merev testek mechanikája11 a formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre...

9. évfolyamon egész tanév során mechani-

kával foglalkoztunk. Először olyan jelen-

ségeket vizsgáltunk, amelyekben a testek

pontszerűnek tekinthetők. A tömegpont-

modell használata megkönnyíti a testek

mozgásának leírását, valamint a mozgást

leíró fogalmak kö zötti kapcsolatokat fel-

táró törvények megfogalmazását. Később

a tömegpont mozgásának és nyugalmi

helyzetének okát is megismertük. Több

tömegpontból álló rendszer (pontrend-

szer) dinamikai leírását is elsajátítottuk.

Testek viszont lehetnek olyan hely-

zetben is, amelyben a tömegpontmodell

használata nem vezet eredményre. A ki-

terjedt testek számos jelenség során

viselkedhetnek merev testként. 9. év-

folyamon megfogalmaztuk már a

merev test egyensúlyának feltéte-

lét, most a dinamikájával fogunk

megismerkedni.

Egyensúly Forgómozgás

Perdület

Me

re

v t

es

tek

me

ch

an

iká

ja

z tanév során mechani-

k. Először olyan jelen-

k, amelyekben a testek

thetők. A tömegpont-

megkönnyíti a testek

át, valamint a mozgást

ötti kapcsolatokat fel-

gfogalmazását. Később

gásának és nyugalmi

s megismertük. Több

rendszer (pontrend-

rását is elsajátítottuk.

lehetnek olyan hely-

n a tömegpontmodell

zet eredményre. A ki-

mos jelenség során

ev testként. 9. év-

almaztuk már a

lyának feltéte-

kájával fogunk

Egyensúly Forgómozgás

Perdület

fiz-12e_1-51.indd 7 2016.07.04. 19:43:18

Mi a helyes módja nehéz tárgyak helyes

emelésének?

M

em

A merev test egyensúlya (Ismétlés)

1.leckeA Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a

lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezé-

keket rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyek-

re. Mi lehet ennek az oka?

Merev test fogalma, egyensúlyának

feltételei

Számos jelenség lefolyásakor a kiterjedt testek mé-

rete, alakja, tömegeloszlása nem változik. Ilyen je-

lenségek során a kiterjedt testet merev testnek ne-

vezzük.

Egy kiterjedt testet merev testnek tekinthetünk,

ha a rá ható erők hatására sem mérete, sem alakja,

sem tömegeloszlása nem változik meg jelentősen.

Másképp fogalmazva: kölcsönhatásban a test

pont jainak egymástól való távolsága nem vál-

tozik.

Merev test a haladás szempontjából akkor van

egyensúlyban, ha a rá ható erők vektori eredője

nulla:

∑ F = 0

Merev test forgás szempontjából akkor van egyen-

súlyban, ha a rá ható forgatónyomatékok előjeles

összege (tetszőleges vonatkoztatási pontra vonat-

koztatva) nulla:

∑ M = 0

Összefoglalva, egy merev test egyensúlyának fel-

tételei:

∑ F = 0, ∑ M = 0

Fontos megjegyezni, hogy az egyensúly és a nyuga-

lom nem ugyanazt jelenti. Egy test mozgásállapota

nem változik, amikor egyensúlyi helyzetben van.

Egyensúlyi helyzetben sem haladási, sem forgási

mozgásállapota nem változik.

∑ F = 0 v = állandó

∑ M = 0 ω = állandó

Tehát a nyugalomban lévő test egyúttal egyensúly-

ban is van, de az egyensúlyban lévő test nem feltét-

lenül van nyugalomban is.

fiz-12e_1-51.indd 8 2016.07.04. 19:43:24

9

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egyenletes anyageloszlású hosszú pálcát támasz-

tunk a nagyon sima falnak. Mekkora a pálca és a

vízszintes padló közötti tapadási súrlódási együtt-

ható, ha a pálca a fallal legfeljebb 40°-os szöget

zárhat be megcsúszás nélkül?

MEGOLDÁS

Adatok: α = 40°. _____________

μ0 = ?

Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be a pálcára (merev

testre) ható erőket!

A pálcára négy erő hat:

– nehézségi erő: mg,

– a sima (súrlódásmentes) faltól származó nyomó-

erő: K1,

– a talajtól származó nyomóerő: K2,

– a talajtól származó tapadási súrlódási erő: Ftap.

Egyensúlyi helyzetek vizsgálata

Felfüggesztett, vagy alátámasztott testre csak két,

azo nos hatásvonalú erő hat, a nehézségi erő és a

tartó erő. A test súlya a tartóerő ellenereje (ilyenkor

a felfüggesztésre, vagy alátámasztásra ható erő a

súly).

A nyugalomban lévő testre ható nehézségi erő

és a tartóerő közös hatásvonalát súlyvonalnak

nevezzük. Minden testnek végtelen sok súly-

vonala lehet, de mind egy ponton, a súlyponton

halad át.

Homogén nehézségi erőtérben a súlypont és az

úgynevezett tömegközéppont megegyezik, ez a

pont a testre ható nehézségi erő támadáspontja.

A súlypont (illetve a tömegközéppont) úgy viselke-

dik, mintha a merev test összes tömege benne len-

ne koncentrálva.

Hogyan változik a test helyzeti energiája, ha kitérítjük

egyensúlyi helyzetéből?

Merev test egyensúlyi helyzeteit a következő

módon osztályozhatjuk. A testet egyensúlyi hely-

zetéből kissé kimozdítjuk, majd magára hagyjuk.

Ekkor a test visszatérhet az egyensúlyi helyzetébe,

de az is lehet, hogy még messzebbre kerül az előző

egyensúlyi állapotától.

Egy merev test lehetséges egyensúlyi helyzetei:

Stabil (biztos): A testet egyensúlyi helyzetéből

kissé kimozdítva, majd magára hagyva, a test

visszatér eredeti helyzetébe.

Labilis (bizonytalan): A testet egyensúlyi helyze-

téből kissé kimozdítva, majd magára hagyva,

a test a kitérítés irányában tovább mozog.

