metodos2

Douglas Whitson esta preocupado. Los ~ ban venido aumentando y los ingresos no han mantenido el paso. Si continua esta tendencia, los accionistas van a estar muy atribula- dos con el siguiente informe de utilidades. Como director ejecutivo (DEJ) de la P&T Company, sabe que el problema llega hasta el. Tiene que encontrar alguna forma de poner los c..QSlQ.a.baje-eontrol

De pronto Douglas toma el telefono y hace una llamada a Richard Powers, su gereote de distribuci6n.

Las siguientes secciones cubren estas metas de aprendizaje, primero para los problemas de transporte y despues para los de asignaci6n.

1. Comprender las cara~c.as de los problemas de transporte y asignacion, asi como las variantes de estos problernas.

2. Aprender cuando puede ser fonnulado un problema de manera que se ajuste a uno de 'estos tipos de problemas.

3. Estudiar la variedad de aplicacione$ de cada tipo de problema. -

En los capftulos anteriores se vio la utilidad de la programaci6n lineal para un gerente sagaz al atender una amplia variedad de problemas. En este capftulo se continuaran ampliando los horizontes acerca de la extensa aplicabilidad de la programaci6n lineal. El enfoque sera

. sobre dos tipos de problemas de programacion Iineal relacionados que son tan importantes que han recibido nombres propios, problemas de transporte y problem(,ls de asignaci6n. Ambos _c.aen en la tercera categona de los problemas de programaci6n lineal introducidos en el capftulo 3 -er..oblemas de..redes de distribuci6n-.

Los problemas de trans orte recibieron su nombre porque muchas de sus aplicaciones

j involucran la determ.inaci6n de c6mo trans ortar bienes en forma optima. Empero, se vera

- I que algmrn.s .. de us aplicaciones iiiiPortantes na~en qu~ COii"er:tranSj:iarte. L:os problemas de asignaci6n son mejor conocidos por las ~plicaciones que inv2)~

J!Signilr personas a~- Sin embargo, ~bie~en una y~ad de otras aplicacioges. El objetivo general del capfrulo es ayudar a reconocer cuando, un problema al que se

enfrente un gerente puede ser formulado y analizado coma un problema de transporte 0 de ~ El capftulo tiene tres objetivos especfficos de aprendizaje para al:rordar esta meta predominante:

oE TRANSPORTE Y DE ASIGNACI6N

PROBLEMAS :5

CAPfTULO

La P&T Company es un pequefio negocio familiar. Recibe vegetales crudos, los procesa Y enlata en sus enlatadoras y luego distribuye los productos enlatados para su venta.

Uno de los productos principales de la compaiifa es chicbaros enlatados. Los cbichar05 se preparan en tres enlatadoras ( cerca de Bellingham. Washington; Eugene, Oregon y Albert Lea, Minnesota) y luego se envian por camion a cuatro bodegas de distribuci6n en el oeste de Estados Unidos (Sacramento, California; Salt Lake City, Utah; Rapid City, South Dakoo y Albuquerque, Nuevo Mexico), como se muestra en la figura 5.1.

La conversaci6n termina rapido.

Douglas: Esta bien. Quisiera que te coordinaras con el grupo de metodos cuantitativos y que me informes pronto. Richard: Lo bare.

Ef m,. de la

'

4 4

r,

-I ~ Douglas (DEJ): Richard. Soy, Douglas Whitson. 1- Richard (gerente de distribucion}: Hola Douglas. ! Douglas: Oye, Richard. Acabo de revisar algunos datos de costos y me salt6 una cifra. f Richard: lSi? lCufil fue? t Douglas: Los costos de envfo de nuestros ~.Os. ~8 O~~forada pasada! ~ Recuerdo que hace apenas unos cuantos aiios eran menos de QQ. l,Que esta r ocurriendo aquf? a I Richard: Si, ~e.ua_i6n. Esos costos en realidad h~~a~umentando. Un factor ~ es que nuestro 'lJ)lnmen de embarqne ba subida.un oco. Pero, la raz6n principal es ~ que los cargos de los camiorno que usamos en realidad se ban disparado .hacia arriba.. Nos quejamos. Alga dijeron acerca de que su nuevo contrato con el sindicato c que representa a sus choferes subi6 sus costos sustancialrnente. Y aumentaron sus . CQtos de segros. i Douglas: i,Has pensado cambiar de camioneros? Richard: Si. De hecho ya seleccionamos nueyos camioneros para la pr6xima ' temporada de cultivo. t Douglas: Bien. lDe modo que los costos de transporte podrfan descender un poco en l la pr6xima temporada? -- ----- l Richard: Bueno, mi proyecci6n es que deben r~dar los ~ t Douglas: [Uf! Eso sigue estando muy alto. . Richard: Parece lo mejor que puede lograrse. [ Douglas: Bueno, vamos a enfocarlo desde otro an o. lEstas embarcando los f chicharos desde nuestras tres enlatadoras a todas nue tras bodegas? t Richard: Asf es. \ Douglas: lC6mo decides cuanto envfa cada enlatadora a cada bodega? t Richard: Tenemos una estrategia estandar que hemos usado durante muchos aiios. { Douglas: lEsa estrategia minimiza los costos totales de envfo? J Richard: Creo que funciona bastante bien para eso. j Douglas: i,Pero usas un algoritmo para generar 1m plafl-Ele.emb~ que garantice la t minimizaci6n del costo total de envio? - "Richard: No, no puedo decir que haga eso. lHay forma de hacerlo? Douglas: Sf. Entiendo que hay tecnicas de metodos cuantitativos que lo hacen. Creo que deberfamos hacer que nuestro IID!PO de metodos c;uaotitativos Va tu plan de envfo y vea si puede mejorarlo. - Richard: Suena razonable.

Capttulo 5 Problemas de transporte y de asignacum --.

Antecedente

~.,. TABLA 5.1 Datos de embarque de la P&T Co. Enlatadora Produccion Bodega Asignaci6n Bellingham 75 camiones Sacramento 80 camiones Eugene 125 camiones Salt Lake City 65 camiones Alben Lea 100 camiones Rapid City 70camiones Total 300 camiones Albuquerque 85 camiones

Total 300 camiones

Se ha hecho un estimado de la producci6n de cada enlatadora para la siguiente temporada de cosecha y se ha asignado a cada enlatadora cierta cantidad del suministro total de chfcharos. Esta informaci6n se da en la tabla 5 .1.

Durante muches aii.os la compaii.ia ha usado la siguiente estrategia para determinar cuanto ----- - de las necesidades de cada bodega debe enviarse desde cada enlatadora. ~ Estrategia actual de envio

1. Puesto que la enlatadora en Bellingham es la mas alejada de las bodegas, se envfa su producci6n a la bodega mas cercana, es decir a Sacramento y con cualquier sobrante se va a la bodega en Salt Lake City.

2. Como la bodega en Albuquerque es la mas lejana de las enlatadoras, la enlatadora mas cercana (la que esta en Albert.Lea) envfa su producci6n a Albuquerque y cualquier sobrante va a la bodega en Rapid City.

3. La enlatadora en Eugene se usa para surtir los requerimientos restantes de las bodegas ..

Enlatadora 1 Bellingham

187--

El enfoque actual de la compaiiia

"'

FIGURA 5.1 Ubicacion de las enlatadorll! y las bodegas del problema

de la rst Co.

-

Bodega

A De Sacramento Salt Lake City Rapid City Albuquerque Enlatadora Bellingham S4D4 $513 S654 $867 Eugene 352 I 416 690 791 Albert Lea 995 682 388 685

TABLA 5.3 Costos de transporte por camion completo de la P&T Co.

1. l Cual es la preocupaci6n especifica planteada por el DEJ de la P&T Co. en este estudio de caso?

2. iQue se pidi6 al grupo de metodos cuantitativos?

EI gn1po de metodos cuantitativos reconoce de inmediato que se trata de uo ejemplo clasico de prob/ema de transparte Esta formulaci6n de) problema es directa. Mas aun, existe software disponible para hallar ramcto una soluci6n 6ptima en la computadora. Esto perrnite al grupo de metodos cuantitativos eotregar a la administraci6n al dla siguiente un nuevo plan de envfos que reducira el costo total de embarque en mas de $13 000.

Este relato continuara en la siguiente secci6n despues de dar mas detalles acerca de los problemas de transporte.

Casto total de envfo = 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690) + 15($388) + 85($685) = $165 595

~ ~ grupo de_metadQs cuantitatiYOs esta.reexaminando ahora la estrategia.d embarque actual para ver si pueden desarrollar un nueYo plan de emba.rque qJ.lk_[eqgc~ costo total de embarque a su minimo absoluto. -

Al aplicar la estrategia de embarque actual a los datos en la tabla 5.1 se obtiene el plan de embarque mostrado en la tabla 5.2. En la tabla 5.3 se muestran los costos de envfo por cami6n completo para la siguiente temporada.

La combinaci6n de los datos en las tablas 5.2 y 5.3 da el costo total de envio coo el plan actual para la siguieote temporada:

D>< Sacramento Salt Lake Ciry Rapid Ciry Albuquerqut! Eolatadora Bellingham 75 0 0 0 Eugene 5 65 55 0 Alben Lea 0 0 15 85

Bodega 5..2 TABLA 5.2 Plan actual de embarque de la P&T Co.

Preguntas de repaso

El enfoque de metodos cuantitati.vos

188

l

. Unidades de una mercancfa, Orf genes Destines Recurses de un origen Demanda de un destine Coste por unidad distribuida de un origea

a- un destine

Camiones de chfcbaros enlatados Enlatadoras Bodegas Producci6n de una enlatadora As.ignaci6n a una bodega Coste de embarque de un camion complete

de una enlatadora a upa bodega

!t'lodelo general Problema de Liz P&T ~o. _

. . ~?ABLA 5.4 Terminologfa de un problema de transporte

Por fornma, estas s_umas son igtgles para la P&T Co., ya 'que la tabla 5.1 indica que los recursos (Qfoducciones) suman 300 camiones y lo IIJismo que las demandas (asignaciones .

En algunos p_mhleinas.reales, los recurses en realidad ~eg_resentan cant! a es mdximas (_y30 cautidades fijas}para..dis.trib..Yi{. Del mismo modo, en otros casos, las dea;:iandaS'repre- ~ canti.dades maximas (en lugar de cantidades fijas) a recibir, Tales problemas no ca- ben en el modeio de un problema de transporte porque viola.Illa iiiposi~i6n de requ~mientos de modo' que n variantes de un problema de transporte -, Afortunadamente, como se ilustrara en la secci6n ~es re ativamen e ecto orm ar un modelo en hoja de calculo para tales variantes que el Excel Solver guede resolver . . El Ultimo rengl6n de la tabla 5.4 se refiere a un costo unitario. Esta referenda de costo unitario implica la siguiente suposici6n basica par~blema de transporte.

ropiedad de solueiones factibles: un problema de transpone tendra soluciones.factibles si y ~e..sll&-reCUI.sos..sjgual a la suma de sus demandas.

Esta suposicion de que no hay libertad en las cantidades que se envfan o reciben significa que ~ebe haber un equilibrio entre el suministro total de todos los orfgenes y la demanda total todos las destinos.

-:. Suposici6n de reqnerlmientos: cada ~en ti!@_e un suministro fijo de unidades, donde esta el suministro completo tiene que distribuirse entre los destines. De.manera similar, ~no tiene una deman&i fija d~ unidades, donde esta demanda completa tieae que recibirse desde los ongenes.

mas e trn.I!.p_orteJe_ocu an ~n forma literal o 1ma nana de la distribuci6n desde ci(al- uier grupo de centros de suministro, llamados en s a cualguier. grupo de serttros de

.recepcion, am.a os destinos, de modo gue se minimice el costo total de distribucion. Se resume en la tabla 5.'4 la correspondencia en terminologfa entre la aplicacion es~ifica al problerna de; la P&T Coy el modelo general de cualquier problemade transporte.

