méthode de type galerkin discontinu en maillages multi-éléments

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Mthode de type Galerkin discontinu en maillagesmulti-lments (et non-conformes) pour la rsolutionnumrique des quations de Maxwell instationnaires

Clment Durochat

To cite this version:Clment Durochat. Mthode de type Galerkin discontinu en maillages multi-lments (et non-conformes) pour la rsolution numrique des quations de Maxwell instationnaires. Equations auxdrives partielles [math.AP]. Universit Nice Sophia Antipolis, 2013. Franais.

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UNIVERSIT DE NICE - SOPHIA ANTIPOLIS

COLE DOCTORALE SFASCIENCES FONDAMENTALES

ET APPLIQUES

T H S Epour obtenir le titre de

Docteur en Sciences

de lUniversit de Nice - Sophia AntipolisMention : MATHMATIQUES

Prsente et soutenue par

Clment DUROCHAT

Mthode de type Galerkin discontinu enmaillages multi-lments pour la

rsolution numrique des quations deMaxwell instationnaires

Thse dirige par Stphane LANTERI

prpare lINRIA Sophia Antipolissoutenue le 30 Janvier 2013

Jury :

Rapporteurs : Xavier FERRIRES - Ingnieur de Recherche HDR, ONERAPhilippe HELLUY - Professeur, Universit de Strasbourg

Prsident : Jean-Yves DAUVIGNAC - Professeur, Universit de Nice-Sophia AntipolisExaminateurs : Andr NICOLET - Professeur, Universit dAix-Marseille

Yoann VENTRIBOUT - Ingnieur de Recherche, NucltudesInvit : Mark LORIOT - Prsident de DisteneDirecteur : Stphane LANTERI - Directeur de Recherche INRIA

Remerciements

Je tiens en premier lieu exprimer toute ma sincre reconnaissance et mes profonds remercie-ments mon directeur de thse Stphane Lanteri. Stphane, je te remercie pour mavoir proposce sujet de thse passionnant dans la suite de mon stage de Master. Merci pour la confiance quetu mas accorde lors de chaque nouvelle tude entreprise et en me permettant de prsenter cestravaux dans plusieurs confrences internationales ; cette confiance, dont tu mas toujours faitpart tout au long de ces annes, a t pour moi trs importante et rassurante. Je te remercie pourton enthousiasme, ton humilit, ta disponibilit et pour la ractivit exemplaire dont tu as tou-jours fait preuve pour rpondre mes nombreuses questions. Merci pour le souci avec lequel tuas veill non seulement sur mon travail de thse, mais aussi dune manire plus gnrale, surma future carrire, notamment lors de ma recherche post-doc dans laquelle tu mas t dunegrande aide. Enfin, je tiens te dire que jai beaucoup apprci les diffrentes discussions pluspersonelles, au del du simple rapport directeur / doctorant, que lon a pu changer.

Je souhaiterais remercier avec gratitude Monsieur Xavier Ferrires et Monsieur Philippe Helluypour avoir rapport ce manuscrit de thse. Leurs remarques ont t la fois constructives et en-courageantes. Je remercie Monsieur Jean-Yves Dauvignac pour mavoir fait lhonneur de prsiderle jury de cette thse, ainsi que Messieurs Yoann Ventribout, Andr Nicolet et Mark Loriot pouravoir accept de faire partie de ce jury. Merci tous les membres du jury pour le regard avisquils ont port sur ce travail, jai sincrement apprci tout le droulement de la soutenance.

Je tiens remercier la Rgion le-de-France pour son soutien financier cette tude, qui sinscritdans le cadre du projet MIEL3D-MESHER du cluster Systematic Paris-Rgion.

Je remercie toute lquipe-projet NACHOS dans laquelle jai pu mener bien ces travaux dethse. Merci tout dabord Cheikh Docteur Mohamed El Bouajaji avec qui nous avons dbutensemble dans lquipe alors que nous ntions quen stage, merci pour ton amiti, ta gnro-sit, pour les points de vue et surtout les fous rires que lon a chang. Merci Joseph Charlesavec qui nous avons galement partag nos premiers pas dans le monde de la recherche, bravopour ta russite post-thse et merci pour ta sympathie, pour la "Bamba triste" et tous nos dlireschangs. Merci Raphal Lger avec qui nous avons travaill ensemble sur une partie impor-tante de cette thse, cette collaboration a t idale tant sur le plan humain que professionnel, jete suis trs reconnaissant pour ton aide, et notamment pour avoir pris en compte le timing serrde ma thse en travaillant un rythme trs soutenu ds le dbut de ton post-doc. Je remercieClaire Scheid pour qui jai beaucoup de sympathie et qui ma encadr dans ltude thoriqueque nous avons men, merci pour ton coute, ta patience, et pour mavoir fait profiter de tonrecul sur les aspects plus thoriques de ce thme de recherche. Je remercie videmment Ludo-vic Moya qui tait mon collgue de bureau dans la dernire anne de cette thse, merci pour tacompagnie plus quagrable, nos changes sur le travail toujours enrichissants et motivants, jaibeaucoup apprci ton coute, ton humour et tous les moments de dtente que lon a partag.Merci Nathalie Glinsky pour nos discussions sur des sujets en tout genre, pour tes conseils, tacomprhension, et aussi pour avoir lu attentivement une grande partie de ce manuscrit, suivi decorrections la fois claires et pertinentes. Merci Montserrat Argente pour stre occupe destaches administratives lies cette thse, merci aussi pour ta complicit et ta gentillesse. Mercigalement Tristan Cabel et nos sances de "coaching", Hassan Fahs, Liang Li, Riad Sanchez,Stphane Descombes, Caroline Girard, Nora Aissiouene, Jonathan Viquerat, et tous les autres

ii

membres, anciens et actuels, que jai pu rencontrer dans lquipe. Enfin, je remercie mon collgueet ami Fabien Peyrusse, avec qui nous nous sommes rencontrs en Master 1, pour se retrouver enthse dans la mme quipe ; je suis trs heureux et fier davoir partag ce parcours et ces annesdtudes avec toi, merci, entre autres, pour ton intgrit et ton soutien dans toutes les situationsde cette thse.

Merci Thierry Vieville avec qui jai pu mener une activit de vulgarisation scientifique. Je re-mercie galement Abderrahmane Habbal pour ses diffrents conseils, notamment concernantlenseignement des TD dont jtais charg et merci mon collgue Hubert Alcin avec qui jaiprpar ces TD. Je remercie les autres personnes du btiment Galois avec qui jai pu discuter etpasser dagrables moments durant ces annes de thse : Dalia Ibrahim, Nicolas Perrin, AdrienZerbinati, Julia Charrier et bien sr mon cher Julien Claisse.

Jadresse maintenant un grand merci mes amis musiciens avec qui jai eu le grand plaisir deformer un groupe (dont je tairai le nom) et de partager avec eux les joies (et les peines) despremiers concerts : merci Luc, Aurlie et Maxime. Je vous remercie galement pour toutes lespauses et les autres moments de complicit et de rigolades passs ensemble. Merci de plus Fabien et aux autres musiciens de lINRIA avec qui jai pu avoir loccasion de jammer.

Cette thse est laboutissement de huit annes dtudes durant lesquelles jai rencontr de nom-breuses personnes, et qui ont contribu chacune leur manire, au bon droulement de celles-ci.Je les en remercie avec toute ma gratitude. Je pense en particulier Alvinice pour tous les ser-vices rendus, Lucile, Jordi "il liberatore", Toto "Cobox", Malory, Nathalie, Gg, Diane, David,Mariana et Eve. Je pense bien sr galement mes amis rencontrs pendant mes annes toulou-saines : Zahra, Clia, Elie, Emilie, et tous les autres. Enfin, je remercie trs sincrement mes chersacolytes et amis proches Florian, Vladimir, Georges, Stphane et Karim, prsents dans toutes lessituations, et avec qui nous partageons toutes les pripties de notre quotidien, merci pour tout.

Je voudrais prsent remercier profondment, mes deux plus vieux amis, Benjamin et Chris-tophe. Merci pour votre amiti qui mest si chre, merci pour votre soutien inconditionnel danstous les moments difficiles, et merci pour tout ce que lon partage depuis tant dannes.

Pour conclure ces remerciements, je remercie chaleureusement toute ma famille. Je commenceraispar une pense toute particulire pour mes grands-parents paternels. Merci ma chre Swann,et tous mes autres cousins et cousines. Merci mes oncles et tantes, ainsi quaux amis de lafamille qui mont fait le plaisir de venir ma soutenance.

Enfin, je remercie du fond du cur, ma mre, mon pre, ma grand-mre, mon grand-pre, etma sur et mon beau-frre qui mont donn limmense joie dtre lheureux tonton de Raphaldepuis bientt deux ans. Quelques lignes, ni mme un manuscrit entier ne suffiraient pas ex-primer tout ce que je vous dois. Merci pour votre soutien constant et sans limite, pour lintrtque vous portez, toujours avec une immense ouverture desprit, tous mes projets. Merci pourtout ce que vous mapportez, et merci tout simplement, pour votre amour.Cette thse est aussi la vtre.

iii

"Limagination est plus importante que la connaissance."

Albert Einstein

Table des matires

1 Introduction gnrale 11.1 lectromagntisme numrique et mthodes de type Galerkin discontinu . . . . . . 1

1.1.1 lectromagntisme numrique : modlisation et applications . . . . . . . . 11.1.2 Simulation des ondes lectromagntiques et rsolution numrique des

quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Lintrt croissant pour les mthodes de type Galerkin discontinu . . . . . . 3

1.2 Le but des mthodes hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Objectif, contributions, et plan de la thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Liste des publications et communications issues de la thse . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Communications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Rsolution des quations de Maxwell par une mthode GDDT-PpQk 92.1 quations de Maxwell tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Aspects historiques et quivalence des formulations intgrales et E.D.P. . . 92.1.2 Prsentation des quations de Maxwell et matriaux dilectriques . . . . . 112.1.3 Rcriture des quations et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Discrtisation spatiale en maillage hybride par une mthode GDDT-PpQk . . . . . 152.2.1 Formulation faible avec fonctions tests scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Formulation faible quivalente avec fonction test vectorielle . . . . . . . . . 202.2.3 Equations semi-discrtises pour les cellules ttradriques . . . . . . . . . . 222.2.4 Equations semi-discrtises pour les cellules hexadriques . . . . . . . . . . 24

