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Métodos Formales y Análisis de Herramientas para la Producción de Software

Aristides Dasso, Ana Funes

{arisdas, afunes}@unsl.edu.arUniversidad Nacional de San Luis

Universidad Nacional de San Luis2006

Listas

A. Dasso, A. Funes Métodos Formales ... 3

Listas

Una lista es una colección ordenada de valores del mismo tipo.

Ejemplos:

<2, 5, 0, 1, 2>

<“Juan”, “María”>

<true, false, false>


Expresiones de tipo lista

La expresión de tipo

expr_de_tipo*

representa el tipo que contiene todas las listas finitas de tipo expr_de_tipo.



Ejemplo: Bool*

Este tipo representa infinitas secuencias finitas de Booleanos:

<> --lista vacía<true><false><true, true><true, false>. . .



La expresión de tipo

expr_de_tipo

representa el tipo que contiene las listas infinitas así como las listas finitas de tipo expr_de_tipo .



Ejemplo: Bool

Este tipo contiene las infinitas secuencias finitas de Booleanos además de las infinitas:

<><true><false><true, true><true, false>. . .<false, true, true, false, ...>. . .


Propiedades de las listas

•Pueden existir valores repetidos. Por lo tanto, <10, 2, 2> <10, 2>

• Cuando decimos que una lista es ordenada significa que podemos hablar de un primer elemento, un segundo elemento, etc. Es decir que el orden es relevante, p.e.: <10, 2> <2, 10>.

•Para cualquier tipo T, T* es un subtipo de T.


ListasUna lista puede ser definida explícitamente enumerando sus elementos:

<expr1,...,exprn>

donde expri tienen un tipo maximal común y n 0.

Ejemplos :<1, 2, 3, 1><“Juan”, “Pedro”>< >


Listas

Una lista puede ser definida usando una expresión de listas con rango:

<expr1 . . expr2>

donde expr1 y expr2 son expresiones enteras.

Representa la lista de enteros ordenados en forma creciente, incluyendo ambos límites.

Si expr1 > expr2 la lista resultante es la lista vacía.


Listas

Ejemplos:

<3 .. 7> = <3, 4, 5, 6, >

<3 .. 3> = <3>

<3 .. 2> = < >

<3 .. 23*4> = <3 .. 92> = <3, 4, 5, 6, 7,..., 92>


Listas

Una lista puede ser definida implícitamente:

<expr binding in expr_de_lista • expr_boolena>

El binding debe hacer matching con los elementos de la lista representada por expr_de_lista .


Listas

Ejemplo 1:

<2*n n in <0 .. 3>>

•se lee “la lista de valores 2n donde n varía sobre la lista <0 .. 3>”.

•es igual a la lista <0, 2, 4, 6 >.

•notar que el ordenamiento en la lista <0..3> se preserva en la nueva lista.


Listas

Ejemplo 2:

<nn in <1 .. 100> • es_primo(n) >

• se lee “la lista de valores n donde n varía sobre la lista <1 .. 100> considerando solamente los números primos”.

• es igual a la lista <2, 3, 5, 7, ..., 97>.


Listas

Ejemplo 3:

type

Database = Record*,

Record = Key Data,

Key, Data

Supongamos que queremos un reporte de aquellos registros interesantes, definidos por alguna función booleana sobre las claves. El report contendrá entradas consistiendo de la clave y una transformación sobre el dato asociado.


Listas

Ejemplo 3 (cont.):value

es_interesante: Key Bool,

transformacion: Data Report_Data,

report: Database (Key Report_Data)*

report (db) < (k, transformacion(d)) | (k, d) in db • es_interesante(k) >

type

Report_Data


Indexando Listas

•Se puede extraer un elemento particular de una lista usando un índice.

•Un índice debe ser un número entero mayor o igual a 1 y menor o igual a la longitud de la lista (finita).

•Forma general:expr_lista(expr_entera)


Indexando Listas

Ejemplo:value l: Nat* = <10, 20, 30>

l(2) = 20<1, 25, 2> (3) = 2<<‘a’, ‘b’>, <‘9’, ‘g’, ‘p’>>(1) = <‘a’, ‘b’><<‘a’, ‘b’>, <‘9’, ‘g’, ‘p’>>(1) (2) = ‘b’


Definición de listas infinitas

Una lista infinita puede ser definida:1) a través de una definición de un value, y un axioma que especifica que es infinita. Ejemplo: value todos_los_naturales: Nat

axiom todos_los_naturales(1) = 0, i: Nat • i 2 todos_los_naturales(i) =

todos_los_naturales(i-1) +1


Definición de listas infinitas

2) a partir de otra lista infinita.

Ejemplo:

<nn in todos_los_naturales • es_primo(n) >

A partir de la lista infinita de números naturales define la lista de todos los números primos.


