mÉtodos cuantitativos y simulaciÓn teoría de probabilidad dr. salvador garcía lumbreras

MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN

Teoría de Probabilidad

Dr. Salvador García Lumbreras

Dr. Salvador García L. 2Dr. Salvador García L. 2

EXPERIMENTOS

•EXPERIMENTO. Proceso planeado para obtener observaciones ó recolectar datos.

•RESULTADO DE EXPERIMENTO. Cualquier posible respuesta del experimento.

•EVENTO. Subconjunto de varias resultados.


ESPACIO MUESTRA

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento .

Ejemplo. Un folder contiene 50 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca un sistema, cada archivo puede ser afectado. = { 1, 2,.., 50}


PROBABILIDAD

Los procesos industriales fabrican productos que puede satisfacer o no los requerimientos de los clientes.La salida de estos procesos está sujeta a los efectos del azar.Debido a esto, las compañía necesitan considerar los aspectos probabilísticos de la situación.


PROBABILIDAD

La probabilidad del evento A se define como el cociente de los resultados a favor de A y todos los resultados posibles

)(

)()(

n

AnAP

Dr. Salvador García L. 6

VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIA

•Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada punto del Espacio Muestra.

X(w) = x


FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD

•pmf = p(x) = P(X = x)

•p(x) ≥ 0

•La probabilidad total es 1:

1)()( xx

xXPxp


EJEMPLO

•El número de errores X en un programa que consiste de dos módulos, tiene la siguiente función de masa de probabilidad

x 0 1 2 3

p(x) 0.5 0.3 0.1 0.1


EJEMPLO

•Determinar si la siguiente función puede servir como pmf de una variable aleatoria

5,4,3,2,1 ,25

2)(

x

xxf


1.0

0.0

0.4

0.8

XX

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

b

1k

)k(P)bX(P)b(F

FF



F es una función no decreciente y continua por la derecha

Lim F(x) = 0, x -> -∞

Lim F(x) = 1, x -> +∞


EJEMPLO

•Sea X la variable aleatoria con pmf

•Entonces, su función de distribución es dada por

x 0 1 2

p(x) 0.1 0.4 0.5

x21

2x15.0

1x01.0

0x0

)x(F


EJEMPLO

•Sea X una variable aleatoria con CDF

•Encontrar a) P(x =3); b) P(x ≥ 1)

x

x

x

x

xF

31

315.0

1125.0

10

)(


-

if is discrete

if is continuous

k

x

k

x p x X

x f x dx X

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

)( kk XE

donde 1´ = E(X) es el primer momento de X


K-ésimo MOMENTO CENTRAL DE X

-

if is discrete

if is continuous

k

x

k

x p x X

x f x dx X

k

k XE )(


bXaEbaXE

ccE

dxxxf

xpx

XE

n

iii

)()(

)(

)(

)(

)(1

VALOR ESPERADO


EJEMPLO

•Calcular el número promedio de errores X en un programa que consiste de dos módulos, si se tiene la siguiente función de masa de probabilidad

x 0 1 2 3

p(x) 0.5 0.3 0.1 0.1


222222

22222

2

1

2

22

)(2)(])[(

)(2)()2(])[(

)()(

)()(

])[(

XEXEXE

XEXEXXEXE

dxxfx

xpx

XE

n

iii

VARIANZA & DESVIACIÓN ESTÁNDAR


EJEMPLO

•Calcular la varianza y desviación standard de la siguiente variable aleatoria X

x 0 1 2

p(x) 0.1 0.4 0.5


)()(

0)(

2 XVacaXV

cV

PROPIEDADES DE LA VARIANZA


FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

if is discrete

if is continuous

tx

xtX

Xtx

e p x X

m t E ee f x dx X

)(tM X

)()0( ,)0(

...)!2

1()()(

2

2

XEMM

XXEeEtM

xx

XtX


PROPIEDADES

)(][][)( )( tMeeEeeEtM XatXtattaX

aX

)(][][)( )()( btMeEeEtM XbtXtbX

bX

)(][][)()()(

b

tMeeEeeEtM X

tb

a

b

tXt

b

at

b

aX

b

aX


EJEMPLO

Sea X una variable aleatoria con pmf

Calcular la media de X mediante su función generatriz de momentos.

3,2,1,0 ,8

3

)(

xx

xp


EJEMPLO

• Suponga que Y es una variable aleatoria con función generatriz de momentos

• Encontrar E[Y] y V[Y].

tttY eeetM 32

6

3

6

2

6

1)(


DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Un experimento de Bernoulli tiene exactamente dos posibles resultados, denotados por Éxito (1) o Falla (0), con probabilidades p y q = 1-p respectivamente.

