METODO DE LUGAR DE RAICES

METODO DE LUGAR DE RAICESMETODO DE LUGAR DE RAICES La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacin de los polos en lazo cerrado. Es importante que el diseador conozca cmo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme vara la ganancia de lazo Los polos de lazo abierto de un sistema representan caractersticas propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementosINTRODUCIONMETODO LUGAR DE LAS RAICESPOR OTRA PARTE.Los polos de lazo cerrado pueden ser fcilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema.Por qu modificar los polos de lazo cerrado?Las caractersticas de estabilidad de un sistema en lazo cerrado estn ntimamente ligadas con la ubicacin de los polos de lazo cerradoEntonces:-Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de salida sin alterar su naturaleza.-Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentacin y , en el caso mas sencillo, modificando una simple ganancia.METODO LUGAR DE RAICESEl lugar de las races se define como el lugar geomtrico de las races de la ecuacin de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algn otro parmetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuacin de lazo abierto GH(s): Definicin:Condicin de ngulo y magnitudLa ecuacin caracterstica

por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ngulo:

Condicin de magnitudCondicin de nguloTodas las races del lugar de las races cumplen con la condicin de ngulo y magnitud.METODO LUGAR DE RAICES

+-Polos de lazo abierto:

En lazo cerrado

La ecuacin caracterstica es

En lazo abierto

y dependen del valor de KSea el sistema de lazo cerradoMETODO LUGAR DE RAICESReglas de construccin para el lugar de las racesSe expondrn las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las races de1.- Puntos de origen (k = 0)Los puntos de origen del lugar de las races son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

polos finitos

ceros finitos

2.- Puntos terminales (k = ) Los puntos terminales del lugar de las races son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito. METODO LUGAR DE RAICES3.- Nmero de ramas separadas P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.

Ramas separadas4.- Asntotas del lugar de las races

j = 0, 1, 2, 3, hasta N -1= P - Z - 1

METODO LUGAR DE RAICES5.- Interseccin de las asntotas con el eje real.

6.- Lugar de las races sobre el eje real Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las races si el nmero total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar. METODO LUGAR DE RAICES7.- ngulos de salida y llegada El ngulo de salida del lugar de las races de un polo o el ngulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy prximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuacin:

En el caso del ejemplo, los polos estn en el eje real y puede calcularse el ngulo de salida por simple inspeccin. Si se usa la frmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ngulo de salida o llegada.

punto de prueba

punto de pruebaGrficas del lugar de las races

Condiciones de ngulo y magnitud: Segn el sistema la ecuacin de transferenciaMETODO LUGAR DE RAICES8.- Interseccin del lugar de las races con el eje imaginario Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la ecuacin caracterstica . Se obtiene el valor de y el de .

se separan las parte real e imaginaria

METODO LUGAR DE RAICES9.- Puntos de separacin Los puntos de separacin o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:

METODO LUGAR DE RAICES10.- Clculo del valor de K en el lugar de las races

Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condicin de magnitud.