método das for ças – sistema principal · normalmente, tomamos como sistema principal uma s...
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MMéétodo das Fortodo das Forçças as –– Sistema PrincipalSistema Principal
Consideremos o pConsideremos o póórtico plano da figura seguinte. A rrtico plano da figura seguinte. A róótula em Dtula em D
expressa que não hexpressa que não háá transmissão de momento fletor da barra CDtransmissão de momento fletor da barra CD
para a extremidade D das barras BD e DF. Na extremidade D dapara a extremidade D das barras BD e DF. Na extremidade D da
barra CD pode haver apenas forbarra CD pode haver apenas forçça cortante e fora cortante e forçça normal. Aoa normal. Ao
se abrir a parte fechada CDEF na rse abrir a parte fechada CDEF na róótula, altula, aléém das 4 ream das 4 reaçções deões de
apoio, haverapoio, haveráá 6 inc6 incóógnitas. Como no plano temos 3 equagnitas. Como no plano temos 3 equaçções deões de
equilequilííbrio, o grau hiperestbrio, o grau hiperestáático sertico seráá 6 6 –– 3 = 3. (dois internos e3 = 3. (dois internos e
um externo). Abrindo a estrutura em outra seum externo). Abrindo a estrutura em outra seçção, como na seão, como na seççãoão
extrema esquerda da barra CD, haverextrema esquerda da barra CD, haveráá um esforum esforçço a mais o a mais
(momento fletor) que no caso precedente, mas haver(momento fletor) que no caso precedente, mas haveráá tambtambéém m
a equaa equaçção adicional de ão adicional de ΣΣ MMDDCDCD =0. Logo o grau de=0. Logo o grau de
indeterminaindeterminaçção estão estáática independe de como se abre a estrutura.tica independe de como se abre a estrutura.
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Escolha do Sistema PrincipalEscolha do Sistema Principal
Exemplo de uma viga de grau hiperestático 2
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1) Calcular os diagramas de esfor1) Calcular os diagramas de esforçços solicitantes da viga daos solicitantes da viga da
figura em que as barras têm rigidez EJ, desconsiderando a figura em que as barras têm rigidez EJ, desconsiderando a
deformadeformaçção da forão da forçça cortante e adotando o SP indicado.a cortante e adotando o SP indicado.
A figura seguinte apresenta os estados E0, E1 e E2, juntamente com os
correspondentes diagramas de momento fletor. Os coeficientes dij são:
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Obs: Em anObs: Em anáálise de estruturas com barras de mesma rigidez EJ,lise de estruturas com barras de mesma rigidez EJ,
considerando apenas deformaconsiderando apenas deformaçção de momento fletor, as reaão de momento fletor, as reaççõesões
de apoio e os esforde apoio e os esforçços solicitantes independem dessa rigidez.os solicitantes independem dessa rigidez.
A combinaA combinaçção linear E0 + E1 X1 + E2 X2 fornece quaisquerão linear E0 + E1 X1 + E2 X2 fornece quaisquer
esforesforçços no estado E.os no estado E.
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Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos
Para cada estrutura estão representados dois sistemas principais.
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Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos
Para cada estrutura estão representados dois sistemas principais.
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Escolha do Sistema Principal Escolha do Sistema Principal -- ExemplosExemplos
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2) Calcular os diagramas dos esfor2) Calcular os diagramas dos esforçços solicitantes devido a umos solicitantes devido a um
acracrééscimo de temperatura de 17 scimo de temperatura de 17 °°C na face superior da viga e aC na face superior da viga e a
um acrum acrééscimo de 5 scimo de 5 °°C em sua face inferior, tendoC em sua face inferior, tendo--se E = 3,0 x se E = 3,0 x
101077 kN/mkN/m22, , αα = 10= 10--55 //°°C, Jpilar = 0,4202 mC, Jpilar = 0,4202 m44 e Jviga = 2,354 me Jviga = 2,354 m44..
