microeconomia 2 elecciones bajo_incertidumbre

8/17/2019 microeconomia 2 elecciones bajo_incertidumbre

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Microeconomía II – Ingeniería Comercial

Grethel Zurita Z. ([email protected])

ELECCIONES BAJOINCERTIDUMBRE

ELECCIONES BAJOINCERTIDUMBRE



En Esta Unidad

Se desarrollan los conceptos básicos que permiten comprenderel modo en que las personas eligen entre alternativas inciertas.

Se muestra la importancia de tomar en consideración laactitud de las personas frente al riesgo y no solamente frentea lo que se espera de las distintas opciones.

Se procura entender el tipo de acciones que pueden realizarlas personas para reducir el riesgo o soportarlovoluntariamente.



CONCEPTOS BÁSICOS

Los individuos enfrentamos situaciones en donde no estamosseguros del resultado de nuestras acciones.

Por ejemplo:

• Compramos números de rifa.

• Participamos en apuestas.

• Estudiamos solamente una parte de la materia.

• Participamos en juegos con componentes inciertos (cartas,dados, etc.).



Probabilidad

La probabilidad de un evento que ocurre infinitas veces es lafrecuencia relativa con la que el evento sucede.

Ya que es una frecuencia relativa, su valor debe estar entrecero y uno, y la suma de las probabilidades debe ser igual auno.

0 1i

1n

i

i

Luego, si se tiene un evento incierto con n posibles resultados, y la probabilidad del resultado i es πi, entonces debe cumplirseque:


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Probabilidad: Ejemplo

0,5CARA

Se tira una moneda al azar infinitas veces.

La mitad de las veces saldrá cara, por lo que la probabilidad deque salga cara es 0,5, es decir, .

La mitad de las veces saldrá SELLO, por lo que la probabilidadde que salga sello es 0,5, es decir, .0,5SELLO

1CARA SELLO

Además, se verifica que las suma de las probabilidades debeser igual a uno, ya que



Valor Esperado (VE)

Es el valor de un determinado evento, donde los posiblesresultados (pagos) se ponderan con la probabilidad de

ocurrencia de cada uno, esto es, es la suma ponderada de losresultados.

n

i i

i

VE X X

Es decir, si se tiene un acción, X , que tiene n posiblesresultados, la probabilidad del resultado i es πi, y el pago delresultado i está dado X i ,entonces:

1 1 2 2 ... n nVE X X X X



Valor Esperado: Ejemplo

0,5CARA

Sigamos con el ejemplo de tirar una moneda al azar infinitasveces.

Ya sabemos que y que .0,5SELLO

Supongamos que:

• Si sale cara Andrés le pagará $100 a Javier.

• Si sale sello Javier le pagará $100 a Andrés.

CARA CARA SELLO SELLOVE tirar la moneda X X

Entonces, desde el punto de vista de Andrés:

0,5 100 0,5 100 0VE tirarla moneda



Juegos Justos

Un juego justo es aquel que tiene un valor esperado igual acero (o que cuestan su valor esperado).

Una apuesta justa es igual al valor esperado de una decisión.Es la máxima cantidad de dinero que estaría dispuesta a pagaruna persona que maximiza el pago esperado por participar enuna decisión.


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ELECCIÓN EN SITUACIONES INCIERTAS

Se dice que la mayoría de las personas rehúsan participar de juegos justos. Sin embargo, cuando hay poco dinero en juegolas personas deciden de acuerdo con el valor esperado del juego y tratan de decidirse por la alternativa que lo maximiza.

Para mostrar que el criterio del valor esperado tieneproblemas se considerará el caso de la Paradoja de SanPetersburgo.



La Paradoja de San Petersburgo (1)

Para mostrar que el criterio del valor esperado tieneproblemas consideremos el siguiente ejemplo.

• Se lanza una moneda hasta que aparece cara.• Se pagará $2 por cada vez que salga sello, hasta la primera

cara.

Entonces, si Xi es lo que se recibe de dinero al final del juego,dado que i es el número de veces que se lanza la moneda hastaque aparece sello, se tiene:

1 2 X 22 2 2 2 4 X 3

3 2 2 2 2 8 X

2nn

X Luego




Si la probabilidad de que salga cara en el i-ésimo lanzamientoes πi, se tiene:

1

1

2

2

2

1 1 1 1

2 2 2 4

3

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 8

1

2

n

n

Luego

Entonces, el valor esperado de este juego es:

1 1

12 1 1 ... 1

2

n

n

i i

i i

VE X X




¿Estará usted dispuesto(a) a pagar una fortuna (∞) porparticipar en este juego? ¿y $100.000?

Nadie elegiría pagar una fortuna por este juego, pese a que

tiene un valor esperado infinito.

Este ejemplo, la Paradoja de San Petersburgo, muestra quebajo riesgo, muchas personas no tratan de maximizar el valoresperado de sus ganancias, es decir, que entran en juego otrosfactores.

Los individuos en realidad no se preocupan directamente por elvalor monetario de los premios, sino que se preocupan de la

utilidad que le reportan dichos premios.


