mil.univ.kiev.ua2 ЗМІСТ ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

БЄЛЯЄВ О.В.

ВВЕДЕННЯ В ВИЩУ

МАТЕМАТИКУ

2

ЗМІСТ

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ .............................................................................................................. 4

§ 1. Аксіоматика множини дійсних чисел. ....................................................................................... 6

§ 2. Теорема про вкладені відрізки. ................................................................................................ 9

§ 3. Границя послідовності. ............................................................................................................. 10

§4. Точні верхня і нижня межі. ....................................................................................................... 13

§5 Границя функції. ........................................................................................................................ 15

§6. Неперервні функції. .................................................................................................................. 17

§7. Диференційовність функції. ...................................................................................................... 19

§8. Правило Лопіталя. .................................................................................................................... 23

§ 9. Первісна. .................................................................................................................................. 24

§10. Визначений інтеграл Рімана. ................................................................................................... 26

§11. Властивості визначеного інтегралу. ......................................................................................... 29

§12. Формула Тейлора. ................................................................................................................... 32

§13. Степеневі ряди. ....................................................................................................................... 33

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ .................................................................................................. 39

Додавання графіків. ....................................................................................................................... 40

Множення графіків ........................................................................................................................ 41

Ділення графіків. ............................................................................................................................ 42

§1. Границя послідовності і функції. ............................................................................................................ 42

Знаходження границі по визначенню. ........................................................................................... 42

Знаходження границі за допомогою формули Тейлора. ................................................................ 44

Знаходження границі за допомогою правила Лопіталя. .............................................................. 45

§2. Похідна. ......................................................................................................................................................... 46

Знаходження похідної на основі арифметичних властивостей. ...................................................... 47

Знаходження похідної по визначенню. .......................................................................................... 47

Геометричний сенс похідної. .......................................................................................................... 48

Механічний сенс похідної. ............................................................................................................. 48

§3. Первісна (невизначений інтеграл). ......................................................................................................... 49

Знаходження первісної за допомогою заміни змінної. .................................................................. 49

Знаходження первісної інтегруванням по частинах. ...................................................................... 50

Знаходження первісної раціональної функції. ............................................................................... 51

Диференційний біном. ................................................................................................................... 52

§4. Застосування визначеного інтегралу. ..................................................................................................... 53

Геометричний сенс визначеного інтегралу. .................................................................................... 53

3

Перехід від інтегральної суми до визначеного інтегралу. .............................................................. 53

Знаходження площі. ....................................................................................................................... 55

Знаходження довжини дуги. .......................................................................................................... 57

Знаходження об’єму. ..................................................................................................................... 59

ВСТУП В ЛІНІЙНУ АЛГЕБРУ .............................................................................................................. 60

§1. Аксіоми лінійного простору ...................................................................................................... 61

§2. Об’єм 𝒏-вимірного паралелепіпеду. ......................................................................................... 64

§3. Визначник ................................................................................................................................ 67

§4. Лінійне перетворення і його матричне подання. ....................................................................... 70

§5. Обернена матриця і метод Крамера розв’язання лінійного рівняння. ....................................... 72

§6. Інваріантні властивості лінійного перетворення. ....................................................................... 74

§7. Структура лінійного перетворення. ........................................................................................... 75

§8. Евклідовий простір.................................................................................................................... 78

§9. Ортогональні перетворення. ..................................................................................................... 80

ВСТУП В АНАЛІТИЧНУ ГЕОМЕТРІЮ .................................................................................................. 82

§1 Евклідовий простір. .................................................................................................................... 83

§2 Вибрані теореми планіметрії і стереометрії. ............................................................................... 85

§3 Криві і поверхні другого порядку. .............................................................................................. 91

§4. Векторний добуток. Алгебри Лі. .............................................................................................. 100

4

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Математичний аналіз, як розділ курсу вищої математики є класичною

його частиною і тому мало змінюється с точки зору його викладання.

Зазвичай, він містить у собі всі основні поняття вищої математики, які

потім зустрічаються у наступних більш спеціалізованих курсах. Оскільки таких

понять набирається досить велика кількість, то викладання математичного

аналізу зводиться до перерахування цієї кількості визначень та теорем, среди

яких, природно, зустрічаються і вельми складні.

Пропонований нижче конспект курсу лекцій з математичного аналізу

ґрунтується дещо на іншому принципі. Коротко цей принцип можна

охарактеризувати таким чином: спочатку визначається список основних

теорем, а потім вводяться тільки ті поняття, які необхідні для доведення теорем

з вибраного списку.

В результаті всі основні теореми стандартного курсу доводяться

повністю. Подібний підхід дозволяє значно скоротити обсяг курсу за рахунок

цілого ряду понять і фактів. Всі ці поняття, безумовно, необхідні для

математика, який бажає мати серйозний апарат для дослідження математичних

проблем в майбутньому. Однак, для фахівця, який не є чистим математиком,

набагато важливіше мати тверду теоретичну основу для прикладних знань. Така

основа може виникнути тільки в разі, якщо теореми не тільки запам'ятовуються

на рівні формулювань, але і доводяться.

Більш конкретно характеризуючи пропонований курс, скажімо,

наприклад, що в ньому властивість компактності відрізка використовується

тільки як властивість вкладеної системи відрізків мати спільну точку. Ні

класичного визначення компактності і, відповідно, леми Бореля - Лебега, ні

секвенційної компактності в ньому немає, хоч і доводиться існування збіжної

підпослідовності обмеженої послідовності. Крім того, найважча теорема

диференціального обчислення - теорема Тейлора - доводиться тривіальною

інтеграцією по частинах в інтегральному численні.

5

В решті решт, ми опускаємо докази численних властивостей о-малого на

основі класичного визначення, замінюючи о-мале даної функції добутком цієї

функції на нескінченно малу.

Стиль лекцій досить лаконічний, оскільки, по-перше, ми не прагнули

зробити посібник, що повністю заміняє усні лекції викладача, а по-друге, в

результаті в посібнику чіткіше, ніж в підручниках підкреслені основні ідеї

доказів, а кількість прикладів, що ілюструють доведені твердження, мінімальна

з тих же міркувань.

6

§ 1. Аксіоматика множини дійсних чисел.

Визначення 1 .1. Множина ℝ називається множиною дійсних чисел,

а його елементи дійсними числами, якщо виконані наступні умови (аксіоми

дійсних чисел):

(I) Аксіоми додавання.

Визначене відображення (операція додавання):

+ ∶ ℝ × ℝ ⟶ ℝ,

що зіставляє кожній впорядкованій парі (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 деякий елемент,

𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ, що називається сумою 𝑥 і 𝑦.

При цьому виконані наступні умови:

1. Існує елемент 0 (нуль) такий, що для любого 𝑥 ∈ ℝ

𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥.

2. Для любого елементу 𝑥 ∈ ℝ існує елемент −𝑥 ∈ ℝ,

(протилежний до 𝑥) такий, що

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0.

3. Операція "+" асоціативна, тобто для довільних элементів

𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧.

4. Операція "+" комутативна, тобто для довільних элементів

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.

(II). Аксіоми добутку.

Визначене відображення (операція множення):

∙ ∶ ℝ × ℝ ⟶ ℝ,

що зіставляє кожній впорядкованій парі (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 деякий елемент,

𝑥 ∙ 𝑦 ∈ ℝ, що називається добутком 𝑥 і 𝑦.

7

При цьому виконані наступні умови:

1. Існує елемент 1 (одиниця) такий, що для любого 𝑥 ∈ ℝ

𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥.

2. Для любого елементу 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0, існує елемент 𝑥−1 ∈ ℝ, (обернений

до 𝑥) такий, що

𝑥 ∙ 𝑥−1 = 𝑥−1 ∙ 𝑥 = 1.

3. Операція "∙" асоціативна, тобто для довільних элементів

𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧.

4. Операція "∙" комутативна, тобто для довільних элементів

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥.

(I, II) Зв’язок додавання і множення.

Множення дистрибутивне по відношенню до додавання, тобто для

довільних 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧.

(III) Аксіоми порядку.

Між двома довільними елементами , 𝑦 ∈ ℝ виконується відношення 𝑥 ≤

𝑦 або 𝑦 ≤ 𝑥 (≤ - "меньше або дорівнює"). При цьому виконуються наступні

умови:

1. 𝑥 ≤ 𝑥.

2. Якщо 𝑥 ≤ 𝑦 та 𝑦 ≤ 𝑥, то 𝑥 = 𝑦.

3. Якщо 𝑥 ≤ 𝑦 та 𝑦 ≤ 𝑧, то 𝑥 ≤ 𝑧 .

(I, III) Зв'язок додавання та порядку

Для довільних 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

Якщо 𝑥 ≤ 𝑦, то 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 .

8

(II, III) Зв'язок множення та порядку

Якщо 0 ≤ 𝑥 та 0 ≤ 𝑦, то 0 ≤ 𝑥 ∙ 𝑦 .

(IV) Аксиома повноти (неперервності).

Якщо 𝑋, 𝑌 - непусті підмножини ℝ такі, що для довільних елементів

𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 виконується нерівність 𝑥 ≤ 𝑦, то існує такий елемент 𝑐 ∈ ℝ, що

𝑥 ≤ 𝑐 ≤ 𝑦 для довільних елементів 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌.

Зауваження 1.1. Сформульованих вище аксіом достатньо, щоб

отримати всі теореми, які далі будуть доведені. В той же час серед аксіом

немає зайвих, тобто таких, які можливо вивести з останніх.

Позначення 1.1.

Множина натуральних чисел - ℕ,

множина цілих чисел - ℤ,

множина раціональних чисел - ℚ,

«існує» - ∃, «для любого» - ∀, «не вірно ℑ» - ¬ℑ,

при запису операції множення 𝑥 ∙ 𝑦 знак множення можна опускати.

Визначення 1.2.Операція віднімання:

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + (−𝑦),

операція ділення:

𝑥

𝑦= 𝑥 ∙ 𝑦−1.

Висновок 1.1. Існує тільки один 0, тільки одна 1, тільки один

протилежний елемент, тільки один зворотний елемент.

Доведення. Нехай існує два 0: 01, 02. Тоді

01 = 01 + 02 = 02.

Аналогічно доводиться єдиність 1. Нехай існує два протилежних

елементів (−𝑥)1, (−𝑥)2 до елементу 𝑥. Тоді

(−𝑥)1 + 𝑥 = (−𝑥)2 + 𝑥 = 0 ⟹ (−𝑥)1 = (−𝑥)2 .

9

Аналогічно доводиться єдиність зворотнього елементу.

Висновок 1.2. 0 ∙ 𝑥 = 0, −(−𝑥) = 𝑥, (−1) ∙ 𝑥 = −𝑥.

Доведення. 𝑥 = (0 + 1) ∙ 𝑥 = 0 ∙ 𝑥 + 𝑥 ⟹ 0 = 0 ∙ 𝑥.

0 = −(−𝑥) + (−𝑥) = 𝑥 + (−𝑥) ⟹ −(−𝑥) = 𝑥.

(−1) ∙ 𝑥 + 𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 = (−1 + 1) ∙ 𝑥 = 0 ∙ 𝑥 = 0.

Висновок 1.3. (𝑥 ∙ 𝑦)−1 = 𝑥−1 ∙ 𝑦−1,

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑.

Доведення. (𝑥 ∙ 𝑦)−1 ∙ (𝑥 ∙ 𝑦) = 1 = 𝑥−1 ∙ 𝑦−1 ∙ (𝑥 ∙ 𝑦).

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑= 𝑎 ∙ 𝑏−1 + 𝑐 ∙ 𝑑−1 = (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ∙ (𝑏𝑑)−1 =

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑.

§ 2. Теорема про вкладені відрізки.

Теорема 2.1.

(а) Для довільної послідовності вкладених відрізків

𝐼1 ⊃ 𝐼2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝐼𝑛 ⊃ ⋯

знайдеться точка, 𝑐 ∈ ℝ, що належить усім цим відрізкам .

(б) Якщо, крім того, відомо, що для довільного 휀 > 0 у послідовності

відрізків 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼𝑛 , … можна знати відрізок довжиною меншою 휀, то 𝑐 -

єдина спільна точка всіх відрізків.

Доведення. Зауважимо, що для довільних відрізків [𝑎𝑚, 𝑏𝑚], [𝑎𝑛, 𝑏𝑛]

у нашій послідовності 𝑎𝑚 ≤ 𝑏𝑛.

Таким чином, для числових множин 𝐴 = {𝑎𝑛}, 𝐵 = {𝑏𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ,

виконані умови аксіоми повноти, а тому існує елемент 𝑐 ∈ ℝ такий, що

∀𝑚, 𝑛 𝑎𝑚 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏𝑛 , зокрема, 𝑎𝑛 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏𝑛, тобто частина (а) теореми

доведена.

10

Якщо припустити, що існують дві спільні для всіх відрізків точки

𝑐1, 𝑐2, то тоді 𝑎𝑛 ≤ 𝑐1 < 𝑐2 ≤ 𝑏𝑛 і ми отримуємо протиріччя з умовою

пункту (б) теореми. Тобто, теорема доведена.

§ 3. Границя послідовності.

Визначення 3.1. Вважається заданою функція 𝑓 з областю визначеності

𝑋 і з областю значень 𝑌, якщо кожному 𝑥 ∈ 𝑋 відповідає рівно одне 𝑦 ∈ 𝑌.

Позначається: 𝑦 = 𝑓(𝑥) або 𝑓: 𝑥 ⟶ 𝑦.

Якщо 𝑋 ⊂ ℝ, 𝑌 ⊂ ℝ, то функція називається числовою.

Визначення 3.2. Функція 𝑥: ℕ ⟶ ℝ називається послідовністю.

Позначається: 𝑥(1) = 𝑥1, 𝑥(2) = 𝑥2, … , 𝑥(𝑛) = 𝑥𝑛, …

Визначення 3.3. (а) Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею послідовності 𝑎𝑛,

якщо

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝐴| < 휀.

Позначення: 𝑂 (𝑥) – окіл с центром в точці 𝑥 радіусом 휀.

(б) Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею послідовності 𝑎𝑛 , якщо для

довільного околу 𝑂 (𝐴), починаючи з деякого номеру 𝑁, всі члени

послідовності знаходяться в околі 𝑂 (𝐴).

Позначення: 𝐴 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 або 𝑎𝑛 → 𝐴, 𝑛 → ∞ ( 𝑎𝑛 наближається до 𝐴 ).

Теорема 3.1.

(а) Послідовність не може мати більш ніж одну границю.

(б) Послідовність, що має границю є обмеженою.

11

Доведення (а) від протилежного. Нехай 𝐴1, 𝐴2 – границі послідовності

𝑎𝑛. Вибираємо околи 𝑂 (𝐴1), 𝑂 (𝐴2), так, щоб вони не перетиналися. Тоді,

починаючи с деякого номеру 𝑁, кожен член послідовності повинен

знаходитись в двох околах, що не мають спільних точок, що неможливо.

(б). Нехай 𝐴 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛. Починаючи с деякого номеру 𝑁, 𝐴 − 휀 <

𝑎𝑁+1, 𝑎𝑁+2, … < 𝐴 + 휀, тобто ці елементи обмежені околом 𝑂 (𝐴).

Кількість останніх елементів 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑁 обмежена, отже обмежена і їх

множина. В результаті маємо ∀𝑖 𝑚𝑖𝑛{𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑁 , 𝐴 − 휀 } ≤ 𝑎𝑖 ≤

𝑚𝑎𝑥{𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑁 , 𝐴 + 휀}. Теорема доведена.

Теорема 3.2. Якщо 𝐴 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 , 𝐵 = lim𝑛→∞

𝑏𝑛, то lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝐴 + 𝐵.

Доведення. Необхідно довести, що

∀휀0 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 𝐴 + 𝐵 − 휀0 < 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 < 𝐴 + 𝐵 + 휀0.

Згідно з умовою теореми ми маємо

∀휀 =휀0

2> 0 ∃𝑁1 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁1 𝐴 −

휀0

2< 𝑎𝑛 < 𝐴 +

휀0

2,

∀휀 =휀0

2> 0 ∃𝑁2 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁2 𝐵 −

휀0

2< 𝑏𝑛 < 𝐵 +

휀0

2.

Починаючи з номеру 𝑁 = 𝑚𝑎𝑥{𝑁1, 𝑁2}, маємо

𝐴 − 0

2< 𝑎𝑛 < 𝐴 + 0

2 і 𝐵 − 0

2< 𝑏𝑛 < 𝐵 + 0

2, отже

𝐴 + 𝐵 − 휀0 < 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 < 𝐴 + 𝐵 + 휀0.



𝑏𝑛, то lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 𝑏𝑛) = 𝐴𝐵.

Лема 3.3.1. lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐴 ⟺ lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 − 𝐴) = 0.

Доведення отримаємо, якщо запишемо обидва формальні визначення

границь.

Лема 3.3.2. Добуток нескінченно малої, lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0, і обмеженої

послідовностей, |𝑏𝑛| < 𝐶, є нескінченно мала послідовність.


∀휀0 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑛 𝑏𝑛| < 휀0.

12

Згідно з умовою теореми ми маємо

∀휀 =휀0

𝐶> 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑛| <

휀0

𝐶, |𝑏𝑛| < 𝐶,

тобто, починаючи з номеру 𝑁, |𝑎𝑛 𝑏𝑛| < 휀0.

Доведення теореми. Згідно з лемою 3.3.1

𝑎𝑛 = 𝐴 + 𝑥𝑛, 𝑏𝑛 = 𝐵 + 𝑦𝑛,

де 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 - нескінченно малі. Маємо подання послідовності 𝑎𝑛𝑏𝑛 в

вигляді суми чотирьох послідовностей:

𝑎𝑛𝑏𝑛 = (𝐴 + 𝑥𝑛)(𝐵 + 𝑦𝑛) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝑦𝑛 + 𝐵𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝑦𝑛.

Границя константи 𝐴𝐵 є сама ж константа, всі останні складові є

додатки обмежених 𝐴, 𝐵, 𝑥𝑛 (см. теорему 3.1.б) на нескінченно малі.



𝑏𝑛 ≠ 0, то lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝐴

𝐵.

Доведення.

𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝑎𝑛

𝑏𝑛−

𝐴

𝐵+

𝐴

𝐵=

𝑎𝑛 − 𝐴

𝑏𝑛+

𝐴(𝐵 − 𝑏𝑛)

𝐵𝑏𝑛+

𝐴

𝐵=

𝑥𝑛

𝑏𝑛+

𝐴𝑦𝑛

𝐵𝑏𝑛+

𝐴

𝐵

і необхідно довести лише, що послідовність 1

𝑏𝑛 є обмеженою, а це витікає з

обмеженості послідовності 𝑏𝑛 і умови lim𝑛→∞

𝑏𝑛 ≠ 0.



𝑏𝑛 і при цьому,

(а) якщо 𝐴 < 𝐵, то, починаючи з деякого номеру 𝑁, 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛;

(б) якщо, починаючи з деякого номеру 𝑁, 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, то 𝐴 < 𝐵.

Доведення. (а) Виберемо таке 휀, щоб околи 𝑂 (𝐴), 𝑂 (𝐵) не

перетинались, тоді, починаючи з деякого номеру 𝑁, 𝑎𝑛 < 𝐴 + 휀 < 𝐵 − 휀 < 𝑏𝑛.

(б) Від протилежного. Нехай 𝐴 > 𝐵, тоді згідно з (а) 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛, що

неможливо за умовою теореми.

Висновок 3.1. Якщо 𝐴 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = lim𝑛→∞

𝑏𝑛 і при цьому, 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ≤ 𝑏𝑛, то

lim𝑛→∞

𝑐𝑛 = 𝐴.

13

§4. Точні верхня і нижня межі.

Визначення 4.1. Число 𝑐∗ називається точною верхнею межею, якщо

виконані наступні умови:

(а) ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≤ 𝑐∗;

(б) ∀휀 > 0 ∃𝑥′ ∈ 𝑋 𝑐∗ − 휀 < 𝑥′.

Позначення: 𝑐∗ = 𝑠𝑢𝑝𝑋.

Аналогічно,

Визначення 4.2. Число 𝑐∗ називається точною нижнею межею, якщо

виконані наступні умови:

(а) ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≥ 𝑐∗;

(б) ∀휀 > 0 ∃𝑥′ ∈ 𝑋 𝑐∗ + 휀 > 𝑥′.

Позначення: 𝑐∗ = 𝑖𝑛𝑓𝑋.

Теорема 4.1 (про точну верхню межу). Довільна непуста обмежена

зверху множина 𝑋 ⊂ ℝ має точну верхню межу.

Доведення. Згідно з умовою існує 𝑦0 таке, що ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≤ 𝑦0. Визначим

множину 𝑌 як сукупність елементів таких, що ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≤ 𝑦. Отже для

множин 𝑋, 𝑌 виконані умови аксіоми повноти і, таким чином, існує 𝑐, таке що:

∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑥 ≤ 𝑐 ≤ 𝑦.

Доведемо, що число 𝑐 = 𝑠𝑢𝑝𝑋. Умова (а) виконана. Припустимо, що

умова (б) не виконана, тобто

∃휀0 > 0 ∀𝑥′ ∈ 𝑋 𝑐 − 휀0 ≥ 𝑥′.

Це означає, що 𝑐 − 휀0 ∈ 𝑌, тобто і те, що 𝑐 ≤ 𝑐 − 휀0, що неможливо.

Теорема 4.2 (достатня умова існування границі). Нехай послідовність

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … монотонно зростає 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ і обмежена зверху

∀𝑛 𝑎𝑛 ≤ 𝑀. Тоді послідовність має границю: lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝑠𝑢𝑝{𝑎𝑛}.


∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 𝑐∗ − 휀 < 𝑎𝑛 < 𝑐∗ + 휀, (𝑐∗ = 𝑠𝑢𝑝{𝑎𝑛}).

14

Умова 𝑎𝑛 < 𝑐∗ + 휀 виконана згідно першої умови визначення 𝑠𝑢𝑝{𝑎𝑛}.

Згідно другої умови ∃𝑁 ∈ ℕ 𝑐∗ − 휀 < 𝑎𝑁 , але послідовність монотонно

зростає, отже ∀𝑛 > 𝑁 𝑐∗ − 휀 < 𝑎𝑛.

Зауваження 4.1.Мають місце аналогічні теоремам 4.1, 4.2

теореми про існування точної нижньої межі, а також про

існування границі монотонної обмеженої знизу послідовності.

Теорема 4.3. Існує границя числової послідовності lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛= 𝑒.

Доведення. Спочатку впевнимось, що послідовність 𝑎𝑛 = (1 +1

𝑛)

𝑛+1

монотонно зменшується.

Лема 4.3 (Нерівність Бернуллі). (1 + 𝛼)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝛼, 𝑛 ∈ ℕ, 𝛼 > −1.

