métodos matemáticos avanzados
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7/25/2019 Mtodos matemticos avanzados
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Metodos Matematicos Avanzados
Facultad de Economa y Negocios - Universidad de Chile
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Contenidos
Preliminares
Topicos de Algebra Lineal
Topicos de Calculo Multivariado
Optimizacion sin Restricciones
Optimizacion con Restricciones
Optimizacion Dinamica
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Contenidos
PreliminaresTrigonometraNumeros Complejos
Topicos de Algebra Lineal
Topicos de Calculo Multivariado
Optimizacion sin Restricciones
Optimizacion con Restricciones
Optimizacion Dinamica
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Trigonometra
Considere el triangulo rectanguloOABde la figura.Definiremosfunciones trigonometricasasociadas a cada uno de los angulosagudos del trianguloOAB.Estas funciones, llamadas seno, coseno y tangente, se obtendran a partir de lasrazones entre los lados delOAB.
-1
1
1-1
a
B
O A
C
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Trigonometra
Aunque es posible medir los angulos en grados sexagesimales, nosotros siemprelos representaremos en radianes.
Esto nos permitira asociar el tamano del angulo con el segmento de
circunferencia que este abarca.
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Trigonometra
Aunque es posible medir los angulos en grados sexagesimales, nosotros siemprelos representaremos en radianes.
Esto nos permitira asociar el tamano del angulo con el segmento de
circunferencia que este abarca.La relacion entre grados sexagesimales y radianes viene dada por:
a radianes
180a
.
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Funcion Seno
Elseno del angulo a se define como
la razon entre el cateto opuesto ABy la hipotenusa OB:
sen(a) = AB
OB.
Como el angulo se mide en radianes,el dominio de la funcion seno es R,y su recorrido es el intervalo [1, 1].
La funcion seno es periodica, puessus valores se repiten en cada vueltaal crculo unitario:
sen(a) =sen(a+ 2).
-1
1
1-1
a
B
O A
C
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Funcion Coseno
Elcoseno del angulo a se define co-
mo la razon entre el cateto adyacen-te OAy la hipotenusa OB:
cos(a) = OA
OB.
El dominio de la funcion coseno esR, mientras que su recorrido es elintervalo [1, 1].
La funcion coseno es periodica, puessus valores se repiten en cada vueltaal crculo unitario:
cos(a) =cos(a+ 2).
-1
1
1-1
a
B
O A
C
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Funcion Tangente
La tangente del angulo a se definecomo la razon entre AB y OA.
tan(a) = AB
OA=
sen(a)
cos(a).
Note que la funcion tangenteesta definida para los angulos quetienen un coseno diferente de cero.
Cuando circunscribimos
AOB auna circunferencia unitaria, por si-militud de triangulos tenemos quetan(a) =DC.
-1
1
1-1
a
B
O A
C
D
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Seno y CosenoGraficos
Note que sen(x) =cos
x+ 2
.
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TangenteGrafico
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Ejercicio
Complete la siguiente tabla:
Radianes Grados sen cos tan0 0o 0
/6 1/2 3/345o
2/2 1
/3 60o 1/2
/2 1 +
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Identidades Fundamentales
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Identidades Fundamentales
Las siguientes identidades son muy utiles al trabajar con funcionestrigonometricas:
sen2(x) +cos2(x) = 1,
sen(x y) = sen(x)cos(y) cos(x)sen(y),cos(x y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y),
sen(2x) = 2sen(x)cos(x),
cos(2x) = cos2(x) sen2(x).
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Identidades Fundamentales
Pitagoras 2.0:
sen2(x) +cos2(x) = AB2
+OA2
OB2
= 1
-1
1
1-1
a
B
O A
C
D
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Identidades FundamentalesDados angulos x e y, considere la siguiente figura donde AD= 1:
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Identidades FundamentalesDados angulos x e y, considere la siguiente figura donde AD= 1:
Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.
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Identidades FundamentalesDados angulos x e y, considere la siguiente figura donde AD= 1:
Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.Ademas, como AD= 1,
sen(x) = BC
cos(y), cos(x) =
BF
sen(y).