Como se indica en el ~y_qinto rengl6n de la tabla, -".~~en tiene3iertos !!:_CUr!,_OS gara distribuir a los destinos y cada destino tiene cierta demanda ?e e:stos reel![:

. sos ue recibe de lo~ origenes. El modelo de un prqblema de transporte haG.eJa sig_uienJe suposicion acerca e estos recorsos demand~

Para describir el modelo de problemas de transporte, necesitamos usar terminos que se consideran menos especfficos ue los del roblema de la-P&'f Co. En general, los prol"ite:: . .

El modelo para problemas de transporte

ii" Ca_!acteristicas de .Ios proble~as de ~rans orte 18.9

Demanda 80

Origen (Enlatadora) Bellingham $464 Eugene $352 Albert Lea $995

Salt Lake City Rapid City Albuquerque Recurses

$513 $654 $867 75 $416 $690 $791 $125 $682 $388 $685 100

65 70 85

~

Destino (Bodega): Sacramento Costo nnitario

TABLA 5.5 Tabla de parametros para problema de la P&T Co.

~") Por lo tanto, formular un problema de transporte s6lo requiere llenar una tabla de parametros con el formato de la tabla 5.5. No es necesario escribir un modelo matematico . formal (aunque se hara despues con fines de demostraci6n.) 1 . t Para formular y resolver problemas de transporte con Excel, es necesario ~~ta- ~ bias separadas en una hoja de calculo. La primera es la tabla de parametros, que presenta , todos los datos del problema. La segunda es una tabla de solucion, que contiene las cantida- ~ ~es a embarcar de cada origen,a cadadestino. La figura 5.2 muestra estas dos ta as junto f con la formulaci6n adicional requerida para el problema de P&T.

Deben incluirse en la boja de calculo los dos tipos de~ Para last i restricciones de recursos, la cantidad total e~iada desde cada origen se calcula e~ columna H de la tabla desduci6n en la figura sT.Es la suma de todas las celdas de variables de aecisi6n en el reng!Qp correspondienre. Por eje~ac.i6n~n-l-a~ "=Dl5+EI5+F15+G15" o "=SUM(Dl5:Gl5)". Tusrecursose_n cada origen estam inclui- r dos en la columna J. Asi, las celdas en la columna H deben ser iguales a las celdas corres- ~ ~-- ~ i ponoientes -enla columna J.

1 P~-tfuestricciones de demand;;::ia cantidad total enviada a cada destino se calcula en el rengl6n 18 de la hoJa de cfiliufo. Por ejemplo, la ecuaci6n en la celda D 18 es i "=SUM(D15:D 17)". Entonces la demanda de cada destino se incluye en el rengl6n 20. ~

El costo total se calcula en la celda Hl8. Este costo es la suma de los productos de las celdas correspondientes en el cuerpo de las tablas de parametros y de soluci6n. Entonces, la ecuaci6n contenida en la celdal!J8 es "=SUMPRODUCT(D6:G8, Dl5:Gl7)".

FIGC Una) c41Cll p&.T znznsJ 3-9rr parC! ]2-1- dtSJ" pare dism f61"Ml salui: neces Soiv infen

El modelo: cualquier problema (involucre o no transporte) se ajusta al modelo de un problerna de transporte si se puede describir por completo en terminos de una tabla de pardmetros como Ia tabla 5.5 y satisface tan to la suD.QSJ,d6n..deJ:eq1.1erimit;.ntos como la suposici6n de cos to. El obje. ~ tivo es minimizar el cos to total de distribuir las unidades. Todos los parametros del modelo estan incluidos en esta tabla de pararnetro~ -

Uso de Excel para f ormular y resolver problemas de transporte

--> Suposici6n de costo: el costo de distribuir unidades de cualquier origen d~ cualq~ destino ~ dado es directamente proporcional al mimero de unidades distribuidas. I:o..!lo tanto, este costoes

M se pueden resumir converiientemente en una sola tabla de arametros. La tabla 5.5 mues- ~

tra la tabla de parametros del problema de la P&T Co. Esta tabla (incluida la descripci6n ; que implican los encabezados de columnas y renglones) resume el modelo para el pro. blema.

- :---. - . Capitulo 5 ~ro]?lema., de transporte ; dc asignacion 190

Observe ahora los elementos del cuadro de dialogo' de Solver mostrado en la parte inferior de la figura 5.2. Estos e!ementos indican gue se minimiza el costo total (calculado en la celda H 18) cambiando las cantidades enviadas (en las celdas D 15 a G 17), SUJetas a las restricciones deque la cantidad total enviada a cadadestinoes igual a su demanda (Dl8:Gl8 = D20:G20) y que la cantidad total enviada desde cada origen es igual a sus recursos (Hl5:Hl 7 = Jl5:Jl 7). Una de las opciones seleccionadas de Solver (suponer no negativos) especifica que todas las cantidades enviadas tiene que ser no negativas. La otra (suponer modelo lineal) indica que este problema de transporte tambien es un problema de programaci6n lineal (como se describe mas adelante en esta secci6n).

Los valores de las variables de decisi6n (las cantidades enviadaslestan contenidas en las celdas cambiantes (D 15:017). Para comenzar, cualquier valor (como 0) puede ser ingre- sado en cada una de estas celdas. Despues de oprimir el bot6n Solve, el Solver empleara el metodn sj mp.lex para resolver el problema de transpo.rte__Y. determinar e.Lmejor valor para cada vari.able de decisi6n.J,.a soluci6n 6ptima se muestra en la figura 5.2, junto con el costo total resultante.

fIGUAA 5.2 unaformuJacwn en hoja de calculo para el problema de la p&'[ Co; coma problemo. de (!!Jnsporte, donde_los renglones 3~9 muestran la tabla de pardmetros y los renglones 12.20 la tabla de solucion despuis de usar el Excel Solver para obtener un plan de distribucion 6ptimo. Tanto las formulas para las celdas de salida como las especificaciones necesarias para estabecer el Solver se presenta en la parte inferior.

~- ~-1l~~1t ;~~~1~c,~1t~~ Jt~-- ~n -:Jl ~- ~/~~~~ 1~~i;.~1r'.::fJ

Para demostrar que el problema de la P&T Co. (o cualquier otro problema de transporte) es. en efecto, un problema de programaci6n lineal, se formula su modelo matematico en for:III! algebraica.

,Usando la numeraci6n de eolatadoras y bodegas dada en la figura 5.1, seax;iel m1mero de camiones que se envfan de l~doraJ_a la bodega.L.Eara cada i = hb 3 y j = 1, 2;]_, 4 J;Lo.bjetivo es elegir los valores de estas 12 variables de decision (las x11) a fin de

Una forma agradable de visualizar un problema de transporse-en-forma grcifica es usar su representaci6n de red. Esta representaci6n ignora la disposici6n geogr!fica...de.J.Qs..gdgenes ~tiw:is En su lugar, simplemente alinea todos los ongenes en una columna a la izquierda (donde S1 es el sfmbolo del origen 1, etc.) y todos los destines en una columna a la derecha (donde D1 es el simbolo del destino 1, etc.). La figura 5.3 muestra la representaci6n en red del problema de la P&T Co., donde la numeraci6n de los 9~nes (enlatadoras) y Jos destinos...(bodegas) es la dad.a en la figura 5.1. Laaflechas muestran.las posiblesrutas para los-camiones.de chfcharos.enlatadcs-doede-el nl1mero pr.6~ a cad.a flecha es el costo de !:{iuisporte (en d6lares)_pou; i6n en esa ruta. Como la figura tambien liiCluye los recursos y las demand.as, incluye todos los datos proporcionados por la tabla de parametros (tabla 5.5). P_9Lell9, esta representacion ~d es.una forma altemativa de resumir el modelo para un problema de 1:ransporte_

Para problemas mas grandes no eniente trazar la red completa y desplegar todos los atos. En consecuencia, la representaci6n de red en realidad es un medio de visua- lizaci6n.

Recuerde que la secci6n 3.4 describe los problemas de redes de distribuci6n como una categorfa importante de problemas de programaci6n lineal que involucran la distribuci6n de.bien traves de una red de distribuci6n. La red de la figura 5.3 es un tipo simple de red de disrribucion.donde cada ruta de envio va directamente de un origen a un destino. En consecuenci.a.Jos .. problemas-de-transpo~ un tipo especial de problemas de redes de .distribuciQn,_ -- -

En el siguiente capftulo se veran muchas mas representaciones de red de otros problemas de redes de distribuci6n.

(Albert Lea) 100

70 (Rapid City) (Eugene) 125

65 (Salt Lake CilJI (Bellingham) 75

)

Demandas -7 l @ 80 (Sacramento) Recorsos

El problema de transporte es un problema de programacion lineal

Representacion de i de un problema de transporte

FIGURA 5.3 Representacion de red del problema de transporte para la P&T Co. muestra en forma grdfica todos Los datos de la tabla 5.5.

192

Debido a que los problemas de transporte son un tipo especial de problemas de progra- maci6n lineal, pueden resolverse con el metodo simplex (el procedimiento usado por Excel Solver para resolver problemas de programaci6n lineal). Sin embargo, debido al patr6n especial de los coeficientes en sus restricciones funcionales destacado antes, es factible simplificar el metodo simplex para resolver problemas de transporte mucho mas rapido.

Cuando se trata de pLQblemas de transporte, quienes los aplican no se molestan en escribir el modelo completo de programaci6n lineal en forma algebraica puesto que toda la informacion esencial puede presentarse en forma mucho, mas com~cta en una tabla de g_ar~ttQs g_ en el modelo de hoja de calculo correspondiente.

~

Sin embargo, antes de dejar los modelos de prograiiiacion lineal, observe bien el lado izquierdo de las restricciones funcionales. Note que cada coeficiente es 0 (de modo que se elimina la variable) o 1. Observar tambien el patron distintivo de las ubicaciones de los coeficientes 1, incluido el hecho de que cada variable tiene coeficiente 1 exactamente en dos restricciones. Estas caracterfsticas distintivas de los coeficientes desempefian un papel clave en la soluci6n de losproblemas de transporte en forma extremadamente eficiente.

-';l>ropiedad de soluciones enteras: en tanto todos Ios recursos y demandas tengan valores enteros, esta aarantizado que cualquier problema de transporte coo soluciooes facubles tendra una - - wuci6o 6ptima con val ores enteros para todas.sus.variables g~6n. Por ello, no es necesa-

. a egar restricciones al modelo que restrinjan estas variables a tener solo valores enteros.

Este es, en efecto, un problema de programaci6n lineal. -7 La P&T Co. siempre envfa camiones completos de chicharos enlatados, ya que sin

llenar serfa antiecon6mico. Esto implica que cada xii ~e de t ner_un valor entero (0, 1, 2, ... ). Para evitar obtener una solucion 6ptima det modelo con valoresfraccionales en cualquiera de las variables de decision, se puede agregar otro conjunto de restricciones que especifiquen que cada xii debe tener un valor entero. Esto convemna81 pro lema de programaci6n lineal en un problema de programaci6n entera, que es mas diffcil de resolver. (En la secci6n 8.1 se estudiaran los problemas de programaci6n de enteras). Por fortuna ~sta conYersi6.n_no_e.s_necesaria debido a la siguiente propiedad de los prob)emas d.~ ... trans- _9rte. .

