1

Универзитет у Београду

Математички факултет

Семинарски рад из методике наставе математике и

рачунарства

Тема: Основне геометријске конструкције помоћу

програма The Geometer's SketchPad

Студент: Професор:

Марија Миленковић 51/03 др. Александар Липковски

Београд 2010

2

Садржај

УВОД ..................................................................................................................... 3

1. ОСНОВНИ ПОЈМОВИ .................................................................................. 4

2. ОСНОВНЕ ГЕОМЕТРИЈСКЕ КОНСТРУКЦИЈЕ............................................. 6

Преношење дужи .......................................................................................... 7

Преношење угла ............................................................................................ 8

Конструкција симетрале дужи и средишта дужи ...................................... 8

Конструкција симетрале угла .................................................................... 10

Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку ................. 12

Конструкција нормале из дате тачке на дату праву ................................ 12

Дељење дужи на једнаке делове ................................................................ 14

Дељење дужи у датој размери ................................................................... 16

Конструкције углова од o60 , 30� , 90� ..................................................... 17

Конструкције троуглова ............................................................................. 18

Конструкција троугла ССС .................................................................... 18

Конструкција троугла СУС.................................................................... 19

Конструкција троугла УСУ.................................................................... 20

Конструкција ССУ .................................................................................. 21

3. АЛГЕБАРСКА МЕТОДА ............................................................................. 22

4. МЕТОДА ГЕОМЕТРИЈСКИХ МЕСТА (МЕТОДА ПРЕСЕКА) ....................... 24

5. КОНСТРУКТИВНИ ЗАДАЦИ ...................................................................... 27

ЗАКЉУЧАК ....................................................................................................... 33

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 34

3

УВОД

Идејно учење математике у школи усмерено је на решавање проблема уз што

веће активно суделовање самих ученика у њиховом решавању. Ту се пре свега мисли

на проблеме отвореног типа, проблеме чијем решавању може водити више путева и

чији је крај неизвестан. Такви проблеми захтевају активан и истраживачки приступ и

често сарадњу ученика. Савремена настава је динамична, богата је разноврсним

методама и облицима рада.

У данашње време настава математике мења свој лик због захтева што их пред

школу, а тиме и пред учење математике, поставља савремено друштво. Она се

прилагођава и новим технолошким и техничким могућностима које су данас

ученицима а и уопштено доступне, па се модерна школа и не може замислити без

савремених дидактичких помагала као што је, пре свега, рачунар.

Данас су доступни многи компјутерски програми који могу користити

наставници, ученици и студенти како би истражили и визуелизирали математичке

концепте те конструисали математичке и научне моделе. Од многобројних апликација,

овде ће бити речи о програму The Geometer's SketchPad .

The Geometer's SketchPad је отворени математички алат доступан ученицима и

студентима од осме године живота па све до факултета. Учитељи, писци наставног

плана и студенти могу користити The Geometer's SketchPad како би истражили теме

елементарне геометрије и нумеричкох концепата који су укључени у наставни план

основне и средње школе кроз геометрију, тригонометрију и алгебру, па до тема као

што је рачун или нееуклидска геометрија с којима се студенти упознају на факултету.

The Geometer's SketchPad -ов отворени приступ омогућује ученику идеалне

услове за развијање његове математичке креативности, изражавања и достигнућа.

Наставници могу користити The Geometer's SketchPad као динамичку плочу да би

илустровали моћ визуелизације математике.

Пошто ћемо се овде бавити конструктивном геометријом, у даљем текту

усмерићемо пажњу на неке битне елементе везане за ову област.

Геометријске конструкције су један веома значајан део геометрије равни. Та

материја заокупљала је многе познате математичаре античке Грчке, о чему сведоче

многи решени и нерешени проблеми који су већ тада били постављени. Сетимо се

Еуклида и његова прва три постулата који говоре баш о геометријцким

конструкцијама, Аполонијевог проблема, трисекција угла, удвајања коцке, квадратуре

круга и многих других проблема који су заокупљали пажњу врсних математичара све

до данашњег доба. Тако и данас у настави математике кроз основну и средњу школу

изучавају се основне и елементарне конструкције у равни и представљају веома важан

део математике. Да би се ученицима олакшало схватање тих проблема, погодно је у

настави искористити бас неки од многобројних програмских пакета за динамичку

геометрију (овде је изабран, као сто смо већ поменули The Geometer's SketchPad ), који

су врло погодни у ту сврху јер природни мотивишу учење, развијају интерес за

математику и рад поступно прераста у истраживачки рад.

Уз овај рад, приложене су и све конструкције урађене у програму

The Geometer's SketchPad .

4

1. Основни појмови

Најпре ћемо увести неке основне појмове који су нам потребни пре него што

почнемо да се бавимо геометријским конструкцијама.

Конструктивна геометрија је део геометрије у коме се проучавају методе и

теорија геометријских конструкција.

Конструктивни геометријски лик је основни појам конструктивне геометрије

и он се узима без дефиниције.

Лењир и шестар су основни инструменти геометријских конструкција.

Аксиоми констриктивне геометрије су:

А1 Свака задата фигура је конструисана

А2 Ако su конструисанe две или више фигура онда је конструисана и њихова

унија

А3 Ако су конструисане две фигуре, онда се може установити да ли је

њихова разлика празан скуп или није. Уколико та разлика није празан скуп,

та је разлика конструисана.

А4 Ако су конструисане две или више фигура, онда се може установити да

ли је њихов пресек празан скуп или није. У случају да тај пресек није празан

скуп, онда је тај пресек конструисан

А5 Ако је дата непразна фигура, онда је могуће конструисати тачку која

припада тој фигури

Аксиоми инструмената обихватају следеће аксиоме:

Аксиоми лењира

Лењиром се могу извести следеће конструкције:

1. конструкција дужи ако су дати крајеви те дужи

2. конструкција полуправе са датом почетном тачком који

пролази кроз другу дату тачку

3. конструкција праве кроз две дате тачке

Аксиоми шестара:

Шестаром се могу извести следеће конструкције:

1. конструкција кружнице ако је дат њен центар и њен

полупречник

5

2. конструкција било којег од два лука кружнице одређених

са две тачке кружнице ако је дат центар кружнице и крајње

тачке тог лука

У конструктивној геометрији разликујемо две врсте конструкција: основне

конструкције и сложене конструкције.

Конструктивни задаци по правилу су сложене конструкције за које је потребно

више геометријских чињеница и који се у процесу анализе разлажу на низ

једноставних конструкција које се лако изводе.

Скуп једноставних конструкција на које се своде сложеније конструкције назива

се основне конструкције. Оне се у настави геометрије у основној школи уводе

поступно. Сада је јасно шта значи решити конструктивни задатак: то значи свести тај

задатак на коначан број основних конструкција или већ решених задатака.

Да би обрада основних конструкција била методички примерена, потребно је да

се при опису сваке од њих наведе и неки основни математички садржај где се оне

примењују. На тај начин се геометријско градиво чвршће повезује, а ученици

непосредно увиђају потребу тих конструкција.

Скуп основних конструкција није унапред строго одређен, већ се може по

потреби допуњавати.

Код конструктивног задатка треба конструисати неку фигуру са датим

инструментима, тј лењиром и шестаром, ако је дата друга фигура и описани односи

између елемената дате и тражене фигуре.

Решење конструктивног задатка је свака фигура која задовољава тражене

услове, а описује се низом основних конструкција. Конструктивни задатак може бити:

• одређен – коначно много решења

• неодређен – бесконачно много решења

• немогућ – нема решења

• преодређен – има решења, али при конструкцији није коришћен неки од

датих услова

Конструктивни задатак је елементарно решив ако је решив основним

конструкцијама, тј. лењиром и шестаром. Решење конструктивног задатка треба да

садржи следеће:

Анализа задатка – тражење начина за решавање задатка, испитују се везе

измешу тражене и дате фигуре

Конструкција – на темељу анализе конструише се решење

Доказ – показује се да је добијена фигура задовољава све услове задатка и да је

сваки корак у конструкцији могућ

6

Дискусија – испистују се сви међусобни положаји датих елемената који могу

доћи у озир

Постоје три методе за решавање конструктивних задатака:

1. алгебарска метода

2. метода пресека (метода геометријских места)

3. метода трансформације

2. Основне геометријске конструкције

У основне геометријске конструкције спадају:

1. Преношење дужи

2. Преношење угла

3. Конструкција симетрале и средишта дужи

4. Конструкција симетрале угла

5. Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку

6. Конструкција нормале из дате тачке на дату праву

7. Дељење дужи у датој размери

8. Дељење дужи на једнаке делове

9. Конструкције углова од 60� , 30� и 90�

10. Конструкције троуглова:

• ССС - ако су дате све три странице

• СУС – ако су дате две странице и угао између њих

• СУУ – ако су дати страница и два налегла угла

• СС>У> - две странице и угао наспрам веће од њих

Овде ће бити дат кратак приказ основних геометријских конструкција и неких

њихових основних примена. Изложићемо нека тврђења која су битна за ове

конструкције али њихове прецизне доказе ћемо овде заобићи. Разлог је што су ове

конструкције углавном предмет изучавања у основној школи где се по плану и

програму не спроводе сви докази. Уместо тога, препоручљива је провера ваљаности

конструкција у неком од програма за динамичку геометрију (овде је то урађено у

програму The Geometer's SketchPad ).

7

Преношење дужи

Ако на полуправој одабраног смера с почетном тачком C треба конструисати

дуж задате дужине d , онда је за то довољно описати кружницу ( , )k C d . Пресек D те

кружнице и полуправе је друга крајња тачка дужи CD која има дужину d .

Конструкција је приказана на слици:

D

d

C

A B

Ово је најчешћа основна конструкција. Примењује се већ готово у свим

следећим основним конструкцијама.

Пример 1:

Задат је квадрат ABCD . Продужити његове странице за дужину страница

DA , AB , BC , CD до тачака 'A , 'B , 'C , 'D .

A'

B'

D'

C'

D C

BA

8

Преношење угла

Задат је угао aOb� , i poluprava 'a са теменом O'. Конструисати угао подударан

углу aOb� чији је један крак дата полуправа 'a .

Задати угао aOb� преносимо тако да тетиву коју одсецају кракови a и b угла

на некој кружници око темена О пренесемо на идентичну кружницу око почетне тачке

О' одабраног првог крака 'a траженог угла ' ' 'a O b� .

b'

B'

A'

B

A

O'

a'

a

b

O

Ова се конструкција најчешће примењује у три од четири основних

конструкција троугла.

Конструкција симетрале дужи и средишта дужи

Симетрала s задате дужи AB је права која пролази кроз пресеке двеју

кружница једнаких полупречника око крајева дужи A и B , у нашем случају кружница

( ),k A AB и ( ),k B AB . Средиште Р дужи AB је пресек те дужи и њене симетрале ѕ.

9

P

s

BA

Важну примену конструкције симетрала дужи описује следећи пример.

Пример 2: Симетрале страница троугла и кружница описана око

троугла

Тврђење:

Симетрале страница троугла секу се у једној тачки S . Та тачка је центар

круга описаног око троугла.

Ако у троуглу ABC повучемо симетрале 1s и 2s његових страна BC и CA оне

ће се пресећи у некој тачки S . Како та тачка лежи на симетрали 1s , она је подједнако

удаљена од крајева B и C стране BC . Међутим, она лежи и на симетрали 2s , па је

подједнако удаљена од крајева A и C стране CA . Дакле, тачка S је подједнако

удаљена од сва три темена троугла ABC . Ако растојање SA SB SC= = узмемо за

полупречник круга из тачке S као центра, можемо тим полупречником описати круг

који ће проћи кроз сва три темена троугла. То је круг описан око троугла.

Кроз пресек S симетрала 1s и 2s пролази и симетрала 3s стране AB . Наиме,

свака тачка симетрале 3s подједнако је удаљена од тачака A и B , а тачка S , као што

смо видели, има ту особину, па је и она на тој симетрали.

10

s2

s3

s1

P1

S

P2

P3

A

B

C

Важну примену конструкције средишта дужи налазимо у следећем примеру.

Пример 3: Тежишне дужи и тежиште троугла.

Дуж којој су крајеви теме троугла и средиште наспрамне странице назива се

тежишна дуж троугла. На цртежу су сва три средишта 1P , 2P , 3P страница троугла

ABC и све три тежишне дужи 1AP , 2BP , 3CP .

Тврђење:

Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки T . Та тачка се назива

тежиште троугла. Тежиште троугла дели сваку тежишну дуж у односу 2:1.

T

P2 P1

P3A B

C

Конструкција симетрале угла

Нека је задат угао aOb� . Задатак је конструисати његову симетралу.

11

Најпре око темена О задатог угла aOb� произвољно опишемо неку кружницу.

Затим око пресека те кружнице и кракова угла a и b опишемо кружнице једнаких

произвољних полупречника (водећи рачуна о томе да те кружнице морају имати бар

једну пресечну тачку). Пресек тих кружница и теме О припадају симетрали ѕ угла

aOb� .

a

b

sS

A

B

O

Важну примену конструкције симетрале угла показује следећи пример.

Пример 4: Симетрале углова троугла и центар круга уписаног у троугао

Тврђење:

Симетрале углова троугла секу се у једној тачки O . Та тачка је центар круга

уписаног у тај троугао.

У троуглу ABC повучена је симетрала AD унутрашњег угла BAC� .

Како троугао има три угла, он има и три такве симетрале AD , BE , CF . Оне се

све секу у једној тачки. Та тачка је подједнако удаљена од све три стране троугла.

Заиста, она је подједнако удаљена од кракова AB и AC угла BAC� јер је на

симетрали AD . Затим, она је подједнако удаљена од кракова BA и BC угла ABC� ,

јер је на симетрали BE . Како, међутим, стране троугла леже на тим крацима, јасно је

да је подједнако удаљена и од самих страна троугла, тј. OP OQ OR= = . Ако растојање

OP узмемо за полупречник круга са центром у О и нацртамо круг, он ће додиривати

стране троугла у тачкама P , Q и R . Да бисмо одредили тачку О, довољно је да

повучемо само симетрале два угла троугла, јер и трећа пролази кроз ту тачку. Заиста,

свака тачка симетрале CF угла ACB� подједнако је удаљена од кракова CA и CB

тог угла, и баш ту особину има тачка О. Стога је и она на симетрали.

12

OR = 1.88 cm

OQ = 1.88 cm

OP = 1.88 cmR

Q

P

O

F

D

E

A B

C

Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку

Ова конструкција се заснива на својству паралелограма. Ако је задат правац p

и тачка T , треба конструисати праву q која садржи тачку T и паралелна је са правом

p . На правој p одаберу се било које две тачке P и Q . Четврти врх паралелограма

коме су те две тачке и тачка Т три врха, друга је тачка тражене паралеле. Дакле,

конструишемо кружнице ( , )k Q TP и ( , )k T PQ и одредимо њихов пресек. Тражена

права је права q која садржи тачку T и ону тачку пресека која са P , Q и T гради

паралелограм.

p

qT

P Q

Конструкција нормале из дате тачке на дату праву

Нека је дата тачка P и права p . Треба конструисати праву n која пролази кроз

тачку P и нормална је на праву p ако:

13

а) Дата тачка P лежи на датој правој p

б) Дата тачка P не припада правој p

а) Конструкција изгледа овако: око задате тачке P опишемо кружницу

произвољног полупречника, ( , )k P r . Означимо пресеке те кружнице и дате праве p са

A и B . Затим конструишемо две произвољне кружнице које се секу и имају једнаке

полупречнике, 1( , )k A r и 1( , )k B r . Њихов пресек означимо са N . Тражена нормала n је

права која садржи тачке P и N .

p

n

N

BA

P

б) Конструкција изгледа овако: конструишемо произвољну кружницу 1( , )k P r

која сече праву p . Њихове пресеке означимо са A и B . Затим конструишемо

кружнице 2( , )k A r и 2( , )k B r једнаких полупречника које се секу, и један њихов пресек

означимо са N . Тражена нормала n је права кроз тачке P и N .

p

n

N

BA

P

14

Ову конструкцију можемо искористити за увођење још једне значајне тачке

троугла – ортоцентра троугла.

Пример 5: Висине троугла и ортоцента

Једну од страна троугла зовемо према потреби основица троугла, а друге две

краци троугла. Теме наспрам основице зове се врх троугла. Дужина нормале спуштене

из врха на основице троугла зове се висина троугла. Посматрамо троугао ABC . Сваку

од његових страна можемо изабрати за основицу, а преостале две стране за краке.

Према томе, у сваком троуглу имамо три висине које ћемо означити са AE , BF и CD .

Тврђење:

Праве на којима леже висине троугла секу се у једној тачки H која се зове

ортоцентар троугла.

H

F

E

D

A B

C

Дељење дужи на једнаке делове

Нека је задата дуж AB и природан број n . Задатак је поделити дату дуж на n

једнаких делова. За ову конструкцију примењује се n пута конструкција преношења

дужи и n пута конструкција повлачења паралеле са датим правцем. Пре него што

пређемо на конструкцију формулисаћемо једну теорему.

Талесова теорема

Ако паралелне праве a и b пресецају праву p у тачкама A и B , а праву q у

тачкама 1A и 1B , и ако је S заједничка тачка правих p и q тада важи

1 1

1 1

AA SASA

BB SB SB= =

15

На слици би то изгледало овако:

q

pa b

B1A1

B

A

S

Доказ Талесове теореме се заснива на сличности троуглова. Наиме,

1 1SAA SBB≈� � јер 1 1ASA BSB=� � 1 1SAA SBB=� � (углови са паралелним крацима),

1 1SA A SB B=� � (углови са паралелним крацима) па су им одговарајуће странице

пропорционалне, тј. 1 1

1 1

AA SASA

BB SB SB= = .

Последица ове теореме је да ако две произвољне праве p и q пресеца низ од n

паралелних правих, тако да су одсечци на једној правој једнаки међу собом, онда су

одсечци и на другој правој међусобно једнаки.

Конструкција би изгледала овако:

1. Конструишемо произвољну полуправу p са теменом A која се не

поклапа са дужи AB

2. Конструисемо на полуправој p тачке 1P , 2P , 3P , ..., n

P , тако да је

1 2 3 ...n

AP AP AP AP d= = = = =

где је d произвољна дужина,

3. Конструишемо праву n

P B

4. Конструишемо, затим, праве кроз тачке 1P , 2P , 3P , ..., 1nP − паралелне са

правом n

P B које секу дуж AB редом у тачкама 1Q , 2Q , 3Q , ..., 1nQ −

(дакле, још 1n − праву)

На основу Талесове теореме тачке 1Q , 2Q , 3Q , ..., 1nQ − деле дуж AB на n

једнаких делова.

16

Ради илустрације, на следећој слици је приказана подела дужи на 5 једнаких

делова.

dQ4B = 1.62 cm

Q3Q4 = 1.62 cm

Q2Q3 = 1.62 cm

Q1Q2 = 1.62 cm

AQ1 = 1.62 cm

AP1 = P1P2 = P2P3 = P4P5 = 2.06 cm

d = 2.06 cm

Q4Q3Q2Q1

P5

P4

P3

P2

A B

P1

Дељење дужи у датој размери

На основу претходно изложеног, коришћењем Талесове теореме и поделе дужи

на n једнаких делова, можемо дату дуж AB поделити и у размери :m n . За

конструкцију тачке C која дуж AB дели у датој размери примењује се претходно

описана конструкција. Заправо, најпре ћемо дуж поделити на m n+ једнаких делова, и

један од њих означимо са d . Затим једноставно пребројимо m делова и дату тачку

означимо са C . Тада је AC md= и CB nd= , па ће бити

( )AB AC CB md nd m n d= + = + = + , одакле је даље AC md m

CB nd n= = , односно

: :AC CB m n= , што значи да тачка C дуж AB дели у размери :m n .

Пример: Поделити дуж у размери 5:2.

Најпре поделимо дуж на 5 2 7+ = једнакој делова тачкама 1Q , 2Q , ..., 6Q као

што је раније описано, и један од њих означимо са d . Тачку 5Q означимо са C , и

управо тачка C ће дуж делити у размери 5 : 2 . Заиста, 5 5AQ d AC= = ,

5 7 5 2Q B AB AC d d d CB= − = − = = , па следи да је 5 5

2 2

AC d

CB d= = . То се може видети и

на следећој слици.

17

d

AC

CB = 2.50

CB = 3.33 cm

AC = 8.32 cm

=C Q6Q5Q4Q3

Q2Q1

P7

P6

P5

P4

P3

P2

A B

P1

Конструкције углова од o60 , 30� , 90�

Констукција угла од o60

1. Конструишемо произвољну полуправу Op

2. Конструишемо кружницу ( , )K O r произвољног полупречника r , и њен

пресек са Op означимо са A

3. Конструишемо кружницу ( , )K A r

4. ( , ) ( , )K O r K A r B∩ =

5. Конструишемо полуправу Oq која садржи тачку B

Угао 60pOq = �� .

p60°°°°

B

O A

18

Конструкција угла од o30

1. Конструише се угао од o60

2. Конструише се симетрала угла од o60 и означи се са s

Угао 30pOs = �� .

p

s

30°°°°60°°°°

O

Конструкција угла од 90�

1. Конструише се на произвољној правој p произвољна тачка O

2. Конструише се нормала n на p у тачки O

Угао 90pOn = �� .

p

n

90°°°°

O

Конструкције троуглова

Конструкција троугла ССС

Дате су три дужи дужина a , b и c . Треба конструисати троугао чије су дужине

страница једнаке једнаке дужинама датих дужи.

Оно о чему је овде битно водити рачуна је да странице троугла морају

задовољавати следеће услове:

a b c< + b a c< + c a b< +

Основа ове конструкције је преношење дужи, па уколико су дати услови

испуњени можемо конструисати тражени троугао на следећи начин:

19

1. Конструишемо дуж подударну датој дужи c , и означимо је са AB

2. Конструисемо кружнице ( , )k A b и ( , )k B a и њихов пресек означимо са C

3. Добијени троугао ABC је тражени троугао

Заиста, како тачка C припада кружници ( , )k A b она се налази на растојању b

од тачке A , а како припада и кружници ( , )k B a налази се на растојању a од тачке B ,

тј AC b= и BC a= . Према конструкцији је AB c= .

C'

a

b

c

b a

c

C

BA

Уколико су пресек двеју конструисаних кружница две узимамо једну од њих за

решење, а уколико је пресек празан скуп, тада задате дужи не задовољавају услов

троугла.

Конструкцију можемо започети на произвољан начин, тј. можемо почети од

било које задате дужи.

Конструкцијом овог троугла у The Geometer's SketchPad -u и коришћењем

његових могућности можемо видети који је значај услова који странице троугла морају

да задовољају.

Конструкција троугла СУС

Потребно је конструисати троугао ако су дате две његове странице и угао који

оне заклапају. Нека је, на пример, дат угао α и странице b и c .

Конструкција се састоји од две конструције преношења дужи и једне

конструкције преношења угла, и изгледа овако:

1. Конструише се дуж подударна дужи c и означи са AB

2. Конструише се угао једнак датом углу α , са теменом A и чији је један

крак права одређена тачкама A и B

20

3. Конструише се дуж AC подударна са b таква да C припада дугом краку

угла који смо конструисали у претходном кораку

Конструисани троугао ABC је тражени троугао. Заиста, AB c= (према

конструкцији), AC b= (према конструкцији), тчка C припада краку угла који са AB

заклапа угао једнак α , тј. BAC α=� .

c

b

b

a

c

αααααααα

C'

C

BA

Конструкција троугла УСУ

Конструисати троугао ако је дата једна његова страница и два на њој налегла

угла. Нека су, на пример, дати страница c и на њој налегли углови α и β .

Конструкција се састоји од једне конструкције преношења дужи и две

конструкције преношења угла:

1. Конструишемо дуж AB подударну датој дужи c

2. Конструишемо угао са теменом A и краком AB који је подударан датом

углу α и његов други крак означимо са p

3. Конструишемо угао са теменом B и краком AB који је подударан датом

углу β и његов други крак означимо са q

4. Пресечну тачку полуправих p и q означимо са C

Добијени троугао ABC је тражени троугао. Заиста, AB c= (према

конструкцији), а тачка C је таква да је BAC α=� и ABC β=� (према конструкцији).

Оно што је битно код ове конструкције је да углови α и β морају да испуњавају услов

да је 180α β+ < � да би се полуправе p и q секле, односно, да би се могао

конструисати троугао ABC .

Конструкција је дата на следећој слици:

21

cq

p

c

ββββαααα

ββββ

ααααC

BA

Конструкција ССУ

Потребно је конструисати троугао ако су дате две његове странице и угао

наспрам веће од њих. Конструкција се састоји од две конструкције преношења угла и

једне конструкције преношења дужи.

Нека су, на пример, дате странице a и c и угао ϕ . Пре него што опишемо

конструкцију, продискутоваћемо до којих ситуација можемо доћи:

1. a c>

2. c a>

а) За 90ϕ < � и a BK> , где је K подножје висине из B , постоје два

решења

б) За 90ϕ < � и a BK= постоји само једно решење – правоугли троугао

ABK

в) За a BK< нема решења

3. c a= , 90ϕ < � и a BK> постоји тачно једно решење – једнакокраки

троугао

У случајевима као што је овај, конструкција у The Geometer's SketchPad -у има

велике предности јер се једноставним померањем одговарајућих тачака мишем види до

којих се ситуација може доћи.

Узмимо случај када је a c> и опишимо конструкцију:

1. Конструишемо дуж AB која је подударна са c

22

2. Конструишемо угао са теменом A и краком AB који је подударан датом

углу ϕ и његов други крак означимо са p

3. Конструишемо кружницу ( , )k B a и њен пресек са краком p означимо са

C

Добијени троугао ABC је тражени троугао. Заиста, AB c= (према

конструкцији), тачка C је на краку угла једнаког углу ϕ , па је с тога BAC ϕ=� , C је

такође и на кружници ( , )k B a , што значи да је на растојању a од тачке B ( BC a= ).

Ова конструкција је приказана на слици:

a

c

a

c

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

K

C'

C

BA

За решење узима се један од троуглова ABC или 1ABC .

3. Алгебарска метода

Код ове методе тражена се величина прво израчуна а затим конструише. При

конструкцији смемо користити следеће кострукције алгебарских израза, које се

конструишу помоћу основних елементарних конструкција.

• x a b= + - За конструкцију дужи x користи се два пута конструкција

преношења дужи на истој правој.

a

b

a b

x=AC

CBA

• x a b= − , a b> - Такође се два пута користи конструкција преношења

дужи

23

a

b

a

b

x=AC

C BA

• x na= , n N∈ - користи се n пута конструкција преношења дужи

• a

xn

= , n N∈ - користи се подела дужи на n једнаких делова

• a

x nm

= , ,m n N∈ - дату дуж поделимо на m једнаких делова и то што

добијемо нанесемо n пута на дати правац

• ab

xc

= (четврта пропорционала) - Конструкција се састоји у следећем:

конструишемо дуж OA a= на правцу p ; конструишемо произвољну

полуправу q са теменим О и на њој конструишемо дуж OC c= , а затим

и CB b= ; кнструишемо праву r која садржи B паралелну са AC и њен

пресек означимо са X ; добијена дуж AX x=

a

b

cp

a

q

x

c

b

x=AX

X

B

C

AO

• x ab= (геометријска средина) – конструишемо дуж

AC AB BC a b= + = + ; конструишемо средиште О дужи AC и опишемо

кружницу ( , )k O OA ; конструишемо нормалу n у тачки B на дуж AC и

њен пресек са кружницом ( , )k O OA означимо са X . Тражена дуж је

x BX=

24

a

b

ba

x

nX

O CBA

• 2 2x a b= + - ова конструкција се заснива на коришћењу Питагорине

теореме. Дужина хипотенузе x правоуглог троугла једнака је квадратном

корену збира квадрата катета a и b .

a

b

a

b

x

• 2 2x a b= − , a b> - овде такође користимо Питагорину теорему.

Очигледно је x катета правоуглог троугла чија је друга катета b , а

хипотенуза a

Сада када знамо конструисати неке јеноставније изразе, можемо конструисати и

неке много сложеније тако што ћемо их расчланити на низ једноставних конструкција.

4. Метода геометријских места (метода пресека)

Дефиниција:

Геометријско место тачака је скуп свих тачака равни које задовољавају неки

услов.

1. Геометријско место тачака једнако удаљених од две дате тачке A и

B - ова конструкција своди се на конструкцију симетрале дужи AB

2. Геометријско место тачака удаљених за константну даљину d од

дате тачке О – ова конструкција своди се на конструкцију кружнице са

центром у тачки О и полупречником d

25

3. Геометријско место тачака удљених за d од дате праве – ово ГМТ су

две праве паралелне датој правој које се налази на растојању d од дате

праве. Конструкција се нормала n на дату праву у произвољној тачки O

те праве. Затим се конструише кружница ( , )k O d и њени пресеци са n

означе са P и Q . Конструишемо, затим праве p и q које садрже тачке

P и Q , редом, и паралелне су са датом правом. Праве p и q су тражено

ГМТ.

d

a

q

p

n

d

Q

P

O

4. Геометријско место тачака удаљених за d од дате кружнице ( , )k O r -

ово ГМТ је кружница са центром O полупречника d r+

5. Геометријско место тачака подједнако удаљених од две дате праве

Нека су дате праве p и q . Овде разликујемо више случајева

• p и q се секу у тачки O - конструкција се састоји у конструкцији

симетрала углова са теменом које чине ове преве

p

q

s2

s1

O

• p и q су паралелне – ГМТ је права s паралелна са p и q која се

налази између p и q

26

p

q

n

s

SQ = 0.75 cm

PS = 0.75 cm

S

Q

P

6. Геометријско место тачака под којим се дата дуж види под правим

углом – ово ГМТ је кружница чији је пречник дата дуж

7. Геометријско место тачака под којим се дата дуж види под углом α -

ово ГМТ је кружница чија је тетива дата дуж а његов периферијски угао

над том тетивом дати угао α . Конструкција се састоји у следећем:

конструише се угао са теменом А који је једнак углу α и чији је један

крак права одређена тачкама A и B . Конструише се кружница ( , )k B AB

и њен пресек са друим краком претходно конструсаног угла означи са C .

Затим се конструише круг описан око троугла ABC . Тражено ГМТ је

кружни лук �ACB . Заиста, AB је тетива описаног круга, угао

BAC ACB α= =� � (према конструкцији, троугао ABC је једнакокраки са

крацима AB и BC ), па је ACB� периферијски угао описаног круга који

одговара тетиви AB па је сваки периферијски угао са теменом који

припада кружном луку �ACB једнак α .

m∠∠∠∠ACB = 52.24°°°°

m∠∠∠∠AEB = 52.24°°°°

αααα

αααα

ααααO

C

B

A B

A

E

27

8. Геометријско место тачака из којих се кружница види под углом α

t2

p

t1

αααα

2

αααα

2

90°°°°-αααα

2αααα

2

90°°°°-αααα

2

αααα

2

αααα /2

αααα

T2

T1

O

5. Конструктивни задаци

У овом делу биће изабрани неки задаци везани за геометријске конструкције

троуглова који се своде на претходно описане геометријске конструкције. Неки од њих

ће бити решени, а неки могу послужити као одабир занимљивих примера помоћу којих

ученик може применити претходно обрађене геометријске конструкције, повезати их у

целину и схватити значај конструкција које смо претходно обрадили. Избор су

конструкције троуглова, док су конструкције четвороуглова, петоуглова, ..., као и

разлличите конструкције везане за круг изостављене јер се оне, мање или више своде

на конструкције различитих троуглова, који се пак своде на основне геометријске

конструкције.

Пример 1:

a) Упиши кружницу у једнакостраничан, једнакокраки, тупоугли и

правоугли троугао

b) Опиши кружницу око једнакостранизног, једнакокраког, тупоуглог и

правоуглог троугла

c) Одредити тежиште у једнакостраничном, једнакокраком, тупоугломи

правоуглом троуглу

d) Одредити ортоцентар у једнакостраничном, једнакокраком и

тупоуглом троуглу

Центар описаног круга око троугла, центар уписаног круга у троугао,

ортоцентар и тежиште троугла називају се значајним тачкама троугла. Ортоцентар,

тежиште и центар описаног круга припадају једној правој коју зовемо Ојлерова права.

28

c

b a

Ojlerova prava

m∠∠∠∠ABC = 90°°°°

O

H

T

S

A B

C

Овај задатак је веома добар пример помоћу кога можемо проверити неке

особине троуглова. Такође, код овог примера можемо увидети значај примене

различитих програма за динамичку геометрију, јер једноставним мењањем страница

троугла можемо посматрати у каквој су зависности значајне тачке са троуглом. Доказ

постојања Ојлерове праве није предвиђен за обраду у основној и средњој школи, тако

да програм може ово тврђење ученицима приближити визуелно на врло једноставан

начин.

На наредним сликама можемо видети да се код једнакостраничног троугла све

значајне тачке поклапају, код једнакокраког троугла Ојлерова права се поклапа са

правцем висине из темена C на основицу c , код тупоуглог троугла ортоцентар и

центар описаног круга се налазе изван троугла, а код правоуглог троугла се центар

описаног круга поклапа са средиштем хипотенузе, а висина круга са теменом троугла

код правог угла.

c

ba

O

H

TS

A B

C

c

b a

Ojlerova prava

O

H

T

S

A B

C

c

b

a

Ojlerova prava

O

H

T

S

A B

C

Пример 2:

Конструисати тругао ABC ако је он задат следећим елементима: a , b , ch .

Анализа:

29

Будући да је задата дужина странице a , темена B и C лако се конструишу.

Треће теме A мора задовољавати два услова:

1. Тачка A мора бити удаљена од тачке C за дужину b

2. Тачка Aмора бити удаљена од правца BC за дужину ch

Скуп свих тачака које задовољавају први услов је кружница ( , )k C b а скуп

тачака који задовољава други услов су две праве паралелне с правцем BC и од њега

удаљене за дужину ch .

Конструкција:

1. Страница BC : B , полуправа BD , ( , )C BD k B a= ∩

2. Кружница ( , )k C b

3. Нормала n из тачке C на правац BC ; , ( , )cP Q n k C h∈ ∩

4. Праве p и q кроз тачке P и Q паралелне с правцем BC

5. Врх A : ( , )p k C b∩ , 1 2, 3, 4( , ) ,q k C b A A A A∩ →

6. Решења: троуглови 1A BC ,

2A BC , 3A BC ,

4A BC

Доказ:

Доказ се темељи на анализи.

Дискусија:

Задатак има 0, 2 или 4 решења у зависности од тога да ли је b мање, једнако или

веће од ch . У случају када задатак има 2 или 4 решења, по два су решења складна и она

се обично не разматрају. Дакле, решења су 1A BC ,

2A BC или 3A BC ,

4A BC .

30

a

bc hc

p

n

qA4A3

A2A1

Q

P

CB

Пример 3:

Конструисати троугао ABC ако су дате две његове странице 3 5b = cm ,

4c = cm , и угао који оне заклапају 75α = � .

Овај задатак се састоји од две помоћне конструкције и главне конструкције.

Помоћне конструкције су конструкција угла 75α = � и конструкција дужи

3 5b = . Ове конструкције приказане су на слици. Задатак је пример конструкције

троугла СУС, па након што конструишемо помоћне конструкције можемо једноставно

конструисати и тражени троугао.

1

2

5

5

5

D

A B

C

Пример 4:

Конструисати трoугао ABC ако је он задат следећим елементима: a , c , at .

p

r

75°°°°

O

31

Анализа:

Можемо најпре конструисати троугао ABD

јер су нам познате његове три странице: c , at и

2

a.

На правој BD конструишемо дуж 2

aDC = .

Троугао ABC је тражени троугао.

Код овог задатка конструкцију и доказ ћемо

заобићи јер се она заснива на једноставним, већ познатим конструкцијама.

Дискусија:

Дужи 2

a, c ,

at морају да испуњавају услов троугла да би постојало решење.

Пример 5:

Конструисати троугао ABC ако је дата његова страница a и висине ah и

bh .

Анализа:

Тачка B се налази на растојању

bh од праве одређене тачкама C и A .

Тачка А се налази на растојању ah од

праве одређене тачкама B и C . Тачка B

се такође налази на растојању a од тачке

C .

Конструишемо произвољну

полуправу Cx , и ГМТ које се налази на

растојању bh од Cx (права која је

паралелна са Cx на растојању bh од ње).

Затим конструишемо круг ( , )k C a и његов пресек са претходно конструисаним ГМТ је

тачка B .

Конструишемо, затим, ГМТ које су на растојању ah од праве одређене тачкама

B и C (права паралелна са BC на растојању ah од ње). Пресек тог ГМТ и Cx је тачка

А.

Троугао ABC је тражени троугао.

Пример 6:

Конструисати троугао ABC ако су дати следећи елементи: ch , β ,

ct .

c

taa/2

a/2

D

A B

C

a

ha

hb

D

M

A B

C

32

Најпре конструишемо троугао

DBC . Конструишемо ГМТ из којих се

тежишна дуж cCD h= види под углом β .

Теме B троугла добићемо као пресек

конструисаног ГМТ и нормале на cCD h=

у тачки D . Како знамо ct , конструишемо

( , )ck C t и пресек са правом одређеном

тачкама D и B означимо са T . Сада знамо

1

2BT AB= , па тачку A добијамо тако што

на полуправу BD нанесемо дуж 1

2TA AB= .

Пример 7:

Конструисати троугао ABC ако су дати следећи елементи: a b c+ + , α , β .

Конструишемо троугао MNC . Ова конструкција се своди на конструкцију

троугла УСУ, са страницом дужине a b c+ + и налеглим угловима 2

α и

2

β. Да би

добили тачке A и B , конструишемо симетрале страница MC и NC и њихове пресеке

са дужи MN означимо са, редом, A и B .

acb

b a

s1 s2

ββββ

2

αααα

2

ββββ

2

αααα

2ββββαααα

C

M NA B

tchc

ββββ

D TA B

C

33

Закључак

У данашње време, када је рачунар постао незаобилазно средство у свим

научним областима, па тако и у математици, готово је незамислово не искористити

могућности које он пружа. Било који рад може бити знатно олакшан, ефикаснији,

прецизнији и бржи коришћењем разних програма који омогућавају решавање

различитих проблема у различитим научним сферама. Зато је увођење рачунара у

наставу битан ради побољшања наставе, у смислу олакшаног и прецизнијег рада за

наставнике, до занимљивијег и креативнијег рада за ученике.

Конкретно, што се наставе математике тиче, коришћење рачунара је велика

предност и треба му све више тежити. Геометријске конструкције су пример области

где нам многи програми, у нашем случају The Geometer's SketchPad , могу пружити

удобнији и лакши рад, јер се многе ствари које је тешко објаснити на табли могу јасно

и прецизно визуелизовати. Међутим, коришћење различитих програма у настави сем

својих добрих страна, има и оне које могу стварати „потешкоће“ у настави која је код

нас још увек у реформи, између старог, традиционалног и модерног приступа. То би

захтевало да професор мора да зна да се користи одређеним софтвером, ученици

такође, јер је њихово учешће у настави много битан чиниоц, а то би захтевало и обуку

ученика за коришћење одређеног софтвера. При том се у наставном плану и програму

наставе математике мора одвојити места за то, или још боље, то нас доводи до

прилагођавања наставе информатике одређеним математичким програмима. Но, у

време рачунара заиста је штета не искористити могућности које нам се пружају и

модернизовати наставу. Али исто тако, што се математике и геометријских

конструкција тиче, ништа нема исти смисао ако се оне не обраде помоћу лењира,

шестара, свеске и табле.

34

Литература

1. Збирка решених задатака из математике 1, Мр Вене Т. Богославов, Завод

за уџбенике и наставна средства, Београд 2001

2. web.math.hr/nastava/kmg/materijali/skripta.pdf, Еуклидске конструкције

3. http://www.mp.gov.rs/propisi/propis.php?id=133, сајт Министарства

просвете и спорта Републике Србије

4. http://e.math.hr/old/stedul/index.html, Хрватски математички електронски

часопис

5. http://sketchpad.carnet.hr, Математика уз помоћ The Geometer's ScetchPad -а

6. en.wikipedia.org/wiki/Wiki, Wikipedia, the free encyclopedia