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Teoria das Estruturas II Verso: 4 Pagina:Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu UNITAU - Universidade de Taubat de:
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2 Mtodo das Foras - NOTAS DE AULAS3
4 1. Mtodo das foras:5 Para aplicar o mtodo das foras, seleciona-se um conjunto de redundantes estticas Xi cujas6 restries so retiradas da estrutura hiperesttica transformando-a em isosttica. Esse modelo7 isosttico denominado sistema principal.8 Selecionando um sistema principal e os sentidos positivos das redundantes estticas escolhidas,9 o presente mtodo consiste em escrever equaes de compatibilidade de deslocamentos nas
10 direes dessas reduntantes, em procedimento de superposio.11 Adotando a notao ij para representar deslocamentos, a Figura 1 ilustra essa superposio,12 quando as reaes dos apoios centrais so escolhidas como reduntantes. 13
14 q q15
16
17
18
19 10 2020 X1 X221 Estado E = Estado E022 11 2223 21 1224
25
26
27
28 X1 = 1 X2 = 129
30 + X1 x Estado E1 + X2 x Estado E231
32 Figura 1 - Combinao linear de estados no mtodo das foras33
34 No caso, como os deslocamentos desses apoios so nulos, escreve-se as equaes de compati-35 bilidade de deslocamentos.36
37 10 + 11X1 + 12X2 = 038 20 + 21X1 + 22X2 = 0 Eq.(1)39
40 Entende-se que os deslocamentos ij so positivos quando de sentidos coincidentes com os41 sentidos positivos arbitrados para as redundantes Xi. i0 o deslocamento do ponto da redun-42 dante esttica Xi e em sua prpria direo, quando se aplica ao sistema principal o carregamento43 original, no que se chama estado E0 referindo-se aos esforos e deslocamentos que ocorrem
44 nesse sistema com esse carregamento. ij com j diferente de zero, igual ao deslocamento do45
46 A.M.I.
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48 ponto da reduntante Xi e em sua direo, quando se aplica ao sistema principal uma fora unitria49 no ponto e na direo da redundante Xj, no que se denomina estado Ej. Em notao anloga,50 E representa o estado da estrutura original.51 A equao anterior pode ser escrita na forma matricial:52
53
54 Eq.(2)55
56 Uma vez que tenham sido determinadas as referidas redundantes, os esforos e deslocamentos57 na estrutura original podem ser obtidos pela combinao linear:58
59 E = E0 + Xi.Ei Eq.(3)60
61 Onde i varia de 1 at o nmero total de redundantes. Alternativamente, conhecendo-se os valores62 das redundantes estticas, a estrutura originalmente hiperesttica passa a ser isosttica, permi-63 tindo a determinao direta das demais reaes de apoio e de quaisquer esforos internos, com64 as equaes da esttica.65 Os coeficientes i0 e ij podem ser obtidos com o mtodo da fora unitria. Assim, considerando66 inicialmente a estrutura sem efeito da temperatura, sem apio elstico, sem deslocamento 67 prescrito, escreve-se:68
69 Eq.(4)70
71
72 Sendo: n, m, v, t so os esforos internos causados pelas cargas virtuais.73 N, M, V, T so os esforos internos causados pelas cargas reais.74 G = E/[2(1+)] o mdulo de elasticidade tranversal.75 J o momento polar de inrcia onde J = Ix + Iy76 Av a rea efetiva de cisalhamento onde Av = A/f, sendo f o fator de cisalhamento que77 funo da forma geomtrica da seo transversal real.78
79 O mtodo das foras tem a seguinte sistemtica:80 a) Escolha de um sistema estrutural isosttico, denominado sistema principal.81 b) Clculo dos coeficientes de flexibilidade e de carga.82 c) Montagem e resoluo do sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos para83 a obteno das redundantes estticas.84 d) Obteno dos esforos finais.85
86 provado, atravs de exemplos, que a influncia dos esforos normais e cortantes no resultado87 final pequena e so na maioria dos casos desprezados. Portanto, a equao mais utilizada na88 anlise do deslocamento dada por:89
90 Eq.(5)91
92
93
94
95
=
20
10
2221
1211
21
XX
dxGJTt
GAVv
EIMm
EANn
x vij .
....
+++=
dxGJTt
EIMm
xij .
.. +=
A.M.I.
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96 Exemplo 1:97 Determinar as constantes hiperestticas (redundantes estticas) para a viga seguir:98
99 20[kN/m]100 50,0[kNm]101
102
103 A B C104 5,0[m] 4,0[m]105
106 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]107 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m
4]
108 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 7,4E-05 [m4]
109
110 Soluo:111 O nosso objetivo determinar os momentos que ocorrem nos apoios A e B que so as constan-112 tes hiperestticas que tornam a estrutura isosttica.113
114 1. Utilizando o Mtodo das Foras, vamos considerar a estrutura no Estado E0 como articulada115 no apoio A e rotulada no apoio B, permitindo a rotao nesses apoios, resultando no momento116 fletor igual a zero nos referidos apoios. Sendo assim a estrutura ter o comportamento de uma117 viga Gerber isosttica.118 20[kN/m] rtula119 50,0[kNm]120
121
122 A B C123 5,0[m] 4,0[m]124
125 Deve-se agora determinar os momentos fletores devido ao carregamento real, para a estrutura126 isosttica (viga Gerber) acima:127 Clculo das reaes de apoio:128 50,0[kNm]129
130 B C131 By' Cy132 4,0[m]133 20[kN/m]134 By' Trecho BC:135 Ax Cy = 12,5 [kN]136 A B By' = -12,5 [kN]137 Ay By138 5,0[m] Trecho AB:139 Ay = 50,0 [kN]140 By = 37,5 [kN]141 Ax = 0,0 [kN]142
