GeometríaUnidad 4.

Geometría

Licenciatura en Matemática

Unidad 4

Actividad 3

Propiedades y teoremas de polígonos y circunferencias

Omar Pacheco Salcedo

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

Universidad Abierta y a Distancia

GeometríaUnidad 4.

Lados Suma de ángulos internos Angulo de vértices Angulo central3 180 60 1204 360 90 905 540 108 726 720 120 607 900 128.6 51.48 1080 135 459 1260 140 4010 1440 144 3611 1620 147.3 32.712 1800 150 30

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

Lados Suma de ángulos internos Angulo de vértices Angulo central3 180 60 1204 360 90 905 540 108 726 720 120 607 900 128.6 51.48 1080 135 459 1260 140 4010 1440 144 3611 1620 147.3 32.712 1800 150 3013 1980 152.3 27.714 2160 154.3 25.715 2340 156 24

GeometríaUnidad 4.

13 1980 152.3 27.714 2160 154.3 25.715 2340 156 24

α=30°, β=30°, AB perpendicular a IC GH || AB

El punto GH esta es perpendicular a la mitad del radio y se usa para dibujar y colocar los puntos G y H. Uniendo estos con el punto I para formar el triángulo, se comprueba que la apotema es la mitad del radio.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

αβ

GeometríaUnidad 4.

Si tomamos la figura, el lado FH debe ser tangente a la circunferencia luego el apotema del circunscrito es el doble del apotema del inscrito. El segmento AD mide AD = R sen(60°) =2a sen(60°) , El segmento FI se puede hallar de la misma forma haciendo que el apotema valga el doble , FI 4a sen(60°), Luego FI=2*AD y el perímetro de ABD es 6*AD y el de FGH es 6*FI=12*AD Luego el perímetro del circunscrito es el doble.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

GeometríaUnidad 4.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

Lados Suma de ángulos internos Angulo de vértices Angulo central3 180 60 1204 360 90 905 540 108 726 720 120 607 900 128.6 51.48 1080 135 459 1260 140 4010 1440 144 3611 1620 147.3 32.712 1800 150 3013 1980 152.3 27.714 2160 154.3 25.715 2340 156 24

GeometríaUnidad 4.

La apotema de cualquier pol0gono es el segmento que une el punto medio de un lado con el centro. En el caso del cuadrado la apotema es la mitad del lado.

Apotema=L/2.

La suma de las apotemas es igual a ¼ del per0metro total del cuadrado.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

α+β=180°

144°+36°=180°

GeometríaUnidad 4.

El dodecágono, l = r√2- √3

Uniendo el centro del dodecágono con 2 vértices consecutivos del dodecágono se obtiene un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son 2 radios consecutivos del dodecágono. El 3er lado del triángulo es un lado L del dodecágono

Se calcula el ángulo central, el ángulo formado por los 2 radios

Ángulo central= b=360° / n = 360/12 = 30°

Ahora trabajamos siempre sobre el triángulo obtenido anteriormente, se une el centro del dodecágono con el punto medio del lado opuesto. Se obtiene así la apotema (ap).

El ángulo formado por la apotema (ap) y uno de los radios (r) será igual a la mitad del ángulo central (b) por ser un triángulo isósceles.

b/2 = 30° / 2 = 15°

También por ser triángulos isósceles su altura (apotema) divide a la base (un lado del dodecágono L) en 2 partes iguales.

sen 15°= (L/2) /r = L/(2r)

se despeja L

L= 2* r* sen (15°)

si 15° = 45-30 entonces se puede decir:

L=2*r*sen(45-30) = 2*r*(sen (45) cos(30) - cos(45) sen(30)) =

2*r * {(√2 / 2) (√3 /2) - (√2 /2) 0.5 }=

2 * r * { (√2 / 2) (√3 /2) - (√2 / 2) (1/2)}=

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

GeometríaUnidad 4.

2*r*{(√6 / 4) – (√2 / 4)} = 2 * r * { √6 - √2 } / 4 = r* {√6 - √2}/2 = r*{ √2 *√3 - √2} /2 = r*√2(√3 - 1 ) /2 =

r*√(2(√3 - 1)²) / 2 = r*√(2(4-2√3)) / 2 = se factoriza el 2 y se obtiene,

r*√(2*2(2-√3)) / 2 = r*√(4(2-√3))/2 = 2*r*√(2-(√3)) / 2 = reduciendo

r*√(2-√3) = L

L= longitud de un lado

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas