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Optimização e Decisão

06/10/2008

Método do Simplex

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Vânio Correia - 55671

Domingos Massala - 58849INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Generalidades do Método do Simplex

� Procedimento algébrico iterativo para resolver problemas de programação linear.

� Fácil implementação computacional…

� Boa ferramenta de cálculo para problemas com muitas variáveis (limitação do método gráfico).

� Apresenta-se num formato especial (Forma canónica)

� Restrições sob a forma de igualdade

� Introduz novas variáveis – variáveis de folga

Domingos Massala/Vânio Correia - IST 2008

2

� Introduz novas variáveis – variáveis de folga

� A função objectivo transforma-se num constrangimento…

� Processo iterativo através do método tabular

Exemplo� Empresa de fabrico de alcatifas…

ProductosProductos

A BRecurso disponível

Máquina 1 3 4 12

Máquina 2 7 3 14

Margem contribuição

(€)

40 30

Objectivo: Determinar X1 e X2 que maximizam o lucro


3

Objectivo: Determinar X1 e X2 que maximizam o lucro

Variáveis de Decisão: Quantidade de alcatifas a produzir do tipo j, Xj; j = 1, 2.

Exemplo(Formulação)

� Formulação do problema

21 3040 XXMaxZ += 21 3040 XXMaxZ +=

1243 21 ≤+ XX

1427 21 ≤+ XX

0, 21 ≥XX

• Formulação do problema através do método do Simplex

03040 21 =−− XXZ Notar que a função objectivo é


4

03040 21 =−− XXZ

1243 321 =++ XXX

1427 421 =++ XXX

0,,, 4321 ≥XXXX

Notar que a função objectivo é apresentada em forma de restrição

X3 e X4 são as variáveis de folga(Slack variables)

Exemplo(Solução Inicial)

� Método do Simplex na forma tabular

V. Variáveis não Básicas

Quadro inicial

• Solução básica inicial

=12X =0X

V.

Básicas

Variáveis não Básicas

bjZ X1 X2 X3 X4

Z 1 -40 -30 0 0 0

X3 0 3 4 1 0 12

X4 0 7 2 0 1 14


5

Variáveis básicas

=

=

14

12

4

3

X

XVariáveis não básicas

=

=

0

0

2

1

X

X

0=∧ Z

Exemplo(Iteração 0)

V.

Básicas


bj

Z X1 X2 X3 X4

Valor mínimo27

14

43

12

=

=

Coluna pivot Número pivot

• Troca de variáveis – Básica/Não Básica

Linha Pivot

Z 1 -40 -30 0 0 0

X3 0 3 4 1 0 12

X4 0 7 2 0 1 14


6

Sai X4:

=<= 4

a

b2

a

b

11

1

21

2 )3040( −>−Entra X1:

Exemplo(1ª Iteração)

� Processo de eliminação de Gauss (Condensação de Gauss)V.

Básicas


bjZ X1 X2 X3 X4

L1 + 40*L3

L2 – 3*L3

• Solução Básica

=

=

6

2

3

1

X

X

=

=

0

0

4

2

X

X

Variáveis básicas 80=∧ Z Variáveis não básicas

Básicas bjZ X1 X2 X3 X4

Z 1 0 -18.57 0 5.71 80

X3 0 0 3.14 1 -0.42 6

X1 0 1 0.29 0 0.14 2


7

= 63X

• Teste de Optimalidade

Há coeficientes negativos na linha correspondente à função objectivo, logo, a solução não é óptima! Recorrer à nova iteração.

Exemplo(2ª Iteração)

V.

Básicas


bjZ X1 X2 X3 X4

Z 1 0 -18.57 0 5.71 80

729.0

2

91.114.3

6

≅

= Valor mínimo

• Troca de variáveis – Básica/Não BásicaSai X3: 1.91 < 7 Entra X2: Única possibilidade

Z 1 0 -18.57 0 5.71 80

X3 0 0 3.14 1 -0.42 6

X1 0 1 0.29 0 0.14 2

V.

Básicas


bjZ X1 X2 X3 X4

Z 1 0 0 5.91 3.1 115.45


8

Não há coeficientes negativos na linha correspondente à função objectivo, Logo, a solução é óptima!

Z 1 0 0 5.91 3.1 115.45

X2 0 0 1 0.31 -0.14 1.91

X1 0 1 0 -0.09 0.18 1.45

Exemplo(conclusão)

� Solução Óptima

= 91.1X

=Variáveis básicas

=

=

45.1

91.1

1

2

X

X

45.115max =Z

=

=

0

0

4

3

X

X

Variáveis básicas

Variáveis não básicas


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Outros casos a considerar� Igualdade entre os coeficientes negativos na linha referente à

variável de decisão

Escolha arbitrária da variável que entra (N.Básica para Básica)

� Igualdade nas razões bj/aj que definem a variável que sai…

Escolha arbitrária da variável que sai

� Várias soluções óptimas

O Simplex acha apenas uma delas. Acham-se as outras


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O Simplex acha apenas uma delas. Acham-se as outras prosseguindo o algoritmo, com a escolha de uma variável não básica de coeficiente zero como variável básica…

Casos Particulares� Constrangimentos de igualdade

Não há uma solução inicial óbvia. Recorremos ao uso de variáveis artificiais e ao MÉTODO DO GRANDE M.variáveis artificiais e ao MÉTODO DO GRANDE M.

� Lado direito da desigualdade apresenta valor com sinal negativoMultiplicar a inequação por -1.

� Constrangimentos funcionais na forma de >=Usar as ’’surplus variables’’ e as variáveis artificiais/Método do Grande M.


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Grande M.

� Problema de Minimização de ZMaximizar -Z

Análise Pós-Óptima� Reoptimização

Quando se altera ligeiramente o problema, pode-se obter uma nova Quando se altera ligeiramente o problema, pode-se obter uma nova solução a partir do quadro final do Simplex.

� Preço Sombra (Shadow price)

Para um dado recurso j, dá-nos uma medida do aumento de Z variando ligeiramente a quantidade (disponibilidade) do recurso bj.

Para o exemplo analisado, os preços sombra são y*1=5.91 e


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Para o exemplo analisado, os preços sombra são y*1=5.91 e y*2=3.1.

Os preços sombra são parte da ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Análise de Sensibilidade� Identificar os parâmetros sensíveis (aqueles que não se podem

alterar sem que causem alteração à solução óptima)

Parâmetros bj podem ser analisados usando os preço sombra

Parâmetros cj podem ser analisados graficamente para problemas de duas variáveis

Parâmetros aij podem igualmente ser analisados graficamente


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Obrigado pela atenção


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