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18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 1
Isabel Mendes2007-2008
Microeconomia IICursos de Economia e de Matemática
Aplicada à Economia e Gestão
AULA 3.3
Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes e Análise de Partilha do Risco
18-03-2008 Isabel Mendes/MICRO II 2
3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
As escolhas dos indivíduos quanto:
1º) À opção entre fazer ou não fazer um seguro para cobertura de riscos de perda;
2º) Ou quanto à opção acerca do valor do reembolso a contratar com a seguradora para cobertura total ou parcial do risco de perda, consoante o prémio de seguro pedido pela companhia,
Podem ser analisadas na óptica de um problema primal de um consumidor que pretende escolher o nível de consumo que lhe maximiza a função de utilidade, estando sujeito à sua restrição orçamental.
Assim, seja:
1. Um modelo primal de consumidor com dois estados de consumodesignados por x1 – bens de consumo disponíveis quando o estado do mundo 1 ocorre – e por x2 – bens de consumo disponíveis quando oestado do mundo 2 ocorre;
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
2. Designa-se por mercadoria contingente uma mercadoria que deverá ser
consumida apenas num dos estados do mundo: assim, x1 e x2 podem ser
interpretados como mercadorias contingentes;
3. O objectivo do consumidor é maximizar a sua utilidade consumindo a
melhor combinação de mercadorias contingentes em ambos os estados do
mundo; para isso, os consumidores pretendem transaccionar direitos
contingentes = direitos de consumo nos dois estados do mundo, se e
apenas se um dos estados do mundo efectivamente ocorrer.
Este problema do consumidor designa-se por MODEL DE PREFERÊNCIAS
PELOS ESTADOS DO MUNDO.
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Significado das curvas de indiferença de estados contingentes:
CURVA DE INDIFERENÇA DE ESTADOS CONTINGENTES = é o lugar
geométrico de todas as lotarias, cuja utilidade esperada de consumo nos dois
estados do mundo é igual à utilidade de um consumo certo.
Seja U(x) a função de utilidade independente dos estados contingentes, ou
seja, a utilidade correspondente a consumos certos, tal que:
i) Um ponto qualquer xA ∈ U(x) representa o consumo certo xA ; e U(xA)representa a utilidade associada ao consumo certo xA [FIG 1];
ii) A situação descrita em i) é equivalente a dizer-se que o indivíduo pode dispor de xA nos dois estados do mundo, de certeza, ou seja: xA
1 = xA2, e
pertencem a uma linha recta de 45º [FIG 2].
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
x
U(x)
U(x)
xA
U(xA)
x1
x2
45º
xA1
xA2
Situação de certeza sem estados do
mundo
Situação de certeza nos dois estados do mundo se
eles ocorrerem:
xA= xA1 = xA
2
FIG 2
FIG 1
A
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Significado das curvas de indiferença de estados contingentes
(continuação):
Podemos então dizer que o ponto A é um dos pontos que pertencem a uma curva de indiferença de estados contingentes tal como a definimos antes e para a qual se verifica que:
( ) ( )ALE U x U x =
E onde xA é o EQUIVALENTE CERTO para essa curva de indiferença.
Suponhamos agora uma outra situação em que o consumidor pode optar
entre um consumo certo e um consumo contingente, com as seguintes
características:
(1)
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Significado das curvas de indiferença de estados contingentes
(continuação):
O consumo certo é o EQUIVALENTE CERTO xA ;
O consumo contingente é representado pela seguinte lotaria: o estado 1
pode acontecer com uma probabilidade de 2/3 e o indivíduo terá um
consumo igual a xB1 ; e o estado 2 pode ocorrer com uma probabilidade de
1/3 e o indivíduo terá um consumo igual a xB2 ;
Assume-se que o indivíduo seja indiferente entre o consumo certo e o
consumo contingente o que ⇒ a seguinte igualdade:
( ) ( ) ( )1 2
2 13 3
Utilidade do EquivalenteUtilidade esperada da lotaria Certo
B B AU x U x U x+ = (2)
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes Significado das curvas de indiferença de estados contingentes (continuação):
Conclusão: como o consumidor é indiferente entre xA e a lotaria descrita,
então podemos concluir que o ponto (xB1, xB
2 ) pertence à curva de
indiferença (1).
