DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,septembar1 2015)

1. Neka je µ konacna mera na prostoru (X,M) i µ∗ spoljna mera indukovana sa µ.Neka zaneko E ⊆ X (ne obavezno iz M!) vazi µ∗(E) = µ∗(X).Dokazati da

iz A ∈M, B ∈M iA ∩ E = B ∩ E sledi µ(A) = µ(B).

20

2. (a)Dokazati da je Borelova σ−algebra na R ,generisana intervalima [α, β) (−∞ < α <β < +∞)(b)Ako je X merljiv prostor ,f : X −→ [−∞,+∞], funkcija ,takva da je f−1([−∞, α])merljiv za svako realno α,dokazati da je tada f merljiva(c)Neka je (fn)n∈N, fn : (X,M) −→ [−∞,+∞] niz merljivih funkcija .Koristeci se mer-ljivoscu funkcija

infn>k

fn(x) := inf{fn(x) : n > k}, supn>k

fn(x) := sup{fn(x) : n > k}(k ∈ N)

dokazati da je skup {x ∈ X : limn→∞

fn(x) postoji i konacan je} merljiv. 10+10+10=30

3. (a)Dokazati da niz funkcija (fn)n∈N, fn : X −→ R, fn(x) = n32 x

1+n3x3 ne konvergira uni-

formno ,ali da je ipak limn→∞

1∫0

fn(x) dx =

1∫0

( limn→∞

fn(x)) dx .

(b)Integral

+∞∫0

1

1 + exdx predstaviti u obliku jednog brojnog reda pozivajuci se na odgo-

varajuce teoreme.

(c)Primenom odgovarajucih teorema o zameni mesta simbola

integrala i limesa izracunati limn→∞

+∞∫−5

n dx

1 + n2x210+10+10=30

4. Neka je (X,M, µ) merljiv prostor mere µ ,i (fn)n∈N, fn : X −→ (−∞,+∞) niz merljivihfunkcija.Ako je g : X −→ [0,+∞) integrabilna funkcija takva da je

∣∣fn(x)∣∣ ≤ g(x) za

svako x ∈ X primenom Fatuove Leme na niz (fn + g)n∈N (objasniti zasto !) dokazati da

je

∫X

lim infn→∞

fn dµ ≤ lim infn→∞

∫X

fn dµ. 20

∑= 100

broj bodova · · · − · · · = ocena/55-64=6 /65-74=7 /75-84=8 /85-94=9 /95-100=10