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Mtodos Matemticos Prof. Antnio Carlos

1

Instituto de Fsica - UFRJ

Mtodos Matemticos - MPEF

Professor Antnio Carlos F. dos Santos ([email protected])

Bibliografia:

Livro texto:

E. Butkov, Fsica Matemtica, LTC (1988), caps. 2,4, 7,10,11

Bibliografia adicional:

M. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, second edition, John Wiley & Sons

Programa:

Nmero e funes complexas, espaos vetoriais e bases, operadores lineares, Matrizes, Produto

interno, Autovetores e autovalores, diagonizao, sries e transformada de Fourier.

Avaliao:

2 provas (Pi, i= 1,2) + listas em sala de aula (Li), onde Li a mdia entre as 75% maiores notas

daquele perodo correspondente, uma prova de segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada

prova ser atribuda uma nota (Ni, i=1,2) onde Ni = 0,7*Pi + 0,3*Li

Clculo da Mdia (M) e grau final (G)

Presente s provas parciais:

M = (N1 + N2 )/2

Se M < 3,0, ento reprovado com grau igual M (G=M)

Se M > ou igual a 7,0, ento aprovado com grau igual M (G=M)

Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, ento G = (M + E)/2 ;

Ausente em uma das provas

Far o exame final obrigatriamente. M ser calculado como anteriormente, com E substituindo a

nota da prova no realizada.

Se M < 3,0, ento reprovado com grau igual M (G=M)

Se M > ou igual a 7,0, ento aprovado com grau igual M (G=M)

Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, ento realizar a segunda chamada e G = (M + S)/2 ;

Conceitos: A M 9,0; B 9,0 >M 7,0; C 7,0 > M 6,0; D M < 6,0

Dicas para um bom aproveitamento desta disciplina:

Assiduidade, pontualidade e disciplina para trabalhar nos exerccios propostos!


2

Avaliao de aprendizagem - Aula 1 Nmeros complexos

Nome:___________________________________________________________________

No aprendizado das cincias, exemplos so mais teis do que preceitos. Isaac Newton

1- Em eletrnica, no caso de circuitos puramente resistivos, a corrente e a tenso esto em

fase e esto relacionados por V =RI, dizemos ento, que a impedancia dada por ZR =

R0o. Em circuitos puramente capacitivos, temos Q=CV, ou ainda I =C(dV/dt), ou seja, a corrente est adiantada de 90

o em relao tenso. A reatncia capacitiva dada por Xc =

(C)-1 e a lei de ohm d I = (V0o)/(Xc-90o)=(V/Xc)+90o. Ento Zc =Xc-90

o. Em circuitos

puramente indutivos, temos V=L(di/dt), ou seja, a a corrente est atrasada 90o em relaao

tenso. A lei de Ohm fica: I = (V00)/(XL90o). Onde XL = L. Ento, ZL = XL+90

o. As

propiedades de circuitos CA so as mesmas que os de circuitos CC, ou seja, impedancias

em srie se somam e em paralelo se somam as admitancias Y = Z-1

.

a) Expresse as impedancias dos componentes abaixo na forma polar Z e retangular Z = x +iy

I) R = 6,8

II) L=2H, = 377 rad/s

III) C=10 F, =377rad/s

b) Determine a corrente i nos elementos abaixo usando a algebra dos nmeros complexos e

represente i e V na forma de fasores no plano complexo (diagrama de Argand)

I) R = 3, V =21sen(t+10o) II) XL = 7, V=49sen(t+70

o)

III) Xc = 100, V=25sen(t-20o)

c) Calcule a impedancia total do circuitos abaixo. Expresse a respostas nas formas polar e

retangular: R= 6,8 em srie com XL =6,8


3

Avaliao de aprendizagem - Aula 2 sries complexas infinitas

Nome:___________________________________________________________________

1- Teste a convergncia de cada uma das sries abaixo

a- (1+i)n

b- 1/(1+i)n

c- [(1-i)/(1+i)]n

d- (1/n2 + i/n )


4

Avaliao de aprendizagem - Aula 3 sries de potncia complexas

Nome:___________________________________________________________________

1- Encontre o crculo de convergncia das sries abaixo:

a- ez

= 1 + z + z2/2! + z

3/3!+...

b- z - z2/2 + z

3/3 z

4/4+ ...

c- 1 - z2/3! + z

4/5!+...

d-

=0n

nz


5

Avaliao de aprendizagem - Aula 4 potncias e razes de nmeros complexos

Nome:___________________________________________________________________

1- Encontre todas as razes abaixo e esboce no diagrama de Argand

a- (1)1/3

b- (27)1/3

c- (1)1/4

d- (16)1/4


6

Avaliao de aprendizagem - Aula 5 logaritmos e funes trigonomtricas inversas

Nome:___________________________________________________________________

1- Expresse os nmeros abaixo na forma z= x +iy

a- ln(-e)

b- ln(-i)

c- ln(i+11/3

)

d- ln(i-1)


