microsoft word - ds10 c6
TRANSCRIPT
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. ðịnh nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM( , ) α= . Giả sử M x y( ; ) .
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cossin
sintancos 2coscotsin
αα
α πα α πααα α πα
= == =
= = ≠ +
= = ≠
Nhận xét:
• , 1 cos 1; 1 sin 1α α α∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
• tanα xác ñịnh khi k k Z,2π
α π≠ + ∈ • cotα xác ñịnh khi k k Z,α π≠ ∈
• ksin( 2 ) sinα π α+ = • ktan( ) tanα π α+ =
kcos( 2 ) cosα π α+ = kcot( ) cotα π α+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các góc ñặc biệ t
4. Hệ thức cơ bản:
0 6π
4π
3π
2π 2
3π 3
4π π 3
2π 2π
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
sin 0 12
22
32
1 32
22
0 –1 0
cos 1 32
22
12
0 12
− 22
− –1 0 1
tan 0 33
1 3 3− –1 0 0
cot 3 1 33
0 33
− –1 0
Phần tư Giá trị lượ ng giác I II III IV
cosα + – – +
sinα + + – – tanα + – + – cotα + – + –
CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin O
cotang
sin
tang
H A
M K
B S
αααα
T
2 2sin cos 1α α+ = ; tan .cot 1α α = ; 2 22 21 11 tan ; 1 cotcos sin
α αα α
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan ñặc b iệ t
II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng
2. Công thức nhân ñôi sin2 2sin . cosα α α=
2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = −
2
22 tan cot 1
tan2 ; cot22 cot1 tan
α αα α
αα
−= =
−
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos . cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tantan( )
1 tan . tana b
a ba b
++ =
−
tan tantan( )1 tan . tan
a ba b
a b
−− =
+
Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan
4 1 tan 4 1 tanπ α π α
α αα α
+ −+ = − = − +
Góc hơn kém π Góc hơn kém 2π
sin( ) sinπ α α+ = − sin cos2π
α α
+ =
cos( ) cosπ α α+ = − cos sin2π
α α
+ = −
tan( ) tanπ α α+ = tan cot2π
α α
+ = −
cot( ) cotπ α α+ = cot tan2π
α α
+ = −
Góc ñối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cosα α− = sin( ) sinπ α α− = sin cos2π
α α
− =
sin( ) sinα α− = − cos( ) cosπ α α− = − cos sin2π
α α
− =
tan( ) tanα α− = − tan( ) tanπ α α− = − tan cot2π
α α
− =
cot( ) cotα α− = − cot( ) cotπ α α− = − cot tan2π
α α
− =
3. Công thức biến ñổi tổng thành tích
4. Công thức biến ñổi tích thành tổng
1cos . cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
cos cos 2 cos .cos2 2
a b a ba b
+ −+ =
cos cos 2sin .sin2 2
a b a ba b
+ −− = −
sin sin 2sin . cos2 2
a b a ba b
+ −+ =
sin sin 2 cos .sin2 2
a b a ba b
+ −− =
sin( )tan tancos .cos
a ba b
a b
++ =
sin( )tan tancos .cos
a ba b
a b
−− =
sin( )cot cotsin .sin
a ba b
a b
++ =
b a
a ba b
sin( )cot cotsin .sin
−− =
sin cos 2.sin 2.cos4 4π πα α α α
+ = + = −
