mérés és adatgyűjtés - lev
DESCRIPTION
Mérés és adatgyűjtés - Lev. A mérési eredmény megadása. Mingesz Róbert. 2013. március 8. Tartalom. A statisztika alapjai A mérési eredmény megadása Hibaterjedés A mérési adatok feldolgozása Hipotézisvizsgálat Bayes-módszer. A statisztika alapjai. Fogalmak. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Mérés és adatgyűjtésLevelező
Jelek mintavételezése
Mingesz Róbert
2015.03.16.
2
Házi feladatok
3
Gyakorló feladatok
• Érdemes megoldani
• Megoldás elérhető a honlapon(csak megoldás után nézzétek meg)
• A megoldásokat ne küldjétek el!
4
Házi feladat
• A honlapról letölthető
• Beadási határidő: 2014.03.27. 23:00utána félpontszám
• Beadás módja:• papíron
• elektronikusan: [email protected]
5
Hibaterjedés
7
A mérési hiba terjedése
• Mért mennyiségek: hibával terheltek
• A belőlük számolt mennyiségek is hibával lesznek terhelve
• Az eredmény általános megadása:
8
Egy változó esetén
9
Több változó esetén
• A vizsgált mennyiség több mért mennyiségtől függ:
• Minden egyes mennyiség hibája növeli a végeredmény hibáját
• Egymástól független hibák esetén: szórásnégyzetek adódnak össze:
10
Hibaterjedés több változó esetén
Parciális derivált:
11
Példa
12
Megoldás
• Az átlagérték:
• A hibaterjedés:
13
Megoldás
• A végeredmény:
14
A mérési adatok feldolgozása
16
Elemi műveletek
• Adatok regisztrálása → lajstrom
• Számlálás → N
• Rangsorolás:• sorba rendezés
• sorszám hozzárendelése
• Összegzés
• Középérték
17
Követelmények a középértékkel szemben
• Legyen a mért adatok maximuma és minimuma között
• Egyszerű módszerrel számolható
• Könnyen értelmezhető
• Ne legyen érzékeny a kiugró adatokra (robosztus)
18
Számtani átlag
• Súlyozott átlag:
19
Mozgóátlag
• Időben változó mennyiségek átlagolása
• Utolsó N adat figyelembevétele:
20
Felejtő átlag
• Tipikus számolás rekurzív képlettel:
21
További átlagok
• Négyzetes átlag
• Mértani átlag (geometriai átlag)
• Harmonikus átlag
22
Momentumok
• r-ed rendű momentum:
• Első rendű momentum: átlag
• Centrális momentum: átlagtól való távolság
23
Módusz és Medián
• Módusz: A leggyakrabban előforduló érték
• Medián: sorba rendezett mérési eredmények esetén a középen lévő értékpáros mérési szám esetén a két középső eredmény átlaga• Érzéketlen a kiugró adatokra
24
Példa
• Egy cégnél 10 alkalmazott van foglalkoztatva, mindegyik 100 eFt-os bért kap havonta.
• A cégnek két főnöke van, mindketten 5 MFt-ot keresnek havonta.
• Mennyi az „átlag” bér?
25
Átlagbér – számtani közép
• Számtani közép
• Medián
26
Kvantilisek - osztópontok
• medián: két részre osztja a mérési adatokat
• tercilis: három részre osztja a mérési adatokatkét osztópont van
• kvartilis: negyedelhárom osztópont van
• kvintilis: ötödöl
• decilis: tizedel
• percentilis: századol
27
Szóródás
• Szóródás terjedelme (pk-pk érték)
• Interkvantilis terjedelemaz alsó és a felső kvantilis különbsége
• Átlagos abszolút eltérés
• Szórás• elméleti (ismerjük a tényleges értéket)
• tapasztalati
28
Mérési adatok ábrázolása
29
Doboz ábra (Box plot)
30
Jelek ábrázolása
HIBÁS ÁBRÁZOLÁS
31
Pontgrafikon
32
Leolvasást követő vonallal
33
Görbített vonal – nem jó!
HIBÁS ÁBRÁZOLÁS
34
Függvények illesztése
35
Függvény illesztése
• Mérés:• két vagy több, egymástól függő fizikai mennyiség
• , , ... – mért értékek
• , – ismeretlen paraméterek
36
Paraméterek meghatározása
• függvény illesztése ⇒ becslés a paraméterekre
• Módszerek• papíron, szemre
• Monte Carlo módszerek
• genetikus algoritmusok
• analitikus:• Legkisebb négyzetek módszere
• Maximum-likelihood-módszer
• közelítő megoldások (iterációs módszer)
• ...