2.3 Discrtisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.1 Schma saute-mouton dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Schma saute-mouton dordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Analyse mathmatique 313.1 tude de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Thorme de Poynting et droulement de ltude . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Rsultats connus, notations et hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3 Conservation dune nergie discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.4 Condition suffisante de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 tude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.1 Propositions, lemmes, hypothses et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2 Convergence du problme semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.3 Convergence du problme totalement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Expriences numriques 2D 674.1 Prambule et spcifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1 quations de Maxwell 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2 Quelques prcisions mathmatiques et algorithmiques . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Description des cas tests considrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

vi Table des matires

4.2.1 Cas test n1 : mode (1, 1) dans une cavit mtallique carre . . . . . . . . . 744.2.2 Cas test n2 : rsonateur circulaire mtallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.3 Cas test n3 : diffraction dune onde plane par un profil daile davion . . . 744.2.4 Cas test n4 : diffraction dune onde plane par un disque dilectrique . . . . 754.2.5 Cas test n5 : source Gaussienne module et localise . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Tests prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.1 Tests sur maillages quadrangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.2 Pas de temps et validation de ltude de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4 Tests de convergence numrique : comparaison LF2 / LF4 . . . . . . . . . . . . . . 824.4.1 Convergence en h des schmas LF2 et LF4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.2 Comparaison des performances des schmas LF2 et LF4 . . . . . . . . . . . 84

4.5 Tests defficacit et de prcision de la mthode GDDT-PpQk . . . . . . . . . . . . . 864.5.1 Rsonateur circulaire mtallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.2 Mode (1, 1) dans une cavit mtallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.3 Onde plane diffracte par un profil daile davion . . . . . . . . . . . . . . . 934.5.4 Onde plane diffracte par un disque dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5.5 Source Gaussienne module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Mise en uvre 3D de la mthode GDDT-PpQk 1155.1 Prcisions mathmatiques et algorithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.1 Fonctions de base, degrs de libert, lments de rfrence et applicationaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.2 Matrices dinterfaces non-conformes, nra f , pas de temps et calcul des flux . 1175.2 Description des cas tests considrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.1 Cas test n1 : mode (1, 1, 1) dans une cavit mtallique cubique . . . . . . . 1185.2.2 Cas test n2 : pulse Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.3 Cas test n3 : onde plane diffracte par une sphre mtallique . . . . . . . . 1195.2.4 Cas test n4 : propagation dune source dans un modle htrogne de tte

humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3 Test de convergence numrique en h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4 Mise en vidence de rflexions parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5 Tests defficacit et de prcision de la mthode GDDT-PpQk . . . . . . . . . . . . . 125

5.5.1 Mode (1, 1, 1) dans une cavit mtallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.5.2 Diffraction dune onde plane par un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.3 Propagation dun terme source dans une tte humaine . . . . . . . . . . . . 132

6 Conclusion : apports et perspectives 1396.1 Synthse des rsultats et apports de la mthode hybride GDDT-PpQk . . . . . . . . 1396.2 Travaux en cours et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A Fonctions de bases et nuds des degrs de libert 143A.1 Fonctions de bases 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.1.1 Fonctions de bases sur le triangle de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 143A.1.2 Fonctions de bases sur le quadrangle de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2 Fonctions de bases 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.2.1 Fonctions de bases sur le ttradre de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Table des matires vii

A.2.2 Fonctions de bases sur lhexadre de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Bibliographie 159

CHAPITRE 1

Introduction gnrale

Sommaire1.1 lectromagntisme numrique et mthodes de type Galerkin discontinu . . . . . . 1

1.1.1 lectromagntisme numrique : modlisation et applications . . . . . . . . . 11.1.2 Simulation des ondes lectromagntiques et rsolution numrique des qua-

tions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Lintrt croissant pour les mthodes de type Galerkin discontinu . . . . . . . 3

1.2 Le but des mthodes hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Objectif, contributions, et plan de la thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Liste des publications et communications issues de la thse . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Communications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1 lectromagntisme numrique et mthodes de type Galerkin dis-continu

1.1.1 lectromagntisme numrique : modlisation et applications

Les modles mathmatiques ont la capacit de dcrire des phnomnes de nature trs varies,qui peuvent tre tout aussi bien physiques, que biologiques, conomiques, ou encore dmogra-phiques, gologiques, etc. Il existe un nombre considrable de modles, de diffrentes familles,parfois tablis bien avant la naissance des premiers ordinateurs. Certains sont stochastiques(avec prise en compte de lalatoire, pouvant galement sappliquer au traitement du signal etde limage), dautres dterministes (prenant par exemple la forme dune quation diffrentielleordinaire ou dun systme dquations aux drives partielles), et permettent de simuler des ph-nomnes du monde rel, pouvant ainsi jouer un rle de prdiction. lre numrique, ltudeet lexploitation de ces modles est essentielle pour lingnieur. Limportance de la modlisationnumrique na cess de crotre avec laugmentation des capacits de calcul et de stockage desordinateurs et notamment avec lavnement des calculateurs parallles. Ceci a dautant plus tressenti dans le domaine de llectromagntisme avec la mise au point de nouvelles mthodesnumriques adaptes ce type darchitecture de calcul. La simulation numrique dans ce do-maine, traditionnellement rserve aux applications militaires comme la furtivit radar ou lavulnrabilit des systmes darme, sest aussi ouverte un large spectre dapplications civiles.

Ainsi, llectromagntisme numrique est aujourdhui une discipline en plein essor et on constateque son champ dapplication sest largi des contextes aussi varis que llectronique, les ac-clrateurs de particules, la magntohydrodynamique, loptimisation de forme dantennes, la

2 Chapitre 1. Introduction gnrale

conception de dispositifs hyperfrquences ou la compatibilit lectromagntique. Ce dernier estparticulirement crucial car les nouveaux matriaux qui composent les aronefs, les btimentsou les voitures, nassurent plus la protection des nombreux composants lectroniques contre lafoudre ou dautres sources lectromagntiques. La sant au sens large est un autre contexte dap-plication de llectromagntisme numrique. Il sagit essentiellement de quantifier numrique-ment labsorption dun champ lectromagntique dans des tissus biologiques, soit pour valuerles ventuels effets nocifs de lexposition ces champs [Bernardi et al. 2001, Scarella et al. 2006],soit pour des besoins de planification du traitement par hyperthermie (chauffement local destissus biologiques) de tumeurs cancreuses [Lin et al. 2000, Siauve et al. 2003].

Les quations qui modlisent (i.e. le modle mathmatique) les problmes de propaga-tion dondes lectromagntiques est un systme dquations aux drives partielles appelesquations de Maxwell. Celles-ci suscitent un engouement tant de la part des physiciens que dela part des mathmaticiens, en raison notamment des applications industrielles pressenties. Lasimulation numrique a contribu une meilleure comprhension des phnomnes physiquessous-jacents, motivant de nombreuses recherches afin de parvenir des mthodes qui restituentau mieux les caractristiques mathmatiques de ces quations et luniversalit de leur applica-tion, avec la clef un souci de performance.

1.1.2 Simulation des ondes lectromagntiques et rsolution numrique des qua-tions de Maxwell

Ces vingt dernires annes ont vu de nombreuses avances mthodologiques concernant larsolution numrique des quations de Maxwell, qui reste malgr cela une tche difficile, enparticulier lorsquil sagit de prendre en compte des structures gomtriques complexes oulorsque les milieux de propagation sont htrognes. Cest pourquoi plusieurs applications dellectromagntisme numrique restent hors de porte des capacits des mthodes numriquespour la rsolution du systme de Maxwell (dont un tat de lart est propos dans larticle[Reitich & Tamma 2004]).

Plusieurs difficults mergent lorsque lon tente de modliser et de dvelopper des mthodesde calcul pour simuler numriquement des phnomnes de propagation dondes lectromagn-tiques :

la plupart des phnomnes lectromagntiques modliser requirent un domaine de cal-cul non born ;

la prcision des mthodes dapproximation des quations dune part, et la discrtisationdu domaine de calcul dautre part, doivent tre compatibles avec le caractre ondulatoiredes phnomnes de propagation dondes lectromagntiques ;

les nouveaux matriaux constituant les objets tudis possdent des caractristiqueslectromagntiques de plus en plus complexes o, par exemple, les hypothses de linaritet disotropie ne sappliquent pas. Ces matriaux ncessitent donc des algorithmes robustespour la rsolution des quations de Maxwell ;

les applications dintrt industriel conduisent la rsolution numrique de systmes dis-crets dont la taille, value en termes du nombre dinconnues pour atteindre une prcisiondonne, est trs grande. Par exemple, les longueurs caractristiques sont gnralementde lordre de quelques dizaines de longueur donde mais peuvent dpasser la centaine,

1.1. lectromagntisme numrique et mthodes de type Galerkin discontinu 3

conduisant des maillages qui peuvent contenir jusqu dix millions de mailles pour desmaillages volumiques. La rsolution numrique de problmes de cette taille ne peut sefaire quen exploitant pleinement les possibilits des calculateurs parallles. Lalgorithmegnr par la mthode doit donc avoir un haut degr de paralllisme.

Ce travail de thse porte sur la rsolution numrique des quations de Maxwell en domainetemporel. Comme mentionn plus haut, diffrentes familles de stratgies de rsolution, ont tdveloppes pour rsoudre numriquement ces quations mais il semble quaucune mthode nesoit prdominante, le choix tant dtermin essentiellement par le type dapplication considr.Ces mthodes peuvent tre regroupes en plusieurs classes, suivant que lon souhaite traiter lesquations de Maxwell en domaine temporel en regardant lvolution en temps du champ lec-tromagntique, ou les quations de Maxwell en domaine frquentiel (ou rgime harmonique) enregardant cette fois-ci le comportement du champ lectromagntique lorsque le terme source suitune dpendance harmonique en temps. Bien que ces deux formulations aient un lien physiquetroit (voir par exemple [Helluy 1994]), les mthodes numriques dveloppes pour leur ap-proximation peuvent sattaquer indistinctement aux deux systmes dquations ou au contrairetre spcifiques chacun. Les mthodes mises au point pour la rsolution des quations en do-maine temporel utilisent le plus souvent une formulation des quations au premier ordre, alorsque les mthodes conues pour la rsolution des quations de Maxwell en domaine frquentielsappuient habituellement sur la formulation des quations du deuxime ordre dans laquelleon limine le champ lectrique ou le champ magntique, afin de rduire la taille des systmesalgbriques rsultants.

Malgr dimportants progrs dans ces mthodes numriques, la mthode DFDT (DiffrencesFinies en Domaine Temporel) base sur le trs rpandu schma de Yee [Yee 1966] (une despremires mthodes propose par K.S. Yee en 1966) et [Taflove & Hagness 2005], reste lap-proche prominente pour le traitement de problmes dlectromagntisme numrique ralistesen domaine temporel, grce en particulier la facilit dimplmentation et aux faibles tempsde calcul. Dans la mthode DFDT, le domaine de calcul entier est discrtis par un maillagestructur (Cartsien), simplifiant ainsi le processus de discrtisation mais reprsentant aussila principale limitation de cette mthode lorsque des objets gomtrie complexe rentrenten jeu. Les mthodes EFDT (lments Finis en Domaine Temporel) nodaux classiques sontconnues pour gnrer des modes parasites faussant les simulations numriques. Les lmentsfinis dartes [Nedelec 1980, Nedelec 1986] ont t dvelopps notamment pour saffranchir deces problmes mais sont pnaliss par la complexit de mise en oeuvre et les cots des cal-culs. Les mthodes de VFDT (Volumes Finis en Domaine Temporel) en maillages non-structurs[Cioni et al. 1993, Piperno et al. 2002] sont plus flexibles vis--vis de la prise en compte des htro-gnits du milieu de propagation et de formes gomtriques irrgulires, mais sont nanmoinsde prcision limite.