sin cos 2 sin 2cos4 4π πα α α α
− = − = − +
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2sin2
1 cos2cos2
1 cos2tan
1 cos2
αα
αα
αα
α
−=
+=
−=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos
3tan tantan31 3tan
α α αα α α
α ααα
= −= −
−=
−
VẤN ðỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác ðể xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác ñịnh ñiểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác ñ ịnh dấu của các biểu thức sau:
a) A = 0 0sin 50 .cos( 300 )− b) B = 0 21sin 215 .tan7π
c) C = 3 2cot .sin5 3π π
−
d) D = c4 4 9os .sin .tan .cot5 3 3 5π π π π
Bài 2. Cho 0 00 90α< < . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = 0sin( 90 )α + b) B = 0cos( 45 )α −
c) C = 0cos(270 )α− d) D = 0cos(2 90 )α +
Bài 3. Cho 02π
α< < . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = cos( )α π+ b) B = tan( )α π−
c) C = 2sin5π
α
+
d) D = 3cos8π
α
−
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = A B Csin sin sin+ + b) B = A B Csin .sin .sin
c) C = A B Ccos .cos .cos2 2 2
d) D = A B Ctan tan tan2 2 2
+ +
VẤN ðỀ 2 : T ính các g iá trị lượng giác của mộ t g óc (cung) Bài 1. Cho biế t một GTLG, tính các GTLG còn lạ i, vớ i:
a) a a0 04cos , 270 3605
= < < b) 2cos , 0
25
πα α= − < <
c) a a5sin ,13 2
ππ= < < d) 0 01sin , 180 270
3α α= − < <
e) a a3tan 3,2π
π= < < f) tan 2,2π
α α π= − < <
g) 0cot15 2 3= + h) 3cot 3,2π
α π α= < <
Bài 2. Cho biế t một GTLG, tính giá trị của biểu thức , với:
a) a a
A khi a aa a
cot tan 3sin , 0cot tan 5 2
π+= = < <
− ðS:
257
b) a a
B khi a aa a
20 08tan 3cot 1 1sin , 90 180
tan cot 3+ −
= = < <+
ðS: 83
c) a a a a
C khi aa a a a
2 2
2 2sin 2sin .cos 2 cos cot 32sin 3sin .cos 4 cos
+ −= = −
− + ðS:
2347
−
d)
a aD khi a
a a3 3sin 5cos tan 2sin 2cos
+= =
− ðS:
556
e) a a a
E khi aa a
3 3
38 cos 2sin cos
tan 22 cos sin
− += =
− ðS: 3
2−
g) a a
G khi aa a
cot 3 tan 2cos2 cot tan 3
+= = −
+ ðS:
1913
h) a a
H khi aa a
sin cos tan 5cos sin
+= =
− ðS:
32
−
Bài 3. Cho a a5sin cos4
+ = . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A a asin .cos= b) B a asin cos= − c) C a a3 3sin cos= −
ðS: a) 932
b) 74
± c) 41 7128
±
Bài 4. Cho a atan cot 3− = . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A a a2 2tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a4 4tan cot= −
ðS: a) 11 b) 13± c) 33 13± Bài 5.
a) Cho x x4 4 33sin cos4
+ = . Tính A x x4 4sin 3cos= + . ðS: 7A4
=
b) Cho x x4 4 13sin cos2
− = . Tính B x x4 4sin 3cos= + . ðS: B = 1
c) Cho x x4 4 74sin 3cos4
+ = . Tính C x x4 43sin 4 cos= + . ðS: C C7 574 28
= ∨ =
Bài 6.
a) Cho x x1sin cos5
+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .
b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .
ðS: a) 4 3 4 3; ; ;5 5 3 4
− − − b) 1 2 3; ; 2 3; 2 3
22 2 3
−+ −
−
hoặc 2 3 1
2 3; 2 3; ;2 2 2 3
−− +
−
VẤN ðỀ 3: T ính g iá trị lượng giác củ a biể u thức bằng các cung liê n kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan ñặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 4 4 3 3 3 3 6 6 4π π π π π π π π π π
π π − − − −
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2π
π π
= + + − + +
b) B x x x x7 32cos 3cos( ) 5sin cot2 2π π
π
= − − + − + −
c) C x x x x32sin sin(5 ) sin cos
2 2 2π π π
π
= + + − + + + +
d) D x x x x3 3cos(5 ) sin tan cot(3 )2 2π π
π π
= − − + + − + −
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A0 0 0 0
0 0sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
− − −= −
− ðS: A = –1
b) B0 0
00 0
sin( 234 ) cos216.tan 36
sin144 cos126− −
=−
ðS: B 1= −
c) C 0 0 0 0 0cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180= + + + + + ðS: C 1= −
d) D 2 0 2 0 2 0 2 0cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + ðS: D 9=
e) E 0 0 0 0 0sin 20 sin40 sin 60 ... sin 340 sin360= + + + + + ðS: E 0=
f) x x x x0 0 0 02sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + − ðS: F x1 cos= +
VẤN ðỀ 4: R út gọ n biể u thức lượng giác – Chứng minh ñẳng thức lượng g iác Bài 1. Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) x x x4 4 2sin cos 1 2 cos− = −
b) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2 cos .sin+ = −
c) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin . cos+ = −
d) x x x x x x8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − +
e) x x x x2 2 2 2cot cos cos . cot− =
f) x x x x2 2 2 2tan sin tan .sin− =
g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h) x x x x x x x x2 2sin .tan cos .cot 2 sin .cos tan cot+ + = +
i) x x x
x x x
sin cos 1 2cos1 cos sin cos 1
+ −=
− − +
k) x
xx
22
21 sin
1 tan1 sin
+= +
−
Bài 2. Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) a b
a ba b
tan tantan .tancot cot
+=
+ b)
a a a
a a a a a
2
2sin cos 1 cot
sin cos cos sin 1 cot
+− =
− − −
c) a a
a aa a
2 2sin cos1 sin .cos1 cot 1 tan
− − =+ +
d) a a a
a aa a a
2
2sin sin cos
sin cossin cos tan 1
+− = +
− −
e)
a aa
a a
2
21 cos (1 cos )
1 2 cotsin sin
+ −− =
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan.
1 tan cot tan cot
+ +=
+ +
g) a a
aa a
221 sin 1 sin 4 tan
1 sin 1 sin
+ −− =
− + h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −=
i) a a
aa a
2 26
2 2sin tan
tancos cot
−=
− k)
a aa a
a aa a
3 33 3
2 2tan 1 cot
tan cotsin .cossin cos
− + = +
Bài 3. Cho x a
vôùi a ba b a b
4 4sin cos 1, , 0.+ = >
+ Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3sin cos 1
( )+ =
+.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x x x2 2 2(1 sin )cot 1 cot− + − b) x x x x2 2(tan cot ) (tan cot )+ − −
c) x x x
x x x
2 2 2
2 2 2cos cos .cot
sin sin . tan
+
+ d) x a y a x a y a2 2( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +
e) x x
a x
2 2
2 2sin tan
cos cot
−
− f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4sin cos cos
cos sin sin
− +
− +
g) x x x x2 2sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h) x x
xx x
1 cos 1 cos; (0, )
1 cos 1 cosπ
+ −− ∈
− +
i) x x
xx x
1 sin 1 sin; ;
1 sin 1 sin 2 2π π + −
+ ∈ − − +
k) x x x x2 2 3cos tan sin ; ;
2 2π π
− − ∈
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau ñộc lập ñối với x:
a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − + ðS: 1
b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2 sin ) 6sin− + − + ðS: 1
c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + + ðS: –2
d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin+ − + ðS: 2
e) x x
x x x
4 4
6 6 4sin 3 cos 1
sin cos 3cos 1
+ −
+ + − ðS:
23
f) x x x x
x x
2 2 2 2
2 2tan cos cot sinsin cos
− −+ ðS: 2
g) x x
x x
6 6
4 4sin cos 1
sin cos 1
+ −
+ − ðS:
32
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = −
c) A B Csin cos2 2+
= d) B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +
e) A B C Ccos( ) cos2+ − = − f) A B C
A3cos sin 22
− + += −
g) A B C
C3
sin cos2
+ += h)
A B C C2 3tan cot
2 2+ −
=
VẤN ðỀ 5 : Cô ng thức cộng
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a) 0 0 015 ; 75 ; 105 b) 5 7; ;
12 12 12π π π
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi3
tan sin ,3 5 2π π
α α α π
+ = < <
ðS: 38 25 311
−
b) khi12 3
cos sin , 23 13 2π π
α α α π
− = − < <
ðS: (5 12 3)26
−
c) a b a b khi a b1 1cos( ). cos( ) cos , cos3 4
+ − = = ðS: 119144
−
d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + + khi a b8 5sin , tan17 12
= = và a, b là các góc nhọn.
