Microeconomía I (250) Cátedra: Lic. CP. Andrés Di Pelino Profesor Adjunto: Lic. Joel Vaisman

Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos Aires

GUIA PRÁCTICA TEORÍA NEOCLÁSICA DEL PRODUCTOR

PRODUCCION, RENDIMIENTOS A ESCALA 1) Responda V o F y justifique: Si el cociente entre el producto marginal del capital y la tasa de interés es superior al cociente entre el producto marginal del trabajo y el salario, entonces la empresa preferirá seguir contratando más mano de obra, dado un mismo nivel de producción. 2) Mientras que en los países agrícolas desarrollados la maquinaria utilizada llega a 150 kg de máquina elaborada por hectárea, en Argentina esa cifra apenas alcanza a 20 kg. ¿Qué justificación económica podría usted proveer para semejante disparidad en la utilización de maquinaria agrícola entre los países desarrollados y nuestro país? (SUGERENCIA: ¿cuáles son los factores de producción que tiene que tener en cuenta para hacer el análisis?). 3) Suponga que un fabricante de sillas estuviera produciendo a corto plazo, en el que el equipamiento es fijo. El fabricante sabe que a medida que el número de trabajadores se eleve de 1 a 7 el número de sillas producidas variaría de la siguiente forma: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23. ¿El producto marginal es siempre positivo? De no serlo, explique, de forma intuitiva, cual podría ser la razón de que el producto marginal del trabajo se vuelva negativo 4) Consideremos un proceso de producción simple, en el que un empresario utiliza dos insumos variables, x1 y x2. La función de producción está dada por

q= f(x1, x2) = 10 x1 – x12 + x1 x2

a) Encuentre PMg para cada factor. b) Interprete para las cantidades x1 =2 y x2=6. Dadas esas cantidades, ¿cuál factor generará mayor incremento en el nivel de producción si se aumentan en una proporción pequeña? Re: PMg1(2, 6) = 12; PMg2(2, 6) = 2 5)¿Cuáles de las siguientes funciones tienen rendimientos constantes, crecientes y decrecientes de escala? a) F(K,L) = K2 L b) F(K,L) = 10 K + 5 L c) F(K,L) = K0,5.L0,5 d) F(K,L) = 2 K L

6) Suponga las siguientes funciones de producción: a) y = x1 + 5.x2 b) y = 43.x1.x2 c) y = 43.x1

0,75.x20,25

Calcule PMg para cada factor y la TSMT para cada función. 7) Para las siguientes funciones de produccion determine si el producto marginal del factor 1 es o no decreciente y si la funcion de produccion tiene rendimientos crecientes, constantes o decrecientes de escala. a) y = x1. x2 b) y = x1 + x2 c) y = 8. x1 + x2 d) y = x1 + 0.5 x2 e) y = 43.x1

0.75.x20.25

f) y = 43.x10.55.x2

0.55 g) y = 43.x1

0.55.x20.25

8) Dada la función de producción

y = 43.x1 0,75x2 0,25 Calcule el Producto Marginal de ambos factores, y la Tasa Marginal de Sustitución Técnica. ¿Qué cantidades puedo producir con 27 unidades de 1 y 18 de 2? 9) Un proceso de producción de trigo (P) depende de trabajo (L) y Tierra (T). La función de producción es:

P = 6L2T2 – L3T3 a) Suponga que T = 1, y realice un análisis ceteris paribus sobre la producción de trigo cuando el insumo trabajo crece (tome como ejemplo, desde L=1 hasta L=5). b) Manteniendo el supuesto de T = 1, calcule el PMe, y encuentre su máximo. Re: Máximo de la producción total de trigo en L=4. Máximo PMe en L = 3. 10) La función de producción a largo plazo de una empresa está dada por:

q=f(x1, x2) = x10,9 x2

0,3 Si el volumen de producción es

q = 403/10 Encuentre la expresión de la isocuanta correspondiente. 11) La empresa Pepirí SRL opera con la siguiente función de producción:

y = 21 L + K

a) Encuentre el PMg para cada uno de los factores. b) Estime los rendimientos a escala de la función. c) Si K=4, escriba la función de producción para el corto plazo. 12) Dada la función F(x,y) = 600 K2 L2 - K3L3

a) Suponga que K =10. Obtenga la función de producción de corto plazo. b) Calcule el nivel máximo de producción, el producto medio y marginal para ese nivel de producción. c) También obtenga el PMe y PMg máximos. Compruebe el nivel de producción para el cual el PMe es igual al PMg. 13) La función de producción de una firma que ensambla computadoras es:

q= f(L ,K) = 0,1LK + 3L2K – 0,1L3K a) Suponiendo que el stock de capital es de 10, obtenga la función de producción de la firma para el corto plazo. b) Determine el PMg del factor trabajo, derivando a la función de producción con respecto a ese factor. c) Determine el PMe del factor trabajo, dividiendo a la función de producción por L. d) Grafique las funciones encontradas en a, b y c. Demuestre que incorporar más de 20 trabajadores es ineficiente. 14) Dada la función de producción Cobb-Douglas de largo plazo

q=f(L, K) = 3L1/3K1/3 a) Calcular la expresión de la isocuanta para 150 unidades b) Calcula la TMST c) ¿Cuál es el rendimiento a escala de esta función de producción? 15) Una empresa tiene la siguiente función de producción:

q = 50 (m.l)1\2 + m + l

donde m indica la cantidad de materia prima, y l de trabajo. Las productividades marginales de los factores son:

PMgm= 25

ml 1\2+1

PMgl= 25

lm 1\2+1

Demuestre que los rendimientos de la función de producción son constantes a escala. Suponga que m>0 y constante. Demuestre que la productividad marginal del trabajo es decreciente para todo nivel de l. 16) Suponga que la función de producción de “Pancho’s Deluxe” es:

q = 5.L2\3K 1\3

a) ¿Cómo son los rendimientos a escala de q? b) ¿Cuáles son las productividades marginales de los factores? c) Encuentre la TMST

Re: a) Constantes a escala c) 2LK

17) Dada la función de producción Cobb-Douglas:

q = f(L,K) = 5L0,4K0,6

a) Demuestre que tiene rendimientos a escala constantes. b) Encuentre la TMST. Demuestre que la TMST encontrada es invariable ante

cambios proporcionales en los insumos (para ello, utilice el mismo procedimiento que usó para demostrar los rendimientos a escala, pero ahora sobre la TMST).

c) Demuestre que, si se usan 200 unidades de trabajo, y 300 de capital, si se incrementa K en una unidad, L debe disminuir en la misma proporción para mantener el mismo nivel de producción. (Utilice la TMST).

18) Piper Aeroplanos S.A., empresa que vende avioncitos de papel, utiliza dos insumos para su producción, toneladas de papel (xP) y mano de obra (xL). La función que refleja el comportamiento del output, qA, es:

qA = f(xP, xL) = 100. xP3/4.xL

1/4 La firma debe abonar por cada unidad de papel pP, y paga w unidades monetarias a cada trabajador. Se sabe que la firma puede destinar, como máximo, un valor de 𝜃.

a) Analice los rendimientos a escala de la función de producción b) Plantee el problema que debe resolver la empresa. c) Sabiendo que se paga $200 por cada tn de papel, y $250 a cada trabajador, y que el presupuesto del sector de producción no puede exceder los $50000, encuentre las demandas de factores que maximizan el nivel de producción. Grafique. d) ¿Cuántos aviones de papel se producirán?

COSTOS 1) La empresa que comercializa equipos computacionales “Justo cuando la necesito se rompe”, le informa que sus gastos para la producción de una unidad de un ordenador son los que se detallan a continuación: L: cantidad de horas de mano de obra calificada, cuya remuneración (salario por hora: w) es de $50. K: unidades de capital físico fijo instalado, cuya remuneración (retribución del capital: r) es de $80

Además, existe un costo fijo por un monto de $500 correspondiente a un alquiler. Se pide armar la función de costo total para una unidad de producto con los datos brindados por la empresa. 2) Si la función de Costo Total Conjunta (esto es, producir los bienes q1 y q2, implica dos funciones de producción), está dada por:

CT(q1, q2) = q1.ln(5+ q2) Encuentre los costos marginales para cada producto.