Pilar central engastado no bloco e na viga e apoios nos encontros de primeiro gênero
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Coeficientes de Flexibilidade:Coeficientes de Flexibilidade:
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Para o cPara o cáálculo dos coeficientes d10 e d20, como as forlculo dos coeficientes d10 e d20, como as forççasas
normais nas barras em que ocorre varianormais nas barras em que ocorre variaçção de temperatura sãoão de temperatura são
nulas, consideraremos apenas a parcela de flexão devida nulas, consideraremos apenas a parcela de flexão devida àà
variavariaçção de temperatura. (ão de temperatura. (∆∆t/h = (5t/h = (5--17)/1,8 = 17)/1,8 = --6,6667 6,6667 °°C/m C/m
Sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos
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Diagramas de EsforDiagramas de Esforçços Solicitantesos Solicitantes
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AplicaAplicaçções do Mões do Méétodo das Fortodo das Forççasas
a) Vigas simples: calcular o DMF para a viga da figura.a) Vigas simples: calcular o DMF para a viga da figura.
Como EJ é constante, calcularemos, ao invés dos deslocamentos
reais, seus valores multiplicados por EJ.
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Utilizando as tabelas:Utilizando as tabelas:
d11 = 1/3 x 1 x 1 x 8,00 = 2,67d11 = 1/3 x 1 x 1 x 8,00 = 2,67
d10 = 1/3 x 1 x 24 x 8 = 64,00 X1 = d10 = 1/3 x 1 x 24 x 8 = 64,00 X1 = --64,00/2,67 = 64,00/2,67 = --2424
M = M0 + M1 X1M = M0 + M1 X1
MA = 0 + 1 x (MA = 0 + 1 x (--24) = 24) = --24 24
MB = 0 + 0 x (MB = 0 + 0 x (--24) = 0 24) = 0
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Calcule o DMF e as reaCalcule o DMF e as reaçções de apoio para a viga. ões de apoio para a viga.
Aplicar hiperestáticos no ponto A
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b) Vigas contb) Vigas contíínuas: calcular o DMF para a viga da figura.nuas: calcular o DMF para a viga da figura.
Normalmente, tomamos como sistema principal uma sNormalmente, tomamos como sistema principal uma séérierie
de vigas rotuladas nos extremos, como mostra a figura. de vigas rotuladas nos extremos, como mostra a figura.
Os diagramas auxiliares são constituídos por triângulos
com momentos unitários e os diagramas M0 coincidem
com diagramas de cargas de vigas em dois apoios simples.
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Para os coeficientes dk0, as expressões dependem do tipo de Para os coeficientes dk0, as expressões dependem do tipo de
carregamento. Estas expressões coincidem com as rotacarregamento. Estas expressões coincidem com as rotaçções nosões nos
extremos das vigas em dois apoios simples para o carregamentoextremos das vigas em dois apoios simples para o carregamento
dado. No caso de carga uniformemente distribudado. No caso de carga uniformemente distribuíída, temos:da, temos:
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c) Exercc) Exercíício para casa: calcular o DMF para a viga da figura. cio para casa: calcular o DMF para a viga da figura.
Respostas:
M1 = -39,18 kNm
M2 = -61,41 kNm
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d) Quadros simples retangulares: calcular o DMF para o quadro.d) Quadros simples retangulares: calcular o DMF para o quadro.