Id id d F d l
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Identidades FundamentalesDados angulos x e y, considere la siguiente figura donde AD= 1:
Por construccion, tenemos que sen(x+y) =DE=DF+BC.Ademas, como AD= 1,
sen(x) = BC
cos(y), cos(x) =
BF
sen(y).
Por lo tanto,sen(x+y) =sen(x)cos(y) +cos(x)sen(y).
D i d d l F i T i i
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Queremos probar que las funciones trigonometricas son derivables y encontrarformulas para sus derivadas.
D i d d l F i T i t i
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Queremos probar que las funciones trigonometricas son derivables y encontrarformulas para sus derivadas.
Note que, por la regla de la cadena, es suficiente encontrar las derivadas de lasfunciones senoy coseno:
sen(x) := lmh0
sen(x+h) sen(x)h
cos
(x) := lmh0
cos(x+h)
cos(x)
h
D i d d l F i T i t i
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Queremos probar que las funciones trigonometricas son derivables y encontrarformulas para sus derivadas.
Note que, por la regla de la cadena, es suficiente encontrar las derivadas de lasfunciones senoy coseno:
sen(x) := lmh0
sen(x+h) sen(x)h
cos
(x) := lmh0
cos(x+h)
cos(x)
h
Ahora, usando las identidades trigonometricas, dado h = 0 obtenemos quesen(x+h) sen(x)
h = sen(x)
cos(h) 1
h
+cos(x)
sen(h)
h
cos(x+h) cos(x)h
= cos(x)
cos(h) 1
h
sen(x)
sen(h)
h
Por tanto, basta encontrar el lmite cuando h converge a cero de lasexpresiones entre parentesis.
D i d s d l s F i s T ig t i s
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Note que:
areaOBC area de la region OBC areaODC
sen(a) a tan(a)
-1
1
1-1
a
B
O A
C
D
Derivadas de las Funciones Trigonometricas
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Por lo tanto, como
sen(a) a tan(a),obtenemos que:
cos(a) sen(a)a 1Comocos(0) = 1, concluimos que
lma0
sen(a)
a = 1.
Derivadas de las Funciones Trigonometricas
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
A partir de este resultado, tenemos que
lmx0
cos(x) 1x
= lmx0
cos(x) 1x
cos(x) + 1
cos(x) + 1
= lmx0
cos2(x) 1x(cos(x) + 1)
= lmx0
sen2(x)x(cos(x) + 1)
= lmx0
sen(x)
x lm
x0
sen(x)(cos(x) + 1)
= 0.
Derivadas de las Funciones Trigonometricas
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Derivadas de las Funciones Trigonometricas
Por lo tanto, las derivadas de las funciones senoy cosenovienen dadas por:
sen(x) = sen(x)
cos(h) 1
h
+cos(x)
sen(h)
h
= cos(x)
cos
(x) = cos(x)cos(h) 1h sen(x)
sen(h)
h
= sen(x)
Ademas, la regla de la cadena nos permite concluir que
tan(x) = 1
cos2
(x)
.
Arcoseno Arcocoseno y Arcotangente
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Arcoseno, Arcocoseno y ArcotangenteEn ocaciones es necesario conocer el angulo (en radianes) asociado a un valornumerico para alguna de las funciones trigonometricas.
Arcoseno Arcocoseno y Arcotangente
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Arcoseno, Arcocoseno y ArcotangenteEn ocaciones es necesario conocer el angulo (en radianes) asociado a un valornumerico para alguna de las funciones trigonometricas.
Por esta razon, se definen las siguientes funciones:
Arcosenoes la funcion inversa del seno:arcsen(x) : [1, 1]
2,
2
,
arcsen(sen(a)) =a, sen(arcsen(z)) =z.
Arcoseno Arcocoseno y Arcotangente
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Arcoseno, Arcocoseno y ArcotangenteEn ocaciones es necesario conocer el angulo (en radianes) asociado a un valornumerico para alguna de las funciones trigonometricas.
Por esta razon, se definen las siguientes funciones:
Arcosenoes la funcion inversa del seno:arcsen(x) : [1, 1]
2,
2
,
arcsen(sen(a)) =a, sen(arcsen(z)) =z.