(i = 1, 2, 3;j = 1, 2, 3, 4) y

sujeta a las restricciones Xu +X12 +X1) +x1, = 75

~l +x22 +XiJ +~4 = 125 X31 +X32 +XJ3 +X34. = 100 Xu +X21 +XJ1 = 80

X12 +Xn +X32 = 65 Xu +X23 +X33 = 70 X14 +~ +X34 = 85

Cost?= 464x11 + 513x12 + 654x,3 + 867x14 + 35~1 + 416x22 + 690XiJ . + 791X24 + 995X31 + 682.x32 + 388X33 + 685X34

Minimizar

- . 19)

Solucion de problemas de transporte

L Casto total de transporte = 20 ($513) + 55 ($867) + 80 ($352) + 45 ($416 + 70 ($388)

+ 30 ($685) :;$~535 -

5..3

-')\hara puede resumirse el final de la historia acerca de c6mo el grupo de metodos cuantitativos de la P&T Co. pudo mejorar en fonna sustancial el plan de envfos actual mostrado en la tabla 5.2, con costo total de transporte de $165 595.

Ya se via c6mo el grupo de metodos cuantitativos pudo formular este problema corno un problema de transporte con solo llenar la tabla de pararnetros mostrada en la tabla 5.5. La formulaci6n correspondiente en una hoja de calculo se mostr6 en la figura 5.2. Al aplicar Solver se obtuvo la soluci6n 6ptima mostrada en las celdas Dl5:Gl7.

Note que esta soluci6n 6ptima no es intuitiva. De las 75 camiones proporcionados por Bellingham, 55 se envfan a Albuquerque aunque esto es mucho mas costoso ($867 par camion) que a cualquier otra bodega. ~_E.argo. este sacri_!ici~ara la enlatadora _! p~rmite envfos con menor costo para l atadoras_Ly 3. Aunque hubiese, sido diffcil hallar esta soluci6n a mano, el metodo simplex en el Excel Solver la encuentra con f~ ... i~n-a-aa ...... --------_.: -- -- .... - Como esta dado en la celda objetivo (H 18), el costo total de transporte de este plan de envio 6ptimo es

Esta versi6n simplificada del metodo simplex se llama etodo sim lex de transporte. En ocasiones es posible resolver grandes problemas de transporte mas de 100 veces mas rapido gue el metodo simplex normal. Pero, s6lo se aplica en ~lemas de transporte.----.....

Justo coma el problema de ttanspolle. otros Rroblemas de redes de distribucion tienen un patr6n distintivo similar de coeficientes en sus restricci~esrilnCiorutleS. En consecuen-

Cia., el m6t0do simplex puCde sllilplificarse mucho de la misma manera gue el metodo simplex de transporte para resolver con rap1dez cuaTquier problema de redes de distribucfon (inclul, doslos grobleiiliis-de transporte). Este metodo simplificado se llama metodo simplex de red. - - - .....

El software de programaci6n lineal con frecuencia incluye el metodo simplex de redes y puede incluir tambien el metodo simplex de transporte. Cuando s6lo se dispone del rneto, do simplex de redes, este proporciona una forma alternativa excelente para resolver problemas de transporte. De hecho, el metodo simplex de redes cada vez cornpite mas con el 1 '?1etodo simplex de transporte. 1

) Despues de ~tenerse una soluci6Q.J5ptima, se realiza un a~de_g~a si para problemas de tranSP.Orte en fauna m11)!.parecida a la descrita en el. capftulo 4 para otros problemas de programaci6n lineal. Ya sea el rnetodo simplex de transporte 0 de redes puede I obtener con facilidad el intervalo de optimalidad para cada coeficiente e!!la fuf!.ci.6.IUilijeti- vo.~hora es mas comp~ el tratar con las cambios en las lad~ derechos (recursos y ~mandaS) debido al r uerimierito de que ra suma de losrecursos debe ser igual a la suma ~andas. Asi, cada cambio en los recursos debe estar acompafiado or un carnbio correspondiente en 1acrem da Odemandas) y viceversa - - -

Como el Excel Solver no esta diseiiado para resolver problemas verdaderamente grandes de programaci6n lineal que con frecuencia surgen en la practica, simplemente usa el metodo simplex para resolver problemas de transporte y otros problemas de redes de distri- buci6n hallados en este libro (y tambien algunos considerablemente ma yores), de modo que se continuara usando el Solver y se dejara de Jada el uso del metodo simplex de transporte o del metodo simplex de redes.

Para terminar el estudio de caso de la P&T Co.

194

-

- ~ El problema de la P&T Co. es un ejemplo de un problema de transporte donde todo se ajusta. Rara vezJa_\tida-r,,.eal es asf de facil. Con frecuencia surgen problemas de programacion lineal que son ~t:te, pero una o mas caracteristicas no se ajustan. Se presentan las caracteristicas que se consideraran en esta secci6n.

L

Ejemp de cli

Capacidad 4 disponible

$24 75 23 75 21 45 40

Producto: 1 2 3 Plan ta

k $41 $27 $28 2 40 29 3 37 30 27

Producci6n requerida 20 30 30

Costo unitario

TABLA 5.6 Datos para el problema de Better Products Co.

La Better Products Company ha decidido ~ucci6n de cuatro productos nuevos, usando tres plantas que de memento cuentan con capacidad de.pr-eEl1:1eeieR excedente, Los productos requieren un esfuerzo de producci6n comparable-per-unidad-;-de modo que la capacidad de producci6n disponible en las plantaS se mid~r_el.nurnero de unidades de r-.u-&quier producto que se ueden roducir or dfa segun se da en la columna de la derecha de la tabla 5.6. El rengl6n inferior da la cantidad de p~d11cq0nreguerida (mimero de unidades producidas por dfa) para cubrir las ventas proyectadas. Cada planta puede producir uno de estos productos, excepto la planta 2 que ~ fabricar el producto 3. Sin embargo, los costos variables por unidad de cada producto difieren de una planta a otra, como se rnuestra en el cuerpo principal de la tabla.

Ahora la administraci6n necesica tornar una decisi6n acerca de que plantas deben producir cuales productos, Esta permitida la divjJ_jqn de productos donde el mismo producto se ~en...rnas de.una.planta, (Se regresara a este misrno ejemplo en la secci6n 5.7 para considerar la opci6n que prohfbe la division de productos, la cual requiere un tipo distinto de formulaci6n.)

Q 0-rt"' d~ .].. Un destino tiene tanto una demanda minima como una demanda maxima, de modo que

puede recibirse cualquier cantidad entre estos dos valores. 4. No pueden usarse ciertas combinaciones origen-destmo para distribuir unidades.

5. El objetivo es rnaximizar la ganancia total asociada con la distribuci6n en vez de minimizar el costo total. ..._,__ _

__para cada.uaa.de estas caracterfsticas, es posible reformular el problema de una forma inte igente para que se ajuste al formato de problemas de transporte. Hacerlo para problemas verdaderarnente grandes (digamos, con varios cientss o miles de orf enes y destines), resu)tnnuy iitil pues ya sea el metodo simplex de trans Orte 0 el metodo simplex aeredes pueden-resolverel oblerna con esteJormato mucho mas rapido (quiza mas de WDveces mas rapido) que el metodo simplex para la fonnulaci6n general de prograrnaci6n lineaJ.

o o stante, cuando el problema no es realmente grande, e1 metodo simQl~ sigue siendo capaz de resolver la formulaci6n general de prograrnaci6n lineal en un lapso razonable. Por ello, puede aplicarse un paquete basico de software (como Excel Solver) que incluye el rnetodo simplex, pero no los metodos simplex de transporte y de redes, sin tratar de forzarlos al formato de un problema de transporte. Este es el enfoque que se usara. En particular, esta secci6n ilustra la formulaci6n de modelos en hoja de calculo paruariantes de problemas de transporte gue tienen algpnas de gs caractenstieas mencionadas. El primer ejemplo se enfoca en las caracterfsticas 1 y 4. Un segundo ejemplo ilustrara ~~- - -

Ejemplo 1: asignacion ie plantas a productos

\

196

Casto unitario Destmo (Prodncto): 2 3 4 Ofena

' Origen (Planta) $41 1 $27 $28 $24 75

2 40 29 23 75 3 37 30 27 21 '45

Dernanda 20 30 30 40

TABLA 5.7 Tabla de parametros del problema de Better Products Co.

La Nifty Company se especializa en la fabricaci6n de un solo producto que fabrica en tres plantas. El producto va muy bien, de modo que en la actualidad la compafiia.recjbe mas 12edidos de venta de las que-paede.satisfacer. Se han hecho planes para abrir una planta adicional, pero no estara lista sino hasta al afio entrante.

Para el mes pr6ximo, cuatro clientes potenciales (mayoristas) en distintas partes del pals quieren hacer compras grandes. El cliente 1 es el mejor cliente de la companfa, de

ft/ modo que sera cubierta su orden completa, Los clientes 2 y 3 tanbien sonclientes valiosos, por lo que la gerente de comercializaci6n ha decidido que, como minimo, se debe surtir un tercio de las cantidades ordenadas. Sin embargo, no cree que el cliente 4 merezca una con-

l l:t, . .

Ejemplo 2: seleccion de clientes

Formulaci6n de un modelo en hoja de calculo. Este problema..es..cisi..un..prahl.e.m!_ de transporte. En efecto, despues de sustituir la terminologia convencional (recursos, deman- ~.) en los encabezados de columnas y i:englones en la tabla 5.6, esta tabla es bas1ca- - mente una tabla de pardmetros, como se muestra en la tabla 5.7. Pero existen dos aspectos en queeste problema difiere de un problema de transporte. . -> Una diferencia (menpr) es que el problema de transporie requiere un costo 'unitario para cada combinaci6n origen-destmo, pero la planta 2 no puede.fabricar el producto3-:-de modo que no hay dis onibilidad de costo unitanoyara esta com 6n en parti~ar. La

/ otra erencia es que- la suma e,.c es.recursos (7 + 7 + 45 =(195) e cede la suma de las t '. "~._,.. ECfilandas (20 + 30 + 30 + 40 ~120) ~n fa tabla 5. 7. Asf, com'o-lo-ih ica a propi(ldad de ~olucionesjactzbles (secci6n 5.i)~problema de transporte representado por est~ tabla de

parametros no tendrfa soluciones factibles. La suposici6n de requerimientos (secci6n 5.2) especifica todos los recursos de cada origen. .

En realidad, estos recursos en la tabla 5.7 representan capacidades de producci6n que no precisaran usarse por com leto ara satisfacer la demanda de ventas Cle!os----rocluctos.

~ Por e o, estos recursos son limites superiores sobre las cantidades a ser usadas. El modelo en hoja de calculo para este problema, mostrado en la figura 5.4 tiene el

mismo formato que el de la figura 5.2 para el problema de transporte de la P&T Co. con dos diferencias clave. Primera, debido a que la planta 2 no puede producir el producto 3, se inserta un gqi6n en la celda F7 y se incluye en el cuadro de dialogo de ~r la restricci6n de que F16 = 0. Segundo, como los .recursos son lfrnites superiores, las celdas 115:117 tienen signosn lugar de signos 'fly las restricciones correspondientes en el cuadro de dialogo de Solver son H15:H17 $ Jf5:Jl7.

Al usar Excel Solver se obtiene la soluci6n 6ptima mostrada en las celdas cambiantes (D 15:G 17) para la tasa de producci6n de cada producto en cada plan ta. Esta soluci6n minimiza el costo de distribuir 120 unidades de producci6n de los recursos totales de 195 para cumplir con la demanda total de 120 en los cuatro destinos (productos). El costo total dado en la celda H18 es de $.3.260 diarios.