37
Illesztés hibája
∆ 𝑦=𝑦 𝑖− 𝑓 ( 𝑦 𝑖 ,𝑎 ,𝑏 ,⋯ )
38
Legkisebb négyzetek módszere
• Cél: hibaösszeg minimalizálásaszélsőérték keresése
39
Egyenes illesztése
• Egyenes egyenlete:
40
Szélsőérték keresése
• elsőrendű deriváltak nullák:
41
A legjobb illesztés paraméterei
42
Korrelációs együttható (R)
• Az illeszkedés jóságát adja meg:• 0: nincs lineáris összefüggés a mennyiségek
között
• 1: tökéletesen illeszkedik az egyenes
43
Origón átmenő egyenes illesztése
• Pl: Ohm törvény: a tengelymetszet ≡ 0
•
44
Nemlineáris illesztés
• A legkisebb négyzetek módszere működhet
• Probléma: az adatok mérési hibája nem állandó
45
Nemlineáris illesztés: súlyfüggvény
• Ha ismerjük a szórást
46
Linearizálás
• A függvényünket átalakítjuk úgy, hogy egyenest tudjunk illeszteni
• Pl.: illesztendő függvény:
• mérve:
• ismeretlen pareméter:
• Keresett függvény:
• (a mért adatokból kiszámítható)
47
Linearizálás
48
Hipotézisvizsgálat
49
Megoldandó feladat:
• Tejüzem:joghurtok töltési mennyisége megfelel-e az előírásoknak.
• Előírás:• átlag: 200 ml
• szórás: 2%
• szignifikanciaszint: 3%
• 20 mérés átlaga: 196 ml
50
Hipotézisvizsgálat
• A felállított hipotézisek helyességének vizsgálata véletlen mintákra alapozva
• Cél: van egy feltételezett érték, azt vizsgáljuk, hogy az megfelel-e a valóságnak
• A minta:• támogatja a hipotézist
• szignifikánsan ellentmond neki
• Eljárás: statisztikai próbák
51
A hipotézisvizsgálat lépései I.
• Hipotézis megfogalmazása• Nullhipotézis (H0)
ennek a helyességéről akarunk megbizonyosódni
• Alternatív hipotézis (H1)
szemben áll a nullhipotézissel
• Próbafüggvény konstruálása
• Ha H0 helyes, a próbafüggvény ismert eloszlást
követ
52
A hipotézisvizsgálat lépései II.
• Elfogadási (E) és kritikus (K) tartomány felállítása a próbafüggvény értékeire
• Ha H0 igaz:
• : szignifikanciaszint
• : megbízhatóság
53
A hipotézisvizsgálat lépései III.
• A próbafüggvény konkrét értékének kiszámítása
• Döntés:• H0 elfogadása és H1 elutasítása
• H0 elutasítása és H1 elfogadása
54
Elkövethető hibák
H0 igaz H0 nem igaz
H0-t elfogadjuk helyes döntés másodfajú hiba
H0-t elvetjük elsőfajú hiba helyes döntés
• α: szignifikanciaszint, ennek értékét tudjuk szabályozni → kiszámítható kockázat
• β: annak a valószínűsége, hogy elfogadjuk H0-t, pedig nem igaz
• Ha α-t csökkentjük, β nő
55
Példa nullhipotézis választására
• H0 : nem érdemes befektetni
• H1 : érdemes befektetniH0 igaz
nem érdemes befektetni
H0 nem igazérdemes
befektetni
H0-t elfogadjukNem fektetünk be
helyes döntésúj lehetőség
keresése
másodfajú hibakihagyott lehetőség
H0-t elvetjükBefektetünk
elsőfajú hibaanyagi csőd
helyes döntés⇒ haszon
56
Statisztikai próbák
• Próbák típusai• Egyoldali próbák
(kisebb, nagyobb)
• Kétoldali próbák(benne van-e az intervallumon)
• Minták száma• Egy mintás próbák
• Két mintás próbák
• Több mintás próbák
57
Vizsgálat célja
• Várható érték tesztelése
• Szórás tesztelése
• Arány tesztelése
• Illeszkedésvizsgálat
• Függetlenség vizsgálat
58
Egymintás µ-próba (z-próba)
• A várható érték megegyezik-e a megadott µ0
értékkel:• H0: a populáció átlaga = µ0
• H1: a populáció átlaga ≠ µ0
• Normális eloszlás, σ ismert
• Próbafüggvény:
59
Elfogadási tartomány
|𝑧|≤ 𝑧1−𝛼
2
60
Példa egymintás µ próbára
• Tejüzem: joghurtok töltési mennyisége megfelel-e az előírásoknak.
