midterm tufree mechanics

TU-FREE MIDTERM STATICS & DYNAMICS

ติวฟร ีMECHANICS MIDTERM EXAM

1 STRUCTURAL ANALYSIS TRUSS Truss ประกอบขึ้นจากหลายชิ้นส่วน จนเป็นโครงสร้างที่แข็งแรง ตัวอย่างเช่น สะพานต่างๆ โครงหลังคา หรือเสาไฟฟ้าแรงสูง เป็นต้น สิ่งที่เราใส่ใจก็คือ “แรงภายใน” ที่แต่ละชิ้นส่วนรับไว้ เพื่อไปคำนวณต่อว่าชิ้นส่วนนั้นจะเสียหายหรือเปล่า

� �

Statically determinate m + 3 = 2j :

METHOD OF JOINT คำนวณหา แรงภายใน(internal force) จากสมการสมดุลของ joint แต่ละ joint

1

Engineering Mechanics: Statics

Chapter 4: Structures

Statically Determinate Structure Do not have more supporting constraints than are

necessary to maintain equilibrium This chapter focus on trusses, frames and machines

Truss = A framework composed of members joined at their ends to form a rigid structure

When the members lie in a single plane = a plane truss

2

Simple Trusses Basic element of a plane truss = triangle Three bars joined by pins at their ends

constitute a “rigid” frame (noncollapsible) Structures built from a basic triangle are known

as simple trusses Truss members = Two-force members

Simple Trusses Assumptions

All external forces are applied at the joints. (If consider weight, apply half of the magnitude at each end)

The members are joined together by pin connections

Two approaches for force analysis Method of joints Method of sections

∑Fx = 0∑Fy = 0

- # - facebook.com/b.EngSocial2

http://facebook.com/b.EngSocial

ติวฟร ีMECHANICS FINAL EXAM

1. [midterm 1/2553] Determine the force in all member of the truss. Is the structure statically determinate? Why?




2. Using the method of joints, determine the force in members EG, and ED, and state if the members are in tension or compression.


A E

B C D

6 kN8 kN

G F

3 m

3 m 3 m 3 m

3 m

3 m3 m

Probs. 6–36/37

6.4 THE METHOD OF SECTIONS 287

6

PROBLEMS

6–34. Determine the force in members JK, CJ, and CD ofthe truss, and state if the members are in tension orcompression.

6–35. Determine the force in members HI, FI, and EF ofthe truss, and state if the members are in tension orcompression.

*6–32. The Howe bridge truss is subjected to the loadingshown. Determine the force in members HD, CD, and GD,and state if the members are in tension or compression.

•6–33. The Howe bridge truss is subjected to the loadingshown. Determine the force in members HI, HB, and BC,and state if the members are in tension or compression.

6–31. The internal drag truss for the wing of a lightairplane is subjected to the forces shown. Determine theforce in members BC, BH, and HC, and state if themembers are in tension or compression.

*6–36. Determine the force in members BC, CG, and GFof the Warren truss. Indicate if the members are in tensionor compression.

•6–37. Determine the force in members CD, CF, and FGof the Warren truss. Indicate if the members are in tensionor compression.

2 ft

A B C D

J I H G

E

F

2 ft 2 ft 2 ft 1.5 ft

80 lb 80 lb60 lb

40 lb

Prob. 6–31

A EB C D

IJ

30 kN20 kN 20 kN

40 kN

H G F

4 m

16 m, 4@4m

Probs. 6–32/33

AB C D FE

G

H

IJ

L

K

6 kN8 kN5 kN4 kN

3 m

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

Probs. 6–34/35



METHOD OF SECTION

เป็นวิธีการวิเคราะห์แรงภายในโดยการตัด section ของ member ที่สนใจออกเป็นสองส่วน จากนั้นคำนวณหาแรงภายในจากสมการ

3. Determine internal force of members EF and GI

∑Fx = 0∑Fy = 0∑M = 0


39



4. จงหาแรงในชิ้นส่วน FH และ GH




FRAME AND MACHINE Frame คือโครงสร้างที่ member ภายในรับแรงมากกว่า 2 แรง ส่วนใหญ่สร้างมาเพื่อรองรับแรงกระทำจาก

ภายนอก (แต่ member ภายใน Truss จะรับแรงสูงสุด 2 แรง) Machine คือโครงสร้างที่ member สามารถเคลื่อนที่ได้ และถูกออกแบบมาเพื่อส่งถ่ายแรง

5. The specialty tool is used for installing and removing snap rings. Determine the spreading force applied at G and H if P=50 N.


Problem 4/134

4/135 Each of the horizontal platforms of a warehouserack has a mass of 20 kg and carries a centrally lo-cated 180-kg crate. The platforms are supported bythe two-force members of negligible mass, as shown.If the rack is subjected to a 900-N force at A, deter-mine the forces in members CE, DE, and DF.

Problem 4/135

4/136 Determine the forces in members CH, AH, and CDof the loaded truss.

Problem 4/136

2 m

1 m 1 m3 m3 m

3 kN

A G

D

H

3 kN 3 kN

EF

BC = CD = DE = EF

C

1.5 kN

B

1.5 kN

900 N

20° 2 m

1.5 m

1.5 m

1.5 m

A

C D

E F

G H

B

P

B

CF

ED

G

H

A

P

33mm

32mm

16 mm

13 mm3 mm

16 mm

60mm

30 mm

226 Chapter 4 Structures

REVIEW PROBLEMS4/131 Determine the force in member BE of the loaded truss.

Problem 4/131

4/132 The support apparatus for a power line for a light-rapid-transit train is shown. If a tension of 500 lbexists in cable EDF, determine the force F sup-ported by the bolt at B.

Problem 4/132

4/133 Determine the force in each member of the loadedtruss.

Problem 4/133

4/134 The specialty tool is used for installing and remov-ing snap rings. Determine the spreading force ap-plied at G and H if .P !50 N

10′

15′15′

5 kips

A E

C

F

5 kips

D

5 kips

B

AB = BC = CD = DE

36″

68″

14″

B

C

A

EW

DF 35° 35°

1 m

1 m

A

B E

F

DC

45°45°2 kN

5 kN



6. A small bolt cutter operated by hand for cutting small bolts and rods is shown in the sketch. For a han grip P = 150 N, determine the force Q developed by each jaw on the rod to be cut. ‑ *

Q = 2.7 kN




7. Determine the moment M which must be applied at A to keep the frame in static equilibrium in the position shown. Also calculate the magnitude of the pin reaction at A.


Representative Problems

4/79 The wingnut B of the collapsible bucksaw is tight-ened until the tension in rod AB is 200 N. Determinethe force in the saw blade EF and the magnitude Fof the force supported by pin C.

Ans. EF ! 100 N T, F ! 300 N

Problem 4/79

4/80 The elements of a floor jack are shown in the figure.The figure CDFE is a parallelogram. Calculate theforce in the hydraulic cylinder AB corresponding tothe 10-kN load supported as shown. What is theforce in link EF ?

Problem 4/80

C

D

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

114 222

68.4

60

30

30

10 kN

EEEEEEEEEEEEEEEEEEE

F

Dimensions in millimeters

80 mm

160 mm

25° 25°

A B

D

FE

C

212 Chapter 4 Structures

4/77 The “jaws-of-life” device is utilized by rescuers topry apart wreckage, thus helping to free accidentvictims. If a pressure of 3.5 MPa is developed behindthe piston P of area 13(103) mm2, determine the ver-tical force R which is exerted by the jaw tips on thewreckage for the position shown. Note that link ABand its counterpart are both horizontal in the figurefor this position.

Ans. R ! 5.06 kN

Problem 4/77

4/78 Determine the moment M which must be applied atA to keep the frame in static equilibrium in the posi-tion shown. Also calculate the magnitude of the pinreaction at A.

Problem 4/78

150 kg

M

C D

E

BA

1.5 m

1 m1 m

1.25 m

60° 60°

31.2531.25

R

50 25

25

100

100

25

450

R

BC

AP


c04.qxd 11/6/07 4:17 PM Page 212



2 FRICTION FRICTION COEFFICIENT

�

�

� แรงเสียดทานสถิตย์ คือแรงเสียดทานขณะที่วัตถุหยุดนิ่ง(ก่อนการเคลื่อนที่) แรงเสียดทานจลน์ คือแรงเสียดทานขณะที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่ ซึ่งจะมีค่าต่ำกว่าแรงเสียดทานสถิตย์ที่พื้นผิวเดียวกัน

จาก Free-body Diagrams ของวัตถุ จะเห็นว่าถ้ารวม แรงเสียดทาง F เข้ากับ แรง N จะได้แรงลัพธ์ R ซึ่งทำมุม ø กับ N

�

ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 ชนิดตามแรงเสียดทานคือ��

F = µN

6/3 Dry FrictionThe remainder of this chapter describes the effects of dry friction

acting on the exterior surfaces of rigid bodies. We will now explain themechanism of dry friction with the aid of a very simple experiment.

Mechanism of Dry FrictionConsider a solid block of mass m resting on a horizontal surface, as

shown in Fig. 6/1a. We assume that the contacting surfaces have someroughness. The experiment involves the application of a horizontal forceP which continuously increases from zero to a value sufficient to movethe block and give it an appreciable velocity. The free-body diagram ofthe block for any value of P is shown in Fig. 6/1b, where the tangentialfriction force exerted by the plane on the block is labeled F. This frictionforce acting on the body will always be in a direction to oppose motionor the tendency toward motion of the body. There is also a normal forceN which in this case equals mg, and the total force R exerted by the sup-porting surface on the block is the resultant of N and F.

A magnified view of the irregularities of the mating surfaces, Fig.6/1c, helps us to visualize the mechanical action of friction. Support isnecessarily intermittent and exists at the mating humps. The directionof each of the reactions on the block, R1, R2, R3, etc. depends not only onthe geometric profile of the irregularities but also on the extent of localdeformation at each contact point. The total normal force N is the sum

Article 6/3 Dry Friction 337

Pm P

F

αRN

mg

(a)

(c)

t

n

F

F = P

Fmax = s Nµ Fk = k Nµ

R1 R3R2

(b)

P

Staticfriction

(no motion)

Kineticfriction(motion)

Impendingmotion

(d)

Figure 6/1

6/3 Dry FrictionThe remainder of this chapter describes the effects of dry friction

acting on the exterior surfaces of rigid bodies. We will now explain themechanism of dry friction with the aid of a very simple experiment.

Mechanism of Dry FrictionConsider a solid block of mass m resting on a horizontal surface, as

shown in Fig. 6/1a. We assume that the contacting surfaces have someroughness. The experiment involves the application of a horizontal forceP which continuously increases from zero to a value sufficient to movethe block and give it an appreciable velocity. The free-body diagram ofthe block for any value of P is shown in Fig. 6/1b, where the tangentialfriction force exerted by the plane on the block is labeled F. This frictionforce acting on the body will always be in a direction to oppose motionor the tendency toward motion of the body. There is also a normal forceN which in this case equals mg, and the total force R exerted by the sup-porting surface on the block is the resultant of N and F.

A magnified view of the irregularities of the mating surfaces, Fig.6/1c, helps us to visualize the mechanical action of friction. Support isnecessarily intermittent and exists at the mating humps. The directionof each of the reactions on the block, R1, R2, R3, etc. depends not only onthe geometric profile of the irregularities but also on the extent of localdeformation at each contact point. The total normal force N is the sum


Pm P

F

αRN

mg

(a)

(c)

t

n

F

F = P

Fmax = s Nµ Fk = k Nµ

R1 R3R2

(b)

P

Staticfriction

(no motion)

Kineticfriction(motion)

Impendingmotion

(d)

Figure 6/1

MEE224: Engineering Mechanics Lecture 6

caused by the relative velocity between the layers account for the fluid

friction.

3. ________________________________. It occurs in all solid materials

subjected to cyclic loadings. Internal friction is present during deformation

and causes a loss of energy.

In this course, we will only concentrate on ___________________________.

Dry Friction

As stated before, dry friction occurs at the contact between two rough surfaces during

a sliding motion or under a tendency to slide. The friction force is always tangent to

the surface and its direction always opposes the motion or the impending motion.

Mechanism of Dry Friction

Let us consider the block in figure 1 (redrawn in figure 2a). The block is vertical

equilibrium as the force N is equal to its weight mg. However, the block may or may

not slide horizontally depending on the magnitudes of the force P and the friction F.

Figure 2

The curve in figure 2b shows us two regions on either side of the vertical dotted line

labeled ‘______________________________________________’. These regions

correspond to the types of behavior of the block upon the application of force P.

Stationary Block – No motion is present

tanφ = F

N

tanφs = µs

tanφk = µk




8. กล่องหนัก 50 kg ส.ป.ส.ความเสียดทานสถิตย์ระหว่างกล่องกับพื้นเอียงเป็น μs = 0.25 จงหา ก) แรง P น้อยที่สุดที่สามารถดันไม่ให้กล่องไถลลงข) แรง P น้อยที่สุดที่สามารถดันกล่องขึ้นไปได้




9. บันไดเหล็กมีมวล 10-kg พิงอยู่กับผนังผิวเรียบ B ส่วนล่างของบันไดวางอยู่กับพื้นหยาบซึ่งมี ส.ป.ส.ความเสียดทานสถิตย์เป็น μs = 0.3. จงคำนวณหามุม θ ที่บันไดทำกับพื้น และแรงปฏิกิริยาที่ B ในช่วงก่อนที่บันไดจะไถลหล่นลงมา


7 FRICTION

7-16. บันไดเหล็กมีมวล 10-kg พิงอยู่กับผนังผิวเรียบ B ส่วนล่างของบันไดวางอยู่กับพื้นหยาบ มี ส.ป.ส.ความเสียดทานสถิตย์เป็น μs = 0.3. จงคำนวณหามุม θ ที่บันไดทำกับพื้น และแรงปฏิกิริยาที่ B ในช่วงก่อนที่บันไดจะไถลหล่นลงมา

2

!28

59.04°



10. กล่องหนัก100 kg ดังรูป ส.ป.ส.เสียดทานสถิตย์ 0.2 และ ส.ป.ส.แรงเสียดทานจลน์เป็น 0.17 จงหาขนาดและทิศทางของแรงเสียดทานที่ทำกับกล่องเมื่อก) P = 500 N ข) P=100 N.


7 FRICTION

7-17. กล่องหนัก 100 kg ดังรูป ส.ป.ส.เสียดทานสถิตย์ 0.2 และ ส.ป.ส.แรงเสียดทานจลน์เป็น 0.17 จงหาขนาดและทิศทางของแรงเสียดทานที่ทำกับกล่องเมื่อก) P = 500 N ข) P=100 N.

3

!29

(ก) F=144.6 N ทิศลง, (ข) F=143.4 N ทิศขึ้น

SAMPLE PROBLEM 6/3Determine the magnitude and direction of the friction force acting on the

100-kg block shown if, first, P ! 500 N and, second, P ! 100 N. The coefficient ofstatic friction is 0.20, and the coefficient of kinetic friction is 0.17. The forces areapplied with the block initially at rest.

Solution. There is no way of telling from the statement of the problem whetherthe block will remain in equilibrium or whether it will begin to slip following theapplication of P. It is therefore necessary that we make an assumption, so we willtake the friction force to be up the plane, as shown by the solid arrow. From thefree-body diagram a balance of forces in both x- and y-directions gives

Case I. P ! 500 NSubstitution into the first of the two equations gives

The negative sign tells us that if the block is in equilibrium, the friction forceacting on it is in the direction opposite to that assumed and therefore is downthe plane, as represented by the dashed arrow. We cannot reach a conclusion onthe magnitude of F, however, until we verify that the surfaces are capable ofsupporting 134.3 N of friction force. This may be done by substituting P ! 500 Ninto the second equation, which gives

The maximum static friction force which the surfaces can support is then

Since this force is greater than that required for equilibrium, we conclude thatthe assumption of equilibrium was correct. The answer is, then,

Ans.

Case II. P ! 100 NSubstitution into the two equilibrium equations gives

But the maximum possible static friction force is

It follows that 242 N of friction cannot be supported. Therefore, equilibrium cannotexist, and we obtain the correct value of the friction force by using the kinetic coeffi-cient of friction accompanying the motion down the plane. Hence, the answer is

Ans.F ! 0.17(956) ! 162.5 N up the plane[Fk ! !kN ]

Fmax ! 0.20(956) ! 191.2 N[Fmax ! !sN ]

F ! 242 N N ! 956 N

F ! 134.3 N down the plane

Fmax ! 0.20(1093) ! 219 N[Fmax ! !sN ]

N ! 1093 N

F ! "134.3 N

N " P sin 20! " 981 cos 20! ! 0[ΣFy ! 0]

P cos 20! # F " 981 sin 20! ! 0[ΣFx ! 0]


20°

P 100 kg

20°

100(9.81) = 981 N

P

N

F

x

y

F

!

Helpful Hint

! We should note that even though ΣFxis no longer equal to zero, equilibriumdoes exist in the y-direction, so thatΣFy ! 0. Therefore, the normal forceN is 956 N whether or not the block isin equilibrium.



WEDGE (ลิ่ม) ลิ่มเป็นเครื่องทุ่นแรงพื้นฐานที่ใช้ส่งถ่ายแรงน้อยๆไปเป็นแรงมาก โดยใช้หลักการทางตรีโกณมิติ

#

Self-Locking

�11. กำหนดให้สัมประสิทธิ์ความเสียดทางสถิตย์ของลิ่มเท่ากับ 0.3 และสัมประสิทธิ์ความเสีดทานสถิตย์ระหว่าง กล่อง(500 kg) กับพื้นเป็น 0.6 จงหาแรงน้อยที่สุดที่ทำให้กล่อง 500 kg เคลื่อนที่

412 CH A P T E R 8 FR I C T I O N

8

8.3 Wedges

A wedge is a simple machine that is often used to transform an appliedforce into much larger forces, directed at approximately right angles tothe applied force. Wedges also can be used to slightly move or adjustheavy loads.

Consider, for example, the wedge shown in Fig. 8–12a, which is used tolift the block by applying a force to the wedge. Free-body diagrams ofthe block and wedge are shown in Fig. 8–12b. Here we have excludedthe weight of the wedge since it is usually small compared to the weight

of the block. Also, note that the frictional forces and mustoppose the motion of the wedge. Likewise, the frictional force of thewall on the block must act downward so as to oppose the block’supward motion. The locations of the resultant normal forces are notimportant in the force analysis since neither the block nor wedge will“tip.” Hence the moment equilibrium equations will not be considered.There are seven unknowns, consisting of the applied force P, needed tocause motion of the wedge, and six normal and frictional forces. Theseven available equations consist of four force equilibrium equations,

applied to the wedge and block, and three frictionalequations, , applied at the surface of contact.

If the block is to be lowered, then the frictional forces will all act in asense opposite to that shown in Fig. 8–12b. Provided the coefficient offriction is very small or the wedge angle is large, then the applied forceP must act to the right to hold the block. Otherwise, P may have areverse sense of direction in order to pull on the wedge to remove it. If Pis not applied and friction forces hold the block in place, then the wedgeis referred to as self-locking.

u

F = mN©Fy = 0©Fx = 0,

F3

F2F1W

(a)

Impending

motion

P

W

u

F3

N3

(b)

W

F2

N2

P

F2

N2

F1

N1

u

Fig. 8–12

Wedges are often used to adjust theelevation of structural or mechanicalparts. Also, they provide stability forobjects such as this pipe.

α

α

412 CH A P T E R 8 FR I C T I O N

8

8.3 Wedges

A wedge is a simple machine that is often used to transform an appliedforce into much larger forces, directed at approximately right angles tothe applied force. Wedges also can be used to slightly move or adjustheavy loads.

Consider, for example, the wedge shown in Fig. 8–12a, which is used tolift the block by applying a force to the wedge. Free-body diagrams ofthe block and wedge are shown in Fig. 8–12b. Here we have excludedthe weight of the wedge since it is usually small compared to the weight

of the block. Also, note that the frictional forces and mustoppose the motion of the wedge. Likewise, the frictional force of thewall on the block must act downward so as to oppose the block’supward motion. The locations of the resultant normal forces are notimportant in the force analysis since neither the block nor wedge will“tip.” Hence the moment equilibrium equations will not be considered.There are seven unknowns, consisting of the applied force P, needed tocause motion of the wedge, and six normal and frictional forces. Theseven available equations consist of four force equilibrium equations,

applied to the wedge and block, and three frictionalequations, , applied at the surface of contact.

If the block is to be lowered, then the frictional forces will all act in asense opposite to that shown in Fig. 8–12b. Provided the coefficient offriction is very small or the wedge angle is large, then the applied forceP must act to the right to hold the block. Otherwise, P may have areverse sense of direction in order to pull on the wedge to remove it. If Pis not applied and friction forces hold the block in place, then the wedgeis referred to as self-locking.

u

F = mN©Fy = 0©Fx = 0,

F3

F2F1W

(a)

Impending

motion

P

W

u

F3

N3

(b)

W

F2

N2

P

F2

N2

F1

N1

u

Fig. 8–12

Wedges are often used to adjust theelevation of structural or mechanicalparts. Also, they provide stability forobjects such as this pipe.

α

α


SAMPLE PROBLEM 6/6The horizontal position of the 500-kg rectangular block of concrete is ad-

justed by the 5! wedge under the action of the force P. If the coefficient of staticfriction for both wedge surfaces is 0.30 and if the coefficient of static frictionbetween the block and the horizontal surface is 0.60, determine the least force Prequired to move the block.

Solution. The free-body diagrams of the wedge and the block are drawn withthe reactions R1, R2, and R3 inclined with respect to their normals by theamount of the friction angles for impending motion. The friction angle for limit-ing static friction is given by ! ! tan"1 ". Each of the two friction angles is com-puted and shown on the diagram.

We start our vector diagram expressing the equilibrium of the block at aconvenient point A and draw the only known vector, the weight W of the block.Next we add R3, whose 31.0! inclination from the vertical is now known. Thevector "R2, whose 16.70! inclination from the horizontal is also known, mustclose the polygon for equilibrium. Thus, point B on the lower polygon is deter-mined by the intersection of the known directions of R3 and "R2, and their mag-nitudes become known.

For the wedge we draw R2, which is now known, and add R1, whose direc-tion is known. The directions of R1 and P intersect at C, thus giving us the solu-tion for the magnitude of P.

Algebraic solution. The simplest choice of reference axes for calculationpurposes is, for the block, in the direction a-a normal to R3 and, for the wedge, inthe direction b-b normal to R1. The angle between R2 and the a-direction is16.70! # 31.0! ! 47.7!. Thus, for the block

For the wedge the angle between R2 and the b-direction is 90! " (2!1 #5!) ! 51.6!, and the angle between P and the b-direction is !1 # 5! ! 21.7!. Thus,

Ans.

Graphical solution. The accuracy of a graphical solution is well within theuncertainty of the friction coefficients and provides a simple and direct result. Bylaying off the vectors to a reasonable scale following the sequence described, weobtain the magnitudes of P and the R’s easily by scaling them directly from thediagrams.

P ! 2500 N

3750 cos 51.6! " P cos 21.7! ! 0[ΣFb ! 0]

R2 ! 3750 N

500(9.81) sin 31.0! " R2 cos 47.7! ! 0[ΣFa ! 0]

Article 6/5 Screws 361

5°

P

500 kg

P

P

C

AB

R1

R1

R2

R3

–R2

R2

R3

–R2b

ba

a

5°

1φ

1φ

1φ

2φ

1φW = 500(9.81) N

= tan–1 0.30= 16.70°

16.70°

16.70°

31.0°

2φ = tan–1 0.60= 31.0°

Wedge

Block

16.70° + 5° = 21.7°

W = 4905 N

!

"

Helpful Hints

! Be certain to note that the reactionsare inclined from their normals inthe direction to oppose the motion.Also, we note the equal and oppositereactions R2 and "R2.

" It should be evident that we avoid si-multaneous equations by eliminat-ing reference to R3 for the block andR1 for the wedge.



12. Determine the smallest horizontal force P required to lift the 200-kg crate. The coefficient of static friction at all contacting surfaces is µs = 0.3. Neglect the mass of the wedge.


8.4 FRICTIONAL FORCES ON SCREWS 417

8

APB

B15!

Prob. 8–65

P

10!

A

C

B

0.5 m

Prob. 8–67

P

A

B15!

Prob. 8–66

PROBLEMS

*8–68. The wedge has a negligible weight and a coefficientof static friction with all contacting surfaces.Determine the largest angle so that it is “self-locking.”This requires no slipping for any magnitude of the force Papplied to the joint.

ums = 0.35

8–67. Determine the smallest horizontal force P requiredto lift the 100-kg cylinder. The coefficients of static frictionat the contact points A and B are and

, respectively; and the coefficient of staticfriction between the wedge and the ground is .ms = 0.3(ms)B = 0.2

(ms)A = 0.6

•8–65. Determine the smallest horizontal force P requiredto pull out wedge A.The crate has a weight of 300 lb and thecoefficient of static friction at all contacting surfaces is

. Neglect the weight of the wedge.ms = 0.3

8–70. The three stone blocks have weights of, and Determine

the smallest horizontal force P that must be applied toblock C in order to move this block.The coefficient of staticfriction between the blocks is and between thefloor and each block ms

œ = 0.5.ms = 0.3,

WC = 500 lb.WB = 150 lb,WA = 600 lb

––2

––2

P

uu

P

Prob. 8–68

•8–69. Determine the smallest horizontal force Prequired to just move block A to the right if the spring forceis and the coefficient of static friction at all contactingsurfaces on A is .The sleeve at C is smooth. Neglectthe mass of A and B.

ms = 0.3600 N

8–66. Determine the smallest horizontal force P requiredto lift the 200-kg crate. The coefficient of static friction atall contacting surfaces is . Neglect the mass of the wedge.

ms = 0.3

AP

B C

45!45!

Prob. 8–69

A B C45!

