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Metodos de Resposta em Frequencia

1. Motivacao

2. Graficos de resposta em frequencia

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 12

Metodos de Resposta em Frequencia

Origem do termo? Entende-se por resposta em frequencia a resposta em

estado estacionario de um sistema para uma entrada senoidal

Motivacao Uma vantagem da abordagem por resposta em frequencia surge do

fato da simplicidade com que se pode, experimentalmente, realizar testes de

resposta em frequencia de forma precisa usando-se geradores de sinais senoidais

disponıveis e instrumentos precisos para medicao

B Geralmente FTs de componentes complicados podem ser determinados

experimentalmente por testes em respostas em frequencia

B Ha ainda a vantagem que um sistema pode ser projetado, tal que os efeitos

de ruıdos indesejaveis possam ser negligenciado


Analise de Resposta em Frequencia

Saıda em Estado Estacionario para entrada Senoidal Considere um sistema

linear e invariante no tempo G(s), tal que

Y (s)

R(s)= G(s)

A entrada r(t) e senoidal e descrita da forma

r(t) = R sen(ωt) ⇒ R(s) = Rω

s2 + ω2

Logo

Y (s) = G(s) Rω

s2 + ω2

=a

s + jω+

a

s − jω+

b1

s + p1

+ · · · +bn

s + pn

sendo a e bi, i = 1, . . . , n constantes e a o conjugado complexo de a



Logo aplicando L−1 obtem-se a resposta temporal

y(t) = ae−jωt + aejωt + b1e−p1t + · · · + bne−pnt, t ≥ 0

Para um sistema estavel, −p1, . . . , −pn tem parte real negativa. Portanto, em

regime, e−p1t + · · · + e−pnt tendem a zero, com excecao dos dois primeiros

termos...

B Veja que se Y (s) envolve multiplos polos pj de multiplicade mj , entao y(t)

envolvera termos da forma

thj e−pjt (hj = 0, 1, . . . , mj − 1)

no entanto, se o sistema e estavel, thj e−pjt → 0, t → ∞



B Portanto, a resposta em estado estacionario e da forma

yss(t) = ae−jwt + aejωt

sendo que a constante a pode ser avaliada da resposta no domınio-s:

a = G(s)ωR

s2 + ω2(s + jω)

∣

∣

∣

∣

s=−jω

= G(s)ωR

(s − jω)(s + jω)(s + jω)

∣

∣

∣

∣

s=−jω

= −RG(−jω)

2j

Veja ainda que

a = G(s)ωR

s2 + ω2(s − jω)

∣

∣

∣

∣

s=jω

=RG(jω)

2j



Como G(jω) e uma funcao de variavel complexa, pode-se escreve-la na forma:

G(jω) = |G(jω)| ejφ

sendo

φ = ∠G(jω) = tan−1

{

Im (G(jω))

Re (G(jω))

}

Da mesma forma obtem-se

G(−jω) = |G(−jω)| e−jφ = |G(jω)| e−jφ



∴ yss(t) = a e−jwt + a ejωt

= −R |G(jω)| e−jφ

2je−jωt +

R |G(jω)| ejφ

2jejωt

= R |G(jω)|ej(wt+φ) − ej(wt+φ)

2j

= R |G(jω)| sen(ωt + φ)

= Y sen(ωt + φ)

sendo Y = R |G(jω)|



Portanto, para um sistema estavel LIT

sujeito a uma entrada senoidal,

em estado estacionario, a saıda sera tambem senoidal,

tendo a mesma frequencia que a entrada,

porem com amplitude e fase diferentes

Nota Consequencia evidente desta analise: simplesmente substitui-se s por jω


Grafico de Resposta em Frequencia

Forma graficas de apresentar resposta em frequencia

1. Diagrama de Bode ou diagrama logarıtmico

2. Diagrama de Nyquist ou diagrama polar

3. Carta de Nichols ou Magnitude logarıtmica versus diagrama de fase



Exemplo Circuito RC com FT

G(s) =1

RCs + 1

m

G(jω) =1

jω(RC) + 1=

1

j(

ωω1

)

+ 1, ω1 =

1

RC=

1

τ

O grafico polar e tracado a partir da relacao:

G(jω) = R(ω)+jX(ω) =1 − j(ω/ω1)

(ω/ω1)2 + 1=

1

1 + (ω/ω1)2−j

(ω/ω1)

1 + (ω/ω1)2



ou na forma polar:

G(jω) = |G(ω)| ∠φ(ω)

