mf vjezbe 10kdfkdfkl

RIJEENI PRIMJERI 10. VJEBE 1

1. Ispitajte dimenzionalnu nezavisnost sljedeih skupova fizikalnih veliina:

a) p, i v b) Q, L i c) g, L i Q d) F, M i t e) , p i V

gdje su: p - tlak, - smino naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristina duljina, - dinamika viskoznost, g - ubrzanje sile tee, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme i V - volumen. Rjeenje: a) p, , v Skup fizikalnih veliina je dimenzionalno nezavisan ako se dimenzije niti jedne veliine iz skupa ne mogu prikazati dimenzijama preostalih veliina u skupu. Veliina p v Dimenzija ML-1T-2 ML-1T-2 L T-1

Imamo skup od tri fizikalne veliine (n=3) u ijim se dimenzijama pojavljuju tri osnovne dimenzije (k=3). Oito je da p i imaju istu dimenziju, pa je skup sigurno dimenzionalno zavisan. To se moe pokazati pomou teorema o dimenzionalno nezavisnom skupu po kojem se trai rjeenje sustava [ ] [ ] [ ] 0 0 0M L T =a b cp v gdje npr. [ ]p oznaava dimenziju tlapa p u osnovnom sustavu mjernih dimenzija (MLT).

-1 -2 -1 -2 -1 0 0 0ML T ML T LT M L T = a b c

- -2 - -2 - 0 0 0M L T M L T L T M L Ta a a b b b c c =

- - -2 -2 - 0 0 0M L T M L Ta b a b c a b c+ + = M: =0L: + =0T: 2 2 =0

+

a ba b ca b c

(1)

(2)

(3) (1) u (2) c=0 Za c=0 jednadbe (1), (2) i (3) su iste, te trebamo rijeiti sustav s dvije nepoznanice a, b povezane jednom jednadbom . Postoji dakle bezbroj rjeenja koja zadovoljavaju jednadbu , a b moe biti bilo koji broj; pa je prema teoremu o dimenzionalno nezavisnom skupu skup p, i v dimenzionalno zavisan.

0+ =a ba = -b


Bezdimenzijski parameatr od veliina iz tog skupa je

0 = =

aa a pp v to je jasno jer p i imaju istu dimenziju.

b) Q, L, Veliina Q L Dimenzija L3T-1 L ML-1 T-1

3n = 3k =

[ ] [ ] [ ] 0 0 0M L T =a b cQ L

[ ]3 -1 -1 -1 0 0 0L T L ML T M L T = a cb

M: =0L: 3 =0T: =0

+

ca b ca c

(1)

(2)

(3) Iz (1) c=0, iz (3) a=0, iz (2) b=0. Sustav ima samo trivijalno rjeenje to znai da je skup Q, L, dimenzionalno nezavisan.

0a b c= = = c) g, L, Q Veliina g L Q Dimenzija LT-2 L L3T-1

n=3 k=2 U skupu n=3 veliine pojavljuju se k=2 diemnzije te skup ne moe biti dimenzionalno nezavisan.

Oito [ ]2

5

= Q

gL

d) F, M, t Veliina F M t Dimenzija MLT-2 ML2 T-2 T n=3 k=3


[ ] [ ] [ ] 0 0 0M L T=a b cF M t

[ ]-2 2 2 0 0 0MLT ML T T M L T = a b c

M: =0L: 2 =0T: 2 2 =0

++

+

a ba b

a b c

(1)

(2)

(3) (1)-(2) b=0 iz (1) a=0, iz (3) c=0. Skup F, M, t je dimenzionalno nezavisan. e) , p, V Veliina p V Dimenzija ML-3 ML-1 T-1 L3

n=3 k=3 [ ] [ ] [ ] 0 0 0M L T =a b cp V

-3 -1 -1 3 0 0 0ML ML T L M L T = a b c

M: =0L: 3 3 =0T: =0

+ +

a ba b c

b

(1)

(2)

(3) iz (3) b=0, iz (1) a=0, iz (2) c=0 Skup , p, V je dimenzionalno nezavisan.


2. Formirajte bezdimenzijske parametre od veliina: vrijeme t, gravitacija g, sila F, moment M, tlak p i dinamika viskoznost s pomou dimenzionalno nezavisnog skupa: gustoa , brzina v i duljina L.