P

Prob. 8–70



3 AREA MOMENT OF INERTIA #

#

#

Radius of Gyration คือระยะจากจุดหมุนไปยังจุดรวมแรงกระจายเหล่านั้น

#

Ix = y 2 dA

A∫

Iy = x2 dAA∫

JO = Ix + Iy

Figure Area Moment of Inertia

�

6 AREA MOMENT OF INERTIA

Moment of Inertia !

!

!

!Radius of Gyration คือระยะจากจุดหมุนไปยังจุดรวมแรงกระจายเหล่านั้น

!

!!!!

Ix = y2 dAA∫

Iy = x2 dAA∫

JO = Ix + Iy

k = IA

!2

�


Moment of Inertia !

!

!


!

!!!!

Ix = y2 dAA∫

Iy = x2 dAA∫

JO = Ix + Iy

Ix = Iy = r4 –––

4!

r4 –––

2!Iz =

k = IA

!2

�

45

�

TABLE D/3 PROPERTIES OF PLANE FIGURES

Arc Segment

Circular Area

SemicircularArea

Quarter-CircularArea

Quarter and Semicircular Arcs

—

—

—

–r

–y

C

CC

r

r

r

αα

–r = r sin ––––––α

–y = 2r ––!

–y = 4r ––3!

–y =–x = 4r ––3!

Ix = Iy = r4 –––

4!

α

Area of CircularSector

–x

rαα

C

r

r

–y

y

y

Cx

x

r4 –––

2!Iz =

r4 –––

4!Iz =

Ix = Iy = r4 –––

8!

–y

–x

x

xC

y

y

C

– –8

– Ix = ( )! 8 ––

9! r4

r4 –––

8!Iz =

Ix = Iy = r4 –––16!

—16

–Ix = Iy = ( )! 4 ––9!

r4

α–x = r sin ––––––α2–

3

1–2

1–2

1–2

r4––4

Ix = ( – sin 2 )α

r4––4

Iy = ( + sin 2 )α

Iz = α

α

α

r4

FIGURE CENTROID AREA MOMENTSOF INERTIA

––

Useful Tables 497

�


Moment of Inertia !

!

!


!

!!!!

Ix = y2 dAA∫

Iy = x2 dAA∫

JO = Ix + Iy

bh3 ––– 3

bh3 ––– 12

Ix =

– Ix =

k = IA

!2

�

498 Appendix D Useful Tables

TABLE D/3 PROPERTIES OF PLANE FIGURES Continued

Rectangular Area

Triangular Area

Area of EllipticalQuadrant

Subparabolic Area

–x =

–x = 4a ––3!

–y = 4b ––3!

–x = 3a –– 8

–y = 3b –– 5

–x = 3a –– 4

–y = 3b –– 10

y

x

bh3 ––– 3

a + b –––– 3

–y = h –– 3

bh3 ––– 12

Ix =

x

x

x1

x

y

x0

y0

y

– Ix =

FIGURE CENTROID AREA MOMENTSOF INERTIA

h

h

C

C

b

b

a

—

bh –– 12

– Iz = (b2 + h2)

ab3 ––––,

16! ––

16–( )! 4 ––

9!

––16

–( )! 4 ––9!

ab3Ix =–

Ix =

a3b a3b ––––, 16

!Iy =–

Iy =

Iz = ab ––– 16! (a2 + b2)

ab3 ––– 21

Ix =

a3b ––– 5

Iy =

a3 –– +

5( ) b2 –– 21

Iz = ab

2ab3 ––––

7Ix =

2a3b –––– 15

Iy =

a2 –– +

15( ) b2 –– 7

Iz = 2ab

bh3 ––– 12

bh3 ––– 36

Ix =

bh3 ––– 4

Ix1=

– Ix =–y

–x

Cb

a

b

a

–y

–x

–y

–x C

y = kx2 = x2b—a2

ab––3

Area A =

Parabolic Area

x

y

b

a

–y

–x C

y = kx2 = x2b—a2

2ab–––3

Area A =

k = IA




PARALLEL-AXES THEOREMกรณีแกนหมุนไม่อยู่กลางของพื้นที่หน้าตัด เราสามารถใช้ทฤษฎีของ Parallel axis เข้ามาคำนวณหา moment of

inertia ของแกนนั้นได้

# #

Ex.

�

COMPOSITE AREA เมื่อพื้นที่หน้าตัดไม่สมมาตร เราสามารถแยกหา moment of inertia รูปย่อยๆที่สมมาตร(สี่เหลี่ยม วงกลม, สามเหลี่ยม) แล้วจึงกลับมารวมกันอีกครั้ง 1. แยกรูป ให้เป็นรูปทรงที่สมมาตร (สี่เหลี่ยม, วงกลม) 2. หาระยะ d จากรูปที่เราแยกไว้ ไปถึง แกนหมุนรวม 3. ถ้าแกนหมุนของแต่ละรูปไม่ทับกับแกนหมุนรวม ก็ใช้ � 4. Moment of Inertia ของรูปรวม ได้จากการรวม I ของแต่ละรูปเข้าด้วยกัน note :

Ix = I ′x + Adx2

Iy = I ′y + Ady2

1.5 m

x’

x

2 m

1 m

I = I + Ad 2




13. [midterm 1/49] จงหา Ix และรัศมีจัยเรชั่น kx ของพื้นที่หน้าตัด (หน่วยเป็นมิลลิเมตร)

14. จงหา Ix และ Iy ของพื้นที่หน้าตัดของคานที่มีขนาดดังรูป


544 CH A P T E R 10 MO M E N T S O F IN E RT I A

10

10–82. Locate the centroid of the beam’s cross-sectionalarea and then determine the moments of inertia of this areaand the product of inertia with respect to the and axes.The axes have their origin at the centroid C.

vu

y

•10–81. Determine the orientation of the principal axes,which have their origin at centroid C of the beam’s cross-sectional area. Also, find the principal moments of inertia.

