tiene un área de 1 256 cm2 y un pe-rímetro de 300 cm?

3. En la escuela se va a construir la cancha de futbol rápido que tiene 120 m de largo y 60 m de ancho, pero a su alrededor, se hará una pista de carreras de 8 m de ancho para atletismo, como lo muestra la figura. Halla el área del terreno y el área de la pista.

Pista

Cancha

4. En una universidad, se va a construir el auditorio, que es un hexágono de 40 m de lado. ¿Cuántas butacas se podrán poner si hay que reservar un área entre corredores y estrado de 500 m2 y cada butaca ocupa un área de 2.5 m2?

5. En la comunidad se pondrá piso con losetas de 20 cm × 20 cm para el teatro que es un octágono con dimensiones de 25 m por lado y una apotema de 15 m. ¿Cuántas losetas se colocarán en el piso?

6. Encuentra el área de las regiones sombreadas y el perímetro de las regiones no som-breadas de la siguiente figura:

12 cm

5 cm9 cm

C

A

B

7. Encuentra el área de las regiones sombreadas y el perímetro de las regiones no som-breadas de la siguiente figura:

8.65 cm

10 cm

10 cm

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Ángulos notables en una circunferenciaDe acuerdo con la naturaleza de los ángulos y la forma en la que se clasifican, ahora vamos a estudiarlos desde con la circunferencia.

Un ángulo se puede trazar desde diferentes puntos en la circunferencia, el primero del que hablaremos es:

• Ángulo central: es el que tiene su vér-tice en el centro de la circunferencia y determina un arco de la misma magnitud, como en la figura 1.26.

Entonces si un ángulo central mide 60o, genera un arco de 60° también, si es un ángulo de 120°, genera un arco de 120° también.

• Ángulo inscrito: un ángulo inscrito tiene su vértice sobre cualquier punto de la circunferencia, como vemos en la figura 1.27, y el arco que genera es el doble de magnitud que el ángulo.

Un ángulo inscrito de 80° genera un arco de 160°, un ángulo inscrito de 120° genera un arco de 240°.

Identificación de los elementos y propiedades básicas de los ángulos en la circunferencia

A

B

C

α = 66.7°

Figura 1.26 Ángulo central de una circunferencia.

A

B

E

C

Figura 1.28 Ángulo semiinscrito en una circunferencia.

BC

D

A

α = 60°

Figura 1.27 Ángulo inscrito en una circunferencia.

• Ángulo semiinscrito: es aquél que tiene su vértice sobre un punto de la circunfe-rencia, uno de sus lados es una secante y el otro una tangente y el arco que genera es el doble de la magnitud del ángulo mencionado, tal como se aprecia en la figura 1.28.

Entonces si el ángulo semiinscrito tiene una magnitud de 170°, el arco correspondiente mide 340°.

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• Ángulo exinscrito: es el ángulo adyacente de un ángulo inscrito, como se ilustra en la figura 1.29.

Entonces, si el ángulo inscrito mide 75°, el ángulo exinscrito mide 105°.

• Ángulo interior: es aquel cuyo centro es un punto in-terior y sus lados son secantes de la circunferencia; la magnitud del ángulo es igual a la semisuma de los arcos que determinan las secantes. Ver figura 1.30.

En la figura 1.30, CBD CHD EFG2

∠ = + , que quiere decir:

“El ∠CBD es la mitad de la suma de los arcos CHD EFGy ”.

Por ejemplo, si el ángulo interior mide 60°, entonces sus arcos miden 100° y 20°.

• Ángulo exterior: es un ángulo con vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son secantes, tangentes o secante y tangente a la circunferencia. Esto se representa en las figuras 1.31 y 1.32.

B

C

D

E

A

Figura 1.29 Ángulo exinscrito en una circunferencia.

A A

Figura 1.31 En la izquierd, ángulo formado por dos rectas secantes y en la derecha, un ángulo formado por dos rectas tangentes.

A

F

H

G B

D

E

C

Figura 1.33 El ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidas por sus lados

A

Figura 1.32 Ángulo formado por una recta tangente y otra secante.

A

B

EF

G

C

H

D

Figura 1.30 Ángulo interior en una circunferencia.

Teorema: el ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos com-prendidas por sus lados.

Esto es, CBD CED FGH2

∠ = + , como se observa en

la figura 1.33:Entonces, si los arcos que determinan un ángulo exterior

son de 120° y 48°, el ángulo mide:

120 482

1682

84° + ° = ° = °

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Patrones y fórmulasAl determinar el área de figuras planas comunes regulares e irregulares, existe una gran relación entre la medida de sus lados para hallar la medida de su contorno o de su superficie.

• Cálculo del perímetro: sumando las longitudes de los lados de un polígono, hallaremos su perímetro.

• Cálculo del área: para determinar el área de un polí-gono regular cualquiera, se divide en triángulos, uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polí-gono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han formado.

El perímetro de un polígono regular es: P = n · lado

y su área es: AP a

2p=

⋅

Cuando son polígonos irregulares, se sigue el mismo razona-miento: se segmenta el polígono en triángulos, sin dejar espacios entre ellos, se calcula el área de cada triángulo y se suman las áreas de los triángulos inscritos en el polígono.

I

ar

radio

apotema

1/2

Figura 1.34. La apotema de un polígono regular coincide con la altura de cada triángulo que se forma con los ángulos centrales del mismo (trazados del centro del polígono a dos vértices contiguos).

A

B

C

D

E

F

área 1

área 2 área 3

área 4

Figura 1.35 Ejemplo de un polígono irregular segmentado en triángulos, para calcular su área.

Los modelos matemáticos (fórmulas) para obtener el área y perímetro de las figuras geomé-tricas son.

Perímetro de cualquier polígono P = l1 + l2 + l3 + …

Áreas

Triángulo = × = ×A b h2

base altura2

Cuadrado A = l x l = l2 = lado x lado = lado2

Rombo o romboide A D d2

diagonal mayor diagonal menor2

= × = ×

Trapecio o trapezoide ( )( )= + × = + ×A B b h

2diagonal mayor diagonal menor altura

2

Pentágono, hexágono, heptágono, etc. A P a

2perímetro apotema

2= × = ×

Figuras irregulares Suma de las áreas de sus triángulos internos.

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Actividad 17 • CG 4.1, 5.1 • CDBM 6 •

Resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes. Utiliza tu juego de geometría para hacer los trazos necesarios y desarrolla los procedimientos.

1. ¿Cuál es el área y perímetro de un heptágono regular de 7 cm de lado?2. ¿Cuál es el área y perímetro de un cuadrado de 8.5 cm de cada lado?3. ¿Cuál es el área y perímetro de un triángulo escaleno, de longitudes 8, 12 y 10 cm?4. ¿Cuál es el área y perímetro de un nonágono regular de 6 cm de cada lado?5. Con ayuda de tu compás y tu transportador, traza 10 círculos de al menos 3 cm de

radio y en cada uno, marca los ángulos que se te piden a continuación. Determina la magnitud del arco de cada ángulo.a. Un ángulo central de 200°b. Un ángulo central de 80°c. Un ángulo interior de 75°d. Un ángulo central de 300°e. Un ángulo interior de 150°

f. Un ángulo inscrito de 125°g. Un ángulo inscrito de 49°h. Un ángulo semiinscrito de 79°i. Un ángulo semiinscrito de 129°j. Un ángulo interior de 59°

Diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante

El diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante son conocidos como líneas notables del círculo, ya que son los elementos más im-portantes de éste y a la vez, herramientas geométricas imprescindibles.

Elementos de la circunferencia

• Arco (EF ): es un segmento de la circunferencia, comprendida entre dos puntos de ella.