1.1.3 Lintrt croissant pour les mthodes de type Galerkin discontinu

Depuis ces dix dernires annes, des mthodes dlments finis discontinus, plus connues sous lenom de mthodes GDDT (Galerkin Discontinu en Domaine Temporel) sont apparues et semblentoffrir un cadre propice la construction de mthodes de discrtisation de prcision leve. Grce lutilisation despaces lments finis discontinus, les mthodes GDDT peuvent facilement tre


traites avec des lments de diffrents types et formes. De plus, aucune continuit nest im-pose aux interfaces entre les lments et le degr du polynme dinterpolation peut aussi va-rier localement, permettant ainsi doffrir une grande flexibilit dans la conception des maillages(qui peuvent tre non-structurs, non-conformes, etc.). Les mthodes GDDT ont t dvlop-pes sur des maillages quadrangulaires en deux dimensions despace (2D) ou hexadriques entrois dimensions (3D) [Cohen et al. 2006, Pernet et al. 2006, Montseny et al. 2008], aussi bien quesur des maillages triangulaires (cas 2D) ou ttradriques (cas 3D) [Hesthaven & Warburton 2002,Fezoui et al. 2005, Fahs 2009a, Fahs & Lanteri 2010, Dosopoulos & Lee 2010a]. Les mthodes detype Galerkin discontinu prsentent plusieurs avantages parmi lesquels :

elles sont naturellement adaptes la discrtisation de fonctions discontinues et la priseen compte dhtrognits (par exemple du milieu dans le cas dun problme de propa-gation dondes),

elles se prtent bien lutilisation de maillages non-structurs pour la discrtisation degomtries complexes,

elles autorisent un raffinement local non-conforme du maillage et un degr dinterpolationvariable en espace (en dautres termes, elles dfinissent un cadre idal pour la mise au pointde mthodes auto-adaptatives),

elles sont naturellement paralllisables.Ce caractre discontinu de lapproximation impose davoir recours une formulation faible lo-cale cest--dire dont le support dintgration est llment (un triangle ou un quadrangle en2D, un ttradre ou un hexadre en 3D). Une intgration par parties fait alors apparatre unterme de bord dont le calcul conduit lintroduction dune fonction de flux numrique (similai-rement ce qui est ralis dans les mthodes VFDT [Cioni et al. 1993, Piperno et al. 2002]). Uneparticularit de la mthode GDDT est dutiliser une fonction de flux numrique centre. Parailleurs, ces mthodes ont aujourdhui atteint une certaine maturit et permettent de sadapter des contextes de modlisation de plus en plus complexes, comme [Dosopoulos & Lee 2010a,Dosopoulos & Lee 2010b, Knig et al. 2010, Niegemann et al. 2009, Stannigel et al. 2009] entreautres ; elles ont alors russi sintgrer dans plusieurs communauts scientifiques et techno-logiques. Nous pouvons aussi relever que cette mthode a t pour la premiere fois choisie pourun logiciel commercial comme alternative en domaine temporel dun outil bien connu de simula-tion dondes lectromagntiques [Songoro et al. 2010]. Dans tous les travaux cits prcdemmentsur les mthodes GDDT, le premier ordre, ou mixte, des quations de Maxwell instationnairesest considr ainsi qu travers chaque lment le champ lectromagntique est approch par unpolynme dinterpolation nodal dordre arbitraire.

1.2 Le but des mthodes hybrides

Par la suite, plusieurs essais ont t raliss pour dvelopper et combiner des mthodes en do-maine temporel sur des maillages structurs avec des formulations VFDT (qui peut tre vuecomme le plus bas ordre de la mthode GDDT), EFDT ou encore GDDT sur des maillages non-structurs. Une stratgie de bas ordre allant dans ce sens est prsente dans [Ferrieres et al. 2004,Yang et al. 2000] ou [Edelvik & Ledfelt 2000] sous la forme dune combinaison de DFDT avecVFDT . Une hybridation VFDT avec une mthode DFTD dordre lev est galement tudiedans larticle [Nordstrm & Gong 2006] pour des problmes hyperboliques o la procdure decouplage est base sur une estimation de lnergie. Une mthode hybride mixant DFDT avec

1.3. Objectif, contributions, et plan de la thse 5

GDDT est dcrite dans [Garcia et al. 2008] pour des problmes 2D. Le principal objectif, commedans la plupart des mthodes hybrides de ce type, est de modliser avec prcision les dtailsgomtriques dobjets courbes, tout en maintenant la simplicit et la rapidit de DFDT pour lereste du domaine de calcul. Ces stratgies reposent sur un schma coupl simple, une couche in-termdiaire (i.e. un recouvrement) dlments quadrangulaires est introduite entre la grille Car-tsienne (de la mthode DFDT) et le maillage triangulaire (de la mthode GDDT). A lintrieurde cette couche, DFDT est alors considr comme un cas particulier (plus prcisment dordre 0)de GDDT et vice versa. Un flux centr est choisi pour la mthode GDDT et les deux mthodesutilisent un schma saute-mouton dordre 2 pour la discrtisation en temps. Un autre couplageGDDT-DFDT, utilisant galement une couche intermdiaire, a t dvelopp pour les quationsde laroacoustique dans [Lger 2011], traitant de problmes la fois 2D et 3D.

Dans un esprit similaire, des hybridations EFDT-DFDT ont t proposes comme parexemple dans [Beilina & Grote 2010] o un estimateur derreur a-posteriori est dgag. Cescombinaisons font souvent appel une stratgie hybride galement pour lintgration entemps, o un schma explicite est appliqu sur la grille Cartsienne (utilisant DFDT) etun schma implicite, ou implicite/explicite, est employ sur la partie non-structure (utli-sant EFDT) du maillage [Zhu et al. 2012, Hallerd & Rylander 2008, Venkatarayalu et al. 2007,Degerfeldt & Rylander 2006]. Cette mthode hybride EFDT-DFDT peut tre de plus paralllise[Xie et al. 2009]. Une comparaison entre un solveur hybride VFDT-DFDT et un autre solveur hy-bride implicite/explicite EFDT-DFDT a t ralise pour des problmes complexes de diffraction[Edelvik & Ledfelt 2002] ; il apparat que la mthode EFDT-DFDT converge plus rapidement, estplus efficace et donne des rsultats plus prcis. Par ailleurs, une autre approche, moins gnrale,est propose dans [Schnepp et al. 2010]. Il sagit dun schma combinant une mthode VFDT avecla technique dintgration finie ; un seul type de maillage est utilis (Cartsien) et cette hybrida-tion vise amliorer les proprits de dispersion le long dune direction.

Une hybridation dordre lev a rcemment t tudie dans [Davies et al. 2009] qui combine unemthode dlments finis spectraux sur un maillage quadrangulaire avec une mthode GDDTsur un maillage triangulaire. Le couplage des deux mthodes est obtenu en utlisant un flux nu-mrique dcentr sur la frontire interne (cest--dire entre les maillages triangulaires et quadran-gulaires). Dans les deux mthodes, un schma Runge-Kutta dordre 4 est choisi pour lintgrationen temps. La prcision de cette mthode hybride EFDT-GDDT est clairement dmontre pourdes problmes en 2D mais il ne figure pas de comparaison avec des maillages compltement tri-angulaires. Enfin, une mthode hybride propose dans larticle [Hermann et al. 2010], considreun schma GDDT en maillages hybrides triangulaires/quadrangulaires pour la propagation desondes sismiques en 2D, cette approche rejoint davantage ce que nous allons maintenant proposer.

1.3 Objectif, contributions, et plan de la thse

Comme pour les mthodes hybrides discutes plus haut, lobjectif gnral de notre tude estdamliorer lefficacit globale de la simulation numrique de scnes de propagation mettanten jeu des structures irrgulires entoures de zones de vide. Pour cela, on cherche combinerlusage de quadrangles (cas 2D)/hexadres (cas 3D) orthogonaux pour discrtiser les zones devide et le recours des triangles (cas 2D)/ttradres (cas 3D) pour une discrtisation fidle desstructures irrgulires. On imagine aussi que le fait dutiliser deux types dlment raccords de


faon non-conforme, va permettre de simplifier la construction du maillage de telles scnes depropagation en envisageant un processus de discrtisation par zone avec des interfaces planairesentre zones. Contrairement aux travaux similaires raliss jusquici, on vise dans notre tudelutilisation dun schma unique, de type Galerkin discontinu, et on cherche exploiter pleine-ment les possibilits de ce type de schma, notamment la non-conformit de la discrtisation(i.e. en autorisant la prsence de nuds flottants) et de lapproximation (i.e. en rglant locale-ment le degr de la reprsentation polynomiale de la solution). Ladoption dun schma uniqueva aussi permettre de raliser une analyse rigoureuse, de stabilit et convergence a-priori, duschma Galerkin discontinu rsultant en offrant un cadre variationnel adapt.

Danas ce contexte, les principales contributions de ce travail de thse sont les suivantes :

La formulation dune mthode Galerkin discontinue en domaine temporel, que nous no-tons GDDT-PpQk, combinant une interpolation polynomiale nodale de degr p en triangle(cas 2D)/ttradre (cas 3D) et une interpolation polynomiale nodale de degr k en qua-drangle (cas 2D)/hexadre (cas 3D) pour la rsolution numrique des quations de Max-well instationnaires 2D et 3D. Cette mthode GDDT-PpQk repose sur lutilisation de fluxcentrs pour lvaluation des intgrales aux frontires entre lments voisins et sur desschmas dintgration en temps explicites de type saute-mouton.

Lanalyse mathmatique de la mthode GDDT-PpQk. Du fait de lutilisation de flux centrset de schmas dintgration en temps de type saute-mouton, la mthode GDDT-PpQk rsul-tante est non-dissipative. On tudie tout dabord la stabilit de cette mthode par une ap-proche nergtique et on prouve que la mthode GDDT-PpQk est stable sous une conditionde type CFL simple. On produit aussi une estimation a-priori de lordre de convergence dela mthode.

Une tude numrique dtaille de la mthode GDDT-PpQk en 2D. On peut alors utiliser desmaillages hybrides triangulaires/quadrangulaires conformes ou non-conformes, et doncvaluer limpact de la non-conformit, principalement sur la prcision des calculs. On v-rifie numriquement les estimations thoriques (stabilit et convergence) en considrantun problme test acadmique. On prsente aussi des rsultats de simulations numriquesportant sur des problmes de propagation en milieux homognes et htrognes.