ðS: 21 140 21; ; .221 221 220
e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , ,2 4π π
< < + = và a btan .tan 3 2 2= − . Từ ñó
suy ra a, b . ðS: 2 2 2− ; a b a btan tan 2 1,8π
= = − = =
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A = o o o2 2 2sin 20 sin 100 sin 140+ + ðS: 32
b) B = o o o2 2cos 10 cos110 cos 130+ + ðS: 32
c) C = o o o o o otan20 . tan80 tan80 . tan140 tan140 .tan 20+ + ðS: –3
d) D = o o o o o otan10 .tan70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ðS: –3
e) E = o o o
o o
cot225 cot79 .cot 71
cot 259 cot 251
−
+ ðS: 3
f) F = o o2 2cos 75 sin 75− ðS: 32
−
g) G = o
01 tan15
1 tan15
−
+ ðS:
33
h) H = 0 0tan15 cot15+ ðS: 4
HD: 0 0 0 0 0 040 60 20 ; 80 60 20= − = + ; 0 0 0 0 0 050 60 10 ; 70 60 10= − = + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin+ − = −
b) x y
x yx y x y
2sin( )tan tancos( ) cos( )
++ =
+ + −
c) x x x x x x2 2tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3π π π π
+ + + + + + = −
d) x x x x3 2
cos . cos cos .cos (1 3)3 4 6 4 4π π π π
− + + + + = −
e) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos 290 )+ + o o o o(cos 40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =
f)
x xx x
x x
2 2
2 2tan 2 tan
tan . tan31 tan 2 .tan
−=
−
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với ñ iều kiện cho trước: a) a a b khi b a cos a b2 tan tan( ) sin sin . ( )= + = +
b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = +
c) a b khi a b a b1tan .tan cos( ) 2 cos( )3
= − + = −
d) k
a b b khi a b k ak
1tan( ).tan cos( 2 ) cos1
−+ = + =
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B Asin sin .cos sin . cos= +
b) C
A B A BA B
0sin tan tan ( , 90 )cos .cos
= + ≠
c) A B C A B C A B C 0tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠
d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot . cot 1+ + =
e) A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2
+ + =
f) A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot2 2 2 2 2 2
+ + =
g) oC BB C A
B A C A
cos coscot cot ( 90 )sin .cos sin .cos
+ = + ≠
h) A B C A B C A B C A B Ccos .cos . cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
i) A B C A B C2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin2 2 2 2 2 2
+ + = +
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 0902 2 2
+ + =
g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B C
cos2 2 2
+ +
i) Khai triển A B Csin2 2 2
+ +
.
Chú ý: Từ B C Acos sin2 2 2
+ =
⇒
B C A B Ccos .cos sin sin .sin2 2 2 2 2
= +
⇒ A B C A A B C2sin . cos .cos sin sin .sin .sin2 2 2 2 2 2 2
= +
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a) A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .∆+ + ≥ ∀
b) A B C ABC nhoïn2 2 2tan tan tan 9, .∆+ + ≥ ∀
c) A B C ABC nhoïn6 6 6tan tan tan 81, .∆+ + ≥ ∀
d) A B C2 2 2tan tan tan 12 2 2
+ + ≥
e)