MANUFACTURA. Un producto es clasificado como defectuoso o estándar.

VOTACIONES. Respuestas: Sí o No


FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD

La pmf está dada por

Por ejemplo si p = 0.6, luego

1,0 )( 1 xqpxp xx

6.0)1(

0.4)0(

01

10

pqpp

qqpp


MEDIA & VARIANZA

pqXEXE

pqpXXE XX

X

222

11

0

)]([)(

)(


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La variable aleatoria X representa el número de éxitos en n independientes intentos de Bernoulli

nXqpX

npnXb XnX ,...,1,0 ),;(


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La Media & Varianza están dados por

npqXEXE

npqpX

nXXE XnX

n

X

222

0

)]([)(

)(


EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (parámetros p, n)

0

1n

n xtx x

x

ne p p

x

0 0

1n nx n xt x n x

x x

n ne p p a b

x x

1nn ta b e p p

)()()( xpeeEtM txtXX


EJEMPLO

Un folder tiene 20 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca el sistema, cada archivo tiene una probabilidad de 0.1 de ser afectado. Calcular la probabilidad de tener 5 archivos afectados en un ataque

n = 20, x = 5, p = 0.1. Entonces

)4()5()5(

0319.09568.09887.09.01.05

20)1.0,20;5()5( 155

FFxP

bxP


DISTRIBUCIÓN DE POISSON

•X es una variable Binomial con n grande y la probabilidad de éxito p muy pequeña, de tal forma que np 10.

.10 !

)( ,..,xx

exp

x



Media & Varianza:

222

0

)]([)(

!)(

XEXE

X

eXXE

Xn

X


0,1,2,!

x

p x e xx

La función generatriz de momentos de X , MX(t) es

DISTRIBUCIÓN DE POISSON (parámetro )

0 !

xntx

x

e ex

0 0

using ! !

t

xt xe u

x x

e ue e e e

x x

1te

e

)()()( xpeeEtM txtXX


LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO LÍMITE DE LA BINOMIAL

np

X

eXppnXb

X

pn

!)(),;(lim

0



0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 6 7

=2=2

XX

p(X)p(X)

0.10.1

0.30.3


EL PROCESO POISSON

Modelación de la ocurrencia de eventos en cierto intervalos de tiempo.

•Número de llamadas por minuto a una central telefónica•Número de clientes por día en una tienda•Número de errores por página en un libro


EJEMPLO

El número promedio de clientes de internet que inician una nueva cuenta es 2 por hora. La probabilidad de la apertura de una cuenta durante este período de tiempo es grande, debido a que existen miles de clientes de internet.

Cuál es la probabilidad de que 4 ó más clientes abran una nueva cuenta de internet en las siguientes dos horas?


EJEMPLO

Estas son precisamente las condiciones de Poisson, luego

14285.0)]3()2()1()0([1)4(

18045.0!3

2)3( ,27068.0

!2

2)2(

27068.0!1

2)1( ,13534.0

!0

2)0(

3222

1202

PPPPXP

eP

eP

eP

eP


EJEMPLO

97% de los mensajes electrónicos son transmitidos sin error. Cuál es la probabilidad de que de 200 mensajes, al menos 195 serán transmitidos correctamente?


DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

•La variable X, representa el número de intentos antes del primer éxito con probabilidad p.

,..2,1 )1()( 1 nppnXP n


DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

•Media & Varianza

2222

1

1

1)]([)(

1)1()(

p

pXEXE

pppnXE n

n


EJEMPLO

• Si la probabilidad de encontrar una frase clave en un sitio de internet por parte de un motor de búsqueda es 0.75, cuál es la probabilidad de que el motor de búsqueda encuentre finalmente la frase en el cuarto sitio visitado?

0117.0)75.0()75.01()4( 14 XP


DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

• X número de éxitos en n intentos con probabilidad de éxito p no constante• Apropiada en aplicaciones que involucran muestreo sin reemplazo y población de tamaño N.

nx

n

N

xn

Nq

x

Np

xXP ,..2,1,0 )(


DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

•Media & Varianza

1

)(

2

N

nNnpq

npXE


EJEMPLO•Una caja contiene 6 chips blancos y 4 negros. Si 4 chips se extraen de manera aleatoria de la caja, cuál es la probabilidad de que se extraigan a lo más 2 chips negros?

