Metodi e tecnologie per l’insegnamento della

matematica Lezione 15

Le azioni del fare matematica

•Progettare è una delle azioni più significative dell’apprendimento, quando esso è proposto come esperienza della persona.

•Chi progetta infatti vuole “mettere in opera” una propria idea, concretizzandola in modo da far diventare patrimonio comune una creazione della propria mente.

•All’interno di una progettazione, in qualunque campo, si affronta una situazione complessa, che non può essere dominata in modo frammentario, ma chiede che i particolari si inseriscano in un’ipotesi globale.

PROGETTARE IN MATEMATICA

La matematica è un’attività mentale che è essenzialmente un “progettare”, anche se non sempre attraverso operazioni fisicamente eseguibili.

Nell’azione del progettare, la matematica esprime la caratteristica di essere inerente alla razionalità globale della persona, alla modalità del suo rapporto con la realtà.

RISOLVERE PROBLEMI E’ PROGETTARE

Per sua natura un problema richiede di orientare scelte, di sviluppare strategie, di immaginare e prefigurare un percorso risolutivo In un problema, ogni particolare è collocato in un contesto, ogni azione prende significato riferendosi ad esso.

Risolvere problemi è un allenamento a progettare: richiede un’azione libera e consapevole, cioè allarga l’orizzonte della razionalità

Fasi di un

“progetto”

PRIMO PASSO

Lettura accurata e analisi attenta del testo

DATI OBIETTIVO

(Riformulazione del testo)

SECONDO PASSO

Rappresentazione del problema

Contesto

linguistico

Contesto

matematico

Rappresentare è una condizione per matematizzare

TERZO PASSO

Strategia risolutiva

Schema logico del procedimento

Scomposizione in sottoproblemi

NOTA BENE

•Favorire, ove possibile, la costruzione di più strategie risolutive e far eseguire una valutazione a priori e una a posteriori.

•Meglio fare uno stesso problema in tre modi diversi (confrontandoli) che svolgere tre problemi diversi acriticamente

QUARTO PASSO

Esecuzione

Aspetto tecnico

Rielaborazione

QUINTO PASSO

Verifica

Corrispondenza tra risultato e rappresentazione

Coerenza del processo

Nuovi problemi

Applichiamo ai problemi nella scuola primaria

PRIMO PASSO

Lettura accurata e analisi attenta del testo

DATI OBIETTIVO

(Riformulazione del testo)

DATI Possono essere: • Adeguati: In una confetteria si mescolano 1351 confetti alla mandorla e

1794 confetti al cioccolato. Quante bomboniere da 5 confetti ciascuno si potranno confezionare con i confetti a disposizione?

• Carenti: Daniela prepara una torta con 4 uova, 200 grammi di burro e 500 di farina. Quanto le viene a costare la torta, tralasciando la spesa per la cottura?

• Inutili:Il papà di Marco per fare il pane acquista alcuni cubetti di lievito da 25 g ciascuno e 3 kg di farina. Se un cubetto di lievito serve per 500 g di farina, quanti cubetti di lievito dovrà usare il papà di Marco se vuole utilizzare tutti i 3 kg di farina?

• Sovrabbondanti: Il perimetro di un rettangolo è 42 cm, la base misura 6 cm e l’altezza supera la base di 9 cm. Calcolare l’area del rettangolo.

• Contraddittori: Quante monete da 50 centesimi occorrono per formare 2,30 centesimi?

OBIETTIVO

L’obiettivo in un problema coincide con la risposta alla domanda o alle domande che pone; si tratta quindi di capire di che tipo di risposta si tratta:

• risposte univoche: In una confetteria si mescolano 1351 confetti alla mandorla e 1794 confetti al cioccolato. Quante bomboniere da 5 confetti ciascuno si potranno confezionare con i confetti a disposizione?

• risposte diverse, ma tutte ugualmente accettabili: nella vetrina di un negozio di lampadari se ne vedono esposti a tre e a due luci; si contano in tutto20 lampadine. Quanti sono i lampadari a tre luci ? Quanti quelli a due?

• non c’è risposta: trovare due numeri naturali diversi dall’unità il cui prodotto sia un numero primo

SECONDO PASSO

Rappresentazione del problema

Contesto

linguistico

Contesto

matematico

Rappresentare è una condizione per matematizzare

RAPPRESENTAZIONE: proviamo! 1)La zia Elena va in pasticceria e compra una torta al cioccolato e una torta alla panna. Il prezzo totale delle due torte è di 24 euro. La torta al cioccolato costa 6 euro in più della torta alla panna. Quanto costa la torta alla panna?

2)Antonella parcheggia nel garage di un grattacielo che si trova al quarto piano sotto il livello zero (piano terra). Sale con l’ascensore per 24 piani. A quale piano Antonella uscirà dall’ascensore?

3) Carlo, Marco, Andrea e Paolo partecipano a un torneo di ping-pong. Ogni bambino deve giocare a turno con tutti gli altri. Alcune delle partite da giocare sono:

• Carlo contro Marco,

• Carlo contro Paolo,

• Marco contro Andrea,

• Andrea contro Paolo.

Mancano due partite; quali sono?

TERZO PASSO

Strategia risolutiva

Schema logico del procedimento

Scomposizione in sottoproblemi

Strategie risolutive: proviamo

1)Il papà di Rita ha smesso di fumare e ha deciso di utilizzare i soldi che spendeva per le sigarette per comperare una mountain bike che costa €223,20. Il papà di Rita fumava ogni giorno due pacchetti di sigarette da € 2,48 il pacchetto. Quanti giorni dovrà aspettare per comperare la bicicletta?

2) Per il suo compleanno Giovanni porta a scuola un vassoio con 32 pasticcini

di qualità diverse: metà alla crema, un quarto al cioccolato, un ottavo alla

frutta e il resto con pasta di mandorle. Quanti sono i pasticcini con pasta di

mandorle?

3) Lo scorso anno 90 ragazzi hanno seguito un corso di nuoto con 6 istruttori.

Ognuno dei 6 istruttori aveva lo stesso numero di ragazzi. Quest’anno si

sono iscritti 30 ragazzi in più. Se si vuole che il numero di ragazzi per ogni

istruttore resti lo stesso, quanti istruttori saranno ora necessari?

QUARTO PASSO

Esecuzione

Aspetto tecnico

Rielaborazione

ESEGUIAMO

QUINTO PASSO

Verifica

Corrispondenza tra risultato e rappresentazione

Coerenza del processo

Nuovi problemi

NOTA BENE

E’ importante insegnare non degli schemi, ma un

modo di guardare!

Esempio: due tipi di problemi, ma analoga struttura logica

SPESA + GUADAGNO = RICAVO

PROBABILITÀ

In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare

ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili.

Valutare

Innanzitutto è necessario educare a riconoscere il grado di validità di una affermazione:

Affermazione Validità

2+2=4 certa

Domani pioverà possibile

Gli asini volano impossibile

E , data una affermazione possibile, si può dire qual è il suo grado di possibilità?

Il calcolo delle probabilità nasce per rispondere a questo tipo di domanda.

N.B.: Non tutte le situazioni sono però sottoponibili a quantificazione.

Sul piano didattico è sempre consigliabile far scaturire i concetti da situazioni concrete, senza aver fretta di anticipare definizioni che gli alunni non capirebbero.

Gli esempi e le situazioni dai quali partire non mancano certamente.

Nella fase preliminare non è opportuno presentare situazioni problematiche complesse: lo scopo non è quello di abituare gli alunni a risolvere problemi, ma a cogliere differenze fondamentali fra situazioni particolari.

OSSERVAZIONE PRELIMINARE

Con alunni di II o ancora meglio di III si possono presentare due situazioni:

-La prima. Mario ha 10 figurine e ne regala 4 a Filippo. Quante figurine gli rimangono?

-La seconda. Domani si gioca l’incontro di calcio Inter-Juventus. Quanti gol segnerà l’Inter?

Domanda: che differenza c’è fra le due situazioni?

Poi si può fare un altro passo

Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come le puoi vedere (l’insegnante, se può, si procura effettivamente urne o sacchetti e palline bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi chiusi una pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci estrarre dall’urna A o dall’urna B? Oppure è indifferente? Sai dire perché?

EVENTI ALEATORI

Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di una qualsiasi esperienza viene detto evento.

Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la qualità delle informazioni che un soggetto ha circa quell’evento.

ESEMPIO

Nel gioco della tombola consideriamo l’evento:

«In questa estrazione esce un numero pari»

- Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i numeri dispari, l’evento è certo.

- Se invece sono già stati estratti tutti i numeri pari, l’evento è impossibile.

- Se invece nell’urna permangono numeri pari e dispari l’evento è aleatorio.

Le diverse concezioni di probabilità: la probabilità classica

Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice:

Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4 ,5, 6)

Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari)

Casi possibili: tutti i possibili esiti

Casi favorevoli: esiti che verificano l’evento in esame

Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con p(E), il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili (supposti equiprobabili)

𝑝 𝐸 =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖

Es.: E= esce un numero pari 𝑝 𝐸 =3

6

Esempio 1 Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti?

Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una croce; ma sono tutti equiprobabili?

No! Infatti la configurazione una testa e una croce si presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le altre due in un solo modo.

Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è:

testa-testa

testa-croce

croce-testa

croce-croce

Esempio2 Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili configurazioni?

Ora consideriamo l’evento: E = escono esattamente due teste

Casi possibili: 8; casi favorevoli : 3

Ora si può calcolare la probabilità

𝑝 𝐸 =3

8

TTT TTC TCT CTT TCC CTC CCT CCC

Le diverse concezioni di probabilità Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza sull’esito di un’esperienza è quello di riferirsi alla storia passata per fare predizioni su quella futura. ( Esempio: le assicurazioni)

Questo tipo di impostazione conduce alla definizione di probabilità a posteriori o frequentista:

Se si esegue un’esperienza un numero n di volte e si osserva che un evento E si è presentato h volte su n, allora:

𝑃 𝐸 =ℎ

𝑛

N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla frequenza relativa

Le diverse concezioni di probabilità Qual è la probabilità che la Juventus vinca la Coppa dei Campioni?

È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere né con la concezione classica, né con quella frequentista; eppure si fanno scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa una valutazione del grado di possibilità dell’evento.

Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva.

Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il soggetto attribuisce all’evento E è un numero reale che esprime la disponibilità del soggetto, supposto ragionevole, a versare la posta M, col patto di ottenere la vincita V se l’evento E si verifica

𝑃 𝐸 =𝑀

𝑉

• Relativamente al piano didattico all’inizio è opportuno fare riferimento solo a situazioni in cui gli esiti possibili sono equiprobabili; ad esempio: lancio di una moneta testa-croce (non truccata); lancio di un dado “onesto” con facce numerate da 1 a 6; estrazione di una pallina da un’urna; e casi simili. In altri termini si parlerà solo di valutazione classica della probabilità.

• In un secondo momento si farà un cenno a situazioni in cui la probabilità si identifica con la frequenza relativa; si tratta ovviamente della concezione frequentista della probabilità.

ESEMPI DI ATTIVITÀ

Esempio1: prima si pone la domanda: « data una moneta, qual è la

probabilità che esca testa?». Facilmente si risponderà: 1

2!

Poi si divide la classe in gruppi e si chiede ad ogni gruppo di lanciare 20 volte una moneta e registrare il numero di teste e uscite.

Si contano tutte le teste uscite, poi si calcola la

frequenza relativa=𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑒

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖

Cosa si ottiene? Cosa cambia se aumentiamo il numero di lanci?

Una attività interessante può essere costituita dal confronto tra la valutazione di probabilità e ciò che accade realmente. Si confronterà quindi la probabilità teorica con la frequenza relativa dell’evento.

Esempio 2: lanciamo due dadi e sommiamo i punti ottenuti. Quali somme possiamo ottenere? Qual è la somma più probabile? Qual è la probabilità di ottenere una somma multipla di 3?....

Poi si può sempre fare un confronto con una prova reale.

Esempio 3: Abbiamo 10 palline numerate da 1 a 10; qual è la probabilità che esca un numero pari?

Anche qui il confronto con la situazione reale si può facilmente fare, basta portare in classe i numeri della tombola.

Esempi dalle prove Invalsi

Quinta primaria

Quinta primaria

Quinta primaria

Terza secondaria di primo grado

Terza secondaria di primo grado

DOMANDE

• È più probabile che i numeri estratti siano, nell’ordine, 1-2-3-4-5 oppure che siano, nell’ordine, 90-34-45-3-9 ?

• Se nella scorsa estrazione è uscito il 7 sulla ruota di Napoli, oggi è più probabile che, sulla stessa ruota, esca il 7 o un altro numero che non è uscito la scorsa volta?

• Lanciamo due dadi con 6 facce e non truccati: - Enunciare un evento certo - Enunciare un evento impossibile - Enunciare un evento che abbia meno del 30% di

probabilità di verificarsi

ESERCIZI

1)Delle 200 persone presenti in una sala, 80 hanno 18 anni; 70 ne hanno 17; 40 hanno 16 anni; 5 hanno 32 anni ed altri 5 ne hanno 40. Calcola:

• la mediana e la moda delle età delle 200 persone;

• la media aritmetica di tali età.

• Fornisci una rappresentazione tabulare della situazione ed un diagramma a barre.

• Prendendo una persona a caso tra le 200, qual è la probabilità che abbia non meno di 18 anni?

• Prendendo una persona a caso tra i minorenni, qual è la probabilità che abbia 16 anni?

• Prendendo una persona a caso tra le 200 qual è la probabilità che abbia più di 40 anni?

2) I 20 studenti di una classe V primaria hanno raccolto i seguenti dati riguardanti il numero di litri di latte ( approssimati al mezzo litro) consumati nelle loro famiglie in una settimana; i risultati sono riportati qui di seguito 3; 1,5; 2; 2,5; 4; 4; 3,5; 2; 3,5; 6; 2,5; 1,5; 2; 1; 4,5; 4; 3; 1; 2; 2,5. a) Rappresentare i dati raccolti con una tabella, in cui compaiano le

frequenze assolute e relative e con un grafico a scelta. b) calcolare media, moda e mediana della distribuzione in questione 3) Calcola la probabilità che, lanciando due volte un dado, esca almeno una volta il numero 1. 4) Marina ha in tasca quattro monete identiche. Se le lancia in aria quali sono le possibili configurazioni che può ottenere? Rappresentarle. Utilizzando la rappresentazione calcolare la probabilità a)di avere esattamente due teste b)di avere almeno due teste c)di avere non più di due teste