Operadores de listasConcatenación

^ : T* T T

Produce una lista que consiste de todos los elementos del primer argumento seguidos por todos los elementos del segundo:

<e1,...,en> ^ <en+1, ...> = <e1,..., en, en+1, ...>

Ejemplos:<1, 2, 3> ^ <4, 5> = <1, 2, 3, 4, 5> <1, 2, 3> ^ < > = <1, 2, 3>


Operadores de listasConcatenación

•Notar que el primer argumento de la concatenación debe ser una lista finita (no se puede agregar nada al final de una lista infinita ya que no tiene fin).

•El segundo argumento, sin embargo, puede ser una lista infinita, p.e:

<0> ^ todos_los_naturales = <0, 0, 1, 2, 3, 4,...>


Operadores de listasObtener cabeza de una lista

hd: T T

Devuelve el primer elemento de la lista:

hd <e1, e2...> = e1

Ejemplos:

hd <1, 2, 3> = 1

hd todos_los_naturales = 0

~


Operadores de Listas Obtener cola de una lista

tl: T T

Devuelve la lista original sin la cabeza:

tl <e1, e2...> = <e2 , e3, ...> Ejemplos:

tl <1, 2, 3> = <2, 3> tl todos_los_naturales = <1, 2, 3, 4,...>

~


Operadores de Listas Obtener longitud de una lista

len: T Nat• Devuelve la longitud de una lista finita.

len <e1, e2...en> = n

Ejemplos:

len <1, 7, 2> = 3

len < > = 0• La aplicación a una lista infinita devuelve chaos.

len todos_los_naturales chaos

~


Operadores de Listas Obtener índices de una lista

inds: T Nat-infset

•Devuelve los índices de una lista.

•Sea lf una lista finita

inds lf = {1.. len lf}

•Sea li una lista infinita

inds li = {i i: Nat • i 1}


Operadores de Listas Obtener índices de una lista

Ejemplos

inds <2, 4, 2> = {1,2,3}

inds < > = {}

inds todos_los_naturales = {indind: Nat • ind 1}


Operadores de Listas Obtener elementos de una lista

elems: T T-infset

Devuelve los elementos de una lista.

elems l = {l(i) i: Nat • i inds 1}

Ejemplos:

elems <2,4,2> = {2,4}

elems < > = {}

elems todos_los_naturales = {nn: Nat }


Listas de Caracteres (Text)

• Text es una abreviatura para Char*

• Todas las operaciones para listas pueden ser aplicadas a Text.


Listas de Caracteres (Text)

“abc” = <‘a’, ‘b’, ‘c’>“” = < >hd “abd” = ‘a’tl “a” = “”“abc” ^ “de” ^ “f” = “abcdef”inds “abc” = {1,2,3}elems “abba” = {‘a’, ‘b’}len “abba” = 4


Ejemplo Cola o Fila

Los elementos pueden ser puestos y pueden dejar la cola uno a uno, siempre siguiendo la política FIFO (First In-Fist Out).


EjemploSorting

Consideremos la especificación de una función que dada una lista de enteros devuelve la lista ordenada de menor a mayor.


EjemploBase de Datos

Un paso de desarrollo


Representaciones para la BDtype Databaseemptyinsert(k2, d2, insert(k1, d1, empty))

type Database = (Key Data)-set{}{(k1,d1), (k2, d2)}

type Database = (Key Data)*

< ><(k1,d1), (k2, d2)>


) ,


Ejemplo Base de datos (II)

• Supongamos además que se requiere que la base de datos se encuentre ordenada por las claves.


scheme KEY = class type Key value less_than : Key Key Bool axiom [anti_reflexiva] k : Key • ~less_than(k, k), [transitiva] k1, k2, k3 : Key • less_than(k1, k2) less_than(k2, k3) less_than(k1, k3), [orden_total] k1, k2 : Key • less_than(k1, k2) less_than(k2, k1) k1 = k2 end


Notar que:

• El tipo Key y la función less_than se encuentran definidos en un módulo separado.

• La función less_than define un orden total sobre las claves. Si las claves fueran enteros, el orden podría ser <.


scheme LIST_DATABASE_II =

extend KEY with extend DATA with

class

type

Record = Key Data,

Database = {| db : Record* • is_wf_Database(db) |}

value

is_wf_Database : Record* Bool

is_wf_Database(rl)

( (k1, d1), (k2, d2) : Record, left, right : Record* •

rl = left ^ < (k1, d1), (k2, d2) > ^ right

less_than(k1, k2)),


Notar que:

• El tipo Database está definido como un subtipo de listas de registros bien formados.