.. . .... -- -~::.:_-..- ., ' ' 5.:; 1Vfocl

siderlli6n_e_sp.ecial y no esta.dispuesta a garantizar 1ma cantidad minima p~ste cliente. Habran suficientes unidades producidas arriba de estas cantidades mfnimas.

En gran medida cU;bido a zariaciones sustanciales en los costos de enyio, la ganancia n a obtenida por cada unidad ven 'a mucho dependiendo de la planta que su4rte a c~ente. Entonces, la decision final acerca de cuanto enviar a cada cliente (arriba de Jas cantidades mfnimas establecidas por la gerente de comercializaci6n) estaran basadas en la max.imizaci6n deJa ganancia, - La tabla 5.8 muestra la ganancia unitaria de cada combinaci6n de una planta que surte a un cliente. La columna de la derecha da el mimero de unidades que producira cada planu durante el mes pr6ximo (un total de 20 000). El reng16n inferior muestra las cantidades

30 30 20

3 (Plant) 2 Source I

i ' t Totals Supply 60 s 75 IS sl 75

s 45 I Total Cost

Destination (Product) Daily Production

Unit Cost Destination (Product)

1 I 2 I 3 4 Source 1 $41 $27 $28 $24 (Plant) 2 $40 $29 ...... $23

3 $37 $30 $27 ' $21 20 30 30 I 40

FIGURA 5.4 Formulaci6n en hoja de cdlculo del problema de Better Products Co., como variante de un problema de transporte, donde los renglones 3-9 despliegan la tabla de pardmetros y las celdas cambianzes (Dl5:G17) muestran el plan de producci6n 6ptimo obtenido por Solver.

- 198

l. L Que debe bacerse para formular el modelo en una hoja de calculo para una variante de un problema de transporte donde los recursos de cada origen representan una cantidad maxima en vez de una cantidad fija a ser distribuida desde ese origen?

Preguntas de repaso

ordenadas por los clientes (un total de 30 000). El pemiltimo rengl6n da las cantidades mfnimas que seran surtidas (g 000 en totiil). con base en las decisiones de la gerente de comercializaci6n descritas antes.

La gerente de comercializaci6n debe determinar cuantas unidades venderle a cada cliente -/observando estas cantidades minimas) y ~tas nrudades eariftf' desde cada planta a eada

.cliente para maximizar las utilidades.

Formulaci6n del modelo en hoja de cilculo. Este es casi un problema de transporte, pues las plantas pueden ser.vistas como or(gwes y los clientes como destinos, donde las cantidades de producci6n son los recursos de los origenes. ---

Si &te fuera un pro6[ema completo de transporte, las cantidades compradas serian las demandas para los desti.nos. Sin embargo, esto no funciona aquf porque la suposicion de re- querimienios (secc10n5.2) dice que la demanda debe ser una cantidad.fija que se recibe del origen. Excepto para el cliente 1, todo lo que se tiene son intervalos para las cantidades compradas entre el maximo y el rnfnimo dado en los dos iiltimos renglones de la tabla 5.8. De becbo, uno de los objetivos es obtener los valores mas deseables de estas cantidades compradas.

La figura 5.5 muestra el modelo en la boja de calculo para esta variante de problema de transporte. En vez de un rengl6n de demanda al final de la tabla de pararnetros y de la tabla de soluciones, se tiene un rengl6n de mfnimos y un rengl6n de maximos, Las restricciones correspondientes en el cuadro de dialogo de Solver son D19:Gl9;::::: D20:G20 y D19:G19 ~ D21 :G21, jun to con las restricciones de recursos usuales. Puesto que el objetivo es maxi.mizar lll_utilidad total en lugar de minimizar el costo total, el cuadro de difilo ode Solver especifica.que se_maximice la..celda o.bjetim (Hl9). -

Despues de hacer clic en el bot6n Solve, se obtiene la soluci6n optima mostrada en la figura 5.5. Las celdas DI 9:Gl9 indican cuantas unidades vender a los clientes respectivos. Las celdas cam bi antes (D 16:G 18) muestran cuantas unidades enviar de cada planta a cada cliente. La utilidad total resultante d~ones esta dada en la celda Hl9.

TABLA 5.8 Datos del problema deNifty Co. Ganancia unitaria

Cantidad Cliente: 1 2 3 4 de producci6n

Plan ta I $55 $42 $46 $53 8000 2 37 18 32 48 5000 3 29 59 51 35 7 000

Compra mfnima 7 000 3 000 2 000 0 Compra solicitada 7000 9000 6000 8000

199 - .-,:..;..o. - :... - .: .. ::.:=... l.3 Modelado de variantes de ptoblemas dirr,;,.Sporte:-

L Distribuci6n de bienes (problema de la P&T Co.) 2. Asignaci6n de plantas a productos (problema de la Better Products Co.) 3. Seleccion de clientes (problema de la Nifty Co.)

Se han vista ejemplos que ilustran tres areas de aplicaci6n de problemas de transporte y SUS variantes:

5.4 Algunas otras aplicaciones de variantes de problemas de transporte

2. l,Que debe bacerse para formular el modelo en hoja de calculo para una variante de un problema de transporte donde la demanda en un destino puede ser cualquier cantidad entre un mfnimo y un maxima especificados?

Unit Cost = Destination (Customer) 1 I 2 I 3 4 Supply

Source 1 $55 $42 $46 $53 8000 v (Plant) 2 $37 $18 $32 $48 5000

$29 $59 $51 $35 7000 ~ 7000 3000 2000 0 "" 7000 9000 6000 8000 ~

Shipments

Totals Supply Source 1 8000 8000 Disir (Plant) 2 5000 5000 naPZl

3 7000 Totals Tota.I Profit

7000 3000 2000 0 7000 9000 6000 8000

;.... - .;:..-. - FIGURA 5.5 Formulacion. en hoja de cdlculo del problema de Nifty Co., variante de un problema de transporte, donde Los renglones 3-10 despliegan la tabla de pardmetros y las celdas cambianres (Dl6:GJ8) muestran el plan de produccion. optimo obtenido por el Solver.

200. -

Ahora necesita decidir a que persona asignarle cada tarea. Aunque cada empleado temporal cuenta al menos con los antecedentes rnlnimos nece-

sarios para desempeiiar cualquiera de las cuatro tareas, difieren en forma considerable en la eficiencia con que pueden manejar los distintos tipos de trabajo. La tabla 5.21 rnuestra cuantas horas necesitarfa cada uno para cada tarea. La columna de la derecha da el salario por hora basado en la experiencia de cada uno.

1. Procesamiento en computadora de las presentaciones escritas. 2. Graficas en computadora para las presentaciones orales y escritas. 3. Preparaci6n de paquetes de conferencia, incluido copiado y organizaci6n de materiales

escritos. 4. Manejo de inscripciones a la conferencia adelantadas y en el momento.

El gerente de comercializaci6n de Sellmore Company organizara la conferencia anual de ventas de la compaiiia para los gerentes de ventas regionales y su personal. Para ayudar en la administraci6n a la conferencia, esta contratando cuatro empleados temporales (Ann, Ian, Joan y Sean), donde cada uno manejara una de las siguientes cuatro tareas:

Ejemplo: problema de Sellmore Company

Ahora se pasa a otro tipo especial de problemas de programacion lineal llamados problemas de asignacion. Como el nombre lo sugiere, este tipo de problemas involucra asignaciones. Con frecuencia estas son asignaciones de personas a trabajos. Asf, muchas aplicaciones de! problema de asignaci6n incluyen ayudar a Ios gerentes a determinar quien de su personal debe realizar que tareas. Otras aplicaciones podrfan involucrar asignar maquinas, vehfculos o plantas a tareas.

Se comienza con un ejemplo.

5.6 Caracteristicas de los problemas de asignaci6n

t I i '

2. l,Por que debe considerar los costos de envio de las refinerias actuales jun to con aqus, . llos de la nueva refinerfa?

3. .Por que el equipo de Texago encontr6 necesario resolver seis problemas de transpone en lugar de uno?

4. lQue tiene que considerar la administracion de Texago ademas el analisis financiero basado en la soluci6n de seis problemas de transporte?

$2.7 mil millones 2.67 mil millones { 2.65 mil millones ~

Costa variable

total

Costa.total Casto total Casto de operacion /--::de enviar de enviar de la nueva Sitio p troleo cruda producto terminado rejinerfa

Los Angeles, $820-millones $1.26 mil millones $620 millones Galveston -860 millones 1.24 mil millones 570 millones StLouis - l.04 mil millones 1.08 mil millones 530 millones

TABLA S.20 Costos variables anuales resultantes de la selecci6n de cada sitio para la nueva refineria de Texago

218 -

1. El mimero de asignados y el mirnero de tareas son iguales. 2. Cada asignado se asignara exactamente a una tarea.

Cualquier problema de asignaci6n puede describirse en los siguientes terminos generales. Dado un conj unto de tareas a realizar y un conjunto de asignados disponibles para efectuar esas tareas, el problema es determinar que asignado debe asignarse a cada tarea.

Para adaptar el modelo a un problema de asignaci6n, se necesitan satisfacer las .siguientes suposiciones:

El costo total dado en la celda H29 es $1 957.

Asignar a Ann la preparaci6n de paquetes de conferencia. Asignar a Ian las graficas de computadora. Asignar a Joan el manejo de inscripciones. Asignar a Sean el procesamiento de datos.

Formulaci6n de un modelo en boja de calculo, La figura 5.18 muestra un modelo en una hoja de calculo para este problema. La tabla 5.21 se ingres6 al principio. Combinando estos tiempos requeridos y los salarios (vea las ecuaciones de las celdas Dl5:G18 en la parte de abajo), los renglones .15-18 dan el costo total de cada asignaci6n posible de un empleado a una tarea. La tabla de costos es justo la forma de desplegar un problema de asignaci6n. El objetivo es determinar que asignaciones deben hacerse para minimizar la suma de los costos asociados.

Los recursos de 1 en las celdas H15:H18 y J25:J28 indican que cada persona (asignados) listada en la columna C tiene que desempeiiar exactamente una tarea. Las demandas de l en los renglones 19 a 31 indican que cada tarea debe ser desempei'iada exactamente por una persona. Luego se especifican estos requerimientos en las restricciones dadas en el cuadro de dialogo de Solver.

A cada celda cambiante (D25:G28) tiene un valor de 1 cuando se realiza la asignaci6n correspondiente y un valor de 0 de otro modo. Por ello, la ecuaci6n de Excel de la celda objetivo, H29 = SUMPRODUCT (Dl5:Gl8, 025:028), da el costo total de la asignaci6n efectuada El cuadro de dialogo de Solver especifica que el objetivo es minirnizar esta celda objetivo.

Las celdas cambiantes en la figura 5.18 muestran la soluci6n 6ptima obtenida despues de hacer clic en el bot6n Solve. Esta soluci6n es

TABU5.21 Datos de] problema de Sellmore Co. Tiempo requerido por tarea (boras)

Empleado . Procesamienio Salario: temporal de datos Grdficas Pcquetes Inscripciones por horo

Ann 35 41 27 40 $14 Ian 47 45 32 51 $12 Joan 39 56 36 . 43 $13 Sean 32 51 25 46 $15

219 5.6 Caracteristicas de Los problemas de-asigruu:i6n

I ....

l. .Modelo para p~oble,;,,as f . de asignacion

3. Cada tarea sera realizada por exactamente un asignado. 4. Existe un costo asociado con cada combinaci6n de asignado que realiza una tarea. 5. El objetivo es determinar c6mo deben hacerse todas las asignaciones para minimizar el

costo total. _l_

'

=:i--"---'::=.c...--i-=:.;___:c:.""----t-"=F7-'---=$H=-7 --!-'::..:__;c:=-- ~ tit =F8$H8

'

Sob de

El1 asi~ esp. dt!