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UTILIDAD ESPERADA: MODELO DEVON NEUMMAN - MORGENSTERN

La Utilidad Esperada (Índice de Utilidad de Von Neumman –

Morgenstern) es la suma de las utilidades asociadas a losdistintos resultados posibles, ponderadas por sus respectivasprobabilidades de ocurrencia.

n

i i

i

UE X U X

Un individuo racional se basará en su utilidad esperada paraescoger entre juegos, y escogerá el juego que maximice dichautilidad.

Nota: La representación geométrica de la utilidad esperada en el casode dos resultados posibles es la cuerda que une las utilidadesasociadas a ambos resultados.



Utilidad Esperada: Ejemplo

Considere dos loterías:• La primera (X) ofrece un premio de X1 con probabilidad q y

uno de X2 con probabilidad (1-q).• La segunda (A) ofrece un premio de A1 con probabilidad b y

uno de A2 con probabilidad (1-b).

Las utilidades esperadas para cada juego, respectivamente,son:

1 21UE X q U X q U X

1 21UE A b U A b U A

Un individuo preferirá la lotería X solamente si:

UE X UE A



Utilidad Esperada: Otro Ejemplo (1)

Volvamos al caso del cara y sello, donde se paga $100 si salecara y se reciben $100 si sale sello, y recordemos que:

Supongamos que el ingreso (M) de Andrés es de $1.000,entonces:• Si sale cara su ingreso (MCARA) será de $900.

• Si sale sello su ingreso (MSELLO) será de $1.100.

0,5CARA

0,5SELLO

0,5 100 0,5 100 0CARA CARA SELLO SELLOVE X X X

Además, desde el punto de vista de Andrés:




Dado lo anterior, la utilidad esperada de Andrés es:

0,5 900 0, 5 1.100UE X U U

• Si la utilidad de Andrés está dada por , entonces 1 2U M M

1 2 1 2

0, 5 900 0, 5 1.100 31, 583UE X

1 2

1.000 31,623UE M Luego, no jugará. UE X U M

• Si la utilidad de Andrés está dada por , entonces 2U M M

2 2

0,5 900 0,5 1.100 1,01 6UE X e

2

1.000 1,00 6UE M e Luego, sí jugará. UE X U M


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• Si la utilidad de Andrés está dada por , entonces U M M

0,5 900 0,5 1.100 1.000UE X 1.000UE M Luego, estaráindiferente.

UE X U M

De lo anterior se desprende que depende de las preferenciassi un individuo participará en un juego o no. En particular, estodepende de sus preferencias por riesgo.



ACTITUD FRENTE AL RIESGO (1)

Lo que determina el comportamiento de un individuo es el cómopercibe el riesgo (variabilidad de los resultados de una

actividad incierta) que enfrenta en las decisiones.Se distinguen tres tipos de comportamiento.

Aversión al Riesgo: Individuos que temen enfrentarsituaciones riesgosas y prefieren situaciones “seguras”.

Indiferencia al Riesgo: Individuos que no toman en cuenta elriesgo, se comportan como si no existiera.

Preferencias al Riesgo: Individuos que se sienten atraídos porenfrentar situaciones riesgosas.



ACTITUD FRENTE AL RIESGO (2)

Se relacionará la utilidad de los individuos con su ingreso (W), y se considerará que la utilidad marginal del ingreso espositiva, es decir, que la utilidad de los individuos aumenta alaumentar la riqueza.

Suponga que un individuo, cuya riqueza es W, se enfrenta a laoportunidad de participar en un juego justo (X) en el que segana h con probabilidad π y se pierde h con probabilidad (1-π).

1UE X U W h U W h

• La utilidad de la riqueza es U W

• La utilidad esperada del juego es



Individuo Averso al Riesgo

Su función de utilidad es estrictamente cóncava, la utilidadmarginal del ingreso es decreciente.

W

U(W + h)

W + h

U(W - h)

W - h

UUtilidad

W

UEUE(X)

U(W)

El individuo:

• Pierde bienestar al enfrentarsituaciones riesgosas.

• Rechaza participar ensituaciones cuyo valoresperado sea cero (juego justo).

• Mientras mayor es el riesgomenor es su UE.

UE < U(W)


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Individuo Amante al Riesgo

Su función de utilidad es estrictamente convexa, la utilidadmarginal del ingreso es creciente.

W

U(W + h)

W + h

U(W - h)

W - h

UUtilidad

W

UE

UE(X)

U(W)

UE > U(W)El individuo:

• Obtiene utilidad al enfrentarsituaciones riesgosas.

• Acepta participar ensituaciones cuyo valoresperado sea cero (juego justo).

•

Mientras mayor es el riesgomayor es su UE.



Individuo Neutral al Riesgo

Su función de utilidad es una línea recta, la utilidad marginaldel ingreso es constante.

W

U(W + h)

W + h

U(W - h)

W - h

UUtilidad

W

UE

U(W)=UE(X)

UE = U(W)El individuo:

• No gana ni pierde utilidad alenfrentar situacionesriesgosas.

