UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS

Consulta de Resistencia de Materiales II

MÉTODO ÁREA-MOMENTO

ALUMNO:

BRAVO MERO MILTON GERARDO

DOCENTE:

Ing. Jimmy García Mejía

NIVEL:

5to “E” Ingeniería Civil

METODO DEL AREA DE MOMENTOS

El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873

Este método es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de una viga.

Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección transversal variable.

El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos más adelante pero que presentaremos a continuación:

1er. Teorema:

“El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez " (M/EI).2º. Teorema:

" La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aunque sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura 1-c.

Fig: 1-a, b, c

Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:

Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos:

O bien:

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene:

Ecuación (b)

Evidentemente,dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos:

Ecuación (c)

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ:

dt = x dθ

De donde

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b)

Ecuación (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son distintas.

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

Las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la forma:

Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar de esta forma o de la anteriormente descrita.

Teorema 1:

La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos.

La figura 1-c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B.

Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:

TB/A = 1/EI *(área)AB XB

ecuaciónvalidaledeterminación del teorema 2

Teorema 2:

La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B.

El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común.

En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea obtener por lo que conviene ponerle a x el subíndice correspondiente, por ejemplo B que indica que el brazo de momentos se toma hasta ese punto el subíndice b es el mismo de t, B/A

Convención de signos

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda debajo de dicha tangente.

Positivo Negativo

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de la variación de pendiente θAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada enel punto más a la izquierda, A, es decir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos de θAB.