metodos numericos en mineria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

CÁLCULO DEL TIEMPO UTILIZADO POR LOS CAMIONES PARA EL TRANSPORTE DE MINERAL ATRAVES DE UNA RAMPA EN ESPIRAL DESDE EL NIVEL MAS BAJO DE UNA MINA SUBTERRANEA HACIA LA PLANTA DE TRITURACIÓN HACIENDO USO DE LAS FORMULAS DE NEWTON - COTES

O López Herrera, PersiO Mayhua Flores, HenrryO Medina Ulloa, FidelO Villanueva Pino, Jheferson

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas, Universidad Nacional de TrujilloAv. Juan Pablo II s/n, La Libertad, Trujillo, Perú

RESUMEN

El presente trabajo de investigación tiene por objeto determinar el tiempo empleado por los camiones para trasladar el mineral a través de una rampa que tiene la forma de espiral del nivel más bajo de una mina subterránea hacia la planta de trituración (ubicada en la superficie); teniendo como dato la velocidad promedio de cada camión 5Km/h. Para ello conociendo la función empleada en el diseño de la rampa y valiéndonos de las reglas del cálculo diferencial e integral; así como también utilizando el método de cuadratura numérica (fórmulas de Newton – Cotes), encontramos la longitud de toda la trayectoria de la rampa, siendo antes esta seccionada en partes y empleando la fórmula que más nos convenga para minimizar errores. Una vez obtenido la longitud total de la rampa y conociendo la velocidad promedio de cada camión de carga, hacemos uso de las leyes de las leyes de la dinámica de la física clásica para calcular el tiempo empleado por cada camión en su recorrido en la trayectoria de salida. Nos fue posible conocer el tiempo siendo este de gran importancia para minimizar costos y mejorar la productividad de la empresa minera.

INGENIERÍA DE MINAS

1


PARAMETROS Y CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UNA RAMPA EN ESPIRAL PARA MINIMIZAR EL TIEMPO DE TRASLADO DE MINERAL DE UNA SECCION DE LA MINA HACIA LA PLANTA DE TRITURACION

Al diseñar la construcción de una rampa en espiral para el acceso a una mina subterránea se debe considerar diversos parámetros tales como: la sección, radio de curvatura, longitud total, peralte y declive.Lo más recomendable en su diseño es que las curvas de las rampas deban tener un radio de curvatura grande; estor radios se eligen en razón a los equipos a emplearse.La longitud total de la rampa es otra de las características primordiales en el desarrollo de esta; teniendo en cuenta que atreves de ella circula todo el equipo motorizado y nos sirve como medio de transporte de todo el mineral hacia la planta de trituración. De la longitud de la rampa así como su gradiente depende el menor o mayor tiempo en que los camiones empleen en transportar el material producto del minado; puesto que si se disminuye el tiempo de transporte, entonces aumenta la productividad de la empresa minera.Para ello con el fin de obtener una rampa en espiral que cumpla con todas las condiciones antes mencionadas se emplea en su diseño la siguiente función parametrizada:

f (a )=(100cos ( t );100 sen ( t );10√ t) t∈ [1,22 ]

Basándose en estos datos necesitamos conocer el tiempo empleado por los camiones en recorrer todo el trayecto de la rampa, puesto que como se mencionó anteriormente conocer tal dato es de gran importancia. Se debe de tener en cuenta que durante el recorrido los camiones se trasladan a una velocidad demasiado lenta que en promedio alcanza 5Km/h

SOLUCIÒN:PASO Nº1

Teniendo como datos la curva parametrizada

{x=100cos ty=100sin tz=10√ t

Aplicamos la integral de línea para encontrar la longitud de la curva, así tenemos:

L=∫ ds=√[( dxdt )2

+( dydt )2

+( dzdt )2]dt…………………………(1)


2


Donde:

Luego:

{α⃗ (t )=(100cos t ,100 sent ,10√ t )

α⃗ ´ (t )=(−100sin t ,100cos t , 102√t )‖α⃗ ´ (t )‖=√[ (−100sin t )2+ (100cos t )2+( 102√ t )

2]dt

Como sabemos;

ds=‖α⃗ ´ (t )‖dt=√[ (−100sin t )2+ (100cos t )2+( 102√ t )2] dt

Utilizando la ecuación (1) nos queda:

L=∫ ds=∫ √(−100sin t )2+ (100cos t )2+( 102√ t )2

dt

L=∫ ds=∫1

22

√1002 ( sen2 t+cos2t )+ 25tdt

L=∫ ds=∫1

22

√1002+ 25t dtL=∫ ds=∫

1

22

√400+1t dt

L=∫ ds=∫1

22

√ 400 t+1tdt ……………….……………………(2)


3

α⃗ ´ (t){dxdt

=−100sin t

dydt

=100cos t

dzdt

= 102√ t

α⃗ (t){x=100cos ty=100 sentz=10√t


PASO Nº2

Para desarrollar la integral (2) hacemos uso de la integración numérica y en este caso

daremos solución a la integral mediante la regla de los 38

de Simpson.