$690 1 $559 1 $612 1 $560 1

egistrations Supply\

46 $15 43 $13 51 $12

1

Required 'rune (Hours) Task

Word Processing Graphics Packets Ann 35 41 27

Assignee Ian 47 45 32 Joan 39 56 36 Sean 32 51 25

Cost Task

Word Processing Graphics Packets Ann $490 $574 $378 Ian $564 $540 $384

Joan $507 $728 $468 Sean $480 $765 $375

1 1 1

~ronkmps de transporte ):de asignacior: '

El Excel Solver usa el metodo simplex para resolver cualquier problema de programaci6n lineal, incluidos los-problemas de transporte, de asignaci6n y sus variantes. Esto funciona bien para problemas del tamafio considerado en este Iibro (o incluso bastante mas grandes).

No obstante, como se estudi6 en la secci6n 5.2, el metodo simplex de transporte o el metodo simplex de redes proporcionan una forma mucho mas eficiente de resolver problemas grandes de transporte. En consecuencia, como el problema de asignaci6n es un tipo especial de problema de transporte, estos mismos algoritmos se pueden usar para resolver rapido problemas de asignaci6n grandes.

De todas maneras, incluso estos algoritmos especiales no constituyen la forma mas rapida de resolver problemas de asignaci6n. Existen algoritrnos mucho mas rapidos que se diseiiaron especialmente para resolver problemas de asignaci6n. El mas famoso se conoce coma metodo htingaro. En la practica, se usana UDO de estos algoritmos especiales para resolver problernas de asignaci6n muy grandes. Aunque Excel Solver no cuenta 'Con algoritmos para prop6sitos especiales como el metodo htingaro para resolver con eficiencia tipos especiales de problemas de programaci6n lineal, se dispone de otros paquetes de software de programaci6n lineal para bacerlo.

lSe ha percatado de que esta representaci6n de redes de la figura 5.19 es muy similar a la representaci6n de redes del problema de transporte rnostrado en la figura 5.3? Observe bien.

. Esta sirnilitud DO es coincidencia. El problema de asignaci6n es, de hecho, solo UD tipo especial de problema de transporte donde los origenes ahora son asignados y los destinos ahora son tareas. Mas aun, como se ilustra con el problema de asignaci6n de la Sellmore Co., en la figura 5.18, cada origen tiene recursos de 1 (ya que cada asignado se asignara a exactamente una tarea) y cada destino tiene demanda de 1 (pues cada tarea sera realizada por exactamente un asignado).

Par lo tanto, todas las caracteristicas de los problernas de transporte descritas en la secci6n 5.2 tambien se 'aplican a los problemas de asignaci6n.

Ademas de una tabla de costos, la represeniaci6n de redes proporciona una fonna alternativa de desplegar un problema de asignaci6n. La figura 5.19 muestra la representaci6n de redes del problema de asignaci6n de Sellmore Co., donde los asignados estan alineados en orden a la izquierda y las tareas estan alineadas en orden a la derecha. Las flechas muestran las posibles asignaciones, donde se eligiran exantamente cuatro flechas, con una desde cada asignado y una hacia cada tarea. El mimero pr6x.imo a cada flecba da el costo si se seleccio- na esa asignacion en particular.

Esta representaci6n de redes proporciona una fonna de visualizar un problema de asig- naci6n en una grafica, En el siguiente capitulo tambien se vera que esta representacion muestra la relacion entre problemas de asignaci6n y otros problernas de programaci6n lineal del tipo de redes de distribuci6n .

Las tres primeros suposiciones son bastante restrictivas. Muchas aplicaciones potenciales no se ajustan 'a ellas, Sin embargo, estas variances de problemas de asignaci6n atin pueden resolverse con Excel Solver, como se describira en la secci6n 5.7.

. . . Cuando se satisfacen las suposiciones, todo cuanto se necesita para formular el problema como UDO de asignacion es (1) identificar los asignados y las tareas, y (2) construir una tabla de costos que de el costo asociado a cada combinaci6n de asignado una tarea. Des- .

. pues de desplegar esta formulaci6n en UDa boja de calculo, coma se ilustra en la figura 5.18, puede resolverse con Excel Solver.

1:n 5.6 Caracteristicas de los problemas de asigi?acidn -: .

Solucion de problemas de asignacion

El problema de asignacion es un tipo especial de problema de transporte

Representacion de redes de un problema de asignaci6n

1. Ciertos asignados no pueden realizar ciertas tareas. 2. Aunque cada asignado realizara justo una tarea, existen mas tareas que asignados, cit

modo que algunas tareas no se haran. 3. Aunque cada tarea sera realizadajusto por un asignado, hay mas asignados que tare.as..

de modo que algunos asignados no realizaran una tarea. 4. Cada asignado puede ser asignado para realizar mas de una tarea en forma simultanee- 5. Cada tarea puede realizarse de manera conjunta por mas de un asignado.

Con frecuencia surgen variantes de los problemas de asignacion porque tienen una o m&5 caracterfsticas que nose ajustan a todas las suposiciones enumeradas en la secci6n anterior para el modelo de un problema de asignaci6n. Las caracteristicas que se consideraran son las siguientes:

5.7 Modelado de variantes de problemas de asignacion

5.

Describa con una oraci6n los problemas de asignaci6n. lQue suposiciones acerca de los asignados y las tareas deben cumplirse para que sea 'I un problema de asignaci6n? ,Que necesita hacerse para fonnular un problema como uno de asignaci6n? l Cuales son los origenes, destinos, recursos y demandas cuando se describe un problema de asignaci6n como un tipo especial de problema de transporte? Nombre un algoritmo disefiado especfficamente solo para resolver muy rapido problemas de asignaci6n.

3. 4.

l. 2.

I (Sean)

(Joan)

(Graficas) (Ian)

(Procesamiento de datos}

(lnscripciones)

(Ann)

Tareas Asignados

Preguntas de repaso

FIGURA 5.19 La representacion de redes def problema de asignacion de Sellmore Co. muestra en una gr6.jica todas las asignaciones posibles y sus costos.

distribuci6n, incluidos los problemas de transporte y asignaci6n. (Secci6n 5.2) 194 Origenes Los centros de suministro para un problema de transpone. (Secci6n 5.2) 189 Recurses de un origen El mimero de unid~des que se distribuyen desde este origen a Ios destinos. (Secci6n 5.2) 189 Tabla de costos La tabla que resume la formulaci6n de un problema de asignacion dando el costo de cada asignaci6n posible de un asignado a una tarea. (Seccion 5.6) 221 Tabla de parametros La tabla que resume la foanulaci6n de un problema de transporte dando todos los costos unitarios, recursos.y demandas. (Seccion 5.2) 190 Tareas Los trabajos que deben realizar los asignados cuando se formula un problema como problema de asignaci6n. (Secci6n 5.6) 219

Asignados Las entidades (personas, rnaquinas, vehiculos, plantas, etc.) que realizan las tareas cuando se formula un problema como problema de asignaci6n. (Secci6n 5.6) 219 Demanda de un destino El numero de unidades que deben recibirse en este destino desde los orfgenes. (Seccion 5.2) 189 Destinos . Los centros de recepci6n para un problema de transporie. (Seceion 5.2) 189 Metodo hiiugaro Un algoritmo diseiiado especfficamente para. resolver problemas de asignaci6n con gran eficiencia. (Seccion S.6) 221 Metodo simplex de transporte Versi6n simplificada del metodo simplex para resolver con gran eficiencia problemas de transporte. Sccci6n 5.2) 194 ~iitodo simplex de redes Versi6n simplificada del metodo simplex para resolver, con gran eficiencia, problemas de.redes de

Glosario

Los problemas de transporte y asignaci6n (y sus variantes) son tipos especiales de problemas de prograrnaci6n lineal que tienen una variedad de aplicaciones importantes.

Un problema de transporte se ocupa (literal o figuradarnente) de la distribucion de un bien desde sus origenes basta sus destinos. Cada fuente tiene recursos fijos y cada destino una demanda fija del bien. Una suposici6n basica es que el costo de distribuci6n de cada origen a cada destino es directamente proporcional a la cantidad distribuida, Forrnular un problema de transporte requiere elaborar una tabla de parametros que da los costos unitarios de distribuci6n, los recursos y las demandas.

Dado un conjunto de tareas a realizar y un conjunto de asignados disponibles para efectuar las tareas (un asignado por tarea), un problema de asignaci6n se ocupa de que asignado debe asignarse a cada tarea para minimizar el costo total de realizar todas las tareas. Los asignados pueden ser personas, maquinas, vehfculos, plantas, etcetera, por Jo que existen mucbas aplicaciones. La formulaci6n del problema requiere la elaboraci6n de una tabla de costos que da el costo de cada asignaci6n posible de un asignado a una tarea.

Una variedad de caracterfsticas que nose ajustan al formato del problema de transporte o al del problema de asignacion tambien puede formularse con facilidad en un modelo en hoja de calculo .

. La meta sustantiva de este capftulo ha sido permitir que reconozca cuando se enfrente un 'problema coma futuro gerente si se puede formular y analiiar corno un problema de transporte o de asignaci6n, o como una variante de uno de estos tipos de problemas.

S.8 Resumen

1. Cuando se formula un modelo en boja de calculo para una variante de un problema de asignaci6n donde ciertos asignados no pueden realizar ciertas tareas, lC6mo se formula esta caracterfstica en el modelo?

. 2. Si un asignado realiza mas de una tarea, lC6mo se formula esta caracterfstica en el modelo en la hoja de calculo?

3. Si una tarea se va a efectuar conjuntamente por mas de un asignado, lc6rno seformula esta caracterfstica en el modelo en la hoja de calculo?

229

\

p;:;-guntas de re~aso

Capttuto 5 Glosario

- 1 1

- . PERT y CPM fueron desarrollados en .forma independiente a fines de la decada de los

aiios 50. Desde entonces estan entre las tecnicas de metodos cuantitativos de mayor uso. Como se destacara mas adelante en el capitulo, las versiones originales de PERT y de

CPM tenian diferencias importantes, No obstante, tambien tenfan mucho en connin y con el paso de los afios, ambas tecnicas gradualmente se ban fundido. De hecho, en los paquetes actuales de software con frecuencia se incluyen todas las opciones importantes de ambas versiones originales.

1. .Ccnstruccion de una nueva planta. ,,, i: Investigaci6n y desarrollo de un nuevo producto.

3. Proyectos de exploracion espacial de Ia NASA. 4. Produccion de peliculas. ' 5. Construccion de un barco. .. 6. Proyectos patrocinados por el gobierno para desarrollo de un nuevo sistema de arrna-

mento. 7. Reubicacion de una planta principal. 8. Mantenimiento de un reactor nuclear. 9. Instalacion de nn sistema de informaci6n administrativa,

10. Conducci6n de una' campaiia publicitaria,

~ - Uno de los trabajos mas desafiantes que cualquier gerente puede tomar es el de la adminis-

-; tracionde un proyecto: a gran escala que requiere coordinar numerosas actividades en toda la organizaci6n. Deben tomarse en cuenta una mirfada de detalles al planear c6mo coordinar ~odaS es~ actividades, desarrollar un plan realista y luego vigilar el progreso del p~o- yecto. .