X1 = 1 e HA = 1/3 X1 = 1/3
Os comprimentos elásticos são: (Jb = 200 dm4)
L’1 = L’3 = (200/100) x 3,00 = 6,00
L’2 = (200/200) x 8,00 = 8,00
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d11 = 1/3 x 6,00 + 8,00 + 1/3 x 6,00 = 12,00 d11 = 1/3 x 6,00 + 8,00 + 1/3 x 6,00 = 12,00
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Ma = 0 + (-1) x 8,11 = -8,11 kNm
Mb = -6 + (-1) x 8,11 = -14,11 kNm
Mc = q.a.b/2 + P.a.b/L = 2 x 2 x 6/2 + 8 x 2 x 6/8 = 24 kNm
y1= qa2/8 = 2 x 62/8 = 9 kNm; y2= qb2/8 = 2 x 22/8 = 1 kNm
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MarcandoMarcando--se o valor de Mc a partir da linha de fechamento e,se o valor de Mc a partir da linha de fechamento e,
em seguida, as ordenadas y1 e y2, completamos o diagramaem seguida, as ordenadas y1 e y2, completamos o diagrama
para a barra horizontal, sendo que para as hastes verticais opara a barra horizontal, sendo que para as hastes verticais os s
diagramas são lineares. diagramas são lineares.
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e) Trelie) Treliçças:as:
Carregamento Externo N0 Hiperestático X1 = 1
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N0: ResoluN0: Resoluçção de uma trelião de uma treliçça isosta isostáática tica
DeterminaDeterminaçção de N01, N02, N03, ..., N0não de N01, N02, N03, ..., N0n
N0i = 0; E d10 = N0i = 0; E d10 = ΣΣ N1j N0j Lj / SjN1j N0j Lj / Sj
N1: ResoluN1: Resoluçção de uma trelião de uma treliçça isosta isostáática (X1 = 1) tica (X1 = 1)
DeterminaDeterminaçção de N11, N12, N13, ..., N1não de N11, N12, N13, ..., N1n
N1i = 1; E d11 = N1i = 1; E d11 = ΣΣ N1j N1j Lj / SjN1j N1j Lj / Sj
d10 + d11 X1 = 0d10 + d11 X1 = 0
N = N0 + N1 X1N = N0 + N1 X1
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Calcular o Diagrama de EsforCalcular o Diagrama de Esforçços Normais para a trelios Normais para a treliçça:a:
A = 0,01 mA = 0,01 m22
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f) Quadros poligonais: Calcular o DMF para o quadro.f) Quadros poligonais: Calcular o DMF para o quadro.
Comprimento da barra inclinada: SQRT(8,002 + 4,002) = 8,95 m
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Comprimentos elComprimentos eláásticos: (Jbsticos: (Jbáásico = 100 dmsico = 100 dm44))
L1L1’’ = L1 = L4= L1 = L4’’ = L4 = 6,00 m= L4 = 6,00 m
L2L2’’ = L3= L3’’ = 8,95 x 100/74,5 = 12,00 m= 8,95 x 100/74,5 = 12,00 m
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Coeficientes de flexibilidade: (metade do quadro)Coeficientes de flexibilidade: (metade do quadro)
d11 = 1/3 x (d11 = 1/3 x (--1) x (1) x (--1) x 6 + 1/3 x (11) x 6 + 1/3 x (122 + 1,667+ 1,66722 + +
1,667 x 1) x 12 = 23,781,667 x 1) x 12 = 23,78
Carga uniforme:Carga uniforme:
d10d10’’ = = --1/12 x 32 x (3 x 1,667 + 3 x 1 ) = 1/12 x 32 x (3 x 1,667 + 3 x 1 ) = --362,67362,67
Carga concentrada:Carga concentrada:
d10d10’’’’ = = --1/6 x 40 x (2 x 1,667 + 1) = 1/6 x 40 x (2 x 1,667 + 1) = --346,67346,67
Carga dos balanCarga dos balançços:os:
d10d10’’’’’’ = 1/2 x (1,667 + 1) x 10 x 12 = 160,00= 1/2 x (1,667 + 1) x 10 x 12 = 160,00
Total:Total:
d10 = d10 = --362,67 + 362,67 + --346,67 + 160,00 = 346,67 + 160,00 = --549,33 549,33
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X1 = 549,33/23,78 = 23,10X1 = 549,33/23,78 = 23,10
Momentos Fletores:Momentos Fletores:
M1 = M1 = --10 + (10 + (--1) x 23,10 = 1) x 23,10 = --33,10 kNm33,10 kNm
M2 = 32 + 40 M2 = 32 + 40 –– 10 + (10 + (--1,667) x 23,10 = 23,50 kNm1,667) x 23,10 = 23,50 kNm
Diagrama Final para a metade do quadro:Diagrama Final para a metade do quadro:
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ExercExercíício para casa:cio para casa:
Calcular o DMF para o quadro da figura. Calcular o DMF para o quadro da figura.
