mikro konomik b 1. intertemporale entscheidung · 2014. 3. 26. · mikro b - 1.1...
TRANSCRIPT
Mikroökonomik B1. Intertemporale Entscheidung
Dennis Gärtner
10. April 2012
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Intertemporale Entscheidung
◮ Literaturangaben:◮ Varian (2011), Kapitel 10 und 11.
◮ Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.Konsumentscheidung über die Zusammensetzungverschiedener Güterbündel.
◮ Alternative Interpretation: Entscheidung überKonsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).
◮ Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen,Finanz- und Kreditmärkte, Makroökonomie.
2 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Notation◮ Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.◮ xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in
Periode t .◮ Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es
könnte z.B. stellvertretend für einen Warenkorb stehen.◮ Der Vektor x = (x1, x2, . . . , xT ) ist ein Konsumplan .◮ Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller
möglichen Konsumpläne, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibtdie Konsummöglichkeiten eines Konsumenten.
◮ Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkteund konvexe Teilmenge des R
T+ und enthalte 0.
◮ Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichenKonsum z.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.
3 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge◮ Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur
solche Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis seinverfügbares Einkommen nicht übersteigen.
◮ Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t .◮ Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetäre
Einkommen eines Konsumenten in Periode t .◮ Formal heisst das, der Konsument kann nur solche
Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen.B enthält alle xtpt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt tverfügbaren Einkommen sind.
◮ B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t inandere Perioden übertragen werden kann.
◮ D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).
4 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge ohne Kapitalmarkt
◮ Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden-Einkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.
◮ Was ist die Budgetmenge B?◮ Alle Konsumpläne x , so dass die Kosten das Einkommen
in jeder Periode t nicht übersteigen:
B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,p2x2 ≤ m2, . . . ,pT xT ≤ mT}.
◮ Das Optimierungsproblem ist trivial:Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimaleKonsumplan mit dem verfügbaren Einkommen zusammen.
◮ Ist dieses Szenario realistisch?
5 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
Anfangs-Einkommen m1
und m2 bestimmen einenKonsumplan x1 = m1/p1
und x2 = m2/p2, der inder Budgetmenge liegenmuss.
6 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
Budgetmenge beiEinkommen m1 und m2
ohne Zugang zumKapitalmarkt: x1 ≤ m1/p1
und x2 ≤ m2/p2.
7 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit ‘Sparmarkt’◮ Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann
zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einerPeriode angelegt werden. Es gibt keine Kredite.
◮ Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht inPeriode t + 1 ein Betrag von (1 + r)y zur Verfügung.
◮ Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r derNetto-Zinssatz genannt.
◮ Was ist die Budgetmenge B?
B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,
p2x2 + (1 + r)p1x1 ≤ m2 + (1 + r)m1, . . . ,T∑
t=1
(1 + r)T−tptxt ≤T∑
t=1
(1 + r)T−tmt}.
8 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
-(1+r)p1/p
2
Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, aber nichtumgekehrt.
9 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt◮ Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode
kann zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer voneiner Periode angelegt oder ausgeliehen werden.
◮ Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeitreisen.
◮ D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen undkönnen das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch inEinkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken.
◮ Z.B. in t = 1 Einkommen:
y = m1 +m2
1 + r+
m3
(1 + r)2 + . . .+mT
(1 + r)T−1 .
◮ y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) desEinkommensstroms m1,m2, . . . ,mT .
10 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt
◮ Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in anderePerioden transferiert werden kann, ergibt sich dieBudgetmenge zu
B=
{
x ∈X : p1x1 +p2x2
1+r+ . . .+
pT xT
(1+r)T−1 ≤
T∑
t=1
mt
(1+r)t−1
}
.
◮ Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplansx darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommensnicht übersteigen.
◮ Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern ineiner Periode, falls das Einkommen durch eineAnfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wirdhier das Einkommen endogenisiert.
11 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
-(1+r)p1/p
2 Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, und umgekehrt.Budgetmenge bestimmtdurch
x1p1 +x2p2
1 + r≤ m1 +
m2
1 + r.