Por fortuna, se dispone de dos tecnicas de metodos cuanti.tativos muy relacionadas, PERT (tenica de revision y ~aluacii6n de prog'rama) y CPM (metodo de la ruta crltica)

. para asistir al gerente de proyectos ai Ilevar a cabo estas responsabilidades. Estas tecnicas hacen uso intensode las redes (introducidas en el capitulo anterior) para ayudar a planear y mostrar la coordinaci6n de todas las actividades, Tambien usan un paquete de software para manejar todos los datos necesariospara desarrollar infonnaci6n de programaci6n y despues supervisar el avance del proyecto. Ahorahay amplia disponibilidad de software de adminis- traci6n de proyectos, para estos propositos, como i;l.MS,Project en el MS Courseware.

PERT y CPM se pan usado ampliamente para una :'ariedad de proyectos, incluidos los siguientes tipos:

DE _ .. ~ROYECTOS . CON-PERT/CPM AnMIN1sTRAc16N

Reliable esta asignando a este proyecto a su mejor gerente de construcci6n, David , Perty, para asegurar que vaya a tiempo. El Sr. Perty se ha ganado la confianza de la adminis- traci6n a traves de muchos anos de desernpefio ejemplar con la compaiifa. Comenz6 como ~ - carpintero, recien salido de la escuela y pronto se convirti6 en el capataz mas joven en la ~. compafifa, de modo que conoce el negocio de la construcci6n desde abajo. Mientras era capataz, regres6 de tiempo parciaJ a la escuela nocturna para obtener su licenciatura de negocios. Era un horario arduo que se prolong6 cinco afios, mas encontr6 que disfrutaba su carrera de negocios y era bueno en ella. Su materia favorita fue una materia optativa de oivel de posgrado en adrninistraci6n de proyectos y fue ahf donde aprencti6 con detalle las tecnicas de PERT/CPM. Inmediatamente despues de obtener, con honores, su licenciatura en negocios, el Sr. Perty fue promovido a gerente de construcci6n. Ha trabajado para la compaiiia en este puesto durante 14 aiios y hay rumores de que puede ser el proximo en la lfnea para ascender en un afio a la alta direcci6n cuando la jubilacion de! director general de la compaiiia provoque algunos cambios en las puestos principales. Aunque el Sr. Perty agradecerfa esta oportunidad, no tiene prisa por ascender. A pesar de sus muchas tensiones, disfruta plenarnente los retos de ser gerente de construcci6n, incluida la oportunidad de aplicar las Ultimas tecnicas de adrninistraci6n de proyectos.

El Sr. Perty esta muy contento par baber recibido este ultimo encargo coma gerentede proyecto de uno tan importance. Espera con entusiasmo el reto de efectuar este proyecto a tiempo y quiza ganar una promoci6n en el proceso. No obstante, puesto que si tiene dudas de si sera factible terminar dentro de las 40 semanas sin incurrir en costos excesivos, deci- di6 enfocar su planeaci6n inicial a cumplir con la fecha de entrega de 47 semanas.

Necesitara arreglar que un mimero de cuadrillas realicen las diversas actividades de construcci6n en tiempos diferentes. La tabla 7.1 muestra su lista de las diversas activida des. La tercera columna proporciona informaci6n adicionaJ importante para coordinar las programaciones de las cuadrillas.

Una multa de $300 000 si Reliable no termina la construccion para la fecha limite de 4 7 semanas a partir de ahora. Ofrecer un incentivo adicional para la construcci6n expedita, un bono de $150 000 que pagara a Reliable si la planta esta terrninada en 40 semanas.

La Reliable Construction Company acaba de ganar una licitaci6n de $5.4 rnillones para construir una nueva plan ta para un fabricante importante. El fabricante necesita que la plan. ~ ta entre en operaci6n dentro de un afio. En consecuencia, el contrato incluye las siguientes - ,:. estipulaciones:

7.1 Estudio de caso: proyecto de Reliable Construction Co.

Capuui; .' Adm!!?t::rc:=;~,, de ;.-:iy=:i:J con PERTICP/ttl .--~~ .. ~ r \t--, -, t~ .. , e: . '"" . En c~nsecuencia, es ~omun que las usuarios 3:11~ra usen las dos nornbres de lllOdQ:,. }~-

mtercamb1ab_le o las c~mbu:i~ d~~tro de un solo ~crommo PERT/C!M coma ~quf se harj ~,,.~ c?n frecuencia. Se hara l~ d1stmc~o~ entre ellos solo cuando se descnba una opcion que~'' f _ solo para una de las versiones originales. r=

La siguiente secci6n introduce un estudio de caso, que se usara en todo el capitulo, Part ilustrar las diversas opciones de analisis de proyectos proporcionadas par PERT/CPl\.1. _

288

----- --------------------

1. lDe que modo puede desplegarse el proyecto en forma grafica para visualizar mejor el flujo de las actividades? (Secci6n 7 .2)

2. lCuat es el tiempo total requerido para completar este proyecto si no ocurren retrasos? (Secci6n 7.3)

3. lCuando necesitan comenzar y terminar las actividades individuales (lo mas tarde) para cumplir con el tiempo de terminaci6n de este proyecto? (Secci6n 7.3)

Cuando una actividad dada tiene mds de un predecesor inmediato, todos deben terminar antes de que comience la actividad.

Con el fin de programar estas actividades, el Sr. Perty consulta a cada uno de los capa- taces de las cuadrillas para desarrollar una estimaci6n de cuanto tiempo tomara cada actividad cuando se realiza en forma normal. Estas estimaciones estan dadas en la columna derecha de la tabla 7 .1.

La suma de estos tiempos da un gran total de 79 semanas que es mucho mas que la fecha de entrega del proyecto. Afortunadamente, algunas actividades pueden realizarse en paralelo, a lo que reduce en forma sustancial el tiempo de terminaci6n del proyecto.

Dada la informaci6n de la tabla 7 .1, el Sr. Perty ahora quiere desarrollar respuestas a las siguientes preguntas.

1. La excavacion no necesita esperar a ninguna otra actividad. 2. La excavacion debe terminar antes de iniciar la cimentaci6n. 3. La cimentaci6n debe estar terminada antes de comenzar a colocar los muros extemos,

y asf sucesivamente.

Por ejemplo, los primeros datos en esta columna indican que

Para una actividad dada, sus predecesores irunediatos (dados en la tercera columna de la tabla 7.1) son aquellas actividades que deben terrninar justo antes de iniciar la actividad dada. (De manera similar, la actividad dada se llama sucesor inmediato de cada una de sus predecesores inmediatos.)

A Excav.aci.60. B , Cimentaci6n C Colocacion de muros :. _ D . Colocacion dtl techo . E. .: 'Iastalacion de fa plomerfa externa F Instalaci6n de la plomerfa iotema G Poner recubrimieuto exterior H .Pintura .. de exteriores I .Trabajo de-electricidad J Colocar recubrimiento interior K lnstalar pisos

. L Pintura de interiores ~ Colocaci6n de accesorios exteriores N Colocaci6n de accesorios interiores

Predecesores Duracion inmediatos estimada (semanas)

2 A 4 B 10 c 6 c 4 E 5 D 7

~,; ~ E,G 9 :.. c 7 F, I 8

J 4 ' 5 H 2 K,L 6

TABLA 7.1 Lista de actividades piita ~J proyecto deconstrucci6n de Reliable Construction Co.

289.:_ 7. I Est"iidio d caso: proyecto de. Reliabt Conscruction Co.

1. Informaci6n de actividad: dividir el proyecto en sus actividades individuales (al nivel de detalle deseado).

2. Relaciones de precedencia: identificar lo(s) predecesore(s) inmediato(s) para cada acti vi dad.

3. lnformaci6n de! tiempo: estimar la duraci6a de cada actividad.

Una red usada para representar un proyecto se llama red de proyecto. Una red de proyecto consiste de cierto ruimero de nodos (mostrados como cfrculos o rectangulos pequefios) y cierto numero de arcos (mostrados como flechas) que van de uno a otro nodo. (Si no se ha estudiado el capftulo 6, donde se analizan con detalle nodos y arcos, piense en ellos como los nombres dados a los pequeiios circulos o rectangulos y a las flechas en la red.)

Como lo indica la tabla 7 .1, bay tres tipos de informaci6n necesaria para describir un proyecto.

Redes de proyectos

El capfrulo anterior describe cuan valiosas pueden ser las redes para representar y ayudara analizar muchos tipos de problemas. En gran rnedida del mismo modo, las redes tienen un papel clave en el manejo de proyectos. Permiten mostrar las relaciones entre las actividades y poner todo en perspectiva. Despues se usan para ayudar a analizar el proyecto y contestar el tipo de preguntas planteadas al final de la secci6n anterior.

7.2 Uso de una red para el despliegue visual de un proyecto

I. i,Cuales son los terminos financieros en el contrato que Reliable Construction Co., acaba de ganar?

2. (,Cua.I es la fecha lfrnite sobre Ia que se esta enfocando el Sr. Perty para cumplirla? 3. (.Que significa una actividadpredecesora inmediata? {.Una sucesora inmediata? 4. (.Cuales son Ios tres tipos de informaci6n que el Sr. Perty reunio acerca del proyecto?

Preguntas de repaso

Como es un usuario habitual de PERT/CPM, el Sr. Perty sabe que esta tecnica brinda ayuda invaluable para responder estas preguntas (como se vera en las secciones indicadas enttt parentesis).

9.

8.

7.

6.

5. lCuando pueden cornenzar y terminar (lo mas pronto) si no ocurren retrasos? (Secciiln 7.3) i. Cuales son las acti vidades crfticas de cuello de botella donde tienen que evitarse retza. sos para no retrasar la terminaci6n de] proyecto? (Secci6n 7.3) Para las otras actividades, i.,CUanto retraso puede tolerarse sin retrasar la tenninaci6n del proyecto? (Secci6n 7.3) Dadas las incertidumbres al estimar con precision las duraciones de las actividades, i.,CUal es la probabilidad de terminar el proyecto en la fecha (47 semanas)? (Seccj6 7.4) n Si se gasta dinero adicional para acelerar este proyecto, i.,CUal es la forma menos cost- sa de intentar cumplir con el tiempo de terminaci6n meta (40 semanas)? (Secci6n 7.5) l,C6mo deben vigilarse los costos actuates para intentar mantener el proyecto dentro del presupuesto? (Secci6n 7 .6)

4.

.Capttulo I l\dmir .. -cfjn de proyectos co .. PERTICPM

- - . - -----=--------------

1 Aunque con frecuencia las cedes de proyecto se rrazan de izquierda a derecha, se dibujara de arriba a abajo para ajustarla a la pagina irnpresa.

El primer paso con MS Project es introducir la informaci6n de la Iista de actividad (tabla 7 .1). Elija el menu View y luego seleccione la opci6n llamada Table. Del subrnerui resultante, elija la opci6n Entry para que aparezca la tabla necesaria para poner la infonnaci6n. En la figura 7 .2 se muestra esta tabla para el proyecto de Reliable. Se ingresan los nombres 'de

Uso de MS Project

Por estas razones, las redes de proyecto AEN se ban vuelto cada vez mas populares entre los usuarios. Parece probable que se convertiran en el tipo convencional de uso. Por lo tanto; abora se estudiaran s6lo las redes de proyectos AEN.

La figura 7 .1. muestra la red de! proyecto para el proyecto de Reliable.1 Segun los datos de la tercera columna de la tabla 7 .1, observe que hay un arco que va a cada acti vidad desde cada uno de sus predecesores inmediatos. Debi do a que la actividad A no tiene predecesores inmediatos, bay un arco que va desde el nodo iniciaJ a esta actividad. De la misma forma como las actividades M y N no tienen sucesores inmediatos, los arcos van desde estas actividades hasta el nodo de terminaci6n. Entonces, la red de proyecto se presenta a primera vista todas las relaciones de precedencia entre todas las actividades (mas el inicio y la terminaci6n del proyecto). Con base en la columna de la derecha de la tabla 7.1, el mimero pr6ximo al nodo de cada actividad registra la duraci6n estimada (en semanas) de esa actividad.