Доведення (математична індукція).

1. Вірно при 𝑛 = 1.

2. Якщо вірно для 𝑛 = 𝑘, то вірно і для 𝑛 = 𝑘 + 1.

(1 + 𝛼)𝑘+1 = (1 + 𝛼)𝑘(1 + 𝛼) ≥ (1 + 𝑘𝛼)(1 + 𝛼) ≥ 1 + (𝑘 + 1)𝛼,

причому в першій нерівності використана умова 2, а друга вірна – тому що

𝑘𝛼2 ≥ 0.

Доведення монотонного зменшення 𝑎𝑛 = (1 +1

𝑛)

𝑛+1.

𝑎𝑛−1

𝑎𝑛=

(𝑛

𝑛 − 1)𝑛

(𝑛 + 1

𝑛 )𝑛+1 =

𝑛2𝑛 ∙ 𝑛

(𝑛2 − 1)𝑛 ∙ (𝑛 + 1)= (1 +

1

𝑛2 − 1)

𝑛

∙𝑛

𝑛 + 1,

далі використовуємо нерівність Бернуллі, отже

𝑎𝑛−1

𝑎𝑛≥ (1 +

𝑛

𝑛2 − 1) ∙

𝑛

𝑛 + 1≥ (1 +

𝑛

𝑛2) ∙

𝑛

𝑛 + 1= 1.

Таким чином 𝑎𝑛 монотонно зменшується, 𝑎𝑛 > 0, що згідно з

зауваженням 4.1 завершує доведення існування границі 𝑎𝑛 . В завершення

маємо, що границя

lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛

= lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛+1

∙ lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

існує і її прийнято позначати 𝑒.

15

§5 Границя функції.

Визначення 5.1 (Коші). Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею числової

функції 𝑓(𝑥), в точці 𝑥0, якщо

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 휀.

Позначається lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐴 або 𝑓(𝑥) → 𝐴, 𝑥 → 𝑥0.

Позначення 5.1. Якщо 𝑋, 𝑌 ⊂ ℝ, то множина 𝑋\ 𝑌 складається з тих

елементів 𝑋, що не належать 𝑌.

Визначення 5.2. Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею числової функції

𝑓(𝑥), в точці 𝑥0, якщо

(а) ∀𝑂 (𝐴) ∃𝑂𝛿(𝑥0) ∀𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0, 𝑓(𝑥) ∈ 𝑂 (𝐴),

або ще стисліше

(б) ∀𝑂(𝐴) ∃𝑂(𝑥0) 𝑓(𝑂(𝑥0)\𝑥0) ⊂ 𝑂(𝐴).

Визначення 5.3 (Гейне). Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею числової


∀{𝑥𝑛 ≠ 𝑥0} 𝑥𝑛 → 𝑥0 𝑓(𝑥𝑛) → 𝐴.

Теорема 5.1. Визначення границі Коші і Гейне еквівалентні.

Доведення. 1. (Коши) => (Гейне). Маємо:

∀𝑂(𝐴) ∃𝑂(𝑥0) 𝑓(𝑂(𝑥0)\𝑥0) ⊂ 𝑂(𝐴),

∀𝑂(𝑥0) ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 𝑥𝑛 ∈ 𝑂(𝑥0)\𝑥0.

Необхідно довести: 𝑓(𝑥𝑛) → 𝐴, тобто

∀𝑂(𝐴) ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 𝑓(𝑥𝑛) ∈ 𝑂(𝐴).

Щоб 𝑓(𝑥𝑛) ∈ 𝑂(𝐴) достатньо 𝑥𝑛 ∈ 𝑂(𝑥0)\𝑥0 , а це відбувається ∀𝑛 > 𝑁.

Що і було необхідно довести.

2. (Гейне) => (Коши). Доведення від протилежного. Відсутність

границі по Коші має таке формальне визначення:

(а) ∃휀 > 0 ∀𝛿 > 0 ∃𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥) ∉ 𝑂 (𝐴)

і його можливо пояснити наступними міркуваннями.

Якщо вислів з деякою множиною 𝑋 і умовою ℑ

16

∀𝑥 ∈ 𝑋 виконана умова ℑ

є невірним, то буде вірним вислів

∃𝑥 ∈ 𝑋, для якого умова ℑ не виконана,

тобто формально це можна записати:

¬(∀𝑥 ∈ 𝑋 ℑ) тотожно ∃𝑥 ∈ 𝑋 ¬ℑ.

Також,

¬(∃𝑥 ∈ 𝑋 ℑ) тотожно ∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ℑ.

Використовуючи ці зауваження, маємо вірні тотожні твердження:

¬(∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥) ∈ 𝑂 (𝐴)),

∃휀 > 0 ¬(∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥) ∈ 𝑂 (𝐴)),

∃휀 > 0 ∀𝛿 > 0 ¬(∀𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥) ∈ 𝑂 (𝐴)),

(а) ∃휀 > 0 ∀𝛿 > 0 ∃𝑥 ∈ 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 ¬( 𝑓(𝑥) ∈ 𝑂 (𝐴)).

Далі беремо 𝛿 = 1,1

2,

1

3, … ,

1

𝑛, … і знаходимо для кожного 𝛿𝑛 відповідне

𝑥𝑛 із умови (а) ∃휀 > 0 ∀𝛿𝑛 ∃𝑥𝑛 ∈ 𝑂𝛿𝑛(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥𝑛) ∉ 𝑂 (𝐴).

Ми отримали протиріччя: 𝑥𝑛 ∈ 𝑂1

𝑛

(𝑥0)\𝑥0 , тобто 𝑥𝑛 → 𝑥0, 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0, але

𝑓(𝑥𝑛) ∉ 𝑂 (𝐴).

Теорема 5.2. Якщо lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐴, lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝐵, то

(а) lim𝑥→𝑥0

(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐴 + 𝐵;

(б) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐴 𝐵;

(в) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝐴

𝐵, якщо також 𝐵 ≠ 0;

(г) якщо 𝐴 < 𝐵, то в деякому околі 𝑂𝛿(𝑥0)\𝑥0 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥);

(д) якщо 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), то 𝐴 ≤ 𝐵.

Доведення витікає з теорем 3.2-3.5, а також з визначення границі по

Гейне.

Зауваження 5.1. Границя lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)

𝑛= 𝑒 в термінах границі функції

може бути записана як lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1

𝑥 = 𝑒.

17

§6. Неперервні функції.

Визначення 6.1. Функція 𝑓(𝑥) називається неперервною, якщо

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).

З урахуванням визначення 5.2(б) маємо топологічний варіант

визначення (топологія – розділ математики, що вивчає властивості множин,

що зберігаються при неперервних відображеннях).

Визначення 6.1. Функція 𝑓(𝑥) називається неперервною, якщо

∀𝑂(𝑓(𝑥)) ∃𝑂(𝑥) 𝑓(𝑂(𝑥)) ⊂ 𝑂(𝑓(𝑥)).

Визначення 6.2. Функція 𝑓(𝑥) називається неперервною на множині,

якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Теорема 6.1. Якщо функції 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) неперервні на множині, то

також неперервними на цій множині будуть функції:

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥),𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥),

останнє вірно, якщо 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Доведення витікає з теореми 5.2, а також з визначення неперервної

функції.

Висновок 6.1. Многочлени 𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

неперервні на ℝ.

Раціональні функції

𝑃𝑛(𝑥)

𝑄𝑚(𝑥)=

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0

неперервні на ℝ\{𝑄𝑚(𝑥) = 0}.

Доведення витікає з теореми 6.1 і неперервності функції 𝑓(𝑥) = 𝑥.

Останнє доводиться із визначення 6.1, яке в нашому випадку має вигляд:

∀𝑂(𝑥) ∃𝑂(𝑥) 𝑂(𝑥) ⊂ 𝑂(𝑥)

і є очевидним.

18

Теорема 6.2 (Больцано). Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку, має

на його кінцях протилежні за знаком значення, то існує точка відрізка з

нульовим значенням функції.

Доведення. Розділимо відрізок визначення функції навпіл. Якщо в точці

розділу функція є нульова, то теорема вірна. Якщо не так, то виберемо ту

половину, на якій функція має протилежні за знаком значення і продовжимо це

робити далі. Якщо цей процес закінчиться, то теорема вірна. Припустимо це не

так. Ми отримаємо нескінченну вкладену систему відрізків [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], довжина

яких наближається до нуля. Отже існує єдина точка 𝑐, що належить всім

відрізкам. За умовою вибору відрізків

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝑐, 𝑓(𝑎𝑛) 𝑓(𝑏𝑛) < 0,

отже

lim𝑛→∞

(𝑓(𝑎𝑛) 𝑓(𝑏𝑛)) = lim𝑛→∞

𝑓(𝑎𝑛) lim𝑛→∞

𝑓(𝑏𝑛) = (𝑓(𝑐))2

≤ 0,

що можливе лише при умові 𝑓(𝑐) = 0.

Висновок 6.2. Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏], то вона

приймає всі значення між 𝑓(𝑎) і 𝑓(𝑏).

Доведення. Нехай 𝐶 задовольняє умові 𝑓(𝑎) < 𝐶 < 𝑓(𝑏). Тоді функція

𝑓(𝑥) − 𝐶 має на кінцях значення з протилежними знаками. Отже існує точка

𝑐, така, що 𝑓(𝑐) − 𝐶 = 0.

Теорема 6.3 (Вейерштрасса). Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку,

то вона обмежена на ньому і досягає найменшого та найбільшого значень.

Доведення. Припустимо, що неперервна на відрізку функція 𝑓(𝑥) не

обмежена на ньому. Розділимо відрізок визначення функції навпіл, виберемо

ту половину, на якій функція необмежена і будемо повторювати це

нескінченно. Ми отримаємо нескінченну вкладену систему відрізків і єдину

спільну їх точку, в любому околі якої функція 𝑓(𝑥) не обмежена. Але це

неможливо для неперервної функції. Отже функція 𝑓(𝑥) обмежена і, згідно с

теоремою 4.1 існують 𝑀 = sup 𝑓(𝑥), 𝑚 = inf 𝑓(𝑥).

Припустимо, значення 𝑀 функція не досягає, тоді функція 𝐹(𝑥) =

19

1

𝑀−𝑓(𝑥) є неперервною і обмеженою, наприклад константою 𝐾, що дає оцінку

𝑓(𝑥) < 𝑀 −1

𝐾, тобто 𝑀 не є sup𝑓(𝑥). Ми маємо протиріччя, отже теорема

доведена для максимуму. Для мінімуму доведення аналогічне.

§7. Диференційовність функції.

Визначення 7.1. Функція 𝑓(𝑥) називається малою порівняно з функцією

𝑔(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) = 𝛼(𝑥)𝑔(𝑥), де функція 𝛼(𝑥) є нескінченно малою.

Позначення. 𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)).

Визначення 7.2. Функція 𝑓(𝑥) називається диференційовною в точці 𝑥0,

якщо

(а) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑜(𝑥 − 𝑥0), 𝑥 → 𝑥0.

Число 𝐴 називається похідною функції 𝑓(𝑥) в точці 𝑥0 і позначається

𝑓′(𝑥0) або 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥0).

Для запису, там де це зручно, можливе також більш стисле позначення:

(б) 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝐴ℎ + 𝛼ℎ, 𝛼 → 0, ℎ → 0.

Твердження 7.1. Похідна дорівнює lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ.

Доведення. Наприклад в поданні (б) перенести 𝑓(𝑥) в ліву частину

рівняння, поділити результат на ℎ і перейти до границі.

Твердження 7.2. Якщо існує limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= 𝐴, то функція 𝑓(𝑥) є

диференційованою.

Доведення. 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= 𝐴 + 𝛼, де 𝛼 – нескінченно мала, а далі

знаходимо 𝑓(𝑥 + ℎ).

Визначення 7.3. Якщо функція 𝑓(𝑥) має похідну на всій області

визначення, то значення 𝑓′(𝑥) утворюють функцію, яка називається

похідною функцією функції 𝑓(𝑥).

Теорема 7.1 (арифметичні властивості похідної). Якщо функції

𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) мають похідні 𝑓′(𝑥), 𝑔′(𝑥), то

20

(а) (𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓′ + 𝑔′;

(б) (𝑓𝑔)′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′;

(в) (𝑓

𝑔)

′=

𝑓′𝑔−𝑓𝑔′

𝑔2.

Доведення. (а) 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ, 𝛼 → 0,

𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)ℎ + 𝛽ℎ, 𝛽 → 0.

Додаючи ці рівності, отримаємо

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + (𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) ℎ + (𝛼 + 𝛽)ℎ,

𝛼 + 𝛽 → 0,

що і було необхідно.

(б) Аналогічно, 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) =

= (𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ)(𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)ℎ + 𝛽ℎ) =

= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + (𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥))ℎ +

+(𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥)ℎ + (𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ)𝛽 + 𝛼(𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)ℎ + 𝛽ℎ) + 𝛼𝛽ℎ)ℎ

і отримуємо необхідне подання.

(в) Аналогічно, але дещо складніше, 𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ)−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

=𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ

𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)ℎ + 𝛽ℎ−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

(𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)(𝑔′(𝑥)ℎ + 𝛽ℎ)

𝑔(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥).

Окремо обчислимо 1

𝑔(𝑥+ℎ).

1

𝑔(𝑥 + ℎ)−

1

𝑔(𝑥)= −

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)=

(𝑔′(𝑥) + 𝛽)ℎ

𝑔(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥),

отже 1

𝑔(𝑥+ℎ)=

1

𝑔(𝑥)+ 𝛾, де 𝛾 – є нескінченно мала.

Підсумовуючи, маємо 𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ)−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

= (𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)ℎ +

𝛼𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝛽

𝑔(𝑥)ℎ) (

1

𝑔(𝑥)+ 𝛾) =

=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)2ℎ + (

𝛼𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝛽

𝑔(𝑥)2) (1 + 𝑔(𝑥)𝛾)ℎ,

21

що завершує доведення.

Теорема 7.2 (похідна складної функції). Якщо функція 𝑓(𝑥)

диференційовна в точці 𝑥, а функція 𝑔(𝑦) – в точці 𝑦 = 𝑓(𝑥), то композиція

цих функцій також є диференційовною, причому

(𝑔(𝑓(𝑥)))′

= 𝑔′(𝑓(𝑥))𝑓′(𝑥).

Доведення. 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ, 𝛼 → 0,

𝑔(𝑦 + 𝑠) = 𝑔(𝑦) + 𝑔′(𝑦)𝑠 + 𝛽𝑠, 𝛽 → 0.

Вважаємо, що 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 + 𝑠 = 𝑓(𝑥 + ℎ).

𝑔( 𝑓(𝑥 + ℎ)) − 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔′(𝑓(𝑥))𝑠 + 𝛽𝑠 =

= 𝑔′(𝑓(𝑥))(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)) + 𝛽(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)) =

= 𝑔′(𝑓(𝑥))(𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ) + 𝛽(𝑓′(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ) =

= 𝑔′(𝑓(𝑥))𝑓′(𝑥)ℎ + (𝛼𝑔′(𝑓(𝑥)) + 𝛽(𝑓′(𝑥) + 𝛼)) ℎ.

Визначення 7.4. Функції 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑔(𝑦) називаються взаємно

оберненими, якщо їх суперпозиції є тотожними функціями:

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥, 𝑓(𝑔(𝑦)) = 𝑦.

Приклад 7.1. √𝑥2 = 𝑥, (√𝑦)2

= 𝑦, 𝑥 ≥ 0,

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛(𝑥)) = 𝑥, 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑦)) = 𝑦, 𝑥 ∈ [−𝜋

2,𝜋

2],

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 𝑥, 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑦)) = 𝑦, 𝑥 ∈ [0, 𝜋],

𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥, 𝑒𝑙𝑛(𝑦) = 𝑦, 𝑥 ∈ ℝ.

Теорема 7.3 (похідна оберненої функції). Якщо взаємно обернені функції

𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑔(𝑦) диференційовні в точках 𝑥 і 𝑦 відповідно, їх похідні

пов’язані співвідношенням:

𝑓′(𝑥) =1

𝑔′(𝑦).

Доведення. Із неперервності функцій маємо якщо 𝑥 → 𝑥0, то 𝑦 → 𝑦0 і

навпаки. Отже

𝑓′(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= lim

𝑦→𝑦0

𝑦 − 𝑦0

𝑔(𝑦) − 𝑔(𝑦0)=

1

𝑔′(𝑦).

22

Приклад 7.2.

𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = √𝑦 , (√𝑦)′

=1

(𝑥2)′=

1

2𝑥=

1

2√𝑦

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑦) , (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑦))′

=1

(𝑠𝑖𝑛(𝑥))′ =

1

𝑐𝑜𝑠(𝑥)=

1

√1 − 𝑦2

𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥), 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦) , (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦))′

=1

(𝑡𝑔(𝑥))′ = (𝑐𝑜𝑠(𝑥))

2=

1

1 + 𝑦2

Теорема 7.4 (Ферма). Якщо функція 𝑓(𝑥) диференційовна в точці

максимуму (мінімуму), то її похідна в цій точці дорівнює 0.

Доведення. Нехай 𝑥 є точка максимуму функції 𝑓(𝑥), тоді

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = (𝑓′(𝑥) + 𝛼)ℎ < 0.

Для малого значення ℎ вираз 𝑓′(𝑥) + 𝛼 має певний знак, отже вираз

(𝑓′(𝑥) + 𝛼)ℎ змінює знак при змінюванні знаку ℎ, а не є завжди негативним.

Аналогічне протиріччя має місто, якщо 𝑥 є точка мінімуму функції 𝑓(𝑥).

Теорема 7.5 (Ролля). Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏] і

диференційовна на інтервалі (𝑎, 𝑏), а також 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), то існує точка, в

якій її похідна дорівнює 0.

Доведення. Неперервна функція приймає максимальне і мінімальне

значення 𝑥𝑚𝑎𝑥, 𝑥𝑚𝑖𝑛 . Якщо ці точки лежать на кінцях відрізка [a, b], то функція

є константою і тоді 𝑓′(𝑥) ≡ 0.

В противному випадку одна з цих точок лежить в інтервалі (𝑎, 𝑏), а

згідно теоремою 7.4 (Ферма) вірне 𝑓′(𝑥𝑚𝑎𝑥) = 0 або 𝑓′(𝑥𝑚𝑖𝑛) = 0.

Теорема 7.6 (Лагранжа). Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку

[𝑎, 𝑏] і диференційовна на інтервалі (𝑎, 𝑏), то існує точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в якій

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐) (𝑏 − 𝑎).

Доведення. Введемо допоміжну функцію

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎).

23

Ця функція відповідає умовам теореми 7.5 (Ролля), 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑏) = 𝑓(𝑎),

отже існує точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в якій 𝐹′(𝑐) = 𝑓′(𝑐) −𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎= 0.

Теорема 7.7 (Коші). Якщо функції 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) неперервні на відрізку

[𝑎, 𝑏] і диференційовні на інтервалі (𝑎, 𝑏), а також 𝑔′(𝑥) ≠ 0, то існує точка

𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в якій

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)=

𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐).

Доведення. Введемо допоміжну функцію

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) (𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)).

Ця функція задана коректно, тому що 𝑔(𝑏) ≠ 𝑔(𝑎), як це витікає з

теореми 7.5 (Ролля), і відповідає умовам теореми 7.5 (Ролля), 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑏) =

𝑓(𝑎), отже існує точка 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), в якій

𝐹′(𝑐) = 𝑓′(𝑐) −𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎).

§8. Правило Лопіталя.

Теорема 8.1 (Правило Лопіталя). Нехай функції 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)

диференційовні на інтервалі (𝑎, 𝑏) ⊂ ([−∞, +∞]), а також 𝑔′(𝑥) ≠ 0 і

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)→ 𝐴, 𝑥 → 𝑎 + 0 (𝐴 ∈ [−∞, +∞]).

Тоді, якщо

(а) 𝑓(𝑥) → 0, 𝑔(𝑥) → 0, 𝑥 → 𝑎 + 0 або

(б) 𝑓(𝑥) → ∞, 𝑔(𝑥) → ∞, 𝑥 → 𝑎 + 0.

Аналогічне вірно для 𝑥 → 𝑏 − 0.

Доведення. Згідно з теоремою Коші 𝑓( 𝑥)−𝑓(𝑦)

𝑔( 𝑥)−𝑔(𝑦)=

𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐).

(а) Нехай 𝑦 → 𝑎 + 0, тоді згідно умови

24

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)=

𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐)+ 휀, 휀 → 0.

Тепер те ж зробимо для 𝑥: 𝑥 → 𝑎 + 0. Оскільки 𝑎 < 𝑐 < 𝑥, то і 𝑐 → 𝑎 + 0.

Із умови теореми маємо

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)= 𝐴 + 휀 + 𝜖, 𝜖 → 0,

що і означає

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)→ 𝐴, 𝑥 → 𝑎 + 0.

(б) Нехай 𝑥 → 𝑎 + 0, тоді

𝑓( 𝑥) − 𝑓(𝑦)

𝑔( 𝑥) − 𝑔(𝑦)=

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥) − 𝑔(𝑦)+ 휀, 휀 → 0,

а також

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥) − 𝑔(𝑦)−

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)=

𝑓( 𝑥)𝑔(𝑦)

(𝑔( 𝑥) − 𝑔(𝑦))𝑔( 𝑥)=

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)𝜖, 𝜖 → 0

і формула 𝑓( 𝑥)−𝑓(𝑦)

𝑔( 𝑥)−𝑔(𝑦)=

𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐) матиме вигляд:

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)(1 + 𝜖) + 휀 =

𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐), 𝑥 → 𝑎 + 0.

Тепер, якщо і 𝑦 → 𝑎 + 0, то також 𝑐 → 𝑎 + 0, 𝑓′(𝑐)

𝑔′(𝑐)→ 𝐴, і

𝑓( 𝑥)

𝑔( 𝑥)→ 𝐴.

§ 9. Первісна.

Визначення 9.1. Функція 𝐹(𝑥) називається первісною до функції 𝑓( 𝑥),

якщо 𝐹′(𝑥) = 𝑓( 𝑥).

Позначення: 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥.

Теорема 9.1. Якщо функції 𝐹1( 𝑥), 𝐹2( 𝑥) – первісні до функції 𝑓( 𝑥), то їх

різниця 𝐹1( 𝑥) − 𝐹2( 𝑥) є постійна функція.

Доведення. Згідно з теоремою 7.6 (Лагранжа), застосованої до функції

25

𝐹1( 𝑥) − 𝐹2( 𝑥) у точках 𝑥, 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏], маємо для змінної 𝑥 і фіксованої 𝑥0

необхідний результат:

(𝐹1(𝑥) − 𝐹2(𝑥)) − (𝐹1(𝑥0) − 𝐹2(𝑥0)) = (𝐹′1(𝑐) − 𝐹′

2(𝑐))(𝑥 − 𝑥0) = 0,

оскільки згідно з умовою 𝐹′1 ≡ 𝐹′

2.