• Előírás:• átlag: 200 ml
• szórás: 2%
• szignifikanciaszint: 3%
• 20 mérés átlaga: 196 ml
61
Megoldás
• próbafüggvény:
• az elfogadási tartomány⇒ a H0 hipotézist elutasítjuk:
az átlagos töltési mennyiség nem felel meg az előírásoknak
62
Egymintás t-próba
• A várható érték megegyezik-e a megadott µ0
értékkel
• Normális eloszlás, σ ismeretlen
• Próbafüggvény:
• Elfogadási tartomány:
63
További próbák
• Kétmintás T próba: két minta értékének azonosságának összehasonlítása• szórás ismeretlen
• a szórások megegyeznek/nem egyeznek meg
• Kétmintás, páros T próba: az egyes megfigyelések párba állíthatók (előtte-utána)
• χ2-próba: variancia (szórás) tesztelése• F-próba: varianciák egyenlősége
64
A próbákkal kapcsolatos nehézségek
• H0 megfelelő megválasztása
• Félreértelmezhető
• Ha a próbát többször elvégezzük, hibás eredményre juthatunkpl: gyógynövény hatékonysága (5% szignifikanciaszint)• 19 negatív eredmény ⇒ nincs publikálva
• 1 pozitív eredmény ⇒ publikálva
65
Bayes-módszer
66
Bayes-tétel
• – egy hipotézis
• – egy megfigyelhető esemény, befolyásolja az A-ba vetett hitünket
• – az hipotézis a priori valószínűsége
• – a posteriori valószínűség: ha bekövetkezik, az mennyire befolyásolja az -ba vetett hitünket
67
Bayes-tétel
• – ha a hipotézis igaz, mi a valószínűsége, hogy -t megfigyeljük
• – a esemény megfigyelésének valószínűsége (a hipotézis igazságától függetlenül)
: alternatív hipotézis
68
Példa 1
• Egy iskolában:• 60 % fiú
• 40 % lány
• A lányok fele nadrágot, a másik fele szoknyát hord
• Ha egy nadrágos diákot látunk, mi a valószínűsége, hogy lány?
69
Megoldás
• Hipotézis: – a megfigyelt diák lány
• Megfigyelés: – nadrágot hord
• Annak a valószínűsége, hogy lány: 25 %
70
Példa: Hamis pozitív teszt
• Ha a páciens beteg, a teszt az esetek 99 %-ban helyes eredményt ad
• Ha a páciens nem beteg, a teszt az esetek 5 %-ban ad hamis pozitív eredményt
• Csak minden 1000. tesztelt ember beteg
• A teszt eredménye pozitív.
• Mi a valószínűsége, hogy a páciens beteg?
71
Megoldás
• Hipotézis: – a páciens beteg
• Megfigyelés: – a teszt pozitív eredményt adott
72
Eredmény
Pozitív teszt ⇒• A páciens beteg: 1,9 %
• A páciens mégsem beteg (hamis pozitív): 98 %
73
Mérőberendezések tulajdonságai
75
A mérőberendezés felépítése
• Érzékelő:fizikai mennyiség → feldolgozható mennyiség
• Jelkondicionálás (erősítés, szűrés...)
• Feldolgozás
• Kijelzés
76
A műszerek legfontosabb jellemzői
• Pontosság (accuracy): az a maximális érték, amivel a kijelzett érték eltérhet a valódi értéktől.Pl. 1mm, 1%
• Felbontás (resolution): az a legkisebb változás a mérendő mennyiségben, melyet a műszer még követni képes.Pl. 1K
77
Nullponthiba (ofset)
Az a hiba, mely a mért értéktől függetlenül mindig ugyanakkora. Azonos azzal az értékkel, amit a műszer mutat 0 valódi értéknél.
78
Skálahiba
• A valós és amért érték hányadosa nem 1.