Arcocosenoes la funcion inversa del coseno:arcos(x) : [1, 1] [0, ],
arcos(cos(a)) =a, cos(arcos(z)) =z.
Arcoseno Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Arcoseno, Arcocoseno y ArcotangenteEn ocaciones es necesario conocer el angulo (en radianes) asociado a un valornumerico para alguna de las funciones trigonometricas.
Por esta razon, se definen las siguientes funciones:
Arcosenoes la funcion inversa del seno:arcsen(x) : [1, 1]
2,
2
,
arcsen(sen(a)) =a, sen(arcsen(z)) =z.
Arcocosenoes la funcion inversa del coseno:arcos(x) : [1, 1] [0, ],
arcos(cos(a)) =a, cos(arcos(z)) =z.
Arcotangentees la funcion inversa de la tangente:
arctan(x) : (,)
2,
2
,
arctan(tan(a)) =a, tan(arctan(z)) =z.
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
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Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que
g
(y)f
(x) = 1 = g
(y) = 1
f (g(y)) .
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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, y g
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que
g
(y)f
(x) = 1 = g
(y) = 1
f (g(y)) .
Al aplicar este resultado a los funciones trigonometricas inversas, obtenemos:
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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, y g
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que
g
(y)f
(x) = 1 = g
(y) = 1
f (g(y)) .
Al aplicar este resultado a los funciones trigonometricas inversas, obtenemos:
arcsen(y) = 1
1 y
2
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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, y g
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que
g
(y)f
(x) = 1 = g
(y) = 1
f (g(y)) .
Al aplicar este resultado a los funciones trigonometricas inversas, obtenemos:
arcsen(y) = 1
1 y
2, arccos(y) =
1
1 y2
Derivadas de Arcoseno, Arcocoseno y Arcotangente
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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y g
Si ges la funcion inversa de f, entonces para todo xen el dominio de ftenemos que g(f(x)) =x.
Por lo tanto, si y =f(x), derivando y aplicando la regla de la cadena,obtenemos que
g
(y)f
(x) = 1 = g
(y) = 1
f (g(y)) .
Al aplicar este resultado a los funciones trigonometricas inversas, obtenemos:
arcsen(y) = 1
1 y
2, arccos(y) =
1
1 y2, arctan(y) =
1
1 +y2.
Aplicacion
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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La circunferencia de la Tierra
Aplicacion
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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La circunferencia de la Tierra
En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.
Aplicacion
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La circunferencia de la Tierra
En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.
Hoy, con nuestro instrumental moderno, sabemos que Eratostenes seequivoco en menos de 100 km.
Aplicacion
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La circunferencia de la Tierra
En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.
Hoy, con nuestro instrumental moderno, sabemos que Eratostenes seequivoco en menos de 100 km.
Como lo hizo? Aplicando trigonometria!!!!
Aplicacion
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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La circunferencia de la Tierra
En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.
Hoy, con nuestro instrumental moderno, sabemos que Eratostenes seequivoco en menos de 100 km.
Como lo hizo? Aplicando trigonometria!!!!
Todo comenzo en la Biblioteca de Alejandra, donde Eratostenes encontro undato aparentemente irrelevante: en Siena (800 km al sureste de Alejandra) unavara no produca sombra al medio dia del solsticio de verano.
Aplicacion
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La circunferencia de la Tierra
En el ano 250 a.c., Eratostenes infirio que la Tierra no es plana y estimo en40.000 km el tamano de su circunferencia, utilizando dos varas y un batallon dehombres contando pasos.
Hoy, con nuestro instrumental moderno, sabemos que Eratostenes seequivoco en menos de 100 km.
Como lo hizo? Aplicando trigonometria!!!!
Todo comenzo en la Biblioteca de Alejandra, donde Eratostenes encontro undato aparentemente irrelevante: en Siena (800 km al sureste de Alejandra) unavara no produca sombra al medio dia del solsticio de verano.
Con alma cientfica, su curiosidad lo llevo a comprobar que esto no era ciertoen Alejandra.