Теорема 9.2. Для первісних справедливі співвідношення:

(а) лінійність:

∫(𝛼 𝑢(𝑥) + 𝛽 𝑣(𝑥))𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥;

(б) інтегрування по частинах:

∫ 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥;

(в) заміна змінної:

Якщо ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, то ∫ 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝜑(𝑡)) + 𝐶.

Доведення. Згідно з теоремою 9.1, достатньо довести рівність похідних

усіх співвідношень, що дає вже відомі співвідношення для похідних.

Зауваження 9.1. Для обчислення інтегралів зручно використовувати

формулу Лейбниця

𝑑𝑓( 𝑥) = 𝑓′( 𝑥) 𝑑𝑥,

яка дозволяє значно спростити обчислення інтегралів, оскільки вона значно

скорочує формули теореми 9.2.

Неформальний її сенс полягає у тому, що похідна 𝑓′( 𝑥) є відношенням

«нескінченно малого» приросту функції до «нескінченно малого» приросту

аргументу.

З використанням формули Лейбниця теорема 9.1 має вигляд:

(б) інтегрування по частинах:

∫ 𝑣𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢𝑑𝑣;

(в) заміна змінної:

Якщо ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶, то ∫ 𝑓(𝜑) 𝑑𝜑 = 𝐹(𝜑) + 𝐶,

тобто має вигляд очевидної тотожності.

26

§10. Визначений інтеграл Рімана.

Визначення 10.1. Якщо функція 𝑓( 𝑥) визначена на відрізку [𝑎, 𝑏] , на

якому зроблене розбиття на відрізки: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 з

відміченими точками: 𝜉𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], то сума

𝑆𝑓𝑥𝜉 = ∑ 𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

називається інтегральною сумою для функції 𝑓( 𝑥), що відповідає розбиттю

{𝑥𝑖} з відміченими точками {𝜉𝑖}.

Якщо розглядаються різні відрізки, то інтегральну суму позначаємо

𝑆𝑓𝑥𝜉[𝑎,𝑏].

Визначення 10.2. Число ℐ називається визначеним інтегралом Рімана від

функції 𝑓( 𝑥) на відрізку [𝑎, 𝑏], якщо

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀{𝑥𝑖} (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 𝛿 |ℐ − 𝑆𝑓𝑥𝜉| < 휀,

Позначення: ℐ = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥.

Теорема 10.1 (необхідна умова інтегровності). Якщо функція 𝑓( 𝑥) є

інтегровною на відрізку [𝑎, 𝑏], то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Нехай {𝑥𝑖} – довільне розбиття відрізку [𝑎, 𝑏], [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] –

відрізок, на якому функція нескінченна. Тоді 𝜉𝑖 можливо вибрати так, що

величина 𝑓(𝜉𝑖) буде більше любого наперед заданого числа і те ж буде вірно

для всієї інтегральної суми 𝑆𝑓𝑥𝜉 . Отже нерівність |ℐ − 𝑆𝑓𝑥𝜉| < 휀 для любого

наперед заданого 휀 неможлива.

Теорема 10.2 (критерій інтегровності). Функція 𝑓( 𝑥) є інтегровною на

відрізку [𝑎, 𝑏] якщо і тільки якщо

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀{𝑥𝑖} (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 𝛿 ∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

< 휀,

де 𝑀𝑖 = sup[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]

𝑓( 𝑥), 𝑚𝑖 = inf[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]

𝑓( 𝑥).

Лема 10.2. Існує число ℐ𝑓 , що для довільних способів розбиття

27

{𝑥𝑖} , {𝑥𝑖′} відрізку [𝑎, 𝑏]

∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ℐ𝑓 ≤ ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Доведення. Розглянемо розбиття {𝑥𝑖′′} , що утворюється точками

{𝑥𝑖} , {𝑥𝑖′}. Для нього є вірними нерівності:

∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖′′ − 𝑥𝑖−1

′′ ) ≤ ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖′′ − 𝑥𝑖−1

′′ )

≤ ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖′ − 𝑥𝑖−1

′ ),

оскільки при додаванні точок до розбиття сума ∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) може тільки

зростати, а сума ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖′ − 𝑥𝑖−1

′ ) – тільки зменшуватися.

Використовуючи аксіому неперервності до множин значень ∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 −

𝑥𝑖−1) і ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖′ − 𝑥𝑖−1

′ ), отримаєм існування ℐ𝑓 .

Доведення. Достатність. Ми маємо нерівність

∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ∑ 𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1),

а також згідно з лемою 10.2.1

∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ∑ ℐ𝑓(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1),

отже

|ℐ𝑓 − 𝑆𝑓𝑥𝜉| ≤ ∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 휀.

𝑛

𝑖=1

Доведення. Необхідність. Функція 𝑓( 𝑥) є інтегровною, отже

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀{𝑥𝑖} (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 𝛿

ℐ − 휀 ≤ ∑ 𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ ℐ + 휀.

Згідно з визначенням 𝑠𝑢𝑝 і 𝑖𝑛𝑓 ∀휀 > 0 маємо нерівності

𝑓(𝜉𝑖) > 𝑀𝑖 − 휀, 𝑓(𝜉𝑖′) < 𝑚𝑖 + 휀,

які після множення їх на (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) і підсумування дають

28

∑ 𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) > ∑ 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) − 휀(𝑏 − 𝑎),

∑ 𝑓(𝜉𝑖′)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < ∑ 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) + 휀(𝑏 − 𝑎).

Різниця між цими нерівностями дає остаточну нерівність, яка завершує

доведення:

∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < |𝑆𝑓𝑥𝜉 − 𝑆′𝑓𝑥𝜉| + 2휀(𝑏 − 𝑎) < 2휀 + 2휀(𝑏 − 𝑎).

𝑛

𝑖=1

Визначення 10.1. Функція 𝑓( 𝑥) називається рівномірно неперервною,

якщо

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥1, 𝑥2 |𝑥1 − 𝑥2| < 𝛿 |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)| < 휀.

Для порівняння нагадуємо

Визначення 10.2. Функція 𝑓( 𝑥) називається неперервною в точці 𝑥0 ,

якщо

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)| < 휀.

Зауваження 10.1. Визначення 10.1 і 10.2 відрізняються тільки тим, що

в визначеності неперервності точка 𝑥0 є фіксованою. Отже з рівномірної

неперервності витікає неперервність, але не навпаки.

Теорема 10.3. Неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏] функція 𝑓( 𝑥) є інтегровною.

Лема 10.2. Неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏] функція 𝑓( 𝑥) є рівномірно

неперервною.

Доведення від протилежного. Нехай функція 𝑓( 𝑥) є неперервною, але

не рівномірно неперервною. Тоді (див. також доведення теореми 5.1.

(Гейне)⟹(Коші))

∃휀 > 0 ∀𝛿 > 0 ∃𝑥1, 𝑥2 |𝑥1 − 𝑥2| < 𝛿 |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)| ≥ 휀.

Розділимо відрізок [𝑎, 𝑏] навпіл і виберемо ту половину, в якій ця умова

не виконується, і далі нескінченно продовжуємо цей процес. Ми отримаємо

спільну для всіх відрізків точку 𝑐. З умови неперервності функції 𝑓( 𝑥)

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| < 휀,

неможливо разом з умовою

29

∃휀 > 0 ∀𝛿 > 0 ∃𝑥1, 𝑥2 |𝑥1 − 𝑥2| < 𝛿 |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)| ≥ 휀.

Отже лема доведена, тобто з умови теореми витікає, що функція

𝑓( 𝑥) рівномірно неперервна.

Для довільного 휀 візьмемо таке розбиття відрізка [𝑎, 𝑏], щоб якщо

|𝑥1 − 𝑥2| < 𝛿, то |𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)| < 휀. Тоді

∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 휀 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) =

𝑛

𝑖=1

휀(𝑏 − 𝑎)

𝑛

𝑖=1

і згідно критерію теореми 10.2 неперервна функція є інтегровною.

Висновок 10.1. Функція, що має на відрізку [𝑎, 𝑏] скінченну кількість

точок розриву, є інтегровною.

Доведення. Достатньо довести твердження для однієї точки розриву.

Нехай точка розриву є 𝑐 ∈ [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘]. Сума з критерію має вигляд:

∑ (𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1,𝑖≠𝑘

+ (𝑀𝑘 − 𝑚𝑘)(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1).

Перша сума мала, оскільки вона отримана на множині, на якій функція

неперервна, а друга мала, оскільки різниця 𝑀𝑘 − 𝑚𝑘 обмежена, а 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1

може бути взята як завгодно малою.

Теорема 10.3. Монотонна на відрізку [𝑎, 𝑏] функція 𝑓( 𝑥) є інтегровною.

Доведення. Нехай |𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1| < 𝛿, тоді

∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 𝛿 ∑(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖) = 𝛿|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)|,

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

тобто може бути як завгодно малою.

§11. Властивості визначеного інтегралу.

Теорема 11.1 (лінійність). Якщо функції 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) інтегровні на відрізку

[𝑎, 𝑏], то функція 𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽 𝑔(𝑥), 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, також інтегровна і

30

∫ (𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥𝑏

𝑎

.

Доведення. Для довільного розбиття

𝛼𝑆𝑓𝑥𝜉 + 𝛽𝑆𝑔𝑥𝜉 = 𝑆(𝛼𝑓+𝛽 𝑔)𝑥𝜉 ,

і необхідно перейти до границі.

Теорема 11.2 (адитивність). Якщо функція 𝑓(𝑥) інтегровна на відрізку

[𝑎, 𝑏] ∋ 𝑐, то вона також інтегровна на відрізках [𝑎, 𝑐], [𝑐, 𝑏] і при цьому

∫ 𝑓(𝑥)𝑐

𝑎

𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑐

𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥.

Доведення. Сума ∑ (𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑛𝑖=1 може буди яв завгодно

малою на відрізку [𝑎, 𝑏], це тим більш вірно для відрізків [𝑎, 𝑐], [𝑐, 𝑏], отже

функція інтегровна на них також, а значить, при розбитті без обмеження

загальності можливо завжди вибирати точку 𝑐. Маємо

𝑆𝑓𝑥𝜉[𝑎,𝑐] + 𝑆𝑓𝑥𝜉[𝑐,𝑏] = 𝑆𝑓𝑥𝜉[𝑎,𝑏]

і переходимо до границі.

Теорема 11.3 (монотонність). Якщо функції 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) інтегровні на

відрізку [𝑎, 𝑏] і 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), то

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥.

Доведення витікає з очевидної нерівності 𝑆𝑓𝑥𝜉 ≤ 𝑆𝑔𝑥𝜉 .

Висновок 11.1. Якщо функція 𝑓(𝑥) інтегровна на відрізку [𝑎, 𝑏] і 𝑚 ≤

𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, то

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎).

Висновок 11.2. Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏], то існує

точка 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], для якої ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎).

Доведення. З висновку 11.1 маємо

31

𝑖𝑛𝑓𝑓(𝑥) ≤1

𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ sup 𝑓(𝑥),

а оскільки неперервна функція приймає всі значення між 𝑖𝑛𝑓𝑓(𝑥) і sup 𝑓(𝑥) , то

ми отримуємо необхідну формулу.

Теорема 11.4. Якщо функція 𝑓(𝑥) неперервна, а 𝑔(𝑥) > 0 – інтегровна

на відрізку [𝑎, 𝑏], то існує точка 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], для якої

∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥.

Доведення. Позначимо 𝑚 = 𝑖𝑛𝑓𝑓(𝑥), 𝑀 = sup 𝑓(𝑥) на відрізку [𝑎, 𝑏].

𝑚𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ≤ 𝑀𝑔(𝑥)

і із критерія (теорема 10.2) разом з рівномірною неперервністю 𝑓(𝑥) маємо

інтегровність 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Із теореми 1.3

𝑚 ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀 ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ⟹

𝑚 ≤1

∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀,

і із неперервності 𝑓(𝑥) отримуємо необхідне.

Теорема 11.5. (формула Ньютона-Лейбниця). Якщо функція 𝑓(𝑥)

неперервна на відрізку [𝑎, 𝑏], 𝐹(𝑥) – первісна для функції 𝑓(𝑥), то

(∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡)

′

= 𝑓(𝑥),

зокрема

∫ 𝑓(𝑡)𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

Доведення. Запишемо умову диференційовності функції ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎𝑑𝑡.

∫ 𝑓(𝑡)𝑥+ℎ

𝑎

𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ,

32

де 𝛼 нескінченно мала. Із властивостей визначеного інтегралу витікає, що

∫ 𝑓(𝑡)𝑥+ℎ

𝑥

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)ℎ + 𝛼ℎ ⟺ ∫ (𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥))𝑥+ℎ

𝑥

𝑑𝑡 = 𝛼ℎ,

і це вірне, оскільки функція 𝑓(𝑥) неперервна і 𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥) є нескінченно

малою, якщо ℎ → 0.

Всі первісні відрізняються константою (теорема 9.1), отже

∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) + 𝐶.

Підставляючи 𝑥 = 𝑎, маємо 𝐶 = −𝐹(𝑎) і наостанок підставляємо 𝑥 = 𝑏.

§12. Формула Тейлора.

Теорема 12.1. Якщо функція 𝑓(𝑡) на відрізку [𝑎, 𝑏] має неперервні похідні

до порядку 𝑛 + 1 включно, то справедлива формула Тейлора

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +

𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑟𝑛,

де згідно з поданням Коші

𝑟𝑛 =1

𝑛!∫ 𝑓(𝑛+1)(𝑡)

𝑥

𝑎

(𝑥 − 𝑡)𝑛 𝑑𝑡.

Доведення. Застосуємо формулу інтегрування по частинах.

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = ∫ 𝑓′(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = − ∫ 𝑓′(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡) = −𝑓′(𝑡)(𝑥 − 𝑡)|𝑎𝑥 +

∫ 𝑓′′(𝑡)𝑥

𝑎

(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) −1

2!∫ 𝑓′′(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡)2 =

𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) −𝑓′′(𝑡)

2!(𝑥 − 𝑡)2|𝑎

𝑥 −1

3!∫ 𝑓′′′(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡)3 =

𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 +

𝑓′′′(𝑎)

3!(𝑥 − 𝑎)3 −

1

4!∫ 𝑓(4)(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡)4 =

33

𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)+. . +𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 −

1

(𝑛 + 1)!∫ 𝑓(𝑛+1)(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡)𝑛+1.

Висновок 12.1 (Лагранж). В умовах теореми 12.1 існує точка 𝑐, для якої

𝑟𝑛 =𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1.

Доведення. Згідно з теоремою11.4

1

(𝑛 + 1)!∫ 𝑓(𝑛+1)(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑(𝑥 − 𝑡)𝑛+1𝑑𝑡 =1

𝑛!∫ 𝑓(𝑛+1)(𝑡)

𝑥

𝑎

(𝑥 − 𝑡)𝑛𝑑𝑡 =

𝑓(𝑛+1)(𝑐)

𝑛!∫ (𝑥 − 𝑡)𝑛

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 =𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1.

Висновок 12.2 (Пеано). В умовах теореми 12.1

𝑟𝑛 = 𝑜((𝑥 − 𝑎)𝑛).

§13. Степеневі ряди.

Теорема 13.1. Із обмеженої послідовності {𝑎𝑛} завжди можна вибрати

підпослідовність {𝑎𝑛𝑘}, що збігається.

Доведення. Розділимо відрізок, що містить у собі послідовність навпіл і

виберемо ту половину, в якій знаходиться нескінченна множина членів

послідовностей і візьмемо в ній перший елемент підпослідовності 𝑎𝑛1. Далі

знову розділимо отриманий відрізок, виберемо знову половину з нескінченою

множиною членів послідовності і візьмемо в ній елемент 𝑎𝑛2 такий, щоб 𝑛1 <

𝑛2. Нескінченно продовжим процес. Єдина спільна точка всіх вибраних

відрізків буде границею послідовності {𝑎𝑛𝑘}.

Теорема 13.2 (критерій Коші для послідовності).

Послідовність збігається якщо і тільки якщо

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛, 𝑚 > 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| < 휀.

34

Доведення (необхідність). Якщо послідовність має границю, то

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝐴| < 휀.

Беремо також довільне 𝑚 > 𝑁 і маємо

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑚 > 𝑁 |𝑎𝑚 − 𝐴| < 휀,

а разом

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛, 𝑚 > 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| ≤ |𝑎𝑛 − 𝐴| + |𝑎𝑚 − 𝐴| < 2 휀.

Доведення (достатність). Із умови

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛, 𝑚 >. 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| < 휀,

фіксуючи 𝑎𝑚 , доводимо обмеженість послідовності, отже з неї можна вибрати

підпослідовність {𝑎𝑛𝑘}, що має границю 𝐴, тобто

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛𝑘 > 𝑁 |𝑎𝑛𝑘− 𝐴| < 휀.

Ця умова разом з

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛𝑘, 𝑚 > 𝑁 |𝑎𝑛𝑘− 𝑎𝑚| < 휀

дають

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑚 > 𝑁 |𝑎𝑚 − 𝐴| ≤ |𝑎𝑛𝑘− 𝑎𝑚| + |𝑎𝑛𝑘

− 𝐴| < 2 휀.

Визначення 13.1. Сума

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

називається рядом. Сумою 𝑆 ряду будемо називати границю часткових сум

𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑘,

𝑛

𝑘=1

𝑆 = lim𝑛→∞

𝑆𝑛.

Висновок 13.1 (критерій Коші для ряду). Ряд збігається якщо і тільки

якщо

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁, ∀ 𝑝 ∈ ℕ ∑ 𝑎𝑘

𝑛+𝑝

𝑘=𝑛

< 휀.

35

Визначення 13.2. Ряд

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

називається степеневим.

Приклад 13.1. Сума нескінченої геометричної прогресії.

𝑆𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛,

𝑥𝑆𝑛 = 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛+1,

𝑆𝑛 − 𝑥𝑆𝑛 = 1 − 𝑥𝑛+1 ⟹ 𝑆𝑛 =1 − 𝑥𝑛+1

1 − 𝑥 ⟹ 𝑆 = lim

𝑛→∞𝑆𝑛 =

1

1 − 𝑥.

Теорема 13.3 (мажорантна ознака збіжності ряду). Нехай члени

рядів 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 такі, що |𝑎𝑛| ≤ 𝑏𝑛, 𝑏𝑛 > 0. Тоді із збіжності ряду

∑ 𝑏𝑛 ∞𝑛=0 витікає збіжність ряду ∑ 𝑎𝑛 .∞

𝑛=0

Доведення є наслідком критерія Коші і нерівності

|∑ 𝑎𝑘

𝑛+𝑝

𝑘=𝑛

| ≤ ∑|𝑎𝑘| ≤ ∑ 𝑏𝑘 .

𝑛+𝑝

𝑘=𝑛

𝑛+𝑝

𝑘=𝑛

Теорема 13.4 (ознака Коші збіжності ряду). Нехай існує границя

lim𝑛→∞

√𝑎𝑛𝑛 = 𝑅−1, тоді ряд ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 збігається, якщо |𝑥| < 𝑅, і

розбігається, якщо |𝑥| > 𝑅.

Доведення. Нехай |𝑥| < 𝑅′ < 𝑅 і згідно з умовою √𝑎𝑛𝑛 < 𝑅−1 + 휀 =

1+ 𝑅

𝑅

для любого позитивного 휀. Виходячи з цього, маємо

|𝑎𝑛𝑥𝑛| < (1 + 휀𝑅)𝑛 (𝑅′

𝑅)

𝑛

= 𝛼𝑛, 𝛼 = (1 + 휀𝑅)𝑅′

𝑅.

Оскільки 휀 ми можемо вибрати як завгодно малим, то можна

вважати, що 0 < 𝛼 < 1, отже, починаючи з деякого номеру, 𝛼𝑛 стає

мажорантою ряду 𝑎𝑛𝑥𝑛 (приклад 13.1), який, таким чином, збігається.

Аналогічно доводиться розбіжність при |𝑥| > 𝑅′ > 𝑅.

√𝑎𝑛𝑛 > 𝑅−1 − 휀 =

1 − 휀𝑅

𝑅,

36

|𝑎𝑛𝑥𝑛| > (1 − 휀𝑅)𝑛 (𝑅′

𝑅)

𝑛

= 𝛽𝑛, 𝛽 = (1 − 휀𝑅)𝑅′

𝑅> 1.

Теорема 13.5 (ознака Д’аламбера збіжності ряду). Нехай існує

границя lim𝑛→∞

|𝑎𝑛|

|𝑎𝑛+1|= 𝑅, тоді ряд ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 збігається, якщо |𝑥| < 𝑅, і

розбігається, якщо |𝑥| > 𝑅.

Доведення. Нехай |𝑥| < 𝑅′ < 𝑅 і згідно з умовою і, починаючи з деякого

номера,

|𝑎𝑁+𝑘−1|

|𝑎𝑁+𝑘|> 𝑅 − 휀 ⟹ |𝑎𝑁+𝑘| <

|𝑎𝑁+𝑘+1|

𝑅 − 휀 ⟹

|𝑎𝑁+𝑘| <|𝑎𝑁+𝑘−1|

𝑅 − 휀<

|𝑎𝑁+𝑘−2|

(𝑅 − 휀)2< ⋯ <

|𝑎𝑁|

(𝑅 − 휀)𝑘 ⟹

|𝑎𝑁+𝑘||𝑥|𝑁+𝑘 < |𝑎𝑁|(𝑅′)𝑁 (𝑅′

𝑅 − 휀)

𝑘

.

Можна вважати, що 𝑅′

𝑅−< 1, а це означає, що ми маємо мажоранту, яка

збігається.

Доведення другої частини теореми аналогічне.

Визначення 18.1.

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+ ⋯,

𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7!+

𝑥9

9!− ⋯,

𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1 −𝑥2

2!+

𝑥4

4!−

𝑥6

6!+

𝑥8

8!− ⋯,

𝑙𝑛(1 + 𝑥) = 𝑥 −𝑥2

2+

𝑥3

3−

𝑥4

4+ ⋯,

(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼𝑥 +𝛼(𝛼 − 1)

2!𝑥2 +

𝛼(𝛼 − 1)(𝛼 − 2)

3!𝑥3 + ⋯

Теорема 13.6. Степеневі ряди функцій 𝑒𝑥, 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑐𝑜𝑠(𝑥) збігаються

для довільного аргументу, функцій 𝑙𝑛(1 + 𝑥), (1 + 𝑥)𝛼 – для |𝑥| < 1.

Доведення. Необхідно застосувати ознаку Д’аламбера.