Une mise en uvre en 3D de la mthode GDDT-PpQk sur la base de maillages hybridesttradriques/hexadriques non-conformes dun certain type. On prsente des rsultats desimulations numriques portant sur un problme test simple permettant de valider une foisde plus les proprits thoriques de la mthode, ainsi que sur deux autres problmes testsafin dtudier le comportement numrique (notamment lexistence de rflexions parasitesaux interfaces non-conformes) de la mthode et ses performances computationnelles.

Ce mmoire de thse est organis de la faon suivante :

Dans le Chapitre 2, nous commenons par positioner de problme de Maxwell : aprsquelques rappels historiques et physiques (sur la modlisation des phnomnes lectro-magntiques), nous prsentons le systme des quations de Maxwell en domaine tempo-rel. Nous formulons ensuite, en dtaillant les diffrentes tapes, la mthode de type Galer-kin discontinu GDDT-PpQk en maillages multi-lments ttradriques / hexadriques entrois dimensions despaces. Enfin, nous exposons les schmas explicites de discrtisationen temps de type saute-mouton dordre 2 et dordre 4.

1.4. Liste des publications et communications issues de la thse 7

Le Chapitre 3 a pour objet danalyser mathmatiquement la mthode GDDT-PpQk pro-pose. Premirement, nous tudions la stabilit L2 thorique de ce schma : aprs avoirdmontr quil conserve une nergie discrte, nous exhibons une condition suffisante destabilit de type CFL. La seconde analyse consiste prouver la convergence en h de ceschma conduisant un estimateur derreur a-priori thorique.

Le Chapitre 4 est conscacr plusieurs expriences et tests numriques en deux dimensionsdespace. Nous exposons tout dabord le systme des quations de Maxwell 2D et donnonsdes indications sur limplmentation de la mthode GDDT-PpQk en maillages hybridestriangulaires / quadrangulaires visant la rsolution numrique de ce systme. Plusieurscas tests sont mis en uvre afin de montrer diffrentes proprits et caractristiques de lamthode : convergence numrique, performance, comparaison avec des maillages triangu-laires, etc.

Dans le chapitre 5, nous prsentons, dans un esprit similairs au chapitre 4, les expriencesnumriques en trois dimensions despace. Nous donnons ici aussi des explications sur lim-plmentation de la mthode GDDT-PpQk o de nouvelles difficults sont en jeu. Aprsavoir dcrit les problmes tests considrs, nous commentons et discutons les rsultats ob-tenus au cours des diffrentes exprimentation et montrons dautres particularits de lamthode hybride.

Enfin, dans le chapitre 6 nous rsumons et synthtisons lensemble des rsultats obtenus,ainsi que les apports de cette mthode de type Galerkin discontinu en maillages hybrides.Nous terminons par noncer les perspectives court et long termes.

1.4 Liste des publications et communications issues de la thse

1.4.1 Publications

Proceedings

[P1] C. Durochat, S. Lanteri et C. Scheid, High order non-conforming multi-element discontinuousGalerkin method for time-domain electromagnetics, in proc. of the 2012 International Conferenceon Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA 12), pp. 379382.

[P2] C. Durochat et C. Scheid, A-priori convergence analysis of a Discontinuous Galerkin Time-Domain method to solve Maxwells equations on hybrid meshes, in proc. of the European NU-merical MATHematics and advanced applications (ENUMATH 2011).

[P3] C. Durochat, Non-conforming discontinuous Galerkin time-domain method for solving Maxwellsequations on hybrid meshes, in proc. of the Fifth International Conference on Advanced COm-putational Methods in ENgineering (ACOMEN 2011).

[P4] C. Durochat et S. Lanteri, DGTD method on hybrid meshes for time domain electromagnetics, inproc. of the ElectroMagnetic Theory, 20th URSI international Symposium on (EMTS 2010),pp. 992995.

Rapports de Recherche INRIA

[R1] C. Durochat et C. Scheid, tude de convergence a-priori dune mthode Galerkin Discontinue enmaillage hybride et non-conforme pour rsoudre les quations de Maxwell instationnaires, Rapportde Recherche INRIA no. 7933 (2012).


[R2] C. Durochat et S. Lanteri, Mthode Galerkin discontinue en maillage hybride triangulaire / qua-drangulaire pour la rsolution numrique des quations de Maxwell instationnaires, Rapport deRecherche INRIA no. 7253 (2010).

Articles soumis

[A1] C. Durochat et S. Lanteri, DGTD method on hybrid structured-unstructured meshes for timedomain electromagnetics, soumis la revue : Journal of Computational and Applied Mathe-matics.

Articles en prparation

[A2] C. Durochat, S. Lanteri et C. Scheid, High order Non-Conforming Multi-Element DiscontinuousGalerkin method domain electromagnetics.

1.4.2 Communications

Communications orales dans des confrences internationales et workshops

2 7 Septembre 2012 : ICEAA 12 (2012 International Conference on Electromagnetics in Ad-vanced Applications), Le Cap, Afrique du Sud.

25 27 Juillet 2012 : 1st Brazil-France workshop (CNPq/INRIA meeting), Biot, France.

14 17 Novembre 2011 : ACOMEN 2011 (5th international conference on Advanced COmputa-tional Methods in ENgineering), Lige, Belgique.

5 9 Septembre 2011 : ENUMATH 2011 (European NUmerical MATHematics and advancedapplications), Leicester, Royaume-Uni.

16 19 Aot 2010 : EMTS 2010 (ElectroMagnetic Theory, 20th URSI international Sympo-sium on), Berlin, Allemagne.

Communications orales dans des colloques et sminaires nationaux

20 Dcembre 2012 : Sminaire au CERFACS, Toulouse.

5 6 Juillet 2011 : Journes du groupe (GdR) Calcul du CNRS, Paris.

25 Mai 2011 : 6me colloque de doctorants de lED SFA (cole Doctorale en Sciences Fonda-mentales et Appliques), Nice.

Communications murales dans des confrences nationales

31 Mai 4 Juin 2010 : CANUM 2010 (40me Congrs national dAnalyse NUMrique), Carcans-Maubuisson.

CHAPITRE 2

Rsolution des quations de Maxwellpar une mthode GDDT-PpQk

Sommaire2.1 quations de Maxwell tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Aspects historiques et quivalence des formulations intgrales et E.D.P. . . . 92.1.2 Prsentation des quations de Maxwell et matriaux dilectriques . . . . . . 112.1.3 Rcriture des quations et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Discrtisation spatiale en maillage hybride par une mthode GDDT-PpQk . . . . . 152.2.1 Formulation faible avec fonctions tests scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Formulation faible quivalente avec fonction test vectorielle . . . . . . . . . . 202.2.3 Equations semi-discrtises pour les cellules ttradriques . . . . . . . . . . . 222.2.4 Equations semi-discrtises pour les cellules hexadriques . . . . . . . . . . . 24

2.3 Discrtisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.1 Schma saute-mouton dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Schma saute-mouton dordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ce chapitre est destin exposer le contexte physique et mthodologique de cette tude.Nous positionnons le problme de Maxwell, en rappelant les origines du phnomne on-dulatoire (lectromagntique), et en expliquant la modlisation de ce problme aboutissant un systme dquations aux drives partielles instationnaires. Nous prsentons ensuitela mthode Galerkin discontinue en maillages multi-lments ttradriques / hexadriquesen trois dimensions despace, que nous appelons mthode GDDT-PpQk. Nous formulonsenfin des schmas dintgration en temps de type saute-mouton du deuxme ou du qua-trime ordre.

2.1 quations de Maxwell tridimensionnelles

2.1.1 Aspects historiques et quivalence des formulations intgrales et E.D.P.

Rappelons laspect historique de ces quations. Les quations de Maxwell sont des lois fonda-mentales de la physique qui constituent les postulats de base de llectromagntisme. Ces qua-tions reprsentent une synthse harmonieuse des diverses lois exprimentales dcouvertes (loisde llectrostatique, du magntostatique, de linduction, etc.) par les prdcesseurs de JamesClerk Maxwell, qui rgissaient llectromagntisme avant que ce dernier ne les runisse. Ellesdonnent ainsi un modle mathmatique prcis au concept fondamental de champ introduit enphysique par Michael Faraday dans les annes 1830. Cette synthse na t possible que parce

10 Chapitre 2. Rsolution des quations de Maxwell par une mthode GDDT-PpQk

que Maxwell a su dpasser les travaux existants, en ajoutant dans une quation un "chanonmanquant", appel le courant de dplacement, dont la prsence assure la cohrence de ldificeunifi. De plus, les quations de Maxwell montrent notamment quen rgime stationnaire, leschamps lectrique et magntique sont indpendants lun de lautre (totalement dcoupls), alorsquils ne le sont pas en rgime variable (i.e. instationnaire). Dans le cas le plus gnral, il fautdonc parler du champ lectromagntique, la dichotomie lectrique/magntique ntant plus va-lable. Ces travaux de Maxwell ont permis ultrieurement les deux plus grandes avances de laphysique moderne, savoir la thorie de la relativit restreinte et la physique quantique.

Trois publications de James Clerk Maxwell furent essentielles lors de ses travaux sur ces qua-tions. La premire est un papier en quatre parties, publi entre 1861 et 1862 [Maxwell 1862] (Max-well tait alors ag de 30 ans) et intitul On Physical Lines of Force dans lequel apparaissent doreset dj individuellement (i.e. de faon spares) chacune des quations de Maxwell modernes.Cest dans ce papier que Maxwell introduit le concept de courant de dplacement pour tendreaux rgimes instationnaires le thorme dAmpre, alors valide en magntostatique. Le docu-ment a inaugur une nouvelle re de llectrodynamique classique et a dclench galement denouveaux progrs mathmatiques dans le domaine du calcul vectoriel. Pour cette raison, il estconsidr comme lune des publications les plus importantes historiquement dans le domainede la physique et de la science en gnral. Dans larticle A Dynamical Theory of the ElectromagneticField [Maxwell 1865], plus prcisment dans la partie III intitule General Equations of the Elec-tromagnetic Field, Maxwell prsente vingt quations vingt inconnues (il utilise alors la versionmodifie du thorme dAmpre en y ajoutant le courant de dplacement au terme de courantlectrique). Dans ce papier, Maxwell propose de plus, pour la premire fois, une vision de lalumire comme un phnomne (une onde) lectromagntique. Cest en 1873, dans son clbreouvrage A treatise on Electricity and Magnetism [Maxwell 1873], que les quations apparaissentpour la premire fois dans leur forme pleinement dveloppe ; l aussi, vingt quations, djmodifies par rapport la version de 1865, et crites laide de quaternions. Ce nest que plustard, dans les annes 1880, que le physicien autodidacte Oliver Heaviside, rcrivit les quationsde Maxwell dans leur forme actuelle. Il reformula alors les vingt quations en quatre quationscrites sous une forme vectorielle (huit quations au total, aux drives partielles, et en faisantintervenir, entre autres, la notation ).

Les quations de Maxwell actuelles sont connues sous deux formes diffrentes : formulations laide dquations intgrales et formulations laide dquations aux drives partielles (E.D.P.).Nous nous intressons, dans ce document, uniquement au systme formul par des E.D.P.(i.e. formulations locales), et nous ne retranscrirons donc pas les formulations intgrales. Ce-pendant, il est important de rappeler que ces deux formulations sont quivalentes, ceci se d-montre laide de deux thormes majeurs en physique mathmatique, que nous mentionnonsbrivement. Le thorme de la divergence de Gauss (ou thorme de Gauss-Ostrogradsky, outhorme de flux-divergence, ou encore thorme de Green-Ostrogradsky) snonce de la ma-nire suivante : soit F : R3 7 R3 un champ de vecteurs sur un volume V R3 dont la frontireest la surface ferme V, alors on a :

V

div(F) dx ="

V(F n) dS,

o "" dsigne ici le produit scalaire usuel, dx est un lment de volume, dS un lment de surfaceinfinitsimal de la frontire V bornant V, et n la normale unitaire sortante cette surface. Ce

2.1. quations de Maxwell tridimensionnelles 11

thorme permet par ailleurs de dduire les formules dintegration par parties de Green. Lesecond thorme, nomm thorme de Kelvin-Stokes (ou thorme de Stokes), sapplique aumme champ de vecteurs F et une surface dont le contour est , une courbe ferme orientedans R3 :

(rot(F) n) dS =

(F t

)dl,

o dl est un lment de longueur infinitsimal de la courbe frontire , et t le vecteur tangentunitaire . On peut alors dduire les formulations E.D.P. des quations de Maxwell partir desformulations intgrales, en appliquant ces deux thormes et en prenant un volume (ou une sur-face) infinitsimal ; la rciproque se dmontre facilement en appliquant galement ces thormes.Aujourdhui, les thormes de Kelvin-Stokes et de divergence de Gauss sont simplement des casparticuliers du thorme de Stokes gnralis, en gomtrie diffrentielle. Nous concluons cettesous-section par une anecdote concernant le thorme de Kelvin-Stokes : ce dernier est apparupour la premire fois dans une lettre de William Thomson, plus connu sous le nom de Lord Kel-vin, Sir George Stokes, le 2 Juillet 1850. Stokes posa alors ce thorme comme une question lexamen du Prix Smith en 1854, et le gagnant de ce prix (premier ex-cquo), cette anne l,ntait autre que James Clerk Maxwell.

2.1.2 Prsentation des quations de Maxwell et matriaux dilectriques

Soit un ouvert, born et rgulier de R3 de frontire . Un champ lectromagntique dans est dcrit par un quadruple champ de vecteurs :

E(x, t) : champ lectrique,

H(x, t) : champ magntique,

D(x, t) : induction lectrique,

B(x, t) : induction magntique,

o x = (x1, x2, x3)T et chacun de ces champs ont trois composantes. Une tude dun phnomnelectromagntique consiste dterminer linstant t R+ et au point x R3 les quatres champsde vecteurs ci-dessus. Ces derniers sont relis :

{(x, t) : densit de charge lectrique,

j(x, t) : densit de courant.

Remarque : est scalaire et j a trois composantes.

Les variations en espace et en temps de ces quantits sont alors rgies par les quations deMaxwell :

tB + rot(E) = 0 : quation de Maxwell-Faraday,

tD rot(H) + j = 0 : quation de Maxwell-Ampre,

div(D) = : quation de Maxwell-Gauss,

div(B) = 0 : quation du flux magntique,


o t =

t. Lquation de Maxwell-Faraday (trois quations au total) lie la force lectromotrice

la variation de flux dinduction. Lquation de Maxwell-Ampre (forme locale du thormedAmpre assorti de la correction de Maxwell, trois quations au total) quant elle relie le champmagntique ses sources et au champ lectrique. Lquation de Maxwell-Gauss (une seule qua-tion, qui sous sa forme intgrale est connue sous le nom de loi de Gauss) relie le champ lectrique ses sources. Enfin, lquation du flux magntique postule labsence de charge magntique (uneseule quation). Nous avons alors ici un systme de huit quations douze inconnues (B, D, Eet H).

Nous notons de plus que les densits et j sont alors ncessairement relies par la loi de conser-vation de la charge (en prenant la divergence de lquation de Maxwell-Ampre, en drivantlquation de Maxwell-Gauss et en ajoutant, membre membre, les deux quations obtenues) :

t + div(j) = 0.

Or, ces quations ne suffisent pas caractriser le champ lctromagntique. Il convient alors dedcrire les lois de comportement du matriau qui vont permettre de relier les champs D et E(resp. B et H) ainsi que de prciser les proprits de conduction du matriau qui vont induireune relation entre la densit de courant j et le champ lectrique E.

Nous nous contenterons ici de considrer des matriaux linaires isotropes sans perte. Les loisde comportement de ces matriaux obissent aux principes suivants :

la loi reliant D (resp. B) E (resp. H) est locale en espace et en temps : D(x, t) ne dpendque de E(x, t) (pour un mme x et un mme t),

la loi reliant D E est indpendante de la direction de D (hypothse disotropie du mileu), la loi reliant D E est linaire : cette hypothse est toujours justife quand on considre des

champs dintensit suffisamment faible.

Ces considrations entranent que D (resp. B) est proportionnel E (resp. H). On introduit alorsdeux fonctions scalaires (x) et (x) telles que lon ait, en tout point et tout instant :

{D(x, t) = (x)E(x, t),

B(x, t) = (x)H(x, t),

o et sont respectivement la permittivit dilectrique et la permabilit magntique du milieu.Pour des raisons nergtiques, les quantits (x) et (x) sont strictement positives. La dpen-dance en x de ces coefficients caractrise une ventuelle htrognit du mileu de propagation.Dans le vide, qui est un milieu homogne particulier, ces quantits, notes alors 0 et 0, prennentles valeurs suivantes :

{0 =

(36.109

)1 ,

0 = 4.107.

La vitesse de propagation c0 des ondes dans le vide est donne par :

00c20 = 1,

cette galit reste valable pour des valeurs de , et de la vitesse de propagation (note alors c)relatives. Ceci donne alors numriquement la valeur bien connue de la vitesse de la lumire :

2.1. quations de Maxwell tridimensionnelles 13

c0 = 3.108 m.s1.

Il nous reste enfin prsenter la modlisation des proprits de conductivit. Il convient en g-nral de diviser la densit de courant j en deux parties :

j(x, t) = js(x, t) + jc(x, t),

o js est un courant source, qui, dans la pratique, sera une donne des problmes que lon aura rsoudre, courant impos de faon "extrieure" et o jc est le courant de conduction, d auxmouvements des lectrons libres dans le matriau. Cest la caractrisation de jc qui fait intervenirles proprits intrinsques du matriau. Le plus souvent, jc est reli au champ lectrique par laloi dOhm :

jc(x, t) = (x)E(x, t),

o, dans un milieu isotrope, (x) est une quantit scalaire et positive appele conductivit lec-trique du matriau. Lorsque 0, le milieu est non conducteur. Cest, par exemple, le cas duvide. En gnral > 0 est synonyme de phnomnes dabsorption : une onde qui se propagedans un milieu conducteur est attnue au cours de sa propagation.

2.1.3 Rcriture des quations et conditions aux limites

Nous pouvons prsent, rcrire un systme dquations o seuls les champs lectrique et ma-gntique E et H vont intervenir. partir de maintenant, les quations que nous prsentons sontcelles que nous tudions tout au long de ce document. Nous rappelons que est un ouvert,born et rgulier de R3 de frontire . Le systme des quations de Maxwell tridimensionnellesest donn par :

tE rot(H) = E js,

tH + rot(E) = 0,(2.1)

o

E(x, t)

Ex(x, t)Ey(x, t)Ez(x, t)

et H(x, t)

Hx(x, t)Hy(x, t)Hz(x, t)

.

Nous pourrions adjoindre les deux quations :

{div(E) = ,

div(H) = 0,

mais ceci nest pas utile car ces dernires sont considres comme redondantes, en effet :

lquation div(E) = peut tre considre comme dfinissant le densit de charge (x, t), lquation div(H) = 0 est une consquence, une drivation par rapport au temps prs,

de la seconde quation de (2.1).


Les quations (2.1), qui sont dsormais un systme de six quations (deux quations vectoriellesde trois composantes chacune) six inconnus (E et H), ont t redimensionnes et et dfi-nissent des quantits relatives. Notre objectif est de rsoudre le systme (2.1) sur de frontire = a m, en le compltant par les conditions aux limites suivantes, o n dsigne lanormale sortante :

sur m : n E = 0, qui est appele condition aux limites mtallique ; sur a : F(E, H) = F(Einc, Hinc) o F(X, Y) = n X zn (Y n), avec z =

/ et

(Einc, Hinc) un champ incident donn. Cette condition est dite absorbante, ou plus prcis-ment condition de Silver-Mller qui est une approximation du premier ordre de la condi-tion aux limites absorbante exacte. Le bord a, sur lequelle cette condition est applique,reprsente une troncature artificielle dun domaine de calcul infini.

Ce problme est galement muni de conditions initiales (i.e. pour t = 0) que nous explicitonsen dbut de section 3.2. De cette manire, mathmatiquement, seules les quations (2.1), muniesdes conditions aux limites et initiales, suffisent dterminer de faon unique la solution (E, H)T.Nous prciserons en dtails dans quel cadre fonctionnel il convient de chercher la solution, endbut de section 3.2.

Nous rcrivons le systme (2.1) sous une forme condense, appele aussi forme pseudo-conservative :

Q(tW) + F(W) = J, (2.2)o :

Q =[

I33 033033 I33

]une matrice de taille 6 6,

W =(

EH

) R6 , J =

E js000

R6 et F(W) =

F1(W)F2(W)F3(W)

R18,

avec :

F1(W) =[

033 N1N1 033

]W =

(0, Hz, Hy, 0, Ez, Ey

)T R6,

F2(W) =[

033 N2N2 033

]W = (Hz, 0, Hx, Ez, 0, Ex)T R6,

F3(W) =[

033 N3N3 033

]W =

(Hy, Hx, 0, Ey, Ex, 0

)T R6,

et N1, N2, N3 sont les matrices (anti-symtriques) donnes par :

N1 =

0 0 00 0 10 1 0

, N2 =

0 0 10 0 01 0 0

, N3 =

0 1 01 0 0

0 0 0

.

2.2. Discrtisation spatiale en maillage hybride par une mthode GDDT-PpQk 15

Il est important de souligner que la notation "" est ici un abus de notation dans le sens o il nesagit pas l dun produit scalaire. Nous dfinissons celle-ci, uniquement pour cette sous-section

et pour les sous-sections 2.2.1 et 2.2.2, de R3 R18 dans R6 : soit a =

a1a2a3

R3 et soit

b =

b1b2b3

R18 o b1 dsigne les 6 premires composantes de b, b2 les 6 suivantes et b3 les

6 dernires, on a alors : a b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Ainsi, dans le systme (2.2) on a :

F(W) = x1 F1(W) + x2 F2(W) + x3 F3(W) R6.

2.2 Discrtisation spatiale en maillage hybride par une mthodeGDDT-PpQk

Nous prsentons dans cette section lensemble des tapes de la mthode Galerkin discontinue entrois dimensions, dordre arbitraire, en maillage hybride ttradrique / hexadrique (triangulaire/ quadrangulaire en deux dimensions), que lon appelle mthode GDDT-PpQk.

Le domaine est suppos discrtis par h =N

i=1 ci = Th

Qh, o les ci dsignent des cellulesqui sont des ttradres ( Th) ou des hexadres ( Qh) en 3D (des triangles ou des quadranglesen 2D).

Dans le cas 2D, le maillage obtenu peut tre conforme, ou non-conforme (comme par exempledans [Fahs 2009a, Fahs & Lanteri 2010]) i.e. comportant des noeuds flottants sur une face com-mune deux lments de diffrents types. Dautre part en 3D, pour obtenir un maillage hy-bride conforme, il faut faire appel des lments intermdiaires (car les faces des ttradressont des triangles alors que celles des hexadres sont des quadrangles), prismes ou pyramides(cf [Bergot et al. 2010]), ce qui complique notablement le processus de construction du maillage.Dans le cadre dune mthode de discrtisation Galerkin Discontinue, il nest pas ncessaire dim-poser une telle conformit. Dans la prsente tude, nous considrons des maillages hybrideset non-conformes, tout en nous limitant un certain type de non-conformit schmatis sur lafigure FIG. 2.1.

Autrement dit, on se limitera au cas o, sur une face hybride, lensemble des faces triangulaires(issues des ttradres) concide avec la face quadrangulaire de lhexadre voisin. Nous schma-tisons sur la figure FIG. 2.2, un exemple de non-conformit quelconque ne correspondant pas ce cadre.

Sous cette condition, nous pouvons de plus faire concider plusieurs faces triangulaires avec laface quadrangulaire de lhexadre voisin. Ce nombre de faces est indic par un entier que lonnote nra f (cf FIG. 2.3). Par convention, nra f = 1 correspond au cas, o une face quadrangulaireconcide avec 2 faces triangulaires, nra f = 2 lorsquelle concide avec 8 faces triangulaires, etc.Nous reviendrons sur cet indice de raffinement dans le chapitre 5.


q1 q2

t1

t2

t1

q2

t2

FIG. 2.1 Gauche : Type de non-conformit considre en 3D, entre un hexadre (q2) et deuxttradres (t1 et t2). Droite : Vue 2D dune face hybride non-conforme entre lhexadre q2 et lesdeux ttradres t1 et t2.

FIG. 2.2 Exemple de non-conformit entre plusieurs lments, sortant du cadre considr.

FIG. 2.3 Exemples de non-conformits considres. Gauche : nra f = 1. Droite : nra f = 2.


2.2.1 Formulation faible avec fonctions tests scalaires

Pour la prsentation des schmas de discrtisation, nous considrons uniquement des frontiresmtalliques (i.e. a = ) et nous supposons galement J = 0. Nous notons une fonction testscalaire. En multipliant (2.2) par et en intgrant sur ci, nous obtenons :

ci

Q(tW) dx +

ci( F(W)) dx = 0. (2.3)

En utilisant une formule dintgration par parties (Green), nous avons :

ciQ(tW) dx

ci F(W) dx +

ci

(n F(W)) dS = 0. (2.4)

Soit Pp[ci] lespace des fonctions polynomiales de degr au plus p sur ci Th (par exemple,les polynmes P2 en 2D sont de la forme 0 + 1x1 + 2x2 + 3x1x2 + 4x21 + 5x

22), muni de

la base locale i = (i1, i2, . . . , idi)T avec di le nombre de degrs de libert pour le ttra-

dre ci. Soit Qk[ci] lespace des fonctions polynomiales de degr au plus k par rapport chaquevariable sparment sur ci Qh (par exemple, les polynmes Q2 en 2D sont de la forme0 + 1x1 + 2x2 + 3x1x2 + 4x21 + 5x

22 + 6x

21x2 + 7x1x

22 + 8x

21x

22), muni de la base locale

i = (i1, i2, . . . , ibi)T avec bi le nombre de degrs de libert pour lhexadre ci. Plus de d-

tails sur les fonctions de base que nous utilisons sont donns dans les sous-sections 4.1.2.1 (2D)et 5.1.1 (3D), ainsi que dans lannexe A. Les degrs de libert locaux sont nots Wil R6 etWi R6 dfinira la restriction de la solution approche la cellule ci (i.e. Wi = Wh ci ). Ainsi,Pp[ci] = Vect

(i1, . . . , idi

), Qk[ci] = Vect

(i1, . . . , ibi

)et nous avons :

Si ci Th : Wi(x) =di

l=1

Wil il(x) =

di

l=1

Eil il(x)

di

l=1

Hil il(x)

=

(Ei(x)Hi(x)

). (2.5)

Si ci Qh : Wi(x) =bi

l=1

Wilil(x) =

bi

l=1

Eilil(x)

bi

l=1

Hilil(x)

=

(Ei(x)Hi(x)

). (2.6)

Remarque : plus prcisment, chaque composante de Wi(x) scrit dans la base i ; ici, on critdirectement Wi(x) sous forme vectorielle. On ne se soucie pas, pour le moment, du type de basechoisi (i.e. modale ou nodale, hirarchique ou non, orthogonale ou non, etc.).

Nous cherchons alors une solution approche Wh dans lespace dapproximation global V6h , d-fini par :

Vh =

{vh L2()

ci Th, vh ci Pp[ci]ci Qh, vh ci Qk[ci]

}. (2.7)

Maintenant, notons aij = ci cj la face commune entre ci et cj et Vi = {j|ci cj 6= } lensembledes lments voisins de ci. Cette dfinition comprend galement les faces aij se situant sur lafrontire (ci tant alors une cellule au bord du domaine) en introduisant dans ce cas cj comme


une cellule fictive. On introduit galement la notation nij qui est le vecteur normal unitaire aijsortant dirig de ci vers cj et nij = (n1ij, n

2ij, n

3ij)

T R3 ; si aij est une face frontire (i.e. si aij ),issue dun ttradre ou dun hexdre, nij est sortante au domaine . On suppose enfin que lescoefficients lectromagntiques et sont constants par lment. En injectant Wh dans lquation2.4 (et en remplaant alors

ci

par jVi

aij), nous obtenons :

ci

Q(tWh) dx

ci F(Wh) dx +

jVi

aij

(nij F(Wh)

) dS = 0,

Qi

ci(tWi) dx

ci F(Wi) dx +

jVi

aij

(nij F(Wh)

) dS = 0. (2.8)

avec Qi =[

i I33 033033 i I33

], o i et i sont des valeurs constantes sur ci.

Puisquaucune forme de continuit nest assure dun lment un autre pour le champ de vec-teurs Wh, un traitement particulier doit tre introduit pour lvaluation des intgrales de bordsur la face aij. Dans le contexte des mthodes volumes finis, on parle de flux numrique. Nousutilisons ici un flux numrique bas sur un schma centr :

Wh aij =Wi aij + Wj aij

2.

Par consquent (en utilisant la linarit de F) :

jVi

aij

(nij F(Wh)

) dS =

jVi

aij

(nij F

(Wi + Wj

2

)) dS

=12 jVi

aij

(nij F(Wi)

) dS +

12 jVi

aij

(nij F(Wj)

) dS

=12

ci

(nij F(Wi)

) dS +

12 jVi

aij

(nij F(Wj)

) dS.

A laide, une seconde fois, dune intgration par parties applique au terme12

ci

(nij F(Wi)

) dS, nous avons :

jVi

aij

(nij F(Wh)

) dS =

12

ci

(( F(Wi)) + F(Wi)) dx +

12 jVi

aij

(nij F(Wj)

) dS.

(2.9)

Ainsi, en remplaant (2.9) dans lquation (2.8), nous obtenons :

Qi

ci(tWi)dx +

12

ci

(( F(Wi)) F(Wi)) dx +

12 jVi

aij

(nij F(Wj)

)dS = 0,


ce qui peut tre rcrit comme :

Qi

ci(tWi) dx +

12

ci

((3

k=1

xk Fk(Wi)

)

3

k=1

(xk )Fk(Wi)

)dx +

12 jVi

aij

(3

k=1

nkijFk(Wj)

) dS = 0.

(2.10)

Maintenant, nous dfinissons les matrices suivantes :

N k =[

033 NkNk 033

],

Mij =3

k=1

nkijN k =[

033 NijNij 033

], o Nij =

3

k=1

nkijNk =

0 n3ij n2ijn3ij 0 n1ij

n2ij n1ij 0

,

et enfin lquation (2.10) devient :

Qi

ci(tWi) dx +

12

ci

((3

k=1

xkN kWi)

3

k=1

(xk )N kWi)

dx +

12 jVi

aij

(3

k=1

nkijN kWj)

dS = 0,

Qi

ci(tWi) dx +

12

ci

((3

k=1

xkN kWi)

3

k=1

(xk )N kWi)

dx +

12 jVi

aijMijWj dS = 0.

(2.11)

Remarques :

X R3 on a NijX = X nij. De plus, nij = nji et donc Nij = Nji. Les matrices Nk et Nij sont de taille 3 3 et sont anti-symtriques ; les matrices N k et Mij

sont de taille 6 6 et sont symtriques.

Pour le traitement numrique des conditions aux limites i.e. pour les interfaces aij localises surla discrtisation de m, nous considrons une cellule fictive cj et nous tablissons :

Sur aij m : Wj =[ I33 033

033 I33

]Wi, i.e. :

(EjHj

)=

(EiHi

). Donc : Wh aij =

000

Hi aij

.

Ainsi, dans (2.11), si aij m, on obtient : MijWj = Mij[ I33 033

033 I33

]Wi = SimWi,

avec Sim =[

033 NijNij 033

], qui est une matrice 6 6 anti-symtrique.

Nous distinguerons par la suite deux cas diffrents :


Cas (A) : ci Th. ci est un ttradre et les cellules voisines de ci sont des ttradres oudes hexadres. Une face de llment fini ci, est alors soit une face frontire mtallique dettradre (i.e. aij T im), soit une face interne commune deux ttradres (i.e. aij T id ),soit une face interne commune un ttradre et un hexadre, dite hybride (i.e. aij H id ).Autrement dit, pour j Vi on a cj Th

Qh, et donc aij H id

T id

T im.

En sparant alors dans lquation (2.11) la somme pour j Vi en somme pour aij T id ,somme pour aij T im et somme pour aij H id , nous obtenons la formulation faible spci-fique aux cellules ttradriques (sous forme dun systme de 6 quations) suivante :

2Qi

ci(tWi)dx +

ci

((3

k=1

xkN kWi)

3

k=1

(xk )N kWi)

dx +

aijT id

aijMijWjdS +

aijT im

aijSimWidS +

aijH id

aijMijWjdS = 0.

