INVESTIGACION DE INVESTIGACION DE OPERACIONES IOPERACIONES I

PROGRAMACION LINEALPROGRAMACION LINEALMETODO GRAFICO

MINERAL MINING COMPANY

Mineral Mining Company envía una carga de camión de mineral de hierro y cobre de la mina a la planta procesadora. El camión tiene una capacidad de peso de 10 toneladas y una capacidad de volumen de 1000 pies cúbicos. Cada libra de mineral de hierro toma 0.04 pies cúbicos de espacio y produce una ganancia neta de $ 0.30 al procesarse. Cada libra de mineral de cobre ocupa 0.08 pies cúbicos de espacio y proporciona una ganancia neta de $0.50Formule un problema de programación lineal para determinar la cantidad de cada mineral por cargar diariamente para maximizar la ganancia.

OBJETIVO: METODO OBJETIVO: METODO GRAFICOGRAFICO

Importante: 1 Ton = 2000 Libras (Aproximadamente)

¿¿¿COMO RESOLVER EL ¿¿¿COMO RESOLVER EL PROBLEMA PROBLEMA

PLANTEADO???PLANTEADO???Paso # 1FORMULACION DEL MODELO

Es un modelo cuyo objetivo es encontrar valores para las variables de decisión, que optimicen una función objetivo, sujeta a restricciones.

1._ Definición de variables:Son las variables que se tienen bajo control

2._Función Objetivo:Representa la medición de desempeño ya sea para optimizar, maximizar o minimizar

3._Restricciones:Conjunto de ecuaciones que representa las limitaciones del problema y definen la región factible

FORMULACIÓN DEL MODELOFORMULACIÓN DEL MODELO

Para el problema planteado, definimos el modelo

Definición de Variables X1 : Cantidad de mineral de Hierro para transportar en libras X2 : Cantidad de mineral de Cobre para transportar en librasFunción Objetivo Max : Z= 0.30 X1 + 0.50X2

Restricciones 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000 Capacidad de volumen en (pie3) X1 + X2 ≤ 20000 Capacidad de peso en (Libras) X1 ; X2 ≥ 0 No negatividad

Paso # 2GRAFICAR

El problema de Mineral Mining Company, se resuelve mediante el método grafico, ya que consta de dos variables de decisión.

¿Cómo Graficar?

Se debe tomar en cuenta que se grafican las restricciones, que definen el área conocida como región factible de solución.

Nota: Debido a que las restricciones representan líneas rectas, se sugiere dar valores de cero (0), que permitan encontrar los pares ordenados para graficar.

¿¿¿COMO GRAFICAR???¿¿¿COMO GRAFICAR???

X1 X2

20000 0

0 20000

Capacidad de volumen

1.- 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000

Capacidad de peso2.- X1 + X2 ≤ 20000

Función Objetivo: Nota: La f .O. debe igualarse a un valor múltiplo de los coeficientes de la misma Interceptando 1 y 2: 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000 Z: 0.30X1 + 0.50X2 =15000 X1 + X 2 ≤ 20000

Punto Optimo: X1 = 15000 X2 = 5000

X1 X2

50000 0

0 30000

X1 X2

25000 0

0 12500

SOLUCIÓN GRAFICASOLUCIÓN GRAFICA

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Libras de Mineral de

Hierro

Libras de Mineral

de Cobre

Región Factible

C

Nota: El punto c es llamado punto optimo y se encuentra ubicado en la intersección de las líneas rectas. La Región Factible esta delimitada por las restricciones .

PREGUNTAS:PREGUNTAS:

1. Resuelva el problema gráficamente. Indique la solución óptima y el valor de la función objetivo del contexto de este problema.

Solución Optima: X1 =15000 X2 =5000

Valor Optimo de la f.o. Z: 0.30(15000) + 0.50(5000) = 7000

Como se puede observar en el grafico, la solución optima es el punto C; ya que en el se obtiene el mejor valor de la función objetivo. La solución también se puede conseguir interceptando las restricciones para encontrar los valores de las variables de decisión, y posteriormente se sustituyen en la función objetivo.

CLASIFICACION2. Indique la clasificación para cada una de las

restricciones:

N0 Descripción Ecuación Clasificación

1 Capacidad de Volumen

0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000 Activa

2 Capacidad de Peso

X1 + X 2 ≤ 20000 Activa

3 No Negatividad X1 ; X2 ≥ 0 Lógica

Como podemos observar las dos restricciones son activas, ya que el punto optimo pasa por su intersección. Esto quiere decir que los recursos capacidad de volumen y peso se agotan completamente.

3. Para el mineral de hierro, indique los valores entre los cuales oscila el coeficiente de la función objetivo, de tal forma que la solución óptima se mantenga constante.

¿COMO SABEMOS LOS LIMITES ENTRE LOS CUALES OSCILA EL COEFICIENTE DE LA FUNCION

OBJETIVO?

Entonces necesitamos encontrar el intervalo entre el cual el coeficiente de la función objetivo para el hierro (Ganancia en $ para el mineral de hierro) se mueve; haciendo que el punto optimo permanezca constante.

Para conseguir estos valores, se debe tomar en cuenta la solución grafica dada anteriormente, ya que se puede observar gráficamente el desplazamiento de la función objetivo entre los puntos llamados B y D.

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO

Para el límite Inferior:

Se pivotea la recta de la función objetivo hacia abajo, tendiendo a hacer la pendiente igual a 0 (m=0 α=0º) respecto al eje de las libras del mineral de hierro(X1) hasta que nos toque con otra restricción e igualamos el punto óptimo con el punto que se encuentra.