A B Ctan tan tan 32 2 2
+ + ≥
HD: a, b , c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + = và BðT Cô–si
d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2+ + ≥ + +
và A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển A B C
2
tan tan tan2 2 2
+ +
và sử dụng câu c)
VẤN ðỀ 6 : Cô ng thức nhân Bài 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,13 2
πα α α α π α= − < <
b) khicos2 , sin2 , tan2 tan 2α α α α =
c) khi4 3
sin , cos sin 2 ,5 2 2
π πα α α α= − < <
d) khi7cos2 , sin2 , tan 2 tan8
α α α α =
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau:
a) o o o oA cos20 .cos40 . cos60 . cos80= ðS: 116
b) o o oB sin10 .sin50 .sin 70= ðS: 18
c) C4 5cos . cos .cos
7 7 7π π π
= ðS: 18
d) D 0 0 0cos10 .cos50 . cos70= ðS: 38
e) o o o oE sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin78= ðS: 116
f) G2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos31 31 31 31 31π π π π π
= ðS: 132
h) o o o o oH sin 5 .sin15 .sin 25 .... sin 75 .sin85= ðS: 2512
i) I 0 0 0 0 0cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 . cos80= ðS: 3256
k) K 96 3 sin .cos . cos cos cos48 48 24 12 6π π π π π
= ðS: 9
l) L2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos . cos
15 15 15 15 15 15 15π π π π π π π
= ðS: 1128
m) M sin . cos .cos16 16 8π π π
= ðS: 28
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
nn
n
a a a a aP
a2 3sincos cos cos ... cos
2 2 2 2 2 .sin2
= =
b) n
nQ
n n n
2 1cos .cos ... cos2 1 2 1 2 1 2
π π π= =
+ + +
c) n
Rn n n
2 4 2 1cos .cos ... cos2 1 2 1 2 1 2
π π π= = −
+ + +
Bài 8. Chứng minh các hệ thức sau:
a) x x4 4 3 1sin cos cos4
4 4+ = + b) x x x6 6 5 3
sin cos cos48 8
+ = +
c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin 44
− = d) x x
x x6 6 21sin cos cos (sin 4)2 2 4
− = −
e) x
x 21 sin 2sin4 2π
− = −
f) x
x x
2
2
1 sin 12 cot .cos
4 4π π
−=
+ −
g) x
x
x
1 cos2tan . 1
4 2sin2
ππ
π
+ + + =
+
h) x
xx
1 sin2tan4 cos2π +
+ =
i) x x
x
cos cot1 sin 4 2
π = −
− k)
x xx x
x x
2 2
2 2tan 2 tan
tan .tan31 tan .tan 2
−=
−
l) x x xtan cot 2 cot= − m) x xx
2cot tansin 2
+ =
n) x
x vôùi x1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 .2 2 2 2 2 2 8 2
π+ + + = < <
VẤ N ðỀ 7 : Cô ng thức biế n ñổi Bài 1. Biến ñổi thành tổng: a) a b a b2sin( ).cos( )+ − b) a b a b2 cos( ).cos( )+ −
c) x x x4sin3 .sin 2 . cos d) x x
x13
4sin .cos . cos2 2
e) o ox xsin( 30 ).cos( 30 )+ − f) 2sin .sin
5 5π π
g) x x x2sin .sin2 .sin3 . h) x x x8cos .sin 2 .sin 3
i) x x xsin .sin .cos 26 6π π
+ −
k) a b b c c a4 cos( ).cos( ).cos( )− − −
Bài 2. Chứng minh:
a) x x x x4 cos .cos cos cos 33 3π π
− + =
b) x x x x4sin .sin sin sin33 3π π
− + =
Áp dụng tính:
o o oA sin10 .sin50 .sin 70= o o oB cos10 .cos50 .cos 70=
C 0 0 0sin 20 .sin40 .sin 80= D 0 0 0cos20 . cos 40 .cos80= Bài 3. Biến ñổi thành tích:
a) x2sin 4 2+ b) x23 4 cos−