(2.12)

Remarque : dans chaque terme Wi Pp[ci] (resp. Wj Pp[cj]), except dans la somme surH id o Wj Qk[cj].

Cas (B) : ci Qh. ci est un hexadre et les cellules voisines sont des hexadres ou des ttra-dres. Une face de llment fini ci, est alors soit une face frontire mtallique dhexadre(i.e. aij Qim), soit une face interne commune deux hexadres (i.e. aij Qid), soit une faceinterne commune un hexadre et un ttradre, dite hybride (i.e. aij H id ). Autrement dit,pour j Vi on a cj Th

Qh, et donc aij H id

Qid

Qim.

En sparant alors dans lquation (2.11) la somme pour j Vi en somme pour aij Qid,somme pour aij Qim et somme pour aij H id , nous obtenons la formulation faible spci-fique aux cellules hexadriques (sous forme dun systme de 6 quations) suivante :

2Qi

ci(tWi)dx +

ci

((3

k=1

xkN kWi)

3

k=1

(xk )N kWi)

dx +

aijQid

aijMijWjdS +

aijQim

aijSimWidS +

aijH id

aijMijWjdS = 0.

(2.13)

Remarque : ici, dans chaque terme Wi Qk[ci] (resp. Wj Qk[cj]), except dans la sommesur H id o Wj Pp[cj].

Remarque : des conditions initales sont associes ces deux formulations faibles. Nous les expli-citons dans la section 3.2.

2.2.2 Formulation faible quivalente avec fonction test vectorielle

Nous avons considr en section prcdente, une fonction test scalaire afin daboutir auxformulations faibles (2.12) et (2.13), chacune obtenue sous forme dun systme de 6 qua-tions. Or, certains aspects ou dmonstrations thoriques relatifs la mthode GDDT-PpQk(comme lanalyse de convergence) peuvent ncessiter lutilisation de formulations faibles sousforme dune seule quation (dans le cas (A) et dans le cas (B)). Pour cela, nous notons ~ =


(1, 2, 3, 4, 5, 6)T R6 une fonction test vectorielle. En appliquant le produit scalaire (eu-clidien, not . , .) par ~ au systme (2.2) et en intgrant sur ci, nous obtenons :

ci

Q(tW) , ~

dx +

ci

F(W) , ~

dx = 0. (2.14)

Pour obtenir les formulations faibles, nous suivons les mmes tapes que dans la sous-section2.2.1 (en reprenant les mmes notations, dfinitions, etc.). Ainsi, nous dduisons dans le cas (A)la formulation faible suivante, sous forme dune seule quation :

2Qi

ci

tWi , ~

dx +

ci

(3

k=1

xkN kWi , ~

3

k=1

xk~ , N kWi

)dx +

aijT id

aij

MijWj , ~

dS +

aijT im

aij

SimWi , ~

dS +

aijH id

aij

MijWj , ~

dS = 0.

(2.15)

De mme dans le cas (B) :

2Qi

ci

tWi , ~

dx +

ci

(3

k=1

xkN kWi , ~

3

k=1

xk~ , N kWi

)dx +

aijQid

aij

MijWj , ~

dS +

aijQim

aij

SimWi , ~

dS +

aijH id

aij

MijWj , ~

dS = 0.

(2.16)

Remarque : les conditions initales associes ces deux formulations faibles sont explicites dansla section 3.2.

Enfin, lutilisation de fonctions tests vectorielles ncessite dintroduire les 6di fonctions de basevectorielles ~i1, . . . , ~i(6di) qui sont des vecteurs de R

6, composs des fonctions de base scalairesi1, . . . , idi de Pp[ci] (pour di fonctions de base scalaires, on a 6di fonctions de base vectoriellesassocies) et de la forme :


~i1 =

i100000

, ~i2 =

0i10000

, . . . , ~i6 =

00000

i1

,

~i7 =

i200000

, ~i8 =

0i20000

, . . . , ~i12 =

00000

i2

,

......

...

~i(6di5) =

idi00000

, ~i(6di4) =

0idi0000

, . . . , ~i(6di) =

00000

idi

.

Nous introduisons galement les 6bi fonctions de base vectorielles ~i1, . . . ,~i(6bi) qui sont desvecteurs de R6, composs des fonctions de base scalaires i1, . . . , ibi de Qk[ci] (pour bi fonctionsde base scalaires, on a 6bi fonctions de base vectorielles associes) et de la forme :

~i1 =(

i1, 0, 0, 0, 0, 0)T

, . . . , ~i6 =(

0, 0, 0, 0, 0, i1)T

,

......

~i(6bi5) =(

ibi , 0, 0, 0, 0, 0)T

, . . . , ~i(6bi) =(

0, 0, 0, 0, 0, ibi)T

.

2.2.3 Equations semi-discrtises pour les cellules ttradriques

A partir de maintenant, on suppose le nombre de degrs de libert di identique pour tous lesttradres ci. On introduit les notations suivantes :

i =

ci

iTi dx,

xki =

ci

(i (xk i)

T (xk i) Ti)

dx, ij =

aiji

Tj dS

et :

ij =

aij

iTj dS,

o :

i est un vecteur colonne de Rdi et Ti (resp. Tj ) est un vecteur ligne de Rdi (resp. de Rdj ).


Tj est un vecteur ligne de Rbj . i est une matrice di di symtrique dfinie positive et xki une matrice di di anti-

symtrique. ij est une matrice di di (dj = di) symtrique positive. ij est une matrice rectangulaire de taille di bj. Lordre des indices (i puis j) est respecter.

Posons Ei et Hi , qui dsignent les vecteurs de R3di des degrs de libert locaux Eil et Hil (quisont chacun des vecteurs de R3) pour l = 1, . . . , di, associs au ttradre ci (notation spcifiqueaux ttradres). Posons Ej et Hj, qui dsignent les vecteurs de R3bj des degrs de libert locauxEjl et Hjl pour l = 1, . . . , bj, associs lhexadre cj (notation spcifique aux hexadres) :

Ei =

Ei1...

Eidi

, Hi =

Hi1...

Hidi

, et Ej =

Ej1...

Ejbj

, Hj =

Hj1...

Hjbj

. (2.17)

Afin dobtenir les 6di quations semi-discrtises, on effectue plusieurs remplacements dans laformulation faible (2.12) (resp. (2.15)). Dans les intgrales sur ci et sur aij pour aij T id et aij T im, on remplace Wi (resp. Wj) par son expression (cf (2.5)) dans la base i (resp. j) de Pp[ci](resp. Pp[cj]) ; en revanche pour le terme de somme sur H id on remplace Wj par son expression(cf (2.6)) dans la base j de Qk[cj]. Enfin, on remplace par il pour l = 1, . . . , di (resp. ~ par~il pour l = 1, . . . , 6di). Proposons ainsi une expression du systme de 6di quations associ laformulation hybride dans le cas (A) :

ci Th :

2X,idEidt

+3

k=1

X xki Hi + aijT id

XijHj + aijT im

XimHi + aijH id

AijHj = 0,

2X,idHidt

3

k=1

X xki Ei aijT id

XijEj + aijT im

XimEi aijH id

AijEj = 0,(2.18)

avec :


X,i =

(i)11( i I33) (i)12( i I33) (i)1di( i I33)(i)21( i I33) (i)22( i I33) (i)2di( i I33)

......

...(i)di1( i I33) (i)di2( i I33) (i)didi( i I33)

,

X,i =

(i)11(i I33) (i)12(i I33) (i)1di(i I33)(i)21(i I33) (i)22(i I33) (i)2di(i I33)

......

...(i)di1(i I33) (i)di2(i I33) (i)didi(i I33)

,

X xki =

(xki )11Nk (xki )12Nk (

xki )1di Nk


xki )2di Nk

......

...(xki )di1Nk (

xki )di2Nk (

xki )didi Nk

,

Xij =

(ij)11Nij (ij)12Nij (ij)1di Nij(ij)21Nij (ij)22Nij (ij)2di Nij

......

...(ij)di1Nij (ij)di2Nij (ij)didi Nij

,

Xim =

(ij)11Nim (ij)12Nim (ij)1di Nim(ij)21Nim (ij)22Nim (ij)2di Nim

......

...(ij)di1Nim (ij)di2Nim (ij)didi Nim

,

Aij =

(ij)11Nij (ij)12Nij (ij)1bj Nij(ij)21Nij (ij)22Nij (ij)2bj Nij

......

...(ij)di1Nij (ij)di2Nij (ij)dibj Nij

.

o X,i et X,i sont des matrices symtriques dfinies positives, X xki est une matrice symtrique,Xij et Xim sont des matrices anti-symtriques. Toutes sont de taille 3di 3di sauf Aij qui est unematrice rectangulaire (correspondant aux interfaces hybrides) de taille 3di 3bj (Hj et Ej tantdes vecteurs de R3bj , AijHj et AijEj sont des vecteurs de R3di ce qui correspond bien au nombredquations du systme).

2.2.4 Equations semi-discrtises pour les cellules hexadriques

Nous faisons ici la mme hypothse que pour les ttradres : on suppose bi identique pour tousles hexadres ci. On introduit les notations suivantes :

i =

ci

iTi dx,

xki =

ci

(i (xk i)

T (xk i) Ti)

dx, ij =

aiji

Tj dS,

et on rappelle que :

Tji =

aij

iTj dS,


o :

i est un vecteur colonne de Rbi et Ti (resp. Tj ) est un vecteur ligne de Rbi (resp. de Rbj ) ;Tj est un vecteur ligne de R

dj . i est une matrice symtrique dfinie positive, xki une matrice anti-symtrique et ij une

matrice symtrique positive, toutes trois de taille bi bi (bj = bi). Tji est une matrice rectangulaire de taille bi dj. Lordre des indices (j puis i) est respecter.

Nous rappelons les notations Ei et Hi de vecteurs de degrs de libert locaux spcifiques auxhexadres, et Ej et Hj pour ceux spcifiques aux ttradres.

Pour obtenir le systme de 6bi quations semi-discrtises, on effectue plusieurs substitutionsdans la formulation faible (2.13) (resp. (2.16)). Dans les intgrales sur ci et sur aij pour aij Qidet aij Qim, on remplace Wi (resp. Wj) par son expression (cf (2.6)) dans la base i (resp. j)de Qk[ci] (resp. Qk[cj]) ; en revanche, pour le terme de somme sur H id , on remplace Wj par sonexpression dans la base j de Pp[cj] (cf (2.5)). Enfin, on substitue par il pour l = 1, . . . , bi (resp.~ par ~il pour l = 1, . . . , 6bi). Proposons ainsi une expression du systme de 6bi quations associ la formulation hybride dans le cas (B) :

ci Qh :

2W,idEidt

+3

k=1

Wxki Hi + aijQid

WijHj + aijQim

WimHi + aijH id

BijHj = 0,

2W,idHidt

3

k=1

Wxki Ei aijQid

WijEj + aijQim

WimEi aijH id

BijEj = 0.(2.19)


avec :

W,i =

(i)11( i I33) (i)12( i I33) (i)1bi( i I33)(i)21( i I33) (i)22( i I33) (i)2bi( i I33)

......