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Cargas:
qv = qi cos α
qh = qi sen α
Comprimentos:
(1 m inclinado)
cos α na horizontal
sen α na vertical
qvertical / mhorizontal = qi cos α / cos α = qi
qhorizontal / mvertical = qi sen α / sen α = qi
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Estruturas com Tirantes:Estruturas com Tirantes:
O tirante trabalha apenas à tração. Se, após o cálculo da
estrutura, o sinal da força no tirante indicar um esforçode compressão, o tirante não funcionará.
Hipótese 1: Tirante indeformável
No cálculo dos tirantes indeformáveis, leva-se em conta
apenas a influência dos momentos fletores.
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Hipótese 2: Tirante deformável ou elástico
Neste caso deve-se incluir no cálculo dos coeficientes o
trabalho virtual devido ao esforço normal no tirante.
dki (tirante) = ∫ (Nk Ni / Et At) dx
E Jb dki (tirante) = Nk Ni E Jb L/ Et At
No caso do exemplo da figura:
d22 (tirante) = (N2)2 (E / Et) (Jb / At) L
Se considerarmos E = Et:
d22 (tirante) = (N2)2 (Jb / At) L
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ExercExercíício: resolver a estrutura com tirante da figura. cio: resolver a estrutura com tirante da figura.
Comprimentos elásticos: L1’ = 6,00 m; L2’ = 12,00 m.
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Considerando para SP o quadro simples isostConsiderando para SP o quadro simples isostáático da figura, astico da figura, as
incincóógnitas serão: X1 = 6 H e X2 = 4 N, sendo H a forgnitas serão: X1 = 6 H e X2 = 4 N, sendo H a forçça horizontal naa horizontal na
rróótula esquerda e N o esfortula esquerda e N o esforçço no tirante. o no tirante.
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Coeficientes: (quadro todo)Coeficientes: (quadro todo)
E Jb d11 = 2 x [1/3 x 1 x 1 x 6 + 1/3 (1E Jb d11 = 2 x [1/3 x 1 x 1 x 6 + 1/3 (122 + 1,667+ 1,66722 + +
1 x 1,667) x 12 = 47,561 x 1,667) x 12 = 47,56
E Jb d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 12 = 8,00E Jb d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 12 = 8,00
E Jb d12 = 2 x [1/6 x 1 x (2 x 1,667 + 1) x 12 = 17,33E Jb d12 = 2 x [1/6 x 1 x (2 x 1,667 + 1) x 12 = 17,33
Apenas Carga Uniforme:Apenas Carga Uniforme:
E Jb d10 = 2 x [E Jb d10 = 2 x [--1/12 x 32 x (5 x 1,667 + 3 x 1) x 12] =1/12 x 32 x (5 x 1,667 + 3 x 1) x 12] =
--725,33725,33
E Jb d20 = E Jb d20 = --2 x 5/12 x 32 x 1 x 12 = 2 x 5/12 x 32 x 1 x 12 = --320320
Resolvendo o sistema:Resolvendo o sistema:
X1 = 3,20 e X2 = 33,07 (traX1 = 3,20 e X2 = 33,07 (traçção no tirante)ão no tirante)
