metode iterasi variasional pada masalah · pdf fileperpustakaan.uns.ac.id commit to user...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH
STURM-LIOUVILLE
oleh
HILDA ANGGRIYANA
M0109035
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MA-SALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam. Universitas Sebelas Maret.
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabelmuncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentukpersamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Idepokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah me-nentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian denganλ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah ataubahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampir-an sebagai aternatif.
Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahSturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh de-ngan metode iterasi variasional ditentukan dengan memformulasikan persamaandiferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi
yn+1(x) = yn(x) +
∫ x
0
µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds,
dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensialnonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat.
Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode itera-si variasional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinearberpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metodeiterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouvillelinear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanyadengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaianhampiran diperoleh melaui dua iterasi.
Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen,fungsi eigen.
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FORSTURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Scien-ces, Sebelas Maret University.
By separating the variables in a heat conduction problem occurs Sturm-Liouville problems. Based on the differential equation form, there are two typesof Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linearand nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as ei-genvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solutionof some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these pro-blems is needed, for alternative.
Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear Sturm-Liouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear andnonlinear second order differential equation to the following correction function
yn+1(x) = yn(x) +
∫ x
0
µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds,
where L is a linear differential operator and N is a nonlinear differential operator.These method is efective and accurate.
The main purpose of this thesis are to review an applied variational iterationmethod to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems.The results shows that the exact solution of linear case obtained only by oneiteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtainedby two iterations.
Key words: variational iteration method, Sturm-Liouville problems, eigen value,eigen function.
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MOTTO
Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk
mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang
selalu kontinu.
(Penulis)
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :
kedua orangtuaku dan keluarga Om Joko-Tante Indah di Klaten.
Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya.
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana
Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan menga-
rahkan dalam penyusunan skripsi ini.
2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan
2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis,
serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, Desember 2013
Penulis
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II LANDASAN TEORI 5
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Variasi Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Kondisi Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Metode Iterasi Variasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.6 Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IIIMETODE PENELITIAN 13
IVPEMBAHASAN 14
4.1 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear . . . . . . . . . . 15
4.3 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V PENUTUP 28
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
DAFTAR PUSTAKA 29
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR GAMBAR
4.1 Plot Fungsi Eigen y(x) = yk(x) = Cksin(kx) . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Plot Fungsi Eigen y1(x, λ) = Ck sin(
√144(3+16k2π2)−27(1+x)4
6(1+x)3x) . . . 23
4.3 Plot Fungsi Eigen y2(x, λ), 0 ≤ x ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 27
x
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
µ : pengali Lagrange
λ : nilai eigen
y(x) : fungsi penyelesaian eksak
yn(x) : fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi
yn+1(x, λ) : fungsi koreksi
T : operator diferensial
L : operator diferensial linear
N : operator diferensial nonlinear
yn(x, λ) : variasi terbatas
δyn(x, λ) : variasi Gateaux dari variasi terbatas
δyn+1(x, λ) : variasi Gateaux dari fungsi koreksi
R : himpunan bilangan real
P : pangkat dari fungsi y(x)
y0 : fungsi awal
λk : nilai eigen ke-k
yk : fungsi eigen dari suatu nilai eigen λk
[a, b] : interval tertutup a dan b
V : ruang vektor
X : ruang vektor kompleks u
∂∂ε
: turunan parsial terhadap ε
· : dot product pada R3
Rd : ruang linear berdimensi d
C1[a, b] : himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b]
H : ruang Hilbert
X : ruang vektor kompleks
0 : vektor 0
⟨f, g⟩ : hasil kali dalam dari fungsi f dan g
xi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
L2 : himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville
yP : pangkat ke-P
i :√−1 atau bilangan imajiner
xii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel
muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan
diferensial linear
− d
dx[p(x)
d
dxy(x)] + q(x)y(x) = λr(x)y(x), (1.1)
yang dilengkapi syarat batas
α1y(a) + β1y′(a) = 0, α2y(b) + β2y
′(b) = 0, (1.2)
dengan p(x) > 0, r(x) > 0, fungsi p(x), p′(x), q(x), r(x) merupakan fungsi kon-
tinu dalam interval tertutup [a, b], r(x) adalah fungsi bobot dan α1, α2, β1, β2
adalah konstanta real. Parameter λ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang
menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan
y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide
pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λ dan fungsi y(x) yang berse-
suaian dengan λ (Haberman, [7]).
Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembang-
kan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasarkan Altintan dan Ugur [1],
masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear
− y′′(x) + yP (x) = λy(x), x ∈ I = (0, ℓ), (1.3)
yang dilengkapi dengan syarat batas
y(0) = y(ℓ) = 0, (1.4)
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dengan ℓ > 0, λ > 0, P merupakan pangkat dari y(x) dan P > 1.
Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak da-
pat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampi-
ran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah Sturm-
Liouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen
[12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah
Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Ugur [1] juga telah menyelesaikan ma-
salah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada ka-
sus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi
adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12].
Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persa-
maan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi
yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formu-
la iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat
pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori
variasional yang mendasarkan pada variasi Gateaux.
Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu dia-
wali dengan mengambil pemisalan persamaan
Ty(x) = g(x), x ∈ I (1.5)
dengan T merupakan operator diferensial yang bekerja pada fungsi y(x) yang
berada pada suatu interval I ⊆ R. Fungsi y(x) dan g(x) merupakan fungsi
kontinu untuk semua x ⊆ I. Dalam metode iterasi variasional, operator T dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dari operator linear (L) dan nonlinear (N), sehingga
persamaan (1.5) dapat dituliskan sebagai
L[y(x)] +N [y(x)] = g(x). (1.6)
Dari (1.6) dapat dibentuk fungsi koreksi
yn+1(x) = yn(x) +
∫ x
0
µ(L[yn(s)] +N [yn(s)]− g(s))ds. (1.7)
Pada (1.7), yn adalah fungsi yang diperoleh melalui n iterasi, dan yn merupakan
variasi terbatas yang variasi Gateauxnya bernilai nol (δyn(x, λ) = 0).
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian ham-
piran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekompo-
sisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk
menyelesai- kan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada pe-
nelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi
variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Be-
lal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan
oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear,
sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran da-
pat diperoleh hanya dengan satu iterasi.
Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan
untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah sya-
rat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke
bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji
kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masa-
lah Sturm-Liouville linear dan nonlinear dengan P = 2 berdasarkan Altintan dan
Ugur [1].
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan
masalah yaitu
1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan me-
tode iterasi variasional?
2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan
metode iterasi variasional?
3
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah Sturm-
Liouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta
pada masalah nonlinear diberikan P = 2.
1.4 Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk
1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi
variasional,
2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode ite-
rasi variasional.
1.5 Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat menerapkan metode iterasi variasional pa-
da penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear maupun nonlinear.
4