12 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Präferenzen über intertemporale Konsumpläne◮ Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch
Präferenzen über intertemporale Allokation, alsoKonsumpläne.
◮ Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläneeines Konsumenten sind darstellbar durch eineNutzenfunktion U(x1, x2, . . . , xT ).
◮ Meist treffen wir folgende Annahmen◮ konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x , x ′ ∈ X ist
die Bessermenge {x ′ ∈ X : U(x ′) ≥ U(x)} konvex,◮ monotone Präferenzen: in jeder Periode ist mehr Konsum
eines Gutes (schwach) besser als weniger.
◮ Intuition: Kombination von zwei gleich gutenKonsumplänen wird gegenüber jedem der beidenKonsumpläne präferiert.
13 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konvexe Präferenzen graphisch
x1
x2
x'
xU(tx+(1-t)x') > U(x) = U(x')
Indi!erenzkurve
Besser-Richtung
Jede positive Mischungder Konsumpläne xund x ′ liegt in derBessermenge von x .
‘Ausgewogene’Konsumpläne werdenpräferiert.
14 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung◮ Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument
seinen Nutzen über alle Konsumpläne in derBudgetmenge:
maxx∈X
U(x) s.d. x ∈ B.
◮ Unter monotonen Präferenzen und vollständigemKapitalmarkt ist das Optimierungsproblem
maxx∈X
U(x) s.d.T∑
t=1
ptxt
(1 + r)t−1 =T∑
t=1
mt
(1 + r)t−1 .
◮ Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x∗.◮ Graphisch: x∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und
Indifferenzkurve.
15 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x1
*
m2
m1
x2
* x*
m
Bg
I
Optimaler Konsumplanx∗ ist Tangentialpunktvon Budgetgerade Bgund Indifferenzkurve I.
Wenn x∗
1 > m1/p1, dannist der Konsument int = 1 Kreditnehmer.
(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)
16 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮ Form von U(x) = U(x1, . . . , xT )?◮ Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren
U(x) = u(x1) + δu(x2) + δ2u(x3) + . . . + δT−1u(xT ).
◮ δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzenbewertet wird.
◮ δ misst Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, destowichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum imVergleich zu gegenwärtigem Konsum.
◮ Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumentenist konsistent über die Zeit.
17 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung◮ Optimierungsproblem mit zwei Perioden:
maxx1,x2
u(x1) + δu(x2) s.d. p1x1 +p2x2
1 + r= m1 +
m2
1 + r.
◮ Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r)(m1−p1x1)+m2p2
.◮ Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung
u′(x1) = (1 + r)p1
p2δ u′(x2) ⇔
u′(x1)
δ u′(x2)︸ ︷︷ ︸GRS12
=(1 + r)p1
p2.
◮ Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigenKonsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheitgegenwärtigen Konsums zum Preis (1 + r)p1
p2.
◮ Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?
18 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮ Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1 + r?◮ Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus
Ersparnissen verändern sich.◮ D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im
Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum.◮ Dadurch verändert sich die Budgetmenge:
◮ Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierteKonsumpläne hinzu, ersparte fallen weg.
◮ Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierteKonsumpläne weg, ersparte kommen hinzu.
19 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
−(1 + r1)p1p2
Ausgangssituation:Optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗
bei Einkommen m undZinssatz 1 + r1. K istKreditnehmer in t = 1.
20 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
−(1 + r2)p1p2
Zinssatz erhöht sich aufr2 > r1.
Neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.
x∗ ist nicht mehr in derBudgetmenge enthalten.
21 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
Optimaler Konsumplanist nun x∗∗.
Zinserhöhung bewirktKonsumverlagerung vonPeriode 1 nach 2;
hier so stark, dass KKreditgeber wird.
22 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes
◮ Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhöhung, dasszukünftiger Konsum billiger wird und der Konsument dengegenwärtigen Konsum einschränkt.
◮ Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn derZinssatz steigt?
◮ Um diese Frage zu beantworten, können wir dieSlutsky-Gleichung benutzen.
◮ Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass dieNachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preissich in Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilenlässt.
◮ Der Substitutionseffekt ist der Preisänderungentgegengesetzt.