c) x21 3tan− d) x x xsin 2 sin 4 sin 6+ + e) x x3 4 cos4 cos8+ + f) x x x xsin 5 sin 6 sin 7 sin 8+ + +
g) x x x1 sin 2 –cos2 –tan 2+ h) o ox x2 2sin ( 90 ) 3 cos ( 90 )+ − −
i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12+ + + k) x xcos sin 1+ + Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x x x x
Ax x x x
cos7 cos 8 cos9 cos10sin 7 sin 8 sin 9 sin10
− − +=
− − + b)
x x xB
x x x
sin 2 2sin 3 sin4sin 3 2sin 4 sin 5
+ +=
+ +
c) x x x
Cx x2
1 cos cos2 cos3cos 2cos 1
+ + +=
+ − d)
x x xD
x x x
sin 4 sin5 sin 6cos 4 cos 5 cos 6
+ +=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A2cos cos
5 5π π
= + b) B7tan tan
24 24π π
= +
c) o o oC 2 2 2sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o oD 2 2sin 17 sin 43 sin17 .sin 43= + +
e) oo
E1 2sin 70
2 sin10= − f)
o oF
1 3
sin10 cos10= −
g) o o
o o o oG
tan80 cot10
cot25 cot 75 tan25 tan 75= −
+ +
h) H 0 0 0 0tan 9 tan27 tan63 tan81= − − +
ðS: A12
= B 2( 6 3)= − C164
= D34
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 7 13 19 25
sin sin sin sin sin30 30 30 30 30π π π π π
ðS: 132
b) o o o o o16.sin10 .sin30 .sin50 .sin 70 .sin 90 ðS: 1
c) o o o ocos24 cos 48 cos 84 cos12+ − − ðS: 12
d) 2 4 6
cos cos cos7 7 7π π π
+ + ðS: 12
−
e) 2 3cos cos cos
7 7 7π π π
− + ðS: 12
f) 5 7cos cos cos
9 9 9π π π
+ + ðS: 0
g) 2 4 6 8cos cos cos cos5 5 5 5π π π π
+ + + ðS: –1
h) 3 5 7 9
cos cos cos cos cos11 11 11 11 11π π π π π
+ + + + ðS: 12
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) o o o otan9 tan 27 tan63 tan 81 4− − + =
b) o o otan20 tan 40 tan 80 3 3− + =
c) o o o otan10 tan 50 tan 60 tan70 2 3− + + =
d) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 .cos20
3+ + + =
e) o o o o otan20 tan 40 tan80 tan60 8sin 40+ + + =
f) o o o6 4 2tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − = Bài 8. Tính các tổng sau:
a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )α α α α α π= + + + + − ≠
b) n
Sn n n n2
2 3 ( 1)sin sin sin ... sin .π π π π−= + + + +
c) n
Sn n n n3
3 5 (2 1)cos cos cos ... cos .π π π π−= + + +
d) S vôùi aa a a a a a41 1 1... , .
cos .cos2 cos2 . cos3 cos 4 .cos 5 5π
= + + + =
e) n
Sx x x x
5 11 1 1 11 1 1 ... 1cos cos 2 cos3 cos2 −
= + + + +
ðS: n
S1sin22sin
αα
= ; Sn2 cot2π
= ; Sn3 cosπ= − ;
a a
Sa4
tan5 tan 1 5sin
−= = − ;
n xS
x
1
5tan 2
tan2
−
=
Bài 9.
a) Chứ ng minh rằng: x x x3 1sin (3sin sin3 ) (1)4
= −
b) Thay nnn n
a a a ax vaøo tính S 3 3 1 3
2(1), sin 3sin ... 3 sin .
33 3 3−= = + + +
ðS: nn n
aS a
1 3 sin sin .4 3
= −
Bài 10.
a) Chứ ng minh rằng: a
aa
sin2cos2sin
= .
b) Tính n n
x x xP
2cos cos ... cos .2 2 2
= ðS: n
nn
xP
x
sin .2 sin
2
=
Bài 11.
a) Chứ ng minh rằng: x
xx
1 cot cotsin 2
= − .
b) Tính nn
S k11
1 1 1... (2 )sin sin2 sin2
α πα α α
−−
= + + + ≠ ðS: nS 1cot cot 22α
α−= −
Bài 12.
a) Chứ ng minh rằng: x x x x2tan .tan2 tan2 2 tan= − .