...(i)bi1( i I33) (i)bi2( i I33) (i)bibi( i I33)

,

W,i =

(i)11(i I33) (i)12(i I33) (i)1bi(i I33)(i)21(i I33) (i)22(i I33) (i)2bi(i I33)

......

...(i)bi1(i I33) (i)bi2(i I33) (i)bibi(i I33)

,

Wxki =


xki )1bi Nk


xki )2bi Nk

......

...(xki )bi1Nk (

xki )bi2Nk (

xki )bibi Nk

,

Wij =

(ij)11Nij (ij)12Nij (ij)1bi Nij(ij)21Nij (ij)22Nij (ij)2bi Nij

......

...(ij)bi1Nij (ij)bi2Nij (ij)bibi Nij

,

Wim =

(ij)11Nim (ij)12Nim (ij)1bi Nim(ij)21Nim (ij)22Nim (ij)2bi Nim

......

...(ij)bi1Nim (ij)bi2Nim (ij)bibi Nim

,

Bij =

(Tji

)11

Nij(

Tji

)12

Nij (

Tji

)1dj

Nij(

Tji

)21

Nij(

Tji

)22

Nij (

Tji

)2dj

Nij...

......(

Tji

)bi1

Nij(

Tji

)bi2

Nij (

Tji

)bidj

Nij

.

o, de mme, W,i et W,i sont des matrices symtriques dfinies positives, Wxki est une matricesymtrique, Wij et Wim sont des matrices anti-symtriques. Toutes sont de taille 3bi 3bi saufBij qui est une matrice rectangulaire (correspondant aux interfaces hybrides) de taille 3bi 3dj.Enfin, du fait que NTji = Nji = Nij, nous pouvons remarquer que :

2.3. Discrtisation en temps 27

BTji =

(Tij

)11

(NTji) (

Tij

)21

(NTji)

(

Tij

)bj1

(NTji)

(Tij

)12

(NTji) (

Tij

)22

(NTji)

(

Tij

)bj2

(NTji)

......

...(Tij

)1di

(NTji) (

Tij

)2di

(NTji)

(

Tij

)bjdi

(NTji)

=

(ij)11Nij (ij)12Nij (ij)1bj Nij(ij)21Nij (ij)22Nij (ij)2bj Nij

......

...(ij)di1Nij (ij)di2Nij (ij)dibj Nij

= Aij,

2.3 Discrtisation en temps

Le choix de la discrtisation en temps est une tape cl pour lefficacit globale dune mthodenumrique. Nous adoptons ici des schmas explicites. Leur principal avantage est la facilit demise en uvre et il est aussi relativement ais de construire des schmas explicites dordre lev.En revanche, la stabilit de ces schmas est contrainte par une condition de stabilit (sur le pasde temps) qui peut savrer parfois restrictive pour des maillages localement raffins lorsquelon utilise un pas de temps global (qui est donc le mme pour tout le maillage, et dterminpar la plus petite maille). Parmi les diffrents schmas explicites existant, deux types sont prdo-minants pour la rsolution numrique des quations de Maxwell. Les schmas de type Runge-Kutta, introduits dans larticle [Carpenter & Kennedy 1994], sont les plus populaires pour lint-gration en temps du systme de Maxwell semi-discrtis en espace par une mthode GalerkinDiscontinue, comme propos par exemple dans [Hesthaven & Warburton 2002, Chen et al. 2005].Les schmas de type saute-mouton (Leap-Frog), que nous choisissons alors dutiliser, sont desschmas non-dissipatifs. Ceux-ci qui peuvent tre formuls des ordres levs, comme intiale-ment mis en avant par Young [Young 2001] et approfondi dans [Spachmann et al. 2002] ou encoredans [Fahs 2009b].

Commenons par crire sous une forme diffrente les systmes (2.18) et (2.19) de la mthodeGDDT-PpQk qui sont dsormais des systmes dquations diffrentielles ordinaires (EDO) lo-caux :

Cas (A) :

2X,idHidt

= AEh ,i ,

2X,idEidt

= AHh ,i ,

(2.20)

avec :

AEh ,i =3

k=1

X xki Ei + aijT id

XijEj aijT im

XimEi + aijH id

AijEj ,

AHh ,i = 3

k=1

X xki Hi aijT id

XijHj aijT im

XimHi aijH id

AijHj.


Cas (B) :

2W,idHidt

= BEh ,i ,

2W,idEidt

= BHh ,i ,

(2.21)

avec :

BEh ,i =3

k=1

Wxki Ei + aijQid

WijEj aijQim

WimEi + aijH id

BijEj ,

BHh ,i = 3

k=1

Wxki Hi aijQid

WijHj aijQim

WimHi aijH id

BijHj.

Maintenant, nous dfinissons les oprateurs suivants. Soient Gel et Gmag tels que :

Gel : V3h V3h

Eh 7 Gel(Eh) ,et

Gmag : V3h V3hHh 7 Gmag(Hh) .

Nous rappelons que pour un vecteur X V3h , comme indiqu en sous-section 2.2.3 (cf (2.17)),la notation Xi, spcifique un ttradre ci que lon note ici i, reprsente un vecteur colonne deR3di dans lequel nous reportons les coordonnes de X dans la base i (i.e. les degrs de libertslocaux). De mme, la notation Xi, spcifique un hexadre ci not ici qi, est un vecteur colonnede R3bi dans lequel nous reportons les coordonnes de X dans la base i. Afin de prsenter lesdeux schmas en temps avec clart, nous introduisons les notations i(X) et qi(X), quivalentes

aux prcdentes, cest--dire telles que :

{i(X) = Xi, X V3h , i Th,qi(X) = Xi, X V3h , qi Qh.

Ainsi, dans les cas (A) et (B), nous avons les dfinitions suivantes des oprateurs Gel et Gmag :

Cas (A) :

i(Gel(Eh)

)=

12

[X,i

]1 AEh ,i ,

i(Gmag(Hh)

)=

12

[X,i]1 AHh ,i .

Cas (B) :

qi(Gel(Eh)

)=

12

[W,i

]1 BEh ,i ,

qi(Gmag(Hh)

)=

12

[W,i]1 BHh ,i .

2.3. Discrtisation en temps 29

Nous formulons alors les schmas saute-mouton, du deuxime et du quatrime ordre. Nousnotons t > 0 le pas de temps global pour t [0, t f ] (t f le temps final) et tn une discrtisation dutemps avec tn = nt, o n = 0, . . . , n f et donc t f = tn f .

2.3.1 Schma saute-mouton dordre 2

Des systmes (2.20) et (2.21), nous dduisons les deux schmas saute-mouton dordre 2, o lechamp lectrique et le champ magntique sont valus sur une grille en temps dcale.

Cas (A) :

Hn+ 12i = H

n 12i +

t2

[X,i

]1 AnEh ,i

,

En+1i = E

ni +

t2

[X,i]1 An+ 12Hh ,i

.

(2.22)

Cas (B) :

Hn+ 12i = H

n 12i +

t2

[W,i

]1 BnEh ,i

,

En+1i = Eni +

t2

[W,i]1 Bn+ 12Hh ,i

.

(2.23)

Les notations AnEh ,i

et BnEh ,i

(resp. An+ 12Hh ,i

et Bn+ 12Hh ,i

) signifient que nous remplaons dans les expres-

sions de AEh ,i et BEh ,i (resp. AHh ,i et BHh ,i ), Ei, Ej, Ei et Ej par leur valeur au temps nt : Eni , E

nj , E

ni et

Enj (resp. Hi, Hj, Hi et Hj par par leur valeur au temps (n +12)t : H

n+ 12i , H

n+ 12j , H

n+ 12i et H

n+ 12j ).

Enfin, nous rcrivons les schmas (2.22) (2.23) comme suit : Cas (A) :

Hn+ 12i = H

n 12i + t i

(Gel(Enh))

,

En+1i = E

ni + t i

(Gmag

(H

n+ 12h

)).

(2.24)

Cas (B) :

Hn+ 12i = H

n 12i + t qi

(Gel(Enh))

,

En+1i = Eni + t qi

(Gmag

(H

n+ 12h

)).

(2.25)

La condition initiale du schma (2.24) (resp. (2.25)) est compatible avec le schma saute-mouton,

soit en H12i (resp. H

12i ) et E

0i (resp. E

0i ).


2.3.2 Schma saute-mouton dordre 4

Toujours partir des systmes (2.20) et (2.21), nous formulons les deux schmas saute-moutondordre 4, o les champs lectrique et magntique sont l aussi valus sur une grille en tempsdcale.

Cas (A) :

Hn+ 12i = H

n 12i + t i

(Gel(Enh))

+t3

24i

(Gel Gmag Gel

(Enh))

,

En+1i = E

ni + t i

(Gmag

(H

n+ 12h

))+

t3

24i

(Gmag Gel Gmag

(H

n+ 12h

)).

(2.26)

Cas (B) :

Hn+ 12i = H

n 12i + t qi

(Gel(Enh))

+t3

24qi

(Gel Gmag Gel

(Enh))

,

En+1i = Eni + t qi

(Gmag

(H

n+ 12h

))+

t3

24qi

(Gmag Gel Gmag

(H

n+ 12h

)).

(2.27)

La condition initiale du schma (2.26) (resp. (2.27)) est galement en H12i (resp. H

12i ) et E

0i (resp.

E0i ).

Remarque : comme nous verrons par la suite, bien que ce schma saute-mouton dordre 4 nces-site plus doprations, il permet en revanche de prendre un pas de temps plus grand quavec leschma saute-mouton dordre 2, tout en prservant la stabilit du calcul.

CHAPITRE 3

Analyse mathmatique

Sommaire3.1 tude de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Thorme de Poynting et droulement de ltude . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Rsultats connus, notations et hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3 Conservation dune nergie discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.4 Condition suffisante de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 tude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.1 Propositions, lemmes, hypothses et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2 Convergence du problme semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.3 Convergence du problme totalement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Lobjectif de ce chapitre est dtudier la validit mathmatique (thorique) de la mthodeGDDT-PpQk propose. Nous analysons dans un premier temps la stabilit L2 de ce schmaen montrant quil conserve une nergie discrte et en exhibant une condition suffisante destabilit de type CFL. Nous montrons ensuite la convergence en h de ce schma, et dga-geons un estimateur derreur a-priori.

3.1 tude de stabilit

3.1.1 Thorme de Poynting et droulement de ltude

Ltude de stabilit se basera sur un thorme physique, le thorme de Poynting. Ce thormestipule que lnergie lectromagntique, dans le vide, en absence de charge et de courant, vrifiela relation :

V(tE)dx +

V

P.n dS = 0,

pour tout volume V ferm de frontire V rgulire, o E est lnergie lectromagntique et P estle vecteur de Poynting dfinis par :

E =12

(ETE + HTH

)et P = E H.

Pour des conditions aux lim

méthode de type galerkin discontinu en maillages multi-éléments

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