Rjeenje: I nain: primjenom definicijskih jednadbi Brzina v je definirana kao promjena puta u vremenu, iz ega slijedi da je dimenzija brzine jednaka omjeru dimenzija duljine i vremena,

[ ] [ ][ ]L

vt

= (a)

iz ega je oito je da e odnos veliina Sh L vt= biti bezdimenzijski parametar koji se u mehanici fluida naziva Strouhalovim brojem. Gravitacija g ima dimenziju ubrzanja koje je definirano kao promjena brzine u vremenu

[ ] [ ][ ]=

vg

t (b)

Uzimajui izraz (a), jasno je da je odnos veliina 2v gL je bezdimenzijski parametar, a u mehanici fluida se definira kao Froudeov broj u obliku Fr v gL= . Sila F je prema drugom Newtonovom zakonu razmjerna masi i ubrzanju [ ] , te uz pomo (b) i injenice da je masa umnoak gustoe i volumena (ovdje L

[ ] [ ]= F m a3) vrijedi

[ ] [ ] [ ]

23

= v

F LL

(c)

pa je jasno da je 2 2Fv L bezdimenzijski parametar. Ako se umjesto L

2 uzme karakteristina

povrina A, tada se definira uobiajeni bezdimenzijski parametar oblika 2

F12 = C F v A

koji se u mehanici fluida naziva koeficijentom sile, u kojemu je 21

2v

dinamiki tlak. (Jasno je da je umnoak tlaka i povrine jednak sili) Moment M je umnoak sile i kraka, pa e bezdimenzijski koeficijent momenta biti definiran analogno koeficijentu sile u obliku:

2M12 = C M v AL

Tlak p. Jasno je da se dijeljenjem tlaka p s dinamikim tlakom dobije bezdimenzijski parametar,

a taj odnos se naziva Eulerovim brojem 212 = Eu p v .


Dinamike viskoznost ima dimenziju [ ] , te ako se dimenzija mase izrazi umnokom dimenzije gustoe i tree potencije duljine, a dimenzija vremena prema jednadbi (a) odnosmo dimenzije duljine i brzine, slijedi dimenzija koeficijenta dinamike viskoznosti izraena s pomou dimenzija

-1 -1= ML T

, v i L u obliku [ ] [ ] [

-1 -1 3 1= ML T ] = = vL

L LLv (d)

Bezdimenzijski parametar koji slijedi iz (d) se u mehanici fluida naziva Reynoldsovim brojem i ima oblik =Re vL . II nain: primjenom pravila Do rjeenja zadatka se moe doi i traenjem eksponenata potencija dimenzija , v, L koji ine dimenzije traene fizikalne veliine. -Jednadba koja definira dimenziju vremena t glasi [ (e) ] [ ] [ ] [ ]=a b cv l todnosno, prikazano dimenzijama

[ ]-3 -1 0 0 1ML LT L M L T = a b c

Izjednaavanjem eksponenata nad istim bazama slijedi

(f) M: =0L: -3 + + =0T: - =1

aa b c

bRjeenje sustava (f) je a=0, b=-1, c=1, to uvrteno u (e) daje [ ] [ ] [ ]-1 1=t v L to odgovara izrazu (a) Pri odreivanju eksponenata za ostale fizikalne veliine koeficijenti sustava jednadbi ostaju isti, a mijenja se samo desna strana. Tako bi za odreivanje eksponenata a, b i c koji odgovaraju dimenziji dinamike viskoznosti ([ ] ) stupac desne strane u izrazu (f) imao vrijednosti (1,-1,-1), pa bi rjeenje sustava glasilo a=1, b=1, c=1, to daje

-1 -1= ML T

[ ] kao u izrazu (d). [ ] = vL


3. Moment M fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoe fluida , promjera D rotora, kutne brzine rotacije rotora i volumenskog protoka Q fluida kroz turbinu. Primjenom dimenzionalne analize treba odrediti opi oblik zavisnosti momenta M od preostalih veliina. Ako se zna da moment M linearno zavisi od protoka Q (pri emu je za Q=0, M=0), treba odrediti postotnu promjenu momenta M za geometrijski slinu turbinu 10% manjeg promjera koja rotira 15% veom kutnom brzinom i koristi isti fluid pri istom protoku Q.

Rjeenje: Popis utjecajnih veliina u pojavi dat je u donjoj tablici Veliina M Q D Dimenzija ML2T-2 L3T-1 ML-3 L T-1

U dimenzijama navedenih pet fizikalnih veliina (n=5) pojavljuju se tri osnovne dimenzije (k=3) te e se izabrati skup od tri dimenzionalno nezavisne veliine. U taj skup se nee ukljuiti moment M i protok Q jer je u zadatku zadana njihova linearna zavisnost, koju je najlake iskoristiti ako se svaka od tih veliina nalazi samo u po jednom parametru. Za dimenzionalno nezavisan skup ostaju veliine , D, za koje je iz tablice dimenzija oito da su dimenzionalno nezavisne jer se dimenzija gustoe ne moe prikazati pomou dimenzija L i T sadranih u D i , dimenzija se ne moe prikazati pomou dimenzija i jer se iz dimenzije gustoe ne moe s dimenzijom T iz ponititi dimenzija mase M. U ovom se primjeru mogu jednostavno formirati parametri. Tako se dimenzija momenta moe prikazati u obliku