Aplicacion
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La circunferencia de la Tierra
AplicacionL f d l T
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La circunferencia de la Tierra
As, suponiendo correctamente que el Sol estaba a una gran distancia, y que portanto sus rayos llegaban en forma casi paralela a la tierra, se dio cuenta que launica forma de conciliar las dos observaciones era que la tierra no fuera plana.
AplicacionL i f i d l Ti
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La circunferencia de la Tierra
As, suponiendo correctamente que el Sol estaba a una gran distancia, y que portanto sus rayos llegaban en forma casi paralela a la tierra, se dio cuenta que launica forma de conciliar las dos observaciones era que la tierra no fuera plana.
AplicacionL i f i d l Ti
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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La circunferencia de la Tierra
No se quedo conforme con eso.
AplicacionLa ci c fe e cia de la Tie a
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La circunferencia de la Tierra
No se quedo conforme con eso.
Instalando una vara de tamano y en Siena, midio el angulo que los rayos de solformaban con la vara al medio da del solsticio de verano.
a
y
x
a=cotan
x
y
= 7,2o
AplicacionLa circunferencia de la Tierra
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La circunferencia de la Tierra
Luego, estimo en 800 km la distancia entre ambas ciudades.
AplicacionLa circunferencia de la Tierra
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La circunferencia de la Tierra
Luego, estimo en 800 km la distancia entre ambas ciudades.
Asumiendo que la Tierra era esferica, utilizo estos datos para calcular eltamano de su circunferencia.
800 km
a
a
800 = 7,2
360X = X = 40,000
Numeros Complejos
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Numeros Complejos
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Numeros Complejos
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.
Numeros Complejos
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
-
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
-
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
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Las soluciones a la ecuacion ax2 +bx+c= 0 estan dadas por:
b+
b2
4ac
2a , b
b2
4ac
2a .
Note que estas expresiones son numeros reales si y solamente si b2 4ac 0.Entonces, no hay solucion para la ecuacion cuadratica cuando b2 4ac
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Numeros Complejos
http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bson
numeros reales.
Numeros Complejos
fi
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.
Numeros Complejos
D fi i i
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.
Dado un numero complejoz=a+bi, suconjugadose define por z=a bi.
Numeros Complejos
D fi i i
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.
Dado un numero complejoz=a+bi, suconjugadose define por z=a bi.
Note que R es un subconjunto de C.
Numeros Complejos
Definiciones
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.
Dado un numero complejoz=a+bi, suconjugadose define por z=a bi.
Note que R es un subconjunto de C.
Por lo tanto, las operaciones de suma y producto entre numeros complejos sonextensiones naturales de la suma y producto de numeros reales:
(a1+b1i) + (a2+b2i) = (a1+a2) + (b1+b2)i
(a1+b1i)(a2+b2i) = (a1a2 b1b2) + (a1b2+a2b1)i.
Numeros Complejos
Definiciones
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Definiciones
Unnumero complejoes un numero de la forma z=a +bi, donde a y bsonnumeros reales. El numero a es la parte realde z, mientras que bes su parteimaginaria.
Dado un numero complejoz=a+bi, suconjugadose define por z=a bi.
Note que R es un subconjunto de C.
Por lo tanto, las operaciones de suma y producto entre numeros complejos sonextensiones naturales de la suma y producto de numeros reales:
(a1+b1i) + (a2+b2i) = (a1+a2) + (b1+b2)i
(a1+b1i)(a2+b2i) = (a1a2 b1b2) + (a1b2+a2b1)i.
No es recomendable aprenderse la regla de multiplicacion de memoria, es mejormultiplicar los terminos recordando que i2 = 1.
Numeros Complejos
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Numeros Complejos
A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la
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p y p , pdiferencia de dos numeros complejos:
(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.
Numeros Complejos
A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la
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p y p pdiferencia de dos numeros complejos:
(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.
Dado un numero complejo (c+di), con c2 +d2
= 0, denotaremos por
(c+di)1 a su inverso, el cual queda biunvocamente caracterizado por laecuacion (c+di)(c+di)1 = 1
Numeros Complejos
A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la
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diferencia de dos numeros complejos:
(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.
