metoda pert - staff.uz.zgora.plstaff.uz.zgora.pl/mpatan/materialy/badoper/wyklady/druk_5d.pdf ·...

METODA PERT

Maciej Patan

Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski

Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 1

WPROWADZENIE

➣ PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique)

➣ Metoda nalezy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej

➣ Parametry opisujace poszczególne czynnosci maja charakter stochastyczny

➣ Załozenia metody CPM (zbyt odwazne):

• najwczesniejszy mozliwy termin rozpoczecia czynnosci

• najpózniejszy dopuszczalny termin rozpoczecia czynnosci

• parametry sa obliczane na podstawie znajomosci czasu trwania danej czynnosci

➣ W metodzie PERT czas trwania kazdej czynnosci jest szacowany

➣ Obliczanie oczekiwanego czasu trwania czynnosci dokonuje sie na podstawie trzechocen czasu: optymistycznej, najbardziej prawdopodobnej i pesymistycznej



ZAŁOZENIA

Niech :

• tc - czas optymistyczny

• tm - czas najbardziej prawdopodobny

• tp - czas pesymistyczny

wtedy wartosc oczekiwana t0

t0 =tc + 4tm + tp

6

jest to wartosc oczekiwana rozkładu beta



Realizacja metody PERT

1. Definiowanie wszystkich czynnosci projektu

2. Ustalenie nastepstwa czasowego czynnosci

3. Oszacowanie czasu trwania kazdej czynnosci

4. Wyznaczenie sciazki krytycznej oraz kryteriów jakosciowych i ilosciowych

5. Tworzenie harmonogramu

6. Przeszacowania i poprawki zgodne ze stanem rzeczywistym



Przykład. 1.

Dla wykonania przedsiewziecia P opracowano dwa wariantytechniczne A i B. Nalezy na podstawie analizy sieciowej doko-nac wyboru wariantu gwarantujacego wieksza szanse dotrzyma-nia terminu dyrektywnego td = 48 dni. Charakterystyki czynnoscidla obu wariantów podano w ponizszych tabelach



Wariant A(i, j) tc tm tp t0

(1, 2) 13 14 15 14

(1, 3) 5 10 15 10

(1, 4) 7 10 19 11

(2, 3) 2 2 2 2

(2, 5) 10 10 10 10

(3, 6) 20 21 22 21

(3, 7) 4 16 16 14

(4, 7) 5 20 23 18

(5, 8) 5 8 11 8

(6, 8) 12 12 12 12

(7, 8) 18 18 30 20

Wariant B(i, j) tc tm tp t0

(1, 2) 17 20 20 19, 5

(1, 3) 14 14 14 14

(1, 4) 1 5 15 6

(2, 5) 2 10 12 9

(3, 6) 17 18 25 19

(3, 7) 15 15 15 15

(4, 7) 2 5 14 6

(5, 8) 18 20 28 21

(6, 8) 14 15 22 16

(7, 8) 18 21 24 21



Siec czynnosci dla wariantu A

100

21414

31616

41112

52442

63738

73030

85050

14(0)

10(6)

11(1)

10(18)

2(0)

21(1)

14(0)

18(1)

8(18)

12(1)

20(0)

• sciezka krytyczna: 1− 2− 3− 7− 8

• szacowany czas trwania przedsiewziecia: 50 dni



Siec czynnosci dla wariantu B

100

219.5

20

31414

4623

5 28.5

29

63334

72929

85050

19.5(0.5)

14(0)

6(17)

9(0.5)

19(1)

15(0)

6(17)

21(0.5)

16(1)

21(0)

• sciezka krytyczna: 1− 3− 7− 8

• szacowany czas trwania przedsiewziecia: 50 dni



Wnioski

• Dla obu wariantów oczekiwany czas trwania czynnosci wynosi 50 dni, a wzałozeniu termin dyrektywny wynosi td = 48dni

• Parametry opisujace przedsiewziecie maja charakter probabilistyczny i czastrwania czynnosci miesci sie w granicach [tp, tc]

• Problem :

Jak okreslic, który z wariantów ma wieksze szanse dotrzy-mania terminu dyrektywnego?

• Rozwiazanie :

Wprowadzamy pojecie wariancji – okreslenie niepewnosci zwiazanej z danaczynnoscia



• Interpretacja wariancji

Im wieksza jest rozpietosc ocen miedzy czasem optymistycznym ipesymistycznym, tym wieksza jest niepewnosc zwiazana z dana czynnoscia

• Definicja wariancji

σ2 =(tp − tc6

)2Im wieksza wartosc wariancji, tym wieksza niepewnosc z czasem trwaniadanej czynnosci

Przykład 2.Obliczyc niepewnosci wykonania przedsiewziecia P z przykładu 1



Wariant A

(i, j) tc tm tp t0 σ2

∗(1, 2) 13 14 15 14 1919

(1, 3) 5 10 15 10 259

(1, 4) 7 10 19 11 4

∗(2, 3) 2 2 2 2 00

(2, 5) 10 10 10 10 0

(3, 6) 20 21 22 21 19

∗(3, 7) 4 16 16 14 44

(4, 7) 5 20 23 18 9

(5, 8) 5 8 11 8 1

(6, 8) 12 12 12 12 0

∗(7, 8) 18 18 30 20 44

sciezka krytyczna:

1− 2− 3− 7− 8

wariancja całkowita:

σ2 = 19 + 0 + 4 + 4 = 819



Wariant B

(i, j) tc tm tp t0 σ2

(1, 2) 17 20 20 19, 5 14

∗(1, 3) 14 14 14 14 00

(1, 4) 1 5 15 6 499

(2, 5) 2 10 12 9 259

(3, 6) 17 18 25 19 4936

∗(3, 7) 15 15 15 15 00

(4, 7) 2 5 14 6 4

(5, 8) 18 20 28 21 259

(6, 8) 14 15 22 16 169

∗(7, 8) 18 21 24 21 11

sciezka krytyczna:

1− 3− 7− 8

wariancja całkowita:

σ2 = 0 + 0 + 1 = 1

Nalezy wybrac wariant A, bo stopien niepewnosci jest wiekszy i jest szansa nadotrzymanie terminu dyrektywnego td = 48dni



• Wybierajac wariant A przedsiewziecie moze zostac zrealizowane wprzedziale

4189− 5819

dnia

• Wybierajac wariant B przedsiewziecie moze zostac zrealizowane wprzedziale

49− 51 dnia

• Nasuwaja sie kolejne pytania

� Jakie jest prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 48 dni?

� Jakie jest prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 50 dni?

� Jakiemu przedziałowi czasu realizacji przedsiewziecia odpowiada daneprawdopodobienstwo np. 0, 95?



ROZWIAZANIE

Dystrybuanta rozkładu normalnego jest bardzo pomocna przy okreslaniu praw-dopodobienstwa realizacji przedsiewziecia

Definicja dystrybuanty rozkładu normalnego

Φ(x) =1√2π

∫ x−∞e−x22 dx

Interpretacja geometryczna

xx

F( )x



• Obszar zakreslony - prawdopodobienstwo zakonczenia przedsiewziecia wterminie do td

P (td ¬ tr) = Φ(x)

• Obliczanie prawdopodobienstwa z definicji – bardzo uciazliwe iczasochłonne

• Praktyczne okreslanie prawdopodobienstwa – tablice rozkładu normalnego

� Tablice zawieraja wartosci dystrybuanty dla liczb dodatnich x 0 (prawapołówka dystrybuanty)

� Jak wiec policzyc wartosc dystrybuanty dla liczb ujemnych x < 0?



Wiadomo, ze

Φ(inf) =1√2π

∫ ∞−∞e−x22 dx = 1

i ze wykres dystrybuanty jest symetryczny. Zatem

Φ(x) = 1− Φ(−x)

• W tabelach sa podawane dla dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1)

• Dane nalezy przeskalowac tak, aby posiadały wartosc srednia równa zero iodchylenie standardowe równe 1

X =td − trσc

gdzie: td - czas dyrektywnytr – czas modelowy ukonczenia przedsiewziecia

σc – odchylenie standardowe(σc =√σ2c

)X – czas przeskalowany do N(0, 1)



Przykład. 3a) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 48 dni dla wariantu A

X =48− 50√8 19

= −0, 702

P (td ¬ tr) = 1− Φ(x) = 1− 0, 76 = 0, 24 (24%)

x0.702-0.702

F( )x



b) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 50 dni dla wariantu A

X =50− 50√8 19

= 0

P (td ¬ tr) = Φ(x) = 0 = 0, 5 (50%)

x0

F( )x



c) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 58 dni dla wariantu A

X =58− 50√8 19

= 2, 807

P (td ¬ tr) = 0, 997 (99, 7%)

x2.807

F( )x



d) Obliczyc przedział czasu realizacji przedsiewziecia odpowiadajacyprawdopodobienstwu 0,95

P (td ¬ tr) = 0, 95

odczytujemy z tablic wartosc X

X = 1, 64

podstawiamy do wzoru

1, 64 =td − 50√8 19

przekształcamy

td = 1, 65 ·√819+ 50 = 54, 7



e) Obliczyc prawdopodobienstwo ukonczenia przedsiewziecia do 48 dni dla wariantu B

X =48− 50√1= −2

P (td ¬ tr) = 1− Φ(−x) = 1− 0, 977 = 0, 023 (2, 3%)

Uwaga!

Faktycznie w przykładzie 2 ustalilismy, ze lepszy okaze sie wariant A



Obliczyc prawdopodobienstwo ukonczenia przedsiewziecia do 58 dni dla wariantu B

X =58− 50√1= 8

P (td ¬ tr) ≈ 1



Obliczyc przedział czasu realizacji przedsiewziecia odpowiadajacy prawdopodobienstwu0,95

P (td ¬ tr) = 0, 95

odczytujemy z tablic wartosc X

X = 1, 65

podstawiamy do wzoru

1, 65 =td − 50√1

przekształcamy

td = 1, 65 + 50 = 51, 65


metoda pert - staff.uz.zgora.plstaff.uz.zgora.pl/mpatan/materialy/badoper/wyklady/druk_5d.pdf ·...

Documents