DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

MERA I INTEGRAL( pismeni deo ispita,jul 2015)

1. Neka je (X,M, µ) merljiv prostor mere µ,E ⊆ X, (E nije obavezno iz M!) i neka zaA ∈M, B ∈M iz A ∩ E = B ∩ E sledi µ(A) = µ(B).Ako jeME = {A ∩ E : A ∈M}, ν :ME −→ [−∞,+∞] preslikavanje definisano saν(A ∪ E) = µ(A),tada je ME, σ − algebra na E, i ν korektno definisana mera naσ−algebri ME 5+10=15

2. (a)Dokazati da je Borelova σ−algebra na R ,generisana intervalima [α,∞), α ∈ R 10(b)Ako je X merljiv prostor ,f : X −→ [−∞,+∞], funkcija ,takva da je f−1([−∞, r))merljiv za svako racionalno r,dokazati da je tada f merljiva 10(c)Ako je X merljiv prostor ,X = A ∪B,A,B merljivi skupovi, dokazati da jef : X −→ [−∞,+∞] merljiva ako i samo ako f je merljiva i na A i na B. 10

3. Dokazati jednakost

+∞∫−∞

e−2αttm

e−αt − e−(α+1)tdt =

+∞∑n=−∞

m!

(α + n)m+1(0 < α < 1.m ∈ N)

pozivajuci se na odgovarajuce teoreme. 15

4. Kod navedenih limesa,opravdati promenu mesta simbola integrala i limesa i naci njihovuvrednost .

(a)

limn→∞

+∞∫0

n sin xn

x(1 + x2)dx

10

(b)

limn→∞

+∞∫−a

n

1 + n2x2dx (a > 0)

10

5. Ako su fn, gn, f, g integrabilne funkcije merljivog prostora X ,mere µ takve da fn(x) −→f(x), gn(x) −→ g(x),

∫X

gn dµ −→∫X

g dµ ,kad n→∞ i∣∣fn(x)

∣∣ ≤ g(x) za sve x ∈ X i sve

n ∈ N, dokazati da tada i

∫X

fn dµ −→∫X

f dµ(n→∞).

20∑= 100

broj bodova · · · − · · · = ocena/55-64=6 /65-74=7 /75-84=8 /85-94=9 /95-100=10