Se designarmos a utilidade esperada por , a expressão (2) pode
ser reescrita na seguinte forma:
( ) ( )1 2A A AV x ,x U x=
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
2 13 3
B B A A AU x U x U x V x , x+ = = (3)
Na [FIG 3] representamos a utilidade esperada da lotaria igual à utilidade do equivalente certo xA .
Na [FIG 4] representamos o ponto (xB1, xB
2 ) sobre a respectiva curva de indiferença definida por .
( )1 2A AV x ,x
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
x
U(x)
U(x)
xB1
U(xB1)
x1
x2
45º
xA1
xA2
FIG 4
FIG 3
A
xB2
U(xB2)
E{xL}xA
U(xA)=E{U(xL)}
xB1
xB2
B ( ) ( )1 2A A AV x ,x U x=
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
NOTAS SOBRE FIG 4:
1ª) Para a direita de A localizam-se os consumos contingentes, caracterizados por se consumir mais no estado 1 do que no estado 2;
Para a esquerda de A localizam-se os consumos contingentes, caracterizados por se consumir mais no estado 2 do que no estado 1;
2ª) Os pontos que pertencem à linha de 45º representam todos os estados do mundo contingentes para diferentes curvas de indiferença, para os quais o consumidor sabe de certeza que, independentemente do que possa a acontecer, o seu nível de consumo será o mesmo nos dois estados do mundo.
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença :
Seja a expressão genérica da Curva de Indiferença dada pela expressão (4).
A Taxa Marginal de Substituição (TMS) de um nível de consumo num
estado do mundo por outro nível de consumo noutro estado do mundo, ao longo
da curva de indiferença (4) , é igual à taxa a que o consumidor está disposto a
desistir do consumo num dos estados, para aumentar o consumo no outro
estado.
Então, a expressão genérica da curva de indiferença ( ) ( )1 2A A AV x ,x U x= pode
ser escrita da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 A A AU x U x U x V x , xρ ρ+ − = = (4)
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença (continuação):
Para calcular analiticamente a TMS, basta calcular o diferencial total de (4) e igualá-lo a zero, obtendo-se (5) :
( ) ( ) ( )1 21 21 0
U x U xdV dx dx
x xρ ρ∂ ∂
= + − =∂ ∂
(5)
Resolvendo (5) de forma a obter o declive da curva de indiferença, obtém-se (6) :
( )( ) ( )
( )( ) ( )2 1
1 12
1 22 11
= − = =− −
x ,x
dU x / dx U' xdxTMS
dx U' xdU x / dx
ρ ρρρ (6)
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Cálculo da TMS ao longo de uma curva de indiferença (continuação):
CARACTERÍSTICAS DA TMS:
Nos pontos localizados sobre a linha de 45º, onde x1 = x2, a TMS tem o seguinte valor:
2 1 1x ,xTMS ρρ
=−
porque x1 = x2, o que significa que o benefício relativo do consumo no estado1 depende da sua probabilidade relativa de ocorrência;
Se a curva de indiferença for de um consumidor avesso ao risco (curva de indiferença convexa), então a TMS é decrescente; se for amante do risco écrescente.
(7)
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Restrição orçamental dos estados contingentesSeja:
O estado 1 o estado bom, tal que o nível de consumo seja x1 e o estado 2 o estado mau, tal que o nível de consumo seja x2 ⇒ x1 > x2;
Seja a dotação inicial (DI) em consumo e p1, p2 os preços dos “direitos contingentes”.