Dado un numero complejo (c+di), con c2 +d2
= 0, denotaremos por
(c+di)1 a su inverso, el cual queda biunvocamente caracterizado por laecuacion (c+di)(c+di)1 = 1
Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di).
Numeros Complejos
A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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diferencia de dos numeros complejos:
(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.
Dado un numero complejo (c+di), con c2 +d2
= 0, denotaremos por
(c+di)1 a su inverso, el cual queda biunvocamente caracterizado por laecuacion (c+di)(c+di)1 = 1
Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di). As, para dividir numeros complejos hay que sabermultipicar y encontrar inversos.
Numeros Complejos
A partir de las definiciones de suma y multiplicacion, podemos calcular la
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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diferencia de dos numeros complejos:
(a1+b1i) (a2+b2i) = (a1+b1i) + (1)(a2+b2i)= (a1+b1i) + ((a2) + (b2)i)= (a1 a2) + (b1 b2)i.
Dado un numero complejo (c+di), con c2 +d2
= 0, denotaremos por
(c+di)1 a su inverso, el cual queda biunvocamente caracterizado por laecuacion (c+di)(c+di)1 = 1
Note que, dividir (a+ bi) por (c+ di), es lo mismo que multiplicar (a+ bi) porel inverso de (c+di). As, para dividir numeros complejos hay que sabermultipicar y encontrar inversos.
Ahora, como (c+di)(c+di) = (c+di)(c di) =c2 +d2, podemos concluirque
(c+di)1 = c
c2 +d2 d
c2 +d2 i.
Numeros Complejos
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Numeros Complejos
Por lo tanto, la division de dos numeros complejos es caracterizada por:
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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, p j p
a+bi
c+di = (a+bi)(c+di)1 =
ac+bd
c2 +d2 +
bc adc2 +d2
i.
Numeros Complejos
Por lo tanto, la division de dos numeros complejos es caracterizada por:
http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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, p j p
a+bi
c+di = (a+bi)(c+di)1 =
ac+bd
c2 +d2 +
bc adc2 +d2
i.
Ejercicios
(1) Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:
(3 + 2i)1, 5 3i
2 +i ,
1
1 +i.
Numeros Complejos
Por lo tanto, la division de dos numeros complejos es caracterizada por:
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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j
a+bi
c+di = (a+bi)(c+di)1 =
ac+bd
c2 +d2 +
bc adc2 +d2
i.
Ejercicios
(1) Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:
(3 + 2i)1, 5 3i
2 +i ,
1
1 +i.
(2) Muestre que z=zsi y solamente si z R.
Numeros Complejos
Por lo tanto, la division de dos numeros complejos es caracterizada por:
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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a+bi
c+di = (a+bi)(c+di)1 =
ac+bd
c2 +d2 +
bc adc2 +d2
i.
Ejercicios
(1) Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:
(3 + 2i)1, 5 3i
2 +i ,
1
1 +i.
(2) Muestre que z=zsi y solamente si z R.
(3) Verifique las siguientes propiedades:
z1+z2 =z1+z2, z1z2 =z1z2.
Numeros Complejos y Races de Polinomios
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Numeros Complejos y Races de Polinomios
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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.
Numeros Complejos y Races de Polinomios
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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.Demostracion:
Numeros Complejos y Races de Polinomios
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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.Demostracion:
z=a +bies solucion de la ecuacion sii c0+c1z+c2z2
+zn
= 0.
Numeros Complejos y Races de Polinomios
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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.Demostracion:
z=a +bies solucion de la ecuacion sii c0+c1z+c2z2
+zn
= 0.Como los coeficientes{c0, . . . , cn1} son numeros reales, conjugando amboslados de la igualdad anterior y utilizando las propiedades previamentedemostradas, concluimos que z=a +bi es una solucion de la ecuacionpolinomial si y solamente si c0+c1z+ +cn1zn1 +zn = 0.
Numeros Complejos y Races de Polinomios
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TeoremaConsidere la siguiente ecuacion polinomial:
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0,donde los coeficientes son todos reales. Entonces, z=a +bi es una solucion siy solamente si su complejo conjugado z=a bi tambien lo es.Demostracion:
z=a +bies solucion de la ecuacion sii c0+c1z+c2z2
+zn
= 0.Como los coeficientes{c0, . . . , cn1} son numeros reales, conjugando amboslados de la igualdad anterior y utilizando las propiedades previamentedemostradas, concluimos que z=a +bi es una solucion de la ecuacionpolinomial si y solamente si c0+c1z+ +cn1zn1 +zn = 0.
CorolarioTodo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menosuna raz real.
Teorema Fundamental del Algebra
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Teorema Fundamental del Algebra
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Cuando motivamos la extension del conjunto de los numeros reales hacia los
numeros complejos, hicimos notar que no toda ecuacion polinomial de segundogrado tiene races reales. Por ejemplo, x2 + 1 = 0.
Teorema Fundamental del Algebra
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Cuando motivamos la extension del conjunto de los numeros reales hacia los
numeros complejos, hicimos notar que no toda ecuacion polinomial de segundogrado tiene races reales. Por ejemplo, x2 + 1 = 0.
El siguiente resultado muestra que, el conjunto de los numeros complejos es losuficientemente grande para incluir todas las posibles races de ecuacionespolinomiales.
Teorema Fundamental del Algebra
http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Cuando motivamos la extension del conjunto de los numeros reales hacia los
numeros complejos, hicimos notar que no toda ecuacion polinomial de segundogrado tiene races reales. Por ejemplo, x2 + 1 = 0.
El siguiente resultado muestra que, el conjunto de los numeros complejos es losuficientemente grande para incluir todas las posibles races de ecuacionespolinomiales.
Teorema Fundamental del AlgebraToda ecuacion polinomial
xn +cn1xn1 + +c1x+c0 = 0
tiene n races en el conjunto de los numeros complejos (no necesariamentediferentes).
Representacion Geometrica de un Numero Complejo
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Representacion Geometrica de un Numero Complejo
Podemos representar todo numero complejo en un plano donde las partes real eimaginaria se miden en cada eje, analogo a lo que ocurre con la primera y
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g j , g q p ysegunda coordenada de un vector en R2.
Representacion Geometrica de un Numero Complejo
Podemos representar todo numero complejo en un plano donde las partes real eimaginaria se miden en cada eje, analogo a lo que ocurre con la primera y
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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g j g q p ysegunda coordenada de un vector en R2.
Elargumentode z=a +bies el angulo que forma su representaciongeometrica con el eje horizontal.
Representacion Geometrica de un Numero Complejo
Podemos representar todo numero complejo en un plano donde las partes real eimaginaria se miden en cada eje, analogo a lo que ocurre con la primera y
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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segunda coordenada de un vector en R2.
Elargumentode z=a +bies el angulo que forma su representaciongeometrica con el eje horizontal.
Elmodulode z=a +bi, denotado por r, es el tamano del vector que lorepresenta. As, r=
a2 +b2.
Forma Polar de un Numero Complejo
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Forma Polar de un Numero Complejo
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Note que,
z=a +bi=
a2 +b2
aa2 +b2
+ ba2 +b2
i
= r(cos() +isin()).
Forma Polar de un Numero Complejo
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Note que,
z=a +bi=
a2 +b2
aa2 +b2
+ ba2 +b2
i
= r(cos() +isin()).
A esta manera de escribir el numero complejo z=a +bi, la cual solamentedepende de su modulo y argumento, se le llamaforma polarde z.
Forma Polar de un Numero Complejo
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Note que,
z=a +bi=
a2 +b2
aa2 +b2
+ ba2 +b2
i
= r(cos() +isin()).
A esta manera de escribir el numero complejo z=a +bi, la cual solamentedepende de su modulo y argumento, se le llamaforma polarde z.
Este cambio de coordenadases muy util al momento de calcular potencias denumeros complejos y entender geometricamente que ocurre.