• Centro (C): es el punto interior de la circunferencia, con res-pecto al cual, la distancia de todos los puntos de ella es equi-distante. Generalmente se marca con un punto o una equis y se etiqueta con una letra mayúscula.

• Radio (CF): es el segmento que une al centro con un punto de la circunferencia. Su medida generalmente se representa con la letra r.

• Recta tangente (TQ� ��

): es una recta del plano que corta a la circunferencia en un solo punto (T), el cual se denomina “punto de tangencia”. La propiedad más útil de la recta tangente es que la perpendicular a ella en el punto de tangencia pasa por el centro; de modo que el radio en el punto de tangencia es igual a la distancia del centro a la recta tangente.

• Recta secante (JK� ��

): es una recta que corta a la circunfe-rencia en dos puntos.

Tangente

Secante

Diámetro

CuerdaRadio

Arco

Figura 1.36 Elementos de la circunferencia.

T

r

C

Q90°

Figura 1.37 La línea roja es una recta tangente a la circunferencia. El radio en el punto de tangencia es igual a la distancia del centro a la recta tangente.

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• Cuerda (AB): es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La cuerda es el segmento que une los puntos por los que una recta secante corta a la circunferencia. Una propiedad útil para la solución de problemas de circunfe-rencia consiste en que “la mediatriz de una cuerda pasa por el centro”.

• Flecha: es la porción de radio perpendicular a una cuerda, que pasa por su punto medio, comprendida entre la cuerda y la circunferencia. La flecha divide al arco y a la cuerda en dos partes iguales.

• Diámetro (DE): es la cuerda que pasa por el centro. Su me-dida, por lo tanto, es igual a la de dos radios: D = 2r.

SectorUn sector circular es la parte de un círculo comprendido por dos ra-dios y el arco que forman.

Fórmulas para calcular el área de un sector circular

En grados sexagesimales En radianes

A r a360

2π= ⋅ ⋅°

A r a2

2ππ

= ⋅ ⋅

Cuerda AB

A

B

C

90°

Mediatriz

cuerda A

B

Figura 1.38 Una cuerda es el segmento de recta que une los dos puntos por los que una recta secante corta a la circunferencia, pero esta recta nunca “sale” de la circunferencia.

r

rα

sector circular

Figura 1.39 Un sector circular es una parte de un círculo, delimitado por dos radios y el arco que conforman.

Descubre +

Habrás notado que cuando hablamos de circunferencia, nos referimos al contorno y al decir círculo, hablamos de la superficie.

EjemploCalcula el área de un sector circular dentro de un ángulo central de 60°, en un círculo de 4 cm de radio.

SoluciónPodemos utilizar la fórmula para grados sexagesimales, ya que el ángulo central está en esta notación: a = 60°.

A r 60360

4 16

166

8.38 cm2 2 2π π π( )= ⋅ ⋅ °°= = =

Utilizando ahora la fórmula para radianesPrimero obtenemos la equivalencia de 60° en radianes. Como vimos en el procedimiento anterior, 60° equivalen a una sexta parte de la circunferencia completa, que a su vez equivale a 2π.

Entonces, 60° = 2π/6 = π/3. Sustituyendo en la fórmula:

A r a2

4 32

8.37 cm2 2 2ππ

π

π

π= ⋅ ⋅ = =

Y vemos que los resultados coinciden.

r = 4 cm

α = 60°

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I. Resuelve lo que se pide en cada uno de los siguientes ejercicios. 1. Encuentra el área de un sector circular en un círculo de 3 cm de radio y un ángulo cen-

tral de 45°

2. Localiza el área de un sector circular en un círculo de 4 cm de radio y un ángulo central de radianes.

3. Identifica el área de un sector circular en un círculo de 5 cm de radio y un ángulo central de 120°

II. Calcula las dimensiones de figuras geométricas a través de fórmulas y teoremas establecidos.

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misael garrido méndez mx su editorial grupo

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