37

Теорема 13.7. Для елементарних функцій справедливі співвідношення:

(а) 𝑒𝑥:

(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥, 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 𝑒𝑦 .

(б) 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑐𝑜𝑠(𝑥):

(𝑠𝑖𝑛(𝑥))′

= 𝑐𝑜𝑠(𝑥), (𝑐𝑜𝑠(𝑥))′

= −𝑠𝑖𝑛(𝑥), (𝑠𝑖𝑛(𝑥))2

+ (𝑐𝑜𝑠(𝑥))2

= 1,

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) + 𝑠𝑖𝑛(𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑥),

𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑦) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑦).

(в) 𝑙𝑛(𝑥):

(𝑙𝑛(𝑥))′

=1

𝑥, 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥.

(г) (1 + 𝑥)𝛼:

( (1 + 𝑥)𝛼)′ = 𝛼 (1 + 𝑥)𝛼−1.

Доведення. Формули диференціювання доводяться для часткових сум і

переходом до границі. У випадку логарифму при диференціюванні

отримується геометрична прогресія.

Знайдемо похідну по 𝑥:

(𝑒𝑥+𝑦

𝑒𝑥)

′

≡ 0 ⟹ 𝑒𝑥+𝑦

𝑒𝑥≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

і визначимо константу підставляючи 𝑥 = 0.

((𝑐𝑜𝑠(𝑥))2

+ (𝑠𝑖𝑛(𝑥))2

)′

≡ 0,

отже (𝑐𝑜𝑠(𝑥))2

+ (𝑠𝑖𝑛(𝑥))2

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, але 𝑐𝑜𝑠(0) = 1, 𝑠𝑖𝑛(0) = 0.

(𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥))′

≡ 0,

при 𝑥 = 0 маємо: 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎) і заміняємо

𝑎 − 𝑥 на 𝑦. Похідна по 𝑥 отриманої тотожності дає останню формулу.

Доведемо, що 𝑦 = 𝑒𝑥 і , 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥 є взаємно обернені функції.

(𝑒𝑙𝑛(𝑥)

𝑥)

′

≡ 0 ⟹𝑒𝑙𝑛(𝑥)

𝑥≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

і визначимо константу підставляючи 𝑥 = 1.

39

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Вивчення курсу вищої математики обов’язково потребує крім розбору

теоретичної частини також і оволодіння вмінням розв’язання практичних

задач. Деякі з них є досить стандартними, але є і такі, що потребують творчого

мислення. Але навіть стандартні задачі можуть мати не єдиний спосіб їх

розв’язання.

Ціль даного розділу дати допомогу в цій важливій частині засвоєння

курсу. Виходячи з такої мети, розділ не є набором практичних занять, але

набором тем з прикладами і порадами.

На відміну від теоретичної частини в викладанні практичних задач ми

не намагаємся обов’язково розглядати методи розв’язання задач відповідно до

викладеного матеріалу лекцій. Вважаємо, що маємо свободу використовувати,

наприклад, формули Тейлора для розв’язання задач на знаходження границь,

хоч існує традиція використовувати досить багато прийомів з тим, щоб

обійтися лише основними класичними границями, що відповідає лише одному

або двом членам ряду Тейлора. Також не бачимо проблеми використовувати

правило Лопіталя до теми похідної.

Такий підхід дає більше можливостей для вибору найбільш ефективного

методу розв’язання задач, тим більше, що намагання активно використовувати

на початку курсу шкільні знання не є досить добре. Не має секрету в тому, що

шкільні знання основуються не на вмінні довести відомі математичні факти, а

виключно на авторитеті шкільного вчителя. Безумовно, що ці знання можливо

використовувати, але необхідно при цьому нагадувати, що всі ці знання не

підкріплені доведеннями або аксіомами. А найкраще ці не доведені факти

доводити заново. Найбільше це відноситься до фактів геометрії, які дуже

корисно передоводити методами аналітичної геометрії, мотивуючи це тим, що

система аксіом Евкліда є само по собі неповною, так ще й неповно викладеною

в шкільному курсі.

Нумерацію визначень, теорем тощо курсу лекцій ми зберігаємо.

40

Додавання графіків.

xxy

1

41

Множення графіків

xxy sin

42

Ділення графіків.

§1. Границя послідовності і функції.

Очевидно, що починати знаходження границь треба з використання

визначення границі, а вже потім використовувати теореми про властивості

границь та функцій.

Знаходження границі по визначенню.

Визначення 3.3. Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею послідовності 𝑎𝑛 ,

якщо

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑛 − 𝐴| < 휀.

Приклад 1.1. Знайти границю 𝑎𝑛 = 1.

Вважаємо, 𝐴 = 1. Тоді |𝑎𝑛 − 𝐴| = |1 − 1| = 0 < 휀. Нерівність з

визначення вірна завжди, отже lim𝑛→∞

1 = 1.

Приклад 1.2. Знайти границю 𝑎𝑛 =1

𝑛.

Вважаємо, 𝐴 = 0. Тоді

|𝑎𝑛 − 𝐴| = |1

𝑛− 0| =

1

𝑛< 휀 ⟺ 𝑛 >

1

휀.

3

12

2 xy

3

12

1

2

x

y

43

Отже, починаючи с номера більшого, ніж 1, необхідна нерівність

виконується.

Приклад 1.3. Знайти границю 𝑎𝑛 = (−1)𝑛.

Доведемо відсутність границі. Оскільки після довільного 𝑁

послідовність містить значення 1 та -1 необхідно, щоб вони належали околу як

завгодно малого розміру. Але це неможливо.

Приклад 1.4. Знайти границю lim𝑛→∞

𝑠𝑖𝑛(𝑛).

Доведемо що границі не існує за допомогою критерія Коші.

∀휀 > 0 ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑚, 𝑛 > 𝑁 |𝑎𝑚 − 𝑎𝑛| < 휀.

Візьмемо 𝑚 = 𝑘 − 1, 𝑛 = 𝑘 + 1. Нерівність має вигляд:

|𝑠𝑖𝑛(𝑚) − 𝑠𝑖𝑛(𝑛)| = 2|𝑐𝑜𝑠(𝑘)𝑠𝑖𝑛(1)| < 휀.

Отже для існування lim𝑛→∞

𝑠𝑖𝑛(𝑛) необхідно, щоб lim𝑛→∞

𝑐𝑜𝑠(𝑛) = 0.

Знову застосуємо критерій Коші для таких же 𝑚, 𝑛.

|𝑐𝑜𝑠(𝑚) − 𝑐𝑜𝑠(𝑛)| = 2|𝑠𝑖𝑛(𝑘)𝑠𝑖𝑛(1)| < 휀.

Отже, lim𝑛→∞

𝑠𝑖𝑛(𝑛) = 0. Ми маємо очевидне протиріччя.

Визначення 5.1 (Коші). Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею числової


∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 휀.

Приклад 1.5. Знайти границю lim𝑥→𝑥0

𝑥.

Вважаємо, 𝐴 = 𝑥0. Тоді необхідно щоб |𝑥 − 𝑥0| < 휀 при умові 0 <

|𝑥 − 𝑥0| < 𝛿, де 𝛿 ми обираємо самі. Візьмемо 𝛿 = 휀 необхідна нерівність

буде виконана. Отже, lim𝑥→𝑥0

𝑥 = 𝑥0.

Приклад 1.6. Знайти границю lim𝑥→𝑥0

𝑥2.

lim𝑥→𝑥0

𝑥2 = lim𝑥→𝑥0

𝑥 ∙ lim𝑥→𝑥0

𝑥 = 𝑥02, згідно з попереднім прикладом.

Визначення 5.3 (Гейне). Число 𝐴 ∈ ℝ називається границею числової


∀{𝑥𝑛 ≠ 𝑥0} 𝑥𝑛 → 𝑥0 𝑓(𝑥𝑛) → 𝐴.

44

Приклад 1.7. Знайти границю lim𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥) .

𝑥𝑛 =1

𝜋𝑛, lim

𝑛→∞𝑥𝑛 = 0, lim

𝑛→∞𝑓(𝑥𝑛) = 0,

𝑥𝑛 =1

2𝜋𝑛 +𝜋2

, lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 0, lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑛) = 1,

Отже, згідно з визначенням Гейне границі не існує.

Знаходження границі за допомогою формули Тейлора.

Зміст формули Тейлора полягає у тому, що для диференційовна функція

може бути наближена в околі фіксованої точки з будь якою точністю за

допомогою полінома. Це і дає можливість при знаходженні границь заміняти,

якщо це можливо згідно з умовами задачі, дану функцію поліномом, після чого

ніяких труднощів вже бути не може.

Приклад 1.8. Знайти границю

lim𝑥→0

√1 + 𝑡𝑔(𝑥) − √1 + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑥3.

√1 + 𝑡𝑔(𝑥) − √1 + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑥3=

𝑡𝑔(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑥3 (√1 + 𝑡𝑔(𝑥) + √1 + 𝑠𝑖𝑛(𝑥))~

Якщо 𝑎(𝑥) → 𝑎, то функції 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) і 𝑎𝑏(𝑥) мають однакові границі.

Позначення: 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥)~𝑎𝑏(𝑥).

~𝑡𝑔(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

2 𝑥3=

𝑠𝑖𝑛(𝑥) (1

𝑐𝑜𝑠(𝑥)− 1)

2 𝑥3~

Якщо множник замінити на перший член ряду Тейлора, то границя

функції не зміниться. Така заміна також позначається ~

{𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑥 + ⋯ , 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) =𝑥2

2+ ⋯ }

~(

1𝑐𝑜𝑠(𝑥)

− 1)

2 𝑥2=

1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

2 𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥)~

1

4.

45


lim𝑥→0

√𝑐𝑜𝑠(𝑥) − √𝑐𝑜𝑠(𝑥)3

𝑥2

{𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1 −𝑥2

2+ 𝛼𝑥2, 𝛼 → 0 }

√𝑐𝑜𝑠(𝑥) − √𝑐𝑜𝑠(𝑥)3

𝑥2=

(1 −𝑥2

2+ 𝛼𝑥2)

12

− (1 −𝑥2

2+ 𝛼𝑥2)

13

𝑥2=

{(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝛽(𝑛)𝑥, 𝛽(𝑛) → 0 }

=

12 (−

𝑥2

2+ 𝛼𝑥2) + 𝛽1 (−

𝑥2

2+ 𝛼𝑥2) −

13 (−

𝑥2

2+ 𝛼𝑥2) + 𝛽2 (−

𝑥2

2+ 𝛼𝑥2)

𝑥2~

~ (−1

4+

1

6) = −

1

12.


lim𝑥→0

𝑡𝑔(𝑎 + 𝑥)𝑡𝑔(𝑎 − 𝑥) − 𝑡𝑔2𝑥

𝑥2

{𝑡𝑔(𝑎 + 𝑥) = 𝑡𝑔(𝑎) +𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑎+

𝑥2𝑠𝑖𝑛(𝑎)

2𝑐𝑜𝑠2𝑎+ 𝛽1𝑥3, 𝛽1 → 0 }

{𝑡𝑔(𝑎 − 𝑥) = 𝑡𝑔(𝑎) −𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑎−

𝑥2𝑠𝑖𝑛(𝑎)

2𝑐𝑜𝑠2𝑎+ 𝛽2𝑥3, 𝛽2 → 0 }

𝑡𝑔(𝑎 + 𝑥)𝑡𝑔(𝑎 − 𝑥) − 𝑡𝑔2𝑥

𝑥2=

(𝑡𝑔(𝑎) +𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑎+

𝑥2𝑠𝑖𝑛(𝑎)2𝑐𝑜𝑠2𝑎

+ 𝛽1𝑥3) (𝑡𝑔(𝑎) −𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑎−

𝑥2𝑠𝑖𝑛(𝑎)2𝑐𝑜𝑠2𝑎

+ 𝛽2𝑥3) − 𝑡𝑔2𝑎

𝑥2~

~ −1

𝑐𝑜𝑠4𝑎.

Знаходження границі за допомогою правила Лопіталя.

В тих випадках, коли неможливо застосувати формулу Тейлора, може

допомогти правило Лопіталя


46

lim𝑥→1

𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥𝛼)

𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥𝛽)

lim𝑥→1

𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥𝛼)

𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥𝛽)= lim

𝑥→1

𝛼𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥𝛼)𝑥𝛼−1

𝛽𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥𝛽)𝑥𝛽−1=

𝛼

𝛽.

Відповідь коректна лише тоді, коли остання границя існує.


lim𝑥→0

𝑒−

1𝑥2

𝑥𝑛, 𝑛 > 1.

lim𝑥→0

𝑒−

1𝑥2

𝑥𝑛= lim

𝑥→0

𝑥−𝑛

𝑒1

𝑥2

= lim𝑥→0

−𝑛𝑥−𝑛−1

−2𝑥3 𝑒

1𝑥2

= lim𝑥→0

𝑛𝑥−𝑛+2

2𝑒1

𝑥2

= ⋯ = 0.

§2. Похідна.

Елементарні функції мають такі похідні:

1) (𝑥𝛼)′ = 𝛼𝑥𝛼−1, 𝛼 ∈ ℝ; 2) (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥;

3) (𝑠𝑖𝑛(𝑥))′

= 𝑐𝑜𝑠(𝑥);

4) (𝑐𝑜𝑠(𝑥))′

= −𝑠𝑖𝑛(𝑥);

5) (𝑡𝑔(𝑥))′

=1

𝑐𝑜𝑠2𝑥;

6) (𝑐𝑡𝑔(𝑥))′

= −1

𝑠𝑖𝑛2𝑥;

7) (𝑙𝑛(𝑥))′

=1

𝑥;

8) (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥))′

=1

√1−𝑥2;

9) (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥))′

= −1

√1−𝑥2;

10) (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥))′

=1

1+𝑥2;

11) (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥))′

= −1

1+𝑥2;

Похідна любої функції від елементарної функції знаходиться за

допомогою відомих її властивостей. Як правило труднощі в такому випадку

можуть бути виключно пов’язані з громіздкістю викладок. Отже наведемо

47

лише один приклад, який іноді може складати труднощі, во він вимагає

застосування неочевидного прийому.

Знаходження похідної на основі арифметичних властивостей.

Приклад 2.1. Знайти похідну функції 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′

= (𝑒𝑔(𝑥)𝑙𝑛(𝑓(𝑥)))′

= 𝑒𝑔(𝑥)𝑙𝑛(𝑓(𝑥)) (𝑔(𝑥)𝑙𝑛(𝑓(𝑥)))′

=

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ((𝑔(𝑥))′𝑙𝑛(𝑓(𝑥)) + 𝑔(𝑥)

(𝑓(𝑥))′

𝑓(𝑥)).

Два других приклади вимагають заходження похідної за визначенням.

Знаходження похідної по визначенню.

Приклад 2.2. Знайти похідну в точці 0 функції

𝑓(𝑥) = {𝑥𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥) , 𝑥 ≠ 0

𝑥, 𝑥 = 0

Перевіримо спочатку функцію на неперервність. Границя функції в

точці 0 дорівнює 0, оскільки в околі нуля вона є добутком нескінченно малої і

обмеженої. Похідна не існує, тому що (див. приклад 1.7)

(𝑓(𝑥))′

= lim𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥) .

Приклад 2.3. Знайти похідну в точці 0 функції

𝑓(𝑥) = {𝑥2𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥) , 𝑥 ≠ 0

𝑥, 𝑥 = 0

Функція неперервна на тих же засадах, що й в попередньому прикладі.

(𝑓(𝑥))′

= lim𝑥→0

𝑥𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥) = 0.

48

Геометричний сенс похідної.

Визначення дотичної. Дотичною називається граничне положення

січної, одна з точок перетину січної з кривою фіксується, а друга –

наближається до першої.

Якщо ∆𝑥 → 0,

січна → дотична,

тангенс січної → тангенс дотичної,

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥→ 𝑓′(𝑥0),

тангенс січної = 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥 → 𝑓′(𝑥0) = тангенс дотичної.

Отже рівняння дотичної має вигляд:

𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0).

Механічний сенс похідної.

Нехай об’єкт рухається за законом 𝑆(𝑡), де 𝑆 – відстань, на яку

переміщується об’єкт за час 𝑡. Тоді середня швидкість з моменту 𝑡0 до

моменту 𝑡0 + ∆𝑡 дорівнює 𝑆(𝑡0+∆𝑡)−𝑆(𝑡0)

∆𝑡, яка тим точніше дає оцінку швидкості

в точці 𝑡0, чим менший проміжок часу ∆𝑡. Отже миттєва швидкість дорівнює

lim∆𝑡→0

𝑆(𝑡0+∆𝑡)−𝑆(𝑡0)

∆𝑡, тобто швидкість є похідна від відстані. Аналогічно,

прискорення є похідна від швидкості.

49

§3. Первісна (невизначений інтеграл).

Для обчислення первісної є не так багато можливостей. Крім лінійності

є лише інтегрування по частинах і заміна змінної. Є також найпростіші

приклади, які прийнято називати табличними:

1) ∫ 𝑥𝛼𝑑𝑥 =𝑥𝛼+1

𝛼+1+ 𝐶, 𝛼 ∈ ℝ;

2) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶;

3) ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶;

4) ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶;

5) ∫1

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶;

6) ∫1

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − 𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶;

7) ∫1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝐶;

8) ∫1

√1−𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶;

9) ∫1

1+𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶;

10) ∫1

𝑥2−1𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛 (|

𝑥−1

𝑥=1|) + 𝐶;

11) ∫1

√𝑥2±1𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 ± 1| + 𝐶;

Знаходження первісної за допомогою заміни змінної.

Це можна робити двома засобами: або зробити так, щоб під інтегралом

все було залежне від однієї якоїсь функції, або зразу зробити заміну, щоб

підінтегральна функція стала простішою.

І ми використовуємо «формулу» Лейбниця (див. зауваження 9.1):

𝑑𝑓(𝑥) = (𝑓(𝑥))′𝑑𝑥.

Приклад 3.1. Знайти первісну функції 1

𝑒𝑥+𝑒−𝑥.

∫1

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = ∫

𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 = ∫

1

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑒𝑥 = {𝑒𝑥 = 𝑦} =

50

∫1

𝑦2 + 1𝑑𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦) + 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒𝑥) + 𝐶.

Приклад 3.2. Знайти первісну функції √1 − 𝑥2.

∫ √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = {𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑦)} = ∫ √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑦 𝑑𝑠𝑖𝑛(𝑦) =

∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑑𝑦 =1

2∫(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑦))𝑑𝑦 =

1

2(𝑦 +

1

2𝑠𝑖𝑛(2𝑦)) + 𝐶 =

1

2(𝑦 +

𝑠𝑖𝑛(𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑦)

4) =

4 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑥√1 − 𝑥2

8+ 𝐶.

З найбільш відомих стандартних замін є підстановки Ейлера для

функцій 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐):

1) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (√𝑎𝑥 + 𝑦)2

, 𝑎 > 0;

2) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥𝑦 + √𝑐)2

, 𝑐 > 0;

3) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦(𝑥 − 𝑥1)2, 𝑎𝑥12 + 𝑏𝑥1 + 𝑐 = 0,

А також для раціональних функцій від 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑐𝑜𝑠(𝑥):

𝑠𝑖𝑛(𝑥) =2𝑡𝑔 (

𝑥2)

1 + 𝑡𝑔2 𝑥2

, 𝑐𝑜𝑠(𝑥) =1 − 𝑡𝑔2 𝑥

2

1 + 𝑡𝑔2 𝑥2

, 𝑑𝑥 =𝑑𝑡𝑔(𝑥)

1 + 𝑡𝑔2 𝑥2

Знаходження первісної інтегруванням по частинах.

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢.

Приклад 3.3. Знайти первісну функції 𝑙𝑛(𝑥).

∫ 𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥)𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑙𝑛(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥)𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥)𝑥 − 𝑥 + 𝐶.

Приклад 3.4. Знайти первісну функції 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥).

∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥𝑑𝑐𝑜𝑠(𝑥) = −𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 =

−𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶.

51

Знаходження первісної раціональної функції.

Довільна раціональна функція може бути представлена як лінійна

комбінація полінома і функцій 1

(𝑥−𝑎)𝑘,

1

(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑘, а самі ці функції є

інтегровними, хоч остання лише в рекурентному вигляді.

А саме: якщо 𝐼𝑘 =1

(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑘, то

𝐼𝑘 = ∫1

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘𝑑𝑥 =

𝑥

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘− ∫ 𝑥𝑑

1

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘

𝐼𝑘 −𝑥

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘= 𝑘 ∫

2𝑥2 + 𝑝𝑥

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘+1𝑑𝑥 =

2𝑘𝐼𝑘 − ∫𝑝𝑥 + 2𝑞

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘+1𝑑𝑥 =

2𝑘𝐼𝑘 −𝑝

2∫

2𝑥 + 𝑝

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘+1𝑑𝑥 +

𝑝2 + 4𝑞

2∫

1

(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘+1𝑑𝑥

Отже,

(2𝑘 − 1)𝐼𝑘 +2𝑥 − 𝑝

2(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘+

𝑝2 + 4𝑞

2𝐼𝑘+1 = 0

і інтегрування раціональних функцій зводиться до подання у зазначеному

вище вигляді.

Приклад 3.5. Представити у елементарному вигляді раціональну

функцію 1

𝑥5−𝑥4+𝑥3−𝑥2+𝑥−1.

1

𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1=

1

(𝑥 − 1)(𝑥4 + 𝑥2 + 1).

𝑥4 + 𝑥2 + 1 = (𝑥2 + 𝑝𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑞𝑥 + 1)

Таке подання повинне існувати згідно з теоремами алгебри. Далі

знаходимо 𝑝, 𝑞: 𝑝 + 𝑞 = 0, 𝑝𝑞 = −1 ⟹ 𝑝 = 1, 𝑞 = −1.

1

(𝑥 − 1)(𝑥4 + 𝑥2 + 1)=

𝐴

(𝑥 − 1)+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 𝑥 + 1+

𝐷𝑥 + 𝐸

𝑥2 − 𝑥 + 1,

52

1 = 𝐴(𝑥4 + 𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)

+(𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1),

1 = 𝐴(𝑥4 + 𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1)

+(𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥3 − 1),

Підставляючи 𝑥 = 1, маємо 𝐴 =1

3.

Коефіцієнт при 𝑥4: 𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 0.

Коефіцієнт при 𝑥3: 𝐶 − 2𝐵 + 𝐸 = 0.

Коефіцієнт при 𝑥1: 2𝐶 − 𝐵 − 𝐷 = 0.

Коефіцієнт при 𝑥0: 𝐴 − 𝐶 − 𝐸 = 1.

Складаючи коефіцієнти при 𝑥4 і 𝑥1, маємо 𝐶 = −1

6, складаючи

коефіцієнти при 𝑥3і 𝑥0, маємо 𝐵 =1

6, 𝐸 = 𝐴 − 𝐶 − 1 = −

1

2, 𝐷 = −𝐴 − 𝐵 = −

1

2

Диференційний біном.

