Metodo della moltiplicazione

h(k) = m(kA mod 1)

in cui A è una costante reale con 0 < A < 1 ed x mod 1 = x – x è la parte frazionaria.

Vantaggi : la scelta di m non è critica e nella pratica funziona bene con tutti i valori di A anche se ci sono ragioni teoriche per preferire l’inverso del rapporto aureo

2/)15( A

h(k) si calcola facilmente se si sceglie m = 2p e A = q/2w con 0 < q < 2w dove w è la lunghezza di una parola di memoria.

kq

=

r1

w bit

h(k)p bit

r0

)1mod(

1mod2

22

2)( 0

kAm

kqrkh

wp

wp

Randomizzazione di funzioni hash

Più seriamente: per ogni funzione hash si possono trovare delle distribuzioni di probabilità degli input per le quali la funzione non ripartisce bene le chiavi tra le varie liste della tavola hash.

Nessuna funzione hash può evitare che un avversario malizioso inserisca nella tavola una sequenza di valori che vadano a finire tutti nella stessa lista.

Possiamo usare la randomizzazione per rendere il comportamento della tavola hash indipendente dall’input.

L’idea è quella di usare una funzione hash scelta casualmente in un insieme “universale” di funzioni hash.

Questo approccio viene detto hash universale.

Un insieme H di funzioni hash che mandano un insieme U di chiavi nell’insieme {0,1,...,m-1} degli indici della tavola hash si dice universale se:

“per ogni coppia di chiavi distinte j e k vi sono al più |H|/m funzioni hash in H tali che h(j) = h(k)”

Se scegliamo casualmente la funzione hash in un insieme universale H la probabilità che due chiavi qualsiasi j e k collidano è 1/m, la stessa che si avrebbe scegliendo casualmente le due celle in cui mandare j e k.

Proprietà : Supponiamo che la funzione hash h sia scelta casualmente in un insieme universale H e venga usata per inserire n chiavi in una tavola T di m celle e sia k una chiave qualsiasi.La lunghezza attesa E[nh(k)] della lista h(k) è α = n/m se k non è presente nella tavola ed è minore di α+1 se k è presente.

Quindi, indipendentemente dalla distribuzione degli input, una Search richiede tempo medio (1+α) che, se n = O(m), è (1).

Dimostrazione : Per ogni coppia di chiavi distinte j e k definiamo una variabile casuale Xj,k che vale 1 se h(j) = h(k) e 0 altrimenti.

jkTk

kjj XY,

,

che è il numero di chiavi diverse da j che stanno nella lista h(j).

Per ogni j definiamo la variabile casuale

Siccome la probabilità che h(j) = h(k) è 1/m abbiamo E[Xj,k] = 1/m.

Il valore atteso di Yj è

jkTkjkTk

kjjkTk

kjj mXXY

,,,

,,

1]E[]E[]E[

Se j non è presente nella tavola nh(j)=Yj ed il numero di elementi in T diversi da j è n per cui

m

nYn jjh ]E[]E[ )(

Se j è presente nella tavola nh(j)=Yj+1 ed il numero di elementi in T diversi da j è n-1 per cui

111

1]E[]E[ )(

m

nYn jjh

Come costruire un insieme universale di funzioni hash

Contrariamente a quanto potrebbe sembrare non è molto difficile. Bastano poche nozioni elementari di aritmetica modulare.

Per ogni coppia di interi (a,b) tali che 1 ≤ a < p e 0 ≤ b < p definiamo una funzione hash.

mpbakkh ba mod]mod)[()(,

Iniziamo scegliendo un numero primo p maggiore di ogni possibile chiave k.

Proprietà : la famiglia di funzioni

H = {ha,b : 1 ≤ a < p, 0 ≤ b < p}

è universale

pbakr mod)(

Dimostrazione : Spezziamo il calcolo di

in due fasi calcolando prima:

mpbakkh ba mod]mod)[()(,

mrkh ba mod)(, e poi:

Mostreremo dapprima che per ogni coppia (k,j) di chiavi distinte sono distinti anche

Ci sono p(p-1) coppie (a,b), 1 ≤ a < p e 0 ≤ b < p.

Anche le coppie (k,j) di chiavi distinte tali che 0 ≤ k, j < p sono p(p-1).

pbakr mod)( pbajs mod)(

e inoltre, al variare di a e b, si ottengono tutte le coppie distinte (r,s) con 0 ≤ r,s < p

Siano j e k due chiavi distinte e siano pbakspbajr mod)( mod)(

Quindi se le chiavi j e k sono diverse anche r ed s sono diversi.

Osserviamo che

r - s = a (j - k) mod p ≠ 0

in quanto a e j - k non sono divisibili per p (perché 1 ≤ a < p e 1 ≤ | j – k | < p)

Dimostreremo ora che date una coppia (j,k) di chiavi distinte ed una coppia (r,s) di valori distinti con 0 ≤ r,s < p esiste una ed una sola coppia (a,b) di interi tali che

r = (aj +b) mod p

s = (ak +b) mod p

1 ≤ a < p

0 ≤ b < p

Per questo basta dimostrare che tale sistema ha una e una sola soluzione per a e b.