7

Avaliao de aprendizagem - Aula 6 funes de uma varivel complexa

Nome:___________________________________________________________________

1- Encontre a parte real u(x,y) e a imaginria v(x,y) de cada uma das funes abaixo.

a- z3

b- |z|

c- (2z+3)/(z+2)

d- z-1


8

Avaliao de aprendizagem - Aula 7 integrais de contorno

Nome:___________________________________________________________________

1- Desenvolva as integrais abaixo no plano complexo

a- +1i

i

zdz ao longo de uma linha paralela ao eixo x

b- ( )+

1

0

2

i

dzzz . (i) ao longo da linha y=x; (ii) ao longo da reta y=0 entre x = 0 e x=1 e

ento ao longo da reta x =1 desde y=0 at y=i


9

Avaliao de aprendizagem - Aula 8 sries de Laurent

Nome:___________________________________________________________________

1- Para cada uma das funes abaixo, indique se o ponto indicado regular, uma

singularidade esencial ou um plo e de qual ordem.

a- senz/z , z=0

b- cosz/z3, z=0

c- (z3 -1)/(z-1)

3, z =1

d- ez/(z-1), z= 1

e- (ez -1)/(z2 + 4), z= 2i


10

Avaliao de aprendizagem - Aula 9 - o teorema dos resduos

Nome:___________________________________________________________________

1- Se C um crculo de raio em torno de zo, mostre que =C no

izz

dzpi2

)(, se n = 1, mas

para qualquer outro valor inteiro de n, a integral nula. Dica: use que z =zo +ei

sobre C.


11

Avaliao de aprendizagem - Aula 10 clculo de integrais por resduos

Nome:___________________________________________________________________

1 Encontre as sries de Laurent para as seguintes funes em torno dos pontos indicados; ento

encontre o resduo da funo no ponto. (garanta que voc tem a srie de Laurent que convirja

prximo ao ponto)

a- 1/z(z+1) , z = 0

b- 1/z(z-1) , z = 1

c- senz /z4, z = 0


12

Avaliao de aprendizagem Aula 11 Espaos vetoriais

Nome:___________________________________________________________________

1- Considere os vetores | = ( 2, i, -1, 0) e | = ( i, - i , 1, 2).

a- Calcule || | || e || | ||

b- Normalize | e |

c- Calcule | e |

d- Calcule o ngulo entre | e |


13

Avaliao de aprendizagem - Aula 12 Transformaes lineares

Nome:___________________________________________________________________

1- Dada a matriz i

A1

12= , calcule : a) sua transposta At; b) o seu complexo conjugado A*;

c) o seu conjugado hermitiano A; d) a sua inversa A

-1;

2- Calcule o [A, B] onde A a matriz do item anterior e 21

1iB =


14

Avaliao de aprendizagem - Aula 13 autovetores e autovalores

Nome:___________________________________________________________________

1- Calcule os autovalores e auto-vetores normalizados do operador

=

010

100

001

A .A

Hermitiano? Calcule o Tr(A) e det(A).


15

Avaliao de aprendizagem - Aula 14 sries de Fourier

Nome:___________________________________________________________________

1- Esboce o grfico da funo f(x) abaixo para vrios perodos e expanda a funo em uma

srie de Fourier de senos e cossenos

f(x) = 1 para - pi


16

Avaliao de aprendizagem - Aula 15 condies de Dirichlet e forma complexa das sries de

Fourier

Nome:___________________________________________________________________

1- Para cada uma das funes abaixo, utilize as condies de Dirichlet para encontrar o valor

para qual a srie de Fourier converge em x = 0, pi/2, pi, 2pi. a- f(x) = 1 para - pi


17

Avaliao de aprendizagem - Aula 16 funes pares e mpares

Nome:___________________________________________________________________

1- as funes abaixo no so pares nem mpares. Reescreva-as como soma de uma funo

par com uma funo mpar.

a- einx

b- xex

c- ln|1-x|

2- A funo abaixo definida para um perodo. Esboce-a para vrios perodos e decida se

par ou mpar. Ento expanda-a na srie de Fourier apropriada

a- f(x) = -1 -pi


18

Avaliao de aprendizagem - Aula 17 A transformada de Fourier

Nome:___________________________________________________________________

1- Encontre a transformada de Fourier exponencial, ou seja, encontre g() a- f(x) = -1 -pi


19

Avaliao de aprendizagem - Aula 18 convoluo, o teorema de Parseval

Nome:___________________________________________________________________

1- Utilize a integral de convoluo para encontrar a transformada inversa de:

a- p/(p2 -1)2 = [p/(p2-1)].[1/(p2-1)]

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