∫ 𝑥𝑚(𝑎 + 𝑏𝑥𝑛)𝑝𝑑𝑥.

Цей інтеграл береться лише в трьох випадках: коли є цілою степінь 𝑝, в

цьому випадку 𝑥 = 𝑦𝑞 , так, щоб позбутися коренів; а двох других випадках

діє одна з двох підстановок 𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 = 𝑦𝑞 або 𝑎𝑥−𝑛 + 𝑏 = 𝑦𝑞 , і 𝑞 дорівнює

знаменнику 𝑝.

Приклад 3.6. Знайти первісну функції √𝑥

(1+ √𝑥3

)2.

∫√𝑥

(1 + √𝑥3

)2 𝑑𝑥 = {𝑥 = 𝑦6} = ∫

𝑦3

(1 + 𝑦2)2𝑑𝑦6.

Приклад 3.7. Знайти первісну функції √𝑥3 + 𝑥4

∫ √𝑥3 + 𝑥4𝑑𝑥 = ∫ 𝑥32√1 + 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2√𝑥−1 + 1𝑑𝑥.

53

{1 + 𝑥 = 𝑦2}

= ∫(𝑦2 − 1)32 𝑦 𝑑(𝑦2 − 1).

{𝑥−1 + 1 = 𝑦2}

= ∫(𝑦2 − 1)−2 𝑦 𝑑(𝑦2 − 1)−1.

В останньому випадку ми позбуваємся коренів в підінтегральному

виразі.

§4. Застосування визначеного інтегралу.

Геометричний сенс визначеного інтегралу.

Основний сенс визначеного інтегралу є площа під графіком функції, яку

називаємо криволінійною трапецією. Це витікає з того факту, що верхня

інтегральна сума є площа прямокутників, що покривають криволінійну

трапецією і вона завжди більша або дорівнює площі під графіком, а нижня

інтегральна сума – навпаки. З критерію інтегровності витикає, що різниця між

верхній і нижній сумами стає як завгодно малою при зменшенні ширини

прямокутників. Отже число, що знаходиться між значеннями верхньої і

нижньої інтегральних сум не може бути нічим іншим, як площею

криволінійної трапеції.

Але інтегральна сума може мати і інші геометричні або фізичні

інтерпретації, аналогічно тому, як мала різні інтерпретації похідна функції.

Перехід від інтегральної суми до визначеного інтегралу.

Частина задач на застосування визначеного інтегралу формулюється як

текстові і тоді необхідно складати інтегральну суму, а потім, виходячи з неї, і

інтеграл.

54

Приклад 4.1. Вивести формулу для обчислення об’єму фігури через

площі перерізів.

Нехай перерізи об’ємної фігури ортогональні осі абсцис і дорівнюють

𝑆(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Якщо перерізи 𝑆(𝑥𝑖) розділяють фігуру на шари товщиною

∆𝑥𝑖 , то приблизний об’єм дорівнює ∑ 𝑆(𝑥𝑖)𝑖 ∆𝑥𝑖 , а точний – ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Об’єм прямого кругового конусу висотою 𝐻 і радіусом 𝑅 дорівнює

∫ 𝜋 (𝑅

𝐻𝑥)

2

𝑑𝑥 = 𝜋 (𝑅

𝐻)

2

∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋 (𝑅

𝐻)

2

∙1

3

𝐻

0

𝐻

0

(𝐻3 − 03) =1

3𝜋𝑅2𝐻.

Приклад 4.2. Вивести формулу для обчислення довжини лінії, заданої

параметрично: 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏.

Для простоти уявлення будемо вважати, що 𝑡 є час. Розділимо множину

визначення параметра на відрізки ∆𝑡𝑖, тоді, якщо 𝑣(𝑡𝑖) – швидкість в момент

𝑡𝑖, то довжина траєкторії приблизно дорівнює ∑ 𝑣(𝑡𝑖)𝑖 ∆𝑡𝑖 , а точно –

∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ √(𝑥′(𝑡))2

+ (𝑦′(𝑡))2

𝑑𝑡𝑏

𝑎

.𝑏

𝑎

Якщо крива 𝑦 = 𝑦(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, то довжина дорівнює

∫ √1 + (𝑦′(𝑥))2

𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Довжина кола 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2дорівнює

4 ∫ √1 + ((√𝑅2 − 𝑥2)′

)2

𝑑𝑥 = 4 ∫ √1 + (−𝑥

√𝑅2 − 𝑥2)

2

𝑑𝑥 =𝑅

0

𝑅

0

4 ∫ √𝑅2

𝑅2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑅 ∫ √

1

1 − (𝑥𝑅)

2 𝑑 (𝑥

𝑅) = 4𝑅 ∫

1

√1 − 𝑦2𝑑𝑦 =

1

0

𝑅

0

𝑅

0

= 4𝑅 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1 = 2𝜋.

Приклад 4.3. Вивести формулу для обчислення площі сектора, заданого

кривою в полярних координатах: 𝜌 = 𝜌(𝜑), 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽.

Розділимо весь сектор на малі. Їх площа приблизно дорівнює

∑1

2𝜌2(𝑡𝑖)𝑖 ∆𝜑𝑖 , а точно –

1

2∫ 𝜌2(𝜑)

𝛽

𝛼𝑑𝜑. Площа круга 𝜌 = 𝑅 дорівнює

55

1

2∫ 𝑅2

2𝜋

0

𝑑𝜑 = 𝜋𝑅2.

Приклад 4.4. Вивести формулу для обчислення довжини лінії, заданої в

полярних координатах: 𝜌 = 𝜌(𝜑), 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽.

Підставимо 𝑥 = 𝜌(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜑(𝑡)), 𝑦 = 𝜌(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜑(𝑡)) в формулу для

довжини кривої:

∫ √((𝜌(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜑(𝑡)))′

)2

+ ((𝜌(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜑(𝑡)))′

)2

𝑑𝑡 =𝑏

𝑎

∫ √(𝜌𝑡′ 𝑐𝑜𝑠(𝜑(𝑡)) − 𝜌 𝑠𝑖𝑛(𝜑)𝜑𝑡

′)2

+ (𝜌𝑡′ 𝑠𝑖𝑛(𝜑) + 𝜌 𝑐𝑜𝑠(𝜑)𝜑𝑡

′)2𝑑𝑡 =𝑏

𝑎

∫ √(𝜌𝑡′ )2 + (𝜌 𝜑𝑡

′)2𝑑𝑡 = ∫ √(𝜌𝑡

′

𝜑𝑡′ )

2

+ 𝜌2 𝜑𝑡′𝑑𝑡 =

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

∫ √(𝜌𝜑′ )

2+ 𝜌2 𝑑𝜑.

𝛽

𝛼

Довжина кола 𝜌 = 𝑅 дорівнює

∫ √𝑅2 𝑑𝜑 = 2𝜋𝑅.2𝜋

0

Знаходження площі.

Приклад 4.5. Знайти площу під циклоїдою

𝑥 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛(𝑡), 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡).

∫ 𝑦(𝑡)𝑑𝑥(𝑡) = ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡))𝑑(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛(𝑡)) =2𝜋

0

2𝜋

0

∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡))2

𝑑𝑡 =2𝜋

0

∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑡) +1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

2) 𝑑𝑡 =

2𝜋

0

3𝜋.

56

Приклад 4.6. Знайти площу кардіоїди

𝑟(𝜑) = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑.

1

2∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑)2

2𝜋

0

𝑑𝜑 =1

2∫ (1 + 2𝑐𝑜𝑠(𝑡) +

1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

2) 𝑑𝑡 =

2𝜋

0

3

2𝜋.

Приклад 4.7. Знайти площу області обмеженої променем 𝜑 =𝜋

√3 і

кривою 𝜑 = 𝑟 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟).

Легко помітити, що 𝑟 змінюється від 0 до √3. Отже, площа дорівнює

1

2∫ 𝑟2𝑑(𝑟 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟)) =

√3

0

1

2∫ 𝑟2 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟) +

𝑟

1 + 𝑟2) 𝑑𝑟 =

√3

0

57

1

2∫ 𝑟2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟) 𝑑𝑟 +

1

2∫

𝑟3

1 + 𝑟2𝑑𝑟

√3

0

= √3

0

1

6∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟) 𝑑𝑟3 +

1

2∫

𝑟3

1 + 𝑟2𝑑𝑟

√3

0

= √3

0

1

6𝑟3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟)|0

√3 −1

6∫ 𝑟3 𝑑(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑟)) +

1

2∫

𝑟3

1 + 𝑟2𝑑𝑟

√3

0

= √3

0

𝜋

2√3+

1

3∫

𝑟3

1 + 𝑟2 𝑑𝑟 =

𝜋

2√3+

1

6∫

𝑟2

1 + 𝑟2𝑑(1 + 𝑟2) =

√3

0

√3

0

𝜋

2√3+

1

6∫

𝑢 − 1

𝑢𝑑𝑢 =

𝜋

2√3+

1

2

4

1

+1

3𝑙𝑛2.

Знаходження довжини дуги.

Приклад 4.8. Знайти довжину астроїди

𝑥23 + 𝑦

23 = 1.

Задамо кардіоїду в параметричному вигляді:

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3(𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3(𝑡).

58

∫ √(−3𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝑡))2

+ (3𝑠𝑖𝑛2(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡))2

2𝜋

0

𝑑𝑡 =

12 ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)√𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2(𝑡)

𝜋2

0

𝑑𝑡 = 12 ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)

𝜋2

0

𝑑𝑡 =

6 ∫ 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

𝜋2

0

𝑑𝑡 = 6.

Приклад 4.9. Знайти довжину спіралі Архімеда

𝑟 = 𝜑, 𝜑 ∈ (0, 2𝜋).

∫ √(𝜌𝜑′ )

2+ 𝜌2 𝑑𝜑 = ∫ √1 + 𝜑2 𝑑𝜑 = {𝜑 = 𝑡𝑔(𝑡)}

2𝜋

0

𝛽

𝛼

=

∫1

𝑐𝑜𝑠3(𝒕)𝑑𝑡 =

2𝜋

0

∫1

𝑐𝑜𝑠4(𝑡)𝑑𝑠𝑖𝑛(𝑡) = ∫

1

(1 − 𝑢2)2𝑑𝑢 =

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝜋))

0

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝜋)

0

{𝑎 = 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝜋)) ⟹ 𝑎

√1 − 𝑎2= 2𝜋 ⟹ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝜋)) =

2𝜋

√4𝜋2 + 1}

(1

4ln

1 + 𝑢

1 − 𝑢 +

𝑢

2(1 − 𝑢2)) |0

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝜋))=

1

4ln

√4𝜋2 + 1 + 2𝜋

√4𝜋2 + 1 − 2𝜋+𝜋√4𝜋2 + 1 =

59

1

2ln (√4𝜋2 + 1 + 2𝜋) +𝜋√4𝜋2 + 1.

Знаходження об’єму.

Приклад 4.10. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧2 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0.

Знайдемо площу перетину площиною 𝑧 = 𝑧0. Пряма 𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑧02

разом з осями координат , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, утворює трикутник з площею (1−𝑧0

2)

2,

який зникає при 𝑧0 = 1. Отже, об’єм тіла дорівнює

∫(1 − 𝑧2)2

2𝑑𝑧 =

4

15

1

0

.

Приклад 4.11. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навкруг осі

ординат фігури 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥).

Прямокутник з основою [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] і висотою 𝑓(𝑥𝑖) при обертанні

навколо осі ординат утворює циліндр об’ємом 𝜋(𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖−1

2 )𝑓(𝑥𝑖), значить

інтегральна сума буде дорівнювати

∑ 𝜋(𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖−1

2 )𝑓(𝑥𝑖) = 2𝜋 ∑𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖

2𝑖𝑖

𝑓(𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1),

отже інтеграл буде мати вигляд:

2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑥𝑑𝑥.

60

ВСТУП В ЛІНІЙНУ АЛГЕБРУ

Одним з найважливіших розділів вищої математики є лінійна алгебра. За

кількістю застосувань в самій математиці, фізиці та механіці лінійна алгебра

порівняна з такими розділами, як математичний аналіз і диференціальні

рівняння. Що ж стосується застосувань за межами математичних теорій, то,

скажімо, в економіці лінійна алгебра не має конкурентів і породжує цілу

теорію, яку прийнято називати лінійним програмуванням.

На основі лінійної алгебри будується функціональний аналіз, який в

свою чергу є апаратом квантової механіки. Нарешті, принципи лінійної

алгебри використовує теорія, що дозволяє кодувати звукові гармонійні

сигнали, тобто музику і мову. А це не мало не багато – цифрові технології.

Цих причин більш ніж достатньо, щоб приступити до вивчення основ

лінійної алгебри.

61

§1. Аксіоми лінійного простору

Визначення 1.1. Множина 𝑉 називається лінійним (векторним)

простором над полем дійсних чисел ℝ, якщо в ньому визначені операції

додавання і множення на дійсне число і при цьому виконуються наступні

умови (аксіоми):

1. Існує (∃) елемент лінійного простору вектор 0, такий що для

довільного елементу 𝑥 лінійного простору 𝑉

𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥.

2. Для любого (∀) вектору 𝑥 ∈ 𝑉 існує вектор −𝑥, який

називається протилежним до 𝑥, такий що

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0.

3. Операція додавання асоціативна, тобто ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧).

4. Операція додавання комутативна, тобто ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥

5. Добуток дійсної одиниці на вектор: ∀𝑥

1 ∙ 𝑥 = 𝑥.

6. Операція множення асоціативна, тобто ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ 𝑉

𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑥) = (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑥.

7. Операція множення зліва дистрибутивна по відношенню до

додавання, ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉

𝛼 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛼 ∙ 𝑦.

8. Операція множення справа дистрибутивна по відношенню до

додавання, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ 𝑉

(𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑥.

Приклад 1.1. Лінійним простором є множина дійсних чисел.

Приклад 1.2. Лінійним простором є множина наборів з 𝑛 чисел з

операцією додавання:

62

(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, … , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)

і множення на дійсне число:

𝛼(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, … , 𝛼𝑥𝑛).

Такий лінійний простір далі будемо називати координатним лінійним

простором ℝ𝑛.

Приклад 1.2. Лінійними просторами є названі нижче функціональні

простори:

(а) числовий функцій;

(б) неперервних функцій;

(в) диференційовних функцій;

(г) періодичних з визначеним періодом функцій;

по відношенню до звичайних операцій додавання функцій та множення на

число.

Визначення 1.2. Вектори 𝑥1, … , 𝑥𝑛 називаються лінійно залежними, якщо

існує такий набір чисел 𝛼1, … , 𝛼𝑛, в якому є хоча б один ненульовий елемент, що

𝛼1𝑥1 + … + 𝛼𝑛𝑥𝑛 = 0.

Вектори 𝑥1, … , 𝑥𝑛 називаються лінійно незалежними, якщо такого набору не

існує.

Визначення 1.3. Лінійно незалежна система векторів, яка стає залежною

разом з доданим довільним вектором, називається базисом лінійного простору.

Визначення 1.4. Система векторів 𝑒1, … , 𝑒𝑛, називається базисом лінійного

простору, якщо довільний вектор 𝑥 має однозначне подання:

𝑥 = 𝑥1𝑒1 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑒𝑛,

Числа 𝑥1, … , 𝑥𝑛 при цьому називаються координатами вектору 𝑥.

Зауваження 1.1. Еквівалентність визначень 1.3 і 1.4 витікає з теореми 1.3.

Приклад 1.3. Вектори 𝑒𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑛) координатного простору, в яких всі

координати нульові, окрім 𝑖-тої, яка дорівнює одиниці, тобто

𝑒1 = (1, 0, … ,0),

𝑒2 = (0,1, 0, … ,0),

63

…

𝑒𝑛 = (0, 0, … ,1),

утворюють базис координатного простору, тому що

(𝛼1, … , 𝛼𝑛) = 𝛼1𝑒1 + … + 𝛼𝑛𝑒𝑛.

Позначення. Базис 𝑒1, … , 𝑒𝑛 з наведеного прикладу називається канонічним

у координатному просторі.

Теорема 1.1. В координатному просторі ℝ𝑛 будь-які 𝑛 + 1 векторів лінійно

залежні.

Доведення (по індукції). Для 𝑛 = 1 твердження очевидне. Нехай воно вірне

для 𝑛 = 𝑘. Маємо довільні вектори 𝑥1, … , 𝑥𝑘+1. Тоді по індукційному припущенню

існують такі коефіцієнти 𝛼1, … , 𝛼𝑘, що

𝛼1𝑥1 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑥𝑘 = (𝜆, 0, … 0)

і, наприклад, 𝛼𝑖 відмінно від нуля. Також існує набор 𝛽1, … , 𝛽𝑘, такий, що

𝛽1𝑥1 + ⋯ + 𝛽𝑖−1𝑥𝑖−1 + 𝛽𝑖𝑥𝑖+1 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑥𝑘+1 = (𝜇, 0, … 0),

отже

𝜇(𝛼1𝑥1 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑥𝑘) − 𝜆(𝛽1𝑥1 + ⋯ + 𝛽𝑖−1𝑥𝑖−1 + 𝛽𝑖𝑥𝑖+1 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑥𝑘+1) = 0

і коефіцієнт при векторі 𝑥𝑖 ненульовий.

Теорема 1.2. В координатному просторі ℝ𝑛 будь-які 𝑛 − 1 векторів не

утворюють базис.

Доведення (від протилежного). Нехай 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 є базис у ℝ𝑛, тоді існує

подання 𝑒1 = 𝛼1𝑥1 + … + 𝛼𝑛−1𝑥𝑛−1, в якому 𝑒1 – вектор канонічного базису і хоч

один з коефіцієнтів 𝛼𝑖 ненульовий; його можна замінити на 𝑒1і отриманий набір

також буде базисом. Повторюючи цю операцію 𝑛 − 1 разів відповідно з векторами

𝑒2, 𝑒3, … отримаємо базис 𝑒1, … , 𝑒𝑛−1, що неможливо.

Визначення 1.4. Розмірністю лінійного простору 𝑉 називається кількість

векторів базису 𝑉.

Позначення: dim 𝑉.

Наслідок 1.1 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑛 = 𝑛.

64

Теорема 1.3. В довільному лінійному просторі кожен вектор має однозначне

подання: 𝑥 = 𝑥1𝑒1 + … + 𝑥𝑛𝑒𝑛, якщо 𝑒1, … , 𝑒𝑛 – базис.

Доведення. Система векторів 𝑥, 𝑒1, … , 𝑒𝑛 згідно з визначеннями є лінійно

залежною, тобто 𝛼0𝑥 + 𝛼1𝑒1 + … + 𝛼𝑛𝑒𝑛 = 0, причому 𝛼0 не може дорівнювати

нулю. Таким чином, ми отримуємо подання для вектору 𝑥 і воно є однозначним, бо

в протилежному випадку, віднімаючи друге подання, ми отримуємо залежність

базисних векторів.

Визначення 1.5. Коефіцієнти подання 𝑥 = 𝑥1𝑒1 + … + 𝑥𝑛𝑒𝑛 , де 𝑒1, … , 𝑒𝑛 –

базис, називаються координатами вектору 𝑥 у базисі 𝑒1, … , 𝑒𝑛.

Визначення 1.6. Лінійні простори 𝑉1, 𝑉2 називаються ізоморфними, якщо

між ними існує взаємно однозначна відповідність 𝜑: 𝑉1 ↔ 𝑉2, така, що ∀𝑥, 𝑦 ∈

𝑉1 𝜑(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = 𝛼𝜑(𝑥) + 𝛽𝜑(𝑦).

Теорема 1.4. Довільні лінійні простори однакової розмірності ізоморфні.

Доведення. Відображення 𝜑: 𝑉1 ↔ 𝑉2 вибирається так, щоб відповідні

вектори просторів мали однакові координати у вибраних у них базисах.

§2. Об’єм 𝒏-вимірного паралелепіпеду.

Визначення 2.1. Декартовим добутком множин 𝑀1, … , 𝑀𝑘 називається

множина, яка складається із всіх можливих наборів {(𝑚1, … , 𝑚𝑘), 𝑚𝑖 ∈ 𝑀𝑖 }.

Позначення: 𝑀1 × … × 𝑀𝑘.

Визначення 2.2. Відображення декартового добутку лінійних

просторів в лінійний простір Φ: 𝑉1 × … × 𝑉𝑘 → 𝑉 називається полілінійним,

якщо ∀𝑖

Φ(𝑣1, … , 𝛼𝑣𝑖 + 𝛽𝑣𝑖′, … , 𝑣𝑘) = 𝛼Φ(𝑣1, … , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑘) + 𝛽Φ(𝑣1, … , 𝑣𝑖

′, … , 𝑣𝑘).

Визначення 2.3. Нехай 𝑥1, … , 𝑥𝑛 - довільні вектори 𝑛 -вимірного

простору, тоді 𝑛 -вимірним паралелепіпедом називається фігура, що

складається з точок

65

{𝑥 = ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖 , 0 ≤ 𝛼𝑖 ≤ 1

𝑛

𝑖=1

}.

Вектори 𝑥1, … , 𝑥𝑛 називаються направляючими векторами

паралелограма.

Приклад 2.1. Для простору ℝ2 двовимірним паралелепіпедом є

паралелограм:

Зауваження 2.1. Площа паралелограму є білінійною функцією від

векторів 𝑥1, 𝑥2, що його задають.

Цей факт є наглядно очевидним при розтягуванні векторів 𝑥𝑖 . Менш

очевидно, що якщо замінити один з векторів 𝑥𝑖 на суму двох других, то два

нових паралелограмів мають ту ж сумарну площу, що й попередній. Це видно

з малюнка.

Площа паралелограму 𝑂𝐵𝐸𝐶

дорівнює сумі площ 𝑂𝐴𝐷𝐶 і 𝐴𝐵𝐸𝐷.

Аналогічно, об’єм

паралелепіпеду є трилінійною

функцією від векторів 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, що

його задають. При розтягуванні цей факт наявно очевидний, а щодо суми

об’ємів, то картинка остається такою ж зрозумілою, якщо до

паралелограмів додати ще один вектор, трансверсальний площині, який є

66

додатковий вектором, що утворює з паралелограмів паралелепіпед з

направляючими векторами 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Отже є природним наступне

Визначення 2.4. Об’ємом 𝑛-вимірного паралелепіпеду називається 𝑛-

лінійна функція з додатковою умовою, що об’єм дорівнює нулю, якщо вектори

𝑥1, … , 𝑥𝑛 , що задають паралелепіпед лінійно залежні, а також с умовою

нормування: 𝑉(𝑒1, … , 𝑒𝑛) = 1, де 𝑒1, … , 𝑒𝑛- базисні вектори.