Il sistema:

r = (aj + b) mod p

s = (ak + b) mod p

1 ≤ a < p

0 ≤ b < p

si risolve nel modo seguente:Sottraendo le due equazioni otteniamo

(r – s) mod p = a (j – k) mod pSiccome p è primo e j – k è diverso da 0 esiste l’inverso moltiplicativo z = (j – k)–1 tale che z(j – k) mod p = 1.

Esistenza inverso moltiplicativoEsistono x e y tali che MCD(a,b) = ax + by

Dimostrazione per induzione su b Se b = 0:

Se b > 0:

01),( baabaMCD

)'/'('

')/('

induttiva) (Ipotesi ')mod('

)mod,(),(

ybaxbay

ybbaabx

ybabx

babMCDbaMCD

Se MCD(a,b)=1 esiste x tale che ax = 1 mod b

Per la proprietà precedente

e quindi:

1),( byaxbaMCD

1modmod)( baxbbyax

Siccome MCD(j – k, p) = 1 in quanto p è primo e 1 ≤ | j – k | < p possiamo concludere che l’inverso moltiplicativo z = (j – k)–1 di (j – k) esiste.

Quindi

Esplicitando la prima equazione rispetto a b si ottiene

pajrpb mod )(mod La condizione 0 ≤ b < p implica

b mod p = b

e quindi anche b = (r - aj) mod p è unico

0modmod)( papsrz

La condizione 1 ≤ a < p implica a mod p = a e quindi a = z (r - s) mod p è unico

Dunque per ogni coppia (j,k) di chiavi distinte ed ogni coppia (r,s) di valori distinti 0 ≤ r,s < p esiste una ed una sola funzione ha,b tale che

r = (aj +b) mod p s = (ak +b) mod p

Dunque, date due chiavi distinte j e k, se scegliamo casualmente ha,b i due valori

r = (aj +b) mod p s = (ak +b) mod psono, con uguale probabilità, una qualsiasi coppia di valori distinti tra 0 e p-1.

La probabilità che j e k collidano è uguale alla probabilità che s = r mod m quando la coppia (r,s) di valori distinti viene scelta casualmente

Dato r il numero di valori s con 0 ≤ s < p tali che s = r mod m è al più p/m e tra questi quelli diversi da r sono al più

m

p

m

mpmp

11

11/

mm

p

p

11

1

1

Quindi la probabilità di una collisione è al più

Dunque se j e k sono chiavi distinte ed a e b sono scelti casualmente

m

khjh baba

1)()( Pr ,,

e quindi

è una famiglia universale di funzioni hash.

H = {ha,b : 1 ≤ a < p, 0 ≤ b < p}

Risoluzione delle collisioni con indirizzamento aperto

Con la tecnica di indirizzamento aperto tutti gli elementi stanno nella tavola.La funzione hash non individua una singola cella ma un ordine in cui ispezionare tutte le celle.

L’inserimento di un elemento avviene nella prima cella libera che si incontra nell’ordine di ispezione.

Nella ricerca di un elemento si visitano le celle sempre nello stesso ordine.

La funzione hash è una funzione h(k,i) che al variare di i tra 0 ed m-1 fornisce, per ciascuna chiave k, una sequenza di indici

h(k,0), h(k,1),..., h(k,m-1)

che rappresenta l’ordine di ispezione.

Siccome vogliamo poter ispezionare tutte le celle, la sequenza deve essere una permutazione dell’insieme degli indici 0,1,..., m-1 della tavola.

La realizzazione delle operazioni è:Insert(T, k) i = 0 repeat j = h(k, i) if T[ j ] == nil T[ j ] = k return j i = i +1 until i == m “Errore : tavola piena”

La realizzazione di Delete è più complicata Non possiamo infatti limitarci a porre nil nella cella!!! Perché ???

Search(T, k) i = 0 repeat j = h(k, i) if T[ j ] == k return j i = i +1 until i == m or T[ j ] == nil

Delete(T, i) T[ i ] = deleted

La Delete si limita ad assegnare alla chiave dell’elemento da togliere un particolare valore diverso da ogni possibile chiave:

La Search continua a funzionare invariata:

Search(T, k) i = 0 repeat j = h(k, i) if T[ j ] == k return j i = i +1 until i == m or T[ j ] == nil

La Insert deve essere modificata:

Insert(T, k) i = 0 repeat j = h(k, i) if T[ j ] == nil or T[ j ] == deleted T[ j ] = k return j i = i+1 until i == m “Errore: tavola piena”

Con l’indirizzamento aperto la funzione hash fornisce una sequenza di ispezione.

In questo caso l’ipotesi di hash uniforme diventa:

“Ogni chiave ha la stessa probabilità 1/m! di generare una qualsiasi delle m! possibili sequenze di ispezione”

Vi sono tre tecniche comunemente usate per determinare l’ordine di ispezione:

1. Ispezione lineare

2. Ispezione quadratica

3. Doppio hash

Nessuna delle tre genera tutte le m! sequenze di ispezione.Le prime due ne generano soltanto m e l’ultima ne genera m2.