23 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veränderung des Zinssatzes◮ Eigener Preis: Preis für eine Einheit x1 ist p1(1 + r)
gemessen in monetärem Einkommen in Periode 2.◮ Slutsky-Gleichung formal:
∂x∗
1
∂p1(1+r)︸ ︷︷ ︸
(?)
=∂xh
1
∂p1(1+r)︸ ︷︷ ︸
(−)
+
(m1
p1− x∗
1
)
︸ ︷︷ ︸
(?)
∂x∗
1
∂m︸︷︷︸
(+)
,
Nachfrageänderung = Substitutions- + Einkommenseffekt
◮ Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt aufEinkommen m1 und Konsum x1, Nettoeffekt istentscheidend.
◮ Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffektpositiv.
◮ D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsumverringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen.
24 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Ausgangssituation:optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗
bei Einkommen m undZins r1. Konsument istKreditgeber.
25 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Zinserhöhung auf r2 > r1,neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.
26 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Substitutionseffektxh
1 − x∗
1 : Budget wird soangepasst, dass der alteNutzen gerade erreichtwird, ergibt xh
1 .
27 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Neuer optimaler Konsum-plan x∗∗ bei r2 ergibt Ein-kommenseffekt x∗∗
1 − xh1 .
Gesamteffektx∗∗
1 − x∗
1 = SE + EE .
28 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation◮ Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .◮ D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation)
oder sinken (Deflation).◮ Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf
Periode t + 1 mit 1 + π =pt+1pt
.◮ Wir nennen π die Inflationsrate .◮ Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,
erhält man in t + 1pt
pt+1(1 + r) =
1 + r1 + π
≡ 1 + ρ
Einheiten des Gutes.◮ Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den
Nominalzinssatz .
29 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮ Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertragan, während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt.
◮ Zusammenhang:
1 + r = (1 + ρ)(1 + π),
ρ =r − π
1 + π≈ r − π.
30 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert
◮ Bewertung von zukünftigem Einkommen?◮ Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme
m = (m0, . . . ,mT ) und m′ = (m′
0, . . . ,m′
T ).◮ Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für eine
Periode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden.◮ Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wert
beider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zuvergleichen.
◮ Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:
BW (m) = m0 +m1
1 + r+
m2
(1 + r)2 + . . . +mT
(1 + r)T .
31 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert & Zukunftswert
◮ Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 0ist ein Zukunftswert:
ZWt(m)=(1+r)tm0+(1+r)t−1m1+. . .+(1+r)t−T mT .
◮ Falls BW (m) > BW (m′), dann◮ gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt (m) > ZWt(m′),
t = 1, 2, . . . ,T , und
◮ wird jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h.mehr Konsum ist besser) m gegenüber m′ vorziehen.
32 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Addieren von Einkommensströmen
◮ Ihr ursprünglicher Einkommensstrom seim = (m0,m1, . . . ,mT ).
◮ Nun komme ein Strom (z.B. hinzugekaufte Anleihe) vonm′ = (m′
0,m′
1, . . . ,m′
T ) hinzu.◮ Wie hoch ist der Barwert des Netto-Stromes m + m′?
BW (m + m′) = (m0 + m′
0) +m1 + m′
1
1 + r+
m2 + m′
2
(1 + r)2 + · · ·
= BW (m) + BW (m′).
33 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert einer ewigen Rente (Annuität)
◮ Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohenAuszahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft (Auszahlungjeweils am Periodenende).
◮ Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrommittels Barwertes bewerten und vergleichen?
◮ Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu
BW (m)=0 +m
1+r+
m(1+r)2 +
m(1+r)3 + . . .
=1
1+r
(
m +m
1+r+
m(1+r)2 + . . .
)
=m + BW (m)
1+r.
◮ Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =mr
.
34 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel
◮ Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zubekommen und dafür den Rest des Semesters (11Wochen) pro Woche 1 Euro zurückzuzahlen.
◮ Zahlungsstrom:m = (10,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1).
◮ Ist das ein gutes Geschäft?◮ Dispokredit hat Zinssatz von ca. 1% im Monat, also etwa
0,25% pro Woche.◮ Barwert:
BW (m) = 10 −11∑
t=1
1(1,0025)t = −0,84.
◮ Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1,7% pro Woche.
35 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Wertpapiernachfrage◮ Finanzinstrumente darstellbar als handelbare
Zahlungsströme der Art (m0,m1, . . . ,mT ).◮ Beispiele:
m0 m1 m2 . . . mT−1 mT
Raten-Kredit: ++ − − − − −
Anleihe: −− + + + + ++
◮ Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r , sindZahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar.
◮ BW (m′′) > BW (m′) ⇒ Budgetmenge unter m′′ enthältjene unter m′ strikt ⇒ Jeder Konsument mit strengmonotonen Präferenzen zieht m′′ gegenüber m′ strikt vor.
◮ Man sagt: m′′ dominiert m′.
36 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage◮ Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert
den eines anderen m′. Was folgt für dieWertpapiernachfrage?⇒ m′ wird nicht nachgefragt.
◮ Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auchverkaufen (man denke z.B. an Kredite).
◮ Was halten Sie von folgendem Plan: Zahlungsverprechenm′ abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.
◮ Barwert dieses Planes: BW (m)− BW (m′) > 0, egal obBW (m) positiv oder negativ.
◮ D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen undm′ anbieten, sooft wie möglich.
◮ Also können m und m′ nicht beide gehandelt werden.
37 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮ Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinierenverschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiverBarwert erreichen lässt, nennt man dies eine Möglichkeitfür Arbitrage .
◮ Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlichgehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeitexistiert (Arbitragefreiheit ).
◮ Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds fürArbitragefreiheit auf Kapitalmärkten.
◮ Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme,die gehandelt werden, müssen den gleichen Barwerthaben!
◮ Annahme dabei: keine Transaktionskosten.
38 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮ Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahlzwischen Gütern “Konsum heute” und “Konsum morgen”.
◮ Gängige Annahme: Präferenzen der Form
U(x1, . . . , xT ) =T∑
t=0
δtu(xt).
◮ δ nennt man Diskontfaktor , kann als Geduld interpretiertwerden:
◮ δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet alsheutiger,
◮ δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger.
39 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion◮ Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant
über die Zeit (exponentielles Diskontieren).◮ Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent.◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:
GRS12 = −dx2
dx1
∣∣∣∣dU=0
=∂U(x1, . . . , xT )/∂x1
∂U(x1, . . . , xT )/∂x2=
u′(x1)
δu′(x2)
◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:
GRS23 =δu′(x2)
δ2u′(x3)=
u′(x2)
δu′(x3)= GRS12.
◮ Optimierungsproblem sieht in jeder Periode “gleich” aus.◮ Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen
Perioden gleich viel konsumiert (da GRSt,t+1 = (1 + ρ)).
40 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen
◮ Sie können in einer der nächsten 3 Wochen ins Kino.◮ Wert der Filme xt (gemessen in Geldeinheiten der
jeweiligen Periode):
Film 1 Film 2 Film 3xt 3 8 24
◮ Wenn Sie diese Woche nicht ins Kino gehen, können Siesich nächste Woche nochmals zwischen Film 2 und 3entscheiden.
◮ Präferenzen 1 (‘exponentielles Diskontieren’):U(x) = x1 + 1
2x2 +(1
2
)2x3 +
(12
)3x4 + · · ·
◮ Präferenzen 2 (‘hyperbolisches Diskontieren’):U(x) = x1 + 1
4x2 + 14x3 + 1
4x4 + · · ·
41 / 42
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen◮ Präferenzen 1: U(x) = x1 + 1
2x2 +(1
2
)2x3 +
(12
)3x4 + · · ·
xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 4 8Film 3 24 6 12
◮ Präferenzen 2: U(x) = x1 + 14x2 +
14x3 +
14x4 + · · ·
xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 2 8Film 3 24 6 6
→ Präferenzen 2 sind zeitinkonsistent: Sie wollen dieseWoche lieber in Film 3 als 2, nächste Woche sehen Siedas anders!
42 / 42