⇓

|G(ω)| =1

√

1 + (ω/ω1)2, ∠φ(ω) = tan−1

(

ω

ω1

)

B A construcao de diagramas polares, como apresentados ate agora, e

relativamente tediosa e nao indica o efeito individual de polos e zeros. A

introducao de graficos logarıtmicos, ou diagramas de Bode, simplificam bastante

o tracado da resposta em frequencia



Por que um diagrama logarıtmico ? Veja que o logarıtmico tem

propriedades do tipo:

log[(ab)]

n

cd= n log a + n log b − log c − log d

ie, termos multiplicativos sao convertidos em termos aditivos, e termos que

dividem, sao algebricamente adicionados com termos negativos... Alguma

semelhanca com FT descrita em termos de: ganho, zeros e polos?

B O logarıtmico do modulo da FT e normalmente expresso em decibeis, dB, ie

20 log10 |G(ω)|

No diagrama de Bode, a magnitude (logarıtmico do modulo) e tracado em um

grafico e o angulo (argumento de G(jω)) em outro



Exemplo Para o circuito RC obtem-se

20 log |G| = 20 log

{

[

1

1 + (ωRC)2

]1/2}

= −10 log{

1 + (ωRC)2}

B Para frequencias baixas, ie, ω � 1/RC = 1/τ , o ganho logarıtmico e

−10 log 1 = 0dB

B Para frequencias altas, ie ω � 1/RC, obtem-se

20 log |G| = −20 log ωRC

B Particularmente quando w = 1/RC, na chamada frequencia de corte (ou de

canto), obtem-se

20 log |G| = −10 log(1 + 1) = −3.01dB



Nota Veja que para frequencias mais altas, tomando-se ω2 = 10ω1, ou

ω1 = ω2/10 quando se aplica a analise obtem-se neste trecho uma informacao

de magnitude da forma

−20 log ω2τ − (−20 log ω1τ ) = −20 logω2τ

ω1τ

= −20 log 10

= −20dB/decada



B Para ω2 = 2ω1, obtem-se

−20 log ω2τ − (−20 log ω1τ ) = −20 logω2

ω1

= −20 log 2

= −6dB/oitava


MA

ST

ER

101

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1998 by Addison W

esley Longman. A

ll rights reserved.

0

245

290

10

0

210

220

0.1t

10t

1t

dBf

(v),

deg

rees

v

Exactcurve

Asymptoticcurve

Linearapproximation

Exact

(a)

(b)

Figure 8.9 Bode diagram for (1 + jvt)–1


Para a FT generica

G(jω) =

Kb

Q∏

i=1

(1 + jωτi)

(jω)N

M∏

m=1

(1 + jωτm)

R∏

k=1

[

1 +

(

2ζk

ωnk

)

jω +

(

jω

ωnk

)2]



O grafico de fase corresponde a soma dos argumentos de cada fator da FT, ou:

φ(ω) =

Q∑

i=1

tan−1(ωτi) − N(900)

−M∑

m=1

tan−1(ωτm)

−R

∑

k=1

tan−1

(

2ζkωnkω

ω2nk − ω2

)



B Portanto, os quatro tipos de fatores que podem aparecer numa FT sao:

1. Ganho constante — Kb

2. Polos ou zeros na origem — jω

3. Polos ou zeros no eixo real — jωτ + 1

4. Polos ou zeros complexos conjugados — 1 +

(

2ζ

ωn

)

jω +

(

jω

ωn

)2

B A curva da funcao completa e obtida somando-se graficamente as curvas de

cada fator



Ganho Constante — Kb

20 log Kb = constante em dB, φ(ω) = 0

B Se Kb < 0, o modulo continua sendo 20 log Kb, porem a fase passa a

ser −1800

Polos ou zeros na origem — jω Para um polo na origem

20 log

∣

∣

∣

∣

1

jω

∣

∣

∣

∣

= −20 log ω dB, φ(ω) = −900

Para um zero na origem

20 log |jω| = +20 log ω dB, φ(ω) = +900



Polos ou zeros no eixo real — jωτ + 1 para um polo em −1/τ , obtem-se

20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + jωτ

∣

∣

∣

∣

= −10 log(1 + ω2τ2) dB, φ(ω) = − tan−1 ωτ



Polos ou zeros complexos conjugados — 1 +

(

2ζ

ωn

)

jω +

(

jω

ωn

)2

O fator quadratico correspondente a um par de polos complexos conjugados pode

ser escrito na forma normalizada

1 + j2ζu − u2, sendo u =ω

ωn

Portanto, para

G(jω) =1

1 +(

2ζωn

)

jω +(

jωωn

)2



Obtem-se

20 log |G(jω)| = −10 log[

(1 − u2)2 + 4ζ2u2]

