Metoda cineto-statică de rezolvare a problemelor de dinamica sistemelor

Metoda cineto-statică este o metodă de rezolvare a problemelor de

dinamica sistemelor în care se aplică principiul lui d’Alembert:

„În cazul unui sistem mecanic în mişcare, torsorul în centrul de

masă al forţelor de inerţie echilibrează dinamic torsorul în centrul de

masă al forţelor date şi de legătură ce acţioneză asupra fiecărui

element

iG

iG

( )( 1,2 )iS i n= K din sistem”.

0( 1,2

0

⎧ + =⎪ =⎨⎪ + =⎩

Ki i

ini i

inG G

F Fi

M M)n (1)

Relaţiile de mai sus reprezintă ecuaţiile vectoriale de echilibru

dinamic ale lui d’Alembert corespunzătoare fiecărui element

izolat din sistem. ( )( 1,2 )iS i n= K

Ecuaţiile vectoriale (1) sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare în

cazul sistemelor de forţe coplanare şi cu 6 ecuaţii scalare în cazul

sistemelor de forţe spaţiale.

Aplicarea principiului lui d’Alembert tuturor elementelor unui sistem,

conduce la obţinerea a 3 ecuaţii scalare în cazul sistemelor de forşe

coplanare, respectiv 6 ecuaţii scalare în cazul sistemelor de forţe

spaţiale.

nn

Prin această metodă, o problemă de dinamică se reduce la

scrierea unor ecuaţii de echilibru (ecuaţii de proiecţii de forţe şi de

momente) asemănătoare celor din statică. Din acest motiv, ecuaţiile (1)

1

se mai numesc ecuaţii vectoriale de echilibru cinetostatic.

În rezolvarea problemelor de dinamica sistemelor de puncte materiale şi

solide rigide se parcurg următoarele etape:

I. Se izolează, pe rând, fiecare corp din sistem ( se eliberează de

legături) şi se figurează:

- forţele date,

- reacţiunile din legături (forţe şi momente),

- elementele torsorului de reducere în centrul de masă al

forţelor de inerţie.

II. Se scriu ecuaţiile scalare ale lui d’Alembert ( ecuaţiile scalare de

echilibru cinetostatic) pentru fiecare corp în parte. În final se vor obţine 3

ecuaţii în cazul unui sistem mecanic plan format din corpuri şi 6

ecuaţii în cazul unui sistem mecanic spaţial cu acelaşi număr de

corpuri.

n nn

III. Se stabilesc relaţiile între acceleraţiile corpurilor (parametrii

cinematici de ordinul II).

IV. Se rezolvă sistemul de ecuaţii algebrice care conţine ecuaţiile

lui d’Alembert şi relaţiile între parametrii cinematici ai elementelor

sistemului.

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii astfel obţinut se determină, în

principal, parametrii cinematici ai mişcării (eventual parametrii de poziţie)

şi reacţiunile din legături (forţe şi momente).

Metoda cinetostatică în rezolvarea problemelor de dinamică a sistemelor mecanice plane.

Un sistem mecanic de corpuri este plan atunci când asupra lui

acţionează un sistem coplanar de forţe).

2

În cazul unui sistem mecanic plan există trei posibilităţi de mişcare

a elementelor sale:

- translaţia, viteza instantanee v indică sensul de deplasare al

corpului,

- rotaţia, viteza unghiulară ω indică sensul de rotaţie al corpului,

- plan-paralelă, viteza instantanee Gv indică sensul de deplasare

al centrului de masă şi viteza unghiulatră ω indică

sensul de rotaţie al corpului.

În ipoteza mişcărilor accelerate ale corpurilor, acceleraţiile au

următoarele orientări în raport cu vitezele corpurilor:

- în mişcarea de translaţie, acceleraţia a este coliniară şi de

acelaşi sens cu viteza v ,

- în mişcarea plan-paralelă, dacă centrul de masă are o mişcare

rectilinie, atunci acceleraţia Ga este coliniară şi de acelaşi sens

cu viteza Gv ,

- În mişcarea de rotaţie în jurul unui centru de rotaţie permanent

sau instantaneu, acceleraţia unghiulară ε este coliniară şi de

acelaşi sens cu viteza unghiulară ω .

Torsorul de reducere în centrul de masă al forţelor de inerţie este

format din :

- Forţa de inerţie, ( )in

F N , coliniară şi de sens contrar cu

acceleraţia Ga a centrului de masă:

= − G

inF M a (2)

unde M (kg) este masa corpului.

3

- Momentul forţelor de inerţie sau cuplul de inerţie ( )in

M Nm ,

coliniar şi de sens contrar cu acceleraţia unghiulară ε :

in

M Jε= − (3)

unde 2( )J kgm este momentul de inerţie mecanic al corpului faţă de

centrul de rotaţie.

În ipoteza că un sistem mecanic plan porneşte din repaus, sub

acţiunea greutaţilor proprii ale corpurilor, acestea au mişcări accelerate.

Rezultă că:

- forţele de inerţie au sens contrar deplasării rectilinii a centrelor

de masă,

- momentele forţelor de inerţie (cuplurile de inerţie ) au sens

contrar rotaţiei elementelor.

* * *

Un sistem mecanic prezintă două tipuri de legături:

- exterioare: legăturile dintre corpuri care aparţin sistemului şi

corpuri care nu aparţine sistemului,

- interioare: legăturile dintre corpurile din sistem.

Într-o legătură interioară, forţele şi cuplurile de legătură se

anulează, ele fiind egale şi de sens contrar.

Conform axiomei legăturilor, eliberarea corpurilor de legături

înseamnă înlocuirea acestora cu forţe şi cupluri de legătură, operaţie ce

se efectuează în etapa I-a de rezolvare a problemei.

Se consideră necesară o prezentare succintă a forţelor şi cuplurilor

de legătură corespunzătoare celor patru tipuri de legături fundamentale:

4

1. reazemul simplu;

2. articulaţia (plană);

3. legătura prin fir şi tijă rigidă;

4. încastrarea (plană).

Încastrarea nu este legătură interioară, deoarece prin imobilizarea

totală a unui corp în alt corp este suprimată orice posibilitate de mişcare

relativă între cele două corpuri, acestea fiind deci considerate un singur

corp.

Fig. 1.

În figura 1, se prezintă un sistem mecanic plan care porneşte din

repaus fiind antrenat de corpul (1) care alunecă pe planul înclinat sub

acţiunea greutăţii proprii.

5

Fig. 2.

În figura 2, acelaşi sistem este eliberat de legături şi în locul lor

sunt figurate forţele şi cuplurile de forţe corespunzătoare.

10 Reazemul simplu este legătura prin care suprafeţele a două

corpuri au în permanenţă un punct comun, numit punct teoretic de

rezemare.

Reazemul simplu (cu alunecare), dintre corpul (1) şi planul înclinat

este o legătură exterioară. Reacţiunea din legătură are două

componente:

1N , reacţiunea normală, perpendiculară pe suprafaţa de sprijin, cu

sensul spre desfacerea legăturii, de mărime necunoscută;

1fF , forţa de frecare la alunecare, orientată pe direcţia de

6

alunecare (perpendiculară pe 1N ), de sens contrar sensului de

deplasare a corpului care execută o translaţie rectilinie. Mărimea acestei

forţe se determină în funcţie de mărimea reacţiunii normale 1N şi de

coeficientul de frecare la alunecare μ , conform legii de frecare a lui

Coulomb,

1 11f vN iμ= −F 1 1fF N= μ (4)

1vi fiind versorul vitezei de alunecare v . 1

Acest reazem introduce o necunoscută în problemă.

Reazemul simplu între discul (4) şi suprafaţa orizontală pe care

acesta se rostogoleşte fără alunecare (rostogolire pură) este o legătură

exterioară. este punctul teoretic de rezemare, cunoscut din

Cinematică sub numele de centrul instantaneu de rotaţie.

I

Torsorul în I al reacţiunilor reazemului cu rostogolire pură

cuprinde:

Forţa de legătură cu două componente:

2N , reacţiunea normală, perpendiculară în la suprafaţa de

rezemare, cu sensul spre desfacerea legăturii (sensul în care

discul poate părăsi suprafaţa orizontală), de mărime

necunoscută;

I

T , reacţiunea tangenţială, orientată după tangenta în la disc,

mărimea şi sensul, necunoscute; în problemă se atribuie un

sens arbitrar, urmând ca după rezolvarea problemei să se

strabilească sensul real.

I

Cuplul de legătură:

7

rM , momentul de frecare la rostogolire, coliniar şi de sens contrar

cu viteza unghiulară de rostogolire a discului, cu mărimea

determinată în funcţie de mărimea reacţiunii normale 2N şi

coeficientul de frecare la rostogolire : ( )s m

2rM sN= ; 42rM sN iω= − (5)

În figura 2, momentul de frecare la rostogolire rM este figurat

printr-o săgeată curbilinie în jurul punctului teoretic de contact , cu

sensul arbitrar sugerând sensul proiecţiei lui pe axa perpendiculară

pe planul sistemului.

IOz

Reazemul de rostogolire pură introduce în problema de dinamică

două necunoscute:

- mărimea sau modulul reacţiunii normale 2N ;

- valoarea scalară a componentei tangenţiale T .

20. Articulaţia plană sau cilindrică, se realizează prin ansamblul

bolţ-cavitate cilindrică, când asupra corpului acţionează un sistem de

forţe coplanare. Dacă articulaţia se consideră cu frecare neglijabilă,

conform axiomei legăturilor, ea se va înlocui cu reacţiunea

perpendiculară pe axa de rotaţie de mărime şi orientare necunoscute.

Din acest motiv articulaţia plană introduce două necunoscute în

problema de dinamică, acestea fiind cele două componente cu sensurile

arbitrare pe cele două axe normale la axa de rotaţie (Ox şi -

situate în planul sistemului),

Oz Oy

R H V= + ; R H i V= + j (6)

8

Articulaţia O permite discului (2) să execute o mişcare de rotaţie;

este o legătură exterioară.

Reacţiunea din articulaţie are două componente 1H şi 1V ,

perpendiculare între ele, cu sensurile arbitrare, de mărime necunoscută.

Articulaţia introduce două necunoscute scalare în problemă. O

Articulaţia 1O este o legătură interioară, între corpurile (3) şi (5).

Componentele reacţiunii sunt 2H şi 2V , trasate cu sensurile arbitrare la

corpul (3) şi cu sensurile inverse la corpul (5).

Articulaţia introduce două necunoscute scalare în problema de

dinamică.

1O

30. Legătura prin fir este o legătură ideală, prin care un corp este

prins de alt corp, firul fiind flexibil şi inextensibil. Forţa de legătură se

numeşte tensiunea în fir, deoarece firul trebuie să fie perfect întins

(tensionat) pentru a realiza legătura dintre două copuri.

Tensiunea în fir, T , este orientată după direcţia firului, punctul de

aplicaţie este punctul de prindere de corp, sensul este spre punctul de

ancorare de celălalt corp iar mărimea este o necunoscută a problemei de

dinamică.

În exemplul luat există trei legături prin fir, toate fiind legături

interioare.

Între corpurile (1) – (2) se figurează tensiunile ( 1T , 1T− ), egale şi

de sensuri contrare.

Între corpurile (2) – (3) se figurează tensiunile ( 2T , 2T− ), egale şi

de sensuri contrare.

Între corpurile (3) – (4) se figurează tensiunile ( 3T , 3T− ), egale şi

de sensuri contrare.

Fiecare legătură interioară prin fir introduce în problema de

9

dinamică, o necunoscută.

La nivelul întregului sistem vor trebui determinate mărimile a trei

tensiuni: , şi . 1T 2T 3T

40. Încastrarea plană este legătura prin care un corp este fixat în alt

corp, fără nici o posibilitate de mişcare faţă de acesta.

Bara 1O O2 este încastrată în , considerat punct teoretic de

încastrare.

2O

Forţa de legătură (reacţiunea rezultantă) are două componente

ortogonale 3H şi 3V , cu sensurile arbitarre, de mărimi necunoscute.

Cuplul rezultant de legătură este momentul de încastrare iM ,

perpendicular pe planul sistemului, cu mărimea şi sensul, necunoscute.

În fig. 2, momentul de încastrare este evidenţiat printr-o săgeată

curbilinie al cărui sens, luat arbitrar, sugerează sensul momentului pe

axa , perpendiculară pe planul sistemului. Încastrarea plană

introduce trei necunoscute scalare în problema de dinamică.

Oz

În concluzie, necunoscutele datorate legăturilor interioare şi

exterioare ale sistemului prezentat în fig. 1, sunt în număr de 13, din care

8 sunt necunosutele scalare. Aceste 8 necunoscute scalare ( reacţiunile

din articulaţii, încastrare, componenta tangenţială la rostogolirea pură) au

fost luate iniţial cu sensurile arbitrare, urmând să se stabilească

sensurile reale după rezolvarea problemei de dinamică.

Problema 1.

Se consideră sistemul mecanic plan din fig. 1, format din

următoarele elemente:

(1), corp de greutate ce se deplasează sub acţiunea greutăţii

proprii pe un plan înclinat cu unghiul

1P

α faţă de orizontală, μ -

10

fiind coeficientul de frecare la alunecare, între corp şi planul

înclinat;

(2), disc de rază 2r r= şi greutate care se poate roti în jurul

articulaţiei ;

2P

O(3), corp format din două discuri concentrice, solidare între ele, de

raze şi de greutate fiind momentul de inerţie

mecanic al corpului faţă de articulaţia în jurul căreia acesta

se roteşte;

,r R 3 ,P J

1O

(4), disc de rază 4r r= şi greutate , care se rostogoleşte fără

alunecare pe o suprafaţă orizontală, fiind coeficientul de

frecare la rostogolire;

4P

s

(5), bara de lungime 2 l şi greutate , încastrată în , în

poziţie verticală.

1O O2 5P 2O

În ipoteza că sistemul porneşte din repaos sub acţiunea greutăţii

proprii a elementului (1) şi corpurile din sistem sunt omogene, să se

determine acceleraţiile corpurilor şi reacţiunile (forţe şi momente) din

legături.

Rezolvare:

I. Se separă corpurile din sistem şi se figurează:

- forţele exterioare date,

- reacţiunile (forţe, momente) din legături,

- elementele torsorului forţelor de inerţie.

Tabelul 1, cuprinde date utilizate în rezolvarea problemei iar în fig.

3,sunt plasate toate forţele şi cuplurile de forţe ce acţionează asupra

fiecărui element în parte.

11

În cazul corpurilor care prezintă legături interioare, reacţiunile din

aceste legături se reprezintă prin vectori de mărimi egale şi sensuri

contrare.

Tabelul 1.

Parametrii cinematici

Ele-

mentul

Tipul

mişcării de ord. I

de ord. II

Elementele torsorului

forţelor de inerţie

(1)

Translaţie

rectilinie

1v , viteza

instantanee

1a , acceleraţia

instantanee

11

1 11

inC

PF M ag

= − = − a

(2) Rotaţie în jurul

articulaţiei O

ω , viteza

unghiulară 2ε , acceleraţia

unghiulară 2 2

22

2 2 2in P rM J

gε ε= − = −

(3)

Rotaţie în jurul

articulaţiei 1O3ω , viteza

unghiulară

3ε , acceleraţia

unghiulară

33 33

inM J Jε ε= − = −

(4)

Rostogolire

pură (plan

paralelă)

4 4 ,Gv v=

viteza lui 4G

4ω , viteza

unghiulară

4 4 ,Ga a=

acceleraţia lui

4G

4ε , acceleraţia

unghiulară

44

4 44

inG

PF M ag

= − = − a

4 4

24

4 4 2in P rM J

gε ε= − = −

(5) - - - -

12

Fig. 3

II. Se scriu ecuaţiile scalare ale lui d'Alembert (de echilibru

cinetostatic) pentru fiecare corp în parte.

Pentru fiecare corp din sistem se pot scrie cel mult trei ecuaţii

scalare:

- Primele două ecuaţii scalare conţin proiecţiile forţelor, ce

acţionează asupra corpului respectiv, pe un sistem ortogonal de

axe, de versori i şi j , ales în mod convenabil; spre exemplu,

în cazul corpului (1), situal pe planul înclinat, este avantajos să

se considere un versor ( i ) orientat după direcţia planului

înclinat şi celălalt versor ( j ), perpendicular pe planul înclinat.

13

- A treia ecuaţie scalară conţine proiecţiile momentelor forţelor pe

a treia axă, perpendiculară pe planul sistemului.

Există situaţii când numărul ecuaţiilor corespunzătoare unui

element este mai mic de trei; spre exemplu, pentru corpul (1) se scriu

numai două ecuaţii, proiecţii de forţe.

Ecuaţiile scalare ale lui d'Alembert:

1 1). 1

1 1 1 1 1 sin 0P a T N Pg

μ α+ + − =

2). 1 1 cos 0N P α− =

2 3). 1 2 1 cos 0H T T α+ − =

4). 1 2 1 sin 0V P T α− − =

5). 2

21 2 2 0

2P rT r T r

gε− − =

3 6). 2 3 2 0H T T+ − =

7). 3 0V P− =

8). 2 3 3 0T R T r Jε− − =

4 9). 4

4 3 0P a T Tg

− + − =

10). 4 2 0P N− + =

11). 2

43 2 0

2P rT r Tr sN

gε+ − − =4

P− − =

5 12). 3 2 0H H− =

13). V V 3 2 4 0

14

14).

Ne ute ză în acest sistem sunt:

ˆ22 0ilH M+ =

cunosc le problemei care figurea

1 2 3 4 4, , , ,a a .ε ε ε acceleraţiile corpurilor:

reacţiunile din legături:

- mărimi necunoscute: N1 1 2 3 2, , , , ,T T T N

ala .- nerecunoscute sc re: ˆ1 1 2 2 3 3, , , , , , , iH V H V T H V M

În total sunt 18 necunoscute.

Mai sunt necesare 4 ecuaţii pentru a obţine un sistem în care

numărul necunoscutelor să fie egal cu numărul ecuaţiilor. Astfel se trece

d ́Alembert se adaugă

la etapa următoare.

III. La sistemul format din ecuaţiile lui

relaţiile între acceleraţiile corpurilor.

Obţinerea relaţiilor existente între acceleraţiile corpurilor presupune

în prealabil, stabilirea relaţiilor existente între vitezele corpurilor (metodă

avantajoas

ă, vectorii viteză se stabilesc mai uşor, ei indicând sensul de

mişca

ză necesari în rezolvarea

problemei. Se pot scrie următoarele relaţii:

1 2 1 2

2 3 2 3

3 4 3 4

4 4

; ;

; ;

; ; 2 2

B B

C D C D

E F E F

v v v r v r

v v v r v R r R

v v v r v r

v r

re).

În fig. 1 sunt figuraţi vectorii vite

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω

= = ⇒ =

= = = ⇒ =

= = = ⇒ =

=

15

4 ecuaţii care se adaugă la sistemul de ecuaţii de echilibru

inetostatic:

15).

Prin derivarea în raport cu timpul a celor patru relaţii se obţin

următoarele

c

1 2a rε=

16). 2 3r Rε ε=

3 42ε ε= 17).

4 4a rε= 18).

IV. Rezolvarea sistemului algebric de 18 ecuaţii cu 18

necunoscute.

Precizări:

Necunoscutele scalare sunt forţele şi cuplurile din legături trasate

în eta

sensu rbitrar ales coincide cu cel real; exp. Din

ecuaţ

ensul a itrar ales este invers celui real; exp. Din

ecuaţ 14) se obţine

pa I-a a problemei cu sensurile arbitrare.

În cazul în care, pentru o necunoscută scalară se obţine o valoare

pozitivă, rezultă că l a

ia 7) se obţine 0V > .

În cazul în care, pentru o necunoscută scalară se obţine o valoare

negativă, rezultă că s rb

0iM <)ia .

roblema 2

P

c plan din fig. 4, format din

urmă

Se consideră sistemul mecani

toarele patru elemente omogene:

16

(1) corp de greutate , suspendat prin firul1P AB ,

Fig. 4

greutate , momentul de inerţie

mecanic faţă .

rizontală fiind

coeficientul de frecare la rostogolire,

ncastrată în ,

(2) troliu de raze ,r R şi 2 ,P J

de O

(3) Disc de rază 3r , greutate 3P , care se rostogoleşte fără

alunecare pe o direcţie (suprafaţă) o , ( )s m

(4) bara 1OO de lungime 3l şi greutate 4P , î 1O

înclinată cu unghiul α faţă de orizontală.

Sistemul porneşte din repaus, antrenat de corpul (1) care coboară

sub acţiunea greutăţii proprii.

17

Se cere să se determine reacţiunile din legături şi acceleraţiile

corpu m. rilor din siste

Rezolvare:

Se separă corpurile din sistem şi se figurează toate forţele

şi cuplurile care acţionează asupra lui.

I.

Fig. 5

În figura 5, sunt reprezentate toate forţele şi cuplurile: cele date,

ele din legături şi din torsorul forţelor de inerţie. c

18

Tabelul 2, conţine date utile în rezolvarea problemei:

Tabelul 2.

Parametrii cinematici Ele-m l

Tipul

de ord. I

Elementele torsorului forţelor de inerţie entu mişcării de ord. II

(1) translaţie

rectilinie 1v , viteza

instantanee

1a , acceleraţia

instantanee 1

11 11

inG

PF M ag

= − = − a

(2) rotaţiei în jurul

articulaţiei O 2ω , viteza 2

unghiulară

ε2 22 2

inM J Jε ε= − = − , acceleraţia

unghiulară

(3) rostogolire

pură (plan

paralelă

3 , v zav ite

instantanee

a lui 3G

3ω , viteza

unghiulară

3 , acceleraa ţia

instantanee a

lui 3G

3ε

33

3 33

inG

PF M a ag

= − = −

3 3

23 3

3 3 2in P rM J

gε ε= − = −

, acceleraţia

unghiulară

(4) - - - -

II. Ecuaţiile lui d'Alembert (de echilibru cinetostatic).

1 1). 1

1 1Tg 1 0P a P+ − =

2 2). − =

T− − =

T R J

2 0H T

3). V P2 1 0

4). T r2 1 2 0ε⋅ − ⋅ + =

3 5). 3

2 3 0PT T ag

− − =

6). 3 0N P− =

19

7). 2

3 33 3 0

2P rr T sN

gε− ⋅ − + =

4 8). 1 0H H− =

9). 1 4 0V P V− − =

10). ˆ 4cos 2 cos 2 sin 0iM l P l V l Hα α α− − + =

III. Stabilirea relaţiilor cinematice (între acceleraţii).

Se scriu mai întâi relaţiile dintre viteze, consultând figura 4, apoi

prin derivarea relaţiilor obţinute, rezultă relaţiile dintre acceleraţii.

1 2 1 2 1

3 2 3 2

3 3 3 3 3

; 1

; 1

13)

B B

C C

v v v R v R a R

v v v r v r a r

v r a r

2

3 2

3

1)

2)

ω ω ε

ω ω ε

ω ε

= = ⇒ = ⇒ =

= = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

IV. Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice

Sistemul este format din 13 ecuaţii: 10 ecuaţii d'Alembert şi 3

ecuaţii între parametrii cinematici de ord. II (acceleraţii).

Necunoscute:

- acceleraţiile corpurilor, 1 2 3, , ,a a 3ε ε ,

- reacţiunile din legături:

- pozitive: , 1 2, ,T T N

- scalare ˆ1 1, , , , , iH V T H V M .

În total sunt 13 necunoscute, număr egal cu cel al ecuaţiilor.

Analog, se rezolvă problemele de dinamică prezentate în

continuare, în care sistemele mecanice plane pornesc din repaus, sub

20

acţiunea greutăţilor proprii (corpurile efectuează mişcări accelerate).

Pentru determinarea acceleraţiilor corpurilor şi a reacţiunilor din legături

se vor parcurge cele patru etape de lucru.

Problema 3

Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 6.

Fig. 6

Date: (1) 1( );P N−

(2) 2 2( ), ( );r m P N−

(3) 3

23( ), ( ), ( ), ( );Gr m R m P N J J Kgm− =

(4) 4 4( ), ( ), ( ).r r m P m s m− =

21

Indicaţii:

I. În figura 7, sunt prezentate forţele şi cuplurile care

acţionează asupra fiecărui corp izolat din sistem.

Fig. 7

II. Ecuaţiile lui d'Alembert: se scriu 8 ecuaţii de echilibru

cinetostatic:

(1) - 1 ecuaţie: proiecţii de forţe;

22

(2) - 2 ecuaţii: 1 ecuaţie, proiecţii de forţe,

1 ecuaţie, proiecţii de momente.

(3) - 3 ecuaţii: 2 ecuaţii, proiecţii de forţe,

1 ecuaţie, proiecţii de momente.

(4) - 3 ecuaţii: 2 ecuaţii, proiecţii de forţe,

1 ecuaţie, proiecţii de momente.

III. Relaţii cinematice ce se vor adăuga ecuaţiilor lui

d'Alembert, se stabilesc consulţând figura 6:

1 2 1v v a a≡ ⇒ = 2

2

2 2 2 2 2v r a rω ε≡ ⇒ =

2 2 3 2 2 33

::2 ; 2B CB C

C

v vv vr R r R

v Rω ω ε

ω≡= ⎧

⇒ = ⇒ =⎨ =⎩ε

44 4 4

2:2 22 2

DD E

E

r rv rv vv r r

3 43

3 4

ω ωω =

3ω ω ε εω ω== ⎫

⎬ = ⇒ == = ⎭

4r

4 2 4 4 4 2;v r r aω ω ε= = ⇒ =

.

4.

IV. În concluzie, sistemul de 14 ecuaţii conţine 14 necunoscute:

8 reacţiuni din legături: 1 2 3 4, , , , , , ,T T T T H V N T

6 acceleraţii: 1 2 2 3 4, , , , ,a a aε ε ε

Problema 4

Sitemul mecanic plan este prezentat în figura 8.

23

Fig. 8

Date: (1) 1( ), , ;P N μ α−

(2) 2 2( ), ( );r m P N−

(3) 23( ), ( ), ( ), ( ) ( ), .r m R m P N J Kgm s m β−

Indicaţii:

I. În figura 9, sunt prezentate forţele şi cuplurile care acţionează

asupra fiecărui corp izolat din sistem.

24

Fig. 9

II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în umăr de opt.

III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 8:

11 2 2 1 2

2 2

;B

B

v vv r a r

v r 2ω εω

= ⎫⇒ = ⇒ =⎬= ⎭

2 2 2 2 3

3 2 2 3

: (:

( ) ( )

CC D

D

v r r r Rv v

v r R r r R

)ω ω ω

ω ε ε

= == ⎫⎪⎬⎪= + = +⎭

+

3r

3 3 3v r a= ω ε⇒ =

25

IV. Sistemul format din 11 ecuaţii conţine următoarele

necunoscute:

7 reacţiuni din legături: 1 2, , , , , ,N H V N T T T1 2

3.4 acceleraţii: 1 2 3, , ,a aε ε

Problema 5

Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 10, cu următoarele

date:

Fig. 10

(1) 1( ), , ;P N μ α−

(2) 2 2( ), ( , ) ( );r m R m P N−

(3) 3 3( ), ( ), ( ), ( ), .r m R m P N s m β

26

Indicaţii:

I. În figura 11, sunt prezentate forţele şi cuplurile care

acţionează asupra fiecărui corp izolat din sistem.

Fig. 11

II. Ecuaţiile lui d'Alembert (de echilibru cinetostatic) sunt în

număr de 8.

III. Relaţiile cinematice se stabilesc consultând figura 10:

Problema 6

Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 12, cu următoarele

date:

27

Fig. 12

(1) 1( ), ( ), ( ), ;r m P N s m α−

(2) 2 2 2( ), ( ), ( );r m R m P N−

(3) 3 3( ), ( ), ( );r m R m P N−

(4) 4 ( )P N .

Indicaţii:

I. În figura 13, sunt prezentate forţele şi cuplurile care acţionează

asupra fiecărui element izolat din sistem.

28

Fig. 13

II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de nouă.

III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 12:

1

1 1 1v r a rω ε= ⇒ =

1 2 2 1 2 2 1;A Av v v R v R a R2 2ω ω ε= = ⇒ = ⇒ =

29

2 2 3 3 32 2

3 3 3 2 2 3 3 3

( );

( ) ( )

BB C

C

r r Rv rv v

v r R r r R

ω ωω

ω ε ε

= +== ⇒⎫⎪⎬⎪= + = +⎭

3r

3 3 3 3 3v r a= ω ε⇒ =

4a

3 4 3v v a= ⇒ =

3 4

.a

IV. Sistemul format din 14 ecuaţii conţine următoarele

necunoscute:

8 reacţiuni din legături: 1 1 2, , , , , , ,N T H V T T T T

6 acceleraţii: 1 1 2 3 3 4, , , , ,a aε ε ε

Problema 7

Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 14, cu următoarele

date:

Fig. 14

30

(1) 1( ), , ;P N μ α−

(2) 2( ), 2 , ;r m R r P− =

(3) 3 3 3( ), ( ), , ( ).r m R m P s m

Indicaţii:

I. În figura 15, sunt prezentate forţele şi cuplurile ce acţionează

asupra fiecărui corp izolat din sistem.

Fig. 15

II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de opt.

III. Relaţii cinematice se stabilesc consultând figura 14:

1 1 2 1

2 2

2 ; 22

B

B

v v v r 2rv R r

aω εω ω

= = ⇒ =⎫⎬= = ⎭

31

2 2 3 3

2 3 33 3 3

; ( )( )( )

C D C

D

v v v r r R rr R rv R r

ω 3

3

ω ωε εω

= = = −⎫⎬ = −= − ⎭

3 3 3 3 3v r a 3r= ω ε⇒ =

1 2

3.

IV. Urmează să se rezolve un sistem format din 11 ecuaţii, cu

următoarele necunoscute:

7 reacţiuni: 1 2, , , , , ,N H V N T T T

4 acceleraţii: 1 2 3, , ,a aε ε

Problema 8

Sistemul mecanic plan este prezentat în figura 16, cu următoarele

date:

Fig. 16

32

(1) 1( ), , ;P N μ α

(2) 2( ), 2 , ( );r m R r P N=

(3) 3 ( );P N

(4) 4 (P N ).

Indicaţii:

I. În figura 17, sunt prezentate forţele şi cuplurile care

acţionează asupra fiecărui element izolat din sistem.

II. Ecuaţiile lui d'Alembert sunt în număr de opt.

III. Relaţiile cinematice între acceleraţii se stabilesc consultând

figura 16 unde sunt figuraţi vectorii viteză:

1 2 2 12 2v R r a 2rω ω ε= = ⇒ =

3

3

2 2 2

3 3 3 2

2;

2

CC D

D

v R rv v

v ID R r

ω ω ω ω

ω ω ω ε ε

= = == ⎫⎪⎬⎪= = = =⎭

sau:

2 32

3 3 2

: EE F

F

v rv v

v IF r 3

ω ωω

ω ω ε ε

⎫ ===⎧⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪= = =⎩ ⎭

3 3 3 3 32 2r rv IG a 3ω ω ε= = ⇒ =

33

34

Fig. 17

3 3 3

3 3 3

3? 2 3 ;2

3 ; .2 2

IG r R r r r r

r rIG r r r r IG

⎧= = + = ⇒ =⎪⎪⎨⎪ = − = − = =⎪⎩

2

4a a3 4 3v v= ⇒ =

IV. S uaţii are următoarele necunoscute:

legături: , , , .N H V T T T T

5 acceleraţii: .a

istemul format din 12 ec

7 reacţiuni din , 1 2 3 4, ,

1 2 3 3 4, , , ,a aε ε

35