Indiff erens (közömbös): A testet egyensúlyi hely-

zetéből kissé kimozdítva, majd magára hagyva,

a test a kimozdított helyzetében marad egyen-

súlyban.

A pálca egyensúlyban van, ezért a rá ható erők ere-

dője nulla: ∑ F = 0

Vízszintes irányban: K1 = Ftap (1)

Függőleges irányban: K2 = mg (2)

Merev test súlyvonalai egy ponton haladnak át

S

0SS

0

S = 0

K1

K2

(A )

Ftap

mg

α

A merev test egyensúlya

(Ismétlés)1.

9

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 9 2016.07.04. 19:43:26

10

Arkhimédész (Kr. e. III. évszázad) görög természettudós alapozta meg

a statikának (vagyis a testek egyensúlyának) a tudományát. Bevezet-

te a tömegpont fogalmát, emelőket, csigasorokat alkotott. A legenda

szerint Szürakusza védelmére olyan daruszerű – valószínűleg csiga-

sorokat tartalmazó – szerkezeteket készített, amelyek egész hajókat

képesek voltak felborítani. Neki tulajdonítjuk a következő kijelentést:

„Adjatok egy fi x pontot, és én kifordítom sarkaiból a világot.”

Gyorsan változó világunkban is fontos szerep jut a nyugalomnak,

vagy a bővebben értelmezett egyensúlynak. Gyermekkorunkban mér-

leghintázás során megtapasztalhattuk az egyensúlyi helyzet feltételét.

Szinte mindennap használunk olyan erőátviteli eszközt, egyszerű gé-

pet, amely alkalmas egy erő irányát kedvezőbbé tenni vagy nagyságát

csökkenteni.

Emelőrendszerű gépek közé tartozik az egyoldalú emelő (feszítő-

vas, talicska, sörnyitó, diótörő) és a kétoldalú emelő (gémes kút, karos

mérleg, sorompó, villás evezőlapát, állócsiga, mozgócsiga, hengerke-

rék, csigasorok). A lejtőrendszerű gépek a lejtő, az ék és a csavar.

Mindegyikre számtalan további példát tudunk még sorolni. Az egy-

szerű gépek többségét már az ókorban is ismerték, de használatuk

manapság is nélkülözhetetlen.

Az egyszerű gépek mai modern eszközeinkben is jelen vannak, azon-

ban sokszor nem látjuk őket, mert valamilyen borítás rejti el látvá-

nyukat a szemünk elől. Néha nem is sejtjük, milyen bonyolult szer-

kezeteket alakítanak ki egyszerű gépek kombinációjából. Például a

zongora billentyűjét leütő erőt emelőkből álló bonyolult rendszer

közvetíti a húrt megütő kalapácsig. Az edzőtermekben lévő gépek

nagy részénél több alkatrész mellett csigák is vannak, amelyek egy-

részt a kifejtendő erő irányát hivatottak megváltoztatni (álló csigák),

másrészt változtatható velük az erő nagysága is (mozgó csigák).

Egyensúly esetén bármely (a talajhoz képest álló)

vonatkoztatási pontra nézve a forgatónyomatékok

előjeles összege is nulla: ∑ M = 0

Vonatkoztatási pontnak olyat célszerű választa-

ni, amelyen a meghatározandó erő halad át, így

egyszerűbb lesz a megoldásunk. Válasszuk vonat-

koztatási pontnak a pálcának talajjal érintkező (A )

pontját. Ezen a ponton két (K2, Ftap) ismeretlen

nagyságú erő hatásvonala is átmegy. Az A-pontra

vonatkoztatva az mg nehézségi erő erőkarja l

2 · sin α,

a K1 erőé l · cos α.

Ezek után írjuk fel az A pontra a forgatónyoma-

tékok előjeles összegét!

mg · l

2 · sin α – K1 · l · cos α = 0 (3)

Használjuk fel a (3) egyenletben az (1) egyenletet:

mg · l

2 · sin α – Ftap · l · cos α = 0

Egyszerűsítsünk, majd használjuk fel, hogy a tapa-

dási súrlódási erő kényszererő, valamint a (2)

egyenletet:

mg · l

2 · sin α ≤ Ftap max · cos α = μ0 · K2 · cos α =

= μ0 · mg · cos α

Újabb egyszerűsítést és rendezést követően meg-

kapjuk a pálca és a vízszintes padló közötti tapadá-

si súrlódási együttható értékét:

μ0 = tg α2

= tg 40°

2 ≈ 0,42

Távolra vető ostromgép a középkorból

Mit jelent a szerpentin elején lévő

speciális közlekedési táblán olvasható

12%?

OlvasmányStatikai ismeretek a hétköznapokban

merev test egyensúlya

métlés)

Egy

A m

(Is

10

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 10 2016.07.04. 19:43:26

1 1

A Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezékeket

rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyekre, hogy a jármű súlypontja minél közelebb legyen a talajhoz,

mert ekkor a kocsi jobban fekszik az úton, nehezebben borul fel.

Azt gondolhatnánk, hogy a mechanika területén már nincs lehetőség új ismeretek felfedezésére. Erre

cáfolt rá két magyar kutató, Domokos Gábor és Várkonyi Péter, akik 2007-ben fedezték fel a gömböcöt.

A gömböc egy olyan konvex, homogén anyagú test, ami pontosan azt tudja, amit az inhomogén anyagel-

oszlású keljfeljancsi. A gömböcnek egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. Gömböcszerű formát

találunk a természetben is. Vannak olyan szárazföldi teknősfajok, amelyek páncélzata hozzávetőlegesen

gömböc alakú. Ez a forma segíti a teknősöket a hátukról a hasukra fordulni.