Зауваження 2.2. Властивість лінійності об’єму приводить до

можливості від’ємного об’єму.

Визначення 2.5. Базис 𝑥1, … , 𝑥𝑛 називається позитивно, відповідно

негативно, орієнтованим, якщо 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑛) > 0, відповідно 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑛) < 0.

Наслідок 2.1. Функція об’єму кососиметрична, тобто

𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) = −𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛).

Доведення. З визначення об’єму витікає

0 = 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) =

𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛) + 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) +

𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛) + 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) =

𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) + 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛).

Приклад 2.2. Площа паралелограму з направляючими векторами 𝑥1 =

(𝑥11, 𝑥12), 𝑥2 = (𝑥21, 𝑥22) дорівнює:

𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 𝑉(𝑥11𝑒1 + 𝑥12𝑒2, 𝑥21𝑒1 + 𝑥22𝑒2) =

𝑥11𝑥21𝑉(𝑒1, 𝑒1) + 𝑥11𝑥22𝑉(𝑒1, 𝑒2) + 𝑥12𝑥21𝑉(𝑒2, 𝑒1) + 𝑥12𝑥22𝑉(𝑒2, 𝑒2) =

(𝑥11𝑥22 − 𝑥12𝑥21) 𝑉(𝑒1, 𝑒2) = 𝑥11𝑥22 − 𝑥12𝑥21.

Аналогічно, об’єм паралелепіпеду з направляючими векторами 𝑥1 =

(𝑥11, 𝑥12, 𝑥13), 𝑥2 = (𝑥21, 𝑥22, 𝑥23), 𝑥3 = (𝑥31, 𝑥32, 𝑥33) дорівнює:

𝑉(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥11𝑥22𝑥33 + 𝑥12𝑥23𝑥31 + 𝑥13𝑥21𝑥32 − 𝑥11𝑥23𝑥32 −

𝑥12𝑥21𝑥33 − 𝑥13𝑥22𝑥31.

67

§3. Визначник

Визначення 3.1 Число інверсій 𝜎(1, … , 𝑛) перестановки (1, … , 𝑛) цілих

чисел є кількість пар набору, у яких перше число пари більше другого.

Теорема 3.1. Об’єм 𝑛 -вимірного паралелепіпеду з направляючими

векторами 𝑥1 = (𝑥11, … , 𝑥1𝑛), … , 𝑥𝑛 = (𝑥𝑛1, … , 𝑥𝑛𝑛) дорівнює

∑ (−1)𝜎 (𝑖1,…,𝑖𝑛)𝑥1𝑖1, … , 𝑥𝑛𝑖𝑛.

(𝑖1,…,𝑖𝑛)

Тут сума береться по всім перестановкам (𝑖1, … , 𝑖𝑛) цілих чисел від 1 до

𝑛, 𝜎 (𝑖1, … , 𝑖𝑛) – число інверсій набору (𝑖1, … , 𝑖𝑛).

Для матриці (

𝑥11 … 𝑥1𝑛

… … …𝑥𝑛1 … 𝑥𝑛𝑛

) це число називається визначником або

детермінантом і позначається:

𝑑𝑒𝑡 (

𝑥11 … 𝑥1𝑛

… … …𝑥𝑛1 … 𝑥𝑛𝑛

) або |

𝑥11 … 𝑥1𝑛

… … …𝑥𝑛1 … 𝑥𝑛𝑛

|.

Доведення аналогічне обчисленню визначника в прикладі 2.2.

Необхідно тільки довести, що парність числа інверсій перестановки (𝑖1, … , 𝑖𝑛)

збігається з парністю числа необхідних перестановок векторів 𝑥1, … , 𝑥𝑛, щоб

розмістити їх в порядку зростання. Для доведення цього достатньо помітити,

що при перестановці двох сусідніх векторів парність числа інверсій

змінюється, а також того, що у перестановки (1, … , 𝑛) число інверсій дорівнює

нулю, тобто (−1)𝜎(1,…,𝑛) = 1.

Визначення 3.2. Транспонованою до матриці 𝐴 з елементами

𝐴𝑖𝑗 називається матриця 𝐴𝑇, елементи якої задовольняють умові:

𝐴𝑖𝑗 = (𝐴𝑇)𝑗𝑖 ,

при цьому стовпчики матриці 𝐴 стають строками матриці 𝐴𝑇 , не змінюючи

свого порядку.

Теорема 3.2. Визначник матриці має наступні властивості:

68

(а) не змінюється при транспонуванні, тобто при перестановці

елементів 𝑥𝑖𝑗 , 𝑥𝑗𝑖 , в матричному запису: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇;

(б) є лінійною функцією строк та стовпців;

(в) змінює знак при перестановці двох довільних строк або стовпців;

(г) не змінюється при додаванні до довільної строки другої, помноженої

на довільний коефіцієнт, те ж вірне для стовпців;

Доведення.

(а) Знак перед мономом 𝑥1𝑖1, … , 𝑥𝑛𝑖𝑛. визначається за допомогою підрахунку

кількості інверсій перестановки (𝑖1, … , 𝑖𝑛) або підстановки (1 … 𝑛𝑖1 … 𝑖𝑛

), якщо в

першому рядку записувати перший індекс елемента матриці, а в другому – другий.

При цьому вже не обов’язково, щоб перші індекси йшли від 1 до 𝑛. При

транспонуванні підстановка того ж одночлена прийме вигляд (1 … 𝑛𝑖1 … 𝑖𝑛

) з такою

ж парністю числа інверсій.

(б, в) Лінійність і кососиметричність витікає з лінійності об’єма.

(г) Витікає з (б, в).

𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 + 𝜇𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) = 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) +

𝜇𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛) = 𝑉(𝑥1, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑗 , … , 𝑥𝑛).

Теорема 3.3. Визначник приведеної нижче квадратної матриці, в якій

область, що позначена 0, має всі елементи нульові, область, позначена ∗, має

довільні елементи, а діагональні матриці 𝐴𝑖 квадратні,

69

дорівнює |𝐴1| ∙ |𝐴2| ∙ … ∙ |𝐴𝑘|.

Доведення.

Починаючи вибирати по стовпцям елементи згідно з формулою

визначника, ми бачимо, з області, позначеної ∗ ми не вибираємо ніяких

елементів, а тільки з матриць 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑘, причому одночлени ми отримуємо

такі ж самі, як і в добутку |𝐴1| ∙ |𝐴2| ∙ … ∙ |𝐴𝑘| і з тими ж знаками.

Наслідок 3.1. Визначник матриці, яка під діагоналлю 𝑥11, 𝑥22, … , 𝑥𝑛𝑛 має

тільки нульові елементи, дорівнює 𝑥11 ∙ 𝑥22∙ … ∙ 𝑥𝑛𝑛.

Позначення 3.1. Діагональ 𝑥11 ∙ 𝑥22∙ … ∙ 𝑥𝑛𝑛 називається головною.

Приклад 3.1. Обчислити визначник: ||

1 𝑥1

1 𝑥2

𝑥12 𝑥1

3

𝑥22 𝑥2

3

1 𝑥3

1 𝑥4

𝑥32 𝑥3

3

𝑥42 𝑥4

3

||.

Віднімаємо перший рядок від останніх:

||

1 𝑥1

0 𝑥2 − 𝑥1

𝑥12 𝑥1

3

𝑥22 − 𝑥1

2 𝑥23 − 𝑥1

3

0 𝑥3 − 𝑥1

0 𝑥4 − 𝑥1

𝑥32 − 𝑥1

2 𝑥33 − 𝑥1

3

𝑥42 − 𝑥1

2 𝑥43 − 𝑥1

3

|| =

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥1) |

1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥22 + 𝑥2𝑥1 + 𝑥1

2

1 𝑥3 + 𝑥1 𝑥32 + 𝑥3𝑥1 + 𝑥1

2

1 𝑥4 + 𝑥1 𝑥42 + 𝑥4𝑥1 + 𝑥1

2

|

Знову віднімаємо перший рядок від останніх:

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥1) |

1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥22 + 𝑥2𝑥1 + 𝑥1

2

0 𝑥3 − 𝑥2 𝑥32 − 𝑥2

2 + 𝑥3𝑥1 − 𝑥2𝑥1

0 𝑥4 − 𝑥2 𝑥42 − 𝑥2

2 + 𝑥4𝑥1 − 𝑥2𝑥1

| =

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥2) |1 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥1

1 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥1| =

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥3).

Метод приведення матриці з нульовими елементами під головною

діагоналлю є метод Гауса.

70

Це є матриця Ван дер Монда і визначник її можливо отримати і без

обчислень, спираючись на те, що визначник є поліномом, який дорівнює нулю,

якщо довільні елементи 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 виявляються рівними. Це дає всі множники з

точністю до коефіцієнта. Коефіцієнт можна отримати лише по одному члену

визначника. Так, визначник має одночлен 𝑥2𝑥32𝑥4

3.

§4. Лінійне перетворення і його матричне подання.

Визначення 4.1 Відображення 𝜑: 𝑉1 → 𝑉2 лінійних просторів

називається лінійним, якщо ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉1

𝜑(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = 𝛼𝜑(𝑥) + 𝛽𝜑(𝑦).

Ядром відображення називається множина

𝐾𝑒𝑟𝜑 = {𝑥 ∈ 𝑉1: 𝜑(𝑥) = 0},

Образом відображення називається множина

𝐼𝑚𝜑 = {𝜑(𝑥) ∈ 𝑉2: 𝑥 ∈ 𝑉1}.

Прообразом 𝜑−1(𝑦) елементу 𝑦 ∈ 𝑉2 називається елемент 𝑥 ∈ 𝑉1, що

𝜑(𝑥) = 𝑦, повним прообразом елементу 𝑦 ∈ 𝑉2 називається множина всіх

елементів 𝑥 ∈ 𝑉1, що 𝜑(𝑥) = 𝑦.

Зауваження 4.1. Множини 𝐾𝑒𝑟𝜑, 𝐼𝑚𝜑 є лінійними просторами.

Теорема 4.1. Для лінійного відображення 𝜑: 𝑉1 → 𝑉2 має місто

співвідношення:

𝑑𝑖𝑚𝑉1 = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜑 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜑.

Доведення. Нехай 𝑒1, … , 𝑒𝑘– базис 𝐾𝑒𝑟𝜑, а 휀1, … , 휀𝑙– базис 𝐼𝑚𝜑.

Доведемо, що 𝑒1, … , 𝑒𝑘, 𝜑−1(휀1), … , 𝜑−1(휀𝑙) – базис 𝑉1.

Якщо 𝑥 ∈ 𝑉1, то існує однозначне подання 𝜑(𝑥) = 𝜇1휀1 + ⋯ + 𝜇𝑙휀𝑙 . Тоді

𝑥 − 𝜇1𝜑−1(휀1) + ⋯ + 𝜇𝑙𝜑−1(휀𝑙) ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜑, отже існує однозначне подання 𝑥 −

𝜇1𝜑−1(휀1) + ⋯ + 𝜇𝑙𝜑−1(휀𝑙) = 𝜆1𝑒1 + ⋯ + 𝜆𝑘𝑒𝑘, яке дає однозначне подання

вектору 𝑥, що завершує доведення.

71

Якщо в просторах 𝑉1, 𝑉2 вибрати базиси 𝑒1, … , 𝑒𝑘 і, відповідно, 휀1, … , 휀𝑙 ,

то при наявності лінійного відображення 𝐴 мають місто подання образів

базисних векторів 𝑉1: 𝐴(𝑒𝑖) = ∑ 𝑎𝑖𝑗휀𝑗𝑛𝑗=1 , що дозволяє зробити координатний

запис лінійного перетворення:

𝑦 = 𝐴(𝑥) = 𝐴 (∑ 𝑥𝑖𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

) = ∑ 𝑥𝑖𝐴(𝑒𝑖) = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑎𝑖𝑗휀𝑗

𝑛

𝑗=1

.

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Більш зручно, вибравши базиси, далі всі обчислення робити в

координатах, причому склалася традиція замість матриці {𝑎𝑖𝑗} і запису 𝑦𝑗 =

∑ 𝑥𝑖𝑎𝑖𝑗𝑖 використовувати транспоновану матрицю і, відповідно запис 𝑦𝑖 =

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ,𝑖 або у матричному вигляді:

(

𝑦1

…𝑦𝑛

) = (

𝑎11 … 𝑎1𝑛

… … …𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

) (

𝑥1

…𝑥𝑛

) ⟺ 𝑌 = 𝐴𝑋.

При такому записі відображення і матриця відображення позначаються

однією літерою 𝐴.

Якщо ми маємо композицію відображень 𝐴: 𝑉1 → 𝑉2, 𝐵: 𝑉2 ⟶ 𝑉3, то 𝑧𝑖 =

∑ 𝑏𝑖𝑗𝑦𝑗 = ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑎𝑗𝑘𝑥𝑘𝑖𝑗𝑖 , або 𝑍 = 𝐵𝑌 = 𝐵𝐴𝑋.

Визначення 4.2. Операцію композиції 𝐵 ∘ 𝐴 , записану в матричному

вигляді 𝐵𝐴 будемо називати множенням матриць.

Зауваження 4.2. Операція множення матриць є асоціативною, але не

обов’язково комутативною. Асоціативність (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) витікає із

властивості композиції, а відсутність комутативності доводиться будь-

яким прикладом. Приведемо майже найпростіший:

(1 00 −1

) (0 1

−1 0) ≠ (

0 1−1 0

) (1 00 −1

).

Визначення 4.3. Лінійне відображення простору в себе називається

лінійним перетворенням.

Зауваження 4.3. Тотожне відображення простору на себе має

матрицю з одиницями на головній діагоналі 𝑎𝑖𝑖 = 1 і нулями на інших позиціях

72

𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗. Одинична матриця позначається 𝐸 і, очевидно, для любого

лінійного перетворення 𝐴: 𝑉 → 𝑉, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴.

Матриця лінійного перетворення є квадратною.

Теорема 4.2. 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵).

Доведення. Перетворення 𝐴 відображає одиничний куб в паралелепіпед

з направляючими векторами 𝐴(𝑒𝑖) об’ємом 𝑑𝑒𝑡(𝐴), отже любий, в тому числі

маленький куб при відображенні збільшує свій об’єм в 𝑑𝑒𝑡(𝐴) разів і, таким

чином і довільна область лінійного простору також збільшує свій об’єм в

𝑑𝑒𝑡(𝐴) разів. При композиції 𝐴𝐵 відображень об’єм любої області

збільшується в 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵) разів.

§5. Обернена матриця і метод Крамера розв’язання лінійного

рівняння.

Визначення 5.1. Лінійне перетворення обернене до 𝐴 позначається 𝐴−1,

в матричному вигляді: 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐸.

З’ясуємо, як знайти 𝐴−1, коли відома матриця 𝐴.

Теорема 5.1. Для довільної квадратної матриці 𝐴 виконані наступні

співвідношення:

det 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 |

… … …𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑛

… … …| = ∑(−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 ,

𝑛

𝑗=1

∑(−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 𝑎𝑘𝑗 = 0,

𝑛

𝑗=1

𝑘 ≠ 𝑖,

де 𝑀𝑖𝑗 – визначник матриці, отриманої з матриці 𝐴 , якщо викреслити 𝑖 -ий

рядок і 𝑗-ий стовпчик.

Доведення. Елементи суми 𝑑𝑒𝑡 𝑀𝑖𝑗 і det 𝐴, що мають співмножник 𝑎𝑖𝑗

однакові, отже порівняємо їх знаки.

𝜎 (1, … , 𝑖, . . , 𝑛

𝑖1, … , 𝑗, … , 𝑖𝑛) = 𝜎 (

𝑖, 1, … , ∎𝑖, … , 𝑛𝑗, 𝑖1, … , ∎𝑗, … , 𝑖𝑛

) = (−1)𝑖+𝑗𝜎 (1, … , ∎𝑖, . . , 𝑛

𝑖1, … , ∎𝑗, … , 𝑖𝑛),

73

де

Позначення 5.1: ∎𝑖, ∎𝑗 означають пропущені індекси,

оскільки відкидання індексів 𝑖, 𝑗 на початку рядків зменшує кількість інверсій

на 𝑖 − 1, 𝑗 − 1, відповідно.

Щоб довести друге співвідношення, треба замість рядка 𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑛

підставити рядок 𝑎𝑘1 … 𝑎𝑘𝑛.

Визначення 5.2. Матрицю з елементами ((−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗)𝑇

будемо

називати матрицею алгебраїчних доповнень матриці 𝐴 і позначати 𝔸.

З співвідношень теореми 4.2 витікає, що

𝐴𝔸 = 𝔸𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝐸 ⇔ 𝐴 (1

𝑑𝑒𝑡𝐴𝔸) = (

1

𝑑𝑒𝑡𝐴𝔸) 𝐴 = 𝐸 ⇔ 𝐴−1 =

1

𝑑𝑒𝑡𝐴𝔸.

Зауваження 5.1. Якщо систему лінійних рівнянь записати в

матричному вигляді 𝐴𝑋 = 𝐵, 𝐴 ∈ ℝ𝑛2, 𝑋, 𝐵 ∈ ℝ𝑛, то її розв’язок має вигляд:

𝑋 = 𝐴−1𝐵 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴𝔸𝐵.

Теорема 5.2 (правило Крамера).

(

𝑎11 … 𝑎1𝑛

… … …𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

) (

𝑥1

…𝑥𝑛

) = (𝑏1

…𝑏𝑛

) ⇔ 𝑥𝑖 =𝑑𝑒𝑡𝐴𝑖

𝑑𝑒𝑡𝐴,

де

𝐴𝑖 = (𝑎11 ∎𝑎𝑖1 𝑏1 𝑎1𝑛

… ∎ … . . … …𝑎𝑛1 ∎𝑎𝑛1 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑛

),

тобто матриця 𝐴𝑖 отримується з матриці 𝐴 заміною 𝑖 -того стовпця

стовпцем 𝐵.

Доведення. Необхідно довести:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑑𝑒𝑡𝐴𝑗 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑏𝑖 .

𝑗

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑑𝑒𝑡𝐴𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ∑(−1)𝑘+𝑗𝑀𝑘𝑗𝑏𝑘

𝑘

= ∑(−1)𝑘+𝑗𝑎𝑖𝑗𝑀𝑘𝑗𝑏𝑘

𝑗𝑘

=

𝑗𝑗

74

∑ (∑(−1)𝑘+𝑗𝑎𝑖𝑗𝑀𝑘𝑗

𝑗

) 𝑏𝑘 =

𝑘

𝑑𝑒𝑡𝐴 𝛿𝑖𝑘𝑏𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑏𝑖 ,

де 𝛿𝑖𝑘- символ Кронекера, що відповідає одиничній матриці.

§6. Інваріантні властивості лінійного перетворення.

При дослідженні будь-якого математичного об’єкту важливу роль

грають його інваріантні властивості. Інваріантні означає не змінні при різних

поданнях того об’єкту, що вивчається. По суті, тільки такі властивості і

представляють інтерес, хоч іноді бувають важливі і деякі характерні

особливості, притаманні спеціальнім координатам.

В якості прикладу інваріантних властивостей лінійного перетворення

можна привести розмірності ядра і образу.

Наступні поняття, пов’язані з лінійним перетворенням, також мають

інваріантний характер, тобто не залежать від вибраного базису.

Визначення 6.1. Інваріантним простором лінійного перетворення

𝜑: 𝑉 → 𝑉 називається такий простір 𝑈 ⊂ 𝑉, що 𝜑: 𝑈 → 𝑈.

Визначення 6.2. Власним вектором лінійного перетворення 𝜑: 𝑉 → 𝑉

називається вектор 𝑥 ∈ 𝑉, такий, що 𝜑( 𝑥) = 𝜇 𝑥, 𝜇 ∈ ℝ, при цьому значення

𝜇 називається власним значенням власного вектору 𝑥.

Зауваження 6.1. Якщо власні вектори лінійного перетворення

утворюють базис лінійного простору, то в цьому базисі матриця

перетворення має діагональний вигляд:

(𝜇1 0 00 … 00 0 𝜇𝑛

).

Визначення 6.3. Лінійне перетворення називається виродженим, якщо

його ядро відмінне від нуля.

75

Теорема 6.1. Лінійне перетворення вироджене, якщо і тільки якщо

визначник матриці цього перетворення в любому базисі дорівнює нулю.

Доведення. Нехай 𝐴 – матриця лінійного перетворення і 𝐴𝑋 = 0, 𝑋 ≠ 0,

тобто ∀𝑖 ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 0,𝑗 а це означає, що стовпці матриці лінійно залежні, що,

згідно теореми 3.2 або визначення об’єму 𝑛 -вимірного паралелепіпеду,

означає, що 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0.

Обернене так само вірне. Матриця з нульовим визначником має лінійно

залежні стовпці, а коефіцієнти цієї залежності як раз і утворюють ненульовий

вектор ядра перетворення.

Доведена теорема дає можливість знаходити власні вектори лінійних

перетворень.

Нехай 𝐴𝑋 = 𝜇𝑋 ⇔ (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑋, тоді, згідно з теоремою 6.1, 𝑑𝑒𝑡(𝐴 −

𝜇𝐸) = 0.

Визначення 6.4. Поліном 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜇𝐸) називається характеристичним

для лінійного перетворення 𝐴.

Надалі ми розглядаємо лінійні перетворення такі, що всі корені їх

характеристичного поліному є дійсними.

Зауваження 6.2 (для тих, хто знає комплексні числа і основну

теорему алгебри). Всі доведення щодо структури лінійного перетворення та

вигляду його матриці при умові дійсності коренів характеристичного

поліному остаються вірними в загальному випадку в комплексному лінійному

просторі ℂ𝑛, але при цьому існують рівно 𝑛 власних значень з урахуванням

кратних коренів.

§7. Структура лінійного перетворення.

Визначення 7.1. Кореневим вектором лінійного перетворення 𝐴: 𝑉 → 𝑉

називається вектор 𝑋 ∈ 𝑉, такий, що ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘𝑋 = 0.

76

Зауваження 7.1. У визначенні 7.1 число 𝜇 є власним значенням

перетворення 𝐴, оскільки 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜇𝐸) = 0 ⇔ 𝑑𝑒𝑡((𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘) = 0.

Визначення 7.2. Кореневим простором, відповідним власному значенню

𝜇 називається 𝐾𝑒𝑟(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘.

Визначення 7.3. Простір 𝑉 називається сумою 𝑉 = 𝑈1 +

𝑈2 підпросторів 𝑈1, 𝑈2, якщо любий вектор простору 𝑉 представляється, як

сума векторів 𝑈1 і 𝑈2.