*10–80. Locate the centroid and of the cross-sectionalarea and then determine the orientation of the principalaxes, which have their origin at the centroid C of the area.Also, find the principal moments of inertia.

yx

10–83. Solve Prob. 10–75 using Mohr’s circle.

*10–84. Solve Prob. 10–78 using Mohr’s circle.

•10–85. Solve Prob. 10–79 using Mohr’s circle.



*10–88. Solve Prob. 10–82 using Mohr’s circle.

y

x6 in.

0.5 in.

6 in.

y

x

0.5 in.

C

Prob. 10–80

y

Cx

100 mm

100 mm

20 mm

20 mm

20 mm

150 mm

150 mm

Prob. 10–81

200 mm

25 mm

y

u

Cx

y

60!

75 mm75 mm

25 mm25 mm v

Prob. 10–82



PRODUCT OF INERTIA # Ex. Determine the product of inertia of the area shown with respect to the x-y axes.

15. Determine the product of inertia of the shaded area about the x-y axes.

Ixy = I xy + Adxdy


2 m

3 m

y

x

r = 1.5 m

3 m

2 m

1.5 m

x’

y’y

x

2 m

1 m

Article A/4 Problems 471

A/68 Determine the products of inertia of the area of thequarter-circular ring about the x-y axes and aboutthe axes through the centroid C of the ring.Treat b as very small compared with r.

Problem A/68

Representative Problems

A/69 Derive the expressions for the product of inertia ofthe right-triangular area about the x-y axes and aboutthe centroidal axes.

Problem A/69

A/70 Derive the expression for the product of inertia of theright-triangular area about the x-y axes. Solve, first,by double integration and, second, by single integra-tion starting with a vertical strip as the element.

Problem A/70

y

h

bx

y

h

b

y0

x

x0C

x0-y0

y

y0

x

x0

r

O

C

b<<r

x0-y0

A/65 Determine the product of inertia of the rectangulararea about the x-y axes. Treat the case where b issmall compared with L.

Problem A/65

A/66 Determine the product of inertia of the rectangularstrip number 1 about the x-y axes. Assume that thewidth b is small compared with the length L. Fromthis first result, determine the product of inertia foreach of the strips 2, 3, and 4. Verify that the sum ofthe four results is zero.

Problem A/66

A/67 Determine the product of inertia of the shaded areaabout the x-y axes.

Problem A/67

60

20

20120


x

y

yb

L

L

L

L

x

12

3 4

αα

α α

x

b

L

y

α



ROTATING AXES บางครั้งในการใช้งานจริง แกนหมุนอาจไม่เป็นแนวตั้งหรือแนวนอน แต่เป็นแกนเอียง ซึ่งสามารถคำนวณได้จากสมการนี้

#

�

MOHR’S CIRCLE

จะเห็นว่าค่า Ix , Iy ,Ixy เป็นค่าคงที่ ส่วน Ix’ และ Ix’y’ นั้นขึ้นอยู่กับมุมที่เอียงไป θ ซึ่งจะมีมุมเอียงที่มำให้ moment of inertia ที่มากที่สุด เราจะเรียกมุมเอียงนั้นว่า “Principal Axes” และเรียก Imax , Imin รวมๆว่า “Principal Moment of Inertia”

การวาด Mohr’s Circle1) วาด แกน x → I, แกน y → Ixy

2) พล๊อต จุด A( Ix ,Ixy ) และ จุด B( Iy , -Ixy ) 3) หาจุดศูนย์กลางวงกลม O 4) หารัศมีวงกลม R 5) หา 2θp 6) Imax = O + R และ Imin = O - R

Ix =Ix ' + Iy '

2+

Ix ' − Iy '

2cos2θ − Ix 'y ' sin2θ

Iy =Ix ' + Iy '

2−

Ix ' − Iy '

2cos2θ + Ix 'y ' sin2θ

Ixy =Ix ' − Iy '

2sin2θ + Ix 'y ' cos2θ

I ′x ,I ′y

Ix ,Iy

θ


θ

x

x’

y’y



16. จงหา Principal moment of inertia ของพื้นที่หน้าตัด (ขนาดมิติเป็นมิลลิเมตร)




17. จงคำนวณหา Principal Moment of Inertia และ Principal Axes ของพื้นที่หน้าตัดของคานในรูป


542 CH A P T E R 10 MO M E N T S O F IN E RT I A

10

10–74. Determine the product of inertia for the beam’scross-sectional area with respect to the x and y axes thathave their origin located at the centroid C.

*10–72. Determine the product of inertia for the beam’scross-sectional area with respect to the x and y axes thathave their origin located at the centroid C.

x

y

5 mm

30 mm

5 mm

50 mm 7.5 mm

C

17.5 mm

Prob. 10–72

x

y

300 mm

100 mm10 mm

10 mm

10 mm

Prob. 10–73

1 in.