A gömböc és a „gömböc alakú” teknős

…és egy teknősbékaA Gömböc…

Lakóépület Montrealban

Tárgyak emelésének helytelen és helyes módja

Nap mint nap előfordulhat, hogy nehezebb tárgya-

kat kell megemelni. Nagyon fontos szabály, hogy

nyújtott lábbal, előrehajolva ne emeljünk nehéz tár-

gyat! Ilyenkor olyan erők jelennek meg a gerincoszlo-

punkban, amelyek a csigolyák közötti porckorongot

(kocsonyás anyag) kigyűrik a helyéről. A gerincün-

ket egyenesen tartva, térdünket behajtva nyúljunk

le a felemelendő tárgyért. A tárgyak helyes emelé-

sére már fi atalon érdemes odafi gyelni.

Az építészet alaptudománya a statika. Lenyűgöző

a hatalmas épületeink látványa. Megtervezésük,

megépítésük a természet törvényeinek ismerete

nélkül nem lenne lehetséges.

(Ismétlés)1.

11

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 11 2016.07.04. 19:43:28

12

1 Európa legnagyobb rágcsálói, a folyóparton

élő hódok által kidöntött fák többnyire a víz

felé esnek. Mi lehet ennek az oka?

Kérdések és feladatok

4 Legalább mekkorának kell lennie egy homo-

gén anyageloszlású kocka lapjának és a víz-

szintes asztallap közötti tapadó súrlódási

együtthatónak, hogy a kockát a felső lapjára ható

vízszintes erővel megcsúszás nélkül felboríthas-

suk?

5 A 10 kg tömegű létrát a teljesen sima falnak

támasztjuk úgy, hogy a létra 30°-os szöget

zár be a fallal. A létra és a padló közötti ta-

padási súrlódási együttható 0,5. Legfeljebb a létra

mekkora hosszán lépkedhet végig egy 80 kg-os

szobafestő annak megcsúszása nélkül?

6 Négy azonos méretű könyvet helyezz el egy-

máson – a képen látható módon – az asztal

szélén!

El lehet úgy helyezni őket, hogy a

legfelső könyv teljes egészében

az asztallapon túlra lóg-

jon? (d > L) Megfi gye-

lési tapasztalatodat

ellenőrizd számítás-

sal is!

L

d

2 A híd negyedénél megáll egy 12 tonnás ka-

mion. Mekkora többletterhelést okoz ez a

híd végeinél lévő pilléreknek?

3 Mekkora tömegű gyerek ül a 3 m hosszú,

egyensúlyban lévő, 12 kg tömegű mérleghin-

ta egyik végén, ha az alátámasztási ponttól

1,2 m távolságra lévő másik végén összesen 24 kg

tömegű gyerekek helyezkednek el?

métlés)

A m

(Is

12

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 12 2016.07.04. 19:43:34

13

2.lecke

A forgómozgás kinematikai leírása

Milyen pályán mozog a haladó

kerékpár szelepsapkája?

M

k

Megismertük a kiterjedt testek egyik modelljét,

a merevtest-modellt. Azt is tudjuk már, hogy mik

a merev test egyensúlyának feltételei. Vajon ho-

gyan mozognak a merev testek, amikor nincsenek

egyensúlyban?

Kétszer nagyobb sugár esetén hányszoros lesz a kerületi

sebesség?

T ( f; ω)

R1

R2v1

v2

Merev test tengely körüli forgó-

mozgása

Egy merev test – akár egyensúlyi helyzetében is – a

haladó mozgása mellett akár forgómozgást is vé-

gezhet.

Egy merev test forgómozgást végez, ha a test

minden pontja egy-egy körmozgást végez egy

adott egyenes körül, amely egyenest forgásten-

gelynek nevezünk.

A rögzített tengely körül forgó test legyen egyen-

súlyban! (Ennek az a feltétele, hogy valamely vo-

natkoztatási pontra nézve a testre ható forgatónyo-

matékok előjeles összege nulla legyen.) Ekkor a test

minden pontja egyenletes körmozgást végez.

A körpályák R sugarai ugyan lehetnek különbö-

zőek, de a mozgás több jellemzője ugyanaz: a T

periódusidő, f frekvencia, ω szögsebesség.

Ezeket a jellemzőket a forgómozgás jellemzői-

nek is tekintjük.

Érdemes felidézni a fenti mennyiségek közötti

kapcsolatokat:

f = 1

T, ω =

2πT

= 2π · f

Az egyenletes forgómozgást végző merev test

pontjainak kerületi sebessége és centripetális

gyorsulása is arányos a körpálya sugarával:

vker = ω · R, acp = ω2 · R

13

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 13 2016.07.04. 19:43:39

14

2. A forgómozgás kinematikai leírása

A mai elektronikus zenében ismét divatba jött a mikro-

barázdás (helyesen vinilből, és nem bakelitből készült)

hanglemezek használata. Járj utána, hogy ki, mikor és

hol fejlesztette ki a mikrobarázdás hanglemezt!

vkerv

v0

v0

A kerék pontjai összetett mozgást végeznek

A kerék tisztán gördül

v0

v0vker

ωR

Kerék tisztán gördülése

Mechanikai problémák vizsgálatánál gyakran elő-

fordul olyan, hogy egy jármű kerekeken mozog.

Vizsgáljuk meg alaposabban egy kerék sík talajon

való egyenletes mozgását!

A talajhoz képest csak a kerék tengelye mozog

egyenletesen v0 sebességgel. A kerék többi pontja a

tengely körül egyenletes körmozgást végez. Így a

kerék többi pontjának sebességét a tengely állandó

v0 és a folyton változó irányú vker kerületi sebesség

együtt alakítja ki:

v = v0 + vker

Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék

nem csúszik meg, nem pörög ki, azaz a kerék ta-

lajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll.

Vizsgáljuk meg a kerék tisztán gördülésének felté-

telét! A jelenség fenti megfogalmazásából érdemes

kiindulni. A kerék legalsó pontja – mint a többi

is – összetett mozgást végez: Egyrészt a tengely v0

állandó nagyságú, menetirányba mutató sebességé-

vel rendelkezik. Másrészt a tengely körüli forgása

miatt a menetiránnyal ellentétesen mutató vker ke-

rületi sebessége is van. A két sebesség vektori ere-

dőjének nullának kell lennie, így lehet igaz az, hogy

a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest

áll:

v = v0 + vker

= 0

Mivel a két sebesség ellentétes irányú, ezért a

nagyságuk azonos kell legyen:

v0 = vker (= ω · R)

Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék

sebessége (tengelyének sebessége) és a kerék ke-

rületi pontjának sebessége azonos nagyságú.

KIDOLGOZOTT FELADAT

Kerék v0 állandó nagyságú sebességgel tisztán gör-

dül a vízszintes talajon. Add meg az ábrán jelölt

(A, B, C, D) pontok talajhoz viszonyított sebessé-

geit!v0

C

B

D

ω

AR

MEGOLDÁS

Adatok: v0._________________________

vA = ?; vB = ?; vC = ?; vD = ?

A kerék tisztán gördülése miatt fennáll a következő

kapcsolat: v0 = ω · R

A pont sebessége: v0, hiszen a kerék sebességét a

tengelyének sebességével azonosítjuk. vA = v0

B pont sebessége: 0, a tisztán gördülés pont ezt je-

lenti. vB = 0

C pont sebessége: 2 · v0, vC = 2 v0

14

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 14 2016.07.04. 19:43:41

15


A szöggyorsulás

A továbbiakban azt fogjuk vizsgálni, hogyan mo-

zog egy tengellyel ellátott merev test, ha nincs

egyensúlyban, azaz a rá ható forgatónyomatékok

előjeles összege nem nulla: ∑ M ≠ 0

KÍSÉRLET

A forgómozgás kísérleti vizsgálatára alkalmas esz-

köz tárcsájára tekert fonalat egy állócsigán átvetjük,

és a végére egy nehezéket akasztunk.

Igazolás (1. módszer):

A kerék legfelső (C) pontja összetett mozgást vé-

gez: v = v0 + vker

. Mindkét sebességkomponens

azonos nagyságú (v0) a tisztán gördülés miatt, és

mindkettő menetirányba mutat.


Tisztán gördülés során a kerék talajjal érintkező

pontja a talajhoz képest áll. A kerék minden más

pontja e pont körül végez ω szögsebességű kör-

mozgást. Azt mondhatjuk, hogy a kerék talajjal

érintkező pontja pillanatnyi forgástengelyként vi-

selkedik. Ezek alapján a C pont sebessége a talajhoz

képest:

vc = (2 R) · ω = 2 · (R ω) = 2 · v0

D pont sebessége: 2 · v0


A kerék szélének a tengellyel azonos magasságában

lévő (D) pontja is összetett mozgást végez:

v = v0 + vker

Mindkét sebességkomponens azonos nagyságú (v0)

a tisztán gördülés miatt, és merőlegesek egymásra.


Használjuk fel ismét, hogy a kerék talajjal érintke-

ző pontja pillanatnyi forgástengelyként viselkedik.

Ezek alapján a D pont sebessége a talajhoz képest:

vD = ( 2 R) · ω = 2 · (R ω) = 2 · v0

C

B

DAv0

v0

v0

vkervker

vA = v0

vC = 2 · v0

vD = 2 · v0

vB = 0

Igazolás 1. módszere

Igazolás 2. módszere

C

B

DA2R

vB = 0

vA = v0 = R · ω

vD = 2 · R · ω = 2 · v0

vC = 2 · R · ω = 2 · v0

A sík talajon tisztán gördülő kerék egyik kerü-

leti pontját jelöljük meg! A kerék tisztán gördülése

során a megjelölt pont által rajzolt görbét (csúcsos)

cikloisnak nevezzük. Érdemes végiggondolni azt

is, hogy milyen cikloist rajzol ki a megjelölt pont,

ha távolsága a tengelytől kisebb, illetve nagyobb a

sugárnál.

Tisztán gördülő R sugarú kerék kerületi pontja által raj-

zolt ciklois. Milyen távol van egymástól a két szomszédos

csúcs?

Forgómozgás vizsgálata

TAPASZTALAT

A fonál végére erősített nehezéket elengedve, az

egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást vé-

gez a gyorsulással.

15

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 15 2016.07.04. 19:43:42

16


KÖVETKEZTETÉS

Amennyiben a fonál nem csúszik a tárcsán, úgy a

nehezék a gyorsulása megegyezik a tárcsa kerületi

pontjainak érintőirányú (tangenciális) gyorsulásá-

val: atg

A körpályán mozgó tömegpontnak kétféle gyor-

sulása lehet:

Az acp centripetális gyorsulás a kör középpontja

felé mutat, és a kerületi sebesség irányának meg-

változásáért felelős.

Az atgtangenciális gyorsulás a kör érintőjének irá-

nyába mutat, és a kerületi sebesség nagyságának

megváltozásáért felelős.

A gyorsulást a két komponens eredőjeként kap-

juk, amelynek abszolút értéke: a = a 2 cp + a

2 tg

Változó körmozgás gyorsulása

a

atg

acp

Írjuk fel egymás alá a szögelfordulást és szögse-

bességet megadó egy-egy összefüggést, majd hasz-

náljuk fel a tömegpont kinematikájánál megismert

törvényeket (s = 1

2 at 2, v = a · t):

a = Δi

R =

1

2atg · t

2

R

atg

R

1

2·= · t 2

ω = v

R =

atg · t

R

atg

R= · t

Az atg

R kifejezésnek önálló jelentése van: szöggyor-

sulás: β = atg

R

Egy pont (merev test) szöggyorsulásának szám-

értéke megmutatja, hogy mennyit változik a pont

(merev test) szögsebessége másodpercenként.

A szöggyorsulás jele: β .

Mértékegysége: 1

s2.