Простір 𝑉 називається прямою сумою 𝑉 = 𝑈1 ⊕ 𝑈2 підпросторів

𝑈1, 𝑈2, якщо любий вектор простору 𝑉 однозначно представляється, як сума

векторів 𝑈1 і 𝑈2.

Твердження 7.1. Підпростори 𝑈1 + 𝑈2 = 𝑉 утворюють пряму суму,

якщо і тільки якщо мають тільки нульовий спільний вектор.

Доведення. Якщо 𝑥 ∈ 𝑈1, 𝑈2, то нульовий вектор має два подання:0 =

0 + 0, 0 = 𝑥 + (−𝑥). Якщо 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2, 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ 𝑈𝑖 , то вектор 𝑥1 −

𝑦1 = 𝑦2 − 𝑥2 належить обом підпросторам.

Твердження 7.2. Кореневий простір 𝑈𝜇 = 𝐾𝑒𝑟(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘є інваріантним

простором для перетворення 𝐴 − 𝜆𝐸 для довільного 𝜆.

Доведення. Нехай (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘𝑋 = 0, тоді

(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘((𝐴 − 𝜆𝐸)𝑋) = (𝐴 − 𝜆𝐸) (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘𝑋 = 0.

Твердження 7.3. Кореневі підпростори з різними власними значеннями

не мають спільних ненульових векторів.

Доведення. Нехай 𝑋 ∈ 𝑈𝜇 , 𝑈𝜆, тобто (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘𝑋 = 0 і водночас (𝐴 −

𝜆𝐸)𝑙𝑋 = 0. Вважаємо, що 𝑌 = (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘−1𝑋 ≠ 0, тоді (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑌 = 0 ⇔

𝐴𝑌 = 𝜇𝑌 і

(𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙𝑌 = (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙 (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘−1𝑋 = (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘−1 (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙𝑋 = 0,

Але, в той же час, (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙𝑌 = (𝜇 − 𝜆)𝑙𝑌, тому що

(𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙−1(𝐴 − 𝜆𝐸)𝑌 = (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑙−1(𝜇 − 𝜆)𝑌.

77

Твердження 7.3. Всі кореневі підпростори лінійного перетворення

простору 𝑉 утворюють пряму суму цього простору.

Доведення. Оскільки всі кореневі підпростори лінійного перетворення

мають тільки нульовий спільний вектор, то необхідно тільки довести, що не

існує вектор, що не належить 𝑈𝜇1⊕ … ⊕ 𝑈𝜇𝑟

. Якщо це так, то простір

{ (𝐴 − 𝜇1𝐸)𝑘1 … (𝐴 − 𝜇𝑟𝐸)𝑘𝑟𝑉} є інваріантним для перетворення A. Але в

ньому повинен існувати власний вектор з власним значенням, відмінним від

𝑘1, … , 𝑘𝑟 , що неможливо.

Отримаємо найпростіший вигляд матриці лінійного перетворення у

кореневому просторі 𝑈𝜇.

Нехай кореневий вектор 𝑋 такий, що (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑘𝑋 = 0 і 𝑘- максимально

можливе. Тоді вектори { 𝑒𝑟 = (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑟−1𝑋, 𝑟 = 1, … , 𝑘 } задають підпростір

𝐽1 і задовольняють співвідношенням:

(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑒𝑟 = 𝑒𝑟+1 ⇔ 𝐴𝑒𝑟 = 𝜇𝑒𝑟 + 𝑒𝑟+1,

отже матриця 𝐴 в базисі {𝑒𝑟 , 𝑟 = 1, … , 𝑘 } має вигляд і називається клітиною

Жордана:

(

𝜇 10 𝜇

0 0… 0

0 …0 0

… 10 𝜇

) , 𝑒1 = (

00…1

) , … , 𝑒𝑘 = (

10…0

).

Якщо підпростір 𝐽𝑋 не вичерпує весь кореневий підпростір, то

знайдеться вектор 𝑌, що при деякому значенні 𝑙 вектор (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑙𝑌 буде

належати 𝐽𝑋, у тому числі він може бути нульовим. В останньому випадку

підпростори 𝐽𝑋, 𝐽𝑌 утворюють пряму суму.

Якщо 0 ≠ (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑙𝑌 ∈ 𝐽𝑋, то

(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑙𝑌 = ∑ 𝛼𝑟 (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑟−1𝑋.

𝑘

𝑟=𝑙

В останній сумі 𝑟 не може бути менше, ніж 𝑙, тому що тоді 𝑌 =

(𝐴 − 𝜇𝐸)𝑠𝑋, 𝑠 > 0, а це неможливо.

Беремо вектори

78

{ (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑡𝑍, 𝑍 = 𝑌 − ∑ 𝛼𝑟 (𝐴 − 𝜇𝐸)𝑟−1𝑋

𝑘−𝑙

𝑟=0

}

і отримуємо підпростір 𝐽𝑍, який разом із 𝐽𝑋 утворює пряму суму. Діючи так і

далі, весь кореневий підпростір представляємо як пряму суму інваріантних

підпросторів, в кожному з яких матриця лінійного перетворення має вигляд

клітинок Жордана.

Отже доведена

Теорема 7.1. Кожне лінійне перетворення в дійсному векторному

просторі при умові, що всі корені характеристичного поліному є дійсними, у

спеціальному базисі має вигляд:

кожна клітина 𝐴𝑖 якого є клітиною Жордана.

§8. Евклідовий простір.

Визначення 8.1. Лінійний простір 𝐸 називається евклідовим, якщо в

ньому визначений скалярний добуток (∗,∗): 𝐸 × 𝐸 → ℝ, який задовольняє

наступним умовам:

(а) (𝑥, 𝑥) ≥ 0, (𝑥, 𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 0;

(б) (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥);

(в) (𝛼𝑥 + 𝛽𝑦, 𝑧) = 𝛼(𝑥, 𝑧) + 𝛽(𝑦, 𝑧).

Приклад 8.1. Канонічний скалярний добуток в ℝ𝑛:

79

((𝑥1, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, … , 𝑦𝑛)) = 𝑥1𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑦𝑛.

Приклад 8.2. Скалярний добуток в просторі неперервних функцій на

відрізку [𝑎, 𝑏] можливо задати за формулою:

(𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Визначення 8.2. Множина 𝑋 називається метричним простором, якщо

на ньому визначена функція відстані 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞) і при цьому виконані

умови:

(а) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦;

(б) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥);

(в) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑦, 𝑧).

Теорема 8.1. Евклідовий простір стає метричним, якщо відстань між

векторами (кінцями векторів) 𝑥, 𝑦 визначити по формулі:

𝜌(𝑥, 𝑦) = √(𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦).

Доведення. Пункти (а) і (б) теореми безпосередньо витікають з

визначення відстані.

(в) (𝛼𝑥 − 𝑦, 𝛼𝑥 − 𝑦) ≥ 0 ⇔ 𝛼2(𝑥, 𝑥) − 2𝛼(𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑦) ≥ 0,

отже (𝑥, 𝑦)2 ≤ (𝑥, 𝑥)(𝑦, 𝑦). – нерівність Коші – Буняковського. Необхідно

довести, що

√(𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦) ≤ √(𝑥 − 𝑧, 𝑥 − 𝑧)+√(𝑧 − 𝑦, 𝑧 − 𝑦).

Позначимо 𝑎 = 𝑥 − 𝑧, 𝑏 = 𝑧 − 𝑦.

√(𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) ≤ √(𝑎, 𝑎) + √(𝑏, 𝑏) ⇔

(𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) ≤ (𝑎, 𝑎) + 2√(𝑎, 𝑎)(𝑏, 𝑏) + (𝑏, 𝑏) ⇔

(𝑎, 𝑏) ≤ √(𝑎, 𝑎)(𝑏, 𝑏),

що вже доведено.

Визначення 8.3. Базис евклідового простору називається

ортонормованим, якщо два довільних вектори ортогональні, тобто їх

скалярний добуток дорівнює нулю, а довжини базисних векторів, тобто

корінь із скалярного квадрату, дорівнює одиниці.

80

Приклад 8.3. Канонічний базис координатного простору з канонічним

скалярним добутком є ортонормованим.

Приклад 8.4. Вектори

1

√2𝜋,𝑠𝑖𝑛(𝑥)

√𝜋,𝑐𝑜𝑠(𝑥)

√𝜋,𝑠𝑖𝑛(2𝑥)

√𝜋,𝑐𝑜𝑠(3𝑥)

√𝜋,𝑠𝑖𝑛(3𝑥)

√𝜋,𝑐𝑜𝑠(3𝑥)

√𝜋, …

лінійного простору періодичних з періодом 2𝜋 функцій утворюють

ортонормований базис із скалярним добутком прикладу 8.2.

§9. Ортогональні перетворення.

Визначення 9.1. Лінійне перетворення 𝐴 евклідового простору

називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток, тобто:

(𝐴𝑥, 𝐴𝑦) = (𝑥, 𝑦),

Матриця такого перетворення називається ортогональною.

Теорема 9.1 Ортогональна матриця визначається властивістю 𝐴𝑇 =

𝐴−1. При цьому виконуються співвідношення:

∑ 𝑎𝑖𝑗2 = 1,

𝑛

𝑖=1

∑ 𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

𝑎𝑖𝑘 = 0.

Такі ж співвідношення виконуються і для рядків.

𝑑𝑒𝑡𝐴 = ±1.

Доведення. Умови на елементи матриці є умови того, що канонічний

ортонормований базис відображається в ортонормований.

Цей факт відображає і матричний запис.

1 = 𝑑𝑒𝑡𝐸 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴𝑇) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇) = (𝑑𝑒𝑡𝐴)2.

Зауваження 9.1. Ортогональне перетворення зберігає об’єм з

точністю до знаку, але не обов’язково зберігає орієнтацію.

Приклад 9.1. Ортогоналізація Грама – Шмідта.

81

Нехай 𝑒1, … , 𝑒𝑛 – довільний базис в евклідовому просторі. Базис

залишиться базисом, якщо вектор 𝑒2 замінити на вектор 휀2 = 𝑒2 + 𝛼𝑒1, але при

цьому ми можемо забезпечити ортогональність 𝑒1 = 휀1 і 휀2, підбираючи

необхідне 𝛼 = −(𝑒1,𝑒2)

(𝑒1,𝑒1).

Далі від вектору 휀3 = 𝑒3 + 𝛼휀1 + 𝛽휀2 вимагаємо ортогональності

векторам 휀1, 휀2, підбираючи вже 𝛼 і 𝛽. Очевидно, як таким чином отримати

ортогональний базис. Далі його можна нормувати і ми отримаємо

ортонормований базис.

Теорема 9.2 Нехай 𝑈 – інваріантний підпростір ортогонального

перетворення 𝐴. Тоді ортогональний до 𝑈 простір 𝑈⊥ є також

інваріантним.

Доведення. Нехай (𝑥, 𝑈) = 0, тоді, згідно визначення ортогонального

перетворення 0 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑈) = (𝐴𝑥, 𝑈) , тобто ортогональний до простору 𝑈

вектор перейшов також в ортогональний, або простір 𝑈⊥ перейшов сам в себе.

82

ВСТУП В АНАЛІТИЧНУ ГЕОМЕТРІЮ

Звернемо увагу на те, що маючи структуру лінійного простору в ℝ2, а

також скалярний добуток, ми можемо сформулювати будь-яку теорему

евклідової геометрії і доводити її, спираючись на аксіоми, сформульовані в

першому параграфі лекцій по лінійній алгебрі.

В цьому є та необхідність, що навіть до сьогоднішнього дню в школах

викладається геометрія на основі евклідової аксіоматики. Але аксіоми

формулюються не в повному обсязі навіть із списку Евкліда при тому, що і

список Евкліда сам по собі не є повним в тому сенсі, що деякі твердження

вважаються очевидними і не попадають ні в список аксіом, ні в список теорем.

Це не означає, що треба якось змінювати зміст шкільної геометрії.

Навпаки, її цінність як раз у тому, що вона в великій мірі спирається на

наявний досвід, тобто не є формальною.

В свій час із шкільного курсу вилучили арифметику і на вряд це

підвищило рівень логічного мислення учнів. Адже хоч алгебра і дає більш

швидкий результат при розв’язанні задач, самий зміст розв’язання повністю

зникає за алгебраїчними викладками.

Отже, непогано починати з геометрії Евкліда, але в свій час потрібно на

неї дивитися с точки зору Рене Декарта, який сказав, що розв’язав всі задачі

геометрії і мав право це сказати. І щоб зрозуміти це, необхідно все-таки

розібратись і з аксіомами, і з теоремами Евкліда на основі координатного

методу, а точніше на основі аксіом евклідового простору.

83

§1 Евклідовий простір.

I. Аксіоми зв’язку.

1. Які б не були дві точки 𝐴, 𝐵, існує пряма 𝑎, що проходить через

кожну з точок 𝐴, 𝐵.

2. Які б не були дві точки 𝐴, 𝐵, існує не більше однієї прямої, що

проходить через кожну з точок 𝐴, 𝐵.

3. На кожній прямій лежать щонайменше дві точки. Існує три

точки, що не лежать на одній прямій.

4. Які б не були три точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, що не лежать на одній прямій,

існує площина 𝛼, що проходить через кожну з точок 𝐴, 𝐵, 𝐶.

На кожній площині лежить хоча б одна точка.

5. Які б не були три точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, що не лежать на одній прямій,

існує не більше однієї площини, що проходить через кожну з

точок 𝐴, 𝐵, 𝐶.

6. Якщо дві точки 𝐴, 𝐵 прямої 𝑎 лежать на площині 𝛼, то кожна

точка прямої 𝑎 лежать на площині 𝛼.

7. Якщо дві площини 𝛼, 𝛽 мають спільну точку 𝐴, то вони мають

ще якнайменше ще одну спільну точку 𝐵.

8. Існують щонайменше чотири точки, що не лежать в одній

площині.

II. Аксіоми порядку.

1. Якщо точка 𝐵 лежить між точками 𝐴, 𝐶, то 𝐴, 𝐵, 𝐶 – різні

точки однієї прямої і точка 𝐵 лежить між точками 𝐶, 𝐴.

2. Які б не були точки 𝐴, 𝐶, існує щонайменше одна точка 𝐵 на

прямій 𝐴𝐶 така, що 𝐶 лежить між 𝐴 і 𝐵.

3. Серед любих трьох точок прямої існує не більш однієї точки,

що лежить між двома другими.

84

4. (аксіома Паша) Нехай 𝐴, 𝐵, 𝐶 – різні точки, що не лежать на

одній прямій, і 𝑎 – пряма, що не містить у собі точок 𝐴, 𝐵, 𝐶.

Тоді, якщо пряма 𝑎 проходить через точку відрізка 𝐴𝐵, то

вона проходить також через точку відрізка 𝐴𝐶, або через

точку відрізка 𝐵𝐶.

III. Аксіоми конгруентності (≡).

1. Якщо дві точки 𝐴, 𝐵 прямої 𝑎 і 𝐴′ – точка на тій же прямій

або на другій прямій 𝑎′, то завжди можна знайти по вказану

від точки 𝐴′сторону на прямій 𝑎′ одні і тільки одну точку 𝐵′,

таку, що відрізки 𝐴𝐵 і 𝐴′𝐵′ конгруентні.

2. 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵, 𝐴′′𝐵′′ ≡ 𝐴𝐵 ⟹ 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴′′𝐵′′.

3. Нехай 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 – відрізки на прямій 𝑎, що не мають внутрішніх

спільних точок, нехай також 𝐴′𝐵′, 𝐵′𝐶′– відрізки на прямій

𝑎′, що теж не мають спільних внутрішніх точок. Якщо при

цьому 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵, 𝐵′𝐶′ ≡ 𝐵𝐶, то 𝐴′𝐶′ ≡ 𝐴𝐶.

4. Кожний кут може бути однозначно відкладений в даній

площині по дану сторону при даному промені. Кожен кут

конгруентний самому собі.

5. Якщо 𝐴′𝐵′ ≡ 𝐴𝐵, 𝐵′𝐶′ ≡ 𝐵𝐶, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴′𝐵′𝐶′, то ∠𝐴𝐶𝐵 =

∠𝐴′𝐶′𝐵′, ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵′𝐴′𝐶′.

IV. Аксіоми неперервності.

1. (аксіома Архімеда) Нехай 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 – довільні відрізки. Тоді на

прямій 𝐴𝐵 існує скінченна кількість точок 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛,

розташованих так, що точка 𝐴1 лежить між 𝐴 і 𝐴2, точка

𝐴2 лежить між 𝐴 і 𝐴3 , і т. д., причому відрізки

𝐴𝐴1, 𝐴1𝐴2, … , 𝐴𝑛−1𝐴𝑛 конгруентні відрізку 𝐶𝐷 і 𝐵 лежить

між 𝐴 і 𝐴𝑛.

2. (аксіома Кантора) Кожна вкладена система відрізків має

спільну точку.

85

V. Аксіома паралельності.

1. Нехай 𝑎 – довільна пряма і 𝐴 – точка, що не лежить на цій

прямій; тоді в площині, яка містить в собі пряму 𝑎 і точку 𝐴,

можливо провести не більше однієї прямої через точку 𝐴, яка

б не перетинала пряму 𝑎.

Система аксіом взята з книги Н.В. Єфімов «Вища геометрія».

Як бачимо, правильна система аксіом Евкліда хоч наочно і очевидна, але

вимушує описувати купу геометричних властивостей, пов'язаних з

взаємовідношенням геометричних об’єктів і вкрай не пристосована до

узагальнень. Наочна геометрична очевидність безумовно зникає, якщо

необхідно описати об’єкт, який важко уявити, наприклад, чотиривимірний

простір разом з геометричними об’єктами. Але навіть на площині важко

уявити все, що описано у V постулаті, адже він вимушує стверджувати про те,

що відбувається в нескінченності. Не дивно, що цей постулат приніс з собою

велику проблему.

А з іншої сторони. Дуже проста ідея: ввести координати на площині. І,

очевидно, революційна. І, очевидно, геніальна, як це і повинно бути.

Отже, щоб привести шкільні знання до строгої системи, необхідно

спочатку упевнитись, що всі аксіоми евклідової геометрії виконуються в

термінах лінійного простору разом з поняттям довжині, за що відповідає

скалярний добуток, і з поняттям конгруентності, за що відповідають

ортогональні перетворення разом з паралельним перенесенням на заданий

вектор.

§2 Вибрані теореми планіметрії і стереометрії.

Цілий ряд початкових теорем евклідової геометрії з точки зору

аналітичної, як і більшість аксіом, є очевидними. Знаменита теорема Піфагора

стає просто визначенням довжини для довільного відрізка на площині.

86

Крім того, основними даними евклідової геометрії є довжини і кути, а

аналітичної – координати, що робить цілий ряд теорем зручними для однієї

геометрії і, навпаки, для другої. Наприклад, теорема Герона для знаходження

площі трикутника через довжини сторін зовсім не цікава, коли трикутник

задається координатами сторін або рівняннями для сторін. Дивлячись на це,

доведемо ті теореми евклідової геометрії, які і змістовні, і неочевидні.

Позначення 2.1. Кут між векторами 𝑎, 𝑏 будемо позначати ∠(𝑎, 𝑏),

довжину вектору 𝑎 – |𝑎| = √(𝑎, 𝑎).

Визначення 2.1.

𝑐𝑜𝑠∠(𝑎, 𝑏) =(𝑎, 𝑏)

|𝑎||𝑏|.

Згідно з нерівністю Коші – Буняковського |𝑐𝑜𝑠∠(𝑎, 𝑏)| ≤ 1.

Теорема 2.1 (косинусів). Якщо кут 𝛼 лежить навпроти сторони a

трикутника з сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐, то

𝑎2 = 𝑏2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝑐2.

Доведення.

𝑏 − 𝑐 = 𝑎,

(𝑏 − 𝑐, 𝑏 − 𝑐) = (𝑎, 𝑎),

|𝑏|2 − 2(𝑏, 𝑐) + |𝑐|2 = |𝑎|2.

Теорема 2.2 (площа трикутника). Якщо кут 𝛼 лежить навпроти

сторони c трикутника з сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐, то площа трикутника дорівнює

𝑆 =1

2|𝑎||𝑏|𝑠𝑖𝑛(𝛼).

Доведення. Розташуємо вектор 𝑎 на осі абсцис.

𝑆 =1

2|

|𝑎| 0(𝑏, 𝑒1) (𝑏, 𝑒2)

| =1

2|𝑎||𝑏| 𝑐𝑜𝑠∠(𝑏, 𝑒2) =

1

2|𝑎||𝑏| 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− ∠(𝑏, 𝑒1)) =

1

2|𝑎||𝑏| 𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

2− 𝛼).

87

Теорема 2.3 (про медіани трикутника). Медіани трикутника

перетинаються в одній точці і діляться перетином в відношенні 2:1, рахуючи

від вершини.

Доведення. Теорема є очевидною для правильного трикутника. Існує

лінійне перетворення, яке вершини правильного трикутника відображає в

довільні. При цьому відношення довжин зберігається.

Теорема 2.4 (про висоти трикутника). Висоти трикутника

перетинаються в одній точці.

Доведення. Довільний трикутник можливо розташувати, щоб

координати були такими: 𝐴(𝑎, 0), 𝐵(0, 𝑏), 𝐶(𝑐, 0). Бокові сторони задаються

рівняннями:

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1,

𝑥

𝑐+

𝑦

𝑏= 1,

отже висоти, що перпендикулярні сторонам і містять в собі точки

𝐴(𝑎, 0), 𝐵(0, 𝑏) відповідно задаються рівняннями:

𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑎𝑐, 𝑐𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑎𝑐.

Абсциса точки перетину цих прямих дорівнює 0.

Доведення наступної теореми показує дуже важливу роль вірного

вибору координат.

Теорема 2.5 (про бісектрису трикутника). Бісектриса трикутника

ділить протилежну сторону у відношенні довжин прилеглих сторін.

Доведення. Варіант 1.

Умова, що 𝐵𝐷 є бісектриса:

((𝑎, −𝑏), (𝑑, −𝑏))

√𝑎2 + 𝑏2=

((𝑐, −𝑏), (𝑑, −𝑏))

√𝑐2 + 𝑏2,

88

𝑎𝑑 + 𝑏2

√𝑎2 + 𝑏2=

𝑐𝑑 + 𝑏2

√𝑐2 + 𝑏2.

Необхідно довести, що

𝑑 − 𝑎

√𝑎2 + 𝑏2=

𝑐 − 𝑑

√𝑐2 + 𝑏2.

Доведення. Варіант 2.

Вісь абсцис – бісектриса. Необхідно довести, що

|𝑂𝐴|

|𝑂𝐵|=

|𝐴𝐷|

|𝐵𝐷|,

або

𝑎

𝑏=

𝑑 − 𝑎

𝑏 − 𝑑,

що витікає з подібності трикутників 𝐴𝐷𝐸, 𝐵𝐷𝐹.