, φ(w) = − tan−1

(

2ζu

1 − u2

)

B Quando u � 1,

20 log |G| ≈ −10 log 1 = 0 dB, φ(w) → 00

B Quando u � 1,

20 log |G| ≈ −10 log u4 = −40 log u dB, φ(w) → −1800

resulta numa curva com inclinacao de −40dB/decada

B As duas assıntotas encontram-se na linha de 0dB, quando u = ω/ωn = 1



A aproximacao e boa para raızes complexas? Veja que as duas assıntotas

obtidas sao independes do valor do fator de amortecimento, ie, nao foi

considerado na aproximacao para o tracado da curva de magnitude...

B Proximo a frequencia ω = ωn, um pico ressonante acontece como pode ser

esperado de

G(jω) =1

1 +(

2ζωn

)

jω +(

jωωn

)2

e o valor do fator de amortecimento, ζ, determina a magnitude deste pico

ressonante. Para valores pequenos geram-se picos grandes... Isto e ilustrado na

proxima figura


MASTER 102

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0

220

240

260

280

2100

2120

2140

2160

2180

u 5 v /vn 5 Frequency ratio

Phas

e an

gle,

deg

rees

1.00.4 0.5 0.6 0.80.30.20.1 104 5 6 832

20

10

0

210

220

230

240

20 lo

guG

u

(b)

u 5 v /vn 5 Frequency ratio

1.00.4 0.5 0.6 0.80.30.20.1 104 5 6 832

(a)

z 5 0.050.100.150.200.25

0.3 0.4 0.50.6

0.81.0

z 5 0.050.100.150.200.25

0.3 0.40.5

0.60.8

1.0

Figure 8.10 Bode diagram for G( jv) = [1 + (2z/vn)jv + ( jv/vn)2]–1


Frequencia de ressonancia, ωr e pico ressonante, Mω

Pela figura anterior nota-se que o valor maximo de |G|, denotado por Mω, ocorre

na frequencia de ressonancia, ωr

B wr e determinado no maximo de

|G(jω)| =1

√

(

1 − ω2

ω2n

)2

+(

2ζωωn

)2



Como o numerador de |G| e constante, o valor de pico de |G| ira ocorrer quando

o valor do denominador

(

1 −ω2

ω2n

)2

+

(

2ζω

ωn

)2

=

[

ω2 − ω2n(1 − 2ζ2)

ω2n

]2

+ 4ζ2(1 − ζ2)

for mınimo, o que acontece em

ωr = ω = ωn

√

1 − 2ζ2

Substituindo ωr em |G|, obtem-se o pico ressonante

Mω

= |G(ωr)| =1

2ζ√

1 − ζ2


MASTER 103


z

0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

3.25

3.0

2.75

2.5

2.25

2.0

1.75

1.5

1.25

1.0

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.101.0

Mpv

Mpvvr /vn

vr /vn

Figure 8.11 The maximum of the frequency response, Mpv, and theresonant frequency, vr , versus z for a pair of complex conjugate poles

MASTER 104


TABLE 8.3 Asymptotic Curves for Basic Terms of a Transfer Function

Term Magnitude 20 log uG u Phase, f (v )

1. Gain,G( jv ) 5 K

v

40

20

0

220

240

dB20 log K

v

90°

45°

0°

245°

290°

f(v)

2. Zero,G( jv ) 5(1 1 jv /v1)

v

0.1v1 v1 10v1

40

20

0

220

240

dB

v

0.1v1 v1 10v1

90°

45°

0°

245°

290°

f(v)

3. Pole,G( jv ) 5

11(1 1 jv /v )1

v

0.1v1 v1 10v1

40

20

0

220

240

dB

v

0.1v1 v1 10v1

90°

45°

0°

245°

290°

f(v)

4. Pole at the origin,G( jv ) 5 1/ jv

v

0.1 10 10010.01

40

20

0

220

240

dB

0.1 10 10010.01

v

90°

45°

0°

245°

290°

f(v)

5. Two complex poles,0.1 , z , 1, G( jv ) 5

,2 11(1 1 j2zu 1 u )u 5 v /v n

u0.1 10 10010.01

40

20

0

220

240

dB

0.1 10 10010.01u

180°

90°

0°

290°

2180°

f(v)

Table 8.3 Asymptotic curves for basic terms of a transfer function

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