β = ΔωΔt

Tömegpont és merev test

kinematikájának összehasonlítása

Tömegpont haladó és merev test forgómozgását

leíró fogalmak és a fogalmak közötti kapcsolatokat

feltáró összefüggéseket tartalmazza a következő

táblázat:

Haladó mozgás Forgómozgás

Fogalmak t, r , v , a t, α, ω, β

Törvényekv(t) = v0

+ a · t

r (t) = r0 + v0

· t + 1

2 · a · t 2

ω(t) = ω0 + β · t

α(t) = α0 + ω0 · t + 1

2 · β · t 2

A haladó és forgómozgás kinematikáját összefoglaló

táblázat

Az egyenletesen változó körmozgás (forgómoz-

gás) kinematikai leírása nem véletlenül hasonlít a

haladó mozgás leírásához:

α(t) = 1

2 · β · t 2 ; ω(t) = β · t, ha kezdetben ω0 = 0

Amennyiben ω0 ≠ 0, a változó körmozgás (forgó-

mozgás) kinematikai leírása:

α(t) = ω0 · t + 1

2 · β · t 2 ; ω(t) = ω0 + β · t

Hány fordulatot tesz meg a kis kerék, míg a nagy egyet, ha

a nagy kerék sugara Rn, a kis kerék sugara Rk?

16

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 16 2016.07.04. 19:43:43

17


1 Mikrobarázdájú hanglemez lejátszási fordu-

latszáma 331

3

1

min. A barázdák legnagyobb

átmérője 29,5 cm, a legkisebb 15,5 cm.

a) Mekkora a korong forgásának periódusideje,

szögsebessége?

b) Mekkora a tű lemezhez viszonyított legnagyobb

és legkisebb sebességének aránya?

2 A Földet modellezhetjük a következőkép-

pen: R = 6 370 km sugarú gömb, forgási pe-

riódusideje 24 óra. Budapest a 47,5° széles-

ségi körön van.

a) Mekkora az egyenlítői pont kerületi sebessége?

b) Melyik szélességi körön van az a pont, amelynek

sebessége az a) feladatrészben kapottnak éppen a

fele?

c) Mekkora Budapest „kerületi sebessége”?

3 Egy kerék v állandó sebességgel tisztán gör-

dül a vízszintes talajon. Hol vannak a keré-

ken azok a pontok, amelyeknek a sebessége

szintén v?


4 Egy kerékpár kereke tisztán gördül a vízszin-

tes talajon. Mekkora v sebességgel halad

egyenletesen a vizsgált (sárvédő nélküli) ke-

rékpár, ha R = 35 cm sugarú első kerekének legfel-

ső pontjáról egy kis sárdarab válik le, majd az út-

testre eső kis sárdarab éppen a keréknek ugyanarra

a pontjára tapad vissza, amelyikről „lerepült”?

5 Járj utána szakkönyvekben, interneten a

ciklois görbe tulajdonságainak!

6 Egy autó sebessége egy pillanatban 72

km

h,

gyorsulása 2 m

s2. Mekkora a gyorsulása a

70 cm átmérőjű kerék legfelső pontjának?

7 A patak vizét elterelve, az addig 3 másodper-

ces periódusidővel forgó vízikerék egyenle-

tesen lassulva 6 másodperc alatt megáll.

Hány fordulatot tesz meg a vízikerék a megál-

lásig?

17

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 17 2016.07.04. 19:43:44

Milyen mozgást végez a hófödte lejtőn

leguruló hógolyó?

M

le

A forgómozgás alapegyenlete

3.leckeA kerekes kút hengerére tekert kötél végén egy

vízzel telt vödör függ. A kút kerekére általunk

kifejtett megfelelő erő forgatónyomatéka bizto-

sítja a vödör egyensúlyát (nyugalmát, illetve

egyenletes fel-le mozgását). A kereket elenged-

jük, a vödör gyorsulva zuhan, a kerék gyorsulva

forog. Mitől függ a kerék gyorsuló forgása?

Tömegpont gyorsítása körpályán

Forgatónyomaték és szöggyorsulás

Ismerjük a rögzített tengely körül elforgatható tö-

megpont egyensúlyának feltételét. Amennyiben a

tömegpontra ható forgatónyomatékok előjeles össze-

ge nulla, akkor a test forgási állapota nem változik:

∑ M = 0 Δω = 0

Ezek után feltételezhető: amennyiben a tömeg-

pontra ható forgatónyomatékok előjeles összege

nem nulla, akkor a test forgási állapota változik:

∑ M ≠ 0 Δω ≠ 0

GONDOLATKÍSÉRLET

Vizsgáljuk azt a merev testet, mely áll egy rögzített

tengelyből, egy erre merőlegesen erősített r hosszú-

ságú rúdból, valamint a rúd másik végén lévő m

tömegű pontszerű testből! A tengely és a rúd töme-

ge elhanyagolható, valamint a tengely körüli forgás

súrlódásmentes. Hasson az m tömegű pontszerű

testre folyamatosan állandó nagyságú, érintőirányú

F erő!

TAPASZTALAT

A test egyenletesen változó körmozgást fog végezni.

Newton II. törvényét használva:

F = m · atg

A fenti egyenletből nyert skaláregyenlettel dol-

gozzunk tovább, valamint használjuk fel a tangen-

m

βF

r

fiz-12e_1-51.indd 18 2016.07.04. 19:43:46

19

3. A forgómozgás alapegyenlete

ciális gyorsulás, a szöggyorsulás és körpálya sugara

között lévő atg = r · β összefüggést:

F = m · atg

F = m · r · β

Az F erőnek a tengelyre vonatkoztatott erőkarja

r, így forgatónyomatéka: M = F · r

Ezt felhasználva:

M = mr2 · β

KÖVETKEZTETÉS

Rögzített tengely körül forgatható tömegpont

állandó forgatónyomaték hatására egyenletesen

gyorsuló forgómozgást végez. Az M forgatónyo-

maték és a β szöggyorsulás hányadosa állandó. Az

arányossági tényezőt a tömegpont m tömege és a

tengelytől való r távolsága határozza meg.

M

β = m · r2 = állandó

M

β

Merev test gyorsuló forgása

β

mi

ri

Merev test felosztása sok pici részre

Forgómozgás alapegyenlete

Most térjünk át a rögzített tengely körül forgatha-

tó merev test dinamikájának vizsgálatára!