• A hiba arányos a mért értékkel.
79
Linearitáshiba
A mért érték nem lineáris függvénye a valós értéknek.
80
Hiszterézis
A hiba függ attól, hogy a mért érték nő vagy csökken. Oka pl. a súrlódás.
81
Reagálási / beállási idő
82
Sávszélesség
Váltakozó jelek mérésénél fontos
83
További jellemzők
• ZajA kijelzett érték ingadozása.
• ReprodukálhatóságA műszer hibái időben változnak
• Megbízhatóság (reliability)
• Referenciafeltételek
• Méréshatárok
• Túlterhelhetőség
84
További jellemzők
• Fogyasztás
• Védettségpor és vízállóság
• Hitelesítési lehetőségek
• InterfészekPC kapcsolat, ethernet, szoftverek
• Ár, garancia
• Gyártó
85
Digitális gépek/mérőműszerek
86
Jelek osztályozása
88
Determinisztikus jelek
• Periodikus jelek• Szinuszos jelek
• Általános periodikus jelek
• Nemperiodikus jelek• Kvázi periodikus jelek
• Tranziens jelek
89
Sztochasztikus jelek
• Stacionárius jelekA jellemző statisztikai tulajdonságok állandóak(várható érték, szórás)• Ergodikus jelek
• Nemergodikus jelek
• Nemstacionárius jelek
90
Pl. nem stacionárius folyamat
• Véletlen bolyongás (részeg matróz, diffúzió)
91
Ergodikus folyamatok
• Sokaságátlag: nagyszámú független kísérlet(mérés egy adott pillanatban)
• Időátlag: egyetlen kísérletet vizsgálunk, miközben az idő telik
• Ergodikus jelek: az időátlag és a sokaságátlag megegyezik ⇒sok folyamat helyett egyetlen folyamatot is vizsgálhatunk
92
Nem ergodikus jelek
• Az időátlag ≠ sokaságátlag ⇒a kísérletet többször meg kell ismételni
93
Fourier-sor
• Periodikus jelek: szinuszok és koszinuszok összege
• : periodikus függvény
• : periódusidő
• : frekvenciája
• : körfrekvencia
• : alapharmonikus körfrekvenciája
• : felharmonikus sorszáma
94
Együtthatók meghatározása
• Jel átlaga:
• További együtthatók
95
Fourier-transzformáció
• Nem periodikus jelek esetén használható
• : időtartománybeli reprezentáció• : frekvencia tartománybeli reprezentáció
(spektrum)
96
Mintavételezés
98
Mintavételezés
• folytonos jel → időben diszkrét jel
• Mintavételi frekvencia:
99
Mintavételi tétel
• Ha a jelben előforduló legnagyobb frekvenciájú komponens frekvenciája kisebb,mint a mintavételi frekvencia fele, a mintavételezés nem okoz információveszteséget.
100
Jel rekonstruálása
• Ha a mintavételi tétel teljesül, az eredeti jel teljes egészében rekonstruálható a mért adatok alapján (bármelyik időpillanatban)
101
Mintavételi tétel megsértése
• A magasabb frekvenciájú komponensek →
• Aliasing zaj (védekezés: mintavételi szűrő)
102
Véges minták
a) 0-val való kitöltés
103
Véges minták
b) periodikus kiterjesztés
104
Ablakfüggvény
• Cél: törés hatásának kompenzálása
• Egész számú periódus: nincs rá szükség
105
Fourier típusú reprezentációk
106
DFT
• Véges, mintavételezett minta ⇒ Diszkrét Fourier-transzformáció
• : mintavételezett jel
• j, k: 0..N-1
107
DFT
• : frekvenciatartománybeli reprezentáció (spektrum, az amplitúdó ½ része
• FFT: ugyanazt számolja, mint a DFT
108
Spektrum értelmezése
• DFT eredménye: kétoldalas spektrum
• Frekvenciafelbontás:
109
Teljesítménysűrűség-spektrum
• PSD (Power Spectral Density)
• Mekkora egy adott frekvenciatartományra eső teljesítmény
110
Decibelskála
• Spektrum ábrázolása• lineáris
• logaritmikus (függőleges tengely / mindkét tengely)
• Decibel számolása• négyzetes jelek esetén (pl. teljesítmény)
• lineáris jel esetén (pl. feszültség)
111
... vége ...Köszönöm a figyelmet