Então:
1 2x ; x
1 1 2 2 1 1 2 2p x p x p x p x+ ≤ +RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DOS
ESTADOS CONTINGENTES
E a recta orçamental é:
12 1 1 2 2 1
2
px p x p x xp
≤ + −
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Graficamente:
x1
x2
45º
1x
DI2x
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
A maximização da utilidade:
Dada a função de utilidade esperada e a restrição orçamental dos estados contingentes, os direitos de consumo que maximizam a utilidade
sujeitos à restrição orçamental devem verificar a seguinte igualdade:
* *1 2x ;x
( )( ) ( )2 1
11 1
2 2 21x ,x
U ' xp pTMSp U ' x p
ρρ
= ⇔ =−
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Análise da partilha do risco no mercado de direitos contingentes
Seja:
Dois indivíduos A e B com diferentes preferências pelo risco; A é mais avesso ao risco do que B ⇒ a sua curva de indiferença é mais côncava do que a de B;
As respectivas dotações iniciais em consumo nos dois estados do mundo são iguais:
11 22A B BA
;x xx x= =
Num mercado competitivo, o indivíduo menos avesso ao risco está disposto a vender direitos de consumo no estado mau ao indivíduo mais avesso ao risco, em troca de um maior consumo no estado bom;
A partilha do risco entre os dois indivíduos está ilustrada na FIG 5.
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
A
B
1
Ax
2Ax ↑
1
Bx←
2
Bx↓
DI
1
Ax →
1
Bx
2
Bx2
Ax
45º
45º
BU
AU
ZONA DE GANHOS DE
TROCA
Compra x2
Vende x1
compra x1
Vende x2
FIG 5
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Análise da partilha do risco no mercado de direitos contingentes(continuação):
Comentários à FIG 5:As curvas de indiferença dos dois consumidores têm TMS’s iguais aos
rácios das suas probabilidades subjectivas (de acordo com o resultado (7) ), ao longo das rectas de 45º;
A zona de ganhos de troca (que contém as combinações óptimas à Pareto) localiza-se a noroeste da dotação inicial e mais perto da linha de 45º doconsumidor A mais avesso ao risco ⇒ este está disposto a pagar em troca da garantia de poder consumidor de forma mais equitativa nos dois estados (ou seja sobre a sua linha de 45º na qual ;
O indivíduo B menos avesso ao risco, está disposto a desistir de algum consumo no estado mau (estado 2) para poder aumentar mais os seus direitos de consumo no estado bom (estado 1).
1 2A Ax* x*=
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Seguro de Cobertura total quando um indivíduo é neutro perante o
risco
A FIG 6 mostra a partilha de risco óptima entre um indivíduo neutro perante o risco (indivíduo B) e um indivíduo avesso ao risco (indivíduo A).
A curva de indiferença do indivíduo B é linear ⇒ , porque:
sendo neutro ao risco então:
2 1 1x ,xTMS ρρ
=−
( ) ( ) ( )1 21 = = + − L LU E x E U x x xρ ρ
E a TMS é igual a:[ ]
[ ]2 1
1
2
1x ,x
E UxTMS
E Ux
ρρ
∂∂
= =∂ −
∂
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
A
B
1
Ax
2Ax ↑
1
Bx←
2
Bx↓
DI
1
Ax →
1
Bx
2
Bx2
Ax
45º
45º
B BU U *=
AU
Compra x2
Vende x1
compra x1
Vende x2
FIG 6
AU *
E
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3.3 Escolha do Consumidor entre Mercadorias Contingentes
Seguro de Cobertura total quando um indivíduo é neutro perante o
Risco (continuação)
O ponto de equilíbrio E resulta da tangência entre a curva de indiferença do indivíduo avesso ao risco e a curva de indiferença do indivíduo neutro ao risco ;
Neste ponto,
2 1 2 1 1A A B Bx ,x x ,xTMS TMS ρ
ρ= =
−
e o consumidor avesso ao risco garante exactamente os mesmos níveis de consumo em ambos os estados ⇒
1 2A Ax* x*=
Este resultado é exactamente igual àquele que se obteve no mercado de seguros quando a seguradora oferecia prémios de seguro actuarialmente justos ⇒ este é um óptimo de Pareto.