∫1

22

f ( t )dt=∫1

22

√ 400 t+1tdt=∫

1

2.5

f (t )+∫2.5

4

f ( t )+∫4

5.5

f ( t )+∫5.5

7

f (t )+∫7

8.5

f (t )

+∫8.5

10

f (t )+…+∫13

14.5

f (t )+∫14.5

16

f (t )+∫16

17.5

f ( t )+∫17.5

19

f (t )+∫19

20.5

f (t )+∫20.5

22

f (t)

Entonces:

∫1

22

5√ 400 t+1tdt=∫

1

2.5

5√ 400 t+1tdt+∫

2.5

4

5√ 400 t+1tdt+¿

+∫4

5.5

5√ 400 t+1tdt+…+∫

19

20.5

5√ 400 t+1tdt+∫

20.5

22

5√ 400 t+1tdt

Ahora evaluamos para cada caso usando la regla de los 38

de Simpson

El valor de h es constante ya que los puntos se encuentran espaciados a 0.5 Por lo tanto h = 0.5

1¿ .∫1

2.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (1 )+3 f (1.5 )+3 f (2 )+f (2.5)]

= 3∗0.58

[100.1249+300.2499+300.1874+100.0500 ]

¿150.1148


4


2¿ .∫2.5

4

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (2.5 )+3 f (3 )+3 f (3.5 )+ f (4)]

¿ 3∗0.58

[100.0500+300.1250+300.1071+100.0312 ]

¿150.058

3¿ .∫4

5.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (4 )+3 f (4.5 )+3 f (5 )+f (5.5) ]

¿ 3∗0.58

[100.0312+300.0833+300.0750+100.0227 ]

¿150.0398

4 ¿ .∫5.5

7

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (5.5 )+3 f (6 )+3 f (6.5 )+ f (7) ]

¿ 3∗0.58

[100.0227+300.0625+300.0577+100.0179 ]

¿150.0301

5¿ .∫7

8.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (7 )+3 f (7.5 )+3 f (8 )+f (8.5)]

¿ 3∗0.58

[100.0179+300.0500+300.0469+100.0147 ]

¿150.0243

6¿ .∫8.5

10

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (8.5 )+3 f (9 )+3 f (9.5 )+ f (10)]

¿ 3∗0.58

[100.0147+300.0417+300.0395+100.0125 ]

¿150.0203


5


7¿ .∫10

11.5

5√ 400 t+1tdt=3 h

8[ f (10 )+3 f (10.5 )+3 f (11)+ f (11.5)]

¿ 3∗0.58

[100.0125+300.0 .357+300.0341+100.0109 ]

¿150.0175

8¿ .∫11.5

13

5√ 400 t+1tdt=3 h

8[ f (11.5 )+3 f (12 )+3 f (12.5 )+ f (13)]

¿ 3∗0.58

[100.0109+300.0312+300.0300+100.0096 ]

¿150.0153

9¿ .∫13

14.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (13 )+3 f (13.5 )+3 f (14 )+ f (14.5) ]

¿ 3∗0.58

[100.0096+300.0278+300.0268+100.0086 ]

¿150.0136

10¿ .∫14.5

16

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (14.5 )+3 f (15 )+3 f (15.5 )+ f (16)]

¿ 3∗0.58

[100.0086+300.0250+300.0242+100.0078 ]

¿150.0123


6


11¿ .∫16

17.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (16 )+3 f (16.5 )+3 f (17 )+ f (17.5)]

¿ 3∗0.58

[100.0078+300.0227+300.0221+100.0071 ]

¿150.0112

12¿ .∫17.5

19

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (17.5 )+3 f (18 )+3 f (18.5 )+f (19)]

¿ 3∗0.58

[100.0071+300.0208+300.0203+100.0066 ]

¿150.0103

13¿ .∫19

20.5

5√ 400 t+1tdt=3h

8[ f (19 )+3 f (19.5 )+3 f (20 )+ f (20.5)]

¿ 3∗0.58

[100.0066+300.0192+300.0187+100.0061 ]

¿150.0095

14¿ .∫20.5

22

5√ 400t+1tdt=3h

8[ f (20.5 )+3 f (21 )+3 f (21.5 )+ f (22)]

¿ 3∗0.58

[100.0061+300.0179+300.0174+100.0057 ]

¿150.0088


7


Por lo tanto obtenemos:

∫1

22

5√ 400 t+1tdt=¿∫

1

2.5

f (t )+∫2.5

4

f ( t )+∫4

5.5

f (t )+∫5.5

7

f ( t )+∫7

8.5

f (t )+∫8.5

10

f ( t )+…¿

+∫13

14.5

f (t )+∫14.5

16

f (t )+∫16

17.5

f ( t )+∫17.5

19

f (t )+∫19

20.5

f (t )+∫20.5

22

f (t)

∫1

22

5√ 400 t+1tdt=¿2100.3866m……………………….(3)¿

PASO Nº3

Para determinar el tiempo empleado por un camión en transportar el mineral atraves de la rampa, utilizamos la ecuación física (4).

t=dv………………………(4)

Teniendo como dato la velocidad promedio (10Km/h¿ y la longitud de la rampa en la ecuación (3), reemplazamos en la expresión (4)

t=2100.3866m5 km /h

x1km1000m

=0.42h=25min12 s

III).CONCLUSIONES


8


I. BIBLIOGRAFIA O [ Burd02] Burden - Faires. Análisis númerico. 7va.Ed., Thomson Editores.

Capítulo 4.O [Chap10] C. Chapra, P. Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 6ta. Ed.

McGraw- Hill Editores. Parte 6.


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