Re: CMg1 = ln(5+ q2); CMg2 = 25

1q

q+

3) El personal de la heladería “Se me derrite en la mano” estuvo todo el invierno estimando la función de costo total de la heladería. Finalmente, llegaron a la conclusión de que la misma responde a la siguiente forma cúbica (¡no por los cubitos de hielo!). Dada la función de Costo Total:

CT = q3 – 5q2 + 14q + 75 El gerente le pide que determine:

a) Costo Fijo b) Costo Medio c) Costo Variable d) La derivada de la función de CT, y que interprete el significado económico de

dicha derivada. 4) Si la función de costo para un productor es:

CT(q) = 0,01q2 + 5q + 100 a) Utilizando el criterio de la derivada, ¿A qué nivel de producción q se obtiene el Costo Medio Mínimo? b) Compruebe su resultado igualando CMe con CMg. Re: La cantidad que minimiza el CMe es q= 100 (descarte la raíz negativa). 5) Si la función de Costo Total por hora de operación de los camiones de una empresa está dado por la siguiente función:

CT(v) = 0,001.v2 – 0,15v + 20 con 0≤ v≤100 Donde v representa la velocidad en km por hora. ¿A qué velocidad es mínimo el CT por hora? Re: El Costo es mínimo para v=75km/h

6) El taller mecánico “No encuentro un solo repuesto” calculó que el Costo Total de reparar coches, en función de las cantidades producidas q, era igual a:

CT = 2q2 + 3q + 80 Encuentre el costo medio, el costo variable medio y el costo marginal Re:

CMe = 2q + 3 + q

80

CmeV = 2q + 3 CMg = 4q + 3 7) Un productor de cine independiente decide estudiar la función de producción de cortometrajes de la firma Fernando Roca Rodríguez y Asoc. Para ello determina previamente las relaciones de ingresos y tecnología necesarios, con lo que lleva a una función de producción que solo depende de dos factores, el trabajo y el capital, de manera que la misma queda determinada de la siguiente manera:

q=f(L, K) = 2L0,8K0,3

Asimismo, logra establecer la ecuación de costos, que está compuesta por un salario de $10 y un costo de capital de $40, con un costo fijo de $1000. a) Arme la ecuación de costos de la empresa. b) Se le pide que ayude a la compañía a encontrar la cantidad óptima de películas que debe producir, sabiendo que el Costo Total es igual a $6000. Plantee el problema que enfrenta el productor, y encuentre la cantidad óptima de factores. 8) Elija la respuesta correcta:

CMg = IMg implica que:

a) El beneficio es cero. b) El beneficio es máximo. c) La distancia entre Costo Total e Ingreso Total es mínima. d) P < CMe

9) (Adaptado de la guía del prof. Edgardo Zablotsky): La empresa “Tractor Amarillo” fabrica, vaya sorpresa, tractores. En su planta, tiene trabajadores (L) y bienes de capital (K) que emplea para la producción. Es decir, tiene una función de producción de la forma:

Q = f(L, K) Los factores de producción son remunerados con w (salario) y r (precio del capital). Con el objetivo de producir de forma eficiente, el CEO de la empresa encarga a los

encargados de producción que hagan un estudio sobre que cantidades de insumos de mano de obra y maquinaria se necesita emplear para producir, siempre con la idea de gastar lo menos posible y maximizar el beneficio. Tres de los encargados ofrecen los siguientes datos, sabiendo que se paga w=5 y r=6:

Q L K w.L r.K Costo Total

1 30 25 150 150 300 1 32 26 160 156 316 1 31 24 155 144 299 2 54 30 270 180 450 2 44 32 220 192 412 2 39 29 195 174 369 2 28 28 210 168 378

a) Suponga que solo se quiere producir un solo tractor, es decir, estamos sobre la

isocuanta Q=1. ¿Cuál de las alternativas está totalmente dominada por las otras y puede ser desechada? Justifique.

b) De las dos alternativas que quedan, ¿cuál es relativamente intensiva en trabajo? c) Señale que alternativa debería elegir el CEO. Justifique. d) Suponga ahora que el CEO quieren producir dos tractores (isocuanta Q=2).

¿Qué combinaciones debería descartar el CEO de entrada? e) ¿Cuál es relativamente intensiva en capital? ¿Qué alternativa debe elegir?

Justifique. f) Suponga ahora que, por efecto de las paritarias, el costo salarial pasa a w’=10.

Los datos pasan a ser los siguiente:

Q L K w.L r.K Costo Total w'.L Costo

Total ' 1 30 25 150 150 300 300 450 1 32 26 160 156 316 320 476 1 31 24 155 144 299 310 454 2 54 30 270 180 450 540 720 2 44 32 220 192 412 440 632 2 39 29 195 174 369 390 564 2 28 28 210 168 378 420 588

¿Qué alternativa elige ahora si quiere producir un solo tractor? ¿y para dos tractores? ¿Hubo algún cambio de alternativa? Justifique su respuesta. (SUGERENCIA: analice si aumento salarial impacta de la misma manera en una alternativa capital intensiva o en trabajo intensiva).

10) La función de producción de una empresa tiene la siguiente forma:

y = ( L + K )2

Las productividades marginales asociadas son:

PMgL = (L1\2 + K1\2) L-1\2

PMgK = (L1\2 + K1\2) K-1\2

Los precios de los factores son w para el trabajo, y r para el capital.

a) Plantee el problema de minimización de costos sujeto a una determinada cantidad Y para el corto plazo (suponga K = 9). b) Plantee el problema de minimización de costos sujeto a una determinada cantidad Y para el largo plazo. c) Sabiendo que w = 2 y r = 1, iguale la TMST al cociente de los precios de factores. Encuentre la demanda condicionada de factores, suponiendo que trabaja en el largo plazo. d) Encuentre la función de Costo Mínimo. 11) (Ejercicio con complejidad algebraica). Suponga que una firma tiene una función de producción Cobb-Douglas, de la forma:

y=Ax1ax2

b

Los precios de los factores son w1 y w2. Responda: a) ¿Cuál es la Tasa Marginal de Sustitución Técnica? b) Plantee el problema de minimización del costo, sujeto a un determinado nivel de

producción y. c) Encuentre las funciones de demandas condicionadas de los factores, y la función

de costo mínimo. Suponga que A=1, y suponga rendimientos constantes a escala. Llame, para simplificar términos, θ a la expresión a-a(1-a)a-1 12) La empresa “Derrochadores S.A” decide cambiar de gerencia de producción. Sabiendo que tiene una tecnología de Leontieff, con factores K y L y coeficientes a y b fijos respectivamente, y que no se quiere derrochar ningún factor que tenga precios positivos, y que su decisión se basará en el largo plazo, se desea encontrar el mínimo costo para producir 5000 unidades. Re: CT(K,L,y) = 5000( a

K + bL )

10) Alberto “El Dromedario” Gutiérrez es famoso por su te de hierbas. Tiene la siguiente función de Costo Total en función del nivel de producción:

CT = q2 + 10

a) ¿Cuál es la cantidad que hace al costo mínimo? b) Encuentre las funciones de CMg y CMe. ¿En qué cantidad ambas se igualan?

Demuestre, mediante una minimización, que es la misma que hace al CMe mínimo.

c) Cuál es el menor precio al cual terminará vendiendo “El Dromedario”? (Nota: ¿Qué sucede con el beneficio y el precio a largo plazo?)

d) ¿Cuál es la función de oferta de la empresa? Re: b) y c) 10

13) La firma Cola Grande (que fabrica gaseosas) tiene la siguiente función de producción:

q = 41 K2/3L1/3

Los precios de los factores son w = 12 y r =3.

a) Plantee el problema de minimización de costos sujeto a un determinado nivel de producción Q.

b) Encuentre la demanda de factores. c) Reemplace L* y K* en la función de costos, y obtenga CT(Q). d) Encuentre la función de CMg y CMe.

14) Dada la función de producción: Q= X1 X2

y sabiendo que los precios de los factores son r1 = 4y r2= 8 y que existe un costo fijo CF = 2, a) determine la combinación de mínimo costo para alcanzar el nivel de producción Q= 200. b) halle el máximo nivel de producción sabiendo que los fondos disponibles de la firma alcanzan a 162. Re: X1 = 20; X2= 10 15) Una empresa produce bienes utilizando dos insumos con la siguiente función de producción:

y = x10.50 + x2

0.50

a) ¿Qué tipo de rendimientos de escala presenta esta función? b) Si el precio del factor 1 es w1 y el precio del factor 2 es w2 , plantee el problema que debe resolver la firma ¿cuál es la combinación más económica posible de factores? c) Escriba las curvas de demanda derivada de los factores x1 = x1 (w1 ,w2 , y ) y x2 = x2 (w1 ,w2 , y ) d) Escriba la funcion de costos c = c (w1 ,w2 , y ) para esta funcion de produccion e) Si el precio del producto es p = $ 200 , el precio del factor 1 es w1 = $ 4 y el precio del factor 2 es w2 = $ 3,5 ¿Cuál es la combinación más económica posible de los factores para producir 100 unidades? f) ¿Cuáles son los costos en este caso? g) ¿Cuáles son los beneficios? h) ¿Cuál es la combinación mas económica posible de los factores para producir 50 unidades? i) ¿Cuáles son los costos en este caso? j) ¿Cuáles son los beneficios? BENEFICIO 1) La función de Costo Total para un producto es:

CT(q) = 2000 + 50q + 0,03q2 Y la de Ingreso Total es

IT(q) = 300q – 0,05q2 a) Plantee el problema que debe resolver la firma. b) Encuentre el beneficio máximo de la firma.

c) Utilizando el criterio de la derivada segunda, o el Teorema de Bolzano, verifique que encontró un máximo. Re: Máximo en q=1562,5 2) Suponga que la firma “Re abrochados SA” tiene, como dato, las siguientes funciones:

CT(q) = 0,02q3 + 200q + 1000

IT(q) = 500q – q2 a) Plantee el problema que debe resolver la firma. b) Encuentre el nivel de producción que maximiza el beneficio. c) ¿En qué plazo está operando? ¿Qué dato lo demuestra? Re: Máximo en q = 56 (aproximado) 3) Una empresa tiene una función de producción de corto plazo, donde el único insumo es mano de obra (L):

q= f(L) = 6L2/3 El precio del factor trabajo, w, es de 8, y el precio del output, p, también es de 8.

a) Encuentre la función de Ingreso Total. b) De la función de producción, despeje a L en función de q. c) Suponga que existe un costo fijo CF. Arme la función de Costo Total, sabiendo

que el Costo Variable es w.L(q). d) Plantee el problema de maximización del beneficio de la empresa. e) Encuentre la demanda de mano de obra de la empresa.

Re: q*= 96. L*=64 4) Un fabricante tiene una función de Costo Total de

CT(q) = 0,02q3 + 200q + 1000 Y la de Ingreso Total

IT(q) = 500q – q 2 Donde q son las cantidades producidas por la empresa. a) Arme la función de beneficios. b) Plantee el problema que enfrenta la empresa. c) Encuentre la cantidad que maximiza el beneficio. Re: q = 56 (aproximadamente) 5) Adaptado de Varian, H. Análisis Microeconómico: Una empresa tiene como único insumo el factor x. La función de producción de la empresa es:

y =F(x) = xa Con a>0. El precio de venta es p, y el precio de su insumo es w.

a) Plantee el problema de maximización del beneficio de la empresa y plantee las condiciones de primer orden.

b) Suponga a= 1. ¿Qué implicancia tiene sobre los rendimientos a escala? ¿Qé tipo de función de producción es? ¿Se cumple que el precio es igual al costo marginal?

c) Obtenga la demanda de factores de la empresa. d) Encuentre la función de oferta de la empresa. e) Encuentre la función de beneficios de la empresa. Re:

c) x(p,w) = (apw ) exp 1

1−a Nota: exp significa “elevado a la potencia…”

d) y(p,w) = x(p,w)

e) π (p,w) = w(a

a−1 ).x(p,w)