Potencias de un Numero Complejo
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Potencias de un Numero Complejo
Utilizando la forma polar, dado z=a +bi, tenemos que
z2 = (r(cos() +isin()))2
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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( ( ( ) + ( )))
Potencias de un Numero Complejo
Utilizando la forma polar, dado z=a +bi, tenemos que
z2 = (r(cos() +isin()))2
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( ( ( ) ( )))
= r2
(cos2
() sin2
()) +i2 cos() sin()
Potencias de un Numero Complejo
Utilizando la forma polar, dado z=a +bi, tenemos que
z2 = (r(cos() +isin()))2
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( ( ( ) ( )))
= r2
(cos2
() sin2
()) +i2 cos() sin()
= r2(cos(2) +isin(2)).
Numeros Complejos y Trigonometra
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Numeros Complejos y Trigonometra
El siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
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Numeros Complejos y Trigonometra
El siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Numeros Complejos y Trigonometra
El siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Numeros Complejos y Trigonometra
El siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
( )
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
T (F l d D M i )
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
T (F l d D M i )
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
T (F l d D M i )
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
Teorema (Formula de DeMoivre)
http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?- -
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.Ahora, zk+1 =zkz=rk(cos(k) +isin(k))r(cos() +isin()).
Numeros Complejos y TrigonometraEl siguiente resultado, que relaciona los numeros complejos y la trigonometra,nos permitira calcular las potencias de un numero complejo.
Teorema (Formula de DeMoivre)
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Teorema (Formula de DeMoivre)
Dado n N y z=r(cos() +isin()), tenemos quezn =rn(cos(n) +isin(n)).
Demostracion (por induccion en n)Para n= 1, la propiedad es inmediata.Asuma que la propiedad se cumple para n=k (Hipotesis de Induccion).Queremos probar que la propiedad vale para n=k+ 1.Ahora, zk+1 =zkz=rk(cos(k) +isin(k))r(cos() +isin()).Por lo tanto, como
cos((k+ 1)) = cos(k)cos() sin(k) sin(),sin((k+ 1)) = sin(k) cos() + cos(k)sin(),
concluimos que zk+1 =rk+1 (cos((k+ 1)) +i sin((k+ 1))) .
Numeros Complejos y Trigonometra
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Numeros Complejos y Trigonometra
La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la
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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a lapotencian, ocurren dos efectos:
Numeros Complejos y Trigonometra
La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la
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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a lapotencian, ocurren dos efectos:
(i) su modulotamano como vector en el plano complejose eleva a n;
Numeros Complejos y Trigonometra
La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la
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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a lapotencian, ocurren dos efectos:
(i) su modulotamano como vector en el plano complejose eleva a n;
(ii) su argumento se multiplica por n.
Numeros Complejos y Trigonometra
La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la
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La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a lapotencian, ocurren dos efectos:
(i) su modulotamano como vector en el plano complejose eleva a n;
(ii) su argumento se multiplica por n.
Por lo tanto, si observamos el comportamiento grafico de un numero complejocuando es elevado a potencias cada vez mayores, veremos espirales que seexpande o se contraen, segun el modulo del complejo sea mayor o menor a uno.
Numeros Complejos y Trigonometra
La Formula de Moivre nos muestra que al elevar un numero complejo a la
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q p jpotencian, ocurren dos efectos:
(i) su modulotamano como vector en el plano complejose eleva a n;
(ii) su argumento se multiplica por n.
Por lo tanto, si observamos el comportamiento grafico de un numero complejocuando es elevado a potencias cada vez mayores, veremos espirales que seexpande o se contraen, segun el modulo del complejo sea mayor o menor a uno.
Para un numero complejo con modulo igual a uno, sus potencias semantendran dentro del crculo unitario.
Numeros Complejos y Trigonometra
A continuacion ilustramos la evolucion de las potencias de un numero complejoen tres situaciones:
t [0, 10] (1,1(cos(1) + i sin(1)))t = (1,1)t(cos(t) + i sin(t))
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7/25/2019 Mtodos matemticos avanzados
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t
[0, 10]
(1,1(cos(1) +isin(1))) (1,1) (cos(t) +isin(t))t [0, 10] (cos(1) +isin(1))t = cos(t) +isin(t)t [0, 10] (0,9(cos(1) +isin(1)))t = (0,9)t(cos(t) +isin(t))
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-