PASSOS para obter lugar geometrico das raizes

1. Obter equação característica = 1+G(S)H(S), de forma que o ganho k (ou outro parametro que for de interesse variar)

apareça como fator de multiplicação k<0 significa realimentação positiva, a condição de módulo deve ser

modificada2. Localizar os polos e zeros de malha aberta

são os pólos e zeros de G(S)H(S) os ramos se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha

aberta se numero de zeros for menor q de polos, há zeros no infinito os zeros de malha aberta = zeros de G(S)H(S), enquantos os zero de malha

fechada são os zeros de G(S) e os polos de H(S) Os pólos de malha aberta são os ponto de partida do LGR, = os pólos de malha

fechada para k=0

3. Determinar o LGR no eixo real: encontra pólos e zeros de malha aberta. O numero de pólos de malha aberta = ao numero de ramos do LGR Pela condição de ângulo pode concluir q o LGR está a esquerda de um número

par de (pólos e/ou zeros), e não existe a esquerda de um número impar Um par de pólos complexos conjugados não contribuem para a condição

angular Se realimentação for positiva: então muda condição angular e LGR esta a

direita de um numero par de pólos e/ou zeros4. Determinar as assintotas’ do LGR

Condição de ângulo tendendo s a infinito Ângulos das assíntotas = (+/-) 180°(2k+1)/ np-nz onde:np é numero de pólos MA

e nz número de zeros finitos MA A medida q k aumenta ângulos começam a se repetir Determinar ponto de interseção das assíntotas com eixo real

¿∑ zeros−∑ polosn° p−n ° z

se realimentação é positiva então condição angular muda e ângulo das assíntotas = +/- k360° / npolos-mzeros finitos

5. Determinar ponto de partida ou chegada do LGR no eixo Real.

Se estiver entre dois pólos de MA o ramo possui um ponto de partida Se estiver entre dois zeros de MA o ramo possui um ponto de chegada Se estiver entre um zero e um pólo: pode existir pontos de chegada e de saída

simultaneamente, mais nunca de forma isolados

O ponto de partida corresponde a um ponto onde ocorre raízes múltipla (pois sempre sai dois ramos pois raízes complexas ocorrem sempre ao pares conjugados)

Eq. Para encontrar ponto de partida no eixo real: dkds = 0

nem todas as raízes serão ponto de partida (deve estasr sobre o LGR e k correspondente a raiz >0)

6. Ponto de partida dos polos complexos conjugados, ou de chegadas e zeros complexos Somatorio dos ângulos para um ponto s de referencia = +/- 180° (2k+1); se o ponto S de referencia é movido perto de um polo complexo, a variação dos

ângulos de todos os outros polos e zeros é insignificativa, apenas o ângulo deste polo complexo é consideravel

então pode se determinar o ângulo de partida θp de um pólo complexo fazendo: θpi = 180 – somatório θp + somatório θz

se realimentação é positiva então: θpi = 0 – somatório (incluindo sinais apropriados)

7. Determinar o lugar onde LGR cruza o eixo imaginário jw. Pode ser usado critério de routh, achando os valores de K que faz elementos da

primeira coluna = 0; pega eq. Auxiliar da linha acima da que usou pra achar k, resolvendo acha valores de “s” no eixo imaginário correspondente aos cruzamentos

Outro método alternativo é trocar s por wj na equação característica e igualar a 0 tanto a parte real como a parte imaginaria, resolvendo encontra valores de k e w

8. Escolher ponto de teste em torno do cruzamento com eixo imaginário e em torno da origem

a. a parte mais importante do LGR é próximo ao eixo jw e próximo a origem, nessa região LGR deve ser obtido com mais precisão

b. Aplica condição angular aos pontos de testes a “soma” obedecendo sinal, deve = 0

c. A soma dos ângulos no ponto de teste (se não der 0) indicara a direção em que o ponto deve ser movido

9. Desenhar LGR10. OBS: se realimentação é positiva, então condição angular muda: muda a regra para:

a. LGR no eixo real esta a direita de um numero par de pólos e/ou zerosb. e ângulo das assíntotas = +/- k360° / npolos-mzeros finitos

c. ângulo de partida de polos complexos conjugado θpi = 0 – somatório (incluindo sinais apropriados)

d. obs(os gráficos de realimentação negativa e de positiva são complementares)