5 in.5 in.

5 in.

1 in.

C

5 in.

x

y

1 in.0.5 in.

Prob. 10–74

y

x

u

x

200 mm

200 mm

175 mm20 mm

20 mm

20 mm

C

60!

v

Prob. 10–75

•10–73. Determine the product of inertia of the beam’scross-sectional area with respect to the x and y axes.

10–75. Locate the centroid of the beam’s cross-sectionalarea and then determine the moments of inertia and theproduct of inertia of this area with respect to the and

axes. The axes have their origin at the centroid C.vu

x


วิชา ........................................................................................ เรียนวัน .......................................................................... ชื่อติวเตอร์ .....................................................................................................................................................................

สิ่งที่ติวเตอร์ทำดีแล้ว ............................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. จุดที่ติวเตอร์ควรปรับปรุง ................................................................................................................................... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ข้อเสนอแนะอื่นๆ .................................................................................................................................................... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. วิชาที่อยากให้สอนติวครั้งถัดไป .........................................................................................................................

รายการความพึงพอใจ

ยอดเย่ียม ดีมาก ง้ันๆ ปรับปรุง

ความพึงพอใจในงานติวครั้งนี้

มีความเข้าใจเพิ่มมากขึ้น

บรรยากาศในการติวโดยรวม

ติวเตอร์

ความตรงต่อเวลาของติวเตอร์

ความเข้าใจในเนื้อหา

เทคนิคในการถ่ายทอด

ความตั้งใจในการสอน

เปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัย

เอกสาร

เอกสารมีเนื้อหาครบถ้วน

จำนวนข้อตัวอย่าง

เอกสารอ่านเข้าใจง่าย

เวลาและสภานที่

ความเหมาะสมของสถานที่เรียน

ให้เกรดติวเตอร์ A B C D

แบบประเมินความพึงพอใจสำหรับนักเรียน/นักศึกษาท่ีเข้าร่วมติวฟรี

แบบสอบถามการเรียนพิเศษของนักศึกษาข้อมูลส่วนบุคคล

• เพศ [ ] ชาย [ ] หญิง

• คณะ [ ] วิศวกรรมศาสตร์ ภาควิชา.................................... [ ] วิทยาศาสตร์ ภาควิชา.................................... [ ] ครุศาสตร์อุตสาหกรรมและเทคโนโลย ี ภาควิชา.................................... [ ] อื่นๆ ระบุ................................................

• ชั้นป ี [ ] ป ี1 [ ] ปี 2 [ ] ปี 3 [ ] ปี 4 [ ] ป.โท-เอก

ตอนที่ 1 พฤติกรรมการเรียนพิเศษ

• ขณะเป็นนักศึกษาเคยเรียนพิเศษหรือไม่

[ ] เคย [ ] ไม่เคย (ข้ามไปทำตอน 2)• เรียนวิชาอะไร (ตอบได้มากกว่า 1 ข้อ)

[ ] กลุ่มวิชาวิศวกรรมศาสตร์ ระบ ุ...................................................... [ ] กลุ่มวิชาคณิต-วิทย์ ระบ ุ............................................................ [ ] อื่น ระบุ ...................................................................

• ชอบเรียนพิเศษรูปแบบใด

[ ] เรียนตัวต่อตัว [ ] เรียนกลุ่มย่อย (4-6 คน) [ ] เรียนกลุ่มใหญ่ (8-10 คน) [ ] เรียนกลุ่มใหญ่มาก (มากกว่า10 คน)

• เรียนที่ไหน

[ ] สถาบันกวดวิชา ชื่อ......................... ติวเตอร์อิสระ ชื่อ............................• จำนวนวิชาต่อเทอม

[ ] 1 วิชา [ ] 2 วิชา [ ] 3 วิชา [ ] 4 วิชา [ ] มากกว่า 4 วิชา

• ค่าเรียนพิเศษทั้งหมดต่อเทอม(midterm+final) [ ] ไม่เกิน 2,000.- [ ] 2,000-4,000.- [ ] 4,000-6,000.- [ ] มากกว่า 6,000.

• วิชาที่อยากให้เปิดสอนในเทอมหน้า ..............................................................................

ตอนที่ 2 เหตุผลที่ทำให้ต้องเรียนพิเศษ

• คุณคิดว่า ทำไมต้องมีการเรียนเพิ่มเติมขณะเป็นนักศึกษา

[ ] อยากเพิ่มความมั่นใจ [ ] เรียนในห้องไม่รู้เรื่อง [ ] เพื่อนเรียนเลยเรียนด้วย

• (เรียงลำดับจากมากไปน้อย , 1 มากที่สุด) สิ่งที่คุณพิจารณาในการเลือกเรียนกับติวเตอร์ [__] ราคา [__] การเดินทาง [__] คุณภาพติวเตอร์ [__] เพื่อนชวน

• รู้จักสถาบันกวดวิชาจากอะไร

[ ] เห็นสถานที่เรียน [ ] ใบปลิว-ป้ายประกาศ [ ] เพื่อนแนะนำ

[ ] Facebook [ ] อื่นๆ ระบ.ุ....................................

(ขอบพระคุณทุกท่านที่สละเวลาให้ข้อมูลครับ)

midterm tufree mechanics

Documents