(a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]252 -2 -3 -1ML T ML L T = = = M5 2D

iz ega slijedi parametar 1 oblika

1 5 2 =M

D (b)

i analogno za dimenziju volumenskog protoka (c) [ ] [ ] [ ] [ ]33 -1 -1L T L T = = = Q

3D iz ega slijedi parametar 2 oblika

2 3 =Q

D (d)

Opi oblik zavisnosti parametra 1 od parametra 2 glasi

( )1 2 5 2 3ili =

MD D

= Q (e)

Ako se zna da moment M linearno zavisi od protoka Q tada opi izraz (e) prelazi u oblik


15 2 3 =M QC

D D+C (f)

gdje su C i C1 bezdimenzijske konstante. Zbog uvjeta da je za M=0, Q=0, konstanta C1 je takoer jednaka nuli, te je konani izraz za moment 2 = M C D Q (g) Za smanjenje promjera od 10% vrijedi D1=0,9D, a za poveanje kutne brzine za 15% vrijedi 1=1,15 to uvrteno u izraz (g) daje ( ) ( )2 21 0,9 1,15 0,9315 = = M C D Q C D Q

M (h)

smanjenje momenta M1 u odnosu na M za 6,85%.


4. Otvorena cilindrina posuda promjera D, koja na dnu ima otvor promjera d, koeficijenta protoka Cd je ispunjena fluidom do visine H. Posuda se potpuno isprazni u vremenu t1=36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t2 ispraznila geometrijski slina posuda tri puta veih dimenzija (to znai da je i otvor na dnu tri puta vei) istog koeficijenta protoka Cd otvora na dnu posude u istom polju gravitacije. Uputa: pretpostaviti da je t=f(D, d, Cd, H, g).

Rjeenje: Pojavom upravlja n=6 veliina iji je popis dan u sljedeoj tablici

Veliina t D d Cd H g Dimenzija T L L 1 L LT-2

Iz tablice je vidljivo da se u dimenzijama utjecajnih veliina pojavljuju dvije osnovne dimezije L i T (k=2), te je mogue izabrati skup od dvije dimenzionalno nezavisne veliine. U taj skup nee ui vrijeme t jer se trai zavisnost vremena t od preostalih veliina, a mora ui gravitacija g jer je to jedina preostala veliina koja sadri dimenziju vremena. Koeficijent protoka CD je bezdimenzijska veliina, te je sama po sebi parametar i ne moe ui u skup dimenzionalno nezavisnih veliina. Za drugu veliinu dimenzionalno nezavisnog skupa ostaje izbor izmeu D, d, i H, te se izabire promjer posude D. Nakon izbora osnovnog skupa trebalo bi dokazati njegovu dimenzionalnu nezavisnost, to je u ovom primjeru nepotrebno jer je oito da se pomou dimenzije promjera ne moe prikazati dimenzija gravitacije, pa se moe odmah pristupiti formiranju n-k=4 parametra. Parametar 1 formira se od vremena t u obliku (a) = a bt g D1 ili pomou dimenzija

[ ]0 0 -2L T T LT L = a b

to nakon izjednaavanja eksponenata nad istim bazama daje sustav linearnih jednadbi

(b) L : 0T : 0 1 -2

= +=

a ba

rjeenje kojeg je a=1/2, b=-1/2, to uvrteno u izraz (a) daje

= gtD1

(c)

Parametar 2 formira se od promjera otvora d, koji ima istu dimenziju kao i promjer D iz skupa dimenzionalno nezavisnih veliina, te direktno slijedi

= dD2


a isto vrijedi i za parametar koji se formira od visine H

= HD3

Koeficijent protoka Cd je sam po sebi parametar te se moe pisati d =C4 Dakle, fizikalni zakon izmeu 6 fizikalnih veliina izraen funkcijom G oblika T = G (D, d, Cd, H, g) primjenom Pi-teorema prelazi u zakon meu etiri parametra oblika ( ), , =1 2 3 4 odnosno

d, , =

g d Ht CD D D

Iako je funkcija nepoznata funkcija, ipak se moe odgovoriti na pitanje u zadatku. Naime, u zadatku je u obje situacije isti koeficijent Cd, a za geometrijski sline posude parametri 2 i 3 su jednaki iz ega slijedi da je vrijednost nepoznate funkcije ista u oba sluaja, to povlai jednakost parametara 1 u obliku

1 21 2

= ggt tD D

iz ega slijedi 22 1 11

3 63, 2= = =Dt t tD

s .

mf vjezbe 10kdfkdfkl

Documents