metoda jednakog impulsnog odziva
DESCRIPTION
Metoda jednakog impulsnog odziva. Digitalna Obradba Signala. LS&S - FER. Metoda jednakog impulsnog odziva. Metoda projektiranja IIR filtra transformacijom prijenosne funkcije prototipnog analognog filtra. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/1.jpg)
Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva
Digitalna Obradba Signala
LS&S - FER
![Page 2: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/2.jpg)
Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva
Metoda projektiranja IIR filtra transformacijom prijenosne funkcije prototipnog analognog filtra. Osnovna ideja: naći IIR prijenosnu funkciju čiji je impulsni odziv jednak jednoliko otipkanom impulsnom odzivu prototipnog analognog filtra.
![Page 3: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/3.jpg)
Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva
Neka je Ha(s) prijenosna funkcija kauzalnog i stabilnog analognog filtra. Njegov impulsni odziv je dan inverznom Laplace-ovom transformacijom
ha(t)=L-1{Ha(s)}
Impulsni odziv digitalnog filtra je jednoliko otipkana verzija impulsnog odziva analognog filtra, tj.
g(n)=ha(nT)
Tada vrijedi G z g n h nT
TH s j
l
Ta al s
Tz
Z Z
1 21
ln
Frekvencijsku karakteristiku dobijemo uvrštavanjem z=ej :
G eT
H jT
jl
Tj
al
1 2
![Page 4: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/4.jpg)
Preslikavanje sPreslikavanje s=(1/=(1/TT)ln)lnzz
Pogledajmo transformaciju s = (1/T) ln z koja preslikava s ravninu u z ravninu.Napišimo to preslikavanje u obliku z = esT .
z r e e ej T j T 0 0Za s = 0+j0 vrijedi , odnosno z r e T 0 .
Imaginarna os u s ravnini (0=0) Jedinična kružnica u z ravnini (|z|=1)
Lijeva s poluravnina (0<0) Unutrašnjost jedinične kružniceu z ravnini (|z|<1)
Desna s poluravnina (0>0) Izvan jedinične kružnice u z ravnini (|z|>1)
Polovi stabilnog analognog filtra se preslikavaju u unutrašnjost jedinične kružnice u z ravnini.
![Page 5: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/5.jpg)
Transformacija z = esT preslikava sve točke u s ravnini dane s
s j jk
T
0 0
2 u jednu točku u z ravnini z e eT j T 0 0
.
Horizontalni odsječak -/T/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.
Re(z)
Im(z)j
/T
/T
Preslikavanje sPreslikavanje s=(1/=(1/TT)ln)lnzz
![Page 6: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/6.jpg)
Isto tako, horizontalni odsječak -3/T-/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.
Horizontalni odsječak -/T/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.
Re(z)
Im(z)j
/T
/T
/T
Također, svaki horizontalni odsječak (2k-1)/T(2k+1)/T, , u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu. Dakle, transformacija z = esT je višestruko preslikavanje iz s ravnine u cijelu z ravninu.
k Z
Transformacija z = esT preslikava sve točke u s ravnini dane s
s j jk
T
0 0
2 u jednu točku u z ravnini z e eT j T 0 0 .
![Page 7: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/7.jpg)
Utjecaj preslikavanja sUtjecaj preslikavanja s=(1/=(1/TT)ln)lnzz na frekvencijsku na frekvencijsku karakteristikukarakteristiku
Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra je suma posmaknutih kopija frekvencijske karakteristike analognog filtra.
G eT
H jT
jl
Tj
al
1 2
Ako je frekvencijska karakteristika analognog filtra frekvencijski ograničena, tj. ako je
H jTa 0 za
tada vrijedi G e
TH j
Tj
a
1za
i nema aliasinga.
Ako gornji uvjet nije ispunjen, doći će do preklapanja spektara, odnosno aliasinga.
![Page 8: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/8.jpg)
H jTa
g-g 0
G e j
-
g<
0
G e j
0
g>
aliasing
![Page 9: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/9.jpg)
Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva
Ne postoji analogni filtar čija je prijenosna karakteristika frekvencijski ograničena.
U praksi, ako je |Ha(j)|Hmax za /T,
gdje je Hmax=max(|Ha(j)|) u intervalu 0/T,
može se smatrati da je prijenosna karakteristika
“dovoljno” ograničena.
![Page 10: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/10.jpg)
Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva Metoda jednakog impulsnog odziva nije pogodna za
projektiranje filtra ako prototipni analogni filtar nema frekvencijski ograničenu prijenosnu karakteristiku, kao što je npr. slučaj s visokopropusnim analognim filtrom.
Ako želimo projektirati digitalni filtar čija frekvencijska karakteristika odgovara frekvencijskoj karakteristici analognog filtra do frekvencije =/T, potrebno je odabrati tzv. “guard filter” Hg(s) takav da je produkt Ha(s)Hg(s) frekvencijski ograničen i da vrijedi
H j H j H j T
H j H j T
a g a
a g
za < /
za /
0
![Page 11: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/11.jpg)
Projektiranje digitalnog filtra Projektiranje digitalnog filtra metodom jednakog impulsnog odzivametodom jednakog impulsnog odziva
Ako je prijenosna funkcija prototipnog analognog filtra racionalna funkcija
H s
B s
A sa
Ha(s) se može napisati u obliku sume parcijalnih razlomaka
H sK
s sai
ii
N
1
Impulsni odziv filtra se dobije inverznom Laplace-ovom transformacijom
h t K ea is t
i
N
i
1
![Page 12: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/12.jpg)
Projektiranje ...Projektiranje ...
Impulsni odziv digitalnog filtra dobijemo otipkavanjem impulsnog odziva analognog filtra svakih T:
g n K e K eis nT
i
N
is T n
i
N
i i
1 1
z transformacija impulsnog odziva je
G z g n K e zK z
z eis T n
i
N
n
n is T
i
N
i
i
Z10 1
Dobili smo racionalnu funkciju po z, i to je prijenosna funkcija digitalnog filtra.
![Page 13: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/13.jpg)
Projektiranje ...Projektiranje ...Gornje jednadžbe vrijede ako prijenosna funkcija analognog filtra ima jednostruke polove. U slučaju dvostrukih polova, tj. ako se pri rastavu prijenosne funkcije analognog filtra na parcijalne razlomke pojavi član
oblika , odgovarajući član u prijenosnoj funkciji digitalnog
filtra ima oblik .
K
s s
i
i2
K T e z
z ei
s T
s T
i
i
2
U slučaju pola (n+1)-og reda, tj. parcijalnog razlomka oblika K
s s
i
i
n
1 ,
odgovarajući član prijenosne funkcije digitalnog filtra je
K
T z
n
d
dz
z
z ei
n n n
n s Ti
!
![Page 14: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/14.jpg)
Projektiranje ...Projektiranje ...Za slučaj analognog filtra s kompleksnim parom polova s ji1 2,
vrijedi:
• ako je analogna prijenosna funkcija H ss
a
2
digitalna prijenosna funkcija dobivena metodom jednakog impulsnog odziva je
G zz e T
z z e T e
T
T T
sin
cos2 22
• ako je analogna prijenosna funkcija H s
s
sa
2
odgovarajuća digitalna prijenosna funkcija je
G zz z e T
z z e T e
T
T T
2
2 22
cos
cos
![Page 15: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/15.jpg)
Primjer - projektiranjePrimjer - projektiranje
Neka je prijenosna funkcija analognog filtra dana s
H ss
s s sa
16 2
3 2 52
Amplitudno-frekvencijska karakteristika analognog filtra |Ha(j)|
0 2 4 6 8 10
|Ha(j)|
![Page 16: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/16.jpg)
Primjer - projektiranje ...Primjer - projektiranje ...
Rastavom na parcijalne razlomke dobijemo
H s
s
s
s s s
s
sa
2
3
2 14
2 5
2
3
2 14
1 22 2 2
H s
s
s
s sa
2
32
1
1 26
2
1 22 2 2 2
G zz
z e
z z e T T
z z e T eT
T
T T
2 2 6 2 2 2
2 23
2
2 2
sin cos
cos
Koristeći dane formule dobijemo prijenosnu funkciju digitalnog filtra
![Page 17: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/17.jpg)
Primjer - projektiranje ...Primjer - projektiranje ...Amplitudno-frekvencijske karakteristike digitalnog filtra |G(ej)| za različite frekvencije otipkavanja, odnosno različite T:
T=
T=
0
|G(ej)|
T=
|G(ej)|
0
T=
|G(ej)|
0
0
|G(ej)|
![Page 18: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/18.jpg)
Projektiranje - sažetakProjektiranje - sažetak
Ako je specifikacija filtra dana u digitalnoj domeni, specifikacija prototipnog analognog filtra se dobije frekvencijskom transformacijom =/T.
Projektirati prototipni analogni filtar Ha(s).
Rastaviti prijenosnu funkciju analognog filtra na parcijalne razlomke. Tako dobivamo koeficijente Ki i si.
Izračunati prijenosnu funkciju digitalnog filtra G(z).
![Page 19: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/19.jpg)
Svojstva filtra projektiranog Svojstva filtra projektiranog metodom jednakog impulsnog odzivametodom jednakog impulsnog odziva
Broj polova digitalnog filtra jednak je broju polova analognog filtra. Digitalni filtar je stabilan ako je prototipni analogni filtar bio
stabilan. Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra je periodizirana
frekvencijska karakteristika analognog filtra. Kaskada dva digitalna filtra projektirana metodom jednakog
impulsnog odziva nema impulsni odziv jednak impulsnom odzivu kaskade dva analogna prototipa. Drugim riječima, filtar mora biti projektiran u jednom koraku.
![Page 20: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/20.jpg)
Primjer 1Primjer 1
Butterworth, niski propust, 3. red H ss s sa
1
1 12
0 1 2 3 4 50
1
|Ha(j)|
0
-
(Ha(j))1 2 3 4 5
![Page 21: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/21.jpg)
Primjer 1 - nastavakPrimjer 1 - nastavakPrijenosna funkcija digitalnog filtra projektiranog metodom jednakog impulsnog odziva je
G z
z e e T T z e T T
z e T e z e e
T T T
T T T T
1 2 2
1 2 2 3 2
32
1
3
32
13
21
3
32
1 23
22
/
/ /
cos sin cos sin
cos cos3
23 2T z e T
![Page 22: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/22.jpg)
Primjer 1 - nastavak Primjer 1 - nastavak Za T=/5=0,628 prijenosna funkcija digitalnog filtra je
G zz z
z z z
0 1271 0 2367
1 1 7833 1 2003 0 2846
1 2
1 2 3
, ,
, , ,
0
1
0
|G(ej)| 0
-
-2
(G(ej))
![Page 23: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/23.jpg)
Primjer 2Primjer 2
Što bi se dogodilo da smo u prethodnom primjeru filtar projektirali kao kaskadu dva digitalna filtra projektirana metodom jednakog impulsnog odziva
uz prototipne analogne filtre i ? H ssa1
1
1
H s
s sa2 2
1
1
G zz e T1 1
1
1
G z
z e T
z e T e
T
T T
2
1 2
1 2
2
3
32
1 23
2
/
/
sin
cos
![Page 24: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/24.jpg)
Primjer 2 - nastavakPrimjer 2 - nastavakKaskada ova dva digitalna filtra ima prijenosnu funkciju
G z G z G z
z e T
z e T e z e e T z eK
T
T T T T T
1 2
1 2
1 2 2 3 2 3 2
2
3
32
1 23
22
32
/
/ /
sin
cos cos
G z
z e e T T z e T T
z e T e z e e
T T T
T T T T
1 2 2
1 2 2 3 2
32
1
3
32
13
21
3
32
1 23
22
/
/ /
cos sin cos sin
cos cos3
23 2T z e T
Prijenosna funkcija filtra u prethodnom primjeru bila je
![Page 25: Metoda jednakog impulsnog odziva](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/568138b4550346895da0742c/html5/thumbnails/25.jpg)
Primjer 2 - nastavakPrimjer 2 - nastavak
Amplitudna i fazna karakteristika filtara GK(z) i G(z) uz T=1
|GK(ej)|
|G(ej)|
0
0
1
0
(GK(ej))
(G(ej))