•N = 10, n = 4, p = 0.6 y q = 0.4, luego

1428.0

4

10

2

4

2

6

4

10

1

4

3

6

4

10

0

4

4

6

)2(

XP


EJEMPLO•Lotes de 50 piezas son inspeccionados mediante un muestreo simple de 5 piezas extraídas sin reemplazo. Si no se observan defectuosos en la muestra, el lote es aceptado. Calcular la probabilidad de aceptación si se sabe que el lote es 4% defectuoso.

5

50

5

48

0

2

)0(XPPa


FUNCIÓN DE DENSIDAD

Una función f(x) de una variable aleatoria continua X es llamada función de densidad si satisface las siguientes condiciones

1)(

0)(

dxxf

xf



La función de distribución F(X) describe la probabilidad de que X sea menor o igual que cierto valor b

)()()(

)()()(

aFbFbXaP

dxxfbXPxFb


DISTRIBUCIÓN UNIFORME

a b X

f(x)

..

1)(

woo

bxaabxf


EJEMPLO

La dureza Rockwell para cierto tipo de acero varía de 40 a 60 en esta escala. Sea X la dureza Rockwell la cual se asume que está uniformemente distribuida como se muestra. Cuál es la probabilidad de una dureza Rockwell entre 50 y 55?

20

5

20

1

)()5550(

55

50

55

50

dx

dxxpXP

40 60 X

1/20

p(x)


DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

0 X

f(x)

22

0

1

1

1)(

0 )(

xx

x

x

edxexF

xexf

λ


0

0 0

xe xf x

x

La función generatriz de momentos de X , MX(t) es:

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (parámetro )

0

tX tx tx xXm t E e e f x dx e e dx

0 0

t xt x e

e dxt

undefined

tt

t


EJEMPLO Trabajos son enviados a una impresora a razón

de 3 trabajos por hora. Cuál es el tiempo promedio entre trabajos? Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajo sea enviado durante los siguientes 5 minutos?

E(X) = 1/3 hrs = 20 minutos

2212.01|

3)12/1(

4

112/1

03

12/1

0

3

ee

dxeXP

x

x


DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución más importante en Estadística.

Una gran cantidad de fenómenos de la vida diaria pueden ser modelados por esta distribución.

Variables aleatorias asociadas con mediciones pueden ser consideradas como Normales.

Las medias muestrales de cualquier distribución se comportan como una variable normal conforme aumenta el tamaño de muestra (Teorema Central del Límite).


FUNCIÓN DE DENSIDAD

Xe

Xf

X

,2

)(2

2

2

)(


++

FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN


DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Una variable aleatoria X puede ser estandarizada por la transformación

X

Z


DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

La función de densidad es

ze

Zf

Z

,2

)(2

2

Dr. Salvador García L. 60Dr. Salvador García L.

ÁREAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

+k % área

+ 68.26

+2 95.44

+3 99.73

Dr. Salvador García L. 61Dr. Salvador García L.

++

ÁREAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

XX

ZZ0 10 1


DISTRIBUCIÓN NORMAL

La función de distribución F(x) está dada en tabulada al final del texto.

z

z

dze

ZF2

)(2

2


EJEMPLO

La vida de cierto componente electrónico está normalmente distribuido con media de 200hrs y desviación estándar de 22hs. Qué porcentaje de los componentes se necesitará remplazar antes de 150 hs?

0116.0)27.2()150(

27.222

200150

ZPXP

Z


EJEMPLO

Luego, 1.16% de los componentes se espera que duren menos de 150hrs.

150 200150 200

P(X< 150)P(X< 150)


APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si n > 100 y la probabilidad de éxito p no es cercana a cero, entonces las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución Normal.


TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA PARA APLICAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

p n

0.5 30

0.4 ó 0.6 50

0.3 ó 0.7 80

0.2 ó 0.8 200

0.1 ó 0.9 600

0.05 ó 0.95 1400


EJEMPLO

Un nuevo virus de computadora ataca un folder con 200 archivos. Cada archivo tiene de manera independiente una probabilidad de 0.2 de ser afectado. Cuál es la probabilidad de que menos de 50 archivos sean afectados?

657.532 ;32)8.0)(2.0(200

40)2.0(200

2

npq

np


EJEMPLO

Se estandariza el valor de 50 usando la corrección de continuidad.

9535.0)68.1()50(

68.1657.5

405.495.49

ZPXP

Z

mÉtodos cuantitativos y simulaciÓn teoría de probabilidad dr. salvador garcía lumbreras

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