6) Explique bajo que condiciones una empresa seguirá operando en el corto plazo. ¿Cuál es la diferencia con el largo plazo? 7) Adaptado de García Venturini – Kiciloff “Análisis Matemático II”: Producción múltiple. Una empresa produce dos bienes: x1 y x2, en competencia perfecta. Las demandas de mercado que enfrenta para cada producto son:

D1 = 100 - 3p1 + p2 D2 = 200 + p1 – p2

Siendo p1 y p2 los precios de los productos x1 y x2 respectivamente. La función de Costo Total de la empresa es:

CT(D1, D2) = 20. D1 + 10. D2

a) Obtenga la función de Costo Total en función de los precios de mercado de los

productos que fabrica la empresa. b) Obtenga la función de Ingreso Total de la empresa, sumando las funciones de IT

para cada mercado. c) Plantee el problema de maximización del beneficio de la empresa, siendo las

variables de elección los precios de cada producto. d) Encuentre los precios, las cantidades óptimas y el beneficio máximo.

Re: d) p1 = 80; p2 = 180; D1 = 25; D2 = 105 8) Alberto, también conocido como “el exitoso de Coghland”, tiene una empresa que está operando en su equilibrio (es decir, el análisis es de corto plazo). También se tiene información que no tiene beneficio, sino que está trabajando a pérdida. ¿A qué se debe esta situación? ¿Entre qué valores teóricos estará el precio al que vende sus productos? 9) En un mercado competitivo la curva de demanda que enfrenta cada productor es perfectamente elástica, sin embargo la curva de demanda de mercado tiene pendiente negativa. ¿Cuál es la razón para que se verifique este hecho?

10) El dueño de una empresa familiar considera que el desempeño de su negocio es óptimo ya que sus costos marginales están muy por debajo de sus ingresos marginales. ¿Está usted de acuerdo con el? Justifique su respuesta. 11) La función de Costo Total, que depende de los insumos trabajo y capital, es:

CT(L, K) = wL + rK + CF Donde w y r son las remuneraciones a los factores, y CF el costo fijo. La empresa tiene una función de producción q=f(L,K), y el precio al que vende está determinado por el mercado, y es siempre el mismo, p. e) Arme la función de IT, y plantee el problema que debe resolver el productor.

f) Obtenga las condiciones de primer orden. Demuestre que PMgL = pw en el

óptimo. ¿Qué haría la empresa si PMgL fuera mayor al salario real? g) Ahora suponga que

q=f(L,K) = L0,5K0,5. El precio al que vende el producto es 2, y los precios de los factores son w=5 y L=4.

Plantee el problema de maximización del beneficio para el corto plazo, suponiendo que K = 100, y que no hay costos fijos.

d) Encuentre la cantidad óptima de trabajadores que demandará la firma. Re: L*=4 12) La firma ACME, que fabrica “inventos para destrucción de bípedos veloces”, tiene la siguiente función de producción:

y=f(x1, x2)= x1 0,75

x2 0,25

donde el insumo 1 representa pólvora; y el 2, cables e insumos varios. ACME vende todos sus productos al precio p, que es lo único que puede pagar el cliente (no le suben el precio, pues siempre hay una falla en los productos, pero él siempre sigue comprando). El precio del factor 1 es w1 y el del factor 2, w2. Suponga que se opera en el largo plazo, con lo cual no hay costos fijos.

a) Plantee el problema de maximización del beneficio de ACME. b) Encuentre la demanda de factores de ACME. c) Si el precio de venta es $4, y los insumos cuestan $2 y $1 respectivamente,

obtenga las cantidades demandadas, el nivel de producción óptimo y el beneficio máximo.

13) Una empresa fabrica tres productos: 1, 2 y 3, cuyos costos de producción son respectivamente 35, 40 y 73; mientras que el número de unidades producidas para cada producto es 120, 150 y 90. El vector de costo es:

C = (35, 40, 73)

y el de producción:

Q = (120, 150, 90) Los productos se venden cada uno de acuerdo a los siguientes precios:

P = (40, 46, 80)

a) Plantee el problema de maximización de beneficio de forma vectorial. b) Encuentre el beneficio de la firma. Re: CT=16770, IT=18900, B=2130