• Un registro es bien formado si para cualquier par de registros sucesivos , la clave del registro de la “izquierda” es menor que el registro de la “derecha”. Esta condición previene las claves duplicadas ya que es consecuencia del axioma anti-reflexiva del módulo KEY.


empty : Database = < >, insert : Key Data Database Database insert(k, d, db) if db = < > then < (k, d) > else let (k1, d1) = hd db in if k = k1 then < (k, d) > ^ tl db elsif less_than(k, k1) then < (k, d) > ^ db else < hd db > ^ insert(k, d, tl db) end end end,


remove : Key Database Database remove(k, db) < (k1, d) | (k1, d) in db • k1 k >, defined : Key Database Bool defined(k, db) if db = < > then false else let (k1, d1) = hd db in if less_than(k, k1) then false elsif k1 = k then true else defined(k, tl db) end end end,


lookup : Key Database Data

lookup(k, db)

if db = < > then not_found

else

let (k1, d1) = hd db in

if less_than(k, k1) then not_found

elsif k1 = k then d1

else lookup(k, tl db)

end

end

end

end


Notar que:• Las funciones insert, defined and lookup han sido

definidas orientadas a la implementación, aprovechando el hecho que la base de datos se encuentra ordenada.

• La función lookup se hizo total (para bases de datos bien formadas), retornando un valor de error en el caso de no encontrarse la clave. Por lo tanto definimos un valor de error not_found de tipo Data, el cual quedó sub-especificado.

• Tanto Data como not_found se encuentran definidos en un módulo separado


scheme DATA =

class

type Data

value

not_found : Data

end


Ejercicios


Mapas


Mapas

• Un mapa es una colección desordenada de pares de valores.

• Tienen una estructura tipo tabla, similar a una función, que transforma valores de un tipo en valores de otro tipo.


Dominio de un Mapa

El conjunto de valores para los cuales un mapa está definido es referido como el dominio del mapa.

Ejemplo:


el dominio es {“Carlos”, “Juan”, “María”}


Rango de un Mapa

El conjunto de valores a los cuales un mapa transforma es referido como el rango del mapa.

Ejemplo:


el rango es {2, 7}


Expresiones de tipo Mapa

Una expresión de tipo de la forma

expr_de_tipo1 expr_de_tipo2

representa los mapas finitos determinísticos que transforman valores de tipo expr_de_tipo1 en valores de tipo expr_de_tipo2 .

m



Ejemplo:



Una expresión de tipo de la forma

expr_de_tipo1 expr_de_tipo2

representa los mapas parciales que transforman valores de tipo expr_de_tipo1 en valores de tipo expr_de_tipo2 .Pueden ser infinitos y no deterministicos.

m~



Ejemplo:


Definiciones explícitas de Mapas

Un mapa puede ser definido explícitamente enumerando sus asociaciones:

con n0

Ejemplos :


Definiciones implícitas de Mapas

Un mapa puede ser definido implícitamente

dando un predicado para definir sus

asociaciones:

donde n1 .


Definiciones implícitas de Mapas

Ejemplo:

Se lee “el mapa de n en 2 * n donde n es un

número natural tal que n es menor o igual a 2”.

Es igual a:


Mapas Infinitos

Es posible por medio de una expresión por comprensión crear un mapa infinito.

Ejemplo:

es igual al mapa infinito:


La aplicación

• Un mapa puede ser aplicado a un valor si ese valor pertenece al dominio del mapa.

• La forma básica de la aplicación es:

• y la forma derivada es:


Aplicación

Ejemplos:


Operadores de MapasObtener dominio

Retorna el conjunto de valores para los cuales el mapa está definido.

Ejemplos:

dom [n | 2n | n: Nat] = {n | n: Nat}

dom [ ] = { }


Operadores de MapasObtener rango

Retorna el rango del mapa.

Ejemplos:

rng [n | 2 n | n: Nat] = {2 n | n: Nat}

rng [ ] = { }


Operadores de MapasUnión

Ejemplos:


Operadores de MapasRestricción por

La operación “restricción por” remueve un conjunto de valores del dominio de un mapa.


Operadores de MapasRestricción por

Ejemplos:

[3 | true, 5 | false] \ {3} = [5 | false]

[3 | true, 5 | false] \ {5,7} = [3 | true]

[3 | true] \ {} = [3 | true]


Operadores de MapasRestricción a

La “restricción a” restringe el dominio de un mapa a un conjunto de valores de dominio.

Ejemplos:


Operadores de MapasRestricción a

Ejemplos:

[3 | true, 5 | false] / {3} = [3 | true]

[3 | true, 5 | false] / {5,7} = [5 | false]

[3 | true] / {} = [ ]


Operadores de MapasComposición

la composición de dos mapas m1 y m2 se define:


Un paso de desarrollo


Representaciones para la BD


class

type

Relation = Element Partition_Id,

Element,

Partition_Id

m

Ejemplo: Relaciones de Equivalencia


value

well_formed : Relation Bool,

initial : Relation,

make_equivalent : Element Element Relation Relation,

are_equivalent : Element Element Relation Bool


axiom

r : Relation • well_formed(r) (all e : Element • e dom r),

well_formed(initial),

e1, e2 : Element • e1 e2 => initial(e1) initial(e2),

e1, e2 : Element, r : Relation :- make_equivalent(e1, e2, r)

r † [e | r(e2) | e : Element • r(e) = r(e1)] pre {e1, e2} dom r,

e1, e2 : Element, r : Relation • are_equivalent(e1, e2, r)

r(e1) = r(e2) pre {e1, e2} dom r

end


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