M1 = M1 = --3,20 e M2 = 32 3,20 e M2 = 32 –– 1,667 x 3,20 1,667 x 3,20 –– 1 x 33,07 = 1 x 33,07 = --6,40 6,40
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Carga Horizontal: (Sempre em conjunto com a carga uniforme)Carga Horizontal: (Sempre em conjunto com a carga uniforme)
E Jb d10 = 1/6 x 14 x (2 x 1,667 + 1) x 12 + 1/6 x [14 x (2 xE Jb d10 = 1/6 x 14 x (2 x 1,667 + 1) x 12 + 1/6 x [14 x (2 x
1,667 + 1) + 12 x (2 x 1 + 1,667)] x 12 + 1/1,667 + 1) + 12 x (2 x 1 + 1,667)] x 12 + 1/3 x 12 x 13 x 12 x 1
x 6 = 354,67x 6 = 354,67
E Jb d20 = 1/3 x 14 x 1 x 12 + 1/6 x 1 x (2 x 14 + 12) x 12 =E Jb d20 = 1/3 x 14 x 1 x 12 + 1/6 x 1 x (2 x 14 + 12) x 12 =
136,00 136,00
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Resolvendo o sistema para o carregamento total:Resolvendo o sistema para o carregamento total:
d10 = d10 = --725,33 + 354,67 = 725,33 + 354,67 = --370,67370,67
d20 = d20 = --320,00 + 136,00 = 320,00 + 136,00 = --184,00184,00
X1 = 2,80 e X2 = 29,06 (ainda traX1 = 2,80 e X2 = 29,06 (ainda traçção)ão)
M1 = 2,80; M1 = 2,80;
M2 = 32 M2 = 32 –– 14 + 1,667 x 2,80 14 + 1,667 x 2,80 –– 1 x 29,06 = 1 x 29,06 = --6,406,40
M3 = M3 = --12 + 2,80 = 12 + 2,80 = --9,20 9,20
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Vamos resolver agora o exercVamos resolver agora o exercíício considerando umcio considerando um
tirante eltirante eláástico com stico com áárea de 4 cmrea de 4 cm2 2 (a(açço). o).
Assim, d22 = dAssim, d22 = d’’22(tirante r22(tirante ríígido) + dgido) + dtt2222
ddtt22 = N222 = N222 x (E / Et) x (Jb / At) x Lx (E / Et) x (Jb / At) x L
Jb = 100 dmJb = 100 dm44; At = 4 cm; At = 4 cm22; N2 = 1/4; Et = 10 E (concreto); N2 = 1/4; Et = 10 E (concreto)
ddtt22 = (1/4)22 = (1/4)22 x (1/10) x (100 x 10x (1/10) x (100 x 10--44/4 x 10/4 x 10--44) x 16 = 2,50) x 16 = 2,50
d22 = 8,00 + 2,50 = 10,50d22 = 8,00 + 2,50 = 10,50
Resolvendo os sistemas:Resolvendo os sistemas:
47,56 X1 + 17,33 X2 = 725,33 X1 = 10,40 e X2 = 13,3147,56 X1 + 17,33 X2 = 725,33 X1 = 10,40 e X2 = 13,31
17,33 X1 + 10,50 X2 = 320,00 (carga uniforme) 17,33 X1 + 10,50 X2 = 320,00 (carga uniforme)
47,56 X1 + 17,33 X2 = 370,67 X1 = 3,53 e X2 = 11,69 47,56 X1 + 17,33 X2 = 370,67 X1 = 3,53 e X2 = 11,69
17,33 X1 + 10,50 X2 = 184,00 (carga total)17,33 X1 + 10,50 X2 = 184,00 (carga total)
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Carga uniforme: Carga uniforme:
M1 = M1 = --10,40 10,40
M2 = 32 M2 = 32 –– 1,667 x 10,40 1,667 x 10,40 –– 1 x 13,31 = 1,351 x 13,31 = 1,35
Carga total:Carga total:
M1 = M1 = --3,53; M2 = 32 3,53; M2 = 32 --14 14 –– 1,667 x 3,53 1,667 x 3,53 –– 1 x 11,69 = 0,431 x 11,69 = 0,43
M3 = M3 = --12 12 –– 3,53 = 3,53 = --15,53 15,53