b) Tính nn n n
a a a a aS a2 2 1 2
2 1tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan2 22 2 2
−−
= + + +
ðS: n
n n
aS atan 2 tan
2= −
Bài 13. Tính x2sin 2 , biết: x x x x2 2 2 21 1 1 1 7tan cot sin cos
+ + + = ðS: 89
Bài 14. Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) x x x xcot tan 2 tan 2 4cot4− − = b) x x
x x
21 2sin 2 1 tan21 sin4 1 tan2− +
=− −
c) x
xx x
26
6 21 3tan
tan 1cos cos
− = + d) x x
xx x x
1 sin2 cos 2tan 4cos4 sin 2 cos 2
−− =
+
e) x x x x x xtan6 tan 4 tan2 tan2 .tan 4 .tan6− − =
f) x
x x xx
sin 7 1 2cos2 2cos4 2cos6sin
= + + +
g) x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ = Bài 15.
a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh: a b
a
2 tan( ) 3tan
+=
b) Cho a b atan( ) 3 tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin 2 2 sin2+ + =
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) A B C
A B Csin sin sin 4 cos cos cos2 2 2
+ + =
b) A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin2 2 2
+ + = +
c) A B C A B Csin 2 sin2 sin 2 4sin .sin .sin+ + =
d) A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cos+ + = − −
e) A B C A B C2 2 2cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = −
f) A B C A B C2 2 2sin sin sin 2 2 cos .cos .cos+ + = +
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biế t:
a) B C vaø B C1sin .sin .
3 2π
− = = ðS: B C A, ,2 6 3π π π
= = =
b) B C vaø B C2 1 3sin . cos .3 4π +
+ = = ðS: A B C5, ,
3 12 4π π π
= = =
Bài 18. Chứng minh ñ iều kiện cần và ñủ ñê tam giác ABC vuông: a) A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = − b) A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + =
c) b c a
B C B Ccos cos sin .sin+ = d)
B a c
bcot2
+=
Bài 19. Chứng minh ñ iều kiện cần và ñủ ñê tam giác ABC cân:
a) A B
a A b B a btan tan ( ) tan2+
+ = + b) B C B C22 tan tan tan .tan+ =
c) A B
A BA B
sin sin 1 (tan tan )cos cos 2
+= +
+ d)
C A B
C
2sin .sincot2 sin
=
Bài 20. Chứng minh bấ t ñẳng thức, từ ñó suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñê tam giác ABC ñều:
a) A B C3 3sin sin sin2
+ + ≤ HD: Cộng sin3π
vào VT.
b) A B C
3cos cos cos2
+ + ≤ HD: Cộng cos3π
vào VT.
c) A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥ (vớ i A, B, C nhọn)
d) A B C1cos .cos .cos8
≤ HD: Biến ñổi A B C1cos .cos .cos8
− về dạng hằng ñẳng thức.
BÀI TẬP ÔN C HƯƠN G VI Bài 9. Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) x x x
xx x x
2 2 44
2 2 4sin cos cos
tancos sin sin
− +=
− + b) x x x x x2(tan 2 tan )(sin 2 tan ) tan− − =
c) x
x xx
2 2 6 2 cos 4tan cot1 cos 4+
+ =−
d) x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot1 cos 1 cos sin
+ −− =
− +
e) x x
x xx x
2 2sin cos1 sin .cos1 cot 1 tan
− − =+ +
f) x x x0 0cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + =
g)
x x
x
x x
2 cos 2cos4
tan2sin 2 sin
4
π
π
− +
=
+ −
h)
x x
x xx
2 2
2 2
3cot cot2 2 8
3cos .cos . 1 cot2 2
−=
+
i) x x x x6 6 21cos sin cos2 1 sin 24
− = −
k) x x x x4 4cos sin sin 2 2 cos 2
4π
− + = −
Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
b) x x x x x x6 4 2 2 4 4cos 2sin cos 3sin cos sin+ + +
c) x x x x3cos .cos cos .cos
3 4 6 4π π π π
− + + + +
d) x x x2 2 22 2cos cos cos3 3π π
+ + + −
Bài 11. a) Chứ ng minh: 1cot cot 2sin2
α αα
− = .
b) C hứng minh: x xx x x x
1 1 1 1 cot cot16sin2 sin4 sin8 sin16
+ + + = − .
Bài 12. a) Chứ ng minh: tan cot 2 cot2α α α= − .
b) C hứng minh: n n n n
x x x xx
2 2
1 1 1 1tan tan ... tan cot cot2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + = − .
Bài 13. a) Chứ ng minh: x x x2 2 2
1 4 14cos sin 2 4sin
= − .
b) C hứng minh: n n
n n
x x x xx22 2 2 2 22
1 1 1 1 1...sin4 cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
+ + + = − .
Bài 14. a) Chứ ng minh: x x x3 1sin (3sin sin3 )4
= − .
b) Chứng minh: n n
n n
x x x xx3 3 1 3
21sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin
3 43 3 3−
+ + + = −
.
Bài 15. a) Chứng minh: 1 tan 21
cos 2 tanα
α α+ = .
b) Chứng minh: n
n
x
x xx x21 1 1 tan21 1 ... 1cos2 tancos2 cos2
+ + + =
.
Bài 16. a) Chứng minh: sin 2cos2sin
αα
α= .
b) Chứng minh: n
n
n
x x x x
x2sincos .cos ...cos
2 2 2 2 sin2
= .
Bài 17. ðơn giản các biểu thức sau:
a) o o o o o o o o oA tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan 43 .tan 57 .tan63 .tan 77 .tan 83=
b) B2 4 6 8cos cos cos cos5 5 5 5π π π π
= + + +
c) C11 5sin .cos12 12
π π=
d) D5 7 11
sin .sin .sin .sin24 24 24 24π π π π
=
HD: a) oA tan27= . Sử dụng x x x x0 0tan . tan(60 ).tan(60 ) tan 3− + = .
b) B = –1 c) C1 32 4
= − d) D116
=
Bài 18. Chứng minh:
a) 2 3 1cos cos cos
7 7 7 2π π π
− + =
b) o o3 28sin 18 8sin 18 1+ =
c) 8 4 tan 2 tan tan cot8 16 32 32π π π π
+ + + =
d) o o
1 1 4
3cos290 3.sin 250+ =
e) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 cos20
3+ + + =
f) o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 .cos21 .cos24
2+
+ − = −
g) o o o otan20 tan 40 3.tan 20 .tan40 3+ + =
h) 3 9 1cos cos ... cos
11 11 11 2π π π
+ + + =
i) 2 4 10 1cos cos ... cos11 11 11 2π π π
+ + + = −
Bài 19. a) Chứng minh: x x x x x1
sin .cos . cos2 .cos4 sin 88
= .
b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin78= , B
3 5cos .cos .cos7 7 7π π π
= .
Bài 20. a) Chứ ng minh: x x x4 3 1 1sin cos 2 cos 48 2 8
= − + .
b) Áp dụng tính: S 4 4 4 43 5 7sin sin sin sin16 16 16 16π π π π
= + + + . ðS: S32
=
Bài 21. a) Chứ ng minh: x
xx
1 cos2tan
sin 2−
= .
b) Áp dụng tính: S 2 2 23 5tan tan tan12 12 12π π π
= + + .
Bài 22. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) 0 0sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −
c) B 2 0 2 0sin 24 sin 6= −
d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0sin 2 .sin18 .sin 22 .sin38 .sin 42 .sin 58 .sin 62 .sin78 .sin82=
HD: a) 0 5 1sin18
4−
= . Chú ý: 0 0sin 54 cos36= ⇒ 0 0sin(3.18 ) cos(2.18 )=
b) A116
= c) B5 14−
=
d) C5 11024
−= . Sử dụng: x x x x0 0 1sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4− + =
Bài 23. Chứng minh rằng: a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = .
b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2tan+ = .
Bài 24. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) b B c C a B Ccos cos cos( )+ = − b) S R A B C22 sin .sin .sin=
c) S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + + d) A B C
r R4 sin sin sin2 2 2
=
Bài 25. Chứng minh rằng:
a) Nếu B C
AB C
sin sinsincos cos
+=
+ thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu B B
C C
2
2tan sintan sin
= thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu B
AC
sin 2 cossin
= thì tam giác ABC cân.