143
144 Clculo dos momentos fletores: A.M.I.
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146 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB M1 = (-q.x/2) + Ay.x [kNm] 147
148 Corte 2 - Trecho BC: 0 x LBC M2 = By'.x [kNm] 149
150 2. Momento fletor devido apenas a carga X1 = 1 (virtual) aplicada no apoio A. A carga X1 ter 151 influncia apenas no trecho AB, porque o apoio B uma rtula.152
153 X1 = 1154 Clculo das reaes de apoio:155
156 Ay0 = -0,20157 Ay0 By0 By0 = 0,20158 5,0[m]159
160 Clculo dos momentos fletores:161
162 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB m10 = -Ay0.x + 1 163 Sendo: m20 = 0164
165 3. Momento fletor devido a carga X2 = 1 (virtual) aplicada no apoio B. Nesse caso a carga X2 ter166 influncia nos dois trechos AB e BC.167
168 X2 = 1169
170 B C171 By1' Cy1172 4,0[m]173
174 By1'175 X2 = 1176 A B177 Ay1 By1178 5,0[m]179
180 Trecho BC: Cy1 = 0,25 Trecho AB: Ay1 = 0,20181 By1' = -0,25 By1 = -0,45182
183 Clculo dos momentos fletores:184
185 Corte 1 - Trecho AB: 0 x LAB m11 = Ay1.x 186
187 Corte 2 - Trecho BC: 0 x LBC m21 = By1'.x + 1188
189
190 3. Clculo dos coeficientes de flexibilidade. A.M.I.
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191 Para o clculo dos coeficientes de flexibilidade, considerando apenas o momento fletor, tem-se:192
193
194
195
196 Devido as cargas reais/virtuais:197
198 10 = 104,17 / EI [rad]199
200
201
202 20 = 70,83 / EI [rad]203
204
205 Devido apenas as cargas virtuais:206
207 11 = 1,667 / EI [rad]208
209
210 22 = 3,0 / EI [rad]211
212
213
214 12=21= 0,833 / EI [rad]215
216
217 4. Clculo das redundantes estticas:218
219
220
221
222
223
224
225 Resolvendo o sistema, tem-se: X1 = -58,86 [kN]226 X2 = -7,27 [kN]227
228 Observar que os coeficientes de flexibilidade, para o momento virtual, so deslocamentos angula-229 res. Portanto, conhecendo-se os deslocamentos angulares (rotaes) nos apoios em segmento230 de viga bi apoiada (isosttica), possvel calcular os coeficientes de flexibilidade, conforme ser231 demonstrado no item a seguir.232
233
234
235
236
237
238 2. Mtodo da Flexibilidade:
dxEIMm
xij = .
+= AB BCL L
dxMmdxMmEI 0 0
22011010 ....1
+= AB BCL L
dxMmdxMmEI 0 0
22111120 ....1
+= AB BCL L
dxmmdxmmEI 0 0
2020101011 ....1
+= AB BCL L
dxmmdxmmEI 0 0
2121111122 ....1
+== AB BCL L
dxmmdxmmEI 0 0
212011102112 ....1
=
83,7017,1041
21
.00,383,083,067,11
EIXX
EI
=
20
10
2221
1211
21
XX
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239 Para aplicar o mtodo das foras, seleciona-se uma conjunto de redundantes estticas (constan-240 tes hiperestticas) Xi cujas restries so retiradas da estrutura hiperesttica transformada em241 isosttica. Esse modelo isosttico denominado sistema principal, cada estrutura pode ter mais 242 de um sistema principal. No presente estudo vamos considerar sistemas principais apenas com243 constantes hiperestticas de momentos, conforme representado na figura a seguir.244
245 X0 X1 X2 X3246
247 A B C D248
249 L L L250
251 Figura 2 - Sistema principal252
253 Utilizando a matriz de flexibilidade da estrutura, esta etapa ser denominada de mtodo da flexibi-254 lidade utilizando os conceitos fundamentais do mtodo das foras.255 A equao geral do Mtodo da Flexibilidade dada por:256
257 [F].{X} + {C} = {0}258 Vetor de carga259 Vetor hiperesttico260 Matriz de flexibilidade261
262 Considerando a estrutura principal, estrutura redundante (sem os carregamentos externos), con-263 forme representada na Fig.2.264 Nos apoios "A" e "D" os momentos so iguais a zero: X0 = X3 = 0, apoios do 2 e 1 gneros,265 respectivamente.266 Analisando-se o trecho AB, como uma viga bi apoiada, tem-se:267 . 1268 x269 X1270 A x271 B272
273 1/L A B -1/L274
275 z linha elstica276
277 A matriz de flexibilidade do trecho AB obtida determinando os deslocamentos angulares nos278 apoios A e B. Os deslocamentos angulares podem ser obtidos pela equao diferencial da 279 elstica, sendo:280
281 Analisando-se o corte 1, tem-se:282
283
284 Da equao diferencial da elstica, tem-se:285
286
287
288
EIM=
2
2
Lxm =1
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291
292
293
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296
297
298
299 Para x = 0 e x = L tem-se que = 0, portanto:300
301 C2 = 0 e C1 = L/6302
303 O deslocamento angular definido por:304
305
306 Portanto:307
308
309
310 Para x = 0, tem-se: Para x = L, tem-se:311
312 Convm determinar a matriz de flexibilidade para cada vo, sendo que nem sempre os vos sero313 constantes. Para o vo HAB, tem-se:314
315
316
317
318
319
320
321
322
323 Colocando os coeficientes de flexibilidade na forma matricial, para cada vo tem-se324
325
326
327
328
329 Os coeficientes de flexibilidade so interpretados conforme a conveno a seguir:330 11- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X1 devido a carga X1.331 22- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X2 devido a carga X2.332 12- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X1 devido a carga X2.333 21- Deslocamento angular no ponto onde est aplicada a carga X2 devido a carga X1.334
335
336
337 Exemplo 2:338 Determinar as constantes hiperestticas (redundantes estticas) para a viga seguir:
EIx 2
12
.2
CLx
xEI +=
2.16
.3
CxCLxEI ++=
=x
62..
