Sebuah bola konduktor berjari-jari R, ditanahkan sehingga potensial pada permukaanya sama dengan nol. Suat muatan titik q diletakkan sejauh a dari pusat bola. Tentukan potensial listrik di sembarang titik.

Untuk menentukan besarnya potensial listrik sebuah bola konduktor dan sebuah muatan titik kita dapat menggunakan Metode Bayangan.

Mula-mula kita tempatkan muatan q’ (muatan bayangan) sedemikian rupa sehingga potensial di permukaan bola sama dengan nol (V = 0).

Potensial di titik P adalah :

� = 14���� + 14���

�′′ � = 14��� ���� − �� � + �′|�� − ���|� Syarat batas: pada permukaan bola, V = 0

Maka pada titik O

� ��� = ���� = � �� (searah dengan %���)

Maka posisi titik P relatif terhadap kedua muatan adalah

'��� = (( − �)(−��)

q

a

V = 0

R

��

�� � ����

P

O

��� �

�′ � +)

'′���� = (� − ,) ��

Sehingga Potensial di semua menjadi:

� = 14��� - �|(� − () ��| + �′|(� − ,) ��|.

Oleh karena V(R) = 0 karena dipermukaan, maka

�|(( − �)(−��)| = − �/|(� − ,) ��|

�( 01 − 123 = − �/

� 01 − 413

�( = − �/� dan 1

01 − 123 = 101 − 413

Sehingga :

�( = − �/� → �/ = − �( �

101 − 123 = 1

01 − 413 → �( = ,� → , = �2(

Maka Persama potensialnya menjadi :

� = 14��� -� + �′′.

dengan:

7 = 87 + (7 − 28( 9:; +

′7 = 87 + ,7 − 28, 9:; + → , = �7(

/7 = 87 + <�7( =7 − 28 �7

( 9:; +

Maka :

� = 14��0 ?@A �√87 + (7 − 28( 9:; + − � 12

C87 + 01D2 37 − 28 1D

2 9:; +EFG

� = 14��� ?@A �√87 + (7 − 28( 9:; + − �

21 C87 + 01D2 37 − 28 1D

2 9:; +EFG

� = 14��� ?@A �√87 + (7 − 28( 9:; + − �

C87 2D1D + 01D

2 37 2D1D − 28 1D

2 2D1D 9:; +EF

G

� = 14��� ?@A �√87 + (7 − 28( 9:; + − �

C(H21 )7 + �7 − 28( 9:; +EFG

� = �4��� ?@A 1√87 + (7 − 28( 9:; + − 1

C�7 + (H21 )7 − 28( 9:; +EFG

Selanjutnya menghitung rapat muatan I:

I = −�� J�JK , J�JK = MJ�J8NHO1

Dengan

J�J8 = �4��� JJ8 (87 + (7 − 28( 9:; +)PQD − 0�7 + (8(� )7 − 28( 9:; +3PQD� J�J8 = �4��� − 12 (87 + (7 − 28( 9:; +)PRD. (28 − 2( 9:; +)

− − 12 0�7 + (8(� )7 − 28( 9:; +3PRD . <(7�7 28 − 2( 9:; +=.

J�J8 = �4���� ((7 − �7)(�7 + (7 − 2�( 9:; +)PRD

Maka

I = −�� MJ�J8NHO1

I = �4�� (�2 − (2)(�2 + (2 − 2�( 9:; +)−32

mencari Qind dengan:

UVWV = X I Y( , Y( = Z[Z\ZK [](; ^Z8\]_((K ,:[(

UVWV = X I (�7 ;`K + Y+ Y∅)

UVWV = �4�� (�7 − (7) X(�7 + (7 − 2�( 9:; +)PRD . �7 ;`K + Y+ Y∅

UVWV = �4�� (�7 − (7)�7 X Y∅7b� X (�7 + (7 − 2�( 9:; +)PRDb

� ;`K + Y+

UVWV = �4�� (�7 − (7)2��7 X ;`K + Y+(�7 + (7 − 2�( 9:; +)RD

b�

MUVWV = �4�� (�7 − (7)2��7 c− 1�( (�7 + (7 − 2�( 9:; +)PQDdN�b

Karena s > R maka persamaan menjadi:

UVWV = �2( ((7 − �7) c 1√�7 + (7 − 2�( 9:; � − 1√�7 + (7 − 2�( 9:; 0d

UVWV = �2( ((7 − �7) c 1√�7 + (7 + 2�( − 1√�7 + (7 − 2�(d

UVWV = �2( ((7 − �7) e 1f(( + �)7 − 1f(( − �)7g

UVWV = �2( ((7 − �7) c 1(( + �) − 1(( − �)d

UVWV = �2( (( + �)(( − �) c 1(( + �) − 1(( − �)d

UVWV = �2( e(( + �)(( − �)(( + �) − (( + �)(( − �)(( − �) g

UVWV = �2( h(( − �) − (( + �)i UVWV = �2( (−2�)

UVWV = − ��(

UVWV = �′ sedangkan besarnya gaya yang disebabkan oleh muatan q dan q’ adalah:

j = 14����k�787

j = 14�����/

(( − ,)7

j = 14����(−� 12)

(( − 1D2 )7

j = − 14����7�(

(7(( − 1D2 )7

j = − 14����7�(((7 − �7)7

l� = − 14����7�(((7 − �7)7 8̂