Очевидно, другий варіант доведення набагато легший.

Теорема 2.6 (Чеви). Нехай точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 лежать на сторонах

𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 відповідно. Тоді якщо і тільки якщо

𝐴𝐶1

𝐶1𝐵∙

𝐵𝐴1

𝐴1𝐶∙

𝐶𝐵1

𝐵1𝐴= 1,

то прямі 𝐴𝐴1, 𝐵𝐵1, 𝐶𝐶1 перетинаються в одній точці.

Доведення. Оскільки всі співвідношення теореми зберігаються при

лінійних перетвореннях, то доводимо теорему для зручного трикутника.

89

Рівняння прямих:

𝑦 = 𝑎𝑥,𝑥

𝑏+ 𝑦 = 1, 𝑥 +

𝑦

𝑐= 1.

Позбавляємся 𝑦:

(1

𝑏+ 𝑎) 𝑥 = 1, (1 +

𝑎

𝑐) 𝑥 = 1.

Позбавляємся 𝑥:

(1 + 𝑎𝑏)𝑐 = (𝑐 + 𝑎)𝑏.

Співвідношення для відрізків, починаючи з гіпотенузи проти часової

стрілки:

𝑎 ∙1 − 𝑐

𝑐∙

𝑏

1 − 𝑏= 1 ⟺ 𝑎𝑏(1 − 𝑐) = 𝑐(1 − 𝑏),

як бачимо, теж саме.

Неможливо заперечити, що наглядне уявлення при доведенні теорем

стереометрії стає суттєво складнішим, а іноді і вкрай складним. В той же час

метод аналітичної геометрії майже не ускладнюється. Наприклад,

Теорема (про три перпендикуляри) 2.7.

90

Нехай 𝐴𝑂 ⊥ 𝑂𝐷, 𝑂𝐵. Тоді 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 ⟺ 𝑂𝐶 ⊥ 𝐵𝐶.

Доведення. Осі координат вибираємо в ортонормованому базисі , щоб

𝐴𝑂 = 𝛼𝑒3, 𝐵𝐶 ∥ 𝑒1 ⟺ 𝐵𝐶 = 𝛽𝑒1, 𝑂𝐵 = 𝛾𝑒2.

Необхідно довести, в координатах, що (𝛼𝑒3 + 𝛾𝑒2, 𝛽𝑒1) = 0.

Це очевидно.

В іншу сторону. Доведення від протилежного. Нехай (𝑒1, 𝑒3) =

(𝑒2, 𝑒3) = 0, (𝑒1, 𝑒2) ≠ 0. Тоді (𝐴𝐵, 𝑒2) ≠ 0.

Приклад 2.1. Відстань від точки (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) до площини 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 +

𝛿 = 0 в просторі.

Рівняння нормалі (𝛼, 𝛽, 𝛾), 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 = 1, до площини:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝛼𝑡, 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝛽𝑡, 𝑧(𝑡) = 𝑧0 + 𝛾𝑡.

Точка перетину нормалі з площиною:

𝛼𝑥0 + 𝛽𝑦0 + 𝛾𝑧0 + 𝛿 + 𝑡 = 0

Відстань дорівнює 𝑡, тобто

𝜌 = |𝛼𝑥0 + 𝛽𝑦0 + 𝛾𝑧0 + 𝛿|.

Якщо вектор нормалі не нормований, то

𝜌 =|𝛼𝑥0 + 𝛽𝑦0 + 𝛾𝑧0 + 𝛿|

√𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2.

Приклад 2.2. Відстань від точки (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) до прямої

𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛿 = 0 в просторі. В отриманій формулі беремо 𝛾 = 0:

𝜌 =|𝛼𝑥0 + 𝛽𝑦0 + 𝛿|

√𝛼2 + 𝛽2.

Приклад 2.2. Дана правильна чотирикутна піраміда 𝑀𝐴𝐵𝐶𝐷, всі ребра

якої дорівнюють 12. Точка 𝑁 – середина 𝑀𝐴, точка 𝐾 ділить 𝑀𝐵 в відношенні

2:1, рахуючи від вершини 𝑀.

Доведіть, що переріз через точки 𝑁, 𝐾 паралельно 𝐴𝐷 є рівнобічна

трапеція і знайдіть її площину.

Розв’язання. Виберемо систему координат так, щоб

𝑀(0,0, ℎ), 𝐴(𝑎, 0,0), 𝐵(0, 𝑎, 0), 𝐶(−𝑎, 0,0), 𝐷(0, −𝑎, 0). Тоді

91

𝑁 (𝑎

2, 0,

ℎ

2) , 𝐾 (0,

2𝑎

3,ℎ

3),

а коефіцієнти площі перерізу 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 + 𝛿 = 0 задовольняють

системі:{

𝛼𝑎 + ℎ𝛾 + 2𝛿 = 0,2𝑎𝛽 + ℎ𝛾 + 3𝛿 = 0,

𝛼 + 𝛽 = 0,

отже, рівняння площини: (𝑥 − 𝑦 + 3𝑎)ℎ = 7𝑎𝑧.

Рівняння бокових ребер:

𝑀𝐶: (−𝑎𝑡, 0, (1 − 𝑡)ℎ), 𝑀𝐷: (0, −𝑎𝑡, (1 − 𝑡)ℎ).

Точки перетину ребер з перерізом:

𝑁 (𝑎

2, 0,

ℎ

2) , 𝐾 (0,

2𝑎

3,ℎ

3),

(−𝑎𝑡 + 3𝑎)ℎ = 7𝑎(1 − 𝑡)ℎ ⟺ 𝑡 =2

3, 𝐸 (

−2𝑎

3, 0,

ℎ

3),

(𝑎𝑡 + 3𝑎)ℎ = 7𝑎(1 − 𝑡)ℎ ⟺ 𝑡 =1

2, 𝐹 (0,

−𝑎

2,ℎ

2).

Бачимо, що 𝑁𝐹 ∥ 𝐾𝐸. Площа трапеції дорівнює

1

2(|𝑁𝐹| + |𝐾𝐸|) 𝜌(𝑁, 𝐾𝐸) =

1

2(

𝑎√2

2+

2𝑎√2

3) 𝜌(𝑁, 𝐾𝐸) =

7𝑎√2

12𝜌(𝑁, 𝐾𝐸).

Найкоротша відстань від точки 𝑁 (𝑎

2, 0,

ℎ

2) до точок (𝑥, 𝑥, 0) є

√2𝑎2+4ℎ2

4.

§3 Криві і поверхні другого порядку.

Після вивчення властивостей лінійних просторів, лінійних функцій і

лінійних перетворень природно перейти до вивчення нелінійних об’єктів.

Отже, почнемо вивчати множини, які задаються квадратичними функціями.

В ℝ2:

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎11𝑥2 + 2𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0.

В ℝ3:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎11𝑥2 + 𝑎22𝑦2 + 𝑎33𝑧2 + 2𝑎12𝑥𝑦 + 2𝑎13𝑥𝑧 + 2𝑎23𝑦𝑥 +

𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 + 𝑐 = 0.

92

Або в матричному вигляді для довільної розмірності:

𝐹(𝑋) = 𝑋𝑇𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝑐 = 0, 𝐴𝑇 = 𝐴.

Необхідно зробити лінійну змінних, щоб квадратична частина 𝑋𝑇𝐴𝑋

нашої функції прийняла найбільш простий вигляд, але для цього треба виявити

деякі властивості функції 𝐹(𝑋) в зв’язку з матрицею 𝐴.

При заміні змінних 𝑋 = 𝐻𝑋1 функція 𝑋𝑇𝐴𝑋 не повинна змінитися,

тобто, 𝑋𝑇𝐴𝑋 = (𝐻𝑋1)𝑇𝐴𝐻𝑋1 = 𝑋1𝑇𝐻𝑇𝐴𝐻𝑋1 = 𝑋1

𝑇(𝐻𝑇𝐴𝐻)𝑋1 матриця 𝐴

заміняється на 𝐻𝑇𝐴𝐻. Якщо ми бажаємо, також, не деформувати поверхню або

криву, то матриця 𝐻 повинна бути ортогональною, тобто 𝐻𝑇 = 𝐻−1. В такому

випадку матриця 𝐴 при заміні на 𝐻𝑇𝐴𝐻 = 𝐻−1𝐴𝐻 трансформується тим же

чином, що і лінійне перетворення з матрицею 𝐴. Оскільки для лінійних

перетворень ми вже маємо метод для приведення до канонічного вигляду, то

можемо його застосувати. Для цього необхідно знайти власні вектори, якщо

вони існують.

Теорема 3.1. Нехай функція 𝑋𝑇𝐴𝑋 досягає максимуму або мінімуму на

сфері |𝑋| = 1. Тоді вектор 𝑋 є власним для лінійного перетворення, що задає

матриця 𝐴.

Доведення. Обчислімо лінійне прирощення функції 𝑋𝑇𝐴𝑋 в напряму

ℎ ⊥ 𝑋.

(𝑋 + ℎ)𝑇𝐴(𝑋 + ℎ) = 𝑋𝑇𝐴𝑋 + 𝑋𝑇𝐴ℎ + ℎ𝑇𝐴𝑋 + ℎ𝑇𝐴ℎ.

Оскільки вираз ℎ𝑇𝐴𝑋 є число, то, враховуючи (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 ,

𝑋𝑇𝐴ℎ = (𝑋𝑇𝐴ℎ )𝑇 = ℎ𝑇𝐴𝑋

і тоді лінійне прирощення дорівнює 2ℎ𝑇(𝐴𝑋) = 2(𝐴𝑋, ℎ).

Воно повинно дорівнювати нулю, тобто 𝐴𝑋 ⊥ ℎ для будь-якого ℎ ⊥ 𝑋,

отже 𝐴𝑋 ∥ 𝑋.

Теорема 3.2. Нехай функція 𝐹(𝑋) є неперервною на сфері |𝑋| = 1. Тоді

вона обмежена і досягає максимуму і мінімуму.

Доведення повторює доведення теореми про неперервну функцію

задану на відрізку.

93

Теорема 3.3. Нехай лінійне перетворення 𝐴 в евклідовому просторі має

симетричну матрицю 𝐴𝑇 = 𝐴, або, що теж саме:

∀𝑋, 𝑌 (𝑋, 𝐴𝑌) = (𝐴𝑋, 𝑌).

Тоді, якщо 𝑈 є інваріантний простір, тобто 𝐴𝑈 ⊂ 𝑈, то те ж вірно для

ортогонального до 𝑈 простору 𝑈⊥.

Доведення. Нехай 𝑋 ∈ 𝑈⊥, тоді

(𝐴𝑋, 𝑈) = (𝑋, 𝐴𝑈) = 0.

Теорема 3.4. Лінійне перетворення 𝐴 з симетричною матрицею має

ортонормований власний базис.

Доведення. В точці 𝑋, де функція 𝑋𝑇𝐴𝑋 досягає максимуму або

мінімуму 𝐴𝑋 = 𝜇𝑋, отже простір {𝑋} є інваріантним. Далі розглядаємо ту ж

функцію на просторі {𝑋}⊥.

Наслідок 3.1. Існує лінійне ортогональне перетворення, в наслідок якого

матриця квадратичної функції 𝑋𝑇𝐴𝑋 стає діагональною.

𝐹(𝑋) = ∑(𝑎𝑖𝑖𝑥𝑖2 + 𝑏𝑖𝑥𝑖) + 𝑐 = 0.

𝑛

𝑖=1

𝐹(𝑋) = 𝑎11𝑥2 + 𝑎22𝑦2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0.

𝑎11 ≠ 0, 𝑎22 ≠ 0.

𝐹(𝑋) = 𝑎11 (𝑥 +𝑏1

2𝑎11)

2

+ 𝑎22 (𝑦 +𝑏2

2𝑎22)

2

−𝑏1

2

4𝑎11−

𝑏22

4𝑎22+ 𝑐 = 0,

𝐹(𝑋) = 𝑎11𝑥12 + 𝑎22𝑦1

2 + 𝑐1 = 0.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑐1 < 0.

Еліпс.

94

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑐1 < 0.

Гіпербола.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑐1 = 0.

Одна точка: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑐1 > 0.

Пуста множина.

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑐1 = 0.

Дві прямі, які перетинаються.

𝑎11 = 0, 𝑎22 ≠ 0, 𝑏1 ≠ 0.

Парабола.

𝐹(𝑋) = 𝑎22𝑦2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0.

𝐹(𝑋) = (𝑦 +𝑏2

2𝑎22)

2

+𝑏1

𝑎22(𝑥 +

𝑐

𝑏1−

𝑏22

4𝑎22𝑏1) = 0.

𝐹(𝑋) = 𝑦12 − 2𝑝𝑥1 = 0.

95

𝑎11 = 0, 𝑎22 ≠ 0, 𝑏1 = 0.

𝐹(𝑋) = 𝑎22𝑦2 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0.

Дві паралельні прямі або співпадаючі або пуста множина.

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎11𝑥2 + 𝑎22𝑦2 + 𝑎33𝑧2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 + 𝑐 = 0.

Діємо, як і в випадку розмірності 2.

𝑎11 ≠ 0, 𝑎22 ≠ 0, 𝑎33 ≠ 0 .

𝐹(𝑋) = 𝑎11𝑥12 + 𝑎22𝑦1

2 + 𝑎33𝑧12 + 𝑐1 = 0.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 > 0, 𝑐1 < 0.

Еліпсоїд. Можна отримати еліпса обертанням навколо осі 𝑥 з

наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

96

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 < 0, 𝑐1 < 0.

Однополий гіперболоїд. Можна отримати гіперболи обертанням

навколо осі 𝑦 з наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑎33 < 0, 𝑐1 > 0.

Двополий гіперболоїд. Можна отримати обертанням гіперболи навколо

осі 𝑥 з наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑎33 < 0, 𝑐1 = 0.

Конус. Можна отримати обертанням прямих, що перетинаються,

навколо осі 𝑥 з наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

97

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 > 0, 𝑐1 = 0.

Точка 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 > 0, 𝑐1 > 0.


𝑎11 ≠ 0, 𝑎22 ≠ 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 ≠ 0.

𝐹(𝑋) = 𝑎11𝑥12 + 𝑎22𝑦1

2 + 𝑏3𝑧1 + 𝑐1 = 0.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 < 0.

Еліптичний параболоїд. Можна отримати обертанням параболи

навколо осі 𝑥 з наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 < 0.

98

Гиперболічний параболоїд. Можна отримати протягненням параболи

𝑎22𝑦12 + 𝑏3𝑧1 + 𝑐1 = 0, 𝑥1 = 0, вздовж параболи 𝑎11𝑥1

2 + 𝑏3𝑧1 + 𝑐1 = 0, 𝑦1 =

0, з наступним розтягуванням або стисненням по осі 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 = 0.

Вісь 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 > 0.


𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 < 0.

Еліптичний циліндр. Можна отримати протягненням еліпсу вздовж осі

𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 < 0.

Гіперболічний циліндр. Можна отримати протягненням гіперболи

вздовж осі 𝑧.

99

𝑎11 > 0, 𝑎22 < 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 = 0.

Дві площини, які перетинаються.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 = 0.

Вісь 𝑧.

𝑎11 > 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏3 = 0, 𝑐1 > 0.


𝑎11 = 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏12 + 𝑏3

2 ≠ 0.

Параболічний циліндр. Можна отримати протягненням параболи

вздовж осі 𝑧

𝑎11 = 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏12 + 𝑏3

2 = 0, 𝑐1 ≤ 0.

Дві паралельні або співпадаючі площини.

100

𝑎11 = 0, 𝑎22 > 0, 𝑎33 = 0, 𝑏12 + 𝑏3

2 = 0, 𝑐1 > 0.


§4. Векторний добуток. Алгебри Лі.

Визначення 4.1. Векторним добутком в тривимірному евклідовому

просторі називається відображення, яке співставляє впорядкованій парі

векторів (𝑥, 𝑦), ортогональний їм вектор 𝑧, довжина якого дорівнює площі

паралелограму, що визначають вектори 𝑥, 𝑦, а напрям вибирається таким,

що вектори (𝑥, 𝑦, 𝑧) мають позитивну орієнтацію.

Зауваження 4.1. Визначення є коректним у випадку, коли вектори 𝑥, 𝑦

пропорційні, тому що тоді їх векторний добуток дорівнює нулю і питання

орієнтації вже не стоїть.

Позначення 4.1. Для векторного добутку векторів 𝑥, 𝑦 , як правило,

використовуються позначення: 𝑥 × 𝑦 або [𝑥, 𝑦].

Твердження 4.1.

(а) [𝑒1, 𝑒2] = 𝑒3, [𝑒2, 𝑒3] = 𝑒1, [𝑒3, 𝑒1] = 𝑒2.

(б) Векторний добуток є білінійна вектор-функція.

(в) [𝑥, 𝑦] = −[𝑥, 𝑦].

(г) [[𝑥, 𝑦], 𝑧] = (𝑥, 𝑧)𝑦 − (𝑦, 𝑧)𝑥.

(д) Тотожність Якобі: [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] = 0.

Доведення.

(а) Білінійність витікає з білінійності функції площі.

(б) Кососиметричність також витікає з кососиметричності функції

площі.

(в) Достатньо перевірити на векторах базису.

101

Тотожність виконується, якщо вектори 𝑥, 𝑦, 𝑧 дорівнюють 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3,

взятих у довільному порядку, або одному і тому ж вектору.

Без обмеження загальності можна вважати 𝑧 = 𝑒1:

[[𝑥, 𝑦], 𝑒1] = (𝑥, 𝑒1)𝑦 − (𝑦, 𝑒1)𝑥.

Тотожність вірна, якщо 𝑥 = 𝑦. Тотожність кососиметрична по 𝑥, 𝑦.

Остається переконатися, що вірно

[[𝑒1, 𝑒2], 𝑒1] = (𝑒1, 𝑒1)𝑒2 − (𝑒2, 𝑒1)𝑒1,

[[𝑒1, 𝑒3], 𝑒1] = (𝑒1, 𝑒1)𝑒3 − (𝑒3, 𝑒1)𝑒1.

(г) Скористатися пунктом (в).

Твердження 4.2. В канонічному евклідовому базисі

(а) [(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)] = (𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2, 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3, 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦3).

(б) ( [(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)], (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3)) = 𝑑𝑒𝑡 (

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

).

Доведення. (а) Розписати вектори по базису і скористатися пунктом (а)

твердження 4.1.

(б) Об’єм паралелепіпеду дорівнює добутку площі основи на висоту.

Твердження 4.3. Ортогональні матриці задовольняють умовам:

(а) Одинична матриця є ортогональною.

(б) Довільна ортогональна матриця має обернену.

(в) Операція множення ортогональних матриць є асоціативною.

Доведення. Всі пункти є прямим слідством того, що ортогональна

матриця задає лінійне перетворення, яке зберігає всі відстані і кути.

Зауваження 4.1. Множина з операцією множення, яка задовольняє

пунктам (а),(б),(в) твердження 4.3, називається групою.

Твердження 4.4. Операція множення ортогональних матриць є

неперервним і диференційовним відображенням, якщо вважати ортогональні

матриці елементами евклідового простору ℝ𝑛2.

102

Доведення є проста перевірка визначень неперервності і

диференційовності у метричному просторі.

Зауваження 4.2. Група, яка задовольняє твердженню 4.3, називається

групою Лі.

Позначення 4.1: 𝑆𝑜(𝑛) – група Лі ортогональних матриць n-ого порядку

з позитивним визначником.

𝑂(𝑛) – група Лі ортогональних матриць n-ого порядку.

Твердження 4.5. Нехай 𝐴(𝑡) – траєкторія в просторі ортогональних

матриць. Тоді похідна 𝛺 в точці 𝐴(𝑡) = 𝐸 є кососиметричною матрицею,

𝛺𝑇 = −𝛺.

Доведення. 𝐴(𝑡)𝐴(𝑡) 𝑇 ≡ 𝐸, отже в точці 𝐸

𝑑

𝑑𝑡( 𝐴(𝑡))𝐴(𝑡) 𝑇 + 𝐴(𝑡)

𝑑

𝑑𝑡(𝐴(𝑡)𝑇) ≡ 0 ⟹

(𝐸 + 𝛺𝑡 + 𝛼𝑡)𝐴(𝑡) 𝑇 + 𝐴(𝑡)(𝐸 + 𝛺𝑡 + 𝛼𝑡)𝑇 − 𝐸 ≡ 0

і в точці 𝐸:

(𝛺 + 𝛺𝑇)𝑡 + (𝛼 + 𝛼𝑇)𝑡 ≡ 0 ⟹ 𝛺 + 𝛺𝑇 = 0.

Теорема 4.1. Похідна від перетворення (𝐴, 𝐵) → 𝐴𝐵𝐴−1𝐵−1, в точці 𝐸,

де 𝐴, 𝐵- ортогональні матриці є:

(Ω, Ψ) → ΩΨ − ΨΩ.

Позначення 4.2: ΩΨ − ΨΩ = [Ω, Ψ].

Доведення.

(𝐸 + 𝛺𝑡 + 𝛼𝑡)(𝐸 + 𝛹𝑡 + 𝛽𝑡)(𝐸 − 𝛺𝑡 + 𝛼𝑇𝑡)(𝐸 − 𝛹𝑡 + 𝛽𝑇𝑡) − 𝐸 =

(ΩΨ − ΨΩ)𝑡 + ⋯

Теорема 4.2.

(а) Операція (Ω, Ψ) → ΩΨ − ΨΩ є білінійна матрична функція.

(б) [Ω, Ψ] = −[Ψ, Ω].

(в) Тотожність Якобі: [[Ω, Ψ], Θ] + [[Ψ, Θ], Ω] + [[Θ, Ω], Ψ] = 0.

Доведення – проста перевірка.

103

Зауваження 4.2.Лінійний простір, в якому визначена операція з умовами

теорем 4.2, називається алгеброю Лі.

Позначення 4.3: 𝑠𝑜(𝑛) – алгебра Лі ортогональних матриць n-ого

порядку з позитивним визначником.

Теорема 4.3. Векторний добуток задає структуру алгебри Лі 𝑠𝑜(3).

Доведення. Візьмемо

𝐴 = (

0 𝑥1 −𝑥2

−𝑥1 0 𝑥3

𝑥2 −𝑥3 0) , 𝐵 = (

0 𝑦1 −𝑦2

−𝑦1 0 𝑦3

𝑦2 −𝑦3 0).

Переконаємся, що

𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 = (

0 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 𝑥1𝑦3 − 𝑥3𝑦1

−𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦2 0 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1

−𝑥1𝑦3 + 𝑥3𝑦1 −𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 0).

mil.univ.kiev.ua2 ЗМІСТ ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Documents