2 LLxEI
xEI +==
][6
radEIL
AB = ][3 radEIL
BA =
][62...................
311rad
EILou
EIL
BA ==
][62...................
322rad
EILou
EIL
BC ==
][62112
radEIL
AB ===
=2112
6EILF
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340 q341 M342
343
344 A B C345 LAB LBC346
347 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]348 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m
4]
349 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 7,4E-05 [m4]
350 Vo AB........................................................ LAB = 5,0 [m]351 Vo BC....................................................... LBC = 4,0 [m]352 Momento concentrado................................ M = 50,0 [kN]353 Carga uniformemente distribuda............... q = 20,0 [kN/m]354
355 Soluo:356 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:357 AB BC BA CB358
359 X0 X1 X2360
361
362 A B C363
364 Linha elstica365
366 Neste caso X2 = M.367
368 Matriz de Flexibilidade:369 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios diferentes no comprimento, sendo assim370 deve-se determinar a matriz de flexibilidade para cada um dos vos, logo:371
372 Trecho AB: [FAB] = 1,1E-04 5,4E-05 [kN.m]-1
373 5,4E-05 1,1E-04374
375 Trecho BC: [FBC] = 8,6E-05 4,3E-05 [kN.m]-1
376 4,3E-05 8,6E-05377
378 [F] = [FAB] + [FBC] 1,1E-04 5,4E-05 0
379 [F] = 5,4E-05 1,9E-04 4,3E-05 [kN.m]-1
380 0 4,3E-05 8,6E-05381
382
383
384 Vetor de carga:385 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares. A.M.I.
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387 AB = BC = q.LAB / (24EIAB) = 6,7E-03 [rad]388 BC = M.LBC / (6EIBC) = -2,1E-03 [rad]389 CB = M.LBC / (3EIBC) = -4,3E-03 [rad]390
391 Portanto: 0q = AB = 6,7E-03 [rad]392 1q = BA + BC = 4,6E-03 [rad]393 2q = CB = -4,3E-03 [rad]394
395 Constantes hiperestticas:396 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}397
398 1,1E-04 5,4E-05 0,0E+00 X0 6,7E-03399 5,4E-05 1,9E-04 4,3E-05 X1 .+ 4,6E-03 . = {0}400 0,0E+00 4,3E-05 8,6E-05 X2 = M -4,3E-03401
402 A soluo dos sistema de equaes lineares (determinado) pode ser feito atravs do mtodo de403 eliminao de Gauss.404 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 = M, que j foi considerado405 na determinao dos coeficientes de flexibilidade, tem-se:406
407 1,1E-04 X0 + 5,4E-05 X1 = -6,7E-03 -6,7E-03408 5,4E-05 X0 + 1,9E-04 X1 = -4,6E-03 -4,6E-03409 -1,1E-04 X0 + -3,9E-04 X1 = 9,1E-03410 0,0E+00 X0 + -3,3E-04 X1 = 2,4E-03411
412 Resultando em: X0 = -58,87 [kN.m]413 X1 = -7,26 [kN.m]414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432 Exemplo 3:433 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.
A.M.I.
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434 P435 q436
437
438 A B C439
440 LAB/2 LAB/2 LBC441
442 y443 Seo transversal:444 t Trecho t tw b hw445 [mm]446 x AB 12,5 9,5 130,0 260,0447 hw BC 16,0 12,5 160,0 360,0448 tw449 Sendo: Ix = Ix' + y.A450 t Iy = Iy' + x.A451 Ix' = b.h/12452 b Iy' = h.b/12453
454 Seo Transversal455
456 Dados:457 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]458 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m
4]
459 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 2,3E-04 [m4]
460 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]461 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]462 Carga concentrada..................................... P = 40,0 [kN]463 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]464
465 Soluo:466 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:467 AB BC BA CB468
469 X0 X1 X2470
471
472 A B C473
474 Linha elstica475
476 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento igual a zero: X2 = 0.477
478
479 Matriz de Flexibilidade:480 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios diferentes no comprimento, sendo assim
A.M.I.