Para proyectos de este tamaiio y mayores, no siempre es directo construir la red del proyecto a partir de esta lista de actividades. En caso de que haya problema al bacer esto, se incluye un suplemento para este capftulo en el CD-ROM que describe e ilustra un procedimiento sistematico para construir la red de! proyecto.

En aplicaciones reales, es cormin que se use el software para construir la red del proyecto. En seguida se describe c6mo se usa el MS Project (en el MS Courseware) para el proyecto de Reliable.

I. Las redes de proyecto AEN son considerablemente 'mas faciles de construir que las redes de proyecto AEA.

2: Las redes deproyecto AEN son mas faciles de comprender que las redes deproyecto AEA para usuarios no experimentados, incluidos muchos gerentes.

3. Las redes de proyecto AEN son mas faciles de corregir que las redes de proyecto AEA cuando bay cambios en el proyecto. .

La red de proyecto debe comunicar toda esta informaci6n. Existen dos tipos altemativos de redes de proyecto disponibles para esto.

Un tipo es la red de proyecto de actividad-en-arco (AEA), dorrde cada actividad esta representada por un arco. Se usa un n6dulo para separar una actividad (un arco de Salida) de cada uno de sus predecesores inmediatos (un arco de entrada), Deese modola secuencia de los arcos muestra las relaciones de precedencia entre las actividades ..

El segundo tipo es la red de proyecto de actividad-en-nodo (AEN), adonde cada actividad se representa por Un nodo. Los arcos se usan s6lo para mostrar las relaciones de precedencia entre las actividades. En particular, el nodo para cada actividad con predeceso-' res inmediatos tiene un arco que viene desde cada uno de esos predecesores.

Las versiones originates de PERT y CPM usaban proyectos de red AEA, de modo que este fue el tipo convencional durante algunos afios, No obstante, las redes de proyecto AEN tienen algunas ventajas notables sobre las redes de proyectos AEA para comunicar con exactitud la misma informaci6n.

291 7.1. Usb CIF una red para el despliegue visual de un proyecto

son predecesores inmediatos de fa actividad 8, bay flechas desde' las dos actividades 5 "y 7 que van a la actividad 8.

Puede regresarse a estatabla de entrada del proyecto en cualquier momento seleccio- nando Table: Entry en el menu View.

r-- i~ 111,~ - ... 0 Q - V'if"'J\Cf"""'.-tQC-

........ .J l

-1 ---

.:..- 7.2 Uso ';le uM red par~ el despliegue visual de un proyecto

Se puede seleccionar entre varias vistas con la barra de herramientas de View abajo del !ado izquierdo de la pantalla. La vista de la grafica de Gantt es la predeterminada. La vista de la grafica PERT muestra la red de! proyecto. Inicialmente, esta vista alinea las cuadros de actividades de izquierda a derecha, pero se pueden mover al gusto arrastrando los cuadros con el raton. La figura 7 .3 muestra esta red de proyecto despues de colocar los cuadros de actividades en las mismas ubicaciones que Jos nodos correspondientes de la figura 7 .1 ( excepto que no se incluyen cuadros para el inicio y la terminaci6n del proyectoi Observe que cada cuadro proporciona mucha informaci6n acerca de la actividad. DespuC.s de dar el nombre, el segundo rengl6n muestra el rnimero de actividad y su duraci6n. El ultimo rengl6n da los tiempos de inicio y terminaci6n programados.

MS Proyect tambien da informaci6n adicional de los tipos descritos en algunas seccil>" nes subsecuentes. Se destacara esto conforme surja. Sin embargo, en vez de continuar des- plegando la forma de los resultados en las secciones siguientes, se explicara con el archiVO de MS Project para este capftulo incluido en el MS Courseware.

La

(A) Excavate .~ ':~ 1 2wks . ' Wl/1 W2/5 -:.

'-1 ' (B) Foundation 1t 2 4wks

W3/1 W6/5 .:_( ~ ' (C) Rough wall -6

3 lOwks W7/l Wl6/5 c:

(D) Roof (E) Exterior plumbing (I) Electrical work ' 4 6wks 5 4wks 10 I 1 wks ' Wl7/l W22/5 Wl7/l W20/S Wl7/1 I W23/5 ,,

Ir t t (G) Exterior siding (F) Interior plumbing (J) Wallboard 8 7 wks 7 ISwks i--.. 11 l8wks W23/l W29/5 W21/1 I W25/5 W26/l I W33/5 -, /

Las seis rutas a traves de la red del proyecto en la figura 7, l es tan dadas en la tabla 7 .2, jun to con los calculus de las longitudes de estas rutas. Las longitudes de rutas estan entre 31 y 44 semanas para la ruta mas larga (la cuarta en la tabla).

Entonces dadas estas longitudes de rotas, t.cuAf cree debaser la duracion (estimada) def proyecto (el tiempo total requerido para el proyecto)? El razonamiento es el siguiente.

Como las actividades de una rota dada deben realizarse una despues de otra sin traslaparse, la duraci6n def proyecto no puede ser menor que la longitud de la rota." Sin embargo, la duraci6n del proyecto puede ser mayor porque alguna actividad en la rota con multiples predecesores inmediatos tenga que esperar mas para que termine una predecesora inmediata que.no esta en la rota, aunque los de la ruta hayan terminado. Por ejemplo, con-

Una ruta a craves de una red de proyecto es una de las rutas sigulendo las flechas (arcos) desde el nodo inicial hasta el nodo final. La longitud de umr ruta es la suma de las duraciones (estima- das)de las actividades en la ruta.

lCuanto tiempo debe tomar el proyecto? Ya se setial6 que la suma de las duraciones de todas las actividades da un gran total de 79 semanas. Sin embargo, esta no es la respuesta a la pregunta porque algunas de ellas pueden realizarse (mas o menos) en form.a simultanea.

Lo que es relevante es la longitud de cada ruta a traves de la red.

La naa critica

La red del proyecto enla figura 7.1 permite contestar todas las preguntas con dos piezas de informacion crociales: el orden en que deben realizarse ciertas actividades y la

duraci6n (estimada) de cada actividad. Se comienza por analizar las preguntas 2 y 5.

Pregunta 2: (.Cua! es el tiempo total requerido para terminar el proyecto si no ocurren retrasos? Pregunta 3: lCuando necesitan iniciar y terminar las actividades individuales (lo mas tarde) para cumplir el tiempo de terrninaci6n de este proyecto? Pregunta 4: lCuil.ndo pueden iniciar y terminar las actividades individuales (lo mas pronto) si no ocu.rren retrasos? Pregunta 5: (.Cuales son las actividades criticas de cuello de botella donde deben evitarse retrasos para no retrasar la terminaci6n de! proyecto? . Pregunta 6: Para las otras actividades, (.Cuanto retraso se puede tolerar sin retrasar la rennina- ci6n de! proyecto?

Al final de la secci6n 7.1, se mencion6 que el Sr. Perty, gerente de proyecto de Reliable Construction, Co., quiere contestar una serie de preguntas y usara PERT/CPM como el mejor metodo para obtener las respuestas. Su primera pregunta fue contestada en la seccion anterior. Las siguientes cinco preguntas seran contestadas en esta secci6n.

7.3 Programad6n de un proyecto con PERT/CPM

l Cuales son los tres tipos de informaci6n que debe co'municar una = pro ecto? lCual es la diferencia entre una red de proyecto de actividad-en-arco ( y una red de proyecto de actividad-en-nodo (AEN)? t.Que tipo se usa aqui? l Que muestran las barras _de una grafica de Gantt?

1. 2.

295 7.3 Programacion tJe un proyecto con PERTICPM

JEBGResaltado

JEBGResaltado

Con esto se contestan las preguntas 2 y 5 del Sr. Perty dadas al principio de la secci6n. Si no ocurren retrasos, el tiempo total requerido para terminar el proyecto debe ser alrede- dor de 44 semanas. Mas aun, las actividades en la ruta critica son las actividades criticas de cuello de botella donde debe evitarse cualquier retraso en su terminaci6n para no retrasar la terminaci6n del proyecto. Esta es informaci6n valiosa para el Sr. Perty puesto que 1 sabe que debe de centrar la mayor parte de su atenci6n en mantener estas actividades a tiempo para mantener a tiempo el proyecto completo. Mas aun, si decide reducir la duraci6n del proyecto (recuerde ese bono por la terminaci6n en 40 semanas), estas son las actividades principales donde deben de efectuarse los cambios para reducir sus duraciones.

Para redes de proyectos pequeii.os como el de la fi.gura 7 .1, encontrar todas las rutas Y determinar la ruta mas larga es una forma conveniente de identificar la ruta critica. Sin embargo, este no es un procedimiento eficiente para proyectos mas grandes. PERT/CPM usa en su lugar un procedimiento mucho mas eficiente.

No s6lo el procedimiento PERT/CPM es muy eficiente para proyectos mas grandes. tambien proporciona mas informaci6n de la disponible con la busqueda de todas las rutas. En particular, contesta las cinco preguntas del Sr. Perty listadas al principio de la secci6o en

Ruta critica: Inicio~A-+B-+C-+E-+F-+J-+L-+N-+Tenninaci6n Duraci6n (estimada) del proyecto = 44 semanas

Asf, para el proyecto de Reliable Construction, Co, se tiene

La duracion de[ proyecto (estimada) es igual a la longitud de la ruta mas larga a traves de la red del proyecto. Esta ruta mas Iarga se llama ruta crltica, (Si mas de una ruta empata como la mas Iarga, todas son rutas crfticas.)

sidere la segunda ruta en la tabla 7.2 y analice la actividad H. Esta actividad ti.ene dos predecesores inmediatos, una (la actividad G) no en la ruta y otra (la acti.vidad E) queesu en la ruta. Despues de que tennina la actividad C, s6lo se precisan 4 semanas mas para la actividad E, pero se necesitaran 13 para acabar la actividad Dy luego la actividad G. Por ello, la duraci6n del proyecto tiene que ser considerablemente mas larga que la longitud de la segunda ruta en la tabla.

No obstante, la duraci6n del proyecto no sera mas larga que una ruta en particular. Esta es la ruta mas larga a traves de la red del proyecto. Las actividades en esta ruta pueden realizarse en secuencia sin interrupci6n. (De otro modo, esta no serfa la ruta mas larga). Por lo tan to, el tiempo requerido para llegar al nodo de terminaci6n es igual a la longitud de esta ruta. Mas atin, todas las rotas mas cortas llegaran al nodo de terminaci6n cuando mucho al mismo tiempo.

La conclusi6n clave es:

2 +4 + 10 + 6 + 7 + 9 +2=40 2+4+10+4+9+2=31 2+4+10+4+5+8+4+6=43 ' ~ 2+4+10+4+5+8+5+6=~ 2+4+ 10+7+8+4+6=41 2+4+ 10+7+8+5+6=42

Jnicio-.A-:+B-+C-+D-+G-+H~M~Final Jiricio-.A-+B-+C-+E-+:H-+M-+Final J.nicio-.A-+B-+C:-+E-+F-+J-+K-+N-+Enal lajcio-+A:-+B-+C~E-+F-+J-+L-+N-+Fmal Inicio-+A-+B-+C-+1-+J-+K-+N-+Final Inicio-.A~B-+C-+1-+J-+L-+N-+Final

Extension (semanas) Rwa

~ TABLA 7 .2 Las rotas y extension es de estas a traves de la red del proyecto Reliabi;:~ .' '

Capltulo 7 l'.dminisrr.-:-ij:: d: ,,.-r:-JcLivs con P::.N1.'CPM 296

JEBGResaltado

JEBGResaltado

JEBGResaltado

Esta regla (mas el calculo de cada TC) da en seguida IC y TC para la actividad C, luego para las actividades D, E, I y luego tambien para las actividades G, F. La figura 7.4 muestra IC y TC para cada una de estas actividades a la derecha de su nodo. Par ejernplo,

IC para la actividad =TC para el predecesor inmediato

Si una actividad tiene un solo predecesor inmediato, entonces

Este calculo de IC para la actividad B ilustra la primera regla para obtener IC.

