METODOS DE INTEGRACION:

*SUSTITUCION ALGEBRAICA*

CALCULO INTEGRAL

1er METODO

Si una integral implica una expresión de segundo grado

de tres términos (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) o de dos términos (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥),

ésta puede reducirse a una expresión de dos términos

(𝑣2 ± 𝑎2) y (𝑎2 − 𝑣2) completando el cuadrado (sustitución

algebraica).

𝑑𝑥

𝑥2 + 16𝑥 − 17

SOLUCION:

AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 𝑥2 + 16𝑥 + 3 Y ESTA LA

DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO:

𝑥2 + 16𝑥 − 17 = 𝑥2 + 16𝑥 − 17 +16

2

2

−16

2

2

= 𝑥2 + 16𝑥 − 17 + 82−82= 𝑥2 + 16𝑥 − 17 + 64 − 64= 𝑥2 + 16𝑥 + 64 − 17 − 64 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 − 17 − 64

= 𝑥 + 8 2 − 81

𝑑𝑥

𝑥2 + 16𝑥 + 3=

𝑑𝑥

𝑥 + 8 2 − 81

𝑣2 = 𝑥 + 8 2 𝑎2 = 81𝑣 = 𝑥 + 8 𝑎 = 9

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

REDORDANDO LA FORMULA:

𝑑𝑣

𝑣2 − 𝑎2=1

2𝑎ln𝑣 − 𝑎

𝑣 + 𝑎+ 𝐶

SUSTITUYENDO:

𝑑𝑥

𝑥 + 8 2 − 81=

1

2(𝑥 + 8)ln𝑥 + 8 − 9

𝑥 + 8 + 9+ 𝐶 =

1

2(𝑥 + 8)ln

𝑥 − 1

𝑥 + 17+ 𝐶

ASI QUE:

𝑑𝑥

𝑥2 + 16𝑥 + 3=

1

2(𝑥 + 8)ln

𝑥 − 1

𝑥 + 17+ 𝐶

𝑑𝑥

6𝑥 − 𝑥2 − 1

AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 6𝑥 − 𝑥2 − 1 Y ESTA LA

DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO:

6𝑥 − 𝑥2 − 1 = −𝑥2 + 6𝑥 − 1

= −𝑥2 + 6𝑥 − 1 +6

2

2

−6

2

2

= −𝑥2 + 6𝑥 − 1 + 3 2 − 3 2

= −𝑥2 + 6𝑥 − 1 + 9 − 9 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 + 9 − 1= −𝑥2 + 6𝑥 − 9 + 9 − 1 = − 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 9 − 1

= − 𝑥 − 3 2 + 8= 8 − 𝑥 − 3 2

ASI QUE:

𝑑𝑥

6𝑥 − 𝑥2 − 1=

𝑑𝑥

8 − 𝑥 − 3 2

𝑣2 = 𝑥 − 3 2 𝑎2 = 8

𝑣 = 𝑥 − 3 𝑎 = 8

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

RECORDANDO LA FORMULA:

𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑣2=1

2𝑎ln𝑎 + 𝑣

𝑎 − 𝑣+ 𝐶

Y SUSTITUYENDO VALORES:

𝑑𝑥

8 − 𝑥 − 3 2 =1

2 8ln

8 + 𝑥 − 3

8 − 𝑥 + 3+ 𝐶

POR LO TANTO, EL RESULTADO ES:

𝑑𝑥

6𝑥 − 𝑥2 − 1=

1

2 8ln

8 + 𝑥 − 3

8 − 𝑥 + 3+ 𝐶 =

1

4 2ln

8 + 𝑥 − 3

8 − 𝑥 + 3

𝑑𝑥

5 + 𝑥2 + 2𝑥

AL TOMAR EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESION 5 + 𝑥2 + 2𝑥 Y AL

MOMENTO DE ESTRAER LO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ (ES DECIR 5 + 𝑥2 + 2𝑥 )

LA DEBEMOS DE TRANSFORMAR EN UN BINOMIO AL CUADRADO:

5 + 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 5

= 𝑥2 + 2𝑥 + 5 +2

2

2

−2

2

2

= 𝑥2 + 2𝑥 + 5 + 1 2 − 1 2

= 𝑥2 + 2𝑥 + 5 + 1 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 5 − 1

= 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 5 − 1 = 𝑥 + 1 2 +4

DONDE:

𝑑𝑥

5 + 𝑥2 + 2𝑥=

𝑑𝑥

𝑥 + 1 2 + 4

𝑣2 = 𝑥 + 1 2 𝑎2 = 4𝑣 = 𝑥 + 1 𝑎 = 2

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

RECORDANDO LA FORMULA:

𝑑𝑢

𝑣2 + 𝑎2= ln 𝑣 + 𝑣2 + 𝑎2 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

𝑣

𝑎+ 𝐶

Y SUSTITUYENDO VALORES:

𝑑𝑥

𝑥 + 1 2 + 4= ln 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2 + 4 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

𝑥 + 1

2+ 𝐶

POR LO TANTO, EL RESULTADO ES:

𝑑𝑥

5 + 𝑥2 + 2𝑥= ln 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2 + 4 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

𝑥 + 1

2+ 𝐶

𝑑𝑥

9 + 5𝑥2 − 𝑥

ANTES DE INICIAR VEMOS QUE EN EL DENOMINADOR HAY UN TRINOMIO EN

DONDE NO LA CONSTANTE NO TIENE RAIZ CUADRADA, ASI QUE, SE

MULTIPLICARÁ Y SE DIVIDIRÁ POR EL VALOR DEL COEFICIENTE EN DONDE ESTA

ACOMPAÑANDO 𝑥2 PARA OBTENER UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO:

𝑑𝑥

9 + 5𝑥2 − 𝑥=

𝑑𝑥

9 + 5𝑥2 − 𝑥

5

5=

5 𝑑𝑥

5 9 + 5𝑥2 − 𝑥=

5 𝑑𝑥

45 + 25𝑥2 − 5𝑥

AHORA OBTUVIMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 PERO NO ES

PERFECTO, POR LO TANTO, HAREMOS QUE:

45 + 25𝑥2 − 5𝑥 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 = 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 +5

10

2

−5

10

2

= 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 +1

2

2

−1

2

2

= 25𝑥2 − 5𝑥 + 45 +1

4−1

4= 25𝑥2 − 5𝑥 +

1

4+ 45 −

1

4

= 25𝑥2 − 5𝑥 +1

4+ 45 −

1

4= 5𝑥 −

1

2

2

+179

4

NOTA: EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES AL MOMENTO DE REALIZAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SE HIZO UNA DIVISION ENTRE 2 DEBIDO AL DICHO DEL BINOMIO AL CUADRADO: EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TERMINO POR EL

SEGUNDO TERMINO; PERO COMO HAY UN 5 EN EL PRIMER TERMINO ESE VALOR DEL COFICIENTE SE DIVIDE ENTRE EL PRODUCTO DE ESOS DOS TERMINOS, ES

DECIR: 5

2−→

5

2

5=

5

10=1

2

VOLVIENDO:

𝑑𝑥

9 + 5𝑥2 − 𝑥=

𝑑𝑥

5𝑥 −12

2

+1794

𝑣2 = 5𝑥 −1

2

2

𝑎2 =179

4

𝑣 = 5𝑥 −1

2𝑎 =

179

4=

179

2

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 5

𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥

COMO NOS FALTA EL NUMERO 5 EN LA DIFERENCIAL LO QUE SE HARÁ ES

MULTIPLICAR Y DIVIDIR EL NUMERO 5 PARA NO ALTERAR LA INTEGRAL:

𝑑𝑥

5𝑥 −12

2

+1794

= 𝑑𝑥

5𝑥 −12

2

+1794

5

5=1

5

5𝑑𝑥

5𝑥 −12

2

+1794

RECORDANDO LA FORMULA:

𝑑𝑢

𝑣2 + 𝑎2= ln 𝑣 + 𝑣2 + 𝑎2 + 𝐶 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

𝑣

𝑎+ 𝐶

SUSTITUYENDO LOS VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:

1

5

5𝑑𝑥

5𝑥 −12

2

+1794

=1

5ln 5𝑥 −

1

2+ 5𝑥 −

1

2

2

+179

4+ 𝐶 =

1

5arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

5𝑥 −12

1792

+ 𝐶

= ln 5𝑥 −1

2+ 5𝑥 −

1

2

2

+179

4

15

+ 𝐶 =1

5arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

10𝑥 − 1

179+ 𝐶

𝑑𝑥

9 + 5𝑥2 − 𝑥

= ln 5𝑥 −1

2+ 5𝑥 −

1

2

2

+179

4

15

+ 𝐶 =1

5arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

10𝑥 − 1

179+ 𝐶

ln5

5𝑥 −1

2+ 5𝑥 −

1

2

2

+179

4+ 𝐶 =

1

5arg 𝑠𝑒𝑛ℎ

10𝑥 − 1

179+ 𝐶

2do METODO

CUANDO EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION CUYO NUMERADOR ES UNA EXPRESION DE PRIMER GRADO, MIENTRAS QUE EL DENOMINADOR

ES UNA EXPRESION DE SEGUNDO GRADO O LA RAIZ CUADRADA DE TAL

EXPRESION, LA INTEGRAL DADA PUEDE REDUCIRSE A UNA INTEGRAL

INMEDIATA.