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481 deve-se determinar a matriz de flexibilidade para cada um dos vos, logo:482
483 Trecho AB: [FAB] = 1,3E-04 6,4E-05 [kN.m]-1
484 6,4E-05 1,3E-04485
486 Trecho BC: [FBC] = 6,9E-05 3,5E-05 [kN.m]-1
487 3,5E-05 6,9E-05488
489 [F] = [FAB] + [FBC] 1,3E-04 6,4E-05 0
490 [F] = 6,4E-05 2,0E-04 3,5E-05 [kN.m]-1
491 0 3,5E-05 6,9E-05492
493 Vetor de carga:494 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares.495
496 AB = BC = P.LAB / (16.EIAB) = 5,8E-03 [rad]497 BC = CB = q.LBC / (24.EIBC) = 8,6E-03 [rad]498
499 Portanto: 0q = AB = 5,8E-03 [rad]500 1q = BA + BC = 1,4E-02 [rad]501 2q = CB = 8,6E-03 [rad]502
503 Constantes hiperestticas:504 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}505
506 1,3E-04 6,4E-05 0,0E+00 X0 5,8E-03507 6,4E-05 2,0E-04 3,5E-05 X1 .+ 1,4E-02 . = {0}508 0,0E+00 3,5E-05 6,9E-05 X2 = 0 8,6E-03509
510 A soluo dos sistema de equaes lineares (determinado) pode ser feito atravs do mtodo de511 eliminao de Gauss.512 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 = 0, tem-se ento:513
514 1,3E-04 X0 + 6,4E-05 X1 = -5,8E-03 -5,8E-03515 6,4E-05 X0 + 2,0E-04 X1 = -1,4E-02 -1,4E-02516 -1,3E-04 X0 + -3,9E-04 X1 = 2,9E-02517 0,0E+00 X0 + -3,3E-04 X1 = 2,3E-02518
519 Resultando em: X0 = -10,1 [kN.m]520 X1 = -69,7 [kN.m]521
522
523
524
525
526 Esforos solicitantes:527 Os valores de X0 e X1 so os valores das constantes hiperestticas do problema. A.M.I.
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528
529 z X1530 P531 q532 X0533 x534 A C535 B536 Az Bz' Bz" Cz537 . 1 . 2 . 3538
539 a) Clculo das reaes de apoio:540 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles independentemente,541 tem-se:542 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - P.(LAB/2) - X0 = 0543 Bz' = 29,9 [kN]544
545 Fz = 0 Az - P + Bz' = 0546 Az = 10,1 [kN]547
548 Trecho BC: MB = 0 Cz.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 = 0549 Cz = 43,0 [kN]550
551 Fz = 0 Bz" - q.LBC + Cz = 0552 Bz" = 57,0 [kN]553 Sendo: B = Bz' + Bz" = 86,9 [kN]554
555 b) Esforos internos:556 Trecho AB:557 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = 0 .-X0 - Az.x + M1 = 0558 M1 = X0 + Az.x [kN.m]559 Q1 = Az [kN] N1 = 0560
561 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = 0 .-X0 - Az.x + P.[x - (LAB/2)] + M1 = 0562 M2 = X0 + Az.x - P.[x - (LAB/2)] [kN.m]563 Q2 = -P + Az [kN] N2 = 0564
565 Trecho BC:566 Corte 3: 0 < x < LBC M3 = 0 .-X1 - Bz".x + q.x / 2 + M3 = 0567 M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]568 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 0569
570
571
572
573 c) Diagramas dos esforos internos:574 A.M.I.
-
1326
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575 Tab.1 - Resultados: OBS:576 Refer. x M Q Os momentos fletores na Tab.1, esto com os sinais 577 [m] [m] [kN.m] [kN] trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.578 0,00 0,00 10,1 10,1579 0,75 0,75 2,6 10,1580 1,50 1,50 -5,0 10,1581 2,25 2,25 -12,5 10,1582 3,00 3,00 -20,1 10,1583 3,75 3,75 2,4 -29,9584 4,50 4,50 24,8 -29,9585 5,25 5,25 47,3 -29,9586 6,00 6,00 69,7 -29,9587 1,25 1,25 6,3 44,5588 2,50 2,50 -41,5 32,0589 3,75 3,75 -73,6 19,5590 5,00 5,00 -90,1 7,0591 6,25 6,25 -91,0 -5,5592 7,50 7,50 -76,3 -18,0593 8,75 8,75 -46,0 -30,5594 10,00 10,00 0,0 -43,0595
596 Exemplo 4:597 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.598
599 P1 P2600 q601
602
603 A B C D604
605 LAB/2 LAB/2 LBC a b606
607 y608 Seo transversal:609 t Trecho t tw b hw610 [mm]611 x AB 12,5 9,5 130,0 260,0612 hw BC 12,5 9,5 150,0 300,0613 tw CD 9,5 8,0 120,0 250,0614
615 t616
617 b618
619 Seo Transversal620
621
622 Dados:623 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]
-100,0
-80,0
-60,0
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
0,00
1,50
3,00
4,50
6,00
2,50
5,00
7,50
10,0
0
Momento Fletor [kN.m] Esforo Cortante [kN]
A.M.I.
-
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624 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,4E-05 [m4]
625 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 1,1E-04 [m4]
626 Momento de inrcia no trecho CD.............. ICD = 4,9E-05 [m4]
627 Vo AB........................................................ LAB = 8,0 [m]628 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]629 Vo CD....................................................... LCD = 6,0 [m]630 Distncia..................................................... a = 2,0 [m]631 Distncia..................................................... b = 4,0 [m]632 Carga concentrada..................................... P1 = 80,0 [kN]633 Carga concentrada..................................... P2 = 120,0 [kN]634 Carga distribuda........................................ q = 40,0 [kN/m]635
636 Soluo:637 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:638 AB BC BA CD CB DC639
640 X0 X1 X2 X3641
642
643 A B C D644
645 Linha elstica Linha elstica646
647 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento igual a zero: X3 = 0.648
649 Matriz de Flexibilidade:650 A viga com mltiplos apoios tem trs vos de apoios, portanto:651
652 Trecho AB: [FAB] = 1,7E-04 8,5E-05 [kN.m]-1
653 8,5E-05 1,7E-04654
655 Trecho BC: [FBC] = 1,4E-04 7,0E-05 [kN.m]-1
656 7,0E-05 1,4E-04657
658 Trecho CD: [FCD] = 2,0E-04 9,8E-05 [kN.m]-1
659 9,8E-05 2,0E-04660
661 [F] = [FAB] + [FBC] + [FCD] 1,7E-04 8,5E-05 0 0
662 [F] = 8,5E-05 3,1E-04 7,0E-05 0 [kN.m]-1
663 0 7,0E-05 3,4E-04 9,8E-05664 0 0 9,8E-05 2,0E-04665
666
667
668 Vetor de carga:669 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendoA.M.I.
-
1526
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670 assim, tem-se:671
672 AB = BA = [P1.LAB / (16.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 7,5E-02 [rad]673 BC = CB = q.LBC / (24.EIBC) = 7,0E-02 [rad]674 CD = P2.a.b.(LCD + b) / (6.LCD.EICD) = 2,6E-02 [rad]675 DC = P2.a.b.(LCD + a) / (6.LCD.EICD) = 2,1E-02 [rad]676
677 Portanto: 0q = AB = 7,5E-02 [rad]678 1q = BA + BC = 1,5E-01 [rad]679 2q = CB + CD = 9,6E-02 [rad]680 3q = DC = 2,1E-02 [rad]681
682 Constantes hiperestticas:683 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}684
685 1,7E-04 8,5E-05 0,0E+00 0,0E+00 X0 7,5E-02686 8,5E-05 3,1E-04 7,0E-05 0,0E+00 X1 . + 1,5E-01 . = {0}687 0,0E+00 7,0E-05 3,4E-04 9,8E-05 X2 9,6E-02688 0,0E+00 0,0E+00 9,8E-05 2,0E-04 X3 = 0 2,1E-02689
690 Eliminando a 4 linha e a 4 coluna da matriz de flexibilidade, porque X3 = 0, tem-se ento:691
692 1,7E-04 X0 + 8,5E-05 X1 + 0,0E+00 X2 = -7,5E-02 -7,5E-02693
694 8,5E-05 X0 + 3,1E-04 X1 + 7,0E-05 X2 = -1,5E-01 -1,5E-01695
696 0,0E+00 X0 + 7,0E-05 X1 + 3,4E-04 X2 = -9,6E-02 -9,6E-02697
698
699 -1,7E-04 X0 + -6,2E-04 X1 + -1,4E-04 X2 = 2,9E-01700
701 0,0E+00 X0 + -5,4E-04 X1 + -1,4E-04 X2 = 2,2E-01702
703
704 0,0E+00 X0 + -7,0E-05 X1 + -1,8E-05 X2 = 2,8E-02705
706 0,0E+00 X0 + 0,0E+00 X1 + 3,2E-04 X2 = -6,8E-02707
708 Resultando em: X0 = -267,3 [kN.m]709 X1 = -345,3 [kN.m]710 X2 = -214,6 [kN.m]711
712
713
714
715 Esforos solicitantes:A.M.I.
-
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716 Os valores de X0, X1 e X2 so os valores das constantes hiperestticas do problema.717
718 z X1 X2719 P1 P2720 q721 X0 X3 = 0722 x723
724
725 Az Bz' Bz" Cz' Cz" Dz726 . 1 . 2 . 3 . 5727 . 4728 a) Clculo das reaes de apoio:729 Separando a viga em trs trechos AB, BC e CD e analisando cada um deles independentemente,730 tem-se:731
732 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - P1.(LAB/2) - q.(LAB)/2 - X0 = 0733 Bz' = 209,7 [kN]734
735 Fz = 0 Az - P1 - q.LAB + Bz' = 0736 Az = 190,3 [kN]737
738 Trecho BC: MB = 0 Cz'.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 + X2 = 0739 Cz = 186,9 [kN]740
741 Fz = 0 Bz" - q.LBC + Cz = 0742 Bz" = 213,1 [kN]743
744 Trecho CD: MC = 0 Dz.(LCD) - P2.a - X2 = 0745 Dz = 4,2 [kN]746
747 Fz = 0 Cz" - P2 + Dz = 0748 Cz" = 115,8 [kN]749
750 Sendo: B = Bz' + Bz" = 422,8 [kN]751
752 C = Cz' + Cz" = 302,7 [kN]753
754 b) Esforos internos:755
756 Trecho AB:757 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = 0 .-X0 - Az.x + q.x/2 + M1 = 0758 M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]759 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 0760
761
762 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = 0 .-X0 - Az.x + q.x/2 + P1.(x - LAB/2) + M1 = 0 A.M.I.
-
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763 M2 = -q.x/2 + X0 + Az.x - P1.(x - LAB/2) [kN.m]764 Q2 = -q.x + Az - P1 [kN] N2 = 0765
766 Trecho BC:767 Corte 3: 0 < x < LBC/2 M3 = 0 .-X1 - Bz".x + q.x / 2 + M3 = 0768 M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]769 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 0770
771 Trecho CD:772 Corte 4: 0 < x < a M4 = 0 .-X2 - Cz".x + M4 = 0773 M4 = Cz".x + X2 [kN.m]774 Q4 = Cz" [kN] N4 = 0775
776 Corte 5: a < x < LCD M5 = 0 .-X2 - Cz".x + P2.(x - a) + M5 = 0777 M5 = Cz".x + X2 - P2.(x - a) [kN.m]778 Q5 = Cz" - P2 [kN] N5 = 0779
780 c) Diagramas dos esforos internos:781
782 Tab.2 - Resultados: OBS:783 Refer. x M Q Os momentos fletores na Tab.2, esto com os sinais 784 [m] [m] [kN.m] [kN] trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.785 0,0 0,00 267 190786 1,3 1,33 49 137787 2,7 2,67 -98 84788 4,0 4,00 -174 30789 5,3 5,33 -72 -103790 6,7 6,67 101 -156791 8,0 8,00 345 -210792 9,3 1,25 110 163793 10,5 2,50 -62 113794 11,8 3,75 -172 63795 13,0 5,00 -220 13796 14,3 6,25 -205 -37797 15,5 7,50 -128 -87798 16,8 8,75 12 -137799 18,0 10,00 215 -187800 18,7 0,67 137 116801 19,3 1,33 60 116802 20,0 2,00 -17 116803 20,8 2,80 -14 -4804 21,6 3,60 -10 -4805 22,4 4,40 -7 -4806 23,2 5,20 -3 -4807 24,0 6,00 0 -4808
809
810 Exemplo 5:811 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0,0
2,7
5,3
8,0
10,5
13,0
15,5
18,0
19,3
20,8
22,4
24,0
Momento Fletor [kN.m] Esforo Cortante [kN]
A.M.I.
-
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812
813 q P814
815
816 A B C817
818 LAB LBC819
820 Dados:821 Mdulo de elasticidade............................... E = 1,2E+08 [kPa]822 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 2,1E-03 [m
4]
823 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 2,1E-03 [m4]
824 Vo AB........................................................ LAB = 4,0 [m]825 Vo BC....................................................... LBC = 2,0 [m]826 Carga concentrada..................................... P = 50,0 [kN]827 Carga distribuda........................................ q = 20,0 [kN/m]828
829 Soluo:830 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:831
832 X0 X1833 AB BA834
835 A B836
837 Eliminando o trecho em balano, Trecho BC, tem-se:838
839 X1 = -P.LBC - [q.(LBC) / 2] Trecho em balano840 X1 = -140,0 [kN.m] Carga de ao no apoio B841
842 Matriz de Flexibilidade:843 Neste caso a matriz de flexibilidade ser definida apenas pelo trecho AB.844
845 Trecho AB: [F] = [FAB] = 5,3E-06 2,7E-06 [kN.m]-1
846 2,7E-06 5,3E-06847
848 Vetor de carga:849 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendo850 assim, tem-se:851 AB = [X1.LAB / (6.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = -1,6E-04 [rad]852 Portanto: 0q = AB = -1,6E-04 [rad]853
854
855
856 Constantes hiperestticas:857 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}
A.M.I.
-
1926
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858
859 5,3E-06 2,7E-06 X0 . + -1,6E-04 . = {0}860 2,7E-06 5,3E-06 -140 1q861
862 Eliminando a 2 linha e a 2 coluna da matriz de flexibilidade, porque X1 conhecido, tem-se:863 Resultando em: X0 = 30,0 [kN.m]864
865 Esforos solicitantes:866 Os valores de X0 e X1 so os valores das constantes hiperestticas do problema.867
868 z X1 P869 q870 X0871 x872
873
874 Az Bz' Bz"875 . 1 . 2876
877 a) Clculo das reaes de apoio:878 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles independentemente,879 tem-se:880
881 Trecho AB: MA = 0 Bz'.(LAB) + X1 - q.(LAB)/2 - X0 = 0882 Bz' = 82,5 [kN]883
884 Fz = 0 Az - q.LAB + Bz' = 0885 Az = -2,5 [kN]886
887 Trecho BC: Fz = 0 Bz" - q.LBC - P = 0888 Bz" = 90,0 [kN]889
890 Sendo: B = Bz' + Bz" = 172,5 [kN]891
892 b) Esforos internos:893
894 Trecho AB:895 Corte 1: 0 < x < LAB M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]896 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 0897
898 Corte 2: LAB < x < (LAB + LBC) M2 = -q.x/2 + (Az + B).x + X0 - 6.B [kN.m]899 Q2 = -q.x + Az + B [kN] N2 = 0900
901
902
903 c) Diagramas dos esforos internos:904 OBS:
A.M.I.
-
2026
Teoria das Estruturas II Verso: 4 Pagina:Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu UNITAU - Universidade de Taubat de:
905 Tab.3 - Resultados: Os momentos fletores na Tab.3, esto com os sinais 906 Refer. x M Q trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.907 [m] [m] [kN.m] [kN]908 0,0 0,0 -30 -3909 0,7 0,7 -24 -16910 1,3 1,3 -9 -29911 2,0 2,0 15 -43912 2,7 2,7 48 -56913 3,3 3,3 89 -69914 4,0 4,0 140 -83915 4,5 4,5 98 80916 5,0 5,0 60 70917 5,5 5,5 28 60918 6,0 6,0 0 50919
920
921
922
923 Exemplo 6:924 Determinar as constantes hiperestticas para o exemplo anterior, utilizando o 2 Teorema de925 Castigliano.926
927 Soluo:928 Eliminando o trecho em balano, tem-se:929 F Resultando que:930 q MB = 140,0 [kN.m]931 F = 90,0 [kN]932
933 A B MB934
935 LAB936
937 Analisando o corte 1, tem-se:938
939 Corte 1: 0 < x < LAB M1 = q.x/2 + MB + F.x - RB.x [kN.m]940 Q1 = -q.x - F + RB [kN] N1 = 0941
942 Aplicando o teorema de Castigliano, para determinar o deslocamento no apoio B, tem-se:943
944
945
946
947 Resultando na equao: B = (1/E.IAB).[(q.x4/8) + (MB.x/2) + (F.x/3) - (RB.x/3)]0LAB948
949
950 No apoio B o deslocamento vertical igual a zero, B = 0, resolvendo em funo de RB, tem-se:951
-100
-50
0
50
100
150
200
0,0
0,7
1,3
2,0
2,7
3,3
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Momento fletor [kNm] Esforo cortante [kN]
dxRBMM
IE
ABL
ABB .
1.1..1
0 =
A.M.I.
-
2126
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952 RB = 172,5 [kN]953
954 Fazendo o somatrio dos momentos em A, tem-se:955 RB.LAB - MB - F.LAB - q.LAB/2 + MA = 0956 Resultanto em: MA = -30,0 [kN.m] No sentido horrio OK!957
958 Exemplo I.5:959 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.960 P961 M q962
963
964 A B C D965
966 LAB/2 LAB/2 LBC LCD967
968 Dados:969 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]970 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 3,7E-04 [m
4]
971 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 3,7E-04 [m4]
972 Momento de inrcia no trecho CD.............. ICD = 3,7E-04 [m4]
973 Vo AB........................................................ LAB = 8,0 [m]974 Vo BC....................................................... LBC = 8,0 [m]975 Vo CD....................................................... LCD = 6,0 [m]976 Carga concentrada..................................... P = 50,0 [kN]977 Momento concentrado................................ M = 20,0 [kN]978 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]979
980 Soluo:981 Representando a linha elstica da estrutura, tem-se:982 AB BC BA CB983
984 X0 X1 X2985
986
987 A B C988 Linha elstica989
990 Analisando os apoios, conclui-se que no apoio C o momento ser dado por:991 X2 = -P.LCD - [q.(LCD) / 2] Trecho em balano992 X2 = -480,0 [kN.m] Carga de ao no apoio C993
994
995
996 Matriz de Flexibilidade:997 A viga com mltiplos apoios tem dois vos de apoios, portanto:998 A.M.I.
-
2226
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999 Trecho AB: [FAB] = 3,5E-05 1,7E-05 [kN.m]-1
1000 1,7E-05 3,5E-051001
1002 Trecho BC: [FBC] = 3,5E-05 1,7E-05 [kN.m]-1
1003 1,7E-05 3,5E-051004
1005 [F] = [FAB] + [FBC] 3,5E-05 1,7E-05 0
1006 [F] = 1,7E-05 6,9E-05 1,7E-05 [kN.m]-1
1007 0 1,7E-05 3,5E-051008
1009 Vetor de carga:1010 Os coeficientes do vetor de carga so definidos partir dos deslocamentos angulares, sendo1011 assim, tem-se:1012
1013 AB = [-M.LAB / (24.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 2,7E-03 [rad]1014 BA = [M.LAB / (24.EIAB)] + [q.LAB/(24.EIAB)] = 2,9E-03 [rad]1015 BC = q.LBC / (24.EIBC) + X2.LBC / (6.EIBC) = -5,5E-03 [rad]1016 CB = q.LBC / (24.EIBC) + X2.LBC / (3.EIBC) = -1,4E-02 [rad]1017
1018 Portanto: 0q = AB = 2,7E-03 [rad]1019 1q = BA + BC = -2,7E-03 [rad]1020 2q = CB = -1,4E-02 [rad]1021
1022 Constantes hiperestticas:1023
1024 Aplicando a equao do mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}1025
1026 3,5E-05 1,7E-05 0 X0 2,7E-031027 1,7E-05 6,9E-05 1,7E-05 X1 . + -2,7E-03 . = {0}1028 0 1,7E-05 3,5E-05 -480,0 -1,4E-021029
1030 Eliminando a 3 linha e a 3 coluna da matriz de flexibilidade, porque X2 conhecido, tem-se:1031
1032 3,5E-05 X0 + 1,7E-05 X1 = -2,7E-03 -2,7E-031033
1034 1,7E-05 X0 + 6,9E-05 X1 = 2,7E-03 2,7E-031035
1036 -3,5E-05 X0 + -1,4E-04 X1 = -5,4E-031037
1038 0,0E+00 X0 + -1,2E-04 X1 = -8,0E-031039
1040
1041
1042
1043 Resultando em: X0 = -110,7 [kN.m]1044 X1 = 66,4 [kN.m]
A.M.I.
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1045 X2 = -480,0 [kN.m]1046
1047 Esforos solicitantes:1048 Os valores de X0, X1 e X2 so os valores das constantes hiperestticas do problema.1049
1050 z X1 X21051 M P1052 q1053 X01054 x1055
1056
1057 Az Bz' Bz" Cz' Cz"1058 . 1 . 2 . 3 . 41059
1060 a) Clculo das reaes de apoio:1061 Separando a viga em trs trechos AB, BC e CD e analisando cada um deles independentemente,1062 tem-se:1063
1064 Trecho AB: MA = 01065 Bz'.(LAB) + X1 - M - q.(LAB)/2 - X0 = 01066 Bz' = 20,4 [kN]1067
1068 Fz = 01069 Az - q.LAB + Bz' = 01070 Az = 59,6 [kN]1071
1072 Trecho BC: MB = 01073 Cz'.(LBC) - q.(LBC)/2 - X1 + X2 = 01074 Cz' = 108,3 [kN]1075
1076 Fz = 01077 Bz" - q.LBC + Cz' = 01078 Bz" = -28,3 [kN]1079
1080 Trecho CD: Fz = 01081 .-q.LCD - P + Cz" = 01082 Cz" = 110,0 [kN]1083 Sendo: B = Bz' + Bz" = -7,9 [kN]1084 C = Cz' + Cz" = 218,3 [kN]1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091 b) Esforos internos:1092 A.M.I.
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1093 Trecho AB:1094 Corte 1: 0 < x < LAB/2 M1 = -q.x/2 + X0 + Az.x [kN.m]1095 Q1 = -q.x + Az [kN] N1 = 01096
1097 Corte 2: LAB/2 < x < LAB M2 = -q.x/2 + X0 + Az.x + M [kN.m]1098 Q2 = -q.x + Az [kN] N2 = 01099
1100 Trecho BC:1101 Corte 3: 0 < x < LBC M3 = -q.x / 2 + Bz".x + X1 [kN.m]1102 Q3 = -q.x + Bz" [kN] N3 = 01103
1104 Trecho CD:1105 Corte 4: 0 < x < LCD M4 = -q.x / 2 + Cz".x + X2 [kN.m]1106 Q4 = -q.x + Cz" [kN] N4 = 01107
1108 c) Diagramas dos esforos internos:1109
1110 Tab.4 - Resultados:1111 Refer. x M Q OBS:1112 [m] [m] [kN.m] [kN] Os momentos fletores na Tab.4, esto com os sinais 1113 0,0 0,0 111 60 trocados para serem plotados do lado da fibra tracionada.1114 1,3 1,3 40 461115 2,7 2,7 -13 331116 4,0 4,0 -48 201117 5,3 5,3 -85 61118 6,7 6,7 -85 -71119 8,0 8,0 -66 -201120 9,3 1,3 -20 -421121 10,7 2,7 45 -551122 12,0 4,0 127 -681123 13,3 5,3 227 -821124 14,7 6,7 344 -951125 16,0 8,0 480 -1081126 17,0 1,0 375 1001127 18,0 2,0 280 901128 19,0 3,0 195 801129 20,0 4,0 120 701130 21,0 5,0 55 601131 22,0 6,0 0 501132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139 3. Exerccios Propostos:1140
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
0,0
2,7
5,3
8,0
10,7
13,3
16,0
18,0
20,0
22,0
Momento Fletor [kN.m] Esforo Cortante [kN]
A.M.I.
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1141 Exerccio 1:1142 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo:1143 P1144 q1145
1146
1147 A B C1148
1149 LAB/2 LAB/2 LBC1150
1151 Dados:1152 Mdulo de elasticidade............................... E = 1,2E+08 [kPa]1153 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 3,5E-02 [m
4]
1154 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 6,0E-02 [m4]
1155 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]1156 Vo BC....................................................... LBC = 12,0 [m]1157 Carga concentrada..................................... P = 30,0 [kN]1158 Carga distribuda........................................ q = 40,0 [kN/m]1159
1160 Exerccio 2:1161 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo:1162 P1163 M q1164
1165
1166 A B C D1167
1168 LAB/2 LAB/2 LBC a b1169 Dados:1170 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]1171 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 7,5E-02 [m
4]
1172 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 6,5E-02 [m4]
1173 Momento de inrcia no trecho CD.............. ICD = 5,5E-02 [m4]
1174 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]1175 Vo BC....................................................... LBC = 10,0 [m]1176 Vo CD....................................................... LCD = 8,0 [m]1177 Distncia..................................................... a = 2,5 [m]1178 Distncia..................................................... b = 5,5 [m]1179 Carga concentrada..................................... P = 80,0 [kN]1180 Momento concentrado................................ M = 120,0 [kN]1181 Carga distribuda........................................ q = 30,0 [kN/m]1182
1183
1184 Exerccio 3:1185 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo: A.M.I.
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1186 P1 P21187 q1188
1189
1190 A B C D1191
1192 LAB LBC a b1193
1194 Dados:1195 Mdulo de elasticidade............................... E = 2,1E+08 [kPa]1196 Momento de inrcia no trecho AB.............. IAB = 6,5E-02 [m
4]
1197 Momento de inrcia no trecho BC.............. IBC = 5,5E-02 [m4]
1198 Momento de inrcia no trecho CD.............. ICD = 7,5E-02 [m4]
1199 Vo AB........................................................ LAB = 6,0 [m]1200 Vo BC....................................................... LBC = 11,0 [m]1201 Vo CD....................................................... LCD = 12,0 [m]1202 Distncia..................................................... a = 5,0 [m]1203 Distncia..................................................... b = 7,0 [m]1204 Carga concentrada..................................... P1 = 50,0 [kN]1205 Carga concentrada..................................... P2 = 100,0 [kN]1206 Carga distribuda........................................ q = 60,0 [kN/m]1207
1208 Exerccio 4:1209 Como exerccios propostos, refazer os exemplos e pesquisar exerccios na biblioteca.1210
1211 Nota: S possvel aprender a disciplina se houver pesquisa e estudo, apenas1212 o material fornecido em sala de aula no garante um aprendizado 100%.1213
1214
1215 4. Referncias bibliogrficas:1216 Campanari, F.A., "Teoria das Estruturas" - Volumes 1 4 - 1985 - GUANABARA DOIS.1217 Hibbeler, R.C.,"Structural Analysis" - third edition - 1997 - PRENTICE HALL INC.1218 Timoshenko, S.P. & Young, D.H., "Theory of Structures" - McGRAW-HILL.1219 Soriano, H.L. e Souza Lima, S., "Anlise de Estruturas" - 2 Edio - Editora Cincia Moderna.1220
1221
1222
1223
1224
1225 FIM1226
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