Actividad B: IC =TC para la actividad A =2

TC= 2 + duraci6n (4 semanas) =6

donde la duraci6n (en semanas) de la actividad A esta dada en la figura 7.1 como el mimero en negritas al !ado de la actividad. La actividad B puede comenzar en cuanto termina la actividad A, de modo que

Actividad A: IC = 0 TC= 0 + duraci6n (2 semanas)

=2

Como la actividad A inicia el proyecto de Reliable se tiene que

Tiempo de inicio del proyecto = 0

En vez de asignar fechas a estos tiempos, se usara la eonvencion de contar el mimero de periodos (semanas para el proyecto de Reliable) desde que inicia el proyecto. Entonces,

TC =IC+ duraci6n (estimada) de la actividad

donde

IC = tiempo de inicio mas cercano para una actividad dada TC= tiempo de terminaci6n mas cercano para una actividad especffica

El procedimiento de planeaci6n PERT/CPM comienza abordando la pregunta 4: lCuando pueden comenzar y terminar las actividades individuales (lo mas pronto) si no ocurren retrasos? No tener retrasos significa que (1) la duraci6n real de cada actividad es. la misma que la duraci6n estimada y (2) cada actividad comienza tan pronto terminan todos sus predecesores. Los tiempos de inicio y terminaci6n de cada actividad si no ocurren retrasos en alguna parte de! proyecto se llaman tiempo de inicio mas cercano y tiempo de. termina- ci6n mas cercano de la actividad. Estos tiempos se representan por los sfmbolos

p,.ogramacion dt actividades uuJividuafeS

,..-----....... lugar de s61o dos. Estas respuestasdan la informaci6n esencial necesaria para planear todas las actividades y luego evaluar las consecuencias en caso de que se retrasen algunas.

Las componentes de este procedimiento se describen en el resto de esta secci6n.

297 7 . .i -Programacion de un'proyecto con PERT/CPM

JEBGResaltado

IC para la actividad H =TC mas grande en el calculo anterior =29

Por lo tanto,

Actividad G tiene TC = 29 Actividad E tiene TC = 20

TC mas grande = 29

lo que significa que esta actividad (recubrimiento exterior) debe de comenzar 22 semanas Y terminar 29 semanas despues del inicio de! proyecto. ~

Ahora considere la actividad H, que tiene dos predecesores inmediatos, las actividades G y E. La actividad H tiene que esperar para comenzar hasta que ambas actividades G YE terminen, lo que da el siguiente calculo.

Predecesor inmediato de la actividad H:

Actividad G: IC =TC para la actividad D = 22 TC= 22 + duraci6n (7 semanas) = 29

.>. K 4 YJS

N 6

. t. r t L l t l l FJGa \Wan core: l te:nnl: pan;; " los1'1ll ~ t Reiia.: ..

7 IC= 16 TC=23

IC= 2 TC=6

T' f'A\2 IC=O \J TC=2 i ~ 10

Capitulo 7 Adminisrracion de /nvyei..v;-.,_TJ,t PERT.'cPM - -

FIGURA 7.4 Va/ores del tiempo de inicio mds cercano (IC) y tiempo de terminacion mds cercano (TC) para Las actividades iniciales de la figura 7.1 que tienen un solo predecesor inmediaio.

298

IC= 44 ..__ _, O TC= 44

~7 IC=22 \TC~2' 7IC=16 TC=23

[So IC=O t TC=O 02 IC=O t TC=2 r 4 IC=2 TC=6 lO IC= 6 c TC= 16

Cuando la actividad tiene un solo predecesor inmediato, esta regla se vuelve la misma que la primers regla dada. Sin embargo, tambien pennite cualquier mimero mayor de predecesores inmediatos. Aplicando esta regla al resto de las actividades en la figura 7.4 (y calcu- laodo cada TC a partir de IC) se obtiene el conjunto completo de valores IC y TC dado en la figura 7.5.

Observe que la figura 7 .5 tambien incluye val ores de IC y TC para los nodos de inicio y terminaci6n. La raz6n es que estos nodos, por convenci6n, se tratan como actividades ficticias que no requieren tiempo. Para el nodo de. inicio, IC = 0 = TC automaticamente. Para el nodo de terminaci6n, la regla del tiempo de inicio mas cercano se usa para calcular IC en la forma usual, como se ilustra en la pagina que sigue.

IC = TC mas grande de los predecesores inmediatos

El tiempo de inicio mas cercano de cualquier actividad es igual al mayor tiempo de tenninaci6n mas Cerc~O de SUS predecesores inmediatos. En sfmbolos,

REGLA DEL TIEMPO DE INICIO MAS CERCANO

Este calculo ilustra la regla general para obtener el tiempo de inicio mas adelantado para cualquier actividad.

299 7.3 P,;gramaci6n'~ ~ proyicto c~n PERTICPM

FlcURA 7.5 ~rts de tiempo de inicio mas arcana (IC) y tiempo de tmninaci6n mds cercano (TC) prlJ'O todas las actividades (mds b nodos de inicio y ID"linaci6n) del proyecto de iWDble Construction, Co.

JEBGResaltado

El tiempo de inicio mas lejano para una actividad es el tiempo mas tardfo en que puede comenzar sin retrasar la terrninaci6n del proyecto (de modo que aun se llega al nodo de terrnine-

Una vez encontrados los tiempos de inicio y terminacion mas cercanos se quiere contestar la pregunta 3 encontrando los tiempos de inicio y terminacion mas Jejanos que aun permitan terminar el proyecto en 44 semanas.

Este proceso de comenzar con las acti vidades iniciales y trabajar hacia adelante en el tiempo hasta las actividades finales se conoce como pasada hacla adelante a traves de la red.

Recuerde que el programa obtenido con este procedimiento supone que la duraci6n real de cada actividad resultara igual a la duraci6n estimada. .Que ocurre si alguna actividad tarda mas de lo esperado? i,Retrasara esto la terminacion del proyecto? Quiza, mas no necesariamente. Depende sobre que actividad y de la longitud del retraso.

La siguiente parte del procedimiento se centra en deterrninar cuanto mas tarde de lo in dicado en la figura 7 .5 puede iniciar y terminar una acti vi dad sin retrasar la terminaci6n de! proyecto.

3. Para cada nueva actividad cuyos predecesores inmediatos tienen ahora valores TC, se obtiene su IC aplicando la regla del tiempo de inicio mas cercano.Luego, se aplicael paso 2 para calcular su TC.

4. Se repite el paso 3 una y otra vez hasta obtener IC y TC para todas las actividades (incluido el nodo de terminaci6n).

Procedimiento para obtener los tiempos mas cercanos para todas las actividades I. Para cada actividad que inicia el proyecto (incluido el nodo de inicio), se establecesu

tiempo de inicio mas cercano como IC = 0. 2. Para cada actividad cuyo valor IC se acaba de obtener, se calcula su tiempo de termina.

ci6n mas cercano como

Este ultimo calculo indica que el proyecto debe terminar en 44 semanas si se mantiene dentro de la programaci6n de los tiempos de inicio y terminaci6n de cada actividad dada en la figura 7 .5. (Esto contesta la pregunta 2.) Ahora el Sr. Perty puede usar este programs para informar a los responsables de la cuadrilla de cada actividad cuando deben planear el inicio y la terminaci6n de su trabajo.

Se da un resumen del procedimiento global para obtener la programaci6n de cualquier proyecto.

TC= IC + duraci6n (estimada) de la actividad.

IC para el nodo de terminaci6n =TC mas grande en el calculo anterior =44

TC para el nodo de terminaci6n = 44 + 0 = 44.

Por lo que,

Actividad M tiene TC = 40 Actividad N tiene TC = 44

TC mas grande = 44

Predecesores inmediatos de! nodo de terminaci6n:

Programacion posterior que evita retrasar la terminacion del proyecto

- 300 -

JEBGResaltado

Actividad H: TL= IL para la actividad M =42

IL = 42 - duraci6n (9 semanas) = 33

(Como la actividad M es una de las actividades que conjuntamente terminan el proyecto, tambien puede establecer su TI... igual al tiempo de terminaci6n mas cercano del nodo de terminaci6n sin aplicar la regla de] tiempo de terminaci6n mas lejano a este nodo.)

Dado que la actividad Mes el iinico sucesor inmediato de la actividad H, ahora puede aplicarse la regla d~l tiempo de terminaci6n mas lejano a la ultima actividad.

Actividad M: TL= IL para el nodo de terminaci6n =44

IL = 44 - duraci6n (2 semanas) =42

Ahora puede aplicarse la regla de] tiempo de terminaci6n mas lejano a la actividad M.

Nodo de terminaci6n: TL= su TC= 44 IL =44-0=44

Puesto que los sucesores inmediatos de una actividad no pueden comenzar hasta que termine la actividad, esta regla dice que la actividad debe terminar a tiempo para pennitir que todos sus sucesores inmediatos corniencen en sus tiempos de inicio mas lejanos.

Por ejemplo, considere la actividad Men la figura 7 .1. Su unico sucesor inmediato es el nodo de terrninaci6n. Debe llegarse a este nodo para el tiempo 44 para terminar el proyecto en 44 semanas, de modo que se cornienza por asignar valores a este nodo como sigue.

TI... = IL menor de los sucesores inmediatos

El tiempo de terminaci6n nias lejano de una actividad es igual al menor de los tiempos de inicio mas lejanos de sus sucesores inmediatos. En sfmbolos,

REGLA DE.TIEMPO DE TERMINACI6N MAS LEJANO Para encontrar TI..., se tiene la siguiente regla.

IL = TL - duraci6n ( estimada) de la actividad don de

IL = tiempo de inicio mas lejano de una actividad dada TL = tiempo de terminaci6n mas lejano de una actividad dada

En sfmbolos,

ci6n ensu tiempo de tenninaci6n mascercano), suponiendo que no hay retrasos subsecuentes en el proyecro. El tiempo de terminaci6n mas lejano.tiene la definici6n correspondienre respecto a la terminaci6n de la actividad.

301 - 7.3 /'rogrumatf6n ck unproyecto con PERTICPM

JEBGResaltado

JEBGResaltado

O IL=44 .__ __, TL= 44

IL= 18 7 TL=25 ~ 6 Il.=20 i TI.2' ~ 7 Il.=26 \TL33

H

IL=2 TL=6

I' ldent(fo : en el pn i

3. Para cada nueva actividad cuyos sucesores inmediatos tienen ahora valores IL, segb. tiene su TL mediante Ia aplicaci6n de la regla del tiempo de terminacion mas lejanq. Luego se aplica el paso 2 para calcular su IL.

4. Se repite el paso 3 una y otra vez hasta obtener TL e IL para todas las actividades (incluido el nodo de inicio), La figura 7.6 muestra los resultados de aplicar este procedimiento hasta su conclusi6o.

Por ejemplo, considere la actividad C, que tiene tres sucesores inmediatos.

IL= TL- duraci6n (estimada) de la actividad

., Obs

metodos2

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