• Son indiferentes ante lassituaciones cuyo valoresperado sea cero (juego justo).

• Su UE no cambia al cambiar elriesgo.



SEGUROS

En general los seguros permiten eliminar el riesgo.

La forma en que los seguros reducen el riesgo estransformando situaciones inciertas en situaciones ciertas oconocidas.

Para disminuir el riesgo los individuos realizan un pago llamadoprima por riesgo.



Recordando (1)

Suponga que un individuo, cuya riqueza es W, se enfrenta a laoportunidad de participar en un juego (X) en el que se puedeobtener G con probabilidad π y se puede perder P conprobabilidad (1-π).

1UE U W G U W P

• La utilidad esperada del juego es

• El valor esperado del juego es

1VE W G W P


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Recordando (2)

Gráficamente

W

U(W + G)

W + G

U(W - P)

W - P

UUtilidad

VE

UEUE



Equivalente Cierto (1)

El Equivalente Cierto es la respuesta a la pregunta ¿cuántodinero le reportará al individuo la misma utilidad cierta que la

utilidad esperada del juego?Es decir, es la cantidad de dinero que permitiría obtener, concerteza, un nivel de utilidad igual a la utilidad esperada de un juego o apuesta.

Esto es,

1U EC UE U W G U W P



Equivalente Cierto (2)

Gráficamente

W

U(W + G)

W + G

U(W - P)

W - P

UUtilidad

VE

UEUE

EC

U(EC) =



Prima por Riesgo (1)

La prima por riesgo es la máxima cantidad de dinero que unindividuo está dispuesto a pagar para evitar el riesgo.

También es la mínima cantidad de dinero que un individuo exigeantes de aceptar voluntariamente participar en un juegoriesgoso.

Prima VE EC

En general, cuando se está frente a un juego con dos posiblesganancias, matemáticamente es la diferencia entre el valoresperado de un juego y su equivalente cierto, es decir


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Prima por Riesgo (2)

Gráficamente

W

U(W + G)

W + G

U(W - P)

W - P

UUtilidad

VE

UEU(EC) = UE

EC

Prima



Ejemplo (1)

Considere una persona con una riqueza actual de $100.000 yuna función de utilidad dada por ln(W), quien enfrenta un 25%

de posibilidades de perder su automóvil de $20.000.Determine:

a) Utilidad esperada.

b) Valor esperado de la riqueza.

c) El valor de un seguro justo.

d) ¿Comprará este individuo el seguro?

e) ¿Cuánto es lo máximo que este individuo estaría dispuestoa pagar por un seguro automotriz?



Ejemplo (2)

Primero debemos considerar algunas cosas:

• La probabilidad de que ocurra el siniestro (perder elautomóvil) es π = 0,25, por lo que la probabilidad de noocurra es:

1 1 0,25 0,75

• Si no ocurre el siniestro la riqueza del individuo es$100.000.

• Si ocurre el siniestro la riqueza del individuo se reducirá,perdiendo los $20.0000, por lo que se nueva riqueza será:

100.000 20.000 $80.000



Ejemplo (3)

a) Utilidad esperada.

Siniesro

No Siniesro

Riqueza con Siniestro

Riqueza sin Siniestro

UE U

U

0,25 80.000 0,75 100.000UE U U

0,25 ln 80.000 0,75 ln 100.000UE

11,45714UE útiles


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Ejemplo (4)

b) Valor esperado de la riqueza.

Siniesro

No Siniesro

Riqueza si ocurre el siniestro

Riqueza si no ocurre el Siniestro

SIN VE

U

0,25 80.000 0,75 100.000 $95.000SIN VE

El valor esperado sin seguro es:



Ejemplo (5)

c) Seguro justo.

El valor esperado con seguro es, recordando que cuando hay unseguro se elimina el riesgo:

El seguro justo será aquel con el cual el VE con seguro seaigual al VE sin seguro, luego

100% Riqueza al pagar el Seguro - Precio del SeguroCON VE

100.000 - Precio del SeguroCON

VE

CON SIN VE VE 100.000 - Precio del Seguro 95.000

Precio del Seguro $5.000



Ejemplo (6)

d) ¿Comprará un seguro justo?

El individuo comprará el seguro siempre y cuando su utilidadcon seguro sea mayor que la utilidad esperada sin seguro.

Recodemos que , luego

La utilidad con seguro es:

Riqueza inicial - Precio del SeguroCON U U

100.000 5.000 95.000CON U U U

ln 95.000 11,46163CON U

CON U UE 11,45714UE

Por lo tanto, el individuo sí tomará el seguro.



Ejemplo (7)

e) Seguro máximo.

U EC UE

100.000 Seguro 11,45714U

ln 100.000 Seguro 11,45714

100.000 Seguro exp 11,45714

Seguro exp 11,45714 100.000

Seguro 100.000 exp 11,45714 $5.425,79911


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Ejemplo (8)

Gráficamente

W

U

Utilidad

UE

100.00095.000VE

80.000W sin siniestroW con siniestro W - EC

94.574

11,51293

11,4616311,45714

11,28978

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