Zb = Zc ò Zf = Zc

Como necesitamos hallar el coeficiente de hierro colocamos un coeficiente C1 a la función objetivo, para así conocer su valor.

f.o. : C1 X1 + 0.5 X2

ahora sustituyendo las coordenadas en la función objetivo tenemos : 0 x C1 + 0.5 x 12.5 = 15 x C1 + 5 x 0.5

6.25 = 15 C1 + 2.5 C1 = 3.75 15

C1 = 0.25

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO

Para el límite superior

Se pivotea la recta de la función objetivo hacia arriba, tendiendo a hacer la pendiente igual a 1 (m=1 α=90º) respecto al eje de las libras del mineral de hierro (X1) hasta que nos toque con otra restricción e igualamos el punto óptimo con el punto que se encuentra. Ze = Zc ò Zd = Zc

Siguiendo el procedimiento anterior tenemos:

f.o.: C1 X1 + 0.5 X2

ahora sustituyendo las coordenadas en la función objetivo tenemos: 0 x C1 + 0.5 x 20 = 15 x C1 + 5 x 0.5

10 = 15 C1 + 2.5 C1 = 7.5 15

C1 = 0.5

4. Para el mineral de cobre, indique los valores entre los cuales oscila el coeficiente de la función objetivo de forma tal que la solución se mantenga constante.

Siguiendo el método usado en la pregunta anterior, conseguimos los limites para la ganancia neta del mineral de Cobre.

Z = 0.30X1 + 0.50X2 0.30X1 + C2X2

ZC = ZD

0.30(15000) + C2 (5000) = 0.30(20000) + C2(0) C2 = 0.3

ZC = ZB 0.30(15000) + C2(5000) = 0.30(0) + C2(12500) C2= 0.6

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO

5. Indique la solución optima y el incremento del valor en la función objetivo si el camión tiene una capacidad adicional de 2 toneladas.

Para resolver esta pregunta, lo que se tiene que hacer es alterarla restricción de peso, de la siguiente manera:

X1 + X2 ≤ 24000

Debido a que el camión tiene una capacidad adicional de 2 toneladastanto para el hierro como para el cobre, se infiere un aumento de 4000Kilos en la restricción.Al interceptar las restricciones activas tenemos la nueva solución óptima:

X1 + X2 ≤ 24000 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000

X1 = 23000 X2 = 1000

Z = 7400

Debido a que el valor pedido es ∆Z este se haya de la siguiente manera:

∆Z = 7400 – 7000 ∆Z = 400

6. Indique la solución optima y el incremento del valor en la función objetivo si se tiene una capacidad de volumen de 1300 pie3.

Para resolver esta pregunta, lo que se tiene que hacer es alterarla restricción de volumen, de la siguiente manera:

0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1300 Al interceptar las restricciones activas tenemos la nueva solución óptima:

X1 + X2 ≤ 20000 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1300

X1 = 7500X2 = 12500

Z = 8500

Debido a que el valor pedido es ∆Z este se haya de la siguiente manera:

∆Z = 8500 – 7000 ∆Z = 1500

7. Para la restricción de capacidad de volumen indique el precio sombra.

Calculando el precio sombra para la capacidad de volumen:

0.04X1 + 0.08X2 ≤ 999 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1000 0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1001

1 1

X1 + X2 ≤ 20000X1 = 15025X2 = 4975Z = 6995

X1 + X2 ≤ 20000X1 = 14975X2 = 5025Z = 7005

Lo que se está dispuesto a pagar por 1 pie3 extra de volumen en el camión es de 5$.

8. La gerencia esta considerando uno de los siguientes dos camiones para reemplazar el existente.

Tipo deCamión

Capacidad de Peso (lb.)

Capacidad de Volumen (ft3)

Costo Adicional ($/día)

Tr 22 /12

22000 1200 100

Tr 20/13 20000 1300 150

¿Debería la compañía reemplazar el viejo camión?

Para saber si es rentable a la compañía reemplazar el cambio por uno de estos dos tipos debemos calcular el beneficio neto que cada uno de los camiones nos va a generar para así tomar una decisión.

Para el camión Tr 22 /12 la capacidad lb. de peso aumenta en 2000 libras respecto al camión original y nos genera un costo diario de 100 $.

Para el camión Tr 20 /13 la capacidad de volumen aumenta en 300 ft3 respecto al camión original y nos genera un costo diariode 150 $.

Entonces nos quedan las nuevas restricciones así

Tr 22 /12 Tr 20 /13

Resolvemos el sistema de ecuaciones para calcular los nuevos valores de X1, X2 y Z Se obtiene:

X1 + X2 ≤ 22000 (Peso)0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1200 (Volumen)

X1 + X2 ≤ 20000 (Peso)0.04X1 + 0.08X2 ≤ 1300 (Volumen)

X1 = 14000X2 = 8000Z = 8200

X1 = 7500X2 = 12500Z = 8500

Solución

El valor original de nuestra utilidad es de 7000 $

Para el camión de tipo Tr 22 /12 nos genera una utilidad neta de $1200 (∆Z = 8200 - 7000) y a su vez un costo adicional de $100,es decir, que se obtiene una utilidad de $1100 por reemplazar el actual camión por el Tr 22/12

Para el camión de tipo Tr 20/13 nos genera una utilidad neta de $1500 (∆Z = 8500 - 7000) y a su vez un costo adicional de $150,es decir, que se obtiene una utilidad de $1350 por reemplazar el actual camión por el Tr 20/13

Entonces la compañía debería reemplazar el viejo camión por el Tr 20/13 debido a que este camión genera una mayor utilidad que el camión original y el Tr 22/12