Ismerjük a rögzített tengellyel rendelkező merev

test egyensúlyának feltételét. Amennyiben a merev

testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nul-

la, a test forgási állapota nem változik:

∑ M = 0 Δω = 0

Ezek után most is feltételezhető: amennyiben a

merev testre ható forgatónyomatékok előjeles össze-

ge nem nulla, akkor a test forgási állapota változik:

∑ M ≠ 0 Δω ≠ 0

GONDOLATKÍSÉRLET

Vizsgáljuk a rögzített tengely körül súrlódásmen-

tesen forgatható merev testet! Hasson a testre egy

állandó nagyságú (tengelyre vonatkoztatott) M for-

gatónyomaték!

TAPASZTALAT

A merev test a rá ható M forgatónyomaték hatásá-

ra β szöggyorsulású egyenletesen változó forgó-

mozgást fog végezni.

Osszuk fel az m tömegű testet N darab olyan

kicsi részre, hogy a kicsi részek már pontszerűnek

tekinthetők legyenek:

m = m1 + m2 + … + mi + … mN, illetve ezt röviden

jelölve: m = ∑N

i = 1

mi.

Az mi tömegrész távolságát a forgástengelytől jelöl-

jük ri-vel!

Mindegyik mi tömegrész ugyanakkora β szög-

gyorsulású egyenletesen változó körmozgást fog

végezni. Az előző részben megismertük, hogy az mi

tömegrész β szöggyorsulásáért Mi forgatónyomaték

a felelős:

Mi = mi · r 2 i · β

Használjuk fel, hogy az egyes mi tömegrészekre

ható Mi forgatónyomatékok összege a merev testre

ható M forgatónyomatékot adja: M = ∑N

i = 1

Mi

M1 + M2 + … + MN =

= m1r 2 1 · β + m2r

2 2 · β + … + mNr 2

N · β

M = (m1r 2 1 + m2r 2

2 + … + mNr 2 N) · β = ∑

N

i = 1

mi · r 2 i

Rögzített tengely körül forgó merev test állandó

M forgatónyomaték hatására állandó β szöggyor-

sulással forog. Az adott testre ható M forgatónyo-

maték és az általa okozott β szöggyorsulás egyene-

sen arányos egymással, így hányadosuk állandó:

M

β= állandó

Amennyiben a merev testre egyidejűleg több

forgatónyomaték hat, úgy a testre ható forgatónyo-

matékok előjeles összege okozza a test szöggyorsu-

lását:

∑ M β

19

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 19 2016.07.04. 19:43:47

20


KÖVETKEZTETÉS

Amennyiben a rögzített tengely körül forgatható

merev testre ható forgatónyomatékok előjeles

összege nem nulla, akkor a test egyenletesen

gyorsuló forgómozgást végez. A test szöggyorsu-

lása egyenesen arányos a testre ható forgatónyo-

matékok előjeles összegével, valamint fordítottan

arányos a test egy tulajdonságával, a tehetetlen-

ségi nyomatékával:

∑ M = Θ · β

Ezt az összefüggést a forgómozgás alaptörvényé-

nek nevezzük.

A tehetetlenségi nyomaték jele: Θ (théta, görög

betű), kiszámítása: Θ = ∑N

i = 1

mi · r2 i

Mértékegysége: kg · m2

Néhány test tehetetlenségi

nyomatéka

A továbbiakban néhány egyszerű merev test tehe-

tetlenségi nyomatékát határozzuk meg a tehetet-

lenségi nyomaték fogalmának felhasználásával:

Θ = ∑N

i = 1

mi · r 2

a) Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka

A pontszerű testet nem tudjuk további részekre

osztani, így annak tehetetlenségi nyomatéka:

Θtömegpont = ∑N

i = 1

mi · ri 2 = m · r 2

Θtömegpont = m · r 2

Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegétől

és a forgástengelytől mért távolságtól függ

b) Vékony abroncs tehetetlenségi nyomatéka

a szim metriatengelyére vonatkozóan

Az abroncsot osszuk fel N darab olyan kicsi részre,

hogy a kicsi részek már pontszerűnek tekinthetők

legyenek: m = m1 + m2 + … + mi + … + mN. Alkal-

mazzuk a tehetetlenségi nyomaték defi nícióját, és

vegyük fi gyelembe, hogy mindegyik mi tömegrész

távolsága a forgástengelytől r, valamint hogy a ré-

szek tömegeinek összege m:

Θabroncs = ∑N

i = 1

mi · r i 2 = ∑

N

i = 1

mi · r 2 = ( ∑N

i = 1

mi) · r 2 = m · r 2

Az abroncs tehetetlenségi nyomatéka a test

tömegétől és a henger sugarától függ

Másképp is gondolkodhatunk. Induljunk ki a pont-

szerű test tehetetlenségi nyomatékából: Θ = m · r 2

Ennek a tömegpontnak a tömegét „kenjük szét” az

r sugarú kör mentén. Az így kialakult test részeinek

tengelytől mért távolsága nem változott, így a tehe-

tetlenségi nyomatéka sem változott: Θ = m · r 2

c) Vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka

a szimmetriatengelyére vonatkozóan

Az előző részben alkalmazott eljárás most is al-

kalmazható, és a végeredmény ugyanaz:

Θhenger = m · r 2

ω

r

m

A vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka

a test tömegétől és a henger sugarától függ

Általánosan igaz, hogy pontrendszer tehetetlenségi

nyomatéka nem változik, ha a pontjainak helyét

úgy változtatjuk, hogy közben nem változik a ten-

gelytől való távolságuk.

Más testek tehetetlenségi nyomatékának meg-

határozása integrálszámítást igényel, illetve össze-

függés található rá szakkönyvekben. Néhány szabá-

lyos test tehetetlenségi nyomatékát tartalmazza a

következő táblázat.

ω

r m

r

Θabroncs = m · r 2

ω

20

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 20 2016.07.04. 19:43:48

21


Szabályos test neve Rajz Forgástengely helye Tehetetlenségi nyomaték értéke

tömör henger szimmetriatengelyre Θ = 1

2 m ·r 2

rúdrá merőleges, a felezőpontján

átmenő tengelyreΘ =

1

12 m ·l 2

rúdrá merőleges, a végpontján

átmenő tengelyre

Θ = 1

3 m ·l 2

vékony falúgömbhéj

középpontján átmenő tengelyre

Θ = 2

3 m ·r 2

tömör gömbközéppontján átmenő

tengelyreΘ =

2

5 m ·r2

r

l

l

Steiner tétele

Ugyanannak a testnek különböző tengelyekre vo-

natkozóan más a tehetetlenségi nyomatéka.

Amennyiben ismert a tömegközépponton átmenő

t tengelyre vonatkozóan az m tömegű test tehetet-

lenségi nyomatéka (Θtkp), akkor az ezzel párhuza-

mos, tőle d távolságra lévő t’ tengelyre vonatkozó

(Θ) már könnyedén kiszámítható:

Θ = Θtkp + m · d 2

Ezt a tételt párhuzamos tengelyek tételének,

vagy Steiner-tételnek hívjuk.

t’t

m

d

tkpAlkoss képletet, mellyel az

m tömegű, R sugarú gömb

tehetetlenségi nyomatéka

számítható valamely érin-

tőjére vonatkozóan!

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egy r sugarú korong csak forgómozgást végez füg-

gőleges tengelye körül. A korongot lapjával vízszin-

tes asztalra helyezzük. (Feltételezhetjük, hogy a

korong egyenletesen nyomja az asztalt.) A korong

és az asztal között a csúszási súrlódási együttható

μ. Mekkora a korong szöggyorsulása?

MEGOLDÁS

Adatok: r, μ.___________

β = ?

A feladat megoldásában a nehézséget a korongra

ható forgatónyomaték meghatározása jelenti.

Egyetlen erő forgatónyomatékát könnyedén meg

tudjuk határozni. Most viszont a korong és az asz-

tal érintkezési felületének minden pontjában hat

egy-egy elemi erő.

Az eredő M forgatónyomaték meghatározásá-

hoz a korong r sugarát osszuk fel N egyenlő részre.

Az így kapott i-edik körgyűrű területét a korong d

vastagságával szorozva kapjuk a vizsgált körgyűrű

21

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 21 2016.07.04. 19:43:48

22


feletti test térfogatát. Majd az elemi nyomóerőkből

származó elemi súrlódási erők forgatónyomatékait

összegezzük:

M =∑N

i = 1

Fi · ri =∑N

i = 1

μ · (r i 2 · π – r i–1

2 · π) · d · ρ · g · ri

A kifejezést rendezve, és felhasználva, hogy

ri = i

N · r :

M = μ · d · ρ · g · π · ∑N

1 = 1

(r i 2 – r i–1

2 ) · ri =

= μ · d · ρ · g · π · r 3 · ∑N

i = 1

(( i

N )2

– (i – 1

N )2

) · i

N

Felhasználva a sűrűség, tömeg és térfogat közötti

összefüggést:

M = μ · mg · r ·∑N

i = 1

(2i – 1

N 2 ) · i

N =

= μmgr · 1

N 3 · [2 · ∑

N

i = 1

i 2 – ∑N

i = 1

i ]Az ismert matematikai összefüggéseket hasz-

nálva:

M =

= μmgr · 1

N 3 · [2N (N + 1)(2N + 1) ·

1

6 –

N(N + 1)

2 ] =

= μmgr · [2(N + 1) (2N + 1)

6N 2 –

N + 1

2N 2 ]

Az összeg határértékét véve, midőn N tart a vég-

telenhez:

M = μmgr · [2

3 – 0]

A korongra ható eredő forgatónyomaték:

M = 2

3 · μmgr

Most már könnyen ki tudjuk számítani a korong

szöggyorsulását:

β = = · =

2

3 · μmgr

1

2 · mr2

M

Θkorong

4

3

μg

Haladó és forgómozgás

dinamikájának összehasonlítása

A haladó és forgómozgás dinamikáját leíró fogal-

mak és a fogalmak közötti kapcsolatokat feltáró

összefüggéseket tartalmazza a következő táblázat:

Haladó mozgás Forgómozgás

Fogalmak m, a θ, β

TörvényekF = m · a

∑ F = m · a

M = θ · β∑M = θ · β

A haladó és forgómozgás dinamikáját összefoglaló táblázat

A merev test tehetetlenségi nyomatéka függ:

– a forgó test tömegétől,

– alakjától,

– méretétől,

– tömegeloszlásától,

– a forgástengely helyétől, helyzetétől.

Mutasd meg, hogy a

fi zikai ingához a fenti

módon rendelt mate-

matikai inga hossza

valóban l * = Θms

!

Fizikai inga (Kiegészítő anyag)

Tavaly megismerkedtünk a fonálingával, amelyet

úgy kapunk, ha egy hosszú, elhanyagolható tömegű

fonál egyik végét rögzítjük, a másik végére pedig

egy pici, nehéz (pontszerű) testet erősítünk. Sokkal

elterjedtebb az olyan inga, amelynek lengő teste

nem pontszerű, hanem kiterjedt merev test, és egy

vízszintes tengely körül képes lengeni. Az ilyen in-

gát fi zikai ingának nevezzük.

Könnyen megmutatható, hogy egy adott fi zikai

ingához található olyan matematikai inga, hogy a

két test szöggyorsulása minden helyzetben ugyan-

akkora. Ha azonos helyzetből indítjuk a két testet,

azok mindig együtt lengenek, azaz egyenlő a perió-

dusidejük. Az m tömegű, Θ tehetetlenségi nyoma-

tékú fi zikai ingához ily módon rendelt matematikai

inga hossza: l * = Θms

, ahol s a fi zikai inga tömegkö-

zéppontjának és forgástengelyének távolsága.

O

s

mΘ

m

tkp

l *

O

α α

22

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 22 2016.07.04. 19:43:49

23


A matematikai inga lengésidejét ismerve, meg-

határozható a fi zikai inga kis kitéréskor érvényes

lengésideje:

l *

g

Θmgs

Tl = T = 2π · = 2π · = 2π · g

Θms

MÉRÉSI FELADAT

Farúd tehetetlenségi nyomatékának meghatározása

Szükséges eszközök

– farúd, melynek végére a rúd tengelyére merőle-

gesen, egymással szemben egy-egy szeget ver-

tünk be,

– két Bunsen-állvány, melybe egy-egy rudat fog-

tunk be,

– stopper,

– mérleg,

– mérőszalag.

Mérés menete

A mérés során a farúd végpontján átmenő, rá me-

rőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyoma-

tékát fogjuk megmérni. A Bunsen-állványba befo-

gott pálcákra „ültessük rá” a farúdba vert szegeket.

Így a farúd mint fi zikai inga a felső végpontja mint

tengely körül képes lengéseket végezni.

α

A mérési összeállítás

Kis szögkitérésből indítsuk a rudat, és mérjünk

10 lengésidőt!

10 · T = 12,8 s T = 1,28 s

A mérlegen megmérjük a farúd tömegét:

m = 0,041 kg

Mérőszalaggal megmérjük a farúd hosszát, és

annak felét azonosítjuk s-sel, azaz a forgástengely és

a test tömegközéppontjának távolságával: s = 0,3 m

A fi zikai ingára vonatkozó lengésidő képletéből

kifejezzük a rúd tehetetlenségi nyomatékát:

Θmgs

Tl = 2π · Θ =( T

2π)2

· mgs

A nehézségi gyorsulás értékét vegyük 9,8 m

s2 -nek,

és helyettesítsük be a mért adatokat:

Θ = (1,28 s

2π )2

· 0,041 kg · 9,8 m

s2 · 0,3 m =

= 5 · 10–3 kgm2

Ellenőrzésként érdemes a rúd végpontján átme-

nő, rá merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlensé-

gi nyomatékot közvetlenül is kiszámítani az ismert

összefüggés segítségével és a mért adatok felhasz-

nálásával:

Θ = 1

3 ml 2 =

1

3 · 0,041 kg · (0,6 m)2 =

= 4,92 · 10–3 kgm2

A két módon számított tehetetlenségi nyomaték

értéke igen közel van egymáshoz, egymástól való

eltérésük 2%-nál kisebb. A mérési hibák forrása a

távolság- és hosszúságmérés pontatlanságából ered.

Ezzel a méréssel egyben a fi zikai inga lengésidejét

megadó összefüggés helyességét is igazoltuk.

Merev testek síkmozgásának

dinamikai leírása (Kiegészítés)

Gyakran előfordul, hogy egy merev test nemcsak

haladó, illetve nemcsak forgómozgást végez, hanem

a merev test egyidejűleg forgó és haladó mozgást is

végez. Mi most csak merev testek síkmozgásával

foglalkozunk, amikor a test pontjai egymással pár-

huzamos síkokban mozognak.

Merev test síkmozgását legegyszerűbben a test

tömegközéppontja haladó mozgásának és a tömeg-

középpont körüli forgásának eredőjeként értelmez-

hetjük. Ennek megfelelően a test tömegközéppont-

jának haladó mozgását a testre ható külső erők

eredője határozza meg:

∑ F külső = m · atkp

A test tömegközéppont körüli forgását a tömeg-

középpontra (illetve pillanatnyi forgástengelyre)

vonatkoztatott forgatónyomatékok előjeles összege

határozza meg:

∑M = Θ · β

A fenti két mozgásegyenlet felírásával, illetve a

kényszerfeltételek fi gyelembe vételével a merev test

síkmozgásával kapcsolatos problémák sikerrel tár-

gyalhatók.

23

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 23 2016.07.04. 19:43:49

24


1 Egy 100 kg tömegű, 50 cm sugarú, 2 Hz for-

dulatszámú malomkereket 3 másodperc alatt

egyenletesen akarunk lefékezni. Mekkora

sugárirányú erővel kell a féktuskót a keréknek szorí-

tani, ha köztük a csúszási súrlódási együttható 0,6?


4 Becsüld meg a Föld forgástengelyére vonat-

kozó tehetetlenségi nyomatékát! Miért csak

becslést tudsz adni?

2 Frissen olajozott kerekes kút hengerkereke

súrlódásmenetesen foroghat. A kötél végén

lévő vödör és víz együttes tömege 10 kg.

A henger sugara 20 cm. A vödröt elengedjük, és azt

tapasztaljuk, hogy 4 másodperc múlva csobban a

16 méter mélyen lévő vízbe. Mekkora a hengerke-

rék tehetetlenségi nyomatéka?

3 Az 1 méter oldalú, szabályos háromszög csú-

csaiban lévő pontszerű testek tömege: 2 kg,

3 kg, 4 kg. Határozd meg a pontrendszer te-

hetetlenségi nyomatékát a háromszög középpont-

ján átmenő, a háromszög síkjára merőleges tengely-

re vonatkozóan!

5 Mekkora állandó forgatónyomaték tudná a

Föld forgását 1 nap alatt megállítani? (A meg-

oldás során használd fel a 4. feladat eredmé-

nyét!)

6 Mekkora az m tömegű, l hosszú rúd tehetet-

lenségi nyomatéka a harmadolópontján át-

menő, rá merőleges tengelyre vonatkozóan?

7 Egy lejtőn egymás mellől egyszerre enge-

dünk gurulni azonos sugarú, vékony falú

hengert, tömör hengert és gömböt. Melyik

ér le először, és melyik utoljára?

Egyenlítő

Ekliptika

Déli mágneses pólus Földrajzi északi sark

Mágneses tengely

A Föld forgás-tengelye

24

Me

rev

te

ste

k m

ec

ha

nik

ája

fiz-12e_1-51.indd 24 2016.07.04. 19:43:49

merev testek mechanikája11 a formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre...

Documents