𝑥 + 8 𝑑𝑥

𝑥2 + 9

SOLUCION:

SE MULTIPLICARA EL NUMERADOR DE LA INTEGRAL POR SU DIFERENCIAL (ES

DECIR dx):

𝑥 + 8 𝑑𝑥

𝑥2 + 9=

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 9+

8𝑑𝑥

𝑥2 + 9

Y OBTENEMOS DOS INTEGRALES MAS. COMENCEMOS CON LA PRIMERA:

1 2

AL ANALIZAR LA PRIMERA INTEGRAL VEMOS QUE ES IDENTICA A LA DE LA

FORMULA SIGUIENTE:

𝑑𝑣

𝑣2 + 𝑎2

Y VAMOS OBTENIENDO LO SIGUIENTE:

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 9

𝑣 = 𝑥2 + 9𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥

Y COMO NOS FALTA UN NUMERO 2, ESE NUMERO LO MULTIPLICAREMOS Y LO

DIVIDIREMOS:

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 9

2

2=1

2 2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 9

Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:

1

2 2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 9=1

2ln 𝑥2 + 9 + 𝐶 = ln 𝑥2 + 9 + 𝐶

AHORA NOS VAMOSCON LA SEGUNDA INTEGRAL:

8𝑑𝑥

𝑥2 + 9= 8

𝑑𝑥

𝑥2 + 9

Y VEMOS QUE ES IDENTICA A LA FORMULA SIGUIENTE:

𝑑𝑣

𝑣2 + 𝑎2=1

𝑎𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

𝑣

𝑎+ 𝐶

Y OBTENGAMOS ALGUNOS VALORES:

8 𝑑𝑥

𝑥2 + 9

Y SUSTITUYENDO ESTOS VALORES, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

8 𝑑𝑥

𝑥2 + 9= 8

1

3𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

𝑥

3+ 𝐶 =

8

3𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

𝑥

3+ 𝐶

𝑣2 = 𝑥2 𝑎2 = 9𝑣 = 𝑥 𝑎 = 3𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

UNA VEZ YA OBTENIDO LOS RESULTADOS DE LAS INTEGRALES 1 Y 2, AL UNIRLOS

SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL Y DEFINITIVO:

𝑥 + 8 𝑑𝑥

𝑥2 + 9= ln 𝑥2 + 9 +

8

3𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

𝑥

3+ 𝐶

4𝑥 − 1 𝑑𝑥

49 − 𝑥2

SOLUCION:

4𝑥 − 1 𝑑𝑥

49 − 𝑥2=

4𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2−

1𝑑𝑥

49 − 𝑥2= 4

𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2−

1𝑑𝑥

49 − 𝑥2

COMENCEMOS CON LA INTEGRAL 1:

4 𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2

1 2

𝑣 = 49 − 𝑥2

𝑑𝑣 = −2𝑥𝑑𝑥

COMO NOS FALTA UN 2 Y NEGATIVO SE MULTIPLICARA Y SE DIVIDIRA A LA VEZ EN LA

INTEGRAL:

4 𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2= 4

𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2

−2

−2=4

−2 −2𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2= −2

−2𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2

Y SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

−2 −2𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥2= −2

−2𝑥𝑑𝑥

49 − 𝑥212

= −2 (49 − 𝑥2)−12 −2𝑥𝑑𝑥 = −2

49 − 𝑥2 −12+1

−12+ 1

+ 𝐶

= −249 − 𝑥2

12

12

+ 𝐶 = −2 2 49 − 𝑥212 + 𝐶 = −4 49 − 𝑥2

12 + 𝐶 = −4 49 − 𝑥2 + 𝐶

AHORA NOS VAMOS CON LA SEGUNDA INTEGRAL:

− 1𝑑𝑥

49 − 𝑥2= −

𝑑𝑥

49 − 𝑥2

𝑣2 = 𝑥2 𝑎2 = 49𝑣 = 𝑥 𝑎 = 7𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

Y VEMOS QUE ESTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE:

𝑑𝑣

𝑎2 − 𝑣2= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑣

𝑎+ 𝐶 =

1

𝑎arg 𝑡𝑔ℎ

𝑣

𝑎+ 𝐶

SUSTITUYENDO VALORES SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

− 𝑑𝑥

49 − 𝑥2= −𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑥

7+ 𝐶 = −

1

7arg 𝑡𝑔ℎ

𝑥

7+ 𝐶

CAPTURANDO LOS RESULTADOS DE LAS DOS INTEGRALES, SE OBTIENE LE

RESULTADO FINAL:

4𝑥 − 1 𝑑𝑥

49 − 𝑥2= −4 49 − 𝑥2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑥

7+ 𝐶

= −4 49 − 𝑥2 −1

7arg 𝑡𝑔ℎ

𝑥

7+ 𝐶

𝑥 + 2 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

𝑥 + 2 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2=

𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2+ 2

𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

Y NOS VAMOS CON LA PRIMERA INTEGRAL:

𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

1 2

𝑣 = 4𝑥 − 𝑥2

𝑑𝑣 = (4 − 2𝑥)𝑑𝑥

NO TENEMOS TANTO PROBLEMA DEBIDO A QUE YA HAY UNA VARIABLE, LO QUE NOS FALTA ES REALIZAR ES AGREGAR UN COEFICIENTE Y UNA DIFERENCIA:

𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2=

𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2−2

−2=1

−2 −2𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2=1

−2 4 − 4 − 2𝑥𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

=1

−2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2+−4

−2

𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2= −

1

2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2+ 2

𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

Y VEMOS QUE SE OBTUVIERON DE ESA INTEGRAL DOS MAS. CONTINUEMOS CON LA INTEGRAL 1ª:

1a 1b

−1

2 4 − 2𝑥 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2= −

1

2ln 4𝑥 − 𝑥2 + 𝐶

AHORA, SI SON ANALITICOS VEMOS QUE LA INTEGRAL 1b Y 2 SON IDENTICAS,

LA UNICA DIFERENCIA ESTA EN LOS COEFICIENTES, POR LO TANTO, SE REALIZA

UNA SUMA:

2 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2+ 2

𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2= 4

𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

1b 2

Y CONTINUEMOS CON LA SOLUCION DESARROLLANDO EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO Y LUEGO EL BINOMIO AL CUADRADO:

4 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

4𝑥 − 𝑥2 = − −4𝑥 + 𝑥2 = − −4𝑥 + 𝑥2 + −4

2

2

− −4

2

2

= − −4𝑥 + 𝑥2 + −2 2 − −2 2 = − −4𝑥 + 𝑥2 + 4 − 4= 4𝑥 − 𝑥2 − 4 + 4 = − −4𝑥 + 𝑥2 + 4 + 4 = − 𝑥 − 2 2 + 4

= 4 − 𝑥 − 2 2

4 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2= 4

𝑑𝑥

4 − 𝑥 − 2 2

Y AL SER ANALITICOS SE OBSERVA QUE ÉSTA INTEGRAL ES IDENTICA A LA SIGUIENTE:

𝑑𝑢

𝑎2 − 𝑣2=1

2𝑎ln𝑎 + 𝑣

𝑎 − 𝑣+ 𝐶

𝑣2 = 𝑥 − 2 2 𝑎2 = 4𝑣 = 𝑥 − 2 𝑎 = 2𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

SUSTITUYENDO VALORES, SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO:

4 𝑑𝑥

4 − 𝑥 − 2 2 = 41

2 2ln2 + 𝑥 − 2

2 − 𝑥 + 2+ 𝐶 = 4

1

4ln

𝑥

4 − 𝑥+ 𝐶 = ln

𝑥

4 − 𝑥+ 𝐶

Y RECOPILANDO LOS RESULTADOS DE TODAS LAS INTEGRALES, SE OBTIENE EL

RESULTADO FINAL DEFINITIVO:

𝑥 + 2 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥2

= −1

2ln 4𝑥 − 𝑥2 + ln

𝑥

4 − 𝑥+ 𝐶

= ln𝑥

4 − 𝑥−1

2ln 4𝑥 − 𝑥2 + 𝐶

BIBLIOGRAFIAS

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas

V, DGETI, 